Функциональные вольтеровы уравнения в математической теории оптимального управления распределенными системами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

оГБ ОА „

1 и На правах рукописи

д н ДВ «98

СУМИН Владимир Иосифович

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ВОЛЬТЕРРОВЫ УРАВНЕНИЯ В

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ СИСТЕМАМИ

Специальность: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород 1998

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Ф.П.Васильев

Доктор физико-математических наук, профессор С.Н.Слугин

Доктор физико-математических наук, профессор ЕЛ.Тонкое

Ведущая организация-Санкт-Петербургский государственный университет

Защита диссертации состоится " __1998г .

я А Ч чя-г- на заседании диссертационного совета Д 063.77.07 но защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Нижегородском государственном университете по адресу: 603091, Нижний Новгород, пр.Гагарина, 23, корп.2.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке

ННГУ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Д 063.77.07, кандидат физико-ма' ук,

доцент

В.И.Лукьянов

Обшая характеристика работы

В диссертации развивается теория функциональных вольтерровых уравнений применительно к проблемам математической теории оптимального управления распределенными системами.

Актуальность темы. Ключевой результат математической теории оптимального управления - принцип максимума Л.С'.Понтрягина, даюший условия оптимальности сосредоточенных систем. За его открытием последовали всевозможные обобщения. Предлагаются общие схемы получения необходимых условий экстремума в абстрактных задачах с ограничениями (А.Я.Дубовицкий и А.А.Милютин, Р.В.Гамкре-лидзе и Г.Л.Харатишвили, L.W.Neustadt и др. 1 ). Параллельно создается теория собственно задач оптимального управления сосредоточенными и распределенными системами (В.Г.Болтянский, А.Г.Бугковский, Ф.П.Васильев, Р.Габасов, А.И.Егоров, Ю .В.Егоров, А.Д.Иоффе, Ф.М. Кириллова, Н.Н.Красовский, А.Б.Куржанский, К.А.Лурье, Ю .С.Осипов, В.И. Плотников, А.И. Пропой, Л.И.Розоноэр, Т.К.Сиразетдинов, В.М.Тихомиров, Е.Л.Тонков, В.А.Троидкий, А.Ф.Филиппов, J.L. Lions, J.Warga, L.J.Young и др.). Появляются общие подходы к получению принципа максимума для распределенных систем (Ю .В.Егоров, В.И. Плотников, В.А.Якубович, А.С.Матвеев и др.). Теория оптимизации распределенных систем интенсивно развивается в различных направлениях (С.А.Авдонин, О.В.Васильев, Ф.П.Васильев, А.И.Егоров, С.Т. За-валишин, A.B. Кряжимский, А.И.Короткий, В.И.Максимов, A.C. Матвеев, Ю .В.Орлов, Ю .С.Осипов, М.М.Потапов, А.И.Пропой, В.А.Сро-чко, A.B. Фурсиков, В.А.Якубович, V.Barbu, H.O.Fattorini, K.Malanow-ski, J.L. Lions и др.). Диссертация посвящена некоторым аспектам теории оптимального управления распределенными системами, так или иначе связанным с принципом максимума.

Естественным является стремление выделять, по возможности - более широкие, классы распределенных управляемых систем (задач оптимизации) так, чтобы можно было выявить общие закономерности и получить те или иные результаты (условия оптимальности, устойчивости, формулы численных методов и пр.) сразу для всего класса в едином компактном виде. Унификация призвана, с одной стороны, облегчить

'Впоследствии эти схемы постепенно обогащались; с их помощью решались все более сложные задачи оптимального управления (А.В.Дмитрук, А.Я.Дубовицкий, А.А.Милютин, Н.П.Осмоловский я др.).

те или иные построения, а с другой - выявить новые связи и закономерности. Проблема унификации для распределенных систем особенно остра ввиду сложности и большого разнообразия возникающих здесь прикладных задач и теоретических вопросов оптимизации. Для приложений важно, чтобы форма представления получаемых теоретических результатов была не только компактной, но и удобной при использовании в конкретных оптимизационных задачах. Это означает, что проверка условий применимости и переписывание абстрактного, результата для конкретной ситуации не должны, как правило, превращаться в слишком сложную самостоятельную задачу.

Некоторый компромисс между стремлением к общности построений, с одной стороны, и желанием получить результаты в удобной для приложений форме - с другой, достигается, по-видимому, при переходе к описанию управляемых систем на языке функциональных уравнений (говоря по-другому, функционально-операторных уравнений или операторных уравнений в функциональных пространствах)2. Так, Дж.Варгой3 предложена довольно общая форма описания управляемых систем с помощью функциональных уравнений в пространствах типа G и Lp, приспособленная к изучению, например, проблемы существования оптимального управления, расширения оптимизационных задач, обобщенных управлений, необходимых условий оптимальности и других вопросов. С.А.Чукановым 4 на широкий класс функциональных уравнений в пространствах типа С распространена схема Дубовицкого-Милютина получения принципа максимума. К указанным формам [В], [А] приводят, в частности, различные системы с отклоняющимся аргументом. Ими охватываются и некоторые начально-краевые задачи (н.к.з.) для гиперболических и параболических уравнений с частными производ-

2 Отметим, что общая теория функциональных операторов и функциональных (функционально-операторных, функционально-интегральных, функционально-дифференциальных) уравнений, в том числе применительно к теории дифференциальных уравнений и краевых задач, интенсивно развивается как у нас в стране, так и за рубежом (Н.В.Азбелев, А.И.Булгаков, А.Л.Бухгейм, И.Э.Гурьянова, С.А.Гусаренко, Е.С.Жуковский, П.П. Забрейко, А.С.Калитвин, В.Г.Курбатов, В.П.Максимов, А.Д.Мышкис, А.В.Поносов, Л.Ф.Рахматуллина, И.В.-Шрагин, C.Corduneanu, R.C.Grimmer, J.Haie, S.Solomon, M.Vöth, J.Warga и др..)

a[B] Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука. 1977.

