Термоупругие колебания изотропных пластин

Федосова, Анастасия Николаевна

Термоупругие колебания изотропных пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Федосова, Анастасия Николаевна АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Термоупругие колебания изотропных пластин»

Автореферат диссертации на тему "Термоупругие колебания изотропных пластин"

На правах рукописи

ФЕДОСОВА Анастасия Николаевна

ТЕРМОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

Специальность:

01.02.04 Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 8 НОЯ 2013

Москва 2013

005539637

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный строительный университет».

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент

Поддаева Ольга Игоревна Официальные оппоненты: Кузнецов Сергей Владимирович

Ведущая организация: ОАО «НИЦ «Строительство» ЦНИИСК

им. В. А. Кучеренко

Защита состоится «13» декабря 2013 года в/^!$тсов на заседании диссертационного совета Д 212.138.12, созданного на базе ФГБОУ ВПО «МГСУ», по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. №9 «Открытая сеть». С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет».

Автореферат разослан « » ноября 2013 года. Ученый секретарь

доктор физико-математических наук, профессор, Институт проблем механики РАН, ведущий научный сотрудник; Пшеничкина Валерия Александровна доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет», заведующая кафедрой строительных конструкций, оснований и надежности сооружений

диссертационного совета

Анохин Николай Николаевич

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Исследование динамического поведения пластин является актуальной задачей в современном строительстве промышленных и гражданских зданий, мостов, автомобильных дорог, машино- и ракетостроения. Вместе с тем, элементы некоторых конструкций, таких как паровые и газовые турбины, двигатели машин, ракет и самолетов, элементы атомных и ядерных станций в процессе эксплуатации подвергаются различным температурным воздействиям. При проектировании таких конструкций их динамическое поведение описывается теорией термоупругости, учитывающей помимо упругих напряжений тепловые напряжения, появляющиеся при стеснении температурных деформаций от растяжения/сжатия элемента конструкции внешними связями.

В виду значительных вычислительных трудностей, возникающих при решении трехмерных уравнений теории термоупругости, динамический расчет пластин проводят по двумерным плоским моделям, являющимся аппроксимациями трехмерной теории термоупругости. При построении таких аппроксимаций для упругих напряжений применяют в основном классические теории параболического типа, основанные на двух гипотезах Кирхгофа. Из литературного обзора видно, что теория построения двумерных приближений теории термоупругости далека от своего завершения.

Предъявляемые практикой требования надежности и экономичности при создании рациональных инженерных решений приводят к необходимости проведения динамических расчетов на основе более точных моделей. Повышение достоверности динамических расчетов в части увеличения области определения спектра высших частот и форм колебаний элементов сооружений возможно при переходе в теории колебаний пластин к более совершенным моделям гиперболического типа: модели Тимошенко-Мтс11т-11е183пег, полу-

ченные с использованием одной физической гипотезы, модель Филиппова, полученная без использования физических гипотез.

Применение аналитических методов решения дает возможность нахождения новых закономерностей при анализе получаемых результатов, что повышает теоретический уровень инженерных расчетов и позволит строить новые доступные для инженера расчетные программы.

Цель диссертационной работы состоит в аналитическом изучении влияния температуры на процессы колебаний пластин при различных условиях закрепления пластин.

Научная новизна

1) аналитически найдены решения основных краевых задач колебаний пластин с учетом температуры с использованием полученного И. Г. Филипповым уравнения [65, 68] и уточненных граничных условиях [12, 20], позволяющего определять более широкой спектр собственных частот при заданных краевых условиях, материале и геометрии пластины;

2) установлено влияние теплового фактора на собственные частоты колебания термоупругих пластин: степень влияния температуры на собственные частоты колебания пластин зависит не только от начального распределения температур, материала и геометрии пластины, но и от условий закрепления пластин.

Практическая значимость. Полученные в диссертации аналитические решения задач поперечных колебаний пластин с учетом влияния температуры могут использоваться:

1) для изучения динамики и сейсмостойкости зданий и сооружений с целью формирования более полного представления о динамическом поведении плоских элементов конструкций;

2) для повышения точности класса приближенных численных методов, в которых задействованы методы разложения по собственным формам и частотам;

3) при динамических расчетах пластин под влиянием температурного фактора: турбины машин, конструкции ракето- и самолетостроения.

Достоверность и обоснованность изложенных в диссертационной работе результатов обусловлены корректной математической постановкой задачи, применением обоснованных и многократно апробированных математических методов. Полученные аналитические результаты были верифицированы в современных расчетных комплексах конечно-элементного анализа «MicroFe» и «Lira».

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1) общая постановка аналитической задачи о термоупругих колебаниях пластин;

2) аналитическое решение задач о термоупругих колебаниях пластин при различных комбинациях граничных условий с использованием уравнения Филиппова;

3) сравнение и анализ полученных собственных частот колебания в зависимости от температуры, геометрии пластинки и граничных условий;

4) результаты верификации полученных аналитических решений в современных комплексах конечно-элементного анализа.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на IX Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в строительстве» и 2nd International Conference on Applied Mechanics and Materials (ICAMM 2013).

