Точные оценки максимальных и вольтерровских операторов в идеальных пространствах и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ--НЛУК- РОССИИ------------------------'------------------------

ордгнл лг.нип\ с.и[;и1>ско1 тдплгннг ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Ли правах рукописи

<> Л Г\ |> I |).Г1П

БЕРНЖНОЙ Глиений Иванович

ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНЫХ И ВОЛЬТЕРРОВСКИХ ОПЕРАТОРОВ В ИДЕАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

(лнчша.п.ногт!. 0 1.01.01 — математический акали*

Автореферат лиссертании на соискание ученой степени

юмора фи шко-магсчагнчсскич иауь

Новосибирск — 1994

Работа выполнена на кафедре теории функций н функционального анализа Ярославского государственного университета.

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН, профессор Бесов О. В.,

доктор физико-математических наук, профессор Степанов В. Д.,

доктор физико-математических наук, профессор Водопьянов С. К.

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита состоится 22 февраля 1995 г. в 15 часов на заседании специализированного совета Д 002.23.02 при Институте математики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, Университетский пр., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан 10 января 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Ш а р а ф у т д и н о в В. А.

СЛЯЦЙ ХЛР>.КТЕ?1'.0Т;11У. РАЛЛИ». -»КШЛШОСГСЬ ТЕИН. JU:;eep?s< ля отнсйитсв к одному ^з

ютевсиеио разделов гарчсниччского . ..алиэя - -гочтм

оняикпм операторов в парах пространств. Источником задач,

t:,;mi,'.CT;.'0 к :32ятв¡о,ял ».'OTi'fi.'x rrocK/,3;friia ?1:«читель;ш>? часть

^ ошсй рь&яа ( гдавэ t сч>л».зеп «лоть гдовн 2), являютея я\зит елдъного типа

— * Л 1 /п - . .-»

/ С I I г »/» ) • « г; / I I .х- f- »> <ХЯ t • у \ ,

*г.та слабого гага

/ to (¡3 5 О X I т \Р V с , (2)

{ г : | Т х | > X )

где Т некоторая интегральный ила максимальный оператор. ). с Я+ и с не зависит от X , а . ак:»о неравенства для оператора Гильберта и

иакгамслыюа ©упкцаз ( t?04 /^нетгсэрастякцая пвг'^тяповка функции /) г >

( г' п it; s С; -р- / 'ft? a'i « -V" (t), (J)

(Hff(t) i Cj ■■j-fi f'ilj OX •i\~'1/(Z)GXJ < C,/«. /if,», <4/ О X

iv4 .сюссшзокая i-iroxm сингулярных инк»грллов изложенная, иглижме*, 5 И.Стойкз П.', кдс* о? ;-*я«ени?их тоорем

"..'т'л-к и 4Л».»'(оямогорова о аса/рякетшх фукхидях. Эта георял относится полосовому случая, т.е. и = у - 1 , Не меньшей V ипогам гтл:ст.г»уйт>ля я нарввенатво

"^-тпл для оператора у агагдароеянзи»« которое мскэ? йяъ зекчсйно в ваде нвревйцотвй (1), но со cicnc isi^ss usc^iia.

Тягам образе«, общая аелательнея■задача состоит s вогшеашо болеа полной спнеевиа весешзх фушадай и идеальных пространств, нс^орах датя к^тпого олсратсрз 9 жегг .-««сто он«»* <з»лы»его TiHia (!) или дешш ггабото тиля (?). ЯервиЗ эскончешш? резуль-гаг был помучен для оператора жгйг^харовашзд Тзленхи и ¿смаоэдяи,- которое хюлгмлн характеристику весов (ю,») в iP, для jtoropux справедливо неравенства Харда. Макенхаулт дал' Солее ^ростов доказательство этого факта. Наконец, ¡Зредли распространил результаты Томаселли и Тэленти на случай, когда оператор

интегрирования рассматривается из хР в тЯ о q а р. Случай

ш V

обратного неравенства для индексов пространств Лебега, т.е. при

«г р был разобран В.Г.Мазьей и А.Л.Розщшм:

Существенный и переломный шаг для аператор'а максимальной

функции Сил сделан в •1972 г." Макенхауптоы, который полностьй

решил проблему для максимального оператора Харда - Литльвуда в

случае равных веосз , т.е. ш - и . Он установил необходимое и

достаточное условие на вес г», < знаменитое теперь А - условие),

при котором спр....едлива оценка сильного типа. В этой ке работе

Макестаупт получил также полное описание всех пор весов ( ю , V),

для которых имеет место неравенство слабого типа. После

пионерской работы Макендаупта были найдены необходимые, и

достаточные условия выполнения одиовесовых неравенств и для

некоторых других операторов.

Множество дальнейших работ (см., например, обзор (2]\

посвящено весовым оценкам различных классических операторов.

Около 1980.года произошел новый качественный скачок в развитии

теории весовых оценок, ярким проявлением 1 которого 'стали работы

Джонса о факторизации А^ условия и Сойера , получавшего решение

Проблемы дву; чесовых оценок сильною лгл максимального

оператора Харда - Литльвуда и некоторых других . Здесь стоит

отметить и достижения грузи лшй'иколы, занимавшейся, в основном,

оценками операторов типа потенциала. В конце 80 - х, начала 90- х

появились работы В.Д.Степанова, нашедшего условия ограниченности

оператора свертки в пространствах Лебега о весом. Кроыо того,

появляются задачи, в' которых трзбуетоя.. кеЛтл необходимые и

• достаточные услов*- на пару весов для вшояаояая сильных и слабых

оценок операторов но только на . всам пространстве, но и па

некоторых конусах этого пространства (сн, неравен--ва (3)-(4)).