* [А] Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин A.A., Чуханов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.:Наука. 1990.

ными, см. [В], с.265-266; [А], с.169-170. Однако, круг таких н.к.з. относительно узок. Это обусловливает актуальность поиска и изучения других классов функциональных уравнений, охватывающих другие и (более) широкие классы управляемых н.к.з. и адекватных проблемам теории управления и оптимального управления.

Этим требованиям во многом удовлетворяет предложенная автором диссертации форма описания распределенных управляемых систем с помощью функциональных вольтерровых уравнений (ф.в.у.). Функциональные уравнения, о которых идет речь, это уравнения вида

z{t) = f(t, A[z]{t), „(*)), z e Lp,m (П), (*)

где t = {i1,..., in } 6 П; П - фиксированное ограниченное, измеримое по Лебегу множество в R"; /(£, р, v) : П х R' х R" —>• Rm - заданная функция; Л[.] : Lp>m(II) L?)|(II) 5 - линейный оператор (л.о.), являющийся "вольтерровым на некоторой системе Т подмножеств основного множества П"; используемое определение вольтерровости (см. ниже) является непосредственным многомерным обобщением известного определения А.Н. Тихонова функционального оператора типа Вольтерра 6; v{.) : П —> Rs - управляющая функция (управление) из некоторого класса V С ¿*)S допустимых управлений 7 . К ф.в.у. типа (*) естественным образом, например с помощью обращения главной части, сводятся самые разнообразные н.к.з. для уравнений с частными производными весьма широкого класса (параболических, гиперболических, иптегро-дифференциальных, с запаздываниями и др.).

Цель диссертационной работы состоит в разработке методов функциональных вольтерровых уравнений применительно к потребностям теории оптимального управления распределенными системами, а также в решении этими методами ряда вопросов указанной теории (вопросы устойчивости существования глобальных решений (у.с.г.р.) управляемых п.к.з., обоснования численных методов оптимизации, сингулярности распределенных управляемых систем, получения необходимых

5ip,m=^,m (П) = (£р(П))П>

6Тихонов А.Н. // Бюлл. МГУ. Секц. А. 1938. Т.1. Вып.8. С.1-25.

7В том или ином виде понятия вольтеррова оператора и вольтерровой системы использовалось в теории управляемых систем и теории оптимального управления как инструмент и как объект исследования разными авторами (см., напр., [В]). Если иметь в виду распределенные системы, то нужно отметить работы Ю .С.Осипова, А.В.Кряжимского, А.И.Короткого,, В.И.Максимова и др..

условий оптимальности (н.у.о.), расширения оптимизационных задач и др.).

Методы исследования. В диссертации использованы методы функционального анализа и теории функций действительного переменного, функционально-дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, теории оптимального управления.

Научная новизна. В диссертации построена теория управляемых ф.в.у. типа (*). Показано, что приведение управляемых н.к.з. к форме (*), предложенной автором диссертации, во многих отношениях выгодно в различных разделах теории оптимального управления распределенными системами. Все результаты диссертации, вошедшие в ее основную часть (главы 1-7), являются новыми.

Степень обоснования результатов диссертации. Все научные положения н выводы диссертационной работы строго математически обоснованы. Результаты, полученные в диссертации, хорошо согласуются с работами других авторов, как отечественных, так и зарубежных.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены в теории оптимального управления 1) при изучении (в частности, при исследовании на устойчивость и сингулярность) конкретных управляемых систем с помощью сведения их обращением главной части к ф.в.у. и 2) при изучении конкретных задач оптимизации распределенных систем с помощью предложенных в диссертации подходов к обоснованию градиентных методов, к изучению особых управлений, к проблеме сингулярности управляемых систем, к получению условий оптимальности, к расширению оптимизационных задач.

Результаты диссертации вошли в монографию 8, отчет о НИР 9, учебное пособие 10 и были включены в спецкурсы, читаемые студентам

"Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть 1. Вольтерровы уравнения и управляемые начально-краевые задачи. Монография. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 1992. 110 с.

9 Теория оптимального управления распределенными системами: субоптимальность, минимизирующие последовательности, численные методы. Отчет о НИР по гранту Конкурсного центра при С.-Петербургском университете Госкомитета РФ по высшему образованию (ЛГ£93-1-71-19), Я- госрегистрации 01.9.40006443.1994, 74 с.

,0Новоженов М.М., Сумин В.И., Сумин М.И. Методы оптимального управления системами математической физики. Учебное пособие. Горький: Изд-во ГГУ. 1986.87 с.

Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина (Москва, 1998); на IV,V,VIII,IX весенних воронежских школах "Понтрягинские чтения" (Воронеж, 1993, 1994, 1997, 1998); на III Всесоюзной школе "Поптрягинские чтения. Оптимальное управление. Геометрия и анализ" (Кемерово, 1990);на школе "Современные методы нелинейного анализа" (Воронеж, 1995); на школе "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1992); на IX,XVI Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (Челябипск, 1986; Н.Новгород, 1991); на Втором Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Челябинск, 1993); на 1,11 Международных конференциях "Математические алгоритмы" (Н.Новгород, 1994,1995); на IX коллоквиуме "Современный групповой анализ. Методы и приложения" (Н.Новгород, 1992); на Международной научной конференции "Экстремальные задачи и их приложения" (Н.Новгород, 1992); на VII Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск, 1990); на VII,IX Всесоюзных конференциях "Проблемы теоретической кибернетики" (Иркутск, 1985; Волгоград, 1990); на Международной школе-семинаре по методам оптимизации и их приложениям (Иркутск, 1989); на III,IV Уральских конференциях "Фупкционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 1988; Уфа, 1989); на Итоговых научных конференциях Горьковского госуниверситета (1976-1989).

