Точные оценки операторов в пространствах Лебега с произвольными мерами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Ifa*

UÜ344B3G3

Прохоров Дмитрий Владимирович

ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ОПЕРАТОРОВ

В ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ МЕРАМИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 2 СЕН 2008

Хабаровск - 2008

003446363

Работа выполнена в Вычислительном центре ДВО РАН

Научный консультант

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор Степанов Владимир Дмитриевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Водопьянов Сергей Константинович

Ведущая организация

Математический институт им В А Стеклова РАН

Защита состоится 16 октября 2008 г. в 16 30 на заседании диссертационного совета Д 003 015 03 в Институте математики им С JI Соболева СО РАН, 630090, г Новосибирск, пр академика Коптюга, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им С Л Соболева СО РАН

Автореферат разослан августа 2008 г

доктор физико-математических наук, профессор Гольдман Михаил Львович доктор физико-математических наук,

профессор Шкаликов Андрей Андреевич

Ученый секретарь диссертационного совета

Гутман А.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Построение Л Д Кудрявцевым в 50 - 60-х годах XX века теории вложений весовых пространств С JI Соболева инициировало исследование весовых неравенств Харди с максимально ослабленными требованиями к весовым функциям Эти неравенства изучались в работах Г Таленти, Г Томаселли, Б Мукенхо-упта, Дж С. Брэдли, В М Кокилашвили, В Г Мазьи, A J1. Розина, А Куфнера, Э Т Сойера, Г П Хейнига, Г Синнамона, В Д Степанова и других авторов1,2, а их дискретные аналоги — Г Бенне-том и М J1 Гольдманом Наилучшим исходом в этом случае является характеризация неравенств в пространствах с мерами Развитый технический аппарат позволил получить критерии выполнения (в разных формах) весовых неравенств Харди и их обобщений на интегральные операторы с ядром Ойнарова При этом установился стандарт форма критерия представляет собой константу, зависящую от весовых функций, конечность которой равносильна выполнению неравенства Были получены также критерии выполнения неравенств Харди в пространствах с мерами, по сам оператор Харди оставался оператором интегрирования по мере Лебега и, используя такие естественные для пространств Лебега приемы как приближение абсолютно непрерывными функциями, интегрирование по частям, которые не работают в случае априори произвольных мер, полностью задачу характеризации неравенств Харди с мерами решить не удалось В случае с обобщениями на интегральные операторы с ядром ситуация только усложняется

В первой главе диссертации решена задача характеризации неравенств типа Харди в пространствах Лебега с произвольными мерами

:Ор1с В and Kufner A Hardy-type inequalities Pitman Research Notes in Mathematics Series V 219, Longman Scientific & Technical, Harlow, 1990 -129 p

2Kufner A and Persson L -E , Weighted inequalities of Hardy type World Scientific Publishing Co , Inc , River Edge, NJ, 2003 - 357 p

Во второй главе аналогичная задача решается для неравенства

(/«'НЧ/пН'.

для всех / € Co°(ü),

выражающего непрерывность оператора вложения типа C.J1. Соболева Мы рассматриваем случай произвольных мер и il С R. Здесь уже весовой случай, то есть когда мера fj, абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и производная Радона-Никодима неогра-ничена, вызывает трудности, связанные с неинвариантностыо меры /1 относительно сдвигов, поэтому в предыдущих работах В Г Ма-зьи, Э Т Сойера, JI И Хедберга и других авторов3 рассматривался только случай, когда ¡л — мера Лебега

Кроме этого в работе характеризуются неравенства с абсолютно непрерывными мерами для операторов дробного интегрирования Римана — Лиувилля и ого вариантов и оператора геометрического среднего

Более подробно история каждого вопроса и литература приводится во введении каждой главы

Цель работы. Получение критериев выполнения неравенств, выражающих непрерывность интегральных операторов и операторов вложения в функциональных пространствах со счетно конечными мерами

Методика исследования. В работе используются методы общей теории меры, теории линейных операторов в банаховых пространствах и ряда других разделов функционального анализа

Научная новизна.

1 Получены критерии выполнения неравенств Харди в функциональных пространствах со счетно конечными мерами Также характеризованы весовые неравенства Харди с отрицательными показателями

3Maz'ya V G and Poborchi S V Differentiable functions on bad domains World Sei Publ, 1997

2 Установлены критерии ограниченности интегральных операторов с ядром Ойнарова в пространствах Лебега с произвольными счетно конечными мерами.

3 Показано, что в случае ограниченности интегрального оператора, действующего из пространства функций суммируемых со степенью р € (0,1) относительно непрерывной (неатомической) меры А в пространство Лебега со счетно конечной мерой, оператор суть нулевой

4 Изучены свойства емкости capp^{g,G) в одномерном случае Показано, что в этом случае емкость игнорирует сингулярную часть меры ц и полностью определяется ее абсолютно непрерывной относительно меры Лебега частью ¿¿а Дано явное выражение емкости через производную Радона — Никодима

5 Используя результаты 4, доказаны критерии выполнения неравенств типа теорем вложения Соболева

6 Установлены критерии ограниченности и компактности весового оператора Римана — Лиувилля в пространствах Лебега Даны приложения этих результатов к разрешимости одного интегрального уравнения Абеля и ограниченности одной билинейной формы в пространствах Соболева

7 Получены критерии ограниченности операторов Римана — Лиувилля и геометрического среднего с переменными пределами интегрирования

Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться в исследованиях характеристических чисел интегральных операторов, теории интегральных уравнений и неравенств

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельных ее частей докладывались на научных семинарах по теории функции и функциональному анализу под руководством академика РАН С M Никольского (МИ им В А Стеклова РАН), по геометрии

и анализу под руководством академика Ю Г Решетника (ИМ им С J1 Соболева СО РАН), по функциональному анализу под руководством чл -корр РАН В Д Степанова (ВЦ ДВО РАН), отделения математики университета г Лулео (Швеция) под руководством профессора Л Е Перссона

Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на российских и международных конференциях, в частности «Международная школа-конференция по анализу и геометрии», посвященная 75-летию академика Ю Г Решетняка, Новосибирск 2004, «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященная столетию С М Никольского, Москва 2005, «The 8th international Spring School on Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications (NAFSA 8)», Прага 2006, «Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е В Золотова», Владивосток 2006, «Весовые оценки дифференциальных и интегральных операторов и их приложения», Астана 2007, «Функциональные пространства Дифференциальные операторы Общая топология Проблемы математического образования», посвященная 85-летию члена-корреспондента РАН Л Д Кудрявцева, Москва 2008

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-17] Из них работы [8-10] написаны совместно с В Д Степановым, [11,12] с Л -Е Перссоным В диссертации использованы результаты непосредственно полученные автором

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 16 параграфов, которые в свою очередь делятся на пункты, и списка литературы. Параграфы, формулы и пункты занумерованы двойным индексом первая его часть представляет номер главы, вторая — порядковый номер соответственно параграфа, формулы, пункта в данной главе Так, например, «(1 3)» означает третью формулу в первой главе, а запись «теорема 2 5» означает, что речь идет о теореме пункта 2 5 Библиография содержит 97 названия. Объем работы 197 страниц

Содержание работы

Пусть ХсКи под топологией на X понимаем топологию, индуцированную евклидовой топологией R Обозначим через © = сг-алгебру борелевских подмножеств множества X Символ ЯЯ = ЭЛ(Х) обозначает сг-алгебру подмножеств множества X, содержащую Через {9Я}+ обозначим класс всех определенных на X, Ют-измеримых функций f.X—*[0, +00) (J{+°°} Фраза «ц есть мера на x» означает, что существует ст-алгебра 9Я такая, что ¡jl суть счетно-аддитивная функция, заданная на Ш, со значениями в расширенной полупрямой [0, +оо) (J{+°°}> при этом предполагаем, что существует хотя бы одно е € ЯЯ, на котором fi{e) < +00 Для выделения той сг-алгебры, на которой задана мера Л, будем использовать запись ШТа Так символ 9Jtmes обозначает <х-алгебру лебеговских подмножеств множества X, a {9Hmes}+ обозначает класс неотрицательных измеримых по Лебегу функций Также положим = ЯЯд р) Шц

На расширенной полупрямой [0,+00) lJ{+oo} введены следующие аксиомы

О + (+00) = а + (+00) = а • (+00) = -f оо, при а £ (0, +00) U{+°°}i

О • (+оо) = О, (1)

(+оо)а = 0-а = +00, (+oo)~Q = Оа = 0, при а € (0, +оо)

В первой главе рассматриваются неравенства типа Харди в пространствах с мерами вида

9 я г

dfx(x) <с / fpwdv

ум

/ у(х) / к{х,у)}{у)и{у)й\{у) 3 [а,Ь] 3 [а,х]