К текла задачам приводят оцехпи максимальных операторе-? в

пространства;: Лоренца с весом 1, явюторис задачи теории

интерполяции штейна опордтсров и г аорт яри&ликушя.

При анализе воевазмокннх уолох % выао-пкетшя еильчцх оценок

для тех или иных опэрггоров в пространствах Лебега о с с с а:,!

выявилась су^эствоняая рвзапца в ответах ¡гон рассмотрении р а

операторов иа ^ и Ху при различных соотношениях р к у .

Наиболее полно извеотны ответы на вопросы о выполнении сильных оценок для операторов при <7 » р . В этом случае вти ответы носят более простой и обозримый вид. В случае ке р > <, либо ответ носит гораздо более сложный вид (, например, для оператора интегрирования ), либо вообще неизвестен ( например, для огоратора максимальной функции Харди - Литльвуда ). Кроме того, удовлетворительная в каком-то смысле теория сильных и слабых.

Ир*П™-ЗНСТВЗХ, XI 1иС Нй I^СИУСйХ ИрОСТршЮТВ «ШёКП'СЯ ^Тишг

отдельные результаты.

ЦЕПЬ РАБОТЫ. Основной целью дисоертацион- й работы является Бьграббтка единого подхода для исследования максимальных и вольтерровских операторе, связывающего геометрию пространства на котором определен отгератор, геометрию пространства, куда действует оператор, с оценками втого оператора. Для реализации етого подхода пришлось выяснить различные геомет -чеекие свойства пространств, связанные с содержательным обоощением понятий верхних и нижних р оценок, что позволило даже в случае классических прострайетв Лоренца, ^арцинкевича, Оряича на прямой получить некоторые новые факты их геометрии. Т нов от; эние требуемых геометрических свойств пространств позволило точно очертить и рамки применения предложеного в работе подхода. На основе втого удалось в какой-то мере объяснить, почему ответы в классических теоремах разные при выполнении либо неравенства д ь р , .либо неравенства р > Я Использование геометрических

свойств пространств позволило описать необходимые и достаточные условия сильной и слабой ограниченности операторов Харди, Вольтерра, дробных максимальных функцЛ в различных пространствах функций п на конусах достаточно общего вида. Общий подход привел к тому, что даже в случае пространств Лебега, Орлича, Лоренца, Марцшжевича о веоамн получались новые результаты для перечисленных в предыдущем предлсзкенки операторов.

НАУ31ДЯ НОВИЗНА диссертации состоит в том, что в ней;

1. Предложен едшшй подход к исследованию вольтерровских операторов с неотрицательными монотонными ядрами, определенных на различных конусах одного идеального пространства X и принимающих значения в другом идеальном, пространстве У. Оказалось, что если

геометхшя пространств X и Y согласована, то мокно шггасать критерии сильной и слабой ограничетшости втих операторов на различных конусах« что позволило получи?* не только практически see известные критерии ограниченности указанных операторов в пчре

(1^, о q р, но и много новых результатов, непример, в парах

пространств Лобеге, Ораэгча, Лоренце, Марцшжевача о весом.

2.Введены и изучены понятия I-вогнутости и I-выпуклости для идеального проо-^ааства и 1- услоеае дня пары идеальных пространств. Эти условия входят в формулировка кратеразЕ ограниченности операторе^ и являются 1 содераательныи сйоСцезшш р-оценок. Приведены условия, когда, naps идеальны* пространств (X,*) игл {«.X) где в качеств© * можно поставить одао ез пространств Лебеге, Орлича, Лоренца, Марцаякогича» удовлетворяет I- условны. На основе исследования егъх поелтей в какой-то мерз удалось объяснить, почему ответы в классических «еоремех сО

огрпчиченцое;г операторов из iP и X® существенно различается.

3.ПриведсШ! критерии слабой в ouroafi . ограниченности оператора максимальной функций и его обобщезий б кврех идеальных пространен, если в та вара идеельшх прс-тренств удовлетворяв? Х-услокаа, т.е. их геометрия согласована.

4 -Предложена общая схе. получения фаетореззацшгаа теорем типа Шурь-П.Дконса-Рубио. На основе рассмотрения обратных задач показано, что veopeua гапэ Шура-П.Деснса-Рубио не ьгокэт Оыть перенесена на произвольное пространство Орлича о весом, е классическая теореиа Ыерщсзсевичв об Ентераоляциа otsjрэтороа слабого тиса нэ мо т бить существенно усалена. ■..''-'

5.Выяснены точные холичестаеншго связи ыоаду покрыБекЕдащ свойствами' дифференциального базиса, . г"раничаш1рсть» соотеотстьугцего цакоюшоьвого операторе и Д!адэрвкцаа^,-тй,5и евоЯетваин втога базиса.