По теме диссертации делались доклады па семинаре в ННГУ по оптимальному управлению (рук. проф. В.И.Плотников, 1979-1988), на Волго-Вятском региональном семинаре по математической физике и оптимальному управлению (рук. проф. С.Ф.Морозов, 1990-1992), на семинаре в Московском государственном университете (рук. проф. Ф.П.Васильев, 1988, 1991), на семинаре в Удмуртском государственном университете (рук. проф. Е.Л.Тонков, 1991), на Пермском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям (рук. проф. Н.В.Азбелев, 1992), на семинаре в Институте математики и механики УРО РАН (рук. проф. А.В.Кряжимский, 1993).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 31]. Все результаты основной части диссертации (главы

1 - 7) за исключением п.п.1.2.1 - 1.2.7 11 , целиком принадлежат автору диссертации. Указанные пункты из §1.2 написаны на основе совместных с аспирантом А.В.Черновым работ [30, 31]. При этом все основные формулировки указанных пунктов, за исключением теоремы 1.2.3, принадлежат автору диссертации, а формулировка теоремы 1.2.3 -А.В.Чернову; все доказательства проведены авторами [30, 31] совместно. Из совместных с С.Ф.Морозовым работ [23 - 27] в диссертацию (§4.7) вошла только схема приведения н.к.з. теории переноса к ф.в.у., принадлежащая автору диссертации. Совместные с В.И.Плотниковым работы [28, 29] используются в п.п. 5.3.1 - 5.3.6. В.И.Плотниковым была предложена общая схема вычисления вариаций функционалов оптимизационных задач с помощью линейных интегральных представлений 12. Обоснование этой схемы для случая функциональных уравнений общего вида (*) было проведено автором диссертации и изложено в совместных работах [28 - 29]. Оно и составляет содержание п.п. 5.3.1 - 5.3.6.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из 7 глав, введения, дополнения и списка литературы. Содержание изложено на 346 страницах, включая список литературы из 284 наименований.

Содержание диссертации

Во введении обсуждаются актуальность темы диссертации, новизна полученных результатов и теоретическая ценность работы. Приведем оглавление основной части диссертации.

Гл. 1. Вольтерровы операторы в пространствах измеримых функций. §1. Операторы, вольтерровы на системах множеств. §2. Воль-терровость и признаки квазинильпотентности функциональных операторов. §3. Семейства квазинильпотентных операторов.

Гл. 2. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах. §1. Специальные функциональные вольтерровы уравнения в пространствах Lv<m (1 < р < оо). §2. Предельные значения индексов суммируемости. §3. Некоторые варианты теоремы у.с.г.р..

11 При ссылках на параграфы диссертации используется двойная нумерация - "номер главы, номер параграфа", при ссылках на пункты (а также на теоремы, леммы, ...) тройная - "номер главы, номер параграфа, номер пункта"... .

!2[П] Плотников В.И. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. Т.36. ЛГ^З. С.652-679.

Гл. 3. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в пространствах существенно ограниченных функций. §1. Специальные функциональные вольтерровы уравнения с управляемым оператором в пространствах ¿oo,m- §2- Доказательства основных утверждений §1. §3. Ослабление требований к операторам. §4. Общие функциональные вольтерровы уравнения второго рода в пространствах L00<т.

Гл. 4. Обращение главной части в управляемых начально-краевых задачах. §1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. §2. Дифференциальные уравнения с запаздыванием. §3. Гиперболические уравнения первого порядка. §4. Гиперболические уравнения второго порядка (случай двух независимых переменных). §5. Гиперболические уравнения второго порядка (случай многих независимых переменных). §6. Параболические уравнения. §7. Интегро-дифференциальные уравнения типа уравнений переноса. §8. Некоторые обобщения.

Гл. 5. Вопросы дифференцирования и варьирования функционалов и операторов в теории оптимального управления распределенными системами. §1. Об обосновании градиентных методов для распределенных задач оптимального управления. §2. О проблеме сингулярности распределенных управляемых систем. §3. О первых вариациях функционалов в теории оптимального управления распределенными системами. §4. Аксиоматический подход в теории первой вариации. §5. О варьировании операторов в распределенных задачах оптимального управления.

Гл. 6. Особые управления в задачах оптимизации распределенных систем. §1. Сильно вырожденные особые управления. §2. Особые управления в задаче оптимального управления системой Гурса-Дарбу.

Гл. 7. Некоторые вопросы теории распределенных оптимизационных задач с ограничениями. §1. Принцип максимума для оптимизационных задач с функциональными и операторными ограничениями. §2. Расширения оптимизационных задач.

В главе 1 диссертации дается и подробно изучается определение функционального оператора, вольтеррова на системе множеств (§1.1), рассматриваются некоторые приложения этого понятия в теории операторов (§1.2, §1.3). Пусть П С R" - фиксированное ограниченное, измеримое по Лебегу множество, играющее далее роль основного множества изменения независимых переменных i = col{tl,¿nJ € R"; E = En -(7-алгебра измеримых подмножеств П, Т - некоторая часть Е; m 6 N, / € N - заданные числа; S = 5 (П) - пространство измеримых на П

вещественных функций; Si = (S)' ; Е — Е (II) - некоторое банахово идеальное пространство (б.и.п.) измеримых функций 13; Ет = (Е)т. Оператор F : Ет (П) —» Si (II) назовем вольтерровым на системе множеств Т, если

уя е т : {x,yeEm, x(t) = y(t) (t е Я)} => {F[x]{t) = F[y]{t),t e H}.

(i)

Весь класс операторов, вольтерровых на системе Т, обозначим V{T) . Условие (1) означает, что V Я € Т сужение F[x]J не зависит от значений x(t) при t (Е С H = Г1 \ Я. Условие (1) эквивалентно следующему: V Я 6 T : PhFPh — PhF, где Pu - оператор умножения на характеристическую функцию xh{ï) — {1, t Ç Я; 0, t 6 СЯ}.