для всех / 6 {ЯЯА}+, (2)

где д, А и V суть а-конечные меры на [а, 6], А, и определены на одной сг-алгебре 9Яд, и,ю е {9Лд}+, V 6 {9Я^}+, ядро к определено на [а, Ь]2, неотрицательно, х 9Л^д)-измеримо и удовлетворяет условию

Ойнарова существует константа И > 0 такая, что

0~\к(х, г) + к(г, у)) < к(х, у) < Б(к{х, г) + к(г, у)) при х> г> у

В параграфе § 1.3 устанавливаются критерии для случая к(х,у) = 1 (неравенство Харди)

Теорема 1.15. Пусть 1 < р < +оо, 0 < д < +оо, £ = ^ — ц, X и и суть а-конечные меры на [а, Ь], определены на одной а-алгебре Ш, и,го € {9Л}+, V € (¡¿а,^) разложение Лебега

меры V относительно X, то есть

и = иа + и3, иа < А, 1/в ± А,

и ^ — производная Радона — Никодима иа относительно X. Если р < д, то неравенство

( [ ь(х) (( /и ¿а) ' < С ( [ ¿VV

\У[а,Ь] у [а,*] ) ) УМ] ) V4)

для всех / € {9Л}+ выполнено тогда и только тогда, когда А < +оо, где

А •= вир ( / «ф} [ / (Р ¿А | Р

4е[а,Ь] у [4,6] у у [а,4] V / /

Более того, для наименьшей константы С в неравенстве (4) справедливо С ри А.

Если ц<р,то неравенство (4) выполнено тогда и только тогда, когда Ъ < +оо, где

Более того, для наименьшей константы С в неравенстве (4) справедливо С ~ Ъ

Используя данный результат в параграфе § 1 4 характеризуется неравенство (2) для 1 < р, д < +оо

Теорема 1.21. Пусть 1 < < +оо, £ = I — А, р,, X и и суть а-конечные меры на [а, ¿>], А, и определены на одной о-1иггебре и,го € {9Лл}+, V € {ЗЛ^}*, (иа,р3) разложение Лебега меры и относительно X, то есть

V = иа + 1/8, 1/а < А, и3 ± А,

и — производная Радона — Никодима иа относительно А, к определена на [а,Ь]2, неотрицательна, (Т1^\хШ11}\)-измсрима и удовлетворяет условию Ойнарова (3) Положим и; = ир' ^д-)1 Р ■

Если р < д, то для существования константы С > 0 такой, что выполнено неравенство (2) необходимо и достаточно, чтобы А < +оо, где А := тах{Лх, А2},

1 , 1 Я / г \ 7

А\ = sup / v(x)k(x,t)qdfi(x) [ / ojd\ te[a,b] \J{t,b] J \J[a,t]

A2 = sup ( / t/ф) f f k(t,y)p'u(y) dX(y)\ P t6[a,6] \J[tM J \J[a,t} )

Более того, Am С для наименьшей возможной константы С в (2) Если q < р, то для существования константы С > 0 такой, что выполнено неравенство (2) необходимо и достаточно, чтобы В < -Ьоо, где В = max{Bi, В2},

Вх = [ [ ([ v(x)k(x,t)4n{x)) (( wdA) uj(t)dX(t)

\J[a,b] \J[t,b1 J \J[a,t] J

B2 .= f f If vdfx) I f k(t, y)p' u(y) dX(y) I v(t)dti(t) \J[t,b] J \J[a,t] ,

Более того, В & С для наименьшей возможной константы С в (2) Отдельно в параграфе §1.5 рассматривав 1ся случаи р 6 (0,1) Сначала устанавливается следующее свойство непрерывной меры

Теорема 1.26. Пусть 0<р<1, 0<д< +оо; А и ц суть а-конечные меры на [а, Ь], X непрерывная, к определена на [а, Ь}2, неотрицательна и х -измерима. Обозначим

Е= jxe Для справедливости неравенства

[а,Ь] I [ к(х, y)dX(y) / 01 1 А*М )

- / А

1 (г \ р

( / ( / У)/(у)¿А(у) ) й»{х) ) <С\ [ 1ЧХ

для всех / € {ЯЛа}+)

необходимо и достачочно, чтобы ц{Е) — 0.

Для дискретной меры А доказываем следующие критерии

Теорема 1.27. Пусть 0 < р < 1, р < Я < +оо, Л и р суть а-конечные меры на [а, Ь], X дискретная мера и ее носитель счетное множество точек {сп}^ С [а,Ь], и Е V 6 {ЯЛ^}"1"; к определена на [а,Ь]2, неотрицательна х -измерима и удовлетворяет условию: существует константа а > 0 такая, что к{х>У1) > ак(х, уг) для у\ < у2 Неравенство

I 1

ч ( г \ р

[ v(x) [ k(x,y)f(y)u{y)dX(y) ф(х)| <с([ J4X J[a,b] J[a,x\ J \J[a,b]

для всех f б {$?а}+

(5)

выполнено тогда и только тогда, когда Т < -f оо, где

Т .= sup ( [ v{x)k{x,t)q dfi(x) ] H{t), ¿6[a,fc] \Jlt,b] J

H{x):= sup «(crJAdcn})^, же[а,Ь].

n c„e[a,i]

Более того, для наименьшей константы С в первенстве (5) справедливо а Т < С < Т

Теорема 1.28. Пусть 0 < д < р < 1, р = ~ — X и р. суть а-конечные меры на [а, Ь], А дискретная мера и ее поситыъ счетное множество точек {сп}!0 С [а,£>]; и е {9Лд}+, и £ А, = 1

Неравенство (5) выполнено тогда и только тогда, когда Я < +оо, где

Более того, для наименьшей константы С в неравенстве (5) справедливо с « о.

Далее представляя меру А в виде суммы непрерывной и дискретной меры, получаем критерии выполнения неравенства (2).

Теорема 1.29. Пусть 0<р<1,0<ц< +оо, 1 = 1-1, р., А и и суть а-конечные меры на [а, Ь\, Х,и определены на одной а-алгебре 9Яд, А = Ас + А^, где Ас непрерывная, а Х^ дш кретная составляющие А, и,т € {9Ял}+, V € {ЭЛ^}"1", {Уа^ь) разложение Лебега меры V относительно X, то есть

+ "а < А, иь ± А,

и ^ — производная Радона — Никодима иа относ ителыш X, к определена на [а, 6]2, неотрицательна, (931^ х -измерима и удовлетворяет условию существуют константы а^ > 0, «2 >0 такие, что к(х,у1) > ахк(х,у2) для у\ < у2, к(х1,у) < 0-2^(12, у) для х\ < %2 Положим

0:=

Г

Г

х € [а, Ь]

Е = {ж 6 [а, Ъ] | у(х) /[а1] к(х, у)ш(у) дХс(у) ф 0} и

1

Щг) = эир а-6 [а, 6]

Если р < д, то для выполнения неравенства (2) необходимо и достаточно, чтобы ц(Е) = 0 и¥ < +оо, где

:= вир ( [ у{Ь)к{г,х)Чц{г)\ П{х).

ге[а,Ь] \ У[1,6] /

Если д < р и к = 1, то для выполнения неравенства (2) необходимо и достаточно, чтобы р*(Е) = 0 иР< +оо, где

Ж

/ Ф) ( / ^

им \-/[х,Ь]

йц I Н{х)г с1/л(х)

Более того, при р < д наименьшая константа С в неравенстве (2) ■удовлетворяет, оценке а\¥ < С <¥, а при д < р выполнено С &¥.

В параграфе § 1.6 доказываются критерии выполнения неравенства

^¡(хГдху <С^\{х) £ /(у)и(у)<1у 9 ^

(6)

ДЛЯ всех / € {ЭЛщез} ,

для отрицательных степеней суммирования р, д, а также для степеней между 0 и 1 и устанавливается двойственность между этими случаями.

Теорема 1.30. Пусть —оо < д < р < О, и, и € {9Лтез}+. Для выполнения неравенства (6) необходимо и достаточно, чтобы А < +оо, где

Г1 "I Г Г* I и(у) йу / и(х)р йх у О J Ь-'О

Более того, А & С для наименьшей возможной С в (6).

А — эир А(Ь) := вир

а<КЪ а<КЬ

Теорема 1.31. Пусть — оо < р < я < 0, $ ^ — и, V € {9Лтез}+ Тогда для выполнении •неравенства (б) необходимо и достаточно, чтобы Ъ < +оо, где

Ъ .= ^ |у1 и(у) йу " £ 7 «(х) ¿г^ .