6. Используя оценки ыакста&йьных функций ко газэцаалышад сам iai; мис&еста. дспа точке« ко®, эствешая оцет-cs ри&нсмерного модуля иевреркбиооте функции на массивном . шоаботзе,* ecsa известна оцеш»« иэдуян яупрврнвнсств стоя функции в сяьижртисх

проетргкогвв в Л*. Рянее точнао оценки такого сор-га были ttseaossa

лишь в одномерном алу^зе дся прострси-.'ти i/'. --

. . ПРЛКТ4ЧГ<СКАЧ ПЕНЧоЛЬ ?>.íO'?h' V&fo?* H.-ii-HT Teor*>Tis';eeW» характер. В' ней ра?.равотггп: говне тяорез». --юге лодюаешч, существенно рбгшоаккае кявоитокяе результетгг, Резул.'/гь.а работы могут применяться ь различии раздела* гошокячзеког^ «•чвлиза, для двлыюйиого тзучкшк твдгврП'Вскя». оьерзтсрго в napas функцкснздышх пространств, a творш*. дегодоэляосс Функциональных пространств, в тесремзт глоядаия, в теории

¿Hí^pC^'X^*' TrVneTip* nciw»

АШЧЖЩлЯ ГАСОТУ.

Полученныэ результаты докля/огаклись sí конференциях; 2-л конференция по Функциональным ггрсстрспств'М, Полька, Познань, 19Э9 г.; Вороне 'к^я зимняя математ.г'^скпя вкода, Вороне», 1993 г.; Школа по теории 'кцйй (еколз С.Б.Стечкина), Белороцк, 1993 Г.; "Теория приближения и задачи вычислительной математики", Днепропетровск, 1993! на семинарах; отдел теоргг функций НИ РАН

в.А.Стааови (тгра?;. С.5.Сточкян, проф. С. А. Тс-.яков&'сиД); отдел теории фулш'у, TI0MK Н им. Б.А.Отекд'.*« (проф. С.А.Виноградов, • проф. • иатфж Белорусского

университета ( проф. П.а.Г5аСрейк?, ipo$. З.Я. дыко); а?фг.к Воронежского ( проф. Е.Ц.Сзменов); if.ziteT

Московского у1шз-..._'р»гтеУ9 { •■••ро}. Р.й.Голубов, проф. З.А.Ск&орцов, Д2Д. Т.П.Луксяэкхо, дс.'!» Л.А.Бй^йеов ); ».юшат Московского уязтвроатэт» ' яро§. ?-.Н,Тт«*«ире>в){ s-iejuaT Московского университета ( «л. -юр. П.Л.Улыгюв, ироф. S.C.KoraicOi КиТ&та Одесского университета проф. й.».Стора«&пА->, ;гроф. и.й.К'чпядн, нрйф. В.Г .Крот-, о ). ? ww«« рг.ца ле? результата работа зеоджчфеэтго "oí лчдшзалис'и m се«'"»! ио теории функций мнопи ES530TB9Jniax пэременюи под руководстве» екад. С.М.Никольского, чл.-кор. Л.Д.Кудрявцева, чл.-кор. 0.В.Бесова.

ПУбЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 12 работ.

СТРУКТУРА ЬАбОТЫ. Диссертация состоит йя введения, двух глав я списка литературы, содержащего 141 наименование. Общий объем 3Í5 страниц ыапинописного текста. .

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дается мотивировка исследоваий и краткое изложение диссертации. Здесь вводятся также основные понятия и

обозначения.

. Глава 1, содержащая 5 параграфов, является основной. В первой параграфе работы предложен единый подход к исследованию операторов

Р„ xit) = S tv(3) х(з) Оз. Q,t x(t) xr / "Ь(а) х(а) da, v О v t

П x(t) = S гЬ (t,s) x(a} da, I x(t) = S m Kt.a) х(э) йз, О t

где ядра v(a), k(t.s) , l(t,s) неотрицательны, функция k(t,a)

не убывает по первому аргументу, а функция 1(t,а) не возрастает по

первому аргументу, определенных на различных конусах одного

идеального пространства X и принимающих значения в другом

идеальном пространстве г..

Пусть X идеальное пространство, ш весовая функция. Через Хш

обозначим новое идеальное пространство, норма в котором задается равенством |i х | Xw В » « х ш | X я Пусть ( X. Y ) пара

идеальных пространств на Я+ , Х^ конус неотрицательных функций

в X , К какой-нибудь-кону о в Х+ , причем норма на К индуцирорана

нормой на X . Через X * обозначим множество неотрицательных функций, для каздой из кото;, - конечна величина

ii 5 | Я ' и = аир { X g(D х(Х) dt : хс К а В (1, X ) },

Пусть Г однородный оператор. Будем говорить, что оператор Т: K — Y удовлетворяет сильной . оценке или удовлетрлряет сильному (К, Y ) силу, если для любого _ г с Я л В 1, I J ¿зрю неравенство

в Т х j Y u * с и z l X и (5) .

( с не зависит .от i с к л В ( 1Л Л-

Будем говорить, что оператор Т допускает слабую (Я, У ) оцен-" или слабого ( К, Y ) типа, е^ли для всех х с К В ( 1, X ) и у с Д+ верно неравенство

и х (D (Тх, 1 ) ) | Y li s с Г1 И I * и. (6)

"Де D ( /, j ) в С t : | f(t) | > 7 ), x (D) характеристическая функция множества D. причем с не зависит о- х с Я л В ( 1, I J я

У Г ■ --------------------- .--------------

Отметим, что если положить К = , У = 1Я, то определения (5) - (6) согляоуптоя с классическая опредвл«. л"л сильного т, слабого типа.

Сладу1К£10 ДО0 тоораш поов^цены оценкам слабого типа.

Теорем« 1. Пусть (X, Y) пгц.> идеал гиг т,-?~л" i. ~ конус в X, , Для того, чтобы Р., ' ;»• с:..*г ••„•• •„•; .

