Точно сферично симметричные решения уравнений Эйнштейна для идеальной жидкости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Дніпропетровський державний університет

РГБ ОЛ

''( '"'і іш

• « V/ V.1 З

На правах рукопису

Ординський Олег Юрійович

Точні сферично симетричні розв’язки рівнянь Ейнштейна для ідеальної рідини

01.04.02. - теоретична фіант

Автореферат дисертації на адо буття наукового ступеня кандидата фіоихо-математігших наук

Дніпропетровськ - 1994

Дисертація є рукопис.

Робота виконана па кафедрі теоретичної фіоикц Дніпропетровського державного університету. ‘ ~

ошщецти; с.н.с. Жданоз В.І.

кандидат фісиао-глатематичішх' наук ' доц. Црвтгсшаиав С.О.

Провідна Білоруський державшій установа:. університет

У?

Захист дисертації відбудеться ” £~~ ” 1994р. в /<Лд.

па сасіданаі шецігліосаазсї вченої ради К 03.01.05 по оахнету. дисертацій на одобуттл наукового ступеня кандидата фіопка-математпчішх наук при Дніпропетровському державному університеті (320625, ГСП-

10, Дніпропетровськ, нр. ГЬгаріна 72, корп. 15, ауд. 311).

З дисертацією можна оопашшггцеь у наукезів бїбзіотеці Дкіпровет-ровського державного університету. ■ •

Науковий доктор фівішміатематичних наук

■ Езршшш ‘ професор ІСсрліна М.П. '

Офіційні доктор фіошсо-математичннх наук

Автореферат росіслано ” " червня Ї934р>.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми.

Знаходженій точних аналітичних розв'язків у теорії, що заснована на нелінійнпх рівняннях, є важливим напрямком досліджень. Через суттєву нелінійність рівнянь загальпої теорії відносності (ЗТВ) проведення якісних досліджень пов’язано о трудпощамн, а чисельні та наближені розрахунки не дають достатньо надійного опису при наявності спльиіх полів та поблпау сингулярностей. Навіть у ти:-: випадках, коли можливе застосування якісних методів, (залишається необхідній! одержання точних розв’язків, які містять найбільш повну інформацію. При пошуку таких розв’язків використовуються різні припущення. Зокрема, вибирається система координат і тип симетрії. Найбільш простого і розповсюдженою симетрією в природі е сферична симетрія. Більшість астрофізичних об’єктів має невелику швидкість обертання та форму, що наближається до сферичної. Такими є планети та зорі, кульові зоряні скупчення, деякі еліптичні галактики, сферичні скупчення галактик. Сферично симетричні статичні розп’язкн можуть бути узагальнені на випадок повільного обертання. Великий ступінь ізотропії простору та вимірювальні можливості також сприяють вибору сферичної системи координат, що набагато спрощує рівняння Ейнштейна та дозволяв отримувати точні розв’язки в ряді важливих випадків.

На основі точних розв’язків були зроблені ОІІОВОПОЛОЖІІІ висновки ЗТВ; виниклі такі нові поняття, як чорна діра, ергосфера, горизонт подій, Великий Вибух, Іісесвіт, що розширюється.

У зв’язку а відкриттям реліктового випромінювання, квазарів, пульсарів необхідність п одержанні точних розв'язки» значно зросла. Проте серед числених точних розв’язків, одержаних за оі.тайні десятиріччя, лише деякі можуть претендувати на відображення фізично-імовірних ситуацій. Тому особливу аітуальшсь» набуває знаходження нових ііс-

тодів одеожанпя точних розв’язків, що заздалегідь відповідають фізичним умовам.

Мета роботи.

Мстою роботи е знахождення точних сферігшо симетричних розв’язків рівнянь ЗТВ, які відповідають фізичним критеріям і можуть бутп покладені в основу космологічних моделей та моделей астрофізичних об’єктів. Ця мета тісно пов’язана з розробкою методів одержання точних сферично спметричннх розв’язків а,наперєд заданими властивостями в гранпчшіх точках.

Наукова iioDuaua роботи.

1. Розроблено алгоритм перевірки статігганх розв’язків, записаних у координатах кривизн, на відповідність вимогам енергодомінантності та причинності у центрі сфери.