При переходе от н.к.з. математической физики к ф.в.у. чаще всего встречается следующий случай Т = Тр. Пусть [а,Ь] = [а1,Ь1] х ... X [а",Ьп] - фиксированный брус, содержащий П. Для любой упорядоченной пары /j. = {у, А} наборов г>,\ С {1,2,... ,и}, l'UA ф 0, v П А — 0, будем через Т^(П) обозначать семейство всех множеств вида П П [а, /5], где [«,/3] С [а,Ь] - брус такой, что а1 — а', если t £ и, и /?' = Ь*, если

¿g А.

Всякую (соотв. всякую конечную) линейно упорядоченную по вложению систему подмножеств множества П, имеющую минимальный по вложению элемент, совпадающий с пустым множеством 0 , и максимальный элемент, совпадающий с П , будем называть цепочкой (соотв. конечной цепочкой) множеств. Цепочку множеств Т назовем вольтер-ровской цепочкой оператора F , если F 6 V(T).

Пусть ¿ - положительное число, Е = Е (П), Е = Е (П) - б.и.п.. Будем говорить, что линейный оператор (л.о.) G : Е —> Е удовлетворяет ¿-условию на множестве Я € Е, если \\Рн@Рн\\е'-+е" Пусть

Т = {Но, Hi,......, Нк } - конечная цепочка множеств, 0 = Но С Hi С

... С Я)с_1 С Нк = П. Назовем систему Т ¿-цепочкой оператора G, если этот оператор удовлетворяет ¿-условию на каждой из разностей Я¡\Яi_ 1 , i € 1,к. Если кроме того G € V(T), то назовем Т вольтер-ровской ¿-цепочкой оператора G.

Часто бывает полезно знать, что л.о. обладает вольтерровской ¿-цепочкой для любого положительного S . Пусть П С [а, 6]. С л.о. G : Е' Е" свяжем л.о. G : É ([а, Ь]) Е ([а, &]), задаваемый форму-

I3J5 - б.и.п., если {у е Е, х 6 S, |®| < М} =>• {» 6 Е, |И|Я < ||у||в}.

лойё[х](0 = ÍG[ar|n](í), í 6 П; O, ¿ е [а, Ь] \ П> , х £ Е'{[а, Ь]). Пусть Фо(Я) = sup Ph+cGPh+c\ , „, Яе где супремум берется

с i I Е Е

по всем с € R" таким, что (Н + с) С [а, 6]. В приложениях удобна

Лемма 1.1.13. Если оператор G : Е -t Е принадлежит классу К(ГДП)) и

Ф<э([а./П) -V 0 при а*' -> Ь'(г' 6 Р <*''(»' 6 л)> [«^1 6 ГД[а,6]),

(2)

то

V 5 > 0 3 вольтерровская ¿-цепочка оператора. (3)

В §1.1 вводятся и изучаются специальные операторные классы, оказывающиеся полезными в теории у.с.г.р. управляемых ф.в.у. в пространствах типа Loo. Пусть и > 0 - некоторое число, Т С Через €Ш(Т) обозначим множество всех линейных ограниченных операторов (л.о.о.) F : Loo,Ai Loo,кг (^1 и могут быть любыми), для каждого пз которых существует функция множества тг(.) : £ —>• R+, удовлетворяющая условию: ъ{Н) —>■ 0 при mesЯ -4 0, такая, что 14

УЯ,Я' €Т,ЯсЯ' :

№я*]||оо,*„Я' < Ь»||ХЯ^И||оо,*2 + т(Я' \ Я)||г|| OOfki > г € -£/00,^1 •

В различных вопросах теории оптимального управления бывает важно найти для оператора А из (*) квазинильпотентную мажоранту с теми или иными вполне определенными свойствами. При проверке оператора на квазинильпотентность прямое использование формулы И.М.Гельфан-да для спектрального радиуса нередко оказывается весьма затруднительным из-за сложного вида оператора. Поэтому представляют интерес специальные признаки квазинильпотентности операторов. Заметим, что эти признаки так или иначе связаны обычно с тем или иным понятием вольтерровости операторов. Так, П.П.Забрейко15 было введено понятие интегрального оператора Вольтерра в классах функций нескольких переменных, были получены признаки квазинильпотентности таких операторов и указаны их абстрактные аналоги, касающиеся л.о.о., действующих в банаховом пространстве. В §1.2 доказан следующий "цепочечный" признак квазинильпотентности.

14INL~ s НИИ» = IIMIU,

15[3] Забрейко П.П. И Литовский мат. сб. 1967. Т.7. N2. С.281-286

Теорема 1.2.2. Если л.о.о. G : Е —^ Е, действующий в б.и.п. Е, удовлетворяет условию (3), то он квазинильпотентен.

Для случая операторов, действующих в б.и.п., этот признак является более общим по форме, чем абстрактный признак [3] ( их сравнительный анализ проведен в п.п. 1.2.1, 1.2.2, 1.2.9). Существуют удобные в приложениях конкретные признаки выполнения условия (3). Важный пример подобного признака содержится в лемме 1.1.13.. Этот признак относится к наиболее часто встречающейся в прикладных задачах ситуации, когда л.о.о. G : Е —У Е принадлежит классу V(Т^). В общей ситуации, когда оператор не обязательно принадлежит какому-либо классу V(Т^), полезной оказывается возможность заменить в теореме 1.2.2 термин "вольтерровская 5-цепочка" на более общий термин "вольтерров-ская ¿-сеть"(теорема 1.2.3) .