Более того, Ъ та С для наименьшей возможной константы С в (6)

Следствие 1.37. Пустьр,яЕ (0, 1), £ .= и, V € {9Ятез}+. Тогда для справедливости неравенства (6) необходимо и достаточно, чтобы и > 0 почти всюду на (а, Ь), ^и(у)йу > 0 для всех £ € (а, Ь) и Т> < +со, где

Ъ :=

вир *е(а,

Р 17

,ь) 1Л

! и{у)йу

£ Ну) ¿у

v > я,

р < (¡.

Более того, Т> « С для наименьшей возможной константы С в (6) Пусть С К произвольное открытое подмножество действительной оси, Л, ц и и суть локально конечные меры на О, мера /1 определена на 9Лтез(Г}). Во второй главе рассматривается неравенство

(X'

1/1 ш <с

(7)

для всех / е

где 0 < р, г, д < +оо и / произвольная бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем вП, а положительная константа С не зависит от / Данное неравенство при р, — шея изучалось (причем в многомерном случае) в работах В Г Мазьи4, В Г. Мазьи

4Мазья В Г - О некоторых шпегралышх неравенствах для функций

многих переменных - Проблемы матем анализа Л , Т 3, 1972 С 33-68

и О.Г. Парфенова5. Стандартный подход в этом случае использует понятие емкости- пусть g, G открытые подмножества множества ÎÎ такие, что замыкание g компактно в G (в этом случае пишем g ce G),

&(g,G):= {/6Cox(î2)|0</<1bîî, / = 1вд, / = 0вП\С};

емкостью называется число

cappJg, G) := inf { jf | / e G)} .

В параграфе § 2.2 выявлены особенности емкости в одномерном случае и получены два важных результата

Следствие 2.4. Пусть р > 0, g, G С ÎÎ открытые множества и g компактно в G, (/ха, fis) суть разложение Лебега меры ¡1 относительно меры Лебега, то есть

V — Ра + Ms, /"а mes, ц8 J. mes.

То,гда

capp G) = capPiPo(g, G).

Теорема 2.5. Пусть 0 < p < -f-oo, g — (a, b), G = (А, В)

пара интервалов из Q. такая, что g ce G. (ца,ц8) суть разложение Лебега меры ц относительно меры Лебега, то есть

^ — Pa + Ps, Ma < mes, jLts _L mes,

и v :— ^¡r производная Радона - Никодима меры ца по мере Лебега Тогда

capPtfl(g, G) = pPtll{g, G),

где

PpA9,G)= 0, 0<p< 1.

5Maz'ya V G and Parfenov O G. Two-weight criteria of boundedness for Sobolev embedding operator in one-dimensional case Lmkoping University, 1998

РрАя, G) := QT v{x) + ^ jf u(x) i-fda^ , 1 < p < +00,

Pi,v(g,G) :=

X(A,a)

-1

+

X(b,B)

-1

Следствие 2.4 говорит, что емкость игнорирует взаимносингуляр-ную с мерой Лебега часть меры, а теорема дает явное выражение емкости через функцию На основании этих результатов получены следующие критерии выполнения неравенства (7)

Теорема 2.9. Пусть д £ (0,+оо) и р, г & (0, д\. Тогда неравенство (7) выполнено, если и только если

\-1

21 := supiix(t) <+00, t>0

где

х(<) = Ы [саРр1Д5, С?) р + дССС,А(д)>е

и инфимум берется по всем открытым множествам д, С? из О, таким, что ^сс С и Х(д) > ¿. Более того, 21 < С < 21 для наименьшей возможной константы С из (7).

Теорема 2.10. Пусть 0 < д < р < +оо; р = г>1 и | = Тогда неравенство (7) выполнено, если и только если

( гт) ,, 5):=М 1) Ш) <+оо,

Более того, С я» Э для наименьшей возможной константы С из

СП-

Теорема 2.11. Пусть 1 < р < д < +оо и 0 < г < д Тогда неравенство (7) выполнено, если и только если

- Г - 11 ~1

Л= sup А(з)« [рр>А1(5,С?)р + i/(G)?J <+00,

gCCGCii

где супремум берется по всем конечным интервалам д и (3, удовлетворяющим д^С С О, а величина С) определена в теореме 2 5. Более того, Л < С < Л.

Результат теоремы 2 5 также применен для характеризации следующего мультипликативного неравенства

(/„Н^С/о^ОМ* (з)

для всех / б Сц(^).

Теорема 2.12. Пусть р > 1, 5 6 [0,1] гг 6 (0, +оо).

(a) Если выполнено неравенство (8), то

Л2:= вир Х(д)ярр^(д,С)~Р1у(0)^ <+оо (9)

д сс всС1

для всех открытых конечных интервалов д и С, при этом Л2 < С

(b) Если 1 < + | и выполнено (9), то имеет место (8) с константой С < Л2.

В главе 3 рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий 1Р — Ьч ограниченности и компактности интегральных операторов

Ш)(х) .= ф)[/а(/и)](X),

где и и у неотрицательные измеримые по Лебегу функции, а 1а, а > О — дробный интеграл Римана - Лиувилля

('«/)(*) := щ ¡\х - уГ-'Пу) йу, X > О

Параграф §3 1 содержит обзор известных результатов В параграфе § 3 2 получены критерии ограниченности, а в § 3 3 критерии компактности оператора В.а в предположении монотонности одной из весовых функций.

Для 0 < в <t < +оо, О < /3 < 1 положим

' г* и{уу'ау Г Г* у{х)Чх 1 р'- 7 ' Г* ь{х)Чх

Л (у-*)1-" 17«, (х-у)1-а\ [], (х-з)1-«]

А{з,Ь):=

где ^ + ¿7 = 1, д + ^ = 1- Кроме того, обозначим через Р(а,ь) оператор сужения

0Р(в,ь)/)(я) = /(®)Х(а,Ь)(®), 0 < а < Ь < +00

и будем использовать сокращение Т:= Р{а,ь)ТР(а,ь) Для любого оператора Т. Пусть, также,

Ва.=

" г+оо

.Ла

у(х)я4х

.Ла Ж(1-а)<г .

в,у

, а > 0.

Теорема 3.11. Пусть 0 < а < Ь < +оо, 1 < р < д < +оо, 1 — ^ < а < 1, 1 — 0 := , а функция и{у) положительна и не

убывает на (а, Ь). Тогда для ограниченности оператора ш

в необходимо и достаточно, чтобы

[ь и{х)Чх , ...

/ 7-< ЛЛ почти всех У ^ (а>

и

-^а,ь '= езввирЛ^, Ь) < +00

а<5<6

Более того, ||Ла|(а,ь)1кр—~ А»,6-

Теорема 3.14. Пусть 1 < р < <? < +оо, 1-2Т<а<1, 1-/? =

, а функция и(у) положительна и не убывает на Для компактности оператора Иа из 1Р в Ьч необходимо и достаточно, чтобы Ао, +00 < +оо,

+0° у(х)Ых

т-п— < +оо для почти всех в 6 (0, +оо)

(х-в)1-01 4 '

lim A„+00= lim Da — 0, lim sup Ad d+h = 0.

Я-+00 0-+00 /»—♦+() dg(o, +00)

Пусть 0 < 7 < 1. Положим

rt rx u(y)p'dy ]" * [' u(y)p'dy

A(s,t) :=

fl y(x)*dx Г Г u{y)p'dy "Г1« Г Г1 u{y)p'dy

Js {t-xy-i Js (x-y)1"" Л (¿-У)1""

Теорема 3.12. Пусть 0 < а < Ь < -(-оо, 1 < р < <7 < 4-оо, 1 — | < а < 1, 1 — 7 •= , а функция и(х) положительна и не

возрастает на (а, Ь). Тогда для ограниченности оператора ц из!? в 1Я необходимо и достаточно, чтобы

[ь и(уУйу э ± , ^

I , .,— < +оо для почти всех ъ е (а, Ь)

Уа У)1_а

Аа>ь ■— еввзир ,Д(а,£) < +оо. а<г<ь

Более того, ||-Ка|(а,ь) Нг-р—ь« ~ Аа>ь-

Теорема 3.16. Пусть \ <р < q < +оо, 1 — | < а < 1, 1—7:=

а функция у(х) положительна и не возрастает на Для компактности оператора Да из 1Р в Ьч необходимо и достаточно, чтобы Ао, +оо < +оо,

С4 и(у)р'ф

т-Чп— < +оо для почти всех Ь € (0, +оо)

/о

/

Jo

и

lim Аа +оо = Hm Da = 0, lim sup Ad d+h = О

а-»+оо ' а-+оо ft-»+0de(0,+oo)

В параграфе § 3 4 получены некоторые приложения 1 Доказан критерий разрешимости «в малом» уравнения

F(x) = г^г Пх - y)a-lF{yfdy + eW(x), х G (0, а). (10)

Ца) Jo

Теорема 3.19. Пусть а € (0, 1], 1 < р < +оо, А + ^ = 1, а е (О, +оо), С(р) = р~р(р')р(1~р^ иУ/ — измеримая, неотрицательная на (0, а) функция. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

(I) Существует е > О и измеримая, неотрицательная, конечная почти всюду на (О, а) функция F такие, что для почти всех х € (О, а) выполнено (10)

(II) Существует константа С\ > 0 такая, что для всех / > О выполнено

1

7

(111) Существует константа Сг > 0 такая, что для почти всех у € (0, а) выполнено

" р> йх ' гх \у(вуаз' V 1 р <с2 ' ГУ \¥{х)Рйх '

[Уо (У ~ х)1~а 1/о (х-в)1-«. [Уо (у-хУ-а\

< +00

2 Определим пространства потенциалов Римана - Лиувилля с нормой

Ик •= 11/Цр

(И)

Пусть Ьч(у) - весовое пространство Лебега с нормой ЦдЦ^ч^) = \\ду\\д Из теорем 3 11 и 3 14 вытекает следующий критерий ограниченности и компактности оператора вложения

гй- Щ ^(и),

(12)

Теорема 3.20. Пусть 1 < р < д < +оо, 1-^<а<1, 1-¡3 = ^ . Тогда для ограниченности оператора вложения (12) необходимо и достаточно, чтобы /8+°° ^ почти

всех в 6 (0, +оо) и Л0)+оо < +оо> при этом ЦгдЦн«—¿«(и) ~ -^о.+оо-

Для компактности оператора (12) необходимо и достаточно еще добавить условия

lim An +оо = lim Da — lim sup Аы+ь = 0.

0-+00 a-.+ oo fc-+0d6(0>+oo)

3. Обозначим

Hp .= {F & Tip : F = Iaf, supp / компакт в [0, +oo)}.

Теорема 3.21. Пусть п & < р < д < +оо; У(х) комплексно-значная локально суммируемая на [0, +оо) функция Предположим, что существуют пределы

Ьт Лу-х)п^к-1У(у)ёу, /с = 0,1, — , п — 1

6—>+оо 7д.

при любом х > 0 Тогда неравенство 1нп ¡Ьу{х)Р(а:Щх)сЬ

>—+оо 70

для всех Г е Нр, в € Щ, выполняется тогда и только тогда, когда А := А + А* < +оо, где

Ак-=ъир1к+7 ( Г \Уп-к-Лх)\Чх)4 , к — 0,1,... ,п — «>о \Jt /

1 / г+оо \ у

А*к=8ирЬк+Ц ^„-^(х^'сЫ , Л = 0,1,...,п-1. í>0 /

Более

того. О ^ А

В параграфе § 3 5 рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий ИР — Ьч ограниченности операторов Римана — Лиувилля с переменными пределами интегрирования

где а > 0, и, V неотрицательные измеримые весовые функции, а граничные функции ф, ф предполагаются абсолютно непрерывными строго возрастающими на [а, Ь] и удовлетворяющими условию 0 < ф{х) < ф{х) < х, х € (а, Ь) Получены следующие результаты

Теорема 3.25. Пусть 0 < а < Ь < +оо, 1 < р < < +оо, 1 — ц'/р' < & < 1, ф и ф абсолютно непрерывные строго возрастающие на [а, Ь] функции, удовлетворяющие условиям ф(а) = ф(а), ф(Ь) = ф{Ь), 0 < ф(Ь) < <£(£) < Ь, £ € (а, Ь) и на каждом отрезке [с, д] С (а, 6)

ф-^х) -х< 2(ф~1(у) - у), ф(с) < < у < х < ф(ё),

функция ь(х) неотрицательна и измерима на (а, Ъ), а и(у) положительна конечна и не убывает на (ф{а), ф{Ь)) Тогда для ограниченности оператора Та,ь из 1Р в 1Я необходимо и достаточно, чтобы для любого £ е (а, Ь)

3<Ь-

--< +оо для почти всех в € {ф(Ь), фуЬ))

и Лта Ь < +оо, где

Теорема 3.26. Пусть 0 < а < Ь < +оо, 1 < р < д < +оо, 1 -р/я < а < 1; ф иф абсолютно непрерывные строго возрастающие на [а, Ь] функции, удовлетворяющие условиям ф(а) — ф(а), ф(Ь) = ф(Ь), О < Ф{Ь) < ф{£) < t, Ь £ (а, Ь) и на каждом отрезке [с, й] С (а, Ь)

у-ф(у)<2(х-ф(х)), с<у< х<Ц^<<1,

функция и(у) неотрицательна и измерима на (ф(а), ф{Ь)), а у{х) положительна конечна и не возрастает на (а, Ь) Тогда для ограниченности оператора из 1Р в необходимо и достаточно,

чтобы для любого t 6 (а, Ь)

гФ(s) u(y)p'dy

/ -- , < +00 для почти всех s € (ф (ip(t)), t)

Jip(t) (s ~ У) a

и Aia b < +00, где

Следствие 3.27. Пусть О < a < b < +00, 1 < p < q < +00, 1 — p/q < a < 1 ; ф, ip абсолютно непрерывные строго возрастающие на (а, b) функции такие, что О < ф{х) < х < ip(x) при х 6 (а, Ь), гр(а) = <р(а), гр(Ь) = ip(b) и уз-1 — абсолютно непрерывна на (<р(а), <р(Ь)), функция v(x) неотрицательна и измерима на (a, b). Тогда для ограниченности оператора

fip(x)

(Я/)(ж) /

Jrb(x)

f(y)dy

!ф{х) \x-y\l~a

из LP в Lq необходимо и достаточно, чтобы для любого t 6 (а, Ь)

С1 v(x)qdx , . , ^

/ т-rz— < +00 оля почти всех s G (wU), t)

Js (X-S)1-0 '

U Г v(y)idy , , , . -

/ -гт— < +00 для почти всех s G (ip it), i),

(в - у)1-« ^ w

и, кроме того,

sup + + sup [Дтг + Avf,v(t)] < +00.

a<t<b v a<t<b

В четвертой главе рассматривается неравенство

а+оо / р+оо

M*)(S(/tz))(s)]ff«*rJ <СЦ /(ar)fcfccj (u)

для всех / б {Ш1те8(0,+оо)}+

для оператора геометрического среднего вида

Функции фиф удовлетворяют следующим условиям

ф и ф непрерывны и строго возрастают на (0,+оо),

ф(х) < ф(х) для всех х € (0, +оо), (16)

^(0) = ф(0) = 0, ^(+оо) = Ф(+оо) = +оо.

Для характеризации неравенства (14) предварительно доказывается критерий для соответствующего оператору (15) оператора Харди с переменными пределами интегрирования

1 гФ(х)

•= ,1,М / ^ х>0 (17)

ф(х) - ф{х) Jф{x)

Теорема 4.4. Пусть 1 < р < д < +оо, ги неотрицательная измеримая по Лебегу функция на (0, +оо), функции ф, ф удовлетворяют условиям (16) Тогда ||гр_£,« ~ А, где

( г«-ЧФ(*)) \ « !

А = вир / ю{х)Чх] {ф(з)-ф{з))~р (18)

*>о уЛ-ЦФЫ) }

Теорема 4.5. Пусть 0 < р < ц < +оо, и, у неотрицательные измеримые по Лебегу функции на (0, +оо), функции ф, ф удовлетворяют условиям (16) Тогда для выполнения неравенства (14) необходимо и достаточно, чтобы А < +оо, где А определено соотношением (18) с ю = Более того, для наименьшей возможной константы С в (14) выполнено С «з А

Работы автора по теме диссертации

1 Прохоров Д В , Об ограниченности и компактности одного класса интегральных операторов / / Хабаровск1 Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт № 98/33, 1998 20 с

2 Прохоров Д В , Об операторах Римана — Лиувилля с переменными пределами // Хабаровск Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт № 2000/44, 2000 28 с

3 Прохоров Д В , Об операторах Римана-Лиувилля с переменными пределами // Сибирский матем. журнал, Т 42, № 1, 2001 С 156-175

4 Прохоров Д В , Весовые оценки операторов Римана — Лиувилля с переменными пределами // Сибирский матем журнал, Т 44, № 6, 2003 С 1049-1060

5 Прохоров Д В , Неравенство Харди с тремя мерами // Хабаровск. Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт №2005/94, 2005 13 с

6 Прохоров Д В , Неравенства Харди с тремя мерами // Труды Математического института им В А Стеклова, Т 255, 2006 С 233-245

7 Прохоров Д В , Неравенства Харди с мерами, случай 0 < р < 1 // Хабаровск Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт № 2007/112, 2007 12 с