Основные результаты работы включены в НИР «Исследование колебательных процессов плоских элементов конструкций (пластин) и оболочек», выполненную в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 годы, проект jY5l4.B37.21.0375.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах, их них 6 — в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ [1-6].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения и библиографического списка. Общий объем диссертации — 121 страница, из них 103 страницы текста, включая 15 рисунков и 18 таблиц. Библиографический список включает 143 наименования на 18 страницах.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения. Представлен обзор литературы.

Первая глава «Общая постановка краевых задач колебания прямоугольных пластин с учетом температуры» содержит вывод уравнения Филиппова для колебаний пластин с учетом температуры в случае несвязанной теории термоупругости, полученного с использованием метода степенных рядов [65, 67, 68]:

аЛ-Ж - 2+ + Д2^ - вЛ<Э + Вг^ = 0. (1)

Здесь \\'(х,у,г) — прогиб; — функция температуры;

л 7~8г/ л - 2~1/ Л _ (! + *)« о _ 2(1 +

~~ ~' ~~ ~ ~~ 12Ь2к2 ' ~~ Ш '

— коэффициент Пуассона; а — коэффициент линейного расширения; /г — полутолщина пластины; Ь — скорость распространения поперечных волн.

Уравнение обобщенной несвязанной теории термоупругости, описывающее распространение тепла в теле с конечной скоростью [51]:

г\ 2 О

д<2 - - 2С2—<э - Сз<2 = о, (2)

_ 1 . Г - 1 • Г-2- J - к ■ г2 - С°

- С2 " 2^' °3 - С° ~ С " V

где с — скорость распространения температуры; со — коэффициент температуропроводности; к — коэффициент теплопроводности; с„ — объемная теплоемкость; тг — время релаксации теплового потока.

Подстановка (2) в (1) дает уравнение колебаний термоупругих пластин [65, 67, 68]:

- 2A2j&AW + Az^w + д2и"+ " W*Q+

+ 2B2C2~Q + B2C3Q = 0. (3)

Полученное уравнение (3) при Ai = Л2 = = В2 = 0 соответствует классическому уравнению Кирхгофа, а при В\ = В2 = 0 — уравнению Филиппова для свободных колебаний.

Сформулированы краевые условия. Граничные условия для шарнирного и жесткого закрепления при х = const соответствуют классическим:

д2 д W = -tt^W - 0 — шарнир; W = -^-W = 0 — жесткая заделка, ах1 ох

а для свободного края используются уточненные граничные условия [20]:

д2 д2 д2 W Т ИГ I D и/ ! Е>-

где коэффициенты Щ выражаются через упругие постоянные. В условии (4) появляются инерционные члены, т.е. здесь усматривается аналогия с появлением инерционного члена в принципе Даламбера в теоретической механике [20].

Краевые условия для функции температуры соответствуют классическим [64].

Приводится физическая интерпретация модели и устанавливается область ее применимости. Полученное уравнение (3) описывает поперечные колебания идеально упругих пластин, что для задачи учета температурных влияний носит принципиальный характер, поскольку при критических температурах тела перестают быть упругими и проявляют свои пластические/ хрупкие свойства и теория перестает быть верной. Температурные режимы применимости данной модели диктуются свойствами выбранного материала, свойства используемых в практике строительных материалов хорошо изучены, поэтому установить предельный температурный режим в каждом конкретном случае не представляет сложности.

На закрепленной пластине задается начальное распределение температур, связи, наложенные на пластину, препятствуют растяжению/сжатию пластины, в результате чего в пластине помимо чисто упругих деформаций возникают температурные. Полная деформация, согласно несвязанной теории, вычисляется как сумма упругой и температурной деформаций без учета эффекта «демпфирования напряжений». Несвязанная теория хорошо себя показывает при изучении тепловых процессов, протекающих с нормальной скоростью, и оказывается неприменимой в процессах, протекающих с большой скоростью, например, мгновенный тепловой удар по пластине.

Используемый при выводе уравнения метод степенных рядов накладывает ограничения на геометрию пластинки, теория применима только для тонких пластин с Ь/Н > 20, и внешнюю нагрузку, внешняя нагрузка предпо-

лагается гладкой фукцией от времени, динамическое обоснование и точные оценки метода степенных рядов можно найти в работах И. Г. Филиппова, O.A. Егорычева, Г.И. Петрашеня [20, 47, 68].

Проведена верификация выбранной модели на примере задачи о колебании шарнирно опертой по контуру пластины, для которой существует известное аналитическое решение

„,. . /.i Л . 7ГП . 71771

W(x, у, t) = exp I г-tn Sin —ж sm —y\ (5)

^ ' n,m—1 * 2

/ Ь \ ^ 7ГП . 7Г ТП . .

