Тепловые флуктуационные эффекты в макроскопической динамике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

/гоз

АКАДЕМИЯ НАУК СССР /¿^7

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ имени Л. Д. ЛАНДАУ

На правах рукописи

ЛЕБЕДЕВ Владимир Валентинович

УДК 532.783 538.245

ТЕПЛОВЫЕ ФЛУКТУАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ В МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ ДИНАМИКЕ

01.04.02 — теоретическая и математическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в форме научного доклада

Черноголовка — 1990

Работа выполнена в Институте теоретической физики имени Л. Д. Ландау АН СССР

Официальные оппоненты: академик АН СССР А. Ф. Андреев доктор физ.-мат. наук С. В. Малеев доктор физ.-мат. наук С. А. Пикин

Ведущая организация: Институт физики твердого тела АН СССР

Защита состоится « » 199 г.

в часов на заседании специализированного совета

Д 002.41.01 по'присуждению ученой степени доктора физико-математических наук при Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау АН СССР (142432, Московская область, Ногинский район, Черноголовка, ИТФ АН СССР).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТФ АН СССР.

Диссертация разослана « » 199 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук

В. П. Минеей

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность теш. Развитие физики конденсированных сред в последние десятилетня тесно связано с синтезом новых материалов, обладающих нетрадиционными свойства.®. Среди них следует упомянуть материалы, обладающие г.идкокрзсталли-чесгаш состоянием или магнитнши сг,аза';я. Такие вещества демонстрируют поразительное разнообразие физических явлений, не в последняя очередь связанное с богатством их полиморфизма. Особенно нетривкальшки свойства',и обладает вещества, в которых в той или- иной мере сказывается нкзкоразперзше эффекты. В качестве примера можно упопянуть слопстие магнетики, а также скептические и ленгг.шровскпе плеакп, которые могло рассматривать,' как двупернне системы.

Нетрадиционность поведения упоютг/тых материалов обусловлена коллективной эффекта-®,. которые в перзуи очередь проявляются в макроскопических свойствах свстеш. Для описания этих свойств необходимо использовать форыализп,. основанный на понятиях спонтанного нарушения симметрии и параметра порядка. Богатство свойств г-идких кристаллов и кагнетиков связано с большим разнообразием возможностей, которые могут реализовнваться в результате спонтанного нарушения скг.з.:^трии в этих состояниях.

Наиболее полно физические система проявляется в динамических явлениях. Жидкие кристаллн и магнетики обладают весьма сложной динамикой. Это в частности связано с наличием в этих состояниях дополнительных ютких код, возникающих в системе вследствие спонтанного нарушения симметрии. При,юром таких мягких код являются второй звук в сг,:ектикат, директорская мода в некатиках, .спиновые волнн в ферромагнетиках.

Шекно с нетривиальная динашческЕзли свойствшл! -гадких кристаллов и магнетиков связано большинство их реализованных- и: потенциальных приложений. Поэтому актуальной явля-

ется задача теоретического исследования свойств мягких мод в этих материалах. Ето исследование заставляет также обратиться к тага'- йупдсилепталыюГг проблеме, как роль тепловнх. глуктуаця:'? в форулровашш макроскопического спектра систем'.-.;;

В отличие от традиционных материалов (кристаллов и гадкоотеЗ) в гвдшх кристаллах и магнетиках весьма сущест-венпуя роль в форшгоовшпщ спектра системы играэт даинновол-нов;:е флуктуации. Это связано с двумя факторами Во-первых, вблизи точек сразовнх переходов второго рода (или слабого первого рода) небгодшло учитывать роль флуктуация параметра порядка. Во-зтормх, симметрия многих жидкокристаллических и магнитных даз делает существенными длинноволновые динамические флуктуации, связаннее с годкстоуновскюли степенями свобода, да-е вдали от точек йазовнх переходов.

Ездкие кристаллы и глагнетики богаты фазовшли переходам второго рода или слабого первого рода, поэтогду естественно возникает вопрос об эпйектах, связанных с флуктуаци-я:лп параметра порядка. Роль этих эффектов хорошо изучена в статической ситуации. Вопрос о критической динамике также исследуется весыла давно. Однако достизения на этом пути гораздо скроглнее, что связало с большей слолсностьи и неуии-версалыюстью критических динашческих явлений.

Вдали от точек пазовых переходов больная роль ддинно-золновпх флуктуаций связана с такагли факторами, как одномерная или двумерная модуляции плотности (в скектиках и диско-тиках) или неабелев характер голдстоуновской переменкой (в магнетиках). Повышения роли длинноволновых йлуктуаций способствует двулергсй (или квазпдвуперннК) характер сас-теш. Подчеркнем, что роль длинноволновых флуктуация • гораздо отчетливее проявляется в динамических явлениях, чем в статических.

Таким образок возникает задача систематического исследования роли тепловых ддинноволновнх олуктуаций в форьа-роьании динамического спектра нетрадиционных материалов. Ре-гпениэ этой задачи п посвящены работы автора, явившиеся основой пастояще* диссертации.

Основные яашзааения исследования.■Результата настоящего . исследования получены с использованием диаграммной техники, специально приспособленной для вычисления длинноволновых динамических флуктуацпоготых эффектов. Эта диаграммная техника порождается эффективннм действием, построениям по макроскопическим динамическим уравнениям системы. Флуктуа-ционнне вклады в длинноволновые характеристики системы пред-тавляятся в виде ряда теории возмущений по нелинейностям в динамических уравнениях.

Как известно, реактивные (бездиссипативше) члены в динамических уравнепиях превосходят дисскпативше члени в меру малости гидродинамического парен,:етра. Это обстоятельство позволяет значительно упростить рассмотрение ряда задач, -.когда флуртуасиошше поправки к реактивным членам являются малыми, а поправки к циссапатившл членам превосходят затравочные значения. В этой случае диссипативные члеш оп-ределяэтея блуктуацияыи,. причем их явные выражения определяется реактивными члена*®. Tart, в динамике свободных арктических пленок диссипативные члены непосредственно определяются первыми диаграммами, в случае двумерной гидродинамической системы удается получить самосогласованное уравнение для диссипатившх членов, основанпое на суммировании лестнично»-го ряда диаграмм.

Важным предварительным шагом в решении многих задач является выделение сильно флуктуирущих переменных и получение .для этих переменных замкнутых (нелинейных) динамических уравнений. Дальнейшее исследование зависит от конкретного вида этих уравнений. Уравнение для сильно флуктуирующей переменной может оказаться нечувствительным к флуктуациям (компенсированные холестершси), могут появляться поправки только к диссипативннм членам (тайзенберговские ферромагнетики), может возникать логарифмическая ренормировка констант теории (смектини), наконец колет возникать динамический скейлинг (критическая динамика). Последние два случая следует исследовать в рампах реноргл-группового подхода и при помощи £ -разложения.

После исследования динамики сильно флуктуирующей переменной слезет рассмотреть связанные с Олуктуацияш этой величины вклада в длинноволновые уравнения для остальных гидродинамических переменных. Для этого следует учесть взаимодействие мекду критической модой и остальными дина-кическши модами оиотеш. Как правило, на этом пути удается в конечном итоге получить вполне обозримые выражения, содер-.тащке константы, характеризующие динамику сильно флуктуиру-гщей степеди свобода. Именно такие выражения является наиболее ингоорцативнк.щ с точки зрения эксперимента. В качестве примера упомянем сглуктуациокнце вклада в коэпхТщциентн вязкости. - .

Отметин, что из-за нетрздицяонности рассматриваешь фаз во многих случаях был неизвестен вид нелинейных динамических уравнений системы. Поэтому в этих случаях ваши шагом, предваряющим исследование йлуктуационных эффектов, явилось установление вида этой системы'уравнений.

Подитохивая результаты исследования динамических флуктуациошшх эффектов, могло сказать, что развитые длинноволновые флуктуации обусловливает »универсализации" динамических свойств системы, хотя и приводят к появлении неаиа-литических (по частоте, волновому вектору, критическому параметру) вкладов в динамические характеричтики системы..

Научная ценность а новизна. Оригинальные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах /1-27/, они могут бить кратко о.тюрмулироващщ следующим образом

- исследована критическая динамика орпентациоиннх переходов в гадких кристаллах, которая оказывается диссштативной; найдеш критические вклада в законы дисперсии звуковых'мод;

- показана ренормнруемость эффективного действия, описывающего ундуляцноннуп моду в смектиках, на основе этого найдено логарифмическое поведение коэффициента при аномальном вкладе оо со"1 з коэффициенте вязкости, исследованы особенности этого вклада в смектиках С;

- рассмотрены эффекты, связанные с флуктуацяягли направления намагниченности в твердая и явдкнх (гл1Дкокрксталляческих) Ферромагнетиках, в гшдкнх Ферромагнетиках они обусловливает

затухание os fy спиновт/х волн, в твердо* ¡ферромагнетиках эти- Флуктуации приводят к разжмго диффузионного пика, связанного с релаксацией модуля спкна;

- показано, что в теории слабой кристаллизации .динамика является чисто релаксационной, а поправки к соответствующему кинетическому коэффициенту малл, зтяислекн вклада в длшшо-волновне характеристики, связаннее с критической модой, наиболее сингулярным является вклад з коэ№ициентп вязкости;

- показана универсальность поведения кинетических коэффициентов для доушрних систем гидродинамического типа, найдено решение, соответствующее неравновесной ситуации;

-найден« ренорм-групповие уравнения для величин, описшзащих динамику неабелева параметра в двумерной системе, в частности получены законы ренормировки скорости спиновых волн в Ферромагнетиках .и антиперромагнетиках;

- показано, что затухание гидродинамических под свободно подвешенной скептической пленки обусловлено флуктуациямп, затухание сдвигового звука со Cj3 , затухание продольного звука.и скорость релаксации поперечной скопости

СО ;

- получены закоян дисперсии поверхостпих мод ленгтаровских пленок и мембран, показано, что в смектическоЗ пленке флуктуации ренорглпруит коэффициент вязкости, в мембране плукту-ации приводят к логарифгличе скигл поправкам к закону дисперсии поверхостной мода.

Апробация работп. Диссертация содержит результата 2? работ, опубликованных в СССР .и за рубежом. Работы докладывались на теоретических семшарах в KÏ5 АН СССР, ИФП АН СССР, ЙС АН СССР, Ж Ail СССР, ИНГ АН СССР, сессиях отделения ОФиА АЛ СССР, Всесоюзной конференции по избрашшм вопроса'.! твердого тела памяти й.М.Лифшица (Звенигород ISB4), Всесоюзных конференциях по яидкии кристаллам (Иваново, 1385, Чернигов 1908), Всесоюзной конференции по физике ленгмзров-ских пленок (Звенигород 1988), Международной конференции по жалким кристаллам (Фрайбург 1988), Международной конференции

по свойствам интерфазной границы (Турин 1988), девятой общей кояререкцкз отделения конденсированных сред Европейского физического общества (Шщца 1989). Достаточно широкий крут результатов, .воиедпих в диссертацию, нашел отражение в монографии /23/.

Основное результаты настоящей диссертации получены в Институте теоретической физики All СССР, частично в соавторстве с Е.В.Гуровичем, Е.й.Кацем, А.Р.Муратовым, А.И.Су-хоруковым, К.М.Халатниковш.

ОСНОВНОЕ СОДШШЕ , I. Диаграммная техника

Рассмотрение динамических флуктуационных эффектов в диссертации ведется на основе соответствующей диаграммной технпки. Впервые технику такого рода сформулировал Уайдц /28/, который интересовался проблемой турбулентности. В диссертации используется обобщенный вариант этой диаграммной техники, а'-юрмулированшй Сутсоруковым, Халатниковым и автором настоящей диссертация в работах /1,2/ (смотри также /23/). В этом виде диаграммная техника мо~ет быть использована для анализа низкочастотной динамики (гидродинамики) произвольной системы.

Ш будем обозначать набор низкочастотных (гидродинамических )переменннх через ." . Часть этих переменных связана с законами сохранения. (плотности массы, импульса, • энергии}, другая часть связана со спонтанным нарушением симметрии (директор в нематике, направление намагниченности подреглеток в антпферромагиетике я так далее). Все эти neper, меннне характеризуется медленной релаксацией в длинноволновом пределе.

Динамические уравнения для- переменных . % можно представить в следующем виде ■ ; ,'./■■'-

ъУп z ~ Fc - га6 %1С/т [ а)

Здесь F^ - реактивный (бездиссипатявннй) член, второе ana-

гаеше в правой части (I) имеет сшсл кинетического члена. В этом внра?,еяии $ - вариационная производная от

энергии % , а Габ в общем случае представляет собой дабференциалышй оператор, определяемы;* набором кинетических коэффициентов .

По уравнения (I) могло теперь построить элективное действие X , порогдагвдее упомянутук диагра.мгуя технику. Это эффективное действие представляется в следузтаем виде

X - ^ {Р< (пук - р. + гвв ) +

■ — п ч ^ (2)

+ С / рч г*е Р§ + ... }

Здесь ря - набор вспомогательных полей, Т~ - теше-ратура термостата. Многоточиен в (2) обозначен член с вспомогательными поляки антикогл^тируюпдащ (ферг.шевскями), этот член необходимо ввести в эффективное действие для нормировки Функции распределения /1,2/. Вид квадратичного то р<з слагаемого в (2) определяется галуктуационно- диссипационной теоремой, которая справедлива для случая теплового равновесия. В неравновесной ситуации это слагаемое ухе не будет выражаться через кинетические коэффициента.

В развиваемой диаграммной технике фигурирует парные корреляторы

6*8 , <% У Л (3)

Парный коррелятор р« в рассматриваемой технике

тождественно равен нулг, что является следствием (частичной) суперсимметрии эффективного действия (2) /5/. Эффективное действие (2) позволяет построить для корреляторов (3) ряд теории возмущений по нелинейностяк в динамическом уравнении (I).

Как следует из определения, величина 6 является паршш коррелятором наблпдаешх величин. Что касается коррелятора вчб , го оп определяет восприимчивость системы по отнопентз к внешней „силе", которую могло добавить в правую часть уравнения (I). Поэтому на рад

ограничений иакладнвает принцип причинности, в частности Фурье-кошюнента должна быть аналогична по чао-

тоте СО в верхней полуплоскости. Вследствие того, что С &

является обобщенной восприимчивостью, особенности в нигней полуплоскости определяют законы дисперсии собственных мод системы. Корреляторы и

о. 8 не являются независимыми, они (как парныЗ коррелятор и обобщенная восприимчивость) связаны между собой вследствие флуктуационно-диссяпациониоа теоремы, Поэтому для характеристики системы достаточно фактически задать коррелятор Соё

Затравочные значения для парных корреляторов (3) определяется квадратичной часты действия (2). Другими слова!®, эти .затравочные выражения определяются видом линеаризованных динамических уравнений системы..Затравочные вершины взаимодействия определяются членами более высокого по полям У<з , р$ порядка в X . Другими словами, эти вершинн определяется нелинейными членами в динамических уравнениях. Отметим сразу, что как правило главную роль иг- ■ раит вершины, связанные с реактивным, членом Ра. в уравнении (I). Дело в том, что реактивный член превосходит диссипативный в меру малости гидродинамического параметра, который определяется отношением молекулярного размера к длине волны, характерно* для рассматриваемой задачи.

Порождаемая эффективным действием (2) диаграммная техника является классическим пределом известной диаграммной техники реального времени, развитой Келдышем /29/ для вычисления кинетических характеристик произвольной квантовой. системы. В технике Келдаиа фигурирует матричные 2x2 функции Грина, что соответствует двойному набору полей. В низкочастотном пределе комбинации этих поле2 перходят в поля Уа , рА , фигурирующие в эффективном действии (2).

2. Критическая динамка.

Кал известно,тепловые флуктуации кграит больиуп роль вблизи точки фазового перехода второго рода. Сильно флуктуирующей величиной является при этот,; параметр порядна Vх . Его флуктуации смягчаатся по мере приближения к точке перехода, Поэтому при рассмотрении критической динамики ^ следует включить в число низкочастотных перемешшх. Естест-веншм способом анализа связанных с ^ динамических флуктуациошшх эффектов является поэтов развитая визе диаграммная техника.

Ориентационнне переходы. Ш рассмотрим довольно широкий класс оряеитациошшх фазовых перходов в гдщсих кристаллах. Среди известных переходов к этому классу относятся фазовые перехода одноосный нематик - двухосный пематик, смектин А -смектик В, смектик А - смектик С. Все эти фазовые перехода происходят вторым родом и шеит близкие характеристики. Кроме того, к упомянутому классу относится целый ряд гипотетических фазовых переходов, разрешенных скммет-ряйно.

Всем этим фазовы переходам соответствует двухкомпо- . нентный параметр порядка . в разложении энергии по

параметру порядка имеются только четные по ^ члены, что является следствием симметрии энергии относительно У-* - Ч' .

Таким образом статические свойства этого класса фазовых переходов могло описать при помощи стандартного разложения плотности энергии

£„• хМ-* <*>

Константы разложения & , V слабо зависят от близости к точке фазового перехода, величина А обращается в точке перехода в ноль.

Некоторыми особенностями, связанншлис характером параметра порядка, обладает фазовый переход смектик А- смектик С. ' Статические особенности этого перехода исследовались в работах

/15,16/, где было показало, что этот переход обладает широкой областью неуниверсального критического поведения.

Помимо ¥ , низкочастотными переменными жидкого кристалла являотся плотность импульса J и другие гидродинамические переменные г среди которых фигурируют плотность массы f , удельная энтропия Сз , а для сыектиков такхе переменная U , ■ где Ц - смещение

смектических слоев вдоль оси % (з равновесии перпендикулярной галактическим слоям).Нике ш обозначаем через

by , Уе , Уч значеши соответствующих величин, от-считаиннх от их рановесннх значений в критической точке. • Таким образом вблизи критической точки переменные % являются малыми величинами и по ним можно разломать энергию систеш. Поскольку величины Уа слабо флукту-прудт, достаточно ограничиться квадратичным членом разложения. Для плотности энергии ш будем обозначать этот член следующим образом

Е* - I ъ foi Vt (5)

Во избегание недоразумений отметил, что (5) является членом . разложения по Ув комбинации £ - Tf6 -f^f »

где ' и уМ. температура и хишотенциал термостата. Величину в (5) uor.no назвать матрице?! упругих

модулей систеш.

По сколы™ величина А в (4) обращается в ноль в точке фазового перехода, ее можно представить в виде ли-, цепной комбинации Уч вблизи этой точки. Ма запишем сот-, ветствуицее внрагение в виде '" ' - ••"'

л » ' ' (6)

где - набор констант. . ■

Динамические уравнения для % , ^ имепт вид (I). Еездиссипативпке члены в этих уравнениях могло записать при помощи скобок Пуассона

- ГО -

где 'РС - энергия. Для рассматриваемой нами системы отличны от гуля следующие скобки Пуассона

(ji Ы, Чг (Ъ)} = - Р; У ЫЪ-Ь) *■ V* Ъ) & и

)

Кроме того, отлична от нуля скобка {J^ J | , одназсо она не понадобится нам в дальнейшем. Используя (8), ш можем теперь построить бездиссипативные члены (7) в соответствии с общими правилами.

Уравнение (бездиссипативное) для параметра порядка оказывается в Ьоответствии с (0) чисто переносным. Добавляя в это уравнение кинетический член, находим

Ъ^/м » - V?*- Г (9Г

Здесь I4 - кинетический коэффициент.

Используя линеаризованные динамические уравнения, можно показать, что (с учетом вязкостных членов) законы дисперсии звуковых мод и мод, связанных с релаксацией поперечных компонент (среднемассовон) скорости,определяются следующим дисперсионным уравнением

М - (А (Ьь Ьк* * ¡6) к; ке)- О (10)

Здесь - частота, £ -'волновой вектор, матрица

6 введена в (5), величины введены в (8),

^;к £ - тензор вязкости.

Дина?.пн;а параметра порядка. Для исследования флукту- , авдошт-эффектов, связанных с релаксацией парше тра порядка, мы должны использовать эффективное действие (2). При этом удобно эффективно устранить из рассмотрения слабо флуктуирующие степени свободы, проинтегрировав по соответствующим полям , рц фушщюз распределения «кр (11.)

В результате получится выражение гхр^г ) , где

1ц4 зависит только от параметра порядка и соответ-

ствующего вспомогательного поля р

Сффектн взаимодействия слабо флуктуирущих полей оказываются несущественными. Другими словам, в действии 1 достаточно сохранить квадратичные (и лииейше) по полям У« , члены. Послеэтого упомянутое интегрирование по , рл становится гауссовтл и выполняется явно, В результате этого интегоитхзвания мы находим

1щ-\1ря * г**1** *''ГТР1)Лл 'да>

Здесь ЕьЦ отличается от (4) заменой и'- и

где

и -- и1- ± Ъа $оав (12)

Такта.! образом динамика параметра порядка оказывается чисто релаксационной. Такую динамику па основе такой .т.е диаграммой техники (но без использования понятия эффективного действия) исследовали Гальперин и Хоенберг /30/. Их результаты означает реформируемость действия (II). Из их же работ могно извлечь закон ренормировка кинетического коэффициента Г , пайдешшй в ранках € - разложения. Таким образом структура динашческях корреляторов полей

% , рс, может считаться известной. Они подчиняется, гипотезе динамического подобия, для характеристики звисимос-ти корреляторов от времезш (или частоты) следует ввести да- : каюте С1СП.Й индекс 2 .

Теперь еле,дует изучить структуру парного коррелятора ^ У* Р* У (определяющего законы дисперсии звуковых мод) с учетом флуктуацкй параметра порядка. Для этого следует учесть, вклада в этот коррелятор, содерлацпе промежуточные ^^ .р^ и *( ^ ^ корреляторы и обусловленные вершинами взаимодействия параметра порядка и слабо флуктуирующих перменных. Суммирование соответствующих диаграмм мо-

лет бить осуществлено в явном виде /20/, в результате чего, получается- довольно громоздкое выражение для

Дисперсионное уравнение для звуковых мод определяется полояением полюсов (Фурье-компоненты) этого коррелятора. Анализ показывает, что положение этих полисов определяется тем же уравнением (10), что и в линейном случае, с точностью до замени , где

к) = $с<е + Г'^вйсЗс ¿¡йо14 аз)

Здесь - Фурье-компонента коррелятора

Приведенное вкраление позволяет проанализировать дисперсию звуковых мод во всей частотной области. Приведем результаты для частот, много меньших времени обратного релаксации параметра порядка. В этом случае нулевой член разложения по СО , /С в правой части (13), определяющий ренормировку скоростей звука, ведет себя Со ¡~- ~]~с .

где - индекс теплоемкости. Первый член разложения

Ц по Со , определявши": ренормировку коэффициентов вязкости, ведет себя ^ ( ' I ^ ^^ , где , 2 - динамический критический индево. Таким образом наиболее заметным флуктуационнш эффектом является ренормировка коэффициентов вязкости.

Отметим, что явное выражение для коррелятора

^ Чо. рв/* позволяет проанализировать восприимчивость системы по отношению к внешней силе и вне массовой поверхности.. .

Более подробное изложение приведенных выше результа- . тов (и с учетом дополнительных особенностей фазового перехода смектяк А - смектик С) могло найти в работе /20/. ,

Динамика холестерина вблизи линии компенсации. Мц включаем.рассмотрение этой динамики з раздел о критической .. динамике, так так результатом исследования является установ-

ление сингулярной зависимости динамических характеристик системы от близости к линии компенсации /22/. Подчеркнем, однако, что при этом действует механизм, существенно отличный от флуктуации параметра порядка. . .

Как известно, холестерина состоят.из киралышх молекул, не инвариантных относительно инверсии. Это приводит к тому, что в иематическоа фазе директор Я оказывается закрученным в спираль. Шаг этой спирали зависит от внешних условий к мог.от в отдельных точках (для двумерной диаграммы . на особо": линии) обращаться в бесконечность. Другим словами, в этой особой точке основное состояние соответствует, как и в нематике, однородному пространственному распределению директора. Обращения шага спирали в бесконечность обычно добиваются, смешивая в соответствующей пропорция вещества с различной кирадьностьв. Поэтому упомянутая линия обычно называется линией компенсации.

Вблизи линии компенсации оказываются весьма сильными динамические флуктуадиошше эффекты. Основные флуктуациошше -вклада связаны с директорской модой, которая в нематике носит диффузионный характер, В холестериках соответствующая мода существует на масштабах, не превосходящих шага спирали. Вблизи линии компенсации эта область масштабов критически зависит от близости к точке компенсации. . ■ '

Необычность компенсированного холестерина по сравнению с обычным нематиком заключается в наличии в давлении члена

(ПхЛП-^о) ' (14)

Присутствие этого члена означает наличие сильной вершины.. :; взаимодействия директорской и звуковой мод. Главный флук- -туациотшм эффектом в коипенсироватюм холестерине является ■ фдуктуационниГ: вклад в в коэффициенты вязкости, обусловленный наличием этой вершины взаимодействия. Этот вклад может быть изображён диаграммой, представленной на рисунке I, Вер-пина (тройная) на этой диаграмме поро.адается членом (14), а пунктирные линия означают коррелятор Е П & П^

Вычисление это!', диаграмма приводит к следующим результатам _ для.йлуктуационного вклада /^е в коэффициента вязкости, определяющие затухание звуковых волн. 3 высокочастотной области

^ ~ (15)

Здесь У[ - характерное значение вязкости, определяющее вид закона дисперсии директорской моды

со ~ - ¿/¿97^

где /С - величина порядка модулей Франка. В низкочастотной области

^ (1б)

где 2-ТГ ^ 1 - шаг спирали. Вклад (16) расходится

с^з ¡Т - Т# | , где Т* - тешература компенсации. Такта образом именно флунтуацпошпй вклад будет, определять затухание авуковшс мод вблизи точки компенсации.

Отметим, что флуктуацконные вклады в коо-ТхТяциентн вязкости, определяющие закон дисперсия директорской мода, отсутсвуат. 'Это делает самосогласованной представленную картину.

3. Динамические йлуктуацпонше эффекты в смектпках.

Тепловые Флуктуации игралт весьма существенную роль в г.'лкроскопическоз! динамике сглектпков. Впервые на это обратили внимание Мазенко, Рамасвами и Тонер /32/. Последовательная теория, учитывающая флуктуациошые эффекты, была построена Кацем и автором настоящей диссертации /3,4/. В разках этой теории удалось просуммировать главные ряди теории возмущений, члены которых содержат как степенные,. так и лога-ри'>шческие расходимости.

Флуктуации смещения смектических слоев. Именно эта величина является в смектиках сильно флуктуирующей, поэтому следует рассмотреть связаннее с деформацией смектических слоев флуктуацпошше эффекты. Уг.е в статике эти флуктуации приводят к логарифмической ренормировке' смектических модулей упругости 8 » /32/. При этом инвариантный »заряд" пацает с ростом масштаба, то есть ш имеем дело с нуль-зарядной ситуацией.

Гораздо более силыше эффекты шеат место в динамике. Главные динамические флуктуациоиные вклады связаны при этом с таге называемой ундуляционкой модой, существующей в узкой области волновых векторов, имешдах малутэ составляющую в направлении, перпендикулярном к смектическим слоят,!. Эта мода описывает релаксации смектических слоев и носит диффузионный характер.

Схема исследования заключается в следующем. По нелинейным динамическим уравнениям смектика смектика строится явное выражение для эффективного действия (2). Затем следует исключить все переменные, кроме смектической переменной

где и - смещение смектических слоев вдоль оси ^ , в равновесии перпендикуляиой смсктическим слоям. Эта процедура исключения аналогична процедуре исклнчения слабо флуктуирующих переменных в критической динамике (смотри предыдущий раздел), поэтому мы не будем описывать здесь детали этой процедуры. Б результате исключения получается эффективное действие, которое в динамике описывает самодействие смектической степени свободы и которое должно быть исследо-' вано на предает флуктуационных эффектов.

Явное вцра-хеиие для упомянутого эффективного действия имеет следующий вид

Здесь р - соответсвузщее к/ вспомогательное поле, величина . ^ . вырагается через соответствующий коэффициент вязкости. То, что один и тот яе коэффициент фигурирует в двух членах в (17), является отражением флуктуа-циогато-диссипациоиной теоремы. В действии (17) сохранены глазные члены (третьего и четвертого порядка по полям), описывающие взаимодсйсвие флуктуации. Отметим явную вращательную инзариалтность эффективного действия (17).

Анализ соотвтсвугндах диаграмм показывает, что основные флуктуационнне поправки к фигурирующим в (17) величина:.!

/Ь- , К , носят логарифмический характер. Более

того, дейстзие (17) оказывается ренормируемим ц мояет быть вследствие этого исследовано репорм-группозими методами. Одпопетлевые ренорм-групповые уравнения для «зарядов"

в , ^ , ^ бпли найдены в работе /3/. При этом инвариантным ..зарядом" оказывается, как и в статике, комбинация ^

Ш¥ ^р7*- (18)

Уравнения ренорм-группы для & , воспоизводят ста-

тический предел /23/, уравнение ренорц-группы для ^ :

О', П&^г-а У . йогк.3

описывает ренормировку коэффициента вязкости, опредляпщего закон дисперсии увдуляциошой моды..

Влияние флуктуаций на звуковые моды. Для анализа флуктуационного вклада, связанного с ундуляционной модой, необходимо использовать полное действие (2), которое описывает в частности взаимодействие ундуляциошгой моды с другими низкочастотными модами. Главными оказывается тройные верстаны взаимодействия, происходящие из нелинейных членов в реактивном тензоре напряжений. Другими словами, наиболее су-

щественши оказывается взаимодействие ундуляционной иода со звуковыми.

Анализ вклада в закона дисперсии звуковых мод уг.е в паиппззгем попядке теории возмущений приводят к весьма нетривиальным результатам. Основшпл эффектом-оказывается расходимость ¿o иО~' так называемых об»емких коэффициентов вязкости. Теория позволяет проанализировать я высшие поправки теории возмущений к этш коэффициентам вязкости, расходящиеся оо со ~' / 4, 23/.

В результате этого суммирования получается выражение, отличающееоя от выражения для низшей поправки заменой фигурирующих в нем смектичеекпх модулой на их реноршфоваяакв *?ia-чекия, Зтот ответ представляется вполне естественным, если вспомнить ренормяруемость эффективного действия (17). Столь г;.е естественным представляется ответ для скоростей распространения первого и второго звука в смектиках: они связаны с решрмировапнкми модулями упругости, теми г.е соотношениями, что и в линейном яриблкпешш с затравочными модулями.

Сказанное выне означает, что аномальное затухание перзого и второго звука в смектиках (связанное с флуктуаци-ями) превосходит затравочное, причем отношение этого аномального затухания к частоте является логарифмической функцией, то есть слабо зависит от частоты.

Приведенный выше анализ относился непосредственно к простейиему типу смектиков - смектикам А. Аналогичный анализ, основанны:; на динамических уравнениях других типов смектиков /10,11/ показывает, что в смектиках В (гексатиках) флуктуадкошше эффекты описываются буквально также, как а в смектиках А. Отот результат отнюдь не является очевидным.,и ;• связан с довольно высокой (гексагональной) симметрией сг,тактика 3.

Ситуация в смектяке С оказывается более сложной /23/ из-за зацепления ундуляционной моды за оркентационную (в смектнке А последняя отсутствует). Это значительно утромох-дает рассмотрение и приводит к тому, что ответы перстают быть универсальными. Тем не менее качественно картина ока- 18 -

зывается той ке, что и для смектиков А: параметры закона дисперсия ундуляционной мода ренормнруигся логарифмически, а об'еынне коэффициенты вязкости расходятся со со"-1 с точности) до логарифмических млоштелей.

Холестерин. Как известно, в холестерине директор закручен в спираль. На масштабах, меньших шага спирали, свойства холестерина совпадает со свойствами нематика. На масштабах, больших пата спирали, его свойства (как и свойства лпбой слоистой системы) совпадает со свойствами смектика. Представляет интерес выразить параметры огого длинноволнового бмектика через параметры коротковолнового нематика. Нас будут интересовать как статические, так и динамические характеристики.

Эту задачу позволяет решить изложенная выше диаграммная техника. Общая процедура заключается в том, чтобн построить полное действие (2) для холестерина, а затем эффективно исклпчять из него коротковолновые (то есть с волновыми вектора™ больше или порядка обратного шага спирали) степени свободы. Другими словами, необходимо найти длинноволновое действие Тес „с в соответствии с определением

Здесь тильдой обозначены коротковолновые компоненты.

В приведенном вше интеграле интегрирование мояпо выполнить в гауссовом приближении, так как среди термодинамических переглешгнх холестерина отсутствует сильно флуктуирующие. Тем не менее это интегрирование не является тривиальным из-за наличия перекрестных членов, содержащих как длинноволновые, так и коротковолновые переменные. Появление этих перекрестных членов обусловлено наличием' спирали (то есть наличием неоднородности), что приводит к зацеплению , длинноволновых переменных за компоненты с волновыми векторами, кратнтгми обратному иагу спирали.

Последовательная процедура исключения коротковолновик степенен свобода холестерина била проделана в работе /17/ (смотри таж:е /23/). Опуская детали отой довольно громоздко;'; процедуры, мы приведем только результаты, которые могло извлечь из явного выраг.е!ше доя длинноволнового действия Хесгь^ • Оказывается, что это действие действительно описывает динамику смектика, параметры которого выра-.талтся через затравочные (коротковолновые) параметры холес-терика.

Выражения для модулей этого длинноволнового смектика имеют следующий вид

В-/49/ ; К - Уз Къ

Здесь /¿д, , К> ъ - коротковолновые модули Франка,

¿7 Су0 ^ - шаг спирали. Что касается таких динамических характеристик .длинноволнового смектика, как коэффициенты вязкости, то они являются линейными комбинация:.«! коротковолновых коэффициентов вязкости (как обычной, так и вращательной) и имеют, следовательно тот ле порядок величины. Таким образом коэффициенты вязкости в отличие от модуля

Р> не содержат глаюсти, связанной со слабостью нарушения центра инверсии в реальных холестериках (эта слабость выражается в малости атомных размеров по сравнению с шагом спирали). Отметим, что по этому параметру в обсуддаемом смектике аномально большим является коэффициент просачивания.

4. Трехмерные ферромагнетики

Весьма интересными представляются динамические характеристики магшшптх материалов, в первую очередьферромаг-нетиков. Длинноволновой переменной, описиваацей длинноволновое состояние Ферромагнетика, является плотность спина .

3 . Динамическим уравнением для этой переменной является уравнение Лшщау-Лифшица, в которое мы добавим пере-

носный член, а также кинетически:" член, описывающий диссипатив-нне процессы в длинноволновом пределе.

Линейная динамика оказывается существенно различно;": для мо,дуля спина / 5 / и единичного зектора /71 в направлении Б • в обменном приближении уравнение .для

имеет диффузионный характер, уравнение .для описы-

вает слабозатухаадие спиновые волны. Действительная часть частоты последних со ^ ( С^. - волновой вектор),

а затухание спиновых волн в линейном приближении оказывается со 4

Аномально слабое затухание спиновых волн приводит к тому, что узе в трехмерном случае станоятся существенными динамические фдуктуацлошше эффекты, связанные со сниновыли волнами. Другими словами, необходимо исследовать динамические эффекта, связанше с флуктуацпями . Ситуация оказывается существенно разной для кристаллических магнетиков и жидких (или жидкокристаллических) ферромагнетиков.

Крксталлические феюромагнетпки. Эти фазы отличается тем, что при исследовании флуктуаций кристалли-

ческую решетку могло считать неподвижной, что связано с ее упругостью. Поэтому при исследовании флуктуаций Б можно сразу использовать эффективное действие (2), в котором Фигурируют только спиновые степени свобода. Это эффективное действие имеет следующий вид .

1= ]е- А р +иуТт ^-рА

Здесь Р - вспомогательное поле, сопряженное Б , . упругая константа ~)\ определяет скорость спиновых воли,

^ - кинетический коэффициент, 5о - равновесное

значение модуля спила. Приведенное выражение справедливо в обменном приближении.

Теперь необходимо разделить степени свободы, связанные

с модулем спина I 51 и единичным вектором М , так как они играпт совершенно разиуз роль во флуктуационных эффектах. Сле.лует учитывать только эффекты, связанные с флуктуация^

УУ\ /15/. Мм кратко сформулируем результаты, отсылая 1 интересующегося деталями читателя к работе /13/, где бнло проанализировано выписанное вше эффективное действие.

Влияние флуктуаций ЛТ" на спектр спиновых воли сводится к появлении дважды логарифмического вклада в кинетический коэффициент ^ , который определяет коэффициент при Ч в затухании спиновых волн. Флуктуации

не затрагивает скорости спиновых волн. Последнее впол-•ие естественно, так как скорость этих волн определяется тер-модина'.шческим коэффициентом /\ , а в термодинамике

флуктуации У^ но играет никакой роли.

Гораздо более сильное влияние флуктуации .ока-ззывадт на характер моды, связанной с релаксацией модуля спина. С учетом флуктуациоиного вхмада коррелятор /¿¡)>

становится в Оурье-предотавлоши фикцией вида

г' да)

Другими словами, флуктуации размывают диффузионный

полис в этом корреляторе.

Mor.no такгсе рассмотреть взаимодействие спиновых волн со звуковыми. Соответствуэщие члеш взаимодействия в эффективном действии свякггк с деформационной зависимостью параметров, описывающих закон дисперсии спиновых волн и с упомяназпгамся переносным членом в уравнении для- ПЪ Анализ соответствующих флуктуацкошшх вкладов показывает, что флуктуации ¡71- обусловливает вклад ¿о Су7^ в

затухание звуковых волн. Этот вклад превосходит затравочное затухание С] ^ в .длинноволновом пределе.

Приведенные выше результаты относились к обменной области. При учете релятивнеткпх членов в спектре спиновых поли появляется щель. Наличие этой щели существенно сказы-

вается иа низкочастотных свойствах плуктуациопшх вкладов, играя роль обрезки перечисленных инфракрасных сингулярнос-тей.

Жидкие и гздкокопсгаллпчсснпе <'ергюмагнетики. Эти фазы отличаются от гсристалличссгагх ферромагнетиков наличием мод диффузионного характера, связанных с релаксацией поперечных компонент скорости (эта релаксация описывается уравнением типа Навье-Стокса). Взаимодействие спиновых степеней свобода с этими релаксациошшми модагли обусловливает большой флуктуациошшй вклад в затухание спиновых волн /25/. Это существенно меняет по сравнении с кристаллическими ферромагнетиками характер флуктуациопных эффектов, связанных с вектором ТЬ

С использованием сформулированной вше диаграммной техники мо.-зю проанализировать основной вклад в затухание спиновых волн, который определяется одпопетлевой диаграммой, вершины которой определяются переносным членом и на которой фигурирует две линии, соответствующие корреляторам ЛЬ ' и среднемассовой скорости V . В обменном приближении этот вклад в затухание веде? себя с^з ,• Таким

образом в длинноволновом пределе это флуктуационное затухание превосходит затравочное, которое 4

Посколысу упомянутая диаграмма не содержит никакой специальной малости, мы будем считать, что именно флуктуациошшй вклад в затухшие спиновых волн является основным.

Большое по сравнении с кристаллическими ферромагпе-тпнамизатухание спиновых волн приводит к относительному подавления флуктуациошшх эффектов в гддких (и яидкокрпсталли-ческйх) ферромагнетиках. Вследствие закона Ц для затухания этих воли флуктуации ¡V/ будут приводить только к логарифмическим поправкам к коэффициентам вязкости. Поправки к закону дисперсии диффузионной моды, связанной с флуктуациями модуля спина / 5 / , будут теперь малы в длинноволновом пределе. Таким образом в ящких и хпдкокряс-таллических ферромагнетиках доллен наблюдаться связанный с релаксацией модуля спина даффузиошшй пик в сечении непруго-го рассеяния.

Все сказанное выпе относилось к обменное приближешш. В динамике жидкокристаллических Ферромагнетиков существенную роль играпт релятивисткие члени, определяющие низкочастотный закон дисперсии спиновнх волн. Отметки, что в нематичоской фазе осцилляции Ж/ за счет релятивистких членов зацепляется за директорскую моду. В результате спектр низкочастот- -кнх колебаний директора . /I- и магнитного вектора № отзывается довольно сложным /25/. Роль флуктуации при этом сводится к определению затухания об*единенных спипово-директорских колебаний.

5. Слабая кристаллизация

Как отметил Еразовский /33/, весьма важной является роль флуктуаций кристаллизационного параметра р' (глубины модуляции плотности) в теории слабо:", кристаллизации. Это связано с большим фазовым об'емом таких флуктуаций, локализованных вблизи сферы в обратном пространстве. Динамические эффекты, связанные с флуктуация:.® ^ , рассматривались в работах /19,27/.

Флуктуации параметра кристаллизации. Парный коррелятор параметра ^ в теории слабо': кристаллизации жидкости имеет следующую структуру

т (Л. ¿((¡-(¡.Г)]4 т

где ^с определяет значение долнового вектора, вблизи -которого происходит смягчение р . Другими слова:.®, ^ определяет радиус упомянутой сфери в обратном пространстве. При кристаллизации происходит Еозе-кондеисация компонент параметра у с волновыми векторами, по модулю близкими к ^с (и кратными Ср о ). Таким образом значение О0 непосредственно связано с периодом кристалла, возникающего при конденсации ^

Характеристикой мягкости § является малая величина щели ■ в (20). Эта же малость является критерием

применимости теории слабой кристаллизации. Щель .Л 'облапает ешпуляршл.! поведением, уменьшаясь вблизи точки фазового перехода (но не обращаясь вблизи этой точки в ноль). Сам фазовый переход (то есть кристаллизация) происходит первнм родом, этот переход близок к непрерывному в меру малости Д' .

Из-за мягкости _р его динамика является относитель^-но низкочастотной вблизи точки фазового перехода. Поэтому при исследовании его окрестности £ следует вгагачить в число термодинамических переменных системы и сформулировать с учетом . £ систему низкочастотных динамических уравнений. Анализ этой-системы приводит к выводу, что в главном приближении динамика ? ' оказывается чисто релаксационной!, то есть описывается уравнением вида

где ^ - энергия, а Г кинетический коэффициент.

Используя это уравнение, можно построить эффективное действие (2) для кристаллизационной степени свобода и' проанализировать с его помощью динамические флуктуационнке эффекты. Нас будет интересовать ренормировка закона дисперсии связанной с релаксацией £ мода, которая определяется соответствующими собственно-энергетическими диаграммами. При этом оказывается, что, как и в статике, главным является од-нопетлевой вклад в собственно-энергетическую функцию. Это означает, что температурное поведение щели Л описывается тем яе уравнением, что и в статике, а к кинетическому коэффициенту Г поправки в главном приближении отсутствуют.

.. В соответствии с эти;.! парный коррелятор имеет

следующий вид _ _

поведение и Г обсугдаюсь выше. Коррелятор (21) входит в такие характеристики системы, как неупругое сечение нейтронного рассеяния на ней.

Поведение длинноволновых величин. Параметр J яв~ ляется коротковолновш, однако его флуктуации оказываются на длинноволновых характеристиках системы. Для исследования этого влияния необходимо включить в рассмотрение взаимодействие с длинноволновыми степенями свободы. Это взаимодействие связано с зависимостью затравочной тешературы фазового перехода от длинноволновых параметров. В динамике ^ . следует также учитывать переносный член в уразнешш .для j> . Отметит.!, что в рагдеах рассматриваемой нами диаграммной техники то и другое порождает тройше верпины взаимодействия с длинноволновыми степеиыш .свободы. Приведем результаты анализа флуктуациошщх вкладов в ' макроскопические величшш .для слабой кристаллизации яидкоо-

ти. Наиболее сильным эффектом оказывается аномальный З1слад - %

оо Д в коэффициент второй вязкости. Аломачьное по-

ведение этого коэффициента оказывается гораздо более сингулярным, чем.поведеиие кооффициента первой вязкости или таких величин, как сжимаемость или теплоемкость. Вклада в эти велины ведут себя Д~ ^

Особый'интерес представляет собой исследование слабой кристаллизации в жидких кристаллах. Дело в том, что неизвестны жидкости, кристаллизующиеся слабым первым родом, в то время как слабая кристаллизация в жидкокристаллических фазах является обычным явлением. Особенности жидких щжстал-лов сказываются уже в статике. Так, урапение на щель А душ различных фазовых переходов в жидкокристаллических фазах будет отлично от этого уравнения для кристаллизации жидкости. Мы приведем здесь результаты исследования динамики слабой кристаллизации смектиков /19,27/.

IIa диаграммном языке исследование слабой кристаллизации сментика не отличается от исследования слабой кристаллизации жидкости. Остается в силе и вывод о том, что наиболее сингулярный вклад флуктуации ^ вносят в коэффициенты вязкости,, определяющие затухшие звука. Зтогвклад

_ а

ведет себя оо . При этом г7\луктуацпо:ишй зклад в •

другие коэффициенты вязкости, а такте э теплоемкость пли сстиаешсть менее слигуляри и ведут себя со ^

В заключение этого раздела отмстим, что в отличие от обычных кристаллов в кристаллах, возникающих л результате слабо:" кристаллизации, долмен бить заветен эффект просачивания (то есть эффект отличия среднемассовой скорости от скорости смещения крпстачдичсской реиетки). В обычном кристалле, такой эффект подавлен из-за больно:': энергии активации вакансии, з слабом кристалле эта энергия невелика. Анализ дшга'.ачеехого уравнения для f приводит к выводу, что коэффициент просачивания не. обладает сингулярным поведением вблизи точки слабой крпсталллзацки.

6. Двумерные гидродинамиче ские системы

Как известно, роль флуктуаций (в той числе тепловых) растет с погакеппем размерности прострацства. Далее m рассматриваем особенности флуктуационшк эффектов в двумерных системах. В настоящем разделе мл исследуем даумернуэ ;.:ид-кость.и другие системы подобного типа. Более специфические двумерные системы будут рассмотрены в последующих разделах.

Предметом исследования в настоящем разделе являются двумерные классическая гддкость, сверхтекучая мидкость, гек-сатик и то!.!у подобные системы. Все они характеризуются тем, что среда термодинамических переменных этих систем стсутс-вуют величиш, преобразующиеся по представлению ыеабелевой группы. Кроме того, в настоящем разделе эти системы будут рассматриваться, как чисто двумерный,то есть будем считать, что координате термодппащческл;: величин ле:::ат на некоторой полкостл. Специфические для пленок (форт которых мокот флуктуировать) эффекты будут рассмотрены в следующих разделах.

Для перчисленпгос систем длинноволновые дкпампчеаске уравнения имеют единообразда'.-; характер, являясь либо законами сохранения, либо уравнениями типа уравнения для сверхтекучей скорости. Другими словами, празыачаста этих зависни." имеют вид дивергенций ила гратпеятов. Лрл этом реактивные члcm:

в (I) являатя дивергенциями функций от плотностей сохраняющихся величин и исверхтекучих" скоростей. Другими словами, они могут быть предстаБлеш в виде

- К ( Уе )

Некоторого уточнения это утвергдение требует доя двумерного нег.татнка.

Теперь следует проанализировать эффективное действие (2). Анализ показывает /5/, что основными верпинамивзашо-дейстапя длинноволновых мод является кубические верашш, порогдаеше реактивншш членами з динамических уравнениях. Прпведопиач выше структура реактивных членов означает, что за счет тройных вершин в однопетлевом приближении возникает логарифмические поправки к кинетическим коэффициентам (вязкости, теплопроводности и так далее). Таким образом в длинноволновом пределе поправки к кинетическим коэффициентам превосходят затравочные значения.

Для исследования длинноволнового поведения йлуктуаци-окшх вкладов в кинетические коэффициенты следует просуши-ровать главны"- ряд диаграмм, который приводит к замкнутому уравнения для кинетических коэффициентов. Решение этого уравнения показывает, что в длинноволновом пределе кинетические коэффициенты ведут себя со £ А/ц ) '/л , при этом значения кинетических коэффициентов определяются только величиной тройных реактивных вершин.. Этот вывод обобщает результаты Форстера с соавторами /34/ и Андреева /35/. В первой из этих работ рассматриваюсь уравнение Павье-Стокса, а во второй классическая двумерная ^ жидкость несколько другим методом.

Несколько слов о негдатяке. В двумерном случае положение директора характеризуется одним углом, градиент которого и является упоминавшейся «сверхтекучей" скоростью. Тен-аор напряжений в двумерном нематике является функцией ке только этой «сверхтекучей"скорости, ко и зависит от косинуса

упомянутого угла, что связано с анизотороппей градиентной энергии. Эта зависимость сказывается, однако, только на вершинах четвертого порядка и зыпе. Анализ соответствующего вклада в кинетические коэффициенты показывает, что он мал по сравнешга с рассмотренным вше (при этом следует иметь в виду, что коэффициент при упомянутом анизотропном градиентном члене. степешгш образом «вымирает в длинноволновом пределе/ЗС/). Таким образом приведенные выпе результаты справедливы и для двумерного пематика.

Представляет яатопес исследование длинноволнового поведения динамических параметров системы в отсутствие теплового равновесия. Это означает, что в таком состоянии нарушена фяуктуацпошю-дассипацпонная теорема. Другими словаки, будет отсутствовать связь между двумя последними членами в эффективном действии (2).

;,!ы будем считать, что (как и в задаче о турбулентности) тепловое разнозесие парукено только для длинноволновых флуктуаций. В это:.; случае реактивная часть .эффективного • действия (2) остается в неприкосновенности. Что же касается диссипативной части этого действия (в которую входят затравочные величины), то при исследовании длинноволновых свойств системы им вообще можно пренебречь (по тем же причинам, как и внее).

Используя те же соображения, что и в равновесном . случае, мы можем получить самосогласованное уравнение на кинетические коэффициенты двумерной систеш, которые являются логарифмическими функциями. Это уравнение помимо равновесного реиекня обладает весьма широки:.! набором решений. Исследование асимптотического поведения решений этого уравнения показывает, что,в длинноволновом пределе (в неравновесной ситуации) книеТлче-скяе коэффициенты расходятся следующим образом /6/

Эта расходимость является более сильной, чем в равновесии.

(22)

7. Двумерные магнетики

Нетривиальным поведением отличаются двумерные иагпетикз и антиферромагнетикп. Дшшюволповне свойства этих систем характеризуется пространответим распределением единичного вектора т . 3 случае ферромагнетиков это каправ-ленио намагниченности, в случае шхтиферромагнетиков - направление намагниченности в подрепетках.

Связанную с неоднородностью Г)1 энергию тага представить в следующем виде -

Ц Ут)* (23)

Здесь - безразмерная константа взаимодействия. Тепло-

вые флуктуации. /71 приводят к логарифмической ренормировке О , причем, как показал Поляков /37/, тлеет место случай асимптотической свобода. Другими словам!, константа взаимодействия растет с ростом масштаба и в конце концов в инфракрасно"; области становится неприменимой теория возтлу- . щений. Пиле мн будем считать константу взаимодействия малой.

Двумерные ферромагнетики. В работе /8/ автора диссертации исследовалась ренормировка коэффициента А в законе ' дисперсии СО - - с А ^ спиновых волн. Для

этого модно использовать эффективное действие (2) , построенного по динамическому уравнению для ПЪ . Реактивная часть этого уравнения получается из уравнения Дандау-Дифница, к ней довавляется модельный диссипативный член, приводящий к закону <7 ^ для затухающ спиновых волн.

Удобство такого члена заключается в том, что получающееся действие оказывается ренормируешы. Устремляя соответствующий кинетический коэффициент к нулю, мы получаем замкнутое уравнение для Л , которое по-видимому у*е не зависит от конкретного вида кинетического члена и имеет смысл закона ренормировки действительной части закона дисперсии спиновых волн..

Исследование упомянутого эффективного действия пока-

знвает, что поправки к А и модедьззсзлу зазззетическому^коэф-' фициенту 6 в однопетлевом приближении отсутствует. В двухпетлевозд приближении получается реззорз.ьгрупповые уравнения для А , ß , которые при ß О дает

И ■ - (Ц'Г

Здесь А - ультрафиолетовая обрезка. Таким образом с ростом масштаба происходит смягченна еппповнх волн.

• В обратном предельном случае А О мы получаем закон ренормировка кэ^ушшезхта ß в законе дисперсии 6> = - i ^ , относящемся к связанной с релаксацией m моде в чисто релаксационной динамике, оппсыва-ищейся уравпезнзем зззда

ътМл - r- M

Подобный закон ренормировки зломпо обобщить на широкий■класс релаксациозгшх систем, дзззгамнка которых описывается (нелинейным) ураБззезшем дззфйузззогзного типа (то есть имеющего приведенный вшле вззд) дяя неабелева параметра, парметрнзузощего. некоторую простую группу Ли. Явные результаты для групп £>0 (/V) , SU(A') нагло найти в работе /7/, где уравнения репорм-груплы для & найдено в дзухпетлевом приближении. Отметим, что однопетлевке поправки к ß отсутствует, а дзухпетлевые прзгаодят к тозлу, что 0 уменьшается с ростом масштаба.

Двумерные аптийеттаозгагнетпзш. В антийерроздагиетике имеются спинозые ветви возбузгденззй, амезощие (в пренебрежение релятивистзагли еле нами) 'законы дисперсизз ззукового типа. Сгсорость этих егшовззх волн выражается через константу взаимодействия С и магнитную воспрзшлчззвость У

* С - (Т/Ц <*|

Константа ^ репорхкруется за счет флуктуаций, воспризззз-чивость ^ не затрагивается шли. Возникает вопрос' о за- 31 -

коне ренормировки скорости спиновых золи.

В работе /9/ отот вопрос рассматривался с помощью используемой в настоящей диссертации диаграммной техники па прпмере модели антиферромагнетика с тремя степенями свобода параметра порядка, что приводит к возннкновению трех ветвей спиновых волк. В этом случае закон ренормировки константы отличается от ренормировки константы в (23), однако это отличие носит чисто количественный характер, ничего не меняя качественно.

В работе /9/ было найдено одпопетлевое уравнение для ренормировки спиновых волн. Ужо в этом приближении скорость спиновых волн ренормпруется (для упомянутой модели), причем закон этой ренормировки С совпадает с законом ренормировки пвавой части (25), полученной из уравнения ренормировки для $ ' . ,Ктак, выражение (25) воспроизводится и с учетом флуктуаций. Зто мо:зыо интерпретировать таким образом, что выражения для скобок Пуассона, при помоещ которых выводятся бездиссипатившхе динамические (длинноволновые) уравнения анткферромагнетика, инвариантны относительно процесса ренормировки .

8. Свободно подвешенные смектические пленки

В настоящее время экспериментально исследуются свободно подвешенные смектические пленки, имеющие толщину в несклько молекулярных слоев. С макроскопической точки зрения эти об'екти являются двумерными системы. Их своеобразие, отличающее их от систем, рассмотренных в предыдущих разделах, заключается в возможности флуктуаций формы пленки. Как будет показано ниже, это существенно сказывается на динамических характеристиках плешей. Динамические особенности пленок рассматривались в работах /12,14,18/.

Жидкие пленки. Возможность поперечного смещения свободно подвешенной пленки приводит к появлению в спектре колебаний такой пленки дополнительной ветви, которую можно паз- 32 -

пать сдвиговым звуком. Скорость этого звука определяется коэффициентом поверхностного натяжения пленки

Особая роль тепловых флуктуэдий в динамике смектпческях пленок связана с аномально слабым у затуханием сдвнго-вых воли, кторое возникает в линейном приближении. Такое слабое затухание является следствием полкой вращательной инвариантности системы /23/.

Малая величина затухания сдвигового звука делает необходимым исследование флуктуацлонного вклада в это затухание. Для этой цели небходачо использовать эффективное действие (2), построенное по динамическим'уравнением пяешеи. Отмсти.':, что вывод этих уравнений является отнюдь не тривлачьиой задачей, в упомянутых'работах использовался метод скобок Пуассона. Выражения для двумерных скобок получается редукцией трекерных выражений.

Основной вклад во флуктуационное затухание сдвигового звука обусловлен его взаимодействием с обычным продольным звуком, то есть с флуктуоцияш плотности пленки. Главно:! вершиной взаимодействия является тройная ворпшна, а главным, вкладом является однопетлевой вклад. На соответствующей диаграмме фигурируют две линии, одна из которых соответствует продольно!,зу, а вторая сдвиговое звуку. Вследствие этого соответствующий вклад в затухание сдвигового звука оказывается нечувствительным к деталям затухания звуковых волн. Для него получается закон пропорциональности ^ $ * . Тагам образом флуктуационное затухание в длинноволновом пределе превосходит затравочное (которое. ^ ^ ), поэтому именно ршуктуации определяют •закон дисперсии сдвигового звука.

Та же веряиыа третьего порядка продуцирует вклад з затухание продольного звука, связанный с флуктуациямл сдвп-

- 33 -

га пленка, причем главный вклад оказывается одкопетлевнм. Одпшсо па соответствующей диаграмме обе промежуточные линии относятся к сдвиговому звуку, поэтому рассматриваемы;; вклад в затухание продольного звука оказывается чувствительным к затухании сдвигового звука. Анализ упомянутой диаграммы показывает, что олуктуациошшй вклад в затухание продольного звука со Г//д . Этот вклад превосходит затравочпнЛ (со ) в длинноволновом пределе.

Аналогична: образом май рассмотреть флуктуационшй вклад в закон дисперсии моды, связанной с релаксацией поперечной; к волновому вектору компоненты скорости.©луктуацион-ный вклад превалирует в длинноволновом пределе и приводит к закону релаксации (о-¿^вместо затравочного ^ .

Плеыкн- с нарушенной симметрией. Бее сказанное выше относилось к изотропии.: (лидкшл)ияектнческам пленкам. Вообще говоря, существуют пленки различной симметрии: кристаллические, арктические, неглатичеекпе, гексатические. Последние получаются соответственно из смектиков С и смектиков В (гексатиков). Следует сразу отметить, что дальний смектичес-кий порядок размывается (элуктуациями, так как дислокация в такой пленке'имеет конечную энергию, смектический порядок мокет быть только блиглним.

Проделанный выгае анализ, касающийся роли сдвиговых флуктуаций в динамике пленки, остается справедливым и для пленок с нарушенной симметрией. Имеет смысл проанализировать влияние сдвиговых олуктуаций на характерные моды, связанные со спонтанным нарушением симметрии.

В кристаллической пленке такой модой является поперечный звук. К нему относятся, те ке результаты, что и к продольному звуку, в частности закон пропорциональности

<?г/э для длинноволнового затухания. В нематической , или гексатической пленке возникает характерная ориентацион- • пая мода, описывающая релаксацию соответствующего угла по- . ворота. В динамике этот угол зацепляется за поперечную ком- .

понепту скорости. Однако из-за флутуацаонпого ужесточения • релаксации последней (сглотри выше) ото зацепление перестает играть существенную роль в длинноволновом пределе. Поэтому закон дисперсии ориеитационпой моды в длинноволновом пределе имеет, диффузионный характер, соответствующий коэффициент диффузии оказывается нечувствительным к фяуктуацпям.

9. Хепгмюровские плеши и мембраны.

Ленгмюровскпе пленки фюртлщуются молекулами повер-хостко-активного вещества на границе раздела жидкость-газ или границе двух жидкостей.. Своеобразие динамики такой пленки связана с относительной *мягкостью" жидкости, из-за которой любое изменение параметров пленки со.временем вызывает движение жидкости в приповерхостном слое, существенно сказывающееся на динамических характеристиках. То же относится к мембранам, которые формируются (как правило липид-ныт.а) молекулами в об'еме жидкости.

. . .Динамика ленгмюровской пленки. Нетривиальной задачей является-формулировка динамических уравнений (точнее граничных условий},которые позволяют проанализировать особенности' приповерхостных мод в присутствии ленгмюровской плешш. Эта задача была решена в работе /21/ на основе метода скобок Пуассона. Получающиеся граничные условия существенно зависят, от типа упорядочения пленки, соответственно зависит от этого спектр поверхностных мод.

Оказывается, наряду с обычными поверхностными волнами в присутствии ленгмюровской пленки в приповерхостном слое могло во.збудать дополнительную мягкую моду с законом .дисперсии вида ¡,

а?) 9у>.

Здесь ^ - вязкость жидкости, ^ - ее плотность, а 5 - модуль упругости, который для изотропной или не-матической пленки имеет смысл ее сжимаемости. Для кристаллической пленю! возникает две дополнительные, моды -с"закона;ш дисперсии вида .(26), где фигурируют упругие модули пленки.

Эти коды имеют, смысл поверхностных звуковых мод, зздемлошро-вапнкх жидкостью.

Помимо этого в нематической или гексатической пленке имеется ориенгацношгая мода диффузионного тина, практически не связанная с движением жидкости.

Особенности мембпап. мицеллы. Особого рассмотрения трубует случай малого поверностпого натяжеиы: плешш. Реально такая ситуация реализуется вблизи точш-i перхода жидкости в состояние микроэмульсии.

В этом случае в поверностной энергии пленки следует учитывать члены, ее разложения по кривизне. В результате энергия пленки на единицу площади приобретает следующий вид

RiJ^-sU. + ñH (27)

Здесь o¿ тлеет смысл поверностного натяжения плоской., пленки, R, , Rt, - локальные радиусы кривизны, /> , У?. , х - коэффициенты разложения. Нечетный по радиусам кривизны член в (27) возникает вследствие того, что по разные стороны пленки находятся различные жидкости.

При достаточно малой величине oL начинается мицел-лообразование, то есть в об'еме одной жидкости возникают капельки.,другой, окруженные пленкой поверностно-активного вещества, эти капельки и называются мицеллами. Радиус капелек имеет порядок .^/jfl , макроскопическое рассмотрение имеет смысл, если этот радиус достаточно велик.

Динамика мицелл исследовалась в работе /24/. Там бы-, ло установлено, что наиболее мягкие моды мицеллы связаны с флуктуация:.® формы ее поверхности. Эти моды являютя чисто . релаксационными, их затухание имеет значение dt/RiJ¿. ,

где f^ - радиус мицеллы, а оli, tjl величины зависящие от номера сферической гармоники и определяемые по порядку величины поверхностным натяжением,при котором начинается-мицеллообразование,и вяз костя: .к: жидкостей. Помимо этого, мицеллу характеризует поверностная мода с законом дисперсии вида (26), где роль волнового вектора играет величина порядка обратного радиуса мицеллы, а коэффициент зависит от

номера сферической гармоники. Использование развиваемой в настоящей диссертации диаграммной техники позволило установить вид динамических корреляторов, определяющих сечение неупругого рассеяния на системе мицелл /24/.

Для мембран коэффициенты об и {Ъ в энергии (2?) равны нулю. Равенство нулю oi является условием равновесия мембраны с раствором молекул, из которых она образовалось. Равенство нулю (о связано с тем, что все известные мембраны являются двуслойными, то есть тлеют зквиваленпше' поверхности. При этих условиях повериостные волны не могут распространяться вдоль мемрапы, вместо них имеется чисто релаксационная мода, связанная с флуктуацпями форш поверхности. Закон дисперсии этой мода имеет следующий вид /26/

n t У. п 3

W = - -Ц % .(28)

Здесь И - но,пуль, фигурирующий в энергии (27), а ^ ~ коэффициент вязкости гадко сти (с обеих сторон прилегающей к мембране).

Флуктуационтте эйбекты. Несмотря на то, что ленгмю-ровская пленка или мембрана являются двумерными системами, • динамические флуктуации в них оказываются в значительной мере подавленными из-за взаимодействия пленки с жидкостью. ?.5ы приведем результаты, касающиеся ренормировки законов дисперсии упомянутых вше поверхностных мод. Флуктуационные эффекты оказываются существенными для смектических пленок и мембран.

В смектической пленке присутсвует мода с аналогичным (25) законом дисперсии. В этом законе дисперсии фигурирует модуль сгатия смектических «слоев" (точнее, полос) 8 ► а с^ следует заменить на комбинацию ^x^sf '

туацли смектических и слоев" приводят к степенно,: ренормировке модуля В (при этом имеет место анизотропный скейлплг). При исследовании упомянутой смектической моды основным обрезающим "актором оказывается частота. Оценка, сделанная в рамках & -разложения, показывает, что модуль & уменьшается с утленьгаением частоты. В однопетлевом приближении

В со б/6/5"

где 6 =1. Другие параметры закона дисперсии смектической мода не ренормируются.

В мембранах флуктуации обуславливают логарифмическую ренормировку модулей X, "32. , введенных в (27). При этом модуль уменьшается с ростом масштаба, что соответству-

ет увеличению инвариантного заряда ЗТ/^Г Х- , то есть имеет место ситуация асимптотической свободы. Статическая ренормировка X воспроизводится и в законе дисперсии (38) (при этом И]^ \ не затрагивается флуктуациями), только теперь в обрезке логарифма конкурируют частота и волновой вектор.

ВЫВОДЫ

Тепловые флуктуации играет большую роль в формировании динамических характеристик конденсированных сред с различными типами нарушенной симметрии, как трехмерных, так и двумерных. В динамике роль макроскопических флуктуации.оказывается более важной, чем в статике, так как кинетические коэффициенты более чувствительны к флуктуациям, чем статические модули. ..

Адекватным способом теоретического исследования флук-туационных эффектов в макроскопической динамике является диаграммная техника, которая строится по нелинейным динамическим уравнениям системы. Эта техшпеа позволяет детально проанализировать флуктуационные вклады в различные величины в самых разных ситуациях, что оказывается возможным в резуль-. , тате суммирования главного ряда диаграмм.

Как правило, результатом исследования является установление соотношений скейлингового типа для флуктуационных. . вкладов в динамические параметры системы. Следует подчеркнуть, что в динамике подобные соотношения тлеют место не только вблизи точек фазового перехода второго рода (как в статике), но и для широкого набора фаз вне зависимости от малости ка- . ' кого-либо критического параметра.

ЛИТЕРАТУРА

1. Х.М. Khalatnikov, V.V.Lebedev, A.I.Sukhorukov, Diagramme technique for calculating long-viave fluctuation effects, Phya. Lett., 1983, 2M. 271-273.

2. В.В.Лебедев, А.И.Сухоруков, К.M.Халатников, Диаграммная техника для ги дро динамлческих флуктуаций, Нэтф,1983,

. 85, I590-I60I.

3. Е.И.Кац, В.В.Лебедев, Динамика скептических жидких

., кристаллов, Письма в ЯЭМ,. 1983 , 37, 594-597.

4. Е.И.Кац, В.В.Лебедев, Нелинейная динамика алектических

.жидких кристаллов, КЭТФ, 1983, 85, 2019-2031.

5. I.M.Khalatnikov, V.V.Lebedev, A.I.Sukhorukov, fluctuation effects in two-dimentional hydrodynamic systems, Physica,

. 1984, 126A. 135-151.

6. V.V.Lebedev, I.M.Khalatnikov, Ilonthermodynamical fluctuations in tvio-dimentional hydrodynamio systerna,

. Phya. bett., 1984, 103 A. 250-252.

7. V.V.Lebedev, Fluctuating effects in the', dynamics of tvio-dimentional non-linear £) -models, Phys. Lettk, 1984,

. 1 05A. 173-175.

8. В.В.Лебедев, Флуктуацнонные эффекты в макроскопической динамике двумерных ферромагнетиков, ЕЭТФ, 1984, 87,

. I481-1489.

9. V.V.Lebadev, Fluctuation effects in macroscopic dynamics of two-dimentional antiferromagneta, Solid State Commu, t985, M» 201-205.

JO. ff.I.Kata, V.V.Lebedev, Nonlinear dynamics of smectics-C, ..Phys. Lett., 1955, jO^A, 274-277.

11. Е.И.Кац, В.В.Лебедев,--Нелинейная динамика смектиков с ориентационной упорядоченностью в слое, ЕЭТФ, 1985', 88, 823-834.

12. S.I.Kats, V.V.Lebedev, Long-wave dynamics of free omectic . films, J.Phya. (Paris), 1985, £6, 2093-2098.

13. В.В.Лебедев, Флуктуационные эффекты в макроскопической динамике гайзенберговспих ферромагнетиков, STT, 1985, 27, 2052-2058.

14. Е.И.Кад, B.B.Лебедев, Длинноволновая динамика смектичес-. ких. пленок, Кристаллография, I98S, 31, 23-28.

15. Е.И.Кад, В.В.Лебедев, Теория фазового перехода смек-. тик А - смектик С, ЕЭЗ®, 1986, 90, III-I23.

16. E.I.ICats, V.V.Lsbedev, Theory of the smectic A - smectic С phase -transition, Physica, 1986, 135A. 601-619.

17. Е.И.Кад, В.В.Лебедев, Крупномасштабная динамика холес-. териков, ЕЗТФ, 1986, 91, 878-890.

18. Е.И.Кад, В.В.Лебедев, Динамика свободно подвешенных пленок . смектиков С, Кристаллография, 1988, S3, 687-691.

19. Е.И.Кад, В.В.Лебедев, А..Р.Муратов, Теория слабой кристал-. лизадии смсктиков, OTT, 1988, 30, 1338-1343.

20. Е.В.Гурович, Е.И.Кад, В.В.Лебедев, Критическая динамикаi при Фазовом переходе смектик А - смектик С, ЕЭТФ, 1988, 94, М, 167-182.

21. Е.И.Кад, В.ВЛебедев, Динамика ленгмэровсклх пленок, . ЕЭТ8, 1988, 94,. К-5, 134-149.

22. Е.И.Кад, В.В.Лебедев, Флуктуационное поглощение звука в . компенсированных холестериках, ЕЭТФ, 94, J£7, 197-200.

23. Е.И.Кад, В.В.Лебедев, Динамика .жидких кристаллов, Г,!., . Наука, 1988, 144 стр.

24. В.В,Лебедев, A.P.?,Муратов, Динамика мицелл и везикул, ЕЭТФ, 1989, 95, I75I-I772.

25. Е.И.Кад, В.В.Лебедев, Особенности динамики ферромагнит-. ншс жидких кристаллов, ЕЭТФ, 1989, 96, 2045-2060.

26. V»V. Lebedev, Dynamics of surface phaaea, Physica Scripta, . 1989, £22, 255-258.

27. E.I.Kata, V.V.Lebedev, A.R.Muratov, Y/eak criatallisation theory of smectica, Physical 160A, 93-116,1989.

28. Wyld H.Vf., Aim.Phya., 1961, 14, 143-165.

29. Келдыш Л.В., ЕЭТФ, 1964, £2. 1515-1527.

30. Hohenberg P.C., Halperin B.I., Rev. Mod. Phys., 1977,

31. Mazenko G.A., Ramasvvamy S., Toner J., Phys. Rev. Lett., 1982, £2, 51-53.

32 . Grinstein G., Pelcovits R.A., Phya.Rev.Lett., 1981, £7, 356-859, КацЕ.И., ШИ>, 1982, 82, 1376-1382.

33. Бразовский C.A., ЮТФ, 1975, £8. 175-185.

34. ForsterD., Helson D.R., Stephen M.J., Phyg. Rev., 1977, A1б, 732-749.

35. Андреев А.Ф., ЕЭТФ, 1980, 73, 2054-2072.

36. Helson D.R., Peloovits R.A., Phys. Rev., 1977, В1б. 2191-2199.

37. Polyekov A.M., Phya. Lett., 1975, B£2, 79-82.

3B. Paliti L., Lelbler S., Phya.Rev. Lett., 1985, 1690-1693, Kleinert H., Phys. Lett., 1986, t16A. 57-62.

оглавление

. ВВЕДЕНИЕ

основное содатниз

1. Диаграммная техника

2. Критическая динамика

3. Динамические флуктуационные эффекты в смектиках

4. Трехмерные ферромагнетики

5. Слабая кристаллизация

. 6. Двумерные гидродинамические системы 7.. Двумерные магнетики

8. Свободно подвешенные."смектические пленки

9. Ленгмюровские пленки и мембраш

стр. I

6 6 . 9 15 20 24 27 30 32 35

ВЫВОДЫ ЛИТЕРАТУРА

38

39