8 Прохоров Д В , Степанов В Д , Об операторах Римана — Лиувилля // Доклады АН, Т 382, № 4, 2002 С 452-455

9 Прохоров Д В , Степанов В Д., О неравенствах с мерами типа теорем вложения Соболева на открытых множествах действительной оси // Сибирский матем журнал, Т 43, № 4, 2002 С 864-878

10 Прохоров Д В , Степанов В Д , Весовые оценки операторов Римана — Лиувилля и приложения // Труды Математического института им В А Стеклова, Т 243, 2003 С 289-312

11. Persson L -Е and Prokhorov D V , Integral inequalities for some weighted geometric mean operators with variable limits // Lulea University of Technology, Department of Mathematics, Research Report 9, 2003 11 p

12 Persson L -E and Prokhorov D V , Integral inequalities for some weighted geometric mean operators with variable limits // Archives of Inequalities and Applications, V 2, 2004 P 465-473

13 Prokhorov D V , On the boundedness and compactness of a class of integral operators with variable upper limit // Khabarovsk Computing Centre FEB RAS, Research Report № 99/40, 1999 18 p

14 Prokhorov D V , On the boundedness and compactness of a class of integral operators //J London Math Soc , V 61,2000 P 617 628

15 Prokhorov D V , Weighted Hardy's inequalities for negative indices // Lulea Urnveisity of Technology, Department of Mathematics, Research Report 10, 2003 19 p

16 Prokhorov D V , Weighted Hardy's inequalities for negative indices // Publicacions Matematiques, V 48, 2004 P 423-443

17 Prokhorov D V , Inequalities of Hardy type for a class of integral operators with measures // Analysis Mathematica, V 33, 2007 P 199-225

Прохоров Дмитрий Владимирович

Точные оценки операторов в пространствах Лебега с произвольными мерами

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано к печати 24 07 08 Формат 60x84 1/16 Уел п л 1 5 Уч-изд 1 5 Тираж 90 экз

Отпечатано Вычислительным центром ДВО РАН

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. НЕРАВЕНСТВА ТИПА ХАРДИ С МЕРАМИ

§1.1. Введение.

§1.2. Предварительные замечания.

§1.3. Неравенства Харди с тремя мерами.

§1.4. Неравенства для оператора с ядром.

§1.5. Случай 0 < р < 1.

§1.6. Весовые неравенства с отрицательными показателями.

Глава 2. НЕРАВЕНСТВА ТИПА ТЕОРЕМ ВЛОЖЕНИЯ СОБОЛЕВА

§2.1. Введение.

§2.2. Особенности емкости на действительной оси.

§2.3. Критерии вложения.

Глава 3. ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ ОПЕРАТОРОВ РИМАНА - ЛИУВИЛЛЯ

§3.1. Введение.

§3.2. Ограниченность.

§3.3. Компактность.

§4.2. Основные результаты.1.181

Литература 188

Список обозначений 197

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена исследованию неравенств, выражающих непрерывность интегральных операторов и операторов вложения в функциональных пространствах со счетно конечными мерами.

Построение Л.Д. Кудрявцевым в 50 - 60-х годах XX века теории вложений весовых пространств С.Л. Соболева инициировало исследование весовых неравенств Харди с максимально ослабленными требованиями к весовым функциям. Эти неравенства изучались в работах Г. Таленти, Г. Томаселли, Б. Мукенхоупта, Дж.С. Брэдли, В.М. Коки-лашвили, В.Г. Мазьи, А.Л. Розина, А. Куфнера, Э.Т. Сойера, Г.П. Хей-нига, Г, Синнамона, В.Д. Степанова и других авторов, а их дискретные аналоги — Г. Беннетом и М.Л. Гольдманом. Наилучшим исходом в этом случае является характеризация неравенств в пространствах с мерами. Развитый технический аппарат позволил получить критерии выполнения (в разных формах) весовых неравенств Харди и их обобщений на интегральные операторы с ядром Ойнарова. При этом установился стандарт: форма критерия представляет собой константу, зависящую от весовых функций, конечность которой равносильна выполнению неравенства. Были получены также критерии выполнения неравенств Харди в пространствах с мерами, но сам оператор Харди оставался оператором интегрирования по мере Лебега и, используя такие естественные для пространств Лебега приемы как приближение абсолютно непрерывными функциями, интегрирование по частям, которые не работают в случае априори произвольных мер, полностью задачу характеризации неравенств Харди с мерами решить не удалось. В случае с обобщениями на интегральные операторы с ядром ситуация только усложняется.

В первой главе диссертации решена задача характеризации неравенств типа Харди в пространствах Лебега с произвольными мерами.

Во второй главе аналогичная задача решается для неравенства

JfT&y + (/jfl^) для всех / Е eg0(ft), выражающего непрерывность оператора вложения типа С.Л.Соболева. Мы рассматриваем случай произвольных мер и Q С К. Здесь уже весовой случай, то есть когда мера /2 абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и производная Радона — Никодима ^ неограничена, вызывает трудности, связанные с неинвариантностью меры ц относительно сдвигов, поэтому в предыдущих работах В.Г. Мазьи, Э.Т. Сой-ера, Л.И. Хедберга и других авторов рассматривался только случай, когда fi — мера Лебега.

Кроме этого в работе характеризуются неравенства с абсолютно непрерывными мерами для операторов дробного интегрирования Ри-мана — Лиувилля и его вариантов и оператора геометрического среднего.

Более подробно история каждого вопроса и литература приводится во введении каждой главы.

Основные результаты диссертации

1. Получены критерии выполнения неравенств Харди в функциональных пространствах со счетно конечными мерами. Также характеризованы весовые неравенства Харди с отрицательными показателями.

2. Установлены критерии ограниченности интегральных операторов с ядром Ойнарова в пространствах Лебега с произвольными счетно конечными мерами.

3. Показано, что в случае ограниченности интегрального оператора, действующего из пространства функций суммируемых со степенью р Е (0,1) относительно непрерывной (неатомической) меры Л в пространство Лебега со счетно конечной мерой, оператор суть нулевой.

4. Изучены свойства емкости capр>/х(д, G) в одномерном случае. Показано, что в этом случае емкость игнорирует сингулярную часть меры /х и полностью определяется ее абсолютно непрерывной относительно меры Лебега частью /ла. Дарю явное выражение емкости через производную Радона — Никодима

5. Используя результаты 4, доказаны критерии выполнения неравенств типа теорем вложения Соболева.

6. Установлены критерии ограниченности и компактности весового оператора Римана — Лиувилля в пространствах Лебега. Даны приложения этих результатов к разрешимости одного интегрального уравнения Абеля и ограниченности одной билинейной формы в пространствах Соболева.

7. Получены критерии ограниченности операторов Римана — Лиувилля и геометрического среднего с переменными пределами интегрирования.

Методика исследования

В работе используются методы общей теории меры, теории линейных операторов в банаховых пространствах и ряда других разделов функционального анализа.

Теоретическая значимость

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться в исследованиях характеристических чисел интегральных операторов, теории интегральных уравнений и неравенств.

Апробация работы

Основные результаты диссертации и отдельных ее частей докладывались на научных семинарах: по теории функции и функциональному анализу под руководством академика РАН С.М. Никольского (МИ им. В.А. Стеклова РАН), по геометрии и анализу под руководством академика Ю.Г. Решетняка (ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН), по функциональному анализу под руководством чл.-корр. РАН В.Д. Степанова

ВЦ ДВО РАН), отделения математики университета г. Лулео (Швеция) под руководством профессора JI.E. Перссона.

Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на российских и международных конференциях, в частности: «Международная школа-конференция по анализу и геометрии», посвященная 75-летию академика Ю.Г. Решетняка, Новосибирск 2004; «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященная столетию С.М. Никольского, Москва 2005; «The 8th international Spring School on Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications (NAFSA 8)», Прага 2006; «Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова», Владивосток 2006; «Весовые оценки дифференциальных и интегральных операторов и их приложения», Астана 2007; «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященная 85-летию члена-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева, Москва 2008.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [80-97]. Из них работы [88-90] написаны совместно с В.Д. Степановым, [91,92] с J1.-E. Перссоным. В диссертации использованы результаты непосредственно полученные автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 16 параграфов, которые в свою очередь делятся на пункты, и списка литературы. Параграфы, формулы и пункты занумерованы двойным индексом: первая его часть представляет номер главы, вторая — порядковый номер соответственно параграфа, формулы, пункта в данной главе. Так, например, «(1.3)» означает третью формулу в первой главе, а запись «теорема 2.5» означает, что речь идет о теореме пункта 2.5. Библиография содержит 97 названия.,Объем работы 197 страниц.

§ 4.2. Основные результаты

Начнем с доказательства двух лемм.

4.2. Лемма. Пусть 1 < р < q < +оо,'ф неотрицательная строго возрастающая непрерывная функция на (0, -t-oo), a G (0,+оо); 7 > ф(а) и й) неотрицательная измеримая по Лебегу функция на (а, ф~1(7)). Тогда для выполнения неравенства f

J а

7) w(xy (7 - ф(х))«

- «7 Ч я fWv dx <Сг Сг [ Г f(yfdy

J ip{a)

4.5) для всех f € {ШТте8(^(а),7)}+ необходимо и достаточно, чтобы Bi < +оо; где

7)

Bi := sup a<s<ip~1{ 7) j; w(x)qdx J (7 — t/>(s)) p.

Более того, inf C\ ~ Bi.

Доказательство. Необходимость доказывается при помощи тестовой функции

Подставив данную функцию в неравенство (4.5) и взяв супремум по s G [а, ф"1^)) получим С\ > Bi.

Достаточность. Пусть N это целая часть logi(7 — ф(а)). Тогда

2~(JV+i) < 7 ^ < 2~N, ф~\7 - 2~~n) <а< ф~\7

Построим последовательность следующим образом: лг:=а; & := ^(7 - 2~к), к > N.

Тогда имеем

7 - v>tev) «2-" и 7 - VteO - 2-*, к > N.

Используя определение Bi и неравенство Гельдера, находим

J a

Ф~1Ь) w(x)q dx п \q f(y) dy

7 ~ ^{x))4 \]ф{х) 1

J^w(x)qdx ^ (7 fc>JV 4 ' T- V^rv/ L-Vfe)

Г /-7

W / £

2q w{x)q dx гФ^з+i)

E / /(2/) dv

7Г7 ./i/> в?Е«мЕ fc>JV \j>fc ибо 1) — i/>(£j) ~ Применяя, теперь, дискретное неравенство Харди (теорема 1.4) к последней сумме, получим (4.5) с некоторой С\ < Bi, ибо для любого целого п G (N, оо) справедливо

П \ q / ОО

J \ Р

1.

2*)*) (ЕИ)? чk=N / \j=n

Лемма доказана.

Следующее утверждение доказывается аналогично.

4.3. Лемма. Пусть 1 < р < q < +оо; ф неотрицательная строго возрастающая непрерывная функция на (0,+оо), b G (0,+оо); 7 < 0(6) uw неотрицательная измеримая по Лебегу на (ф~г(7), Ь) функция. Тогда для выполнения неравенства J

J(b w(xy

-47) l)q рф{х) 9 q - Гф{Ь) /(</№ <с2 /

J 7 Л для всех f е {Ш1тез(7) Ф{Ь))} необходимо и достаточно, чтобы В2 < +оо, где

В2 := sup ( / w{x)qdx ) (</>(s) — 7) p.

Более того, inf С2 ~ В2.

Теперь получим критерий LP — Lq ограниченности оператора Харди (4.3).

4.4. Теорема. Пусть 1 < р < q < +оо, w неотрицательная измеримая по Лебегу функция на (0, -Ьоо); оператор Ж определен равенством (4.3), а функции ф, ф удовлетворяют условиям (4.4). Тогда ~ А; где Г<Т-Ч<К*))

А := sup / w(x)qdx (<£(*) - Ф(з))"р (4.6) s>0 \yCT-i(V>(s)) / c a(t) = №±Ш.

Доказательство. Для начала заметим, что

А « шах(Аь А2), (4.7) где Г

Ai := sup Ai(£) := sup sup ( w(x)qdx ) (cr(t) — ф(в)) i, t>0 t>0 6~1(cr(t))<s<t \Js /

A2 supA2(t) sup sup ( / w(x)qdx\ (0(s) — a(t)) p. t>0 t>0 tKs^-^ait)) \Jt J

Действительно, так как a(t) — ф{з), если 0-1((j(t)) < s <t, ф(в) — <r(t), если t < s < ф~1{а{Ь)). то имеем

Ai ~ sup sup ( / w(x)qdx\ [<?S>(s) — ^(s)] * t>0 0-i(ff(<))<e« \Js / sup [0(s) — sup ( / w(x)qdxj s>0 s<t<(T1(0(s)) \Js J i / Г sup [0(s) — ф(з)]~р ( / ги(ж)9 dx s>0 \ Js

Аналогично устанавливается оценка

А2 « sup [0(s) — ( / w{x)qdx) .

S>0 KJa-1^ (s)) /

Таким образом, A « max(Ai, A2) и наше замечание доказано.

Далее получим нижнюю оценку для Цги^Ц Фиксируем произвольное t > 0 и s G [</>-1(cr(£)), t). Существует число г G (£, ,0-1(сг(^))) такое, что ф(Т) < Ф(€) + т) - Ф(З)) ибо фиф возрастающие и непрерывные. Откуда ф{т)-а(г) <а{1)-ф(з). Рассмотрим тестовую функцию h := [<r(t)-tl>(s)]-fxMs)Mt)) + 1Ф(Т) ~

Имеем ||/i||p = 2р и, применяя (4.8), находим

4.8)

Ik^/ill, >

J S w(x)q dx ф(х) - ф(х))ч ra{t)

Tp{x) гф(х) fi(y)dy+ / h{y)dy Ja(t)

• я i: w(x)qdx ст(1)-ф(х) <j>(x)-*(t) 1 ' ф(х) - ф(х))1 [(a(t) (0(r) cr(t))p^

Таким образом, 2~PAv

Для любого фиксированного t > 0 и s G (t, ф~1(сг(£))], существует число т £ (ф~1(а^)), t) такое, что а(1)-ф(т)<ф(8)-ст(г).

Поэтому, применяя к тестовой функции

2 := [cr(t) - Ф(т)]-$хМт)М*)) + Ws) ~ ~*Х№),ф{8)) рассуждения, использованные при работе с /i, находим wJtf\\lp^lq > 2~рА2. Учитывая, доказанную в начале эквивалентность (4.7), имеем

WwM'Wlp^ > А.

В заключение получим верхнюю оценку. Из теоремы 3.9 следует, что где

11^11

LP-+L1

А*, frl

А* sup A*(£) := sup / t>О t>О V J<b~l(c

V-"1 (*(«)) w{x)qdx ф-ЧФ)) {Ф{х) - ф{х)У Заметим, что для любого фиксированного t > О w(x)Qdx - my

A\t) < J a(t) - ф{х)У\

I. w(x)qdx ч ф(х) - cr(t))q

Ф(г) - Ф(Ь))7 где

AJ(t) := sup У w(x)qdx i a(t) - <ф(з))7 и

A*2(t) sup L

Г1*?®) w{x)qdx ф(х) - a(t))q

Однако, Al(t) « и A*2{t) « \\j%,t\|lp->l«, где ф(з) - a(t))?. /fo) dy и a*, ■ - ц'Мх(«.»-'и<)))(аО (m г,„Л rh,

--U f{v)dy' в силу критерия ограниченности оператора Харди с переменным нижним и верхним пределом интегрирования, соответственно, (см., например, [36]).

Применяя лемму 4.2 с 7 = a(t), a = (a(t)) и весовой функцией w = wxtf-iИ*)),ф получим i,th~ sup

4>-4<T(t))<8<1>-i{a(t)) чГ1 (*(*)) . w{x)q dx s sup ( [ w{x)q dx* (cr(t) - ф(s))~p = Ai(t), ибо f*~l{a{t)) w{x)qdx = 0 при S > t.

Аналогично, применяя лемму 4.3 с 7 = <j{t), b = ф~1(а(Ь)) и весовой функцией W = WX(t,il>-i(a{t))), НаХОДИМ, ЧТО \\J%,t\\LP-+L* ~ A2(t).

Таким образом, учитывая соотношение (4.7), wJf\\LP^ < А и верхняя оценка доказана. □

Следующая теорема характеризует неравенство с оператором геометрического среднего (4.2).

4.5. Теорема. Пусть 0 < р < q < +00; и, v неотрицательные измеримые по Лебегу функции на (0, +оо): оператор 9 определен равенством (4.2), а функции ф, ф удовлетворяют условиям (4.4). Тогда для выполнения неравенства

Jo

00 \ £ / Р+ОО \ j lv(x)(5(fu))(x)fdxj <СЦ f{xfdxj (4g) для всех f € {9ftmes(0, +00)}+ необходимо и достаточно, чтобы А < +оо; где А определено соотношением (4.6) с w := v$u. Более того, для наименьшей возможной константы С в (4.9) выполнено С ~ А.

Доказательство. Пусть А < +оо. Фиксируем произвольное число г € (0, р) и положим р = рг~х и q = qrТогда, согласно теореме 4.4, учитывая, что Sf < имеем v3(fuWq = К9(Л ||( < 1К^(Л ||< < АЦЛ1* = А1/|[;.

Следовательно, (4.9) выполнено с С < А.

Теперь предположим, что неравенство (4.9) выполнено и рссмотрим тестовые функции Д и /2, определенные в доказательстве теоремы 4.4. Фиксируем произвольное t > 0 и 5 e [01(cr(£)), t). Выберем число т € (t, так, что

Тогда H/illp = 2р и неравенство (4.9) влечет

2"С > \\v5(fiu)\\q = \\w9fi\\q > И*) ехр№)}]^', где

I гФ(х) ф{х)-ф{х) J^{x)

I f rait) гф{х) \ 7П-ГГТ / bgA(y)^+ / log/1(2/) dy I

0(ж) - Уо-с*) у r(t) - ^(s)) log(<r(t) - ф(з)) + - a(t)) log(0(т) - q-QQ) (a(t) - ^Qc)) log(g-(t) - ф(з)) + (^(ж) - <r(t)) log(<7(t) - ф(з)) р(ф{х) - ф(х))

Откуда wS/i||e > ^w(xydxy [*(<) -1>(s)]-i.

Таким образом, С > 2~рАь

Аналогично, используя вместо fi функцию /2, находим С > 2~рА2. Учитывая эквивалентность (4.7), доказанную в теореме 4.4, имеем А < С < +оо. . □

1. Бак Дж.-Г., Шкаликов А.А., "Мультипликаторы в дуальных соболевских пространствах и операторы Шредингера с потенциалами-распределениями" Машем, заметки, Т. 71, № 5, 2002. С. 643-651.

2. Батуев Е.-Н., Степанов В.Д., "О весовых неравенствах типа Хар-ди" Сибирский матем. журнал, Т. 30, № 1, 1989. С. 13-22.

3. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М., Интегральные представления функций и теоремы вложения, М.: Наука, 1996.

4. Буренков В.И., Гольдман M.JJ., "Неравенства типа Харди для модулей непрерывности" Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 227, 1999. С. 92-108.

5. Буренков В.И., Гольдман М.Л., "О точных аналогах неравенства Харди для разностей в случае связанных весов" Доклады АН, Т. 366, № 2, 1999. С. 155-157.

6. Гольдман М.Л., "Точные оценки норм операторов типа Харди на конусах квазимонотонных функций" Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 232, 2001. С. 115-143.

7. Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Том 1. Общая теория, М.: ИЛ, 1962. 896 с.

8. Канторович Л.В., Акилов Г.П., Функциональный анализ, М.: Наука, 1977. 744 с.

9. Кокилашвили В.М., "О неравенствах Харди в весовых пространствах" Сообщ. АН ГССР, Т. 96, № 1, 1979. С. 37-40.

10. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е., Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М.: Наука, 1966. 500 с.

11. Кудрявцев Л.Д., "Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений" Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 55, 1979. С. 1-182.

12. Мазья В.Г., "О некоторых интегральных неравенствах для функций многих переменных" Проблемы матем. анализа, Л., Т. 3, 1972. С. 33-68.

13. Мазья В.Г., Пространства С.Л. Соболева, Л.: ЛГУ, 1985. 416 с.

14. Мынбаев К.Т., Отелбаев М.О., Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов, М.: Наука, 1988.

15. Нейман-заде М.И., Шкаликов А.А., "Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами из пространств мультипликаторов" Матем. заметки, Т. 66, № 5, 1999. С. 723-733.

16. Никольский С.М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М.: Наука, 1969. 480 с.

17. Ойнаров Р., "Двусторонние оценки норм для классов интегральных операторов" Труды Математического института им.

18. B.А. Стеклова, Т. 204, 1993. С. 240-250.

19. Рудин У., Функциональный анализ, М.: Мир, 1975. 443 с.

20. Степанов В.Д., Ушакова Е.П., "Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования" Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 232, 2001. С. 298-317.

21. Степанов В.Д., Ушакова Е.П., "Об операторе геометрического среднего с переменными пределами интегрирования" Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 260, 2008.1. C.

22. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полна Г., Неравенства, М.: ИЛ, 1948. 456 с.

23. Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л., Интеграл, мера и производная, М.: Наука, 1967. 220 с.

24. Adams D.R. and Hedberg L.I., Function spaces and potential theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin, V. 314, 1996.

25. Andersen K.F. and Sawyer E.T., "Weighted norm inequalities for the Riemann-Liouville and Weyl fractional integral operators" Trans. Amer. Math. Soc., V. 308, № 2, 1988. P. 547-558.

26. Beesack P. and Heinig H.P., "Hardy's inequalities with indices less than 1" Proc. Amer. Math. Soc., V. 83, 1981. P. 532-536.

27. Bennett G., "Some elementary inequalities" Quart. J. Math. Oxford Ser., V. 38, № 2, 1987. P. 401-425.

28. Bennett G"Some elementary inequalities. II" Quart. J. Math. Oxford Ser., V. 39, № 2, 1988. P. 385-400.

29. Bennett G., "Some elementary inequalities. Ill" Quart. J. Math. Oxford Ser., V. 42, № 2, 1991. P. 149-174.

30. Bloom S. and Kerman R., "Weighted norm inequalities for operators of Hardy type" Proc. Amer. Math. Soc., V. 113, № 1, 1991. P. 135141.

31. Bradley J.S., "Hardy inequalities with mixed norms" Canad. Math. Bull, V. 21, № 4, 1978. P. 405-408.

32. Braverman M.Sh. and Stepanov V.D., "On the discrete Hardy inequality" Bull London Math. Soc., V. 26, 1994. P. 283-287.

33. Burenkov V., Jain P. and Tararykova Т., "On Hardy-Steklov and geometric Steklov operators" Math. Nachr., V. 280, 2007. P. 12441256.

34. Carleman Т., "Sur les fonctions quasi-analytiques" Conferences faites au cinquieme congres des mathematiciens Scandinaves, Helsingfors, 1923. P. 181-196.

35. Cochran J.A. and Lee C.-S., "Inequalities related to Hardy's and Heinig's" Math. Proc. Camb. Phil Soc., V. 96, 1984. P. 1-7.

36. Chen Т. and Sinnamon G., "Generalized Hardy operators and normalizing measures" J. Inequal. Appl, V. 7, 2002. P. 829-866.

37. Gogatishvili A. and Lang J., "The generalized Hardy operators with kernel and variable integral limits in Banach function spaces" J. Lnequal. Appl, V. 4, 1999. P. 1-16.

38. Goldman M.L., "Hardy type inequalities on the cone of quasimono-tone functions" Khabarovsk: Computing Centre FEB RAS, Research Report № 98/31, 1998. 69 p.

39. Hardy G.H. and Littlewood J.E., "Some properties of fractional integrals I" Math. Zeit., V. 27, 1928. P. 565-606.

40. Heinig H.P., "Some extensions of Hardy's inequality" J. Math. Anal, V. 6, 1975. P. 698-713.

41. HeinigH.P., "Weighted norm inequalities for certain integral operators II" Proc. Amer. Math. Soc., V. 95, 1985. P. 387-395.

42. Heinig H.P., "Weighted inequalities in Fourier analysis" Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications, Vol.4, Proceedings of the Spring School at Roudnice nad Labem, 1990, Editors: M. Krbec et al, Teubner Texte 119, Leipzig, 1990. P. 42-85.

43. Heinig H.P. and Sinnamon G., "Mapping properties of integral averaging operators" Studio, Math., V. 129, 1998. P. 157-177.

44. Jain P., Persson L.-E. and WedestigA., "From Hardy to Carleman and general mean-type inequalities" Function Spaces and Applications, Narosa Publ. House, New Delhi, 2000. P. 117-130.

45. Jain P., Persson L.-E. and Wedestig A., "Carleman-Knopp type inequalities via Hardy inequalities" Math. Lnequal Appl, V. 4, 2001. P. 343-355.

46. Kerman R. and Sawyer E.T., "The trace inequality and eigenvalue estimates for Schrodinger operators" Ann. Lnst. Fourier (Grenoble), V. 36, № 4, 1986. P. 207-228.

47. Knopp K., "Uber reihen mit positiven Gliedern" J. London Math. Soc., V. 3, 1928. P. 205-211.

48. Kufner A., "Higher order Hardy inequalities" Bayreuth. Math. Schr., V. 44, 1993. P. 105-146.

49. Kufner A., Maligranda L. and Persson L.-E., The Hardy inequalities — about its history and some related results, Pilsen, 2007. 161 p.

50. Kufner A. and Persson L.-E., Weighted inequalities of Hardy type, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2003. 357 p.

51. Lai Q., "Weighted modular inequalities for Hardy type operators" Proc. London Math. Soc., V. 79, 1999. P. 649-672.

52. Lomakina E.N. and Stepanov V.D., "On the Hardy-type integral operators in Banach function spaces" Publ. Mat., V. 42,1998. P. 165194.

53. Lorente M., "A characterization of two weight norm inequalities for one-sided operators of fractional type" Canad. J. Math., V. 49, №5, 1997. P. 1010-1033. :

54. Love E.R., "Inequalities related to those of Hardy and of Cochran and Lee" Math. Proc. Camb. Phil Soc., V. 99, 1986. P. 395-408.:

55. Martin-Reyes J.F. and Sawyer E.T., "Weighted inequalities for Ri-emann-Liouville fractional integrals of order one and greater" Proc. Amer. Math. Soc., V. 106, 1989. P. 727-733.

56. Maz'ya V.G. and Netrusov Yu., "Some counterexamples for the theory of Sobolev spaces on bad domains" Potential analysis, V. 4, 1995. P. 47-65.

57. Maz'ya V.G. and Parfenov O.G., Two-weight criteria of boundedness for Sobolev embedding operator in one-dimensional case, Linkoping University, 1998.

58. Maz'ya V.G. and Poborchi S.V., Differentiable functions on bad domains, World Sci. Publ, 1997.

59. Maz'ya V.G. and Verbitsky I.E., "Boundedness and compactness criteria for the one-dimensional Schrodinger operator" Function Spaces, Interpolation Theory and Related Topics. Proceedings, Lund, 2000. P. 369-382.

60. Meskhi A., "Solution of some weight problems for the Riemann-Liouville and Weyl operators" Georgian Math. J., V. 5, 1998. R 564574.

61. Muckenhoupt В., "Hardy's inequalities with weights" Studia Math., V. 34, № 1, 1972. P. 31-38.

62. Nassyrov,a M.G., Weighted inequalities involving Hardy-type and limiting geometric mean operators. Doctoral thesis, Lulea University of Technology, Lulea, 2002.

63. Newman J. and Solomyak M., "Two-sided estimates on singular values for a class of integral operators on the semiaxis" Integr. Equat. Oper. Th., V. 20, 1994. P. 335-349.

64. Oinarov R., "On weighted norm inequalities with three weights" J. London Math. Soc., V. 48, 1993. P. 103-116.

65. Opic B. and Gurka P., "Weighted inequalities for geometric means" Proc. Amer. Math. Soc., V. 120, 1994. P. 771-779.

66. Opic B. and Kufner A., Hardy-type inequalities, Pitman Research Notes in Mathematics Series V. 219, Longman Scientific & Technical, Harlow, 1990. 129 p.

67. Persson L.-E. and Stepanov V.D., "Weighted integral inequalities with the geometric mean operator" J. Lnequal. Appl, V. 7, № 5, 2002. P. 727-746.

68. Pick L. and Opic В., "On geometric mean operator" J. Math. Anal Appl., V. 183, 1994. P. 652-662.

69. Rakotondratsimba Y., "Weighted norm inequalities for Riemann-Liouville fractional integrals of order less than one" Z. Anal Anwendungen, V. 16, 1997. P. 801-829.

70. Rudin W., Real and complex analysis, McGraw-Hill book company, International editions, 1987. 416 c.

71. Sawyer E.T., "Weighted Lebesgue and Lorentz norm inequalities for the Hardy operator" Trans. Amer. Math. Soc., V. 281, № 1, 1984.- P. 329-337.

72. Sinnamon G., "Weighted Hardy and Opial-type inequalities" J. Math. Anal. Appl., V. 160, 1991. P. 434-445.

73. Sinnamon G. and Stepanov V.D., "The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p = 1" J. London Math. Soc., V. 54, 1996. P. 89-101.

74. Solomyak M., "Estimates for the approximation numbers of the weighted Riemann-Liouville operator in the spaces Operator Theory: Advances and Applications, V. 113, 2000. P. 371-383.

75. Stepanov V.D., "Two-weighted estimates for Riemann-Liouville integrals" Ceskoslovenska Akademie Ved. Matematicky Ustav. Praha. Report № 39, 1988. P. 1-28.

76. Stepanov V.D., "Weighted norm inequalities of Hardy type for a class of integral operators" J. London Math. Soc., V. 50, № 2, 1994. P. 105-120.

77. Talenti G., "Osservazioni sopra una classe di disuguaglianze" Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, V. 39, 1969. P. 171-185.

78. Tomaselli G., "A class of inequalities" Boll. Un. Mat. JtaL, V. 2, 1969. P. 622-631.

79. Verbitsky I.E., "Superlinear equations, potential theory and weighted norm inequalities" Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications. Proceedings, Prague, V. 6, 1998. P. 223-269.

80. Работы автора по теме диссертации

81. Прохоров Д.В., "Об ограниченности и компактности одного класса интегральных операторов" Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт № 98/33, 1998. 20 с.

82. Прохоров Д.В., "Об операторах Римана — Лиувилля с переменными пределами" Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт № 2000/44, 2000. 28 с.

83. Прохоров Д.В., "Об операторах Римана-Лиувилля с переменными пределами" Сибирский матпем. журнал, Т. 42, № 1, 2001. С. 156175.

84. Прохоров Д.В., "Весовые оценки операторов Римана — Лиувилля с переменными пределами" Сибирский матпем. журнал, Т. 44, № 6, 2003. С. 1049-1060.

85. Прохоров Д.В., "Неравенство Харди с тремя мерам" Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт № 2005/94, 2005. 13 с.

86. Прохоров Д.В., "Неравенства Харди с тремя мерами" Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 255, 2006. С. 233-245.

87. Прохоров Д.В., "Неравенства Харди с мерами, случай 0 < р < 1" Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, Препринт № 2007/112, 2007. 12 с.

88. Прохоров Д.В., "О неравенстве Харди с мерами" Доклады АН, Т. , № , 2008. С.

89. Прохоров Д.В., Степанов В.Д., "Об операторах Римана — Лиувилля" Доклады АН, Т. 382, № 4, 2002. С. 452-455.

90. Прохоров Д.В., Степанов В.Д., "О неравенствах с мерами типа теорем вложения Соболева на открытых множествах действительной оси" Сибирский матем. журнал, Т. 43, № 4, 2002. С. 864-878.

91. Прохоров Д.В., Степанов В.Д., "Весовые оценки операторов Римана — Лиувилля и приложения" Труды Математического института им. В.А. Стеклова, Т. 243, 2003. С. 289-312.

92. Persson L.-E. and Prokhorov D.V., "Integral inequalities for some weighted geometric mean operators with variable limits" Lulea University of Technology, Department of Mathematics, Research Report 9, 2003. 11 p.N

93. Persson L.-E. and Prokhorov D.V., "Integral inequalities for some weighted geometric mean operators with variable limits" Archives of Inequalities and Applications, V. 2, 2004. P. 465-473.

94. Prokhorov D.V., "On the boundedness and compactness of a class of integral operators with variable upper limit" Khabarovsk: Computing Centre FEB RAS, Research Report № 99/40, 1999. 18 p.

95. Prokhorov D.V., "On the boundedness and compactness of a class of integral operators" J. London Math. Soc., V. 61, 2000. P. 617-628.

96. Prokhorov D.V., "Weighted Hardy's inequalities for negative indices" Lulea University of Technology, Department of Mathematics, Research Report 10, 2003. 19 p.

97. Prokhorov D.V., "Weighted Hardy's inequalities for negative indices" Publicacions Matematiques, V. 48, 2004. P. 423-443.

98. Prokhorov D.V., "Inequalities of Hardy type for a class of integral operators with measures" Analysis Mathematica, V. 33, 2007. P. 199— 225.1. Список обозначений

99. N множество всех натуральных чисел

100. М множество всех действительных чисел

101. Ъ множество всех целых чисел

102. Хе характеристическая функция множества Еопределение новых величинр' := ^-j- сопряженный параметр к рсимвол конца доказательства53 := (X) а- алгебра борелевских подмножеств множества X

103. Ш := Ш(Х) сг-алгебра подмножеств множества X, содержащая

104. Ш\ (j-алгебра на которой определена мера Л сг-алгебра П

105. ШТ(Х)}+ класс всех определенных на X, ЗЯ-измеримых функций /: X —► О, +оо) U{+°°}i/< А мера v абсолютно непрерывна относительно Ли 1 Л меры v и Л взаимно сингулярныmes мера Лебегаsupp / носитель функции /

106. Со°(0) пространство бесконечно дифференцируемых функций компактным носителем в VI

107. Cq (О) пространство непрерывно дифференцируемых функций / : Q —► К с компактным носителем в QgccG замыкание д множества д компактно в GсаРР,ц{9: G) емкость множеств д, G