Q(x,y,t) = exp I i-t£ 1 9n,m sm — x sm —y, (6)

^ ' n,m= 1 * 2

где f — искомая безразмерная частота собственных колебаний пластины; Яп,т — коэффициент, определяемый из начального распределения температур и равный коэффициенту разложения температуры ip(x, у) в двойной ряд Фурье по синусам.

Подстановка (5) и (6) в (3) приводит к алгебраическому частотному уравнению четвертого порядка

do£4 + di£2 + d2& + d3 = 0, (7)

где

d0 = Ab4; dx = -Ъ2 [2A2l + Azh2 + h2 (B2C1 - Вг) qn,m] ;

, „ (imh\ (nmh\'

d2 = 2В2СгЪ?Ъцщт\ d3 = 7 + B2C3h4qntm, 7 = I— J +

Данная задача была решена численно с применением программного комплекса «МісгоГе». Тестирование проводилось для квадратной пластины Ь = 1 м и усредненных характеристик стали класса С 20 для различных толщин пластины: Ь/Н = 100,90....20 — и различных температур, °С: 20, 100, 200, 500. При вычислении значений частот учитывалось изменение физико-механических свойств материала с ростом температуры (табл. 1).

Табл. 1. Физико-механические свойства стали С 20 при различных температурах

Характеристика материала Температура, °С

20 100 200 300 400 500

Е, ГПа 213 208 203 197 189 177

р, кг/м3 7859 7834 7803 7770 7736 7699

V 0,3 0,3 0,304 0,309 0,312 0,321

а, 1/°С 12,3 13,1 13,8 14,3 14,8 15,1

с„ Дж/(кг °С) 486 498 514 533 555 584

к, Вт/(м °С) 86 54 49 44 43 39

Результаты верификации для толщины Я = 0,01 м приведены в табл. 2. Значения частот приводятся в рад/сек.

Таблица 2. Результаты верификации

т, Номера Аналитич. Комплекс А, т, Аналитич. Комплекс д,

"С частот решение «М1сгоГе» % °С решение «МісгоГе» %,

При Ь/Н = 100, Ь = 0,005 м

1 310,75 307,92 0,92 295,21 292,78 0,82

2,3 774,21 777,95 0,48 738,61 745,33 0,91

4 1238,45 1251,76 0,94 1194,63 1205,02 0,87

20 5 1563,38 1580,51 1,09 100 1499,61 1516,41 1,01

6 1563,38 1581,70 1,17 1499,61 1514,76 1,12

7,8 2022,15 2036,09 0,69 1927,82 1946,52 0,97

9,10 2695,81 2742,51 1,73 2576,56 2618,817 1,64

1 287,54 284,83 0,94 271,15 268,87 0,84

2,3 734,29 739,87 0,76 682,20 688,68 0,95

4 1169,77 1182,52 1,09 1092,76 1103,58 0,99

200 5 1479,05 1493,54 0,98 300 1375,37 1391,60 1,18

6 1479,05 1496,05 1,15 1375,37 1392,02 1,21

7,8 1906,66 1928,21 1,13 1772,74 1791,35 1,05

9,10 2541,72 2585,43 1,72 2359,45 2396,50 1,57

т, Номера Аналитич. Комплекс Д, т, Аналитич. Комплекс Д,

°с частот решение «MicroFe» % °с решение «MicroFe» %,

1 247,48 245,17 0,93 214,87 213,40 0,77

2,3 625,02 629,89 0,78 542,63 545,99 0,72

4 981,52 992,41 1,11 867,35 877,15 1,02

400 5 1272,91 1285,89 1,02 500 1100,92 1115,01 0,58

6 1272,91 1286,53 1,07 1100,92 1115,34 0,51

7,8 1612,54 1630,92 1,14 1398,60 1410,35 0,81

9,10 2159,20 2193,96 1,61 1871,07 1906,06 1,50

На рис. 1 приведена зависимость первой частоты колебания шарнирно опертой по контуру пластинки от температуры для разных толщин пластин.

Как видно из табл. 2 и рис. 1, погрешность аналитического и численного решения для первых 10 частот стальной пластины составляет 0,48. ..3,1%, возрастает с ростом номера частоты и толщины пластины, от температуры не зависит, что говорит о корректности модели.

1000 Í!-Paü/ceK 900 800 700 600 500 400 300 200 100 О

20 100 200 300 400 500 Рис. 1. Зависимость первой частоты (£1) от температуры (Т) для разных толщин пластины (Ь/Н). Сплошная линия — аналитическое решение, пунктир — численное

Исследовано поведение высших частот. На рис. 2 представлен график расхождения значений частот между моделями Филиппова и Кирхгофа, при этом модели Филиппова всегда дают более низкие значения.

Рис. 2. Расхождения между значениями частот (Д) между моделями Кирхгофа и Филиппова в зависимости от номера частоты (п) для различных толщин пластины (Ь/Н)

Наибольшая согласованность между результатами достигается для тонких пластин при малых номерах частот, что подтверждает известный факт: модель Кирхгофа дает хорошие результаты для тонких пластин и низких частот. Сравнение значений высоких частот, свыше 40.. .50 номеров, подтверждает, что для их описания необходимо использовать гиперболические модели.

Модель Кирхгофа всегда приводит к частотным уравнениям второго порядка, дающим для каждой пары (п, т) ровно одну собственную частоту, в то время как уравнение Филиппова для шарнирно опертой по контуру пластины приводит к уравнению четвертого порядка (7), решениями которого для каждой пары (п, т) являются две собственные частоты, при этом истинное значение частот, соответствующих каждой паре (п, т), равно бесконечности [7]. В табл. 3 приводятся значения высших частот, вычисленных по трем различным моделям.

Номера частот Пара (п,т) Кирхгоф без учета темп.-ры Филиппов

без учета темн.-ры при темп.-ре 20 "С

2423 (55,11) 978 325 436 350 383 334

2424 (М)+ - 436 991 384 051

2425 (5,56) 982 990 437 647 384 962

В работе показано, что характер поведения высших частот, — вторых корней уравнения (7) — с увеличением толщины пластины отличен от поведения низших частот, первых корней уравнения (7): с ростом толщины пластины значение высших частот снижается, в то время как значения низших частот с увеличением толщины пластины увеличивается. В таком поведении можно усмотреть аналогию с прямыми и обратными волнами [64], в пластине одновременно происходит распространение бесконечного множества волн одной формы с разными волновыми числами, как прямых, так и обратных, причем описать поведение высших частот возможно только с использованием гиперболических моделей.

Вторая глава «Аналитический вывод частотного уравнения собственных колебаний термоупругой пластины при смешанных граничных условиях» посвящена аналитическому выводу приближенных частотных уравнений собственных колебаний термоупругой пластины при специальном виде граничных условий: два противоположных края пластины шарнирно оперты, а два других могут иметь произвольные граничные условия. При этом точного аналитического решения подобные задачи не имеют. В работе приводится аналитический метод, позволяющий получать сначала трансцендентные тригонометрические уравнения, которые путем разложения тригонометрических функций в степенные ряды и удержанием конечного числа слагаемы сводятся к алгебраическим уравнениям относительно искомой частоты собственных колебаний [15, 20].

Согласно выбранному методу функция температуры представима в виде (6), а функция прогиба равна [15, 20]

7ГП

^ ' п,т=1

где

УГт{у) = Ег

сое ао У С03 а1 У

+ Е2

соэ сад сое

« а-1 у\ а* )

^ ( зптоу + япоц^ + ^(^У _ + ЕЬ8т^Ь

а? У ' V «о а?

Здесь Е\ — Е$ — постоянные интегрирования,

(ДА - Вх) - 2В2С2^ -Е5 — -——-:-7-5——---Яп.гт

(5)

■кт

Т2

_ 7гт ^

А,-г- + А к

ао

ЧШ^ Чт-0)

г)'

При этом целые числа к, р в выражении (8) выбираются для удовлетворения граничным условиям на краю у = 0, а условия на краю у = Ь приводят к трансцендентным уравнениям для определения собственных частот колебания пластины. Варьируя условия закрепления на остальных краях пластинки, из общих решений (8) можно получить решения основных краевых задач [15, 20].

Получены приближенные частотные уравнения колебания термоупругих пластин при различных краевых условиях. При выводе частотных уравнений тригонометрические функции, входящие в трансцендентные уравне-

ния, раскладывались в степенные ряды с удержанием двух первых членов ряда. Точные оценки метода приведены работе и в [20].

Решена задача о колебании пластины, три края которой закреплены шарнирно, а один — жестко, получено частотное уравнение 4-го порядка

Ао£4 + а^2 + -¿3 = 0, (9)

л _7-8г/ 2 - V - 9„,та(1 + 1/)(1 + 9) ^--4—5 -12-''

¿2 = + 1); ¿з = 2дгт,па(1 - и) + 7 + 5е~2, е =

Решение задачи о термоупругом колебании пластины, два края которой шарнирно оперты, а два жестко закреплены, также приводит к уравнению четвертого порядка

¿О?4 - 2 + ¿20 + ¿3 = 0, (10)

17-2,(4-3,). ¿1 = 3(1_^_47(2_^ + а(1_80)(1 + г,)(^т_

-15е-2(2-г/); ^ = | (1 + I/) аС?п,т; ¿3 = ^7 [27 + Р (1 + V) а9т,п + 1Ъе~2р] .

Задача о термоупругом колебании пластины, два противоположных края которой шарнирно оперты, а два свободны, от напряжений, при использовании на этих гранях неклассических условий (4), учитывающих влияние инерционных сил, приводит к частотному уравнению 12-го порядка (!). Приведем вид уравнения:

М12 + - - - + 2 + Ш -й = 0. (11)

Следует отметить, что при тех же предположениях уравнение Филиппова без учета тепловых напряжений имеет 10-й порядок [15].

Случаи термоупругих колебаний пластин, когда два ее края шарнирно оперты, один свободен, а один жестко закреплен, а также когда три края

пластины шарнирно оперты, а один свободен, приводят к уравнениям 10-го порядка вида

¿о£10 + + + ¿з<£4 + + + 4 = 0. (12)

Исследовано влияние начальной температуры на значения частот. Численные значения первых частот, полученные из уравнений (9)—(12), приведены в табл. 4. Расчеты проводились для характеристик пластины, описанной в первой главе. При вычислении значений частот учитывалось изменение физико-механических свойств материала с ростом температуры согласно табл. 1.

Таблица 4. Влияние температуры на частоты при различных краевых условиях, Ь/Н = 100

т, °с 3 шарнира, 1 заделка 2 шарнира, 2 заделки 3 шарнира, 1 свободный 2 шарнира, 2 свободных 1 шар., 1 св. 1 заделка

20 372,54 457,95 185,16 153,22 196,51

100 353,71 431,25 178,56 149,81 187,23

200 342,75 414,19 172,45 146,29 182,57

300 323,78 379,31 166,89 143,87 174,69

400 286,93 334,86 156,93 136,95 159,93

500 240,40 272,14 141,05 124,64 142,17

На рис. 3 и 4 показано влияние начальной температуры на первую частоту колебания термоупругой пластины для различных условий закрепления.

Как видно из табл. 4 и рис. 3, 4, в общем случае при увеличении температуры частота собственных колебаний снижается, однако эффект от температурных напряжений в большой степени определяется внешними связями, наложенными на пластину: жесткая заделка усиливает эффект от температурных напряжений, в то время как при наличии свободных от закрепления краев влияние начальной температуры на собственные частоты пластин менее значительно.

1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 О

С/, рад/сек

— ин=юо т,*>с

20 100 200 300 400 500 Рис. 3. Зависимость первой частоты (£1) от температуры (Т) для разных толщин пластины (Ь/Н). Сплошная линия соответствует задаче при 2 шарнирах и 2 заделках, пунктир — при 3 шарнирах и 1 заделке

700 600

500 400 300 200 100 0

Ш=30

Ш=50

Ш=)00 Г,"С

20 100 200 300 400 500

Рис. 4. Зависимость первой частоты (£1) от температуры (Т) для разных толщин пластины (Ь/Н). Сплошная линия соответствует задаче при 3 шарнирах и 1 свободном крае, пунктир — при 2 шарнирах и 2 свободных краях

Для задач (9)—(12) в работе исследовано поведение высших частот, установлено, что учет температуры при 20 °С как дополнительного параметра наряду с геометрией и материалом пластины позволяет существенно уточнить значения высших частот.

В третьей главе «Вывод частотных уравнений собственных колебаний пластин при произвольных краевых условиях» приводится решение краевых задач термоупругих колебаний пластин приближенным методом декомпозиции, позволяющим находить решения при произвольном типе краевых условий [15, 18].

Пусть имеется прямоугольная пластинка, колебание которой с учетом температуры описывается уравнением (3). Функция С}(х,у,£) в этом уравнении определяется выражением (6).

Будем искать решение уравнения (3) в следующем виде [15, 18]:

где ]¥(х,у) — неизвестная функция.

Тогда уравнение (3) для И'(х,у) примет вид

, „ . --V—V 7ГТ1 . 717 п . .

(Д2 + ві Д + Єг) ЇУ = (33 Яп,т -г-х 81П -7-у, (13)

тгт

в3 = (В2СХ - - 2В2С2^ - В2С3.

■2.

Введем новые безразмерные координаты и функцию прогиба

В новых координатах уравнение (13) запишется в виде

оо

В соответствии с методом декомпозиции представим функцию V в виде V = VI + Уз + Уз

и сформулируем три вспомогательные задачи в случае жестко закрепленной по контуру пластины [15, 18]: 1)

Я4 Я

(14)

= Уі = -—Уі=0 при а = 0,7г;

2) 3)

Д4 Я

^ЩхЪ = /г(а. Р)\ = = 0 при р = 0, тг

д,Р4 8і

8/3

(15)

п 2 - „ І? ( & 2 02 \ _ г}'

= С?з ^^ дПіТ„ вігі па віп т/3.

+ ь =

(16)

Здесь /1, /г — произвольные функции, которые в общем случае представимы в виде [15, 18]

оо

^ а^БтпаяттпР,

П.171= 1

,(0

где апт — произвольные постоянные.

Решение вспомогательных задач (14) и (15) имеет вид » „0)

Уі =

°° п^ г 1

-ппт/З^-ы

п,т=1 4

* = £

&П7П

п,т=1

7?4т4

) 1 • д

Біп па і — біп тр — т

(-іГ + і] + —

а21

— — а

В2'

н -Р

7Г

Р). (17)

Следуя методу декомпозиции, будем приближенно полагать [15, 18]

И = у2; Уз^- (VI + У2) ■ (18)

Принимая а = /3 = используя решения (17), соотношения (16), приближенные условия (18), получим частотное уравнение вида [15, 18]

- <*1$2 + сг2?г + йз = 0, (19)

коэффициенты (19) приводятся в работе.

Для Т = 20°С решения (19) были сопоставлены с расчетами, выполненными в комплексе «1лга», погрешность при вычислении первых двух частот составляла 0,93... 1,5%, возрастала с ростом толщины пластины.

Влияние температуры на значение первой частоты приведено в табл. 5. При вычислении значений частот учитывалось изменение физико-механических свойств материала с ростом температуры согласно табл. 1.

Таблица 5. Влияние температуры на первую частоту жестко закрепленной по контуру пластины

ь/н т;с рад/сек Г,°С рад/сек Г,°С рад/сек

100 20 567,35 100 529,50 200 497,60

300 442,53 400 368,09 500 270,62

50 20 1125,70 100 1051,62 200 989,31

300 875,04 400 733,55 500 566,47

30 20 1872,84 100 1745,23 200 1640,1

300 1458,82 400 1212,1 500 890,34

Как видно из табл. 5, в случае жестко закрепленной по контуру пластины влияние температурного фактора на частоты наибольшее. На рис. 5 приведено среднее снижение первых частот стальной пластины в зависимости от краевых условий.

В Заключении приводятся основные выводы по результатам проделанного исследования:

1) показано, что приведенная в работе модель позволяет находить корректные значения как для низших, применяемых в строительстве, так и для выс-

ших частот для различных материалов, геометрии и начальной температуры пластины;

2) установлено существенное влияние условий закрепления пластины на степень воздействия температуры на частоты (рис.5): жесткая заделка усиливает температурные напряжения, в то же время тепловые напряжения при наличии свободных краев менее значительны;

Рис. 5. Снижение первой частоты (Д) в зависимости от температуры (Т) для различных способов закрепления пластины: (1) — жестко закрепленная по контуру пластина; (2) — 2 шарнира и 2 заделки; (3) — 3 шарнира и 1 заделка; (4) — шарнирно опертая по контуру пластина; (5) — 2 шарнира, 1 жесткая заделка и 1 свободный край; (6) — 3 шарнира и 1 свободный край; (7) — 2 шарнира и 2 свободных края

3) показано, что с ростом номера частоты расхождение при вычислении высоких частот, свыше 40... 50 номеров, между гиперболическими и параболическими моделями начинает носить экспоненциальный характер, при этом гиперболические модели показывают во много раз меньшие значения; таким образом, для нахождения значений высоких частот необходимо применять гиперболические теории, подобные теории, изложенной в работе

4) установлен характер поведения низкой и высокой частоты одной волны: низкая частота возрастает с увеличением толщины пластины, в то время как высокая — уменьшается с ростом толщины пластины;

5) установлено влияние температуры на спектр частот колебаний и показано, что учет температуры при 20 °С как дополнительного параметра позволяет существенно уточнить значения высших частот;

6) достоверность полученных данных, пределов применимости и физической интерпретации полностью подтверждены как строгой математической постановкой, применением многократно проверенных методов решения, так и результатами верификации в комплексах конечно-элементного анализа «Lira» и «MicroFe».

Список публикаций по теме работы

Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК Российской Федерации:

1. Егорычев О. А., Егорычев О. О., Федосова А. Н. Влияние граничных условий на решение задачи о термоупругом колебании пластины // Вестник гражданских инженеров,— 2011.— №4.— С. 26-30.

2. Егорычев О. А., Егорычев О. О., Федосова А. Н. Решение задачи о термоупругом колебании пластины при граничных условиях специального вида // Вестник МГСУ,- 2012 - №7,- С. 31-38.

3. Егорычев О. А., Егорычев О. О., Федосова А. Н. Решение задачи о термоупругом колебании пластины, два края которой закреплены шар-нирно, а два - жестко // Вестник МГСУ - 2012 - №8 - С. 91-98.

4. Егорычев О. А., Егорычев О. О., Федосова А. Н. Тепловой удар по термоупругой пластине, имеющей смешанные граничные условия // Вест-

ник МГСУ.- 2012.— №9 — С. 109-116.

5. Егорычев О. А., Егорычев О. О., Федосова А. Н. Решение задачи о термоупругом колебании пластины, три края которой закреплены шар-нирно, а один - жестко // Вестник МГСУ,- 2012,- №10 - С. 62-69.

6. Подцаева О. И., Федосова А. Н. Решение задачи о термоупругом колебании жестко закрепленной по контуру пластины // Промышленное и гражданское строительство,— 2013,—№10 — С. 51-53.

КОПИ-ЦЕНТР св.: 77 007140227 Тираж 100 г. Москва, ул. Енисейская, д. 36. тел.: 8-499-185-79-54,8-906-787-70-86 www.kopirovka.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Федосова, Анастасия Николаевна, Москва

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный строительный университет»

На правах рукописи

04201452322

ФЕДОСОВА Анастасия Николаевна

ТЕРМОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата техничеких наук

Научный руководитель к. т. н., доц.

ПОДДАЕВА Ольга Игоревна

Москва - 2013

Содержание

Введение ................................... 4

Обзор литературы ............................. 8

Глава 1. Общая постановка краевых задач колебания прямоугольных пластин с учетом температуры ............38

1.1. Общее уравнение поперечных колебаний термовязкоупругой пластины...............................39

1.2. Приближенное уравнение собственных поперечных колебаний упругой изотропной пластины с учетом температуры......50

1.3. Постановка краевых условий....................52

1.4. Физическая интерпретация модели и область применимости . . 54

1.5. Апробация и верификация выбранной модели..........56

1.5.1. Численный эксперимент..................58

1.6. Заключение к первой главе.....................69

Глава 2. Аналитический вывод частотного уравнения собственных колебаний термоупругой пластины при смешанных граничных условиях............................72

2.1. Вывод общего решения в случае граничных условий специального вида...............................72

2.2. Решение задач............................75

2.2.1. Три края пластинки шарнирно оперты, а один жестко закреплен..........................75

2.2.2. Два края пластинки шарнирно оперты, а два жестко закреплены .........................80

2.2.3. Два края пластинки шарнирно оперты, а два свободны

от напряжений .......................82

2.2.4. Три края пластинки шарнирно оперты, а один свободен 85

2.2.5. Два края пластинки шарнирно оперты, один жестко закреплен, а один свободен ................87

2.3. Заключение ко второй главе....................90

Глава 3. Вывод частотных уравнений собственных колебаний пластин при произвольных краевых условиях.........93

3.1. Приближенный метод декомпозиции и его апробация......93

3.2. Вывод частотного уравнения колебания термоупругой пластинки, жестко закрепленной по контуру...............96

3.3. Заключение к третьей главе....................99

Заключение..................................100

Литература..................................104

Введение

Научная новизна

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1) общая постановка аналитической задачи о термоупругих колебаниях пластин;

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах, их них 6 — в рецензируемых российских журналах, рекомендуемых ВАК РФ [21-25, 51].

Обзор литературы

Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь прежде всего создает его математическую идеализацию, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. При этом многие модели с математической точки зрения представляют собой дифференциальные уравнения и их системы, как обыкновенные, так и в частных производных.

Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII в. одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления [47]. Некоторые задачи геометрии привели к рассмотрению кривых, уравнения которых содержат «параметр». Изучив одну такую задачу, J1. Эйлер впервые встретился с дифференциальными уравнениями в частных производных вида [Comm.,Ac. Petr., 1734/1735, 1740]

dz dz

Наряду с приведенной геометрической проблемой, главным образом дифференциальные уравнения в частных производных обязаны возникновением многочисленным физическим вопросам, занимавших выдающихся математиков с середины XVIII столетия. Точкой отсчета истории уравнений в частных производных принято считать знаменитую задачу о колеблющейся струне, впервые поставленную Б. Тейлором в 1713 г. [Phil. Trans.], которую Ж. JI. Да-ламбер несколько позднее (1747) [5] переформулировал в терминах дифференциального исчисления, что привело к модели, содержащей известное дифференциальное уравнение.

За проблемой о колеблющейся струне вскоре последовали и другие [56].

Первые попытки решить задачу об изгибе упругих поверхностей, т. е. тел, у которых одно измерение мало в сравнении с двумя другими, были предприняты Эйлером [см. письмо к Лагранжу от 1 января 1760 [Misc. Taur., 1760/61 (1762)]]. Описывая колебания идеально гибкой мембраны, он рассматривал ее как совокупность двух систем струн, натянутых в двух взаимно-перпендикулярных направлениях, причем свел ее к уравнению с частными производными [Nov. Comm. Ac. Petr.,1764(1766)]

d2z d2z d2z dt2 dx2 dy2'

Впервые задачу об изучении колебаний пластинки Д. Вернул л и поставил в письме к Эйлеру еще в октябре 1735 г. [5]. Эйлер не раз возвращался к ней, но ему удалось получить написанное уравнение 4-го порядка лишь в 1772 г., при этом Эйлер рассмотрел пластинку как систему колеблющихся нитей [Nov.Comm.Ac.Petr, 1772(1773)]

д2у дАу ^ dt2 дх±

Однако он вынужден был признать, что не в состоянии отыскать общий интеграл с четырьмя произвольными функциями.

Я. Бернулли-младший при анализе изгиба пластинки, рассматривая ее уже не как систему нитей, а как систему балок, получил дифференциальное уравнение (1789) [74]

^ /dAU д*и\

где U — прогиб пластинки, D — жесткость пластинки при изгибе, q — интенсивность поперечной нагрузки.

Бернулли отдавал себе ясный отчет в том, что если взять две системы балок, не перпендикулярных одна к другой, то результат получается несколько

иной. Он опубликовал свою работу лишь как первую попытку решить задачу изгиба пластинки [62].

Большой интерес к теории пластинок был возбужден книгой Хладни по акустике и, в особенности, его экспериментам с вибрирующими пластинками [82]. В 1809 г. Французская Академия пригласила его продемонстрировать свои эксперименты, причем они произвели сильное впечатление на присутствовавшего на этом заседании Наполеона. По предложению последнего Французская Академия назначила премию за разработку математической теории колебаний пластинок и за сравнение теоретических результатов с экспериментальными. В октябре 1811 г. к заключительной дате конкурса выявился лишь единственный претендент — Софи Жермен [62]. Она была знакома с работой Эйлера об упругих линиях, в которой он воспользовался вариационным исчислением, чтобы вывести дифференциальное уравнение изгиба из интеграла, выражающего энергию деформации изгиба. Однако при вычислении интеграла С. Жермен допускает ошибку. Премии она не получила. Но Ж. Л. Лагранж, входивший в состав жюри конкурса, введя нужное исправление, получил уравнение в правильном виде [62]

В настоящее время дифференциальное уавнение (1) является основным уравнением, описывающим изгиб тонких пластин. Его часто называют «уравнением Софи Жермен-Лагранжа» [26].

Академия назначила повторный конкурс, и Жермен вновь приняла в нем участие, однако, несмотря на наличие верного уравнения, ей не удалось обосновать физический смысл первоначальных допущений. Ее вновь постигла неудача. Наконец, в 1816 г. ее третья попытка увенчалась успехом, она получает премию, но жюри остается недовольным ее работой, поскольку считает полученное уравнение лишенным физического смысла [62].

(1)

Следующая попытка усовершенствовать теорию пластинок предпринимает С. Д. Пуассон. Для придания полученному Жермен уравнению (1) физического смысла он вводит допущение, согласно которому пластинка состоит из частиц, между которыми действуют молекулярные силы, пропорциональные изменению расстояний между молекулами. Он выводит то же уравнение из условия равновесия такой системы частиц [118].

В 1828 г. О. Л. Коши [80] и Пуассон в 1829 г. [118] подошли к решению уравнения Жермен-Лагранжа (1). Выясняя граничные условия, Пуассон приходит к тем самым определениям, которые ныне являются общепринятыми для пластинок со свободно опертыми и с жестко защемленными концами. Для края, по которому распределены внешние силы, он требует выполнения трех условий вместо двух, признанных достаточными в наше время: поперечная сила, крутящий и изгибающий момент должны уравновешивать внешние силы, приложенные по краю. В доказательство применимости своей теории Пуассон исследует изгиб круглой пластинки под симметричной, зависящей только от радиуса, нагрузкой. С этой целью он переписывает уравнение в полярных координатах. Следует отметить, что Коши и Пуассон приводят полное решение задачи в виде разложения в ряд по степеням от расстояния точек до срединной плоскости пластины.

Примечательно, что этот метод по настоящее время остается одним из основных методов получения приближенного решения, с его помощью трехмерная задача динамической теории упругости приводится к приближенной двухмерной [15].

Вокруг этих работ возникла полемика. А. Ж.-К. Сен-Венан считал, что использованные ряды должны расходиться [83]. Также возникли споры по поводу граничных условий [62].

Первой удовлетворительной теорией изгиба пластин мы обязаны К. Л. На-вье (1823) [113]. В своей работе Навье предполагает, как это сделал в свое

время Пуассон, что пластинка состоит из молекул, но он распределяет их: по всей толщине пластики и принимает, что их перемещение при изгибе параллельны срединной плоскости [26] и пропорциональны расстоянию до нее. Таким образом, он приходит к уравнению для поперечного изгиба (1) [62]. Навье применяет свое уравнение к задаче о свободно опертой прямоугольной пластине, для которой он устанавливает граничные условия и получает результат в виде двойного тригонометрического ряда по синусам [62].

На протяжении первой половины XIX в. французике инженеры, располагавшие превосходой математической подготовкой, разрабатывали математическую теорию упругости, в то же время английские инженеры изучали теорию упругости экспериментально. В эпоху быстрого промышленного роста в области улучшения английского технического образования было сделано весьма мало, и многие инженерные проблемы, возникавшие в промышленной практике, приходилось решать в значительной степени самоучкам [62]. Самыми известными среди таких инженеров были У. Фейрбейрн [119] и И. Ход-кинсон [93].

Фейрбейрн одним из первых поднял вопрос о влиянии температуры на прогиб [119]. По поручению Британской ассоциации развития науки Фейрбейрн и Ходкинсон приступили к своей деятельности по изучению свойств чугуна. В этой работе Фейрбейрн особенно заинтересовался изучением влияния времени и температуры на прогиб. Его исследование влияния температуры показало, что разрушающая нагрузка резко падает с повышением температуры [62].

На это же время приходится и становление теории упругости. С помощью молекулярной теории Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой постоянной [83]. Коши первоначально ввел две константы в зависимости между напряжениями и деформациями. В самом общем случае для ани-

зотропного тела Пуассон и Кошн допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации. В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физическо