2. С'апропоповапо нові методи знаходження точних сферично симетричних розв’язків із наперед оадашім рівнянням стану і швидкістю звуку в центрі конфігурації (статичні розв’язки) та на початку і наприкінці еволюції (однорідні космологічні розв'язки).

3. Одержано нові точні розв’язки рівнянь ЗТВ та класи такнх розв’язків:

статичні (глава 1);

однорідні космологічні (глава 2);

неоднорідні пестатпчні, копн метричні коефіцієнти залежать під двох змінних (глава 3).'

4. Знайдено загальний статичний розв’язок рівнянь ЗТВ, у якому густина енергії, тиск, шшульові компонента метричного тензора мають точний едраз через довільну функцію та її похідні за винятком лише одного метричного коефіцієнта, записаного у квадратурах.

5. Знайдено найбільш загальні перетворення між важливими хла-самл ізотермічних метрик, до якпх відносяться всі статичні, космологічні та конформноплоскі метрики.

Практичне значення роботи.

Розроблені методи можуть бути використані при пошуку новпх точних розв'язків, а одержані в роботі розв’язки при побудові моделей астрофізичних об’єктів та моделей Всесвіту.

Проведений у першій главі аналіз умов енергодомінаптпості, прп-чинності, додатності тиску та густини енергії дозволяє, знаючп поведінку будь-якого з метричних коефіцієнтів у центрі статичної сфери, впзлзчатп без розв’язку рівнянь ЗТВ чн може бути відповідний розв’язок фізично реалістичніш. До того яі стає можливим удосконалити більшість відомих методів знаходження точних статпчшіх розв’язків таким чином, щоб розв’язки були песингулярнішн і мали у цсіпрі необхідне підношення тиску до густини енергії та значення швидеості-звуку.

Розроблені в другій главі методи знаходження однорідних ізотрошшх розп’гзиіз ріпияпь ЗТВ з наперед задавим рівигнпям стану на початку й наприкінці еволюції та одержані цпмп методами космологічні моделі дозлоляють обминути вади фрідманоподібних моделей о рівішшям стану р — Соп8Іє, що пов’язані з неможливістю пояснення оміші • жорсткості рішіяпня стану з часом. Одержані моделі можуть бути зіставлені з тим чи іншим варіантом стандартного сценарію гарячого Всесвіту. Запропоновані методи дозволяють також будувати моделі о рівнянням стану де Сіттера на початку еволюції і рівнянням стану пилу в кінці, що дає змогу пнсунути аналог інфляційної моделі Всесвіту, в якій замість фазового псрсгоду Всесвіт із десітерівського стану переходить до пилу еволюційно.

Знайдені перетворення між широкими класами сферично симетричних метрик в ізотермічних координатах дозволяють ідентифікувати нові розв’язки, проь доїти аналіз їх фізичних властивостей, одержувати умови зшивки в наііоіаьш простій формі та можуть сприяти відшуку нових точних нестатнчпих га неоднорідних розв’язків з неідеальною рідиною.

З

Вірогідність результатів роботи.

Усіма запропонованими методами були одержані крім нових точних розв’язків також розв’язки, добре відомі до цього. Класи нових розв’язків містять у собі розв’язки, що були одержані раніше. Усі лові розв’язки, викладені в роботі, були перевірені безпосередньою підстановкою в рівняння ЗТВ.

Зпвйдені перетворення також містять у собі ряд перетворень, відомих раніше, та призводять до результатів, які раніше були одержані іншими способами (існування трьох різних вимірів пасу в світі де Сітсра, конформна плоскіспість усіх тинів фрідманоподібннх космологічних моделей та єдиного серед статичних розв’язків внутрішнього розв’япку Шсарпшільда).

На оахнет сішосятьсд такі положеная.

1. ІІа основі проведеного аналізу вимог єнергодомінантності, при-чшшості та додатдості тиску і густини енергії розроблені:

методи олаходжешія точних статичних сферично симетричних розв’язків рівнянь ЗТВ о наперед заданою швидкістю звуку та відношенням густини енергії до тиску в центрі симетрії;

методи онаходжсшія точних однорідних космологічних розв’язків з наперед оадашш співвідношенням густини енергії та тиску на початку та наприкінці еволюції.