В §1.3 вводится и изучается важное для дальнейшего понятие равностепенно квазинильпотентного семейства операторов. Пусть F[.] : Ет —» Ет - некоторый оператор и рассматривается уравнение

z(í) = F[*](0, íen, zeEm. (4)

Если найдется замкнутое X С Ет и квазинильпотентный л.о.о. G : Е —> Е такие, что F[X] С X и выполняется операторное условие Липшица

|F[r](í)-F[j,](í)|<G[|x-y|](t), t € П, х,у€Х, (5)

то к уравнению (4), рассматриваемому на X, применим принцип сжимающих отображений, т.к. норма квазинильпотентного оператора может быть сделана сколь угодно малой за счет соответствующей эквивалентной перенормировки пространства. Это простое соображение используется в главе 3 при изучении уравнений типа (*) в пространствах Loo.m-Однако, повторение той же схемы рассуждений применительно, например, к уравнениям вида (*) в пространствах Lp,m (1 < р < оо) возможно уже лишь для довольно узкого класса уравнений. Поэтому в главе 2 при изучении уравнений типа (*) в пространствах Lp<m (1 < р < оо) применяется введенное в §1.3 понятие равностепенно (суперравностепенно) квазинильпотентного семейства операторов.

Пусть В - банахово пространство с нормой ||.||, Г - некоторое множество, {F(7)[.] : В ->• B}7Ér _ семейство зависящих от параметра 7 G Г квазинильпотентных л.о.о.. Назовем семейство операторов {F(7)}7gr

О, к

равностепенно квазияильнотентным, если ,*/sup

76Г

со. Семейство {F(7)}rgr назовем суперравностепенно квазиняльпо-

}гег назовем супер] тентным, если »/ sup ||F(7i)F(72) •... • F(7*)|| -*■ 0, к -t оо. Сфор-

\Jyi.....7.6Г

мулируем доказываемый в §1.3 общий цепочечный признак равностепенной квазинильпотентности семейства функциональных операторов. Пусть Т = - вольтерровская цепочка л.о.о. F : Е' Е". Назо-

вем ее вольтерровской сильной ¿-цепочкой оператора F, если

Справедлив аналогичный лемме 1.1.13 признак существования у оператора вольтерровской сильной ¿-цепочки для любого 8 > 0 (лемма 1.3.3). При этом функцию заменяет функция множества Ф~(Н) =

sup WPh+c.GPh+cWp^, Н £ £[а,г>], где супремум берется по всем ci.cj

ci, С2 таким, что Н + ci, Н + Сг лежат в [а,Ь] .

Теорема 1.3.3. Если семейство л.о.о., действующих в б.и.п. Е, обладает тем свойством, что V 5 > 0 3 общая для всех операторов семейства вольтерровская сильная ¿—цепочка, то это семейство операторов суперравностепенно квазинильпотентно.

В конкретных операторных классах признаку теоремы 1.3.3 можно придать более удобный для приложений вид. В §1.3 рассматриваются разнообразные ситуации, возникающие при изучении уравнений (*) в главе 2. Вот некоторые примеры. Конечную цепочку будем называть ¿—малой по мере, если мера разностей "соседних" ее элементов не превосходят ¿. Пусть заданы: числа р, q G [1, оо], р < q; л.о.о. G : Lp —>■ Lq\

множество Г С Lr, где

f pq ")

г = <-, если р < q < оо; р, если р < q = оо; со, если р = о > .

И -р J

Рассмотрим семейство л.о.о. F : Lp —t Lp, задаваемое формулой

F[z}(t) = a{t)-G[z]{t), ten, zeLp (a 6 Г). (6)

Семейство (6) суперравностепенно квазинильпотентно в каждом из следующих случаев: р < q, Г - семейство функций с равностепенно абсолютно непрерывными Ьг-нормами, V5 > 0 л.о.о. G имеет ¿-малую по мере вольтерровскую 5-цепочку (лемма 1.3.6); Г ограничено в Ьг,

V£ > 0 л.о.о. G имеет вольтерровскую сильную ¿-цепочку (лемма 1.3.7); Г ограничено в Lr, G вполне непрерывен и имеет ¿-малую по мере вольтерровскую цепочку (лемма 1.3.8) . Определения вольтерровской и сильной вольтерровской ¿—цепочек естественным образом распространяются на случай операторов, действующих в пространствах вектор-функций. В этом случае верны точные аналоги лемм 1.1.13, 1.3.6 -1.3.8, теоремы 1.3.3.

В главах 2 и 3 основное внимание уделяется вопросу получения удобных для использования в теории управляемых н.к.з. условий у .с.г.р. управляемых ф.в.у. типа (*). Коротко поясним возникающую в теории управляемых н.к.з. проблему у.с.г.р.. Для теории оптимального управления достаточно характерна следующая ситуация. Некоторая управляемая система описывается н.к.з., заданной на фиксированном множестве П изменения независимых переменных, а соответствующая оптимизационная задача такова, что интерес представляют только глобальные, т.е. определенные на всем П решения н.к.з. из выбранного класса 1У(П) функций на П. Пусть 7£(П) - класс тех допустимых управлений, каждому из которых отвечает единственное в 1У(П) решение рассматриваемой н.к.з. . Важным является вопрос о достаточных условиях, при которых те или иные возмущения не выводят допустимые управления из класса 72(11), т.е. вопрос о достаточных условиях у.с.г.р. данной н.к.з. по возмущению управления.

Приведем простой иллюстрирующий пример. Пусть управляемая система описывается скалярной задачей Гурса-Дарбу

х['и1 =у(1)(х[г)2, £ 6 П = [0,1] X [0,1] С R2; 1 ( )

x(t1,0) = t1, 0 < f1 < 1 ; r(0, t2) = 0, 0<i2< 1, J ' 1 ;

семейство допустимых управлений есть ТУ = {и(.) € ¿»(П) : v(t) € [0,1], t £ П}, а решение (7) понимается в смысле почти всюду (п.в.) и ищется в классе W(îl) абсолютно непрерывных на П функций г(.) с ограниченной смешанной производной. Заметим, что управление i>o(i) H 0, f 6 П, принадлежит 72(П); соответствующее ему решение: хо(0 = t1, t Ç П. Однако, управление вида v$(t) = {0, 0 < i1 < 1 — 5; 1, 1 — S < t1 < 1}, t 6 П, полученное импульсным варьированием управления vo(-) на полосе {t g П : 1 — S < t1 < 1}, при любом S € (0,1), как легко проверяется, уже не принадлежит 72(П).

Приведенный пример имеет непосредственное отношение к обсуждаемом у в §5.1 вопросу обоснования для распределенных систем широко

используемых для решения задач оптимального управления численных методов типа градиентных. Для такого обоснования обычно применяются пространства типа ¿21 удобные тем, что в них градиент функционала есть его производная Фреше. Но существование производной Фреше в пространствах типа ¿2 предъявляет весьма жесткие требования к нелинейным управляемым н.к.з. - характер допустимых нелиней-ностей зависит ог вида главной части н.к.з.. О существенности этих требований как раз и свидетельствует приведенный пример: следствием нелинейности правой части уравнения (7), "несогласованной с главной частью явилась неустойчивость существования глобального ре-

шения задачи (7) в выбранном пространстве 1У (П) относительно сколь угодно малых в норме £г(П) возмущений г>{ управления г>0 = 0; в свою очередь данная неустойчивость приводит к тому, что даже простейшие функционалы, связанные с управляемой системой (7), оказываются не-дифференцируемыми по Фреше в смысле Ьг(П) в точке г>о. Такозы, например, функционалы Л [у] =х„(1,1), /2М = / где #,,(.) -

п

п.в.-решение (7), отвечающее управлению V € V. Можно привести имеющие прикладное значение простые примеры оптимизационных задач для распределенных систем, в которых возникают неустойчивости указанного вида, приводящие к недифференцируемости функционалов во всем ¿2 (п.5.1.2). Таким образом, встает проблема обоснования численных методов градиентного типа для нелинейных управляемых систем, требующая получения соответствующих достаточных условий у.с.г.р. таких систем по возмущению управления.

Аналогичные вопросы возникают при выводе в задачах оптимизации н.у.о. любым методом варьирования, а также в задачах с приближенно известными исходными данными, в теории чувствительности управляемых систем и т.д. . В теории н.у.о. недостаток информации об у.с.г.р. управляемой н.к.з. по возмущению управления часто вынуждает считать н.к.з. сингулярной по Ж.-Л.Лиоясу16 и переходить к рассмотрению оптимизационных задач в классе пар "управление - состояние" 17. При этом построения в сингулярном случае могут быть существенно

16[Л] Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука. 1987.

17Под сингулярной в [Л] понимается, в частности, ситуация, когда неизвестно, отвечает ли данному допустимому управлению глобальное решение н.к.з. (при наличии локального решения и выполнении условий единственности решения).

более сложными, чем аналогичные построения в несингулярном случае (см. [Л]).

Для сосредоточенных систем общие теоремы о достаточных условиях у.с.г.р. хорошо известны 18. Что касается распределенных систем, то до последнего времени условия у.с.г.р. изучались лишь для некоторых из них (А.С.Матвеев, А.В.Фурсиков, В.А.Якубович, H.O.Fattorini, J.F.Bonnans и др.), как правило при специальных возмущениях (вариациях) управлений, требующихся для получения тех или иных н.у.о..

В главах 2 и 3 диссертации получены общие условия у.с.г.р. управляемых ф.в.у. вида (*) и других по возмущению управляющих воздействий, роль которых могут играть функции и операторы. Это позволяет, используя обращение главной части н.к.з., выписывать достаточные условия у.с.г.р. конкретных н.к.з. по возмущению управлений, входящих в "правые части" уравнений, начальные и граничные условия, а также в главные части н.к.з.. В главе 4 приводятся самые разнообразные примеры соответствующих, в том числе и новых, условий у.с.г.р.. Этот список может быть существенно пополнен. Отметим, что в главе 4 рассматриваются, в частности, н.к.з. для нелинейных гиперболических и параболических уравнений при измеримых старших коэффициентах и понимании решения в обобщенном смысле (§§4.5, 4.6). Теоремы у.с.г.р. главы 4 получаются фактически переписыванием в терминах н.к.з. соответствующих результатов глав 2 и 3, примененных к тому или иному ф.в.у., эквивалентному данной управляемой н.к.з.. Чтобы сформулировать одну из общих теорем у.с.г.р. уравнения (*) из главы 2, введем условия Ко)-Кз), а), б).

Ко) Функция f(t, p,v) дифференцируема по р на R' V v G Rs при п.в. t G П и вместе с производной f'p(t,p,v) измерима по t на П V {p>v} G R' X Rs и непрерывна по -{p,v} для п.в. t € П.

Ki) Формула j[y,v](t) = J{t, y{t), v{t)), t G П, y(.) G Lqj, v(.) G D С Lk,s определяет оператор /[.,.] : Litj X V -> Lp,m.

Кг)'Формула fi[y,v]{t) = j'p (t, y(t), v(t)) , t G П, y(.) G L4ih v(.) G DC Lk,s определяет ограниченный оператор fi[.,.] : Lg,i X T> —»■ ir,mxii где г G [p, oo], q~l + r-1 = p~x.

a) Существует положительный л.о. В : Lp Lq, мажорирующий оператор Л: ИИ(01 < В [|z|] (t), t G П, z e Lp>m.

18 Алексеев B.M., Тихомиров В.M., Фомин C.B. Оптимальное управление M.: Наука. 1979. (см. п.2.5.5)

Пусть Г С Ьг (П) - фиксированное множество. Для краткости формулировок будем считать здесь, что либо Г = Ьсг(П) при некотором а > г, либо пересечение Г с каждым шаром из Ьг (П) есть множество функций с равностепенно абсолютно непрерывными Ьг (П)-нормами (в главе 2 диссертации рассматривается более общая ситуация).

Кз) Для любого у(.) е Т> модули всех значений оператора суперпозиции /1 [-4[.],«] : -> ¿г,тх1 принадлежат множеству Г(П).

б) Семейство операторов {(аВ) 6 £(£р, Ьр) : а 6 Г(П), ||а||г < суперравностепенно квазинилыютентно при любом V > 0.

Если В € У{Т), то V и € уравнение (*) не может иметь более одного п.в.-решения класса £р,т(Н) ни на каком Н € Т (теорема 2.1.1). Глобальное решение г(.) € £Р,т, отвечающее управлению

V £ V, будем обозначать Пусть = П(П) - класс тех управлений

V € Т>, каждому из которых отвечает единственное глобальное решение г„ € ¿р гп уравнения (■*). Будем предполагать, что П(П) ф 0. Произвольно фиксируем некоторый элемент но € П(П). Пусть го = . Для V е Т> положим Д„/(г0)(г) = 1(Ь,А[хв](г),у(1)) - ДМЫ(*)>"о('))>

Теорема £.1.3. Пусть 1 < р < д < оо и выполняются условия Ко) — К3), а),б). Тогда V 8. > 0, ¿0 > 0, ь0 € V П П(П) 3 числа ¿ > 0, С > 0 такие, что если

0) некоторая мажоранта В : Ьр —»• Ьч оператора А, обладающая свойством б), имеет вольтерровскую ¿-цепочку,

то всякое управление V 6 2?, удовлетворяющее неравенствам

1) ||"-«о1к. <¿0, 2) ||Д„/(го)||р,ш 3) га(у,у0) <8, принадлежит классу П(Г1), при этом

-20\\р,т < С-||Д„/(,го)||р,т, |\А[г„ --г0]||?1/ < С -тА(у,ьо). (8)

Доказательство теоремы проводится с помощью продолжения локальных решений " вдоль вольтерровскнх цепочек". Теорема 2.1.3 носит условный характер и для непосредственного использования в приложениях удобнее ее следствия, получающиеся из теоремы заменой условия 0) некоторым конструктивным условием, достаточным для выполнения 0). Пример такого следствия дает

Теорема 2.1.4. Пусть 1 < р < ^ < оо и выполняются условия Ко) — Кз), а),б) и условие

в) V 8 > 0 оператор В : Ьр —> Ьч имеет вольтерровскую ¿-цепочку.

Тогда V Л > 0, ¿о > 0, уо € V П П(П) 3 & > О, С > 0 такие, что если управление V £ V удовлетворяет неравенствам 1), 2), 3) теоремы 2.1.3, то V € П(П) и имеем (8).

Заменяя в теореме 2.1.4 условия б) и в) теми или иными конкретными условиями, достаточными для выполнения 6) и в), получаем конкретные признаки у.с.г.р. уравнения (*). Из рассмотренных в §2.1 разнообразных примеров подобных признаков [следствия 2.1.2 - 2.1.4), охватывающих широкий спектр ситуаций, возникающих при переходе от н.к.з. к ф.в.у. (*) и затронутых в главах 4-7, приведем два наиболее простых. Выводы теоремы 2.1.4 справедливы, если выполняются условия Ко) — Кг), а) и либо V ¿ > О оператор В имеет вольтерровскую сильную ¿-цепочку, либо оператор В вполне непрерывен и имеет V 5 > 0 ¿-малую по мере вольтерровскую цепочку.

В случае р = д = оо результаты §2.1 могут быть повторены (теоремы 2.2.5, 2.2.6, следствие 2.2.4). ® случае р < д = оо удается доказать практически полезные аналоги результатов §2.1, несколько усилив условия на правую часть (*) (теоремы 2.2.2 - 2.2-4 и их следствия). В §2.3 проведен подробный анализ доказательства теоремы 2.1.3 и предложен общий подход к модернизации ее условий (п.п.2.3.2, 2.3.3). Доказано, что условие а) регулярности оператора А в теоремах §2.1 можно, вообще говоря, снять, заменив при этом условия б) и Кз подобными им, но уже в терминах самого оператора А, а не его мажоранты (п.2.3.6, теорема 2.3.10). Показывается, как перенести на этот случай конкретные признаки у.с.г.р. из §2.1 (следствия 2.3.2 - 2.3.4). Приведем пример. Пусть теперь Г(П) = £СТ1тХ1(П) при некотором сг € [г, оо].

Следствие 2.3.4■ Выводы теоремы 2.1.3 остаются верными, если оператор А : Ьр<т -4 Ья[ удовлетворяет условию (3) и выполняются условия Ко) — Кг), а также следующие условия К8) и к) : к;') V г 6 Ьг,т, V € £> функция /,[А[г], и] (■) 6 Г (П) ; к) Семейство {(а.А) € Ь(ЬР : а £ Г(П),]|а||Г)П,х« 5: судер-

равностепенно квазинильпотентно при любом и > 0.

В §§3.1 - 3.3 главы 3, посвященной ф.в.у. в пространствах ¿«..гт построенная в главе 2 теория у.с.г.р. уравнений (*) распространяется на случай, когда управление осуществляется не только посредством функции к, но и с помощью оператора А. Приведем одно конкретное следствие общих теорем §§3.1,3.3, приспособленное для приложений. Пусть/(£,р, у) удовлетворяет следующему условию К).

К) f(t, p,v) удовлетворяет условию Ко) и вместе с производной f'p ограничена на любом ограниченном множестве.

Обозначим через А(Т) множество всех л.о. А : ¿00,771 ^ Loo,() каждый из которых имеет (свою) квазинильпотентную мажоранту G : Loo —>• Loo класса V(T). Множество V допустимых управлений и(.) считаем ограниченным в £oo,s- Пусть теперь 0(П) - множество тех пар {А, и} 6 А(Т) X V, каждой из которых отвечает единственное в Loo,m решение (+). Обозначим через Т"и совокупность всевозможных объединений не более чем п множеств системы Т. В данном случае р = q = 00 и Гл(к, vq) = |л[Д„/(г0)]| где z0 6 Loo,m - решение (*•), отвечающее некоторой фиксированной паре {Ao,vo} € Г!(П), Д„/(г0) = f(t, Ло[го], v) - f(t, А0[г0],ио).

Теорема 3.3.3. Пусть Т = ТМ(П), ¡i = {v,A}. Тогда Vw > О, {А0, v0} € 0(П) 3¿ > О, С > 0 такие, что если оператор А е £ш(Тпи) удовлетворяет неравенству Щ — А0||оо,т-»»,( < S и имеет квазинильпотентную мажоранту G (Е V(T), удовлетворяющую условию (2), а управление v 6 Т> удовлетворяет неравенству ^„(vjfo) < ¿, то пара {A,v} принадлежит классу Г2(П); при этом для соответствующего решения z 6 Loo,т. уравнения (*) справедливы оценки ||г — zo||oo,m С ' {||A„/(Zo)IU,m + \\А - Л0||} , ||A[z-zo]|U/ < С-{rAo (v, vo) + ||А - Л0||} .

В §3.4 строится теория у.с.г.р. ф.в.у. второго рода общего вида (4) в пространствах Loo,m, по возмущению оператора F : Loo,т. ~»■ Loo,т. , обобщающая предыдущие результаты главы 3, касающиеся уравнения (*). Оператор F предполагается удовлетворяющим операторному условию Липшица (5). Указанные уравнения охватывают широкий класс управляемых систем и, в частности, уравнения вида (*) с нелинейным оператором А, а также уравнения, возникающие в теории расширений оптимизационных задач, которым посвящен §7.2.

В главе 4 рассмотрены многочисленные примеры управляемых н.к.з., каждая из которых заменой, связанной с обращением главной части дифференциального оператора н.к.з., сводится к эквивалентному уравнению вида (*■). Переписывание в терминах н.к.з. соответствующих результатов глав 2 и 3 позволяет единообразно формулировать достаточные условия у.с.г.р.. Приведем несколько примеров.

■Простой пример приведения краевой задачи к уравнению вида (*) дает управляемая задача Гурса-Дарбу (п.4.4.1), играющая в теории оптимизации распределенных систем роль своеобразного пробного камня

(П = [а, 6] С И2):

*!'!«» = И«, ^1(0. *!»(0. «(0). *еп, (9)

х(^,а2) = 6 [о1,б1]; г(а\Р) = «2(*2), I2 € [а2,б2], (10)

где функция д (£, р, у) : П X 113т X К*° И"1 удовлетворяет условию К) , допускаются управления {и (•) , (•), шг(-)} И3 некоторого ограниченного в ¿00,50 X (М^ ([а1,Ь1]))'" X (^¿,([а2,&2]))т множества Ю, у элементов которого гиг (а1) = (а2). Решение (9), (10) понимаем в смысле п.в., И'(II) - класс всех абсолютно непрерывных на П га-вектор-функций с ограниченными первыми и смешанной производными. Для любого управления {и (•) , ^(О^гО)} формула

i' t

x(t) = wl(t1) + zu2(t2) - w1(a1) + J J z(№ldt.2 (H)

а» a?

устанавливает взаимно однозначное соответствие между функциями z из Loo,m и удовлетворяющими (10) функциями х из W(n). Поэтому V управления подстановка (11) приводит задачу (9), (10) к эквивалентному интегральному уравнению над классом Loo,m '■

z(t) = g (t, ид(»1) + w2{t2) - w^a1) + i4(o)[*](0, ™'i(ñ+ ^

+4(i)H(í), Ц(<2) + A(3) W(t), u(0), t € П, K J

t1 tJ i1 где А(О)И(0 = J J ^d)W(í) = f z(tl,t)dt, Афт =

a1 аЯ

i1

f t2)d£. Уравнение (12) имеет вид (*), = {-^(о)[']> а 1

/ : 3m, w(0 = (u(í), vJlit1) + W2{t2) - uji(a1), u/^f1), wí,(í2)} , s = s0 + 3 m;AeV (T^) при ц = {0, {1, 2}} . Пусть {и0 (■), woi(-). «*«(•)} 6 72 (П), xq - соответствующее решение (9), (10). Положим 7(u>i, 102) = ^¡(t1) — lüoiíí1) + u>2{t2) - w02{t2) + Woi(a') - Wi(al). Теорема 3.3.3. дает: управление {«(•) ,tüi(-),tü2(-)} € D принадлежит 7£(П), если мала величина

7 + x0t 7,'i+*o¡i, 7¡í + ^oJj 1 u)-g{-, x0, x0'ti, «o)]^,

(можно оставить лишь компоненты А, соответствующие явно входящим в (9) производным х). Так, в задаче (7) управление v € 7£(П), если t3

vraisupten f v(t1,ç)d<; мал.

В §4.5 рассматривается следующая н.к.з. для гиперболического уравнения второго порядка. Пусть П = Q X (0, сг), где а > О, Q С R" - конечная связная область, t = {i1,.. ., i", t" + 1} H {î,tn + 1} 6 Qx(0,<r), Г S

dQ x (0,<г). Пусть: ZW2 (Q); w2 G lz(Q); £0[x] = £ -

i,3=î

самосопряженный, равномерно эллиптический в Q оператор с коэффициентами из Lao(Q); Т> - ограниченное множество в ