Типичные особенности теплового сопротивления и критические показатели в фононной модели структурного фазового перехода кристаллов

Ростова, Антонина Тимофеевна

Типичные особенности теплового сопротивления и критические показатели в фононной модели структурного фазового перехода кристаллов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Ростова, Антонина Тимофеевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ставрополь МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Типичные особенности теплового сопротивления и критические показатели в фононной модели структурного фазового перехода кристаллов»

Автореферат диссертации на тему "Типичные особенности теплового сопротивления и критические показатели в фононной модели структурного фазового перехода кристаллов"

На правах рукописи

Ростова Антонина Тимофеевна

ТИПИЧНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ТЕПЛОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ И КРИТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ В ФОНОННОЙ МОДЕЛИ СТРУКТУРНОГО ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА КРИСТАЛЛОВ

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь, 2005

Работа выполнена на кафедре «Математических и естественнонаучных дисциплин» ГТИ (филиал) ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет».

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт физики при Ростовском государственном университете

Защита состоится «3» марта 2006 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.245.06 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Северо-Кавказском государственном техническом университете по адресу: 355029, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Северо-Кавказского государственного технического университета

Автореферат разослан 1 Февраля 2006 г.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Алтухов Виктор Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Садыков Сады к Абдулмурзаевич доктор физико-математических наук, профессор Борлаков Хиса Шамильевич

Ученый секретарь диссертационного совета

/¿&6А: ЛбЯЬ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Тепловые и кинетические свойства кристаллов самым непосредственным образом связанны с атомной структурой материала и даже самое незначительное количество примесей или дефектов (-10"6) существенно изменяет его кинетические свойства. Тепловое сопротивление и проводимость сегнетоэлектриков - полупроводников обнаруживают аномальное температурное поведение около температуры структурного фазового перехода Тс. Сегнето-злектрики, кристаллы с дефектами и фазовыми переходами экспериментально хорошо изучены и находят широкое применение в качестве материалов твердотельной микроэлектроники, что обусловлено богатством и разнообразием их физических свойств. Кроме того здесь в последние 10-15 лет были проведены (Струков, Белов: МГУ) прецизионные измерения температурной зависимости теплопроводности рада сегнетоэлектриков и обнаружены новые особенности на кривой к (Т) около температуры фазового перехода Тс. Одна* ко в теории кинетических свойств этих материалов имеется ряд принципиальных нерешенных вопросов - это и многочастичные корреляции, и критические показатели, и большие концентрации дефектов, примесей и другие. «►■ По этой причине остаются актуальными модельные исследования кинетических свойств-характеристик диэлектриков, керамики, сегнетоэлектриков и их пленок необходимых для нужд современной полупроводниковой микроэлектроники и разработок новых видов усфойств хранения информации. Это делает исследование свойств сегнетоэлектриков весьма актуальными как с теоретической, так и с практической точки зрения, что вызывает неослабевающий интерес к ним вот уже в течение ряда десятилетий.

Объектом диссертационного исследования является поведение теплового сопротивления сегнетоэлектрических кристаллов с дефектами вблизи температуры структурного фазового перехода (СФП), влияние различных механизмов рассеяния фононов на температурную зависимость теплопроводности и теория критических показателей, которые могут быть использованы при описании особенностей поведения теплопроводности сегнетоэлектриков около температуры фазового перехода .

Предметом диссертационного исследования являются математические модели типичных особенностей теплового сопротивления сегнетоэлектрических кристаллов, моделирование различных времен релаксации и значения критических индексов сегнетоэлектриков, которые можно использовать при моделировании особенностей температурного поведения теплопроводности

Целью работы является моделирование особенностей температурного поведения теплопроводности сегнетоэлектричееких кристаллов около тем- I

пературы структурного фазового перехода Т,, и их классификация. Моделирование механизмов рассеяния фононов, разработка математических моделей 1 и комплекса программ анализа и прогноза поведения теплового сопротивления кристаллов с дефектами, комплексами дефектов, СФП и получение чис-пенных значений критических индексов теории подобия в фононной модели сегнетоэлектрика.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Обзор и анализ методов исследования и экспериментальных данных поведения теплового сопротивления кристаллов с дефектами вблизи температуры СФП.

2. Моделирование различных механизмов рассеяния фононов и температурного поведения теплового сопротивления кристаллов типа БгТЮз и КОР.

3. Расчет, анализ и систематизация значений критических показателей универсальности в фононной модели сегнетоэлектрика.

4 Разработка программных средств для реализации и анализа моделей теплового сопротивления сегнетоэлектриков около Тс.

5. Результаты расчетов сопоставлены с данными соответствующих 1

экспериментов.

Достоверность полученных результатов обеспечена корректностью применяемого математического аппарата, использованием мощных матема-I ических пакетов прикладных программ типа Ма1Иса<1 2000 и подтверждена хорошим согласием с общими указаниями теории критических явлений и данными других авторов. Достоверность результатов также обеспечена, сравнением результатов моделирования с экспериментальными данными.

Научная новизна результатов:

1. Проведена классификация особенностей поведения теплового сопротивления сегнетоэлектрических кристаллов вблизи Тс.

2. Впервые получены, проанализированы и систематизированы численные значения критических индексов теории подобия в фононной модели сегнетоэлектрика.

3 Впервые описан новый эффект биений различных каналов рассеяния фононов.

4. Впервые разработаны математические модели и проведен численный анализ температурного поведения теплового сопротивления сегнетоэлектрических криааллов чипа БгТЮз и КОР вблизи температуры структурного фазового перехода.

5. Разработаны математические модели и комплекс программ для анализа и прогноза поведения теплового сопротивления кристаллов типа КОР с дефектами, комплексами дефектов и СФП.

Практическая значимость результатов данной работы:

1. Разработанная математическая модель применима для анализа и прогнозирования поведения теплового сопротивления сегнетоэлек-трических кристаллов вблизи температуры структурного фазового перехода, что помогает развивать технологии получения сегнето-электрических кристаллов с наперед заданными свойствами.

2. Полученные численные значения критических индексов сегнето-электриков, можно использовать при моделировании особенностей температурного поведения теплопроводности кристаллов к(Т) около температуры структурного фазового перехода Тг.

На защиту выносятся:

1. Классификация особенностей поведения теплового сопротивления сегнетоэлектрических кристаллов вблизи Тс.

2. Набор критических индексов полученный в фононной модели сег-нетоэлектрика в соответствии с соотношениями теории подобия.

3. Модель нового эффекта биений различных каналов рассеяния фоно-нов около Тс в кристаллах типа КОР.

4. Математические модели механизмов рассеяния фононов и температурного поведения теплового сопротивления сегнетоэлектрических кристаллов типа вгТЮ} и КОР вблизи температуры структурного фазового перехода

5. Математические модели и комплекс программ анализа и прогноза поведения теплового сопротивления кристаллов с дефектами, комплексами дефектов и СФП.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были доложены на следующих конференциях: на IV региональной научной конференции «Математическое моделирование и информационные технологии». - Георгиевск, 2004 г.; на IV и V Международных конференциях «Химия твердого тела и современные микро - и нанотехнологии». - Кисловодск - Ставрополь: СевКавГТУ,2004, 2005 г.; на VII Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологи» - Кисловодск, 2005 г.; на XVII Всероссийской конференции по физике сегнетоэлектриков, Пенза, 2005 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 работ. Из них 2 статьи в журнале «Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки.» , 1 статья депонирована в ВИНИТИ, остальные в материалах Международных и региональных конференций.

Структура и объем диссертации:

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений; содержит 129 листов текста, 2 таблицы, 34 рисунка, список литературы из 114 источников.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель и основные положения, выносимые на защиту, определена научная новизна и практическая значимость работы.

Первая глава диссертации - обзорная. В этой главе рассматривается теоретический и -экспериментальный материал, касающийся теплового сопротивления в кристаллах (диэлектриках и сегнетоэлектриках) вблизи температуры структурного фазового перехода. Рассмотрены методы исследования теплового сопротивления около Тс и механизмов рассеяния фононов в кристаллах с дефектами и фазовыми переходами - их влияние на теплопроводность кристаллов.

Во второй главе развит количественный подход описания различных аномалий температурной зависимости теплопроводности цг) вблизи температуры структурного фазового перехода ч с сегнетоэлектриков типа КОР, БгТЮз Представлены результаты численных расчетов на основе общей теории, учитывающей наиболее актуальные механизмы (неупругого и квазиупругого) критического рассеяния фононов выделены и приведены типичные особенности теплопроводности цт) при 7-»г,. Результаты численных расчетов сопоставляются с данными соответствующих экспериментов.

Согласно экспериментальным данным, теплопроводность сегнетоэлек-трических кристаллов цг) сильно уменьшается в широкой области температур около /, Кроме того, на кривой цт) вблизи г, часто наблюдаются:

A) явно выраженный, широкий, отрицательный (минимум) пик;

B) излом или особенность типа (отрицательного, положительного) каспа;

C) аномалия типа ступенька, скачек или шаг (точка разрыва I рода);

О) положительный более или менее симметричный пик около г,;

Е) разрыв или точка разрыва II рода при г -> г..

В теории аномалии типа А, В, С обычно связывают либо с неупругим рассеянием акустических фононов на критических (мягких ТО-фононах: ш0 ->о) либо с квазиупругим рассеянием тепловых акустических фононов на центральном пике, наблюдающемся в спектрах критического рассеяния света и нейтронов при г-*г.. При этом в основном рассматривают четыре наиболее важные механизма рассеяния фононов; 1) неупругое при г„«ю (где г„ критическое затухание мягкой моды); 2) релаксационное при ш5Г„; 3) квазиупругое рассеяние на центральном пике (ю->о); 4) взаимодействие критических флуктуаций (колебаний) с дефектами.

В ходе вычислений теплового сопротивления были получены кривые х(/> типичные для кристаллов типа КОР и вгТЮ, (рис.1 и рис. 3 - особенности В, С и А типа соответственно). Параметры мягкой моды

и времен релаксации т„ ( л,, лг, л3, а); тг (ф~ф, при г<т, и ф = ф: при />т1) были получены из условий наилучшего совпадения с данными опытов Значение 7,| определяется по (1) из уравнения ш„сг„) = о при ш„(гг) = 8„ и т„ <г,;

Рис. 1 .Температурная зависимость Х(Г) Рис. 2. Температурная зависимость

КН2А504 (1), КН2Р04 (2), К02Р04 (3) МП для Hg2Cl в направлении глав-

и вгТЮз (4). Непрерывные линии - ной оси кристалла,

теория, точки - эксперимент Особенность Э-типа на фоне поведе-

Особенности В, С и Е типа. ния типа А.

) ' 1 | ! г 1 | /и .. 1 1 , -Х(:1! \

! 1 -1 1 1 1 ! 1г<>\ • I 1

1 ; 1 1 1 ■ ¡|' 1 1 1

Рис 3. Теплопроводность ип кристаллов КОР в интервале температур 3-300 К Особенности А, В (Е) - типа.

I ffl

0,1

K1T) KolTI

ooc

0,01

0,1 1

KrfT> Ю1> ООО

0,01 ,

lio-1

fJt

/ // > i

k О

10 T,°K 100

МО1

i / \

1 10 т,°К 100 1 103

Рис. 4. Теплопроводность цг) кристаллов SrTi03 в интервале температур 3-300 К а) Особенности А, С (Е) - типа при значениях параметров теории

Al=l,65; А2=0,30; А3=7,0; (<D=F,=32; F2=5). б) Особенность В или С типа при значениях параметров теории Al=l,80; А2=0,32; А3=8,19; (<D=F,= 19; F2=3,5).

Температурная зависимость теплового сопротивления г1 (7) рассчитывалась в простой модели кристалла с дебаевским спектром частот согласно формуле:

т-1(со)=1тт1(со). (2) ' о (еух~1)г г 1

Здесь х - ш/шу , тв - частота Дебая, у = вт, !и\у к0 - постоянная Больц-

мана, «„ - постоянная решетки, т, - время релаксации, связанное с определенным механизмом рассеяния фононов:

т-1(со)=х-1(со)+-с71(со), (3)

х"1 = А^Га2 ехр(-а/Т), х~1 = А^ ю4, т~] = А^.

Время релаксации т0 - описывает каналы рассеяния* фононов в кристалле без фазового перехода (т,, г2, т, - отвечают рассеянию за счет сил энгармонизма примесей и границ образца соответственно). Времена т„, и т, связаны с неупругим и квазиупругим каналами рассеяния тепловых фононов на критических мягких фононах и на колебаниях ответственных за центральный пик.

Результаты численных расчетов согласуются с данными опытов (рис. 1, 3, 4). Согласие достигается путем оптимального подбора параметров а,, л2, л,, а, ф. Однако гип особенности при г->г, не всегда определяется однозначно. Тем не менее ясно, что для вгТЮ, и КБР - типа кристаллов квазиупругое рассеяние доминирует при ?-+/,. Это показывает, что квазиупругое рассеяние может доминировать над неупругим при 7 -»/ г. Кривая цт) около г, может иметь особенности А (рис. 2, 3, 4), В, С (рис. 1, 3,46), О (рис. 2) и Е (рис. 1, 3, 4а) - типа. Представленные на рис. 1, 3 и 4 результаты модельных расчетов аномального поведения х</) А, В, С и Е-типов, как это следует из сопоставления их с опытом, качественно хорошо соответствуют данным экспериментов.

Аномалия типа О показана на рис 2. Поведение этого типа связано с интерференцией различных механизмов рассеяния фононов. При наличии резонансного механизма рассеяния поведение цт) подобно эффекту фононого т-спектрометра, реализующемуся в кристаллах с парамагнитными примесями. Ясно, что трудности вычислений даже в простой модели кристалла связаны с необходимостью более точного расчета групповой скорости фононов

и = дт/дк, спектральной теплоемкости с(юг> и реальной плотности частот кристалла р(ю>. Ситуацию можно значительно улучшить путем прецизионных измерений величин и, с, р, т и хр) на одном и том же образце кристалла и параллельного, независимого определения всех необходимых параметров теории.

В итоге, как видно из рисунков I - 4, результаты моделирования температурного поведения теплопроводности кристаллов вблизи точки фазового перехода в целом хорошо согласуются с экспериментом, что подтверждает адекватность предложенных в настоящей работе моделей поведения цт) около /г.

В третьей главе проведен расчет, систематизация и анализ значений критических индексов в фононной модели сегнетоэлектрика. Для определения критических показателей конкретных систем аДу.т^б.у в теории фазовых переходов в настоящее время широко используют масштабные преобразования - ренормгрупповой подход Вильсона. В случае фононной модели сегнетоэлектрика в соответствии с этим подходом в были получены координаты неподвижной точки {U,,r. ). Найденное положение устойчивой неподвижной точки позволяет определить собственные значения матрицы масштабного преобразования модельного гамильтониана сегнетоэлектрика в виде X, = 2-е/З, Х2 = З-е/2 (е - малый параметр теории) и тем самым определить критические показатели физических систем с различной размерностью d (объемные d=3 или плоские d=2 системы). Согласно теории масштабной инвариантности при d = 4 для индексов v,y,rj получаем:

X —2

V=jL, У = 2-^—, ц = 6-2кт (4)

В общем случае для пространства размерности d достаточно определить два (например, у и v) из шести Д у, к S, а. >/ (поляризации, восприимчивости, корреляционной длины, внешнего поля, теплоемкости, малый индекс корреляционной функции, соответственно) критических индексов

v = l/^, у = (2X2-d)/Xy (5)

Toi да оставшиеся четыре индекса можно найти используя известные в теории универсальности общие соотношения подобия

2-<х=2р+у, (Зб = р+у, .

Пятое дополнительное соотношение можно получить на основе гипотезы масштабной инвариантности Каданова, Паташинского и Покровского

б?у=2-а=у+2р. (7)

В конечном счете индексы а,р,6 и г) можно выразить через собственные значения ^ иХг

а=2-сН%г Р=(ЙГ-Х2)/Я,г

5 = Х2/(с1-Х2), (8)

х\=С[+2-2Х2.

Действительно, для основных индексов в первом порядке по «малому» параметру е = 4- и в нашем случае (фононная модель сегнетоэлектрика) находим

р4(1-|).

У = 1 + |, (9)

8=1+у/р.

Полагая здесь е = I, в трехмерной модели (6=3) получаем численные значения таблицы 1 (первый столбец):

(5 = 0,334, у=1,166, у=0,583, 8=4,5. (Ю)

Оценивая значения «малых» кинетических индексов а и г| соответственно по (8) находим а = 0,166 и т) = 0. В целом полученные нами значения критических показателей согласуются с результатами других авторов (см. таблицу 1 столбцы 4-9: Сахненко, Тимонин а также Паташинский, Покровский; Ма). Для случая (1=2 (е = 2)соответственно получаем значения

р=1/6, у=4/3, у=4/6, 5=9. (И)

Изменения веек четырех индексов р, у, V, 5 при переходе от ¿ = з к </-2 находятся в хорошем согласии с общими указаниями теории критических явлений и данными опытов по рассеянию нейтронов и ЯМР некоторых систем (В* 0,14).

Таблица 1. Критические индексы для ряда модельных _систем различных материалов (с!=3)_

Сегнетоэлектрики Ферромагнетики Жидкость-газ соотношение подобия Свободное поле Гауссово прближение Область масштабной | инвариантности |

е -разложения ! соотношение подобия ÔCE1) ЭВМ соотношение подобия

(№

р 0.334 0.38 0.33 0.340 0.312 0.37 0.335 0.5 0.5 1/3

У 1.166 1 37 1.33 1.244 1.125 1.33 1.20 1 1 4/3

V 0.583 0.71 0.66 0.626 0.642 0.69 0.64 0.5 0.5 2/3

5 4.5 4.60 5.03 4.46 5.15 4.6 4.40 3 3 5

а 0.166 -0.13 0.01 0.077 0.125 -0.07 0.08 0 0.5 0

П 0.0 0.07 -0.01 0.037 0.055 0.07 О.П 0 0 0

п 1 3 3 1 1 - 1 1 1 1

Во втором и третьем столбцах таблицы приведены значения критических показателей для сегнетоэлектриков, полученные с использованием соотношений подобия (6) при исходных значениях для показателей р и у, взятых в приближении Q(e2). В четвертом-шестом столбцах приведены значения показателей для ферромагнетиков, рассчитанные в приближении Q(e'), на ЭВМ и по соотношениям (б) в соответствии со следствиями гипотезы подобии В седьмом-девяюм столбцах приведены сведения по критическим показателям для систем жидкость-газ, для свободного поля (в теории среднего поля Ландау) и в гауссовом приближении. Значения показателей десятого столбца получаем согласно соотношениям (6) и (7) в предположении, что «малые» критические индексы равны нулю, т.е. а = 0,г) = 0. Эти значения существенно отличаются от значений соответствующих критических показателей теории Ландау (8-ой столбец). Общие соотношения (6) в теории Ландау выполняются, однако гипотеза масштабной инвариантности (универсальности) здесь несправедлива и соотношение (7) (при d = З.а = 0) в теории Ландау не выполняется.

Как следует из таблицы, все показатели, за исключением а (индекс теплоемкости С), полученные в Гауссовом приближении и в рамках теории среднего поля, совпадают. Теплоемкость же в Гауссовом приближении не только претерпевает разрыв Ас при Т = ТГ, но и имеет расходимость при с! < 4. Причиной такого поведения теплоемкости являются флуктуации параметра порядка г), или мод с малыми, но не равными нулю, импульсами А 0. В теории же среднего поля модами с к * О пренебрегают. Насколько важны эти флуктуации, можно судить по величине параметра (или критерия) Гинзбурга

л2

сту

4-ч/

Ас

2-сИ2

1-77 Т'

(12)

где - постоянная, связанная со скачком теплоемкости. Тогда при ¿ = 3 имеем:

б» Г-Г,

,-1/2

и поскольку для критической области величина |Г - Т^ = |дг| < 1, то корреляционный параметр не является малым и флуктуации существенны в области |7* - Г, | ^ Т&т, т.е. эта область тем меньше, чем меньше 4Г.

Теория критических показателей, справедливых для широкой области температур отсутствуют. Можно предложить простейшую качественную модель для описания зависимости индексов у.у.р, от критерия О, если воспользоваться параметром Вильсона

ев = С/( 1 + С),

(13)

который стремится к нулю при (?->0 и к единице при в да. При Л теория Ландау справедлива (в термодинамическом пределе) при любых температурах. При этом для С »! (область масштабной инвариантности и выполнимости соотношения (7)) значения критических показателей совпадают со значениями 10-го столбца, а при О «1 - со значениями теории среднего поля (столбец 8). Таким образом, если в (7)положить <1 = 4-ел, то показатели а,у,р определяются следующими выражениями

у=2/(4-е5),

У = 4/(4-бд), (И)

При ё, = 0 (6 = 0) значения этих показателей совпадают с их значениями для свободного поля (8-ой столбец), а при е, = 1 (О »I) - со значениями в области масштабной инвариантности (столбец 10).

Численный анализ сечения рассеяния тепловых фононов и поведения теплопроводности Л(Т) около тс позволил определить критический показатель у, отвечающий за поведение сечения поглощения звука в кристаллах около Т,. Это значение совпадает с результатом для свободного (среднего) поля, где в соответствии с гипотезой подобия у = а + г\> динамический индекс корреляционной функции ток-ток г = 2.

Таким образом, полученные нами оценки значений критических индексов для сегнетоэлектриков в целом находятся в соответствии со значениями этих показателей, рассчитанных рядом авторов с использованием различных приближений для ферромагнетиков или для переходов типа пар-жидкость. Полученные результаты могут быть использованы при описании и классификации особенностей поведения теплопроводности сегнетоэлектриков около температуры фазового перехода Т.

Вопрос о наличии и условиях появления фазового перехода в конкретной пленочной системе, слое - всегда весьма сложный вопрос. Затруднения здесь связаны, в том числе со значительной сложностью и необходимой высокой точностью проводимых в этой области прецизионных экспериментов. Существенно, что от системы к системе даже такие базовые понятия как пленка, поверхность, слой каждый раз получают новые содержательные обозначения. Поэтому ставится вопрос и о корреляции кинетических характеристик и их особенном (критическом) поведении около точки структурного фазового перехода Т1 на поверхности, в слое, в пленке, в объемных образцах. С учетом сказанного, критические показатели, полученные в предложенном подходе, могут играть роль отправных значений р, у, к, 8 при анализе критического поведения крайне сложных в этом отношении плоских и слоистых систем.

В четвертой главе проводится численный анализ различных механизмов рассеяния фононов и показано их влияние на температурную зависимость коэффициента теплопроводности кристалла Н)Р. Рассмотрено резонансное рассеяние фононов на магнитных примесях, дефектах и коллоидах, построены частотные и температурные зависимости времен релаксации и

проведено моделирование температурного поведения теплопроводности данного кристалла.

Известно, что тепловое сопротивление сегнетоэлектрических кристаллов при низких температурах (Т £ 0 - температуры Дебая) отличается крайне высокой чувствительностью к наличию в решетке (матрице) структурного фазового перехода, к дефектам решетки, их комплексам (кластерам, коллоидам, доменам) и наноструктурам. Такие нарушения решетки всегда образуются как в процессе роста кристаллов, так и в ходе внешнего воздействия на них (легирование, облучение, внешнее поле). Известно также, что теплопроводность сегнетоэлектрических кристаллов ЦТ) сильно уменьшается в довольно широкой области температур (десятки °К), а непосредственно около температуры фазового перехода Ть, как отмечалось выше, кривая ЦТ) может иметь излом, ступеньку, скачек (шаг) или особенность типа капса. Такое (типичное) поведение ЦТ) около Тс имеет свое теоретическое объяснение. В последнее время, в ходе прецизионных измерений около Тс были обнаружены новые необычные особенности (эффекты), представляющие собой ярко выраженные (1-2 °К) пики (максимумы) или полочки вблизи Т, на фоне широкого прогиба (минимума) или даже провала на кривой ЦТ). Такие особенности до сих пор не имеют должного объяснения и связаны на наш взгляд с эффектами биений различных каналов рассеяния фононов сильно конкурирующих при Т-»ТС.

В простой модели с дебаевским спектром частот, кривую теплопроводности ЦТ) кристалла с фазовым переходом можно представить в виде:

05)

Здесь = + + + (16)

- сумма обратных времен релаксации, обусловленных рассеянием фононов в исходном («идеальном») кристалле, за счет механизмов структурного фазового перехода, дефектов и их комплексов соответственно. В результате модельных расчетов по формулам (15) и (16) удалось показать, что вблизи Ть ведущую роль играет квазиупругое рассеяние фононов т;1 и рассеяние на комплексах (коллоидах, доменах) - наноструктурах, особенно интенсивно образующихся в некотором интервале температур около Тс. В итоге удалось для ряда систем модельно воспроизвести топологию поведения кривой ЦТ) в широком интервале температур и подтвердить предположение о том, что «эффект биений» каналов рассеяния в ряде случаев приводит к особому по-

ведению ЦТ) около в виде излома, полочки и даже узкого пика (максимума) на фоне широкого спада, прогиба или провала около

В подтверждение сказанного рассмотрены экспериментальные данные, полученные А А. Беловым и Б. А. Струковым и проведены численный анализ температурного поведения теплопроводности систем типа КОР вблизи точки струкгурного фазового перехода.

Проведенный анализ влияния различных механизмов рассеяния позволяет сделать вывод о том, что резонансное рассеяние фононов на магнитных примесях оказывает заметное влияние на теплопроводность в низкотемпературной области и формирует прогиб в области температур от 20 до 40 К. Для простоты и удобства расчета при дальнейшем анализе пренебрегаем обратным временем релаксации у,„(х,Т), задав концентрацию магнитных примесей равной нулю. Таким образом, кривая теплопроводности кристалла КЭР будет подвержена влиянию и конкурирующему воздействию квазиупругого механизма рассеяния фононов и рассеянию фононов на наноструктурах типа коллоидов. При ¿том коллоиды в сегнетоэлектриках могут появляться в области фазового перехода (справа или слева) и изменять ход температурной зависимости теплопроводности кристалла в некотором интервале температур. Затем с определенной температуры коллоиды способны исчезать или действовагь на кристалл с другой интенсивностью, выражающейся в изменении их концентраций.

Предположим, что коллоиды с концентрацией М1=Ы2=2.1 возникают в области температур от Т|=120,4 К до Т2 =121,74 К, после чего они исчезают и I

вновь появляются с некоторой температуры Т3=121,99 К.

Тогда коллоиды, возникающие в интервале температур от Т[ до Т2) будут описываться следующим временем релаксации'

То есть за пределами указанного интервала данное время релаксации равно нулю. Аналогично для коллоидов, появляющихся с некоторой температуры Г) с концентрацией N3 = N4 = 170, обратное время релаксации будет равно:

Уки2^Х,Т,КГГ2,МГМ2) = <(18>

Тогда обратное время релаксации, входящее в интеграл теплопроводности наряду с у0 и ус, будет определяться по формуле:

Для построения кривой теплопроводности с некоторым шагом изменим значения температуры от 119 К до 122 К. При этом температурная зависимость теплопроводности кристалла КОР в сочетании с экспериментальными результатами примет вид, иллюстративно представленный на рисунке 5.

Рисунок 5 - Температурная зависимость теплопроводности кристалла КСР в сопоставлении с экспериментальными данными (точками указаны результаты эксперимента)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

2. Описан «новый» эффект биений различных каналов рассеяния фоной ов.

3. Получены, проанализированы и систематизированы численные значения критических индексов теории подобия в фононной модели сегнетоэлектрика.

4. Разработаны математические модели и проведен численный анализ температурного поведения теплового сопротивления сегнетоэлектрических кристаллов типа 5'гЪО] и КйР вблизи температуры структурного фазового перехода.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. АЛТУХОВ В И , РОСТОВА А. Т. Температура структурного фазового перехода как функция управляемого состава в растворах Ai ХВ„С // Материалы V Региональной научно-технической конференции «Вузовская наука Северо-Кавказскому региону», Ставрополь, 2001, с. 18.

2 АЛТУХОВ В. И , РОСТОВА А Т. Неподвижная точка и критические индексы в трех- и двухмерной модели сегнетоэлектрика. // Материалы VII Региональной научно-технической конференции «Вузовская наука Северо-Кавказскому региону», Ставрополь, 2003, с 8 i

3. В И АЛТУХОВ, И.Н.КОВАЛЕВА, А.Т. РОСТОВА Корреляционная функция ток-ток и неподвижная точка в изотропной фо-

нонной модели сегнетоэлектрика (Северо-Кавказский государст- i

венный технический университет - Георгиевск, 2003. - 9 е.- Биб-лиогр. 15 назв - Рус. - Деп. В ВИНИТИ)

4. АЛ1УХОВ В. И., РОСТОВА А. Т. Неподвижная точка и криж-ческие индексы в теории масштабной инвариантности сегнетоэлектрика // Материалы IV региональной научной конференции «Математическое моделирование и информационные технологии», Георгиевск, 2004, с. 32-34.

5. АЛТУХОВ В И , АКИМОВА Н. В , РОСТОВА А. Т Критическое поведение фононной функции Грина вблизи температуры структурного фазового перехода Тс.// Материалы И Региональной научной конференции студентов и преподавателей, Георгиевск, 2002 г, с. 44-45

6. АЛТУХОВ В. И., КАЗАРОВ Б. А., РОСТОВА А. Т Критические индексы и математическое моделирование типичных особенностей теплового сопротивления в фононной модели сегнетоэлектрика // Материалы VII Международного симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии», Кисловодск, 2005 г. с. 142-143.

7 АЛТУХОВ В И , РОСТОВА А. Т. Возможные значения критических индексов для плоских систем-пленок с фазовыми переходами // Материалы IV Международной конференции «Химия

твердого тела и современные микро - и нанотехнологии». - Кисловодск - Ставрополь: СевКавГТУ, 2004 г. с. 43-44.

8. АЛТУХОВ В. И., РОСТОВА А. Т Набор критических индексов универсальности и тепловые свойства кристаллов в фононной модели сегнетоэлектрика // Материалы VII Всероссийской конференции по фйзике сегнетоэлектриков, Пенза, 2005 г. с. 95-96.

9. РОСТОВА А. Т., КАЗАРОВ Б. А , АЛТУХОВ В. И. Эффект биений различных каналов теплового сопротивления вблизи Tí в сегнетоэлектриках с кластерами и наноструктурами. // Материалы V Международной конференции «Химия твердого тела и современные микро - и нанотехнологии». - Кисловодск: СевКавГТУ, 2005 г. с. 138.

10. РОСТОВА А. Т., КАЗАРОВ Б. А., АЛТУХОВ В. И. Математические модели и типичные особенности теплового сопротивления сегнетоэлектриков. // Известия вузов Северо-Кавказский регион. Технические науки. Приложение №2. Г. Ростов - на - Дону, 2005. с. 36 - 40.

11. РОСТОВА А. Т., АЛТУХОВ В. И Набор критических индексов теории универсальности в трех - и двухмерных фононных моделях сегнетоэлектриков. // Известия вузов Северо-Кавказский регион Технические науки. Приложение №2. г. Ростов - на - Дону, 2005. с. 40 - 43.

Подписано в печать 24.01.2006 г. Формат 60X84. 1/16 Усл. п. л - 1,25 Уч.-изд. л. - 0,83 Бумага офсетная. Печать офсетная. Заказ 19 Тираж 100 экз. ГОУВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет» 355029, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2 Издательство Северо-кавказского государственного технического университета Отпечатано в типографии СевКавГТУ

I I \

) I t

»•2652

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ростова, Антонина Тимофеевна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ, ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ И МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КРИСТАЛЛОВ.

1.1. Теплопроводность кристаллов - общие положения.

1.2. Обзор механизмов рассеяния фононов в кристаллах с дефектами. Влияние на теплопроводность. Методы исследования.

1.3. Теплопроводность кристаллов вблизи температуры структурного фазового перехода.

Глава 2 РАССЕЯНИЕ ФОНОНОВ. КЛАССИФИКАЦИЯ СОБЕННОСТЕЙ ТЕПЛОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ КРИСТАЛЛОВ ВБЛИЗИ Тс.

2.1. Кооперативные эффекты.

2.2. Транспортное уравнение типа Бете-Солпитера. Функции Грина неупорядоченного кристалла.

2.3 Транспортное время релаксации.

2.4. Решение обобщенного транспортного уравнения.

2.5. Спектральная плотность частот. Скорость релаксации фононов вблизи Тс.

2.6. Механизмы рассеяния фононов. Неупругое, квазиупругое рассеяние.

2.7. Численный анализ температурного поведения теплопроводности систем типа SrTi03 и KDP.

2.8. Типичные особенности теплового сопротивления сегнетоэлектриков

Глава 3 СИСТЕМА КРИТИЧЕСКИХ ИНДЕКСОВ ТЕОРИИ УНИВЕРСАЛЬНОСТИ В ФОНОННОЙ МОДЕЛИ

СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКА.

3.1. Принципы и действие ренормализационной группы.

3.1.1. Идея метода ренормализационной группы.

3.1.2. Траектории гамильтониана при ренормгрупповом преобразовании

3.1.3. Понятие неподвижной точки.

3.2. Расчет и систематизация критических индексов.

3.2.1. Корреляционная функция ток-ток и положение неподвижной точки.

3.2.2. Система и анализ критических индексов

Глава 4 ЭФФЕКТ БИЕНИЙ РАЗЛИЧНЫХ КАНАЛОВ РАССЕЯНИЯ ФОНОНОВ В СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ.

4.1. Анализ механизмов рассеяния фононов в сегнетоэлектриках.

4.1.1. Исходное время релаксации.

4.1.2. Квазиупругое рассеяние фононов.

4.1.3. Резонансное рассеяние фононов на магнитных примесях.

4.1.4. Рассеяние фононов на коллоидах.

4.1.5. Резонансное рассеяние фононов на дефектах.

4.1.6. Анализ влияния механизмов рассеяния фононов на температурную зависимость теплопроводности сегнетоэлектрических кристаллов.

4.2. Эффект биений различных каналов рассеяния фононов.

Введение диссертация по физике, на тему "Типичные особенности теплового сопротивления и критические показатели в фононной модели структурного фазового перехода кристаллов"

Актуальность проблемы. Тема исследования связана с фундаментальной проблемой физики конденсированных сред - изучением влияния структуры вещества, фазового перехода и дефектов решетки на кинетические и другие свойства реальных кристаллов - диэлектриков и сегнетоэлектриков. Тепловые и кинетические свойства кристаллов самым непосредственным образом связанны с атомной структурой материала и даже самое незначительное количество примесей или дефектов (~10"6) существенно изменяет его кинетические свойства. Тепловое сопротивление и проводимость сегнетоэлектриков - полупроводников обнаруживают аномальное температурное поведение около температуры структурного фазового перехода Тс [10,19,2,91]. Сегнетоэлектрики, кристаллы с дефектами и фазовыми переходами экспериментально хорошо изучены и находят широкое применение в качестве материалов твердотельной микроэлектроники, что обусловлено богатством и разнообразием их физических свойств. Кроме того здесь в последние 10-15 лет были проведены (Струков, Белов: МГУ) прецизионные измерения температурной зависимости теплопроводности ряда сегнетоэлектриков и обнаружены новые особенности на кривой к(Т) около температуры фазового перехода Тс [19, 21, 12, 17]. Однако в теории кинетических свойств этих материалов имеется ряд принципиальных нерешенных вопросов - это и многочастичные корреляции, и критические показатели, и большие концентрации дефектов, примесей и другие.

По прежнему, являются актуальными модельные исследования кинетических свойств-характеристик диэлектриков, керамики, сегнетоэлектриков [91]; вычисления значений критических показателей и особенно динамического критического индекса [98] для объемных образцов, слоев и пленок [9] необходимых для нужд современной полупроводниковой микроэлектроники и разработок новых видов устройств хранения информации.

Это делает исследование свойств сегнетоэлектриков весьма актуальными как с теоретической, так и с практической точки зрения, что вызывает неослабевающий интерес к ним вот уже в течение ряда десятилетий [3,4,10].

Новый, микроскопический, уровень исследований здесь потребовал развития соответствующих теоретических представлений и модельного подхода к изучению динамики структурно-неустойчивой кристаллической решетки.

Несмотря на успехи теории (фононной, вибронной, феноменологической) структурных, в том числе сегнетоэлетрических фазовых переходов, до настоящего времени в целом крайне мало исследовано критическое поведение тепловых и особенно кинетических характеристик кристаллов. Отсутствует последовательное изложение и применение модельного микроскопического подхода в теории симметрии и структурной неустойчивости кристаллической решетки [3-8, 10-18].

Роль примесей и дефектов, влияние фазового перехода на спектральные и кинетические характеристики кристаллов исследовались многими авторами, но, несмотря на успехи теории, до настоящего времени крайне мало исследовано критическое поведение кинетических характеристик кристаллов. В последнее время появился ряд работ [1-4, 14, 15, 18] и обзоров [7, 10, 12, 13, 17, 19, 21], посвященных вопросам теории фазовых переходов реальных кристаллов, в которых нашло отражение значительное понимание, достигнутое в этой области. Работами известных авторов были заложены основы микроскопической теории колебаний слабонеупорядоченной кристаллической решетки, описывающей модификацию и тонкую структуру соответствующих фононных спектров [1, 14]. Выяснена роль локальных и квазилокальных колебаний, объяснены весьма яркие явления перегибов и прогибов (провалы, изломы, скачки, особенности типа капса, точки разрыва 1-го или 2-го рода) на кривой температурной зависимости теплопроводности и проводимости целого ряда диэлектриков и сегнетоэлектриков. Однако, численные расчеты на микроскопическом уровне (с учетом атомной структуры дефектов и тонкой структуры соответствующих фононных и электронных спектров) натолкнулись на серьезные трудности. Это было связано с тем, что возмущения решетки здесь очень часто не малы и обычное кинетическое уравнение Больцмана, как правило, оказывается не применимо. Поэтому многие авторы исследовали главным образом различные предельные случаи, связанные с предположениями о наличии одного и нескольких малых параметров теории (малая концентрация примесей, теория возмущений, борновское приближение). В итоге были установлены общие представления о поведении коэффициентов переноса систем в предельных случаях.

В тоже время остались открытыми ряд важных вопросов: особенности теплового сопротивления сегнетоэлектриков около температуры фазового перехода Тс, классификация аномалий теплового сопротивления вблизи Тс, различие поведения теплового сопротивления слева и справа от точки фазового перехода. Объяснение и анализ данных вопросов представляется весьма актуальным, так как они играют важную роль для практического использования в таких системах, как окилы металлов, ионные (щелочногалоидные) кристаллы, сегнетоэлектрики типа KDP и А4В6 и другие.

Теория критических показателей, которые могут быть использованы при описании особенностей поведения теплопроводности сегнетоэлектриков около температуры фазового перехода Тс, справедливых для широкой области температур отсутствует. Поэтому представляется актуальным получение численных значения для критических индексов сегнетоэлектриков, которые можно использовать при моделировании особенностей температурного поведения теплопроводности кристаллов к(Т) около температуры структурного фазового перехода (СФП) Тс.

Целью работы является классификация особенностей температурного поведения теплопроводности сегнетоэлектрических кристаллов около температуры структурного фазового перехода Тс, и их моделирование. Моделирование механизмов рассеяния фононов, разработка математических моделей и комплекса программ анализа и прогноза поведения теплового сопротивления кристаллов с дефектами, комплексами дефектов, СФП и получение численных значений критических индексов теории подобия в фононной модели сегнетоэлектрика.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

2. Моделирование различных механизмов рассеяния фононов и температурного поведения теплового сопротивления кристаллов типа SrTi03 и KDP.

4. Разработка программных средств для реализации и анализа моделей теплового сопротивления сегнетоэлектриков около Тс.

5. Результаты расчетов сопоставлены с данными соответствующих экспериментов.

Достоверность полученных результатов обеспечена корректностью применяемого математического аппарата, использованием мощных математических пакетов прикладных программ типа Mathcad 2000 и подтверждена хорошим согласием с общими указаниями теории критических явлений и данными других авторов. Достоверность результатов также обеспечена, сравнением результатов моделирования с экспериментальными данными.

Научная новизна результатов:

3. Впервые разработаны математические модели и проведен численный анализ температурного поведения теплового сопротивления сегнетоэлектрических кристаллов типа SrTiOj и KDP вблизи температуры структурного фазового перехода.

4. Впервые описан новый эффект биений различных каналов рассеяния фононов.

5. Разработаны математические модели и комплекс программ для анализа и прогноза поведения теплового сопротивления кристаллов типа KDP с дефектами, комплексами дефектов и СФП.

Практическая значимость результатов данной работы:

1. Разработанная математическая модель применима для анализа и прогнозирования поведения теплового сопротивления сегнетоэлектрических кристаллов вблизи температуры структурного фазового перехода, что помогает развивать технологии получения сегнетоэлектрических кристаллов с наперед заданными свойствами.

На защиту выносятся:

3. Математические модели механизмов рассеяния фононов и температурного поведения теплового сопротивления сегнетоэлектрических кристаллов типа SrTiOj и KDP вблизи температуры структурного фазового перехода

4. Модель нового эффекта биений различных каналов рассеяния фононов около Тс в кристаллах типа KDP.

В первой главе рассматривается теоретический и экспериментальный материал, касающийся теплового сопротивления кристаллов вблизи температуры структурного фазового перехода в кристаллах с дефектами. Рассмотрены методы исследования теплового сопротивления около Тс, механизмов рассеяния фононов в кристаллах с дефектами и фазовыми переходами и их влияние на теплопроводность кристаллов.

Проведен анализ экспериментальных данных поведения теплового сопротивления вблизи температуры структурного фазового перехода в сегнето-электрических кристаллах.

Во второй главе работы рассмотрено нелокальное уравнение теплопроводности, позволяющее описать спектр и распространение тепловых импульсов в решетке с примесями. Показано, что запаздывающая двухчастичная функция Грина удовлетворяет соответствующему уравнению типа Бете-Солпитера, позволяющему корректно ввести транспортное-многочастичное время релаксации, определяющее поведение коэффициента стационарной теплопроводности системы. Показано, что решение обобщенного транспортного уравнения с учетом сингулярной области частот фононов приводит к появлению так называемого центрального пика доминирующего в спектральной плотности частот системы вблизи температуры структурного фазового перехода Тс.

Проведена классификация особенностей теплового сопротивления сег-нетоэлектрических кристаллов вблизи Тс.

Проведен численный анализ аномального температурного поведения затухания тепловых фонов и коэффициента теплопроводности модельных систем типа БгТЮз и KDP вблизи температуры структурного фазового перехода Тс. Результаты расчетов сопоставлены с данными соответствующих экспериментов.

В третьей главе рассмотрены принципы метода ренормализационной группы и неподвижная точка. Получены численные значения критических индексов теории подобия в фононной модели сегнетоэлектрика, проведена систематизация и анализ значений критических индексов.

В четвертой главе проводится численный анализ различных механизмов рассеяния фононов и показано их влияние на температурную зависимость коэффициента теплопроводности кристаллов типа KDP. В частности, рассмотрено резонансное рассеяние фононов на магнитных примесях, дефектах и коллоидах, построены частотные и температурные зависимости времен релаксации и проведено моделирование температурного поведения теплопроводности указанного кристалла.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

2. Получены, проанализированы и систематизированы численные значения критических индексов теории подобия в фононной модели сегнетоэлектрика.

3. Разработаны математические модели и проведен численный анализ температурного поведения теплового сопротивления сегнетоэлектрических кристаллов типа БгТЮз и KDP вблизи температуры структурного фазового перехода.

4. Описан «новый» эффект биений различных каналов рассеяния фононов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в диссертационной работе исследования направлены на изучение кинетических свойств сегнетоэлектрических кристаллов с дефектами, кластерами, наноструктурами, и позволят прогнозировать поведение теплового сопротивления вблизи Тс, что обеспечит получение кристаллов с заранее заданными свойствами.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Ростова, Антонина Тимофеевна, Ставрополь

1. Марадудин А. Дефекты и колебательный спектр кристаллов. — Перевод с англ. М.: Мир, 1968. - 432 с.

2. Алтухов В. И. Симметрия и структурные фазовые переходы в кристаллах. Ставрополь: СевКавГТУ, 2003. 96 с.

3. Аксенов В.Л., Плакида Н.М., Стаменкович С. Рассеяние нейтронов сег-нетоэлектриками. Энергоатомиздат, 1984. - 336 с.

4. Брус А., Каули Р. Структурные фазовые переходы. Перевод с англ. -М.: Мир, 1984.-407 с.

5. Ма Ш. Современная теория критических явлений / Под ред. Н.Н. Боголюбова (мл), В.К. Федянина. Перевод с англ. - М., 1960. - 296 с.

6. Румер Ю.Р., Рыбкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука, 1977, 552 с.

7. Струков Б.А. Сегнетоэлектричество. М.: Наука, 1979, 96 с.• 8. Кубо Р. Термодинамика. Мир, 1979, 298 с.

8. Сигов А. С. Сегнетоэлектрические тонкие пленки в микроэлектронике. Москва, 1996.

9. Ю.Алтухов В. И. Автореферат докт. Дисс. Количественная теория явлений фононного и электронного переноса в ионных кристаллах с дефектами и структурными фазовыми переходами, Москва, МГУ, 1991, с.32. '

10. Элиот Р., Крумхансл Дж. Лис. П. // В кн.: Теория и свойства неупорядоченных материалов.- М.: Мир, 1977, с. 11-248.

11. Altukhov V. I., Strukov В. A. Cond. Matt. Phys. 2002. v.5 №4, p.p. 769776.

12. Kristoffel N. and Konsin P. Phys. of sof. (b) 1998. v. 149, p.p. 11-40.

13. Вакс В.Г. Введение в микроскопическую теорию сегнетоэлектриков.1. М.: Наука, 1973.-327 с.

14. Звягин И. П. Неупорядоченные явления в неупорядоченных полупроводниках, МГУ, 1984.

15. Левашок А.П., Сигов А.С. Структурные фазовые переходы в кристаллах с дефектами / Изв. АН СССР. Сер. физ., 1985. Т. 49, № 2. - С. 219-225.

16. Алтухов В. И., Струков Б. А., Катрышева М. В. Микросистемная техника-2003 №5, с. 11-14.

17. Струков Б. А. Левашок А. П. Физические основы сегнетоэлектриче-ских явлений в кристаллах. М.: Наука, 1995.

18. Strukov В.A. and Belov A.A. Phase trausition. 1994,v. 51, p. 175.

19. Levanyuk A. P., Sigov A. S. Defects and structurial phage transition. New-York, Gordon and Breach, 1998.

20. Strukov B. A., Belov A. A., Altukhov V. I. Ferroelectrics. 1994, v/ 159. -p. 25-30.

21. Честер Дж. Теория необратимых процессов / Под ред. Д.Н. Зубарева. -Пер. с англ. М.: Наука, 1966. - 111 с.

22. Пригожий И. Неравновесная статистическая механика / Под ред. Д.Н. Зубарева. Пер. с англ. - М.: Мир, 1964. - 314 с.

23. Вопросы квантовой теории необратимых процессов /Сб. статей, Под ред. В.Л. Бонч-Бруевича. Пер. с англ.-М.: ИЛ, 1961.-365 с.

24. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука, 1971.-415 с.

25. Kubo R., Yokata М., Nakajima S. Statistical Mechanical Theory of Irreversible Processes. II. - J. Phys, Japan, 1957. - V. 12, N 11. - P. 1203-1211.

26. Greenwood D.A. The Boltzman Equation in the Theory of Electrical Conduction in Metals. Proc. Phys. Soc., 1958. V. 71, N 460. - P. 585-596.

27. Лось В.Ф. К теории проводимости Кристаллов. ТМФ, 1984. - Т. 60, № I. - С. 107-119.

28. Берман Р. Теплопроводность твердых тел. Мир. Москва. 1979.

29. Klemens P. G. Proc. Phys. Soc., А. 68. 1113 (1955)

30. Ziman J. M. Electrons and phonons. Clarendon Press, Oxford, (1960).

31. Carruters P. Rev. Mod. Phys., 33, 92, 843 (1967).

32. Ваошап F. C. Pouhl R. O., Phys Rev., 163, 843 (1967).

33. Krumhansl J. A., Matthew I. A., Phys Rev., 140, A1812 (1965).

34. Yossouf M. Mahanty J. Proc. Phys. Soc., 87. 684 (1966).

35. Yossouf M. Mahanty J. Proc. Phys. Soc., 90. 519 (1967).

36. Rayleigh L., в книге Theory of sound (2 nd ed). Vol. 11, 1896 Dover Publications, New York, 1945.

37. Tark L. A., Klemens R O. Phys Rev. 89, 4422 (1974).

38. Anderson V. C., Joum. Acoust. Soc. Am. 22, 426 (1950). 40.Schwartz J. W., Walker С. Т., Phys Rev. 155. 969.(1967). 41 .Nabarro F. R. N. Proc. Ray. Soc., A 209, 278 (1951).

39. Klemens P. G. Solids State Physics eds. F. Seltz, D. Tumbull. Vol. 7. Academic Press New York, 1958. p. 1

40. Bross H., Seeger A., Haberkom R. Phys. Stat. Sol., 3, 1126 (1963).44,Ohashi. K., Joum. Phys. Soc. Japan, 24, 437 (1968).

41. Anderson V. C., Malinowski M. E. Phys Rev., В 5, 3199 (1972). 46.Suzuki Т., Suzuki H., Joum. Phys. Soc. Japan, 32, 164 (1972).

42. Pohl R. O., Phys Rev. Lett., 8. 481.(1962).

43. Seward W. D. Proc. Intern. Conf. Low. Temp. Phys. Columbus, Ohio, 1964.

44. Walker С. T. Pohl R. O. Phys Rev., 131, 1433 (1963).

45. Pohl R. O., Zs. Phys. 176, 358 (1963).

46. KleinM. V. Phys Rev., 123, 1977(1961).

47. Worlock J. M., Ph. D. Thesis, Cornell University, 1962.

48. Walker С. T. Phys Rev., 132, 1963.

49. Brout R., Visscher W. M., Phys Rev. Lett., 9,54(1962). m 55.Klein M. V. Phys Rev., 131, 1500 (1963).

50. Takeno S. Progr. Theor. Phys., 30, 144 (1963).

51. Callaway J., Nuovo Cimento, 29, 883 (1963).

52. Krumhansl J. A. Proc. Intern. Conf. Lattice Dynamics, Copenhagen, 1963, 1965, p. 523.

53. Elliot R. G., Taylor D. W., Proc. Phys. Soc., 83, 189 (1964).

54. Maradudin A. A., Journ. Am. Chem. Soc., 86, 3405 (1964)/

55. W0II E. J. Jr., Phys Rev., 137, A95 (1965).

56. Kubo R. Yokota M., Nakajima S., journ. Phys. Soc. Japan, 12, 1203 (1957).

57. Wagner M., Phys Rev., 131, 1443 (1963).

58. Wagner M., Ann. Phys., 11, 59 (1963).

59. Белов А. А. Автореферат канд. дисс. МГУ.

60. Suemune Y.J Phys. Soc. Jap. 1967, v. 22, p. 735.

61. Steigmeier E.F. Phys. Rev. 1968, v. 168, p. 523.

62. Inone MJ. Thermal conductivity of some ferroelectrics. J.Phys.Soc.Jap., 26,420(1969).

63. Nottleton R.E. Ferroelectric phase transitions: a review of theory and experiment. Part 2- thermal conductivity. Ferroelectrics, 1, 87(1970).

64. Балагуров Б.Я. Затухание высокочастотного звука и теплопроводность в сегнетоэлектриках типа смещения.-ЖЭТФ, 1971, т.61, В.4, с. 1627.

65. Altukhov V.I. Quasi-elastic scattering ofphonon and thermal conductivity of crystal presenting a structural phase transition.- Phys.Stat.Sol. (b),93, K115 (1979).

66. Алтухов В.И. Особенности теплового сопротивления кристаллов. Испытывающих структурный фазоывй переход. Изв. АН ЭССР, сер. Физ.мат. 29,46(1980).

67. Kobayashi К.К. Dynamics of crystal fluctuations. -J. Phys. Soc.Jap., 24, 497(1968).

68. Иолин E.M. Влияние спин-фононного взаимодействия на теплопроводность парамагнетика.-ФТТ, 1970, т. 12. в.4, с. 1159-1166.

69. Алтухов В.И., Завт Г.С. Резонансное рассеяние фононов на парамагнитных ионах. ФТТД977. т. 19, №4, с. 1057-1064.

70. Кащеев О критических аномалиях теплопроводности сегнетоферромагнетиков. Изв. АН Латв. ССР, сер. физ.и техн. наук, 6, 20 (1985).

71. Кубо Р. В «Термодинамика необратимых процессов» под редакцией Д.Н.Зубарева. НЛ, 1962, с.345

72. Altukhov V.I. Theory of lattice thermal conductivity ofanharmonic crystal with impurities. I General. Phys. Stat. Sol. (b) 64,403-412 (1974).

73. Altukhov V.I. and Zavt G.S. II Interference Effects. -Phys.Stat.Sol.(b), 65,83-92(1974).

74. Pytte E. Phys.Rev. The critical damping of the soft wode. -Phys. Rev. В 1, 924(1920).

75. Strukov B.A. and Belov A.A. Heat transport properties of ferroelectrics and related materials. Phase transition JH, 175-197 (1994).

76. Suemnne Y.J. Thermal conductivity of some ferroelectric crystals with hydrogen bonds. Phys.Soc.Jap., 22, 735(1967).

77. Steigmeier E.F.Field effect on the cochran mode in SrTi03. -Phys. Rev, 168,523(1968).

78. Mermelstein M. D. and Cummins H.Z. The lith scattering in ferroelectrics. -Phys.Rev. В 16, 2177( 1977).

79. Аксенов В.Л. Плакида H. M., Стаменкович С. Рассеяние нейтронов сегнетоэлектриками. М., Энергоатомиздат, 1984, 256 с.

80. Levancyuk А. P., Sigov А.С., Yermolov A.F. Anomalies of the heat 60 conductivity fn structural phase transitions in perfect and imperfect crystals.-The third Soviet-Japanese symposium on ferroelectricity. Abstracts, p.87-89. Novosibirsk (1984).

81. Леванюк А.П., Осипов B.B., Сигов А.Г., Собянин А.А. Изменения структуры дефектов и обусловленные ими аномалии свойств веществ вблизи фазовых переходов,- ЖЭТФ, 1977, т. 76, № 1, с. 345-368

82. Strukov В.A., Belov А.А. and Altukhov V.I. Study of phonon scattering processes in displacive ferroelectrics by means of heat conductivity measurement. Ferroelectrics, 159,25-30(1994).

83. Strukov B.A. and Belov A.A. Heat transport properties of order-disorder type ferroelectrics.- Ferroelectrics, 126 ,299 (1992).

84. Алтухов В.И. Материалы I региональной научной конференции. Сев-КавГТУ, 2001.-32 с.

85. В. И. Алтухов. Основы теории кинетических свойств кристаллов с дефектами и фазовыми переходами: диэлектрики и сегнетоэлектрики.- Ставрополь: СевКавГТУ, 2003. 188 с.

86. Altukhov V. I. Phys.Stat.Sol. 1974, v. (b) 93, p. 403.

87. Altukhov V. I., Zavt G. S. Phys. Stat. Sol. 1974, v. (b) 68, p. 83.

88. Алтухов В. И., Ковалева И. Н. материалы XXXI научно- технической конференции. СевКавГТУ, 2001, с. 50-51.

89. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и Е-разложение / Под ред. В.К.Федянина. Перевод с англ. - НФФ, М.: Мир, 1975. - В. 5. - 256 с.

90. Паташинский А.З., Покровский B.JI. Флуктуационная теория фазовых переходов. М., Наука, 1982. - 382 с.

91. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: наука, 1982. - 608с.

92. Сахненко В. П., Тимонин П. Н. Критическая динамика изотропной фононной модели // ЖЭТФ. 1983. Т. 85. №4 (10). С. 1286-1298; 1979. Т. 76. № 1.С. 194-204.

93. Тимонин П. В. Флуктуационные аномалии некритических восприим-чивостей кристаллов в окрестности фазовых переходов второго рода. Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. Ростов на -Дону (1984).

94. Винберг Э. Б., Гуфан Ю. М., Сахненко В. П., Сиротин Ю. И. Об изменении симметрии кристаллов с пространственной группой 0 при фазовых переходах. Кристаллография, 1974, т. 19, №1, с. 21 - 26.

95. Камилов И. К., Алиев X. К. критические особенности распространения ультразвуковых волн в феррите-фанате иттрия вблизи точки Кюри.-ЖЭТФ, 1973, т. 65, №5, с. 1911-1916

96. Камилов И. К., Каллаев С. Н. Фазовые переходы в сегнетоэлектриках с несоразмерными структурами. Издательство ДНЦ РАН, Махачкала, 2002. 200 с. ЮЗ. Гуфан Ю. М. Структурные фазовые переходы. М.: Наука, 1982, с.304.

97. Алтухов В. И., Ростова А. Т. Материалы VII региональной научной конференции. СевКавГТУ, Ставрополь, 2003.

98. Алтухов В. И., Акимова Н. В., Ростова А. Т. Критическое поведение фононной функции Грина вблизи температуры структурного фазового перехода Тс.// Материалы II Региональной научной конференции студентов и преподавателей, Георгиевск, 2002 г, с. 44-45.

99. Алтухов В. И., Ростова А. Т. Набор критических индексов универсальности и тепловые свойства кристаллов в фононной модели сегнетоэлектрика // Материалы VII Всероссийской конференции по физике сег-нетоэлектриков, Пенза, 2005 г. с. 95-96.

100. Ростова А. Т., Казаров Б. А., Алтухов В. И. Математические модели и типичные особенности теплового сопротивления сегнетоэлектри-ков. // Известия вузов Сев-Кав. регион. Техн. науки. Прилож. №2. Г. Ростов н/Д. 2005. С. 36-40.

101. Ростова А. Т., Алтухов В. И. Набор критических индексов теории универсальности в трех и двухмерных фононных моделях сегнето-электриков. // Известия вузов Сев-Кав. регион. Техн. науки. Прилож. №2. г. Ростов н/Д, 2005. С. 40 - 43.