2. Точні розв'язки рівнянь ЗТВ та класи таких розв’язків у статичному і космологічному випадках, екі можуть бути покладені в основу астрофізичних і космологічних моделей, 'фот космологічні моделі о уль-трарелятпвістстькпм і найбільш жорстким рівнянням етапу в час Великого Вибуху та асимптотично пилоподібним для нескінченно віддалених часів.

3. Загальний розв’язок рівнянь ЗТВ у статичному випадку, коли густина енергії,.тиск Ґметрпчпі коефіцієнти мають точний вираз через довільну функцію радіальної змінної та її иохідні оа винятком одного'

метричного коефіцієнта, записаного у кпадратурах.

4. Найбільш загальні перетворення між класами ізотермічних метрик, які мають у собі статичні, космологічні та конформиоплосхі метрики. ІІа основі одержаних перетворепь та виплітаючих о них обмежень на метричні коефіцієнти

а) показано, що внутрішній розв язок Шварцшіпьда є єдиний статичний конформноплоский розв’язок, а з усіх однорідних космологічних розв'язків тільки у світі де Сітера єдиний синхронізований час може бути запроваджений трьома різними сіїособамн;

б) одержано шість типів космологічних розв’язків з рівнянням стану є + Зр = Const, а також неоднорідний кестатичтш розв'язок, який є узагальненням внутрішнього розв’язку Шгарцшільда її усіх однорідгшх' ізотропних розв'язків;

Апробація роботи.

Основні результати дисертації доповідалися Й обговорювалися на Всесоюзній конференції по гравітації та електромагнетизму, Мінськ, 1901р.; Всесоюзній конференції по загальній теорії відносності, Красноярськ, 1991р.; Міжнародній науковій конференції "Лобачевський та сучасна геометрія’’, Казань, 1992р.; 8-ій Російській гравітаційній конференції, Пуіцшіо, 1993р.; підсумкових наукових конференціях Дніпропетровського держуніверситету, Дніпропетровськ, 1991 -1993 p.p.; семінарах гравітаційної груші Дніпропетровського держуніверситету, Дніпропетровськ, 1990 - 1991 p.p.

Ос овпі положення дисертації пнкладеці п тезах 5 доповідей і опубліковані в 7 наукових статтях {див. список літератури).

Структура та обсяг дисертації.

Дисертація складається зі вступу, трьох рооді.ііп, заключения, додатка і списку ичтоланої літератури оі 107 найменувань. Дисертація містить 12 таблиць, 3 графік!' її повній обсяг 106 сторінок.

Короткий зміст роботи

У вступі подано огляд наукової літератури по темі дисертації, обгрунтовано актуальність обраної темп і мета роботи, вкапана наукова новизна і практична значимість одержаних результатів, сформульовані положення, які виносяться на захист, наведено відомості про структуру роботи та її апробацію.

У першій глаиі запропоновано методи генерації точних розв’язків рівнянь 3TD прп наявності ідеальної рідціш в статпчгому сферично симетричному випадку і одержано нові розв’язки, які відповідають необхідніш длд побудови релятивістських моделей фізичним умовам. У розділі 1.1 для статичного сфсрігшо симетричного інтервалу

ds2 = e^di2 - ex(T)dr2 - ^{dO2 + sin2 Odip2), (1)

розглянуті рівняння Ейнштейна при наявності ідеальної рідини. Зважаючи па те, що більшість відомих точних статичних розв’язків має сингулярність у іущтрі (г = 0) або пефізнчиі значення густшш енергії є, тиску р чп швидкості звуку v = yjdp/de в розділі 1.2 докладно вивчені фізпчпі вимоги епергодомінантності, причинності та додатної визначеності £ І р D окопі г = 0. Для цього усі довільні функції, що входять до рівнянь Ейнштейна (и, А, є, р), розкладеш у степеневі ряди. Показано, ідо, знаючи значення в г = 0 першпх чотирьох похідних метричних коефіцієнтів, ис&ша з'ясувати задовольняє чи пі даний розв’язок фізпчшш вимогам і обчислити швидкість звуку та жорсткість рівняння, сталу:

..з _ 6.-» Чр +

u~5°3Af-A'"” єй~ ЗА” •

Якщо відомий тіеьхп один метрнчшш коефіцієнт, можливо віпначптн чи буде найбільш загальний розв’язок а цим коефіцієнтом г.,\до£>аль-цятп фізичшш вимогам у центрі. Для ev фізичні вимоги призводять до таких обмежень:

В 1.3 розвинуто запропсновапіїй Корхіной М.П. метод знаходження точних розв'язків рівняпь ЗТВ через допомілшу функцію. Система рівнянь Ейнштейна зводиться до лінійного неоднорідного днфе- _ реіщіального рівняння о двома функціями, які визначають усі потрібпі иепичшш. Використовуючи результати 1.2, одна із функцій апбираєть-ся таким чином, щоб відповідіпщ розв’язок напевно задовольняв усім фізтгшгш вимогам у центрі. Цим методом одпр;каиі носі точні статичні розв'язки, серед 2КІІХ клас розв'язків з метричнім коефіцієнтом

є" = СоіШ(1 + г2/г$)“\

де г0 - довільна стала, ш > 0 ціла. Одержаний :лас містить у собі як окремі випадки 4-ий розв’язок Тоямена (ш -- 1), розв’язок Ад.тера-Куховича (а; = 2), а також розв’язок, отриманий Коркіной і К.тлітоновим (иі = 3). Названий метод узагальнено па випадок рідини о електричним і скалярним заргтдами.

В розділі 1.4 запропоновано метод послідовної генерації точних розв’язків рівнянь Ейнштейна. Інший вибір допоміжних функцій у порівнянні а 1.3 дає змогу оаппсатп диференціальне рівняння двояким чином. Відносно однієї іл фуикшш V' = е~хг це лінійне неоднорідне ріпнзшіи першого степеню, а відносно другої уз = 2 + і/г - ріпияіпія І’ікхаті. Розв’язок лі пінти-о рівнянні знаходиться зх і в 1.3 череп завдання допоміжної функції ір, після чого пій шіаж8*ться окремим розв’язком

г

рівняння Ріккаті (яке у цьому випадку розв’язується у квадратурах). Одержаний таким чином розв’язок у свою чергу вважається окремим розв’язком лінійного рівняння і так далі. Метод дає змогу будувати пові розв’язки на основі будь-якого розв’язку відомого раніше, вважаючи останній окр< ,шм розв’язком того чи іншого диференціального рівняння. Таким чппом виростає лапшожох нових розв’язків, у якому кожен наступний генерован попереднім і узагальнює його. Одержано рекурентні формули, що пов'язують функції ф і <р двох споріднених розв’язків. У вппадку = який відповідав плоскому простору, після першого етапу генерації маємо розв’язок Ейнштейна, із якого генерується внутрішній розв’язок Шварцшіпьда, що в свою чергу генерує повий розв’язок о чотнрьма довільними сталпмп:

Розв’язок (2) обігаеться прп С — 0 з внутрішнім розв’язком Шварц-шільда, прп Ь — 0 о розв’язком Адлера-Куховпча, прп Ьі = 1 о четвертим розв’язком ТЬлмена, прп С — 0,М =* 1 о розв’язком де Сіттера. В заключсіші 1.4 наведено ще одпп розв’язок одержаний цим методом і відповідаючий фіончндм умовамам, необхідним при побудові статичної моделі. ,

У розділі 1.5 метод послідовної генерації узагальнюється на інші допоміжні функції. Запропоновано ще два методи генерації, один із яких розглянуто більш докладно й порівняно о методом, запропонованим у розділі 1.4.

є~х «=(14- іг2)(1 + Мг2),

(2)

,,Г _^(‘1 +Д-І--Р + 4 Ьу)2°/Ь г2

{2гі + <1 + ру)‘>іь+і ’ у І + уТ+їг*’

,, _ Лі + Ь + Р + 4 Ьу)Щ*

~ (9,г2 л.,14- ПіЛО/Д+1

Д = у/П1 + 8, В = Ьі -1, А, С, Ь, й - сталі.

В 1.6 одержано загальний розв’язок рівнянь ЗТВ у статичному випадку, холи густіша енергії, тиск і метричні коефіцієнти мають точніш впрап череп допільну функцію радіальної змінної та її похідні оа ви-

• . нятком одного метричного коефіцієнта, написаного в квадратурах. Для конкретних вирааіп згаданої функії одержано два точних розв'язки. які відповідають у центрі необхідним фізичним умозам. На закінчення 1-ої глави в розділі 1.7 наведено ще два класи точних пссингулярпих розв’язків, на основі пкпх можуть бути побудовані моделі астрофізичних об’єктів.