г U *

(К, Y ) необходимо и достаточно, чтс.'ч пкпо.то.теоъ гонг гг»

л- U fA .. I » I п « i ....... 1 -—"

- - I • ' - | — , ...... \ - »—/ Г " " ' — ■ II/

Ожеткы, что эта теорема содержит не тот- э црякзчздекв все известные теоремы об оценках слабого типа для оператора Ру в случае 2 = Х^ , гключая теорему Б.Макенхаупта, в которую она переходит, если положить X = , У = но деке в случае

лебеговых пространств дает много новых фактов для различных конуоов Я .

. Теорам 2. Пусть X . У пара идеальных пространств в Л (/?); JC

пепуо в X . Для того чтобы оператор П был оператором слабого ( К, У ) типа,' необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

соотноэев;-.:

sup II х со, t) к (t,a) | к 'ни х ( t, «> ; i у н < со. (8) t > о

Отметим, что данный результат нов уха для пространств Лебега, Орлича м т.п.

' Для формулировки теорем о сильных оценках нам потребуется одно геометрическое понятие.

Определение 1. Пусть Z идеальное пространство

£ ео

последовательностей, (в ) ^ стандартная базис.в_ нем.,-Будем . говорить, что идеальное пространство X с S (R+) l~ вогнуто

( I- выпукло ), если для любого набора дизъюнктных интервалов С ) с и 1( = я + и любого х с X " выполнено неравенство

«Ее1 в г X С 2(/ I X и | г II s с И х | X I) {соответственно

И х } X II s с II Е е1 и х X ( ; | X и | г v )

о константой с , независящей от х с X и набора ( I, ).

Определение 2. Будеи говорить, что пара идеальных пространств X , У удовлетворяет I - условию, если найдется идеальное пространство последовательностей I ■, такое, что пространство X является I - вогнутым, а > идеальное пространство У является I - выпуклым.

Ниже мы б^лее подробно обсудим I - условие, а сейчас отметим, что понятия X - вогнутости и I - выпуклости в случае,

когда в качестве пространства. Z взято пространство переходят в понятия верхней нижней р - оценки t 4 J. Таюш образом вводимые понятия являются содержательным обобщением ншгней и верхней оценок.

Теорема 3. Пусть пара идеальных пространств X , У удовлетворяет I - условию, К конус в Х^ . Для того,

чтобы оператор Р v был оператором сильного типа ( К , Y ) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (7).

Для оператора П аналог теоремы 3 выглядит сложнее.

Теорема 4. Пусть пара идеальных пространств X, У удовлетворяет I - уоловию, К конус в Х+ , b некоторое положительное число. По Ь и ядру k (t,a) оператора П для т с а с построим новую функцию . .

h (X,а) = sup { 1 (UX.3) - Ъ k (t,a) }. tz а

Пусть неотрицательная функция у ft; и неубывающая

неотрицательная функция $(Х) выбраны так, что при всех ' X с Д+, а с R+ выполнение неравенство

h(x,s) £ f) (X) \р(а).

Тогда для ограниченности оператора П из К в У достаточно выполнения соотношения (0) и соотношения

sup II X (0,t) tpl К 'II II X (t.a) р (8-t) I Ун <a> . "9J tX)

Сразу же отметим,что поскольку условие (8) необходимо для вше 1ения слабой ( К , Y ) оценки то оно необходимо и для выполнения сильной С К , У ) оценки. Сейчас мы обсудим необходимость выполнения условия (9) для оператора П.

Теорема 5. Пусть оператор П удовлетворят сильной ( К, У ) оценке. Пусть функции <> (х) , р (X) в теореме 4 выбраны так,

а

чтобы при всех г , з < х с Я для ядра оператора П

выполнялось неравенство й ( р. (х)у (з\ где с но

зависит от г , I , з . Пусть функция , непрерывна и

удовлетворяет соотношению

'' ' Р Ш)......

р (А) = вир о -гт- <

Тогда условие (9) необходимо..

, ши Си16рйхОрон им- -

Аполспгпкэ факты верны и для операторов и X

Презде чем обсуждать конкретные следстш.. теорем 4, 5 обсудим условия, входящие в теоремы о сильных сценах. Вакную роль в условиях георем играло наличие I- условия у пары идеальных пространств ( X, У . Исследованию етого понятия посвящен параграф 2 первой главы.

Сразу же отметим очень важное свойств понятий I вогнутости и I - выпуклости - понятия I- выпуклости и I-вогнутости инвариант и относительно весовых функций. Таете и определение 2 инвариантно относительно введошш вековых фур-";ий в идеальные пространства X и У , т.е. пара ( X, У ) удовлетворяет 1 - условию тогда и только тогда, когда пара ( Хш , Уц ; удовлетворяет I- условию. Анализ определения 1 показывает, что для кпздого идеального пространства X хотелось бы найти "минимальное" пространство I , для которого X было бы I-

вогнутым и "максимальное" пространство Т , для которого X было

бы 7 выпуклым. Исходя из этих соображений, с каждым идеальным пространством X связываются два к л идеальных пространства последовательностей.

Будем считать для определенности, что идеальное пространство X задано на Я+. Для каждой последовательности 4 = (0 = ...)

образуем отображение Тг : Х-~ в (11) по формуле

Тг х = £ е' л г х ( 1( ; I X и ( 1{ = О-^^)).

Символом г (Т) обозначь объединение образов Т+ X : Х(Х) = и ТЛ.

х t I

На множестве X (X) определим функционал, обладающий свойствами нормы

» а | x(X) Ii = Inf С X >Q : 3 (t{ }, Зх с B( X, X) :

a{ s ii x * ( It) | X Ii У.

По множеству t (X) и функционалу ii.ii стандартный образом построим идеальное пространство, которое мы онова обозначим через X (X).

Через х~1(Х) обозначим наибольшее идеальное пространство в S(N) , удовлетворяющее соотношению:

асВ (1, г~1(Х) {Vf xt с В (1, X) J, V{ I^t It л Ij *

/ ( i/ J ) и I a( xt X (It) | X » « 1 }.

Пространства x (X) и x~1 (X) будут играть роль оптимальных . пространств для I - выпуклости и X - . вогнутости. Это связано о тем, что пара идеальных пространств \Х,У, для которых определены пространства г (X) и Х~^(У), удовлетворяет I - условию тогда и только тогда, когда- выполнено непрерывное ' влокение t (X) с

Дальнейшая наша задача, будет-в том, чтобы вычислить или . хорошо оценить пространства t (X) и х~1(Х) для некоторых классических пространств.

В работе вычислены пространства X (Х^ и Х~1(Х) для некотрых .', пространств, часто встречающихся в анализе. Для некоторых других

пространств приведены оценки Х(Х) и x~1 (X) . Так пространства х(Х)

и x~1 (X) вычислены в случае, если X есть пространство '

Лебега jP , пространство Оряича , пространство Лоренца А

пространство Марцинк.евича М (р) , что позволило выписать необходимые и дос! .'очные условия для того, чтобы пара идеальных ' пространств ( X, * ) или пара идеальных пространств ( *, X) , где X цроизвольное идеальное пространство, а вместо * ;ожно поставить любое из пространств Лебега, Орлича, Лоренца, Марцинк :ича, удовлетворяла I- условию. Полезно отметить, что пара симметричных прорчфанств (Х,Х) удовлетворяет Z-условию тогда и то ко тогда, когдс! X есть iP при некотором р с i i .

Приведем теперь примеры ядер оператора . П , для которых условия теорем 4 и 5 на к (t,a) смыкаютоя. Ядро k(t,s) будем представлять в виде

k(t,s) ± d ( t- г (t,s) ) y(a),

где на функции à(t), r(t ,з), у(з) налогам некоторые дополнительные условия.

Пусть d : Д+-" Д+ не убнвает и для всех а с R+ конечна ее функция растяжения /

в (ai)

pd (а) = sup -3-717-• Не функцию r(t,8) наложим следующие уоловия: найдется

navAa v -v Л М«А . г----V. — - _ - ..............

-- --- t. ■ -i, it^-yp.- i. — --¿p - ^

if h - r ct+?x, s ; ! i Л;

при всех taaa0,h*0 верно неравенство

Л а rft + h -'г ($,з);

при некотором с и всех t а. з а 0 , Л > О верно неравенство

a}f i- rCt.s; ) * t - r(Uh,3) .

На функцию tp : Д+-»-Л+ наложим только условие измеримости.

Тогда для ядра к (t,з) условия теорем 4 и 5 смыкаютоя. Это справедливо, в частности, для ядра 2z(t,s) = d (t- p (s) ) y (3)f если Д(з) s з, a d f и удовлетворяет Ag- условию.

В параграфе _ приведены приложения общих результатов параграфов 1, 2 к конкретным пространством и операторам. Приведем характерную теорему в случае, когда конус К в идеальном пространстве X состоит из всех неотрицательных фушсций.

Теорема 6. Пусть hQ(t), ) пара N фушсций, ^ tu'

Iv у пара пространств Орлича о вял«««. Пусть для функций hQ,

зыполнено условие

t) . hf1( t)

sup sup —-7-------sup —-Ц—----- < ». ( 10J

1 а X > О t > О (t) t > О ( X t)

Пусть ядро оператора П шеет пвд k(t,a) ~ cl (î-r(tPs)) причем ci, ф и r(t,a) удовлетворяют описанным выше

предположениям.

Для т-ого, чтобы оператор П был оператором сильного типа

' 1 hj нвоб1°дао и достаточно выполнение соотношений

sup II x (0 ,t) Jtft,a; Ii i,. ,J 'II II %(t, »M L, „»<«>. t n0 ' 1

sup и x (O.t) t?(s) | ( ij, „J 'и ii x(t, » ; d(i(8-t))\ Ii < ».

Отметим, что вта теорема таюне является новой.

Как уне указыт.алось в параграфе 2, пара простанств Орлича • (Ift, L^) , если функция h (t) невквивалентна степенной, не удовлетворяет X условию. Поэтому в в том параграфе приведены прямые оценки оператора Р в весовых класса* Орлича и даже в чуть более общем случае.

Наряду с теоремами, аналогичными теореме б, приведенными для других пар пространств, конусов и операторов П, . L, в

параграфе приведены примеры вычисАния и оценки конусов К ' , если исходный конус состоял из монотонных функций в пространствах Лоренца, Марцинкеича, Орлича. Отметим, что вычисление конуса Я* для конуса монотонных функций в пространстве Х^ о 1 < р < о> недавно провел Э.Сойер OJ.

Следующий параграф посвящен критериям сильной и слабой ограниченности для оператора максимальной функции Харди-Литлльвуда и его обобщений.