Удругій глапі запропоновано метод одержання точних однорідппх ізотропних космологічних розв’язків рівнянь Ейнштейна з необхідними властивостями у початковий т -» 0 (д.тг }тіх тнпіп розв’язків) та кінцевіш т -» оо (для нульової та від’ємної нрос гороь'ої кривизни) моменти еволюції. У розділі 2.1 для інтервалу, що має в:ірао

ів2 = а2(;;)(Л/2 - сіх2 -

ЯІІ12\'

Xі

лінії2 X

(ЛЯ + кіп2^2)), (3)

знайдено асимптотичні впразп для густпнп енергії у початковий та кіпцевпн моменти еволюції: ,

£ —„„о аа"3(п+1>,. є ~.а_оо 0а~^г‘+1\

де п = р!є і ш = р/е - асимптотичні рівняння сталу при а -* 0 і в -* оо , відповідно. Коли п = 1/3 ми маємо ультрарсл.ят;:вістсьі'е рівняння стану на початку еволюції, а коли тп = 0 - рівняння сталу пилу ’’наприкінці”. В 2.2 па основі проведеного аналізу впрао для густпнп енергії береться як

с(а) = аа~4 +/За~3,

де а і 0 сталі. Одержані розв’язки збігаються о розв'язками для випромінювання прн т -* 0 і о розв’язками Фрідмапапрп т -* оо і мають

1. <т = -г1, о = ao[sinr/ + ')(l -cost/)],

г = au[l -cos// + 7(»/-sin»/)].

2. a = 0, a = a о

1 і , ] і t = OolgV +gfr

3. a = -l, a = ao[sinhi/+ 7^cosh;; - 1)],

t = ou[coshr/ - 1 +7(sinh»/ -»/)],

де ao і 7 = 0.5ao/?/a > 0 - сталі. Рішшшя стану при цьому

« = Зр(1+2-1,гй).

Інший вибір додаткової уМОБП приводить до розв’язків о рівнянням етапу

■ Є</3

р =

Const + є1/* ’

яки прп г -* 0 збігається з р = є , а при г -> оо (£ -» 0) має (як і для (4)) асимптотичний вигляд р = conste:4/3. Розглянуто властивості побудованих космологічних моделей.

В 2.3 запропоновано інші методи одержання точних космологічних розв’язків з заданный початковими та кінцевими умовами. Ці методи викладено у формі таблиці, в якій наведено асимптотичні поведіпкп різних величнії у момент Великого Вибуху та на нескінченності (для від’ємної та нульової кривизни простору), а також у вигляді декількох схем. Так, якщо розглянути залежність a = a(e), маємо:

a(r)~.e_coQ£_V3tn+1),a(£)~*e_o/3£-l/3(m+1). (5)

Зважаючи па (5) задасться и = о(£), а потім проводяться обчислювання по cxt-мі: '

т - єдиний космологічний час. Рівняння стану у цьому випадку ааиждп має Леніні вигляд. У оаключенпі глави наведена ще одна космологічна модель о уяьтрарелятнвістськіш рівнянням етапу на початку езолюпії і пплоподібтш їіапріттіі.

У главі 3 розглянуто найбільш загальні перетпареиия між сферично спметрпчппмп метрпхамп в ізотермічній системі координат, а саме між

ds2 = а~^(т,р)((1т2 - dp-'-fc2(r,/>)(cW2 + sin20i^2)) (G)

та

ds2 = A~2(i],x)(di]'i - dx* - x){dO': + кіп2 Оіїф2)). (7)

Показано, що це можливо, коли .

a2[(lna)rr - (Ina)rp)» Л2[(1п,1)та - (InЛ)хх], (8)

V[(l:\Ь),т f!n^U = Z?2[(InB)7,-(lnZ7)„].' (9)

В 3.2 розглянуто окремпп лпяадох (б) з 6 = 'Ь(р) і. (7) з В = #(х)-Знайдено всі можливі Ь — Ь(р) та В = В(х), що допускают* неретво-

рспия між (G) і;(7). Далі результати узагальнено па випадок одиопа-раметрігшої оалежності, коли коефіцієнт b може залежати або відт>, або від т (так само В від \ 'ш від і]). Показано, що існують тільки одинадцять типів Ь і В, які об'єднані у три відокремлені групи:

1. b — y/fc]sinp, \J\c\p, v/jTisiuV, yj\~c I cosh t\

2. В = e?, 1, er; ' .