Пусть В есть некоторый набор кубов в Я" ,. чьи стороны параллельны координатным осям, и пусть 9 : Я+ возрастающая

функция. По набору в и функции f> для кавдого х из пространства

L 1 'Т-00 определим максимальный оператор

Ил x(t) => sup ( —------— J x(s) äs : Q с В. t с Q ),

v V (I Q \ ) Q

где | Q | есть мера Лебега куба Q.

Основная проблема, которой посвящен настоящий параграф* состоит в получении необходимых и достаточных условий слабой и сильной ( X, У ) ограниченности операторов My.

Теорема 7. Пусть X , У пара идеальных пространств удовлетворяет I условию . Тогда onepp-ip Ц^ является

оператором слабого типа ( X , У ) тогда и только тогда, когда

sup —1-----и х (Q) У nil X (Q) | X 'и = сп( V.X.Y) < ю.

QcB 9(\Q\) «

Отметин, что теорема 7 содерзгит практически р-"- известные

крцтврш сцгнга слабого типа дг ■ -,>-г)чтороп . и^ллкстрир^ьм

ее примерам.

Теорема 8. Пус^ь и паря ,7- ^уч-зда^ дда

дйикыш&но соотноше1ше ( -щ" то:'« —

был апердаором слабого тютя { ■ ... „, „оиилццпмо л

Дф и' П^ и

_________—

вир -------- '1 X ( й) 'II II X ( <2) V I 1-, II < со.

й ?С|(Зи п0 п1

отметим, что есж ' а) = г , ь0а) = , п1 (г) = г4

и р < д, то теорема 8 дает известный критерий Б. Макенхаупта. В других случаях критерий является, по-видимому , новым.

Здесь полезно ■ отметить, что ключевым моментом в доказательстве етих теорем является наличие теоремы Безиковича и евпзи некду оператором усреднения по одному кубу, по семейству кубов и геометрией пространств (X, У). Повтому эти конструкции справедливы даке -ля операторов усреднения и максимальной функции, построенных по семействам - множеств, для которых справедлив аналог теоремы Безиковича.

Далее приведены достаточные условия сильной ограничешгости сперзтора когорые являются точными на массе весов.

Как ука указнрр.гось в параграфа 2, пар- пространств Орляча ( , Х^ ) , если функция Ь а) пееквивалпитив отегтетг^сй, по удовлетворяет I -условии. Повтому здесь приведен критерий слабой огрвдачеиноежп оператора мак •имчлмюа ^ушада а ьаоовом классе Орлича и даке в чуть более общем случае.

В последнем параграфе первой глввы рассматриваются вопросы факторизации банаховых пространств сеязяяппх с линейными операторчмч, идущие, п -существу, от следующей задачи. Пусть с помоцу>ю лютрукщт О но пярэ банаховых пространств Л0 и А? из некоторого класса пространств получено третье пространство а ( Л0 , А1 ). Ммаю ли с помесью конструкции а получить пространство а .< А0 , А1 ) из некоторых' других пар пространств, обладающих

13

Г?

некоторыми дополнительными свойствами ? Конкретным примером данной задачи может рассматриваться следующая классическая лемма Шура, которая говорит, что оператор К x(tj = S k(t,s) х(a) da о k(t,B) * 0 ограничен в iP при 1 < р < » тогда и только тогда,' когда существует положительная, конечная п.в. функция и(г), для которой верны соотношения Я tfl(t) л С ifl(t) и К'и P(t)n С u P(t) п.в. ( р~1 + q~1 = 1J и К • формально сопряженный, в последнее время в овязи о различными задачами анализа, в особенности в теории весовых оценок сингулярных операторов, интерес к утверждениям типа леммы Шура значительно возроо. В большой степени отот интерес связен о решением Джонсом задачи о факторизации известного А^ -услот, я Макенхаупта и найденным Рубио 1Ъ1 совершенно елементар1шм доказательством теореш Дгюнса.

В пятом параграфе представлена довольно общая схема получения факторизациошщх теорем типа Шура-Рубио, позволяющая охватить не только пространства Лебега с весом, как ото делается в обычном подходе, но и некоторые другие пространства. Эта схема развивает подход Е..Ферпандеса к 1 основной конструкции Рубио в доказательствах факторизационных теорем . Далее показано, что i аьалог теста Шура для пространств Орлича о весом, вообще гово^ч, неверен. Эти результаты являются, по-видимому, первыми результатами такого плана. Скажем рб вгах результатах чуть более подробно.

Общая желательная теорема о факторизации пространств, связанных о оператором Г, выглядит так:

пусть Ф вогнутая функция и в а даны весовые функция vQ, ty, Wq, Wj, пусть 21 позитивный оператор, для которого выполнено на; облаоти определения соотношение

« Тхit , Z" )а .* С я х\ b( il , £ ) и (11)

vO V1 wO W1

(4 (X,Y) конструкция Кальдерона - Лозановокого).

Ыожно ли найти весовые функции u^.u^ , удовлетворяющие

,условиям

4 * *( 4 • >• '*( 4'' к > * '*< 4. •{12)

о "1 "о 1 "Ь 1 о 1

и для всех х из области Определения выполнены неравенства

п Т х\ Х^ и 5 с,и г| «, и Т х\ Х^и « С?п и. (13)

Оказывается ответ в общем случав отрицательный. В п. 5

приведен пример (ЗЭДнкцки § и весов и^.и^.в'д.Ю-,. для которые

выполнены соотношения (11) для оператора интегрировав? в ?)

= г(з) бз, но нз найдется аесоп. удовлетсо-ргазз!. (12), (13>-

Диалогичный результат справедлив и для фагегортзецпл аналога условия ЫакенхаупФ« I»'»™!. ^«.мшв » > •

' и I

и* -"-тассз прсотрзниха со свойском" Оату, тоэтому пмпликацяя (< 12)—(13)) — (11) выполнена всегда. Здесь ве 1а основе аналогичных исследований показано, что известная теорема Ларцинкевпча об интер лящш операторов слабого типа не может быть существенно усилена . А именно, если X симметричное пространство 1 о точностью до еквивалентных норм для функтора вещественной щтерполяции Питре выполнено равенство

( 1а, X ) = ( 1 7 Ь р) „ а ,

'о фундаментальная функция X эквивалентна t . В втом смысле

■еорема Наршшкевич об нптерполяции операторов слвбого типа, ' :еусиляема.

Вторая глава предлагаемой •работы посвящена иекоторым опросам теории дифференцирования интегралов л Р. п п оценкам 'Яшомерного модули непрерывности функций из симметричных рострапств на массивных мпокестеах. Ох-с, ч?о основной метод с следования етих задач - ' получепие вФЬвктшшнх оценен лкс;Гг.шлышх операторов по некоторым специальном семействам нокеств.

Истоком теория дифференцирования интегралов в Я п явилаоь яедувдая хорошо известная теорема А.Лебега: пусть /

эйствительная функция и I. Тогда для почти всех X и для любой эоледотз'-^ельноста отк} пых евклидовых шаров В (г с центраии

г радиусами г^,—*-0 справедливо равенство

ыш —------ I /гз) аз = /а).

В результате возникла проблемег остонетоя .ли опргзедлЕзой теорема Лэбега, в ней евклидовы шары заменить другими

мноаеотвами. Активная деятельность многих ввдавдшэя математиков, лодатожэяная в книге 16], увенчалась важными и удивительными открытиями, из которых мы отмстим оладуэдий факт. Если в теореме Лебега замышть шары прялоуголышкааи о произвольно ориентированными сторонами о центрами в точка I, то теорема Лебега перестанет быть верной даже для характорастичвскиж функций. СоответсвуюарШ пример построил Зигмунд, Пса™ону отеля возникать нопые постановки задач, среда которых сарвдвлящиих, по-видимому, являются ел едущие две задачи.

Задаче А. Пусть задан дифференциальный базис В, обладающей какими-то свойствами. Требуется описать вое симметричные пространства, которые данный базис дифференцирует.

Различные подхода к вариантам - задачи А в основном для

класса пространств Лебега хР ( реже для _ пространств Орашгча ) предлагались различными авторами и отражены в книге 16].

Задача В. Пусть X. У дза различных авшетркша пространства. Существуот ли деффаренциальЕШ базас, кототай различает ота пространства, т.е., скажем, дифференцирует вое интегралы «т функций из X, но найдется функция из У, интеграл от которой дакшйГ базис не дифференцирует.

В начале параграфа 6 второй главы приведены «очные теоремы, саязцваяцае пехрыпгищао свойства - дЕ$фзрок:даального базиса с ограниченностью соответсвущего максимального операторе и дифференциальными свойствами етого оазиса. Для етого потребовалось ввести новое понятно - {{• ,А) покрывающее свойство, дифференциального базиса. Б качестве прилокания подученкыж результатов даны различные условия да^фероищировакия клаеекчвеких пространств Лебега, Орлича, Лоренца,- Ыарциккошча дифференциальны.® базисами. Ранее такие условия были известны ь основном для случая пространств Лебега и, частично, для пространств Орлкча.

Во второй части параграфа 6 настоятся главы предлагается новы! опоооб построения дифференциальных базисов. Казисы» поатроенниз этим способом, позволяют* различать симметричные цростраисгза с различным поведением фундаментальных функций в нуле а даже

позволяв? разлзчать пространств?! Лоренца и Шчцш£кеви"а о одинаковыми степешопта фундйие.птвлыадщ фл ^кмияш или пространстве Лебега ч Марцинкетшча о одинаковая кмзистепеняи?гд фундаавЕ'ге.'гагами функциями,

Последний параграф работы посвящев количественные оценкаи раввс*-ергого модуля неяр^рзшости яа "йошк:*" множествах. если 1'ввеотии сценка модуля кепреризнозтз стой функции з самыетричном прсстрснотео нэ ¡Р. Поягай отэв? па гшвлогичныЗ вопрос в олучае

11ТШШ1М Шпгп-пяиптня - м лян а. . (нпспянпнми I У I.

■з пгрэгргфз 7» ссмсагя нз сцггжах иаксзмакыэдх функций, построенных по специальным оелейотвви «ножеств, позволил решить сразу многомерную задачу для пролзкодького сю*метр"тного пространства. Сказалось, что оценки равномерного модуля непрерывности зависят только от фундаментальной функция сидое^ричного пространства, в котором вычисляется.исходный модуль непрерыанооти, а одинаковы для всех аагмзгсэчниг • пространств о данной фундйм»нтальи^ функцией.

. Нуегь Г сгоадетричноё пространство. Для каядоЯ а? ; О определим «одулъ непрерывности

а (х, ь. } - дар а т(г + &) - ¿а) | г и, 1 I ; | =: п

| Ь | = ] | + | з^ 3 * ... + } &п | верна в

Сод&олсм а ( г, л ) обоаньчхн равномерный модуль нетроршпоста. Зафиксируем уэперь х с X, е > 0. Ми будем считать, чго функция х (*) непрерывна ая.»г.-

Пусть у (х, 71) удоалетзопяэт условии

I

а (х.п;

--------а ».' "

к—о н

Яокомом г.$0 = 1 а пусть уочи 2 2 5П определены.

Овроделга* точку 8 , рввпястком

о гг.2 8} о сг, 2 в,)

2 - аир { -•-- > ?

"'"' 2 5 2 5..

t (1,2 S) * 0.5 Ü ix. 3 8n) ). X X. n

Выберем еде последовательность неотрицательных чисел f t( ) , которая не возрастает и удовлетворяет соотношениям

г ■ ■ .

С» C{ + i

£ е. < с, Ilm ---»1.

1 1 (-►» et

Теорема 9. Пусть I симметричное пространство, причем его фундаментальная функция у (X,t) строго монотонна.

Тогда существует множество W (х, t) такое, что выполнены аооташтг

| иг (х, t) | < е;

если ( tj, в, ( tr,. в2) с Q \ ff (х, е) , то для

Л = < - «2 I * I.в, -s2| ci2ife, выполнено неравенство

| г f tJ( s,; - ® С tp, s2 ; | *

о (z, h )

c< | x. it,, вЛ - I. ftp, aJ | + ---------J,

61 1 1 S1 г г ч (X,

где с абсолютная константа.

Эта теорема не может быть усилена даже для п = 1, т.е- на Я. Во второй половине параграфе 7 приведен соответствующий пример;

ЛИТЕРАТУРА

1. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. M.S Мир.1973.

2. Дынькин Е.М., Осиленкер Б.П. Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения // М. ВИНИТИ. 1983.С.42-129(Итоги науки)

3. Sawyer E.I. Boundedness of classical operators on olassical Iorentz spaces // Studia Math.1991.V.96.P.145-158.

4. blndenstrauBB J..Taafriri L. Olaesioal Banach Spaoes I,II.

// B-srlia.Springer. 1979.

5. Rubio da ?mnoi»i J.L. A new tfeehJgue In the thsory of Ap

weights // Topieo In ic-'em Harmonic Analysis, Р.скз. ¡933. p. 571 -579. *

6. Гусн?п У. Диффех^шдеровзкав иктвгратев в я"// №. top. 1978, 7..Осколков К.И. Равномерт"! модуль непрерывности оуммируекыа

«lytnnnrt «» интеавл<!>т»лт плпг.тгитляъ.«fiS ustiu// UnWJi. All . СССР. 1476-

Публикации автора по теме диссертации.

1. Берошой Е.И. {¿етричеяще свойства пространства $(Х,У)// ®ункц. анализ и его г ш. 19S5.T.1?.i>'4.С.74-75«

2. Berezhnci B.I. ,Zabreioo P.?l Soma Interpolation theory for: nonlinear operators// Nonlinear Апа1ув1в.19ваЛ.12.Н 2.p. 155-170.

3. BereRhnoi B.I .InegiialltiRS with ^alghtc хог Kardy Operators in Functional Spao^a// f^oond International ОопГэз»епве on- ?unot}ora3 SpaooB . 23.08.89, 02.0?.89.Рогп;чп Poland.

4. Вереэдой K.K. Дзффероицазлышв базисы и оимметри'йшв пространства /7 **ун«ц. анализ и его прал.1950,'?.г4.2ш1.Э,С-.6^-67.

5. Бережной Е.И. Бссовке «•грзвекоуиз тшге Харда в оогдах идеальных проо?рано?ввх// Дохл. АН CCCP.1S51.T.l~?.ff 4.0-782-785.

6. Bji4iSJu90l S.I, IncgUHl Шее with ' wel^jte fop Hirdj operators in itaotlOKi- opsocs// Jvnotion fijaoes.rrco .о* В::лола Int.Conf. (Гогшп.1939) Leipzig IVabner 1^1.5475-30.

7. ЕерггиоЗ З.й. Дуугяееал.'« cufiit-:-1 дл* олдох-о кятег,-ч..-.-лгизс сгарогорев// Труда Ш! АН СССГ.. VJ92.T.201.C. 14-26.

8. Бережной Е.И. Неравенства типа Харда на конусах я идеальных пространствах// Докл. АН СССР. 1992.Т.326.N2,С.215-219.

9. Берекной Е.И. Точные оценки операторов иа конусах в ■ ,.).>яьннх пространствах.// Труда МИ РАН. 1993-T.204.C.3-36.

10. Берегаюй Е.И. Двухвесовые оценки для оператора екая для kjib^job ¡¡> ( Z ) //. Матем. заметки. 1993. т.53.

if 4. с. 141 - 145.

11. Бережной Е.И. Оценки равномерного модуля непрерывности на "больших" множествах функций из симметричных пространств. // Воронежская зимняя математическая школа. Тезисы докладов.

Воронеж. 1993 г. 1о. .

12. Береаяоз Е.И. Рег?.шчение сшметричнщ- проотрянсга с шасщлю дгффэревциальпыг úasnooa. // ItoBjepeiasis " Теория приЗлагсуакй и задачи аычи&лнтэльнай математика". Тезион докладов. Днэпропотровса. 1993 г. Ю. г

..........................................— »Mili ■■ щм ' m mohw «m i j f m Mi.

ÔOasSéViS« ¡>Y¿39» sawissa. Saaas 81Б4, 2з*.as tasas. Ш. Síí-еэ îsaospafafi я^щрот&ыюь яеавгчгош'о

JäiSS^S'.öUö, aáassá, ' pitCiboTSKLz« I4a¿