3. В = ^/iTfsinr, yjTjr, yjTfsinhr, \J\c\coshp,

де с - довільна стала. Точно такий вигляд мають вирази для В(\) і B(rj) о тією самою сталою с. Усі можливі перетворення між (G) і (7) о будь-якими комбінаціями 6 і В знайдено та наведено в таблицях. Показало, що аналогічними будуть перетворення між (б) і (7), у яких при довільних Ь(г,р), В (і], х) метрігщі коефіцієнти а та А будуть залежати тільки від г чи від р та тільки від г/ чи х, відповідно.

На основі отриманих перетворень у розділі 3.3 показано, що кон-формноплодоши є тільки такі метрики (6) о одпопараметричною за-лежйістю коефіцієнту 6, у яких Ь = p,s’mp,smh.p, coshr при будь-якому а, наприклад, усі фридманоподібні моделі, включаючи моделі, побудовані у другій главі.. Знайдено усі можливі види плоского простору-часу ■і простору-часу де Сіттера для розглянутого класу метрик. Показано, що о усіх однорідних ізотропних метрик тільки п метриці де Сіттера едшшй космологічнії» час може бути запроваджен трьома різними способами. •

В 3.4 розглянуто систему рівнянь Ейнштейна о ідеальною рідиною в супутніх координатах, яка замість рівняння стану рідини доповнюється одержаними в розділі 3.2 виразами для метричних коефіцієнтів (6). З усіх статпчшіх розв’язків у координатах кривизн (1) тіл’-ки ті можуть бутп перетворені в ізотермічну метрику (6) я і = y^Tfsinр, sf\c\p, ^jTisiuhp, є*, 1, yjThoshp, у яких

«•”* = - + Constr1.

Конфирмноппоскону впипдг- с= 1 відповідає єдина статичиа метрики

о е~х = 1 -hConstr2, а саме внутрішнії! розв'язок Шварцшільда та його окремий випадок - розв’язок де Сіттера.

В 3.5 показано, що рівняння Ейнштейна з ідеальною рідиною в супутніх координатах длч інтервалу (б), у якому Ь залежить тільки від р, можуть мати або статичні розв’язки а = а(р), або один із трьох знайдених

1) а(т.р) = Т{т) - атнр, b(p)—s'mp,

2) а(т,р) = Т(т) + ар2/2, !>(р)=р,

3) а(г,р) = Т(т) + ocoshр, b(p) — sinhр.

Одержані розв’язки мають довільну функцію часу і узагальнюють внутрішній розв’язок Шваршш.'ьда (У — Const) та усі фрідманоїтсдібпі космологічні моделі (а = 0).

В 3.6 розглянуто метрики (G), у яких може існувати єдиний госмо-логічпий час (с: — п(т)). Якщо покласти Ь = Ь(р), то in умов супутиостІ та ідеальної рідшш випливає, що можливо тільки Ь = sin п, р, siahp, тобто усі трп типа однорідних’ ізотропних метрик. Використовуючи умову (8), маємо у цьому випадку

ds2 = «З •

sin ат (аг)"2 ■ ат

1 '

2ог

sinh-2

cosh

-2

ат

' ■ [ sin2p \

dr2 - dp2 - 1 р2 (d02.+ sin2 ddcj)2)

k ( sinh2p . /

де ао и а - довільні сталі. Рівняння етапу усіх вісімнадцяти розв’язків має однаковий вигляд є+Зр = Const. Вивчені деякі властивості космологічних моделей, що можуть бути засновані па одержаних розв’язках.

У оаключснпі викладено основні вікноики і результати роботи:

1. Розроблено нові методи знаходження точних сферично симетричних розв’язків рішшіь ЗТВ, серед яких методи знаходження статичних розв’язків о наперед заданими властивостями у центрі конфігурації та методи знаходження однорідних ізотропних розв’язків з наперед заданім відношенням густини енергії до тиску на початку і па-пріїкінці еволюції.

2. За допомогою розроблених методів одержано нові статичні роз-

в’язки та класи таких розв’язків в елементарних функціях, які задовольняють необхідним вимогам і можуть бути покладені в основу моделей астрофізичних об’єктів. '

На основі одержаних однорідних ізотропних розв’язків запропоновано космологічні Моделі з ультрарелятнвістстькпм і найбільш жор-

4

сліпії рівнянням стану у час Великого Вибуху та асимптотично пило-подібшш для нескінченно віддалених часів.

’3. Знайдено найбільш загальні перетворення між широкими класами сферично симетричних метрик в ізотермічній системі координат. Без обчислювання тензора Вейля показано, що з усіх статичних метрик тільки розв’язок Шварцшільда для нестисливої рідини є конформно плоским. За допомогою перетворень і випливаючих із них обмежень на метричні коефіцієнти одержано нові точні розв’язки і запропоновано шість типів космологічних моделей з рівнянням стану Є + Зр = Const. '

4. Одержано сферично симетричний розв’язок, який мас довільну функцію часу, узагальнює внутрішній розв’язок Шпарцшільда для нестисливої рідини, усі однорідні ізотропні космологічні розв'язки оі сталою кривизною простору та може бути використаний при конструюванні як неоднорідних космологічних моделей, так і моделей неста-ті іних астрофі яічніх об’єктів.

У додатку рдвєдрно найбільш важливі математичні обчислювання, пі були пропущені в главах дисертації з кістою збереженні єдності

та стиглості викладення матеріалу. .

Список публікацій по темі дисертації

1. Коркина М.П., Орляїіскїш 0.10. Точіте решении уравнений Эй-нштейна-Маїхпслпа для жидких сфер: сб. ” Точные решения уравнений гравитационного поля п пх физлческая Ептерпретацші”.-Тарту. ИФАН ЭССР, 193S - С. 25-27.

2. Коркина М.П., Орляисклй О.Ю. Класс решений уравнений Эйнштейна дяя ааряженных жидких сфср: сб. 'Тргизптацпя и элек-тромагнетном”.- Минск, 1938.- С. 126-129.

3. Коркина М.П., Орлгпский О.Ю. Метод генерация статических сферически-симметричных уравнений общей теории относительности// УФЖ.-1991.-36, 8. С. 1127-1131.

4. Орляпскип О.Ю. Новые классы статических сфсрическп-стшст-рячпых решении ОТО: сб. "Г^читация п электромагнетизм”.-Мипсе, 1992.- С. 118-123.

5. Korkina М.Р., Orlyansky О.Yu. Transformation between spherically

symmetrical coordinate systens: тео. доп. 13th International Conference on General Relativity and Gravitation,- Cordoba, Argentina.* 1992. ’

3. Orlyansky O.Yu. Isotropic cosmological models: тео. доп. 13th International Conference on General Relativity and Gravitation.- Cordoba, Argentina.-1992. .

Коркпна М.П., Орлянскіш О.Ю. Космологические подели с про- ■ странством Лобачевского: тео, докл. Международной научной еок-ферепцпп ”Лобачевский и современная геометрия”.- Казань.-1992.-

Ч.И.- С. 33. .

■ 8. Korkina M.P., Orlyansky O.Yu. Cosmological models with pressure: Proceedings of the 15 workshop ’’Probleais on high energy physics and field theory” .-Protviuo.-1992.

9. Коркина М.П., Орлянскпй О.Ю. Вселенная фрндмановского типа с давлением// Иав.Вузов.-Фпгпка.-1993.- 5.- С. 812.

10. Оршшскнп О.Ю. Космологические модели фрндмпновского типа с давлением: тез. докл. 8-ой Российской гравитационной конференции.- Пущпио, 1993.- С. 134.

11. Коркина М.П., Орлянскпй О.Ю. Различные представления сферически симметричных метрик в изотермических координатах: теа. докл. 8-ой Российской гравитационной конференции,- Пущпно, 1993, С. 122.

12. Орлянскпй О.Ю. Нестатическое обобщение внутреннего решения ■Шварцшипьда// УФЖ.-1994.-39, 8. С. 133-134.

16

WU'-t?. <0/'<У Л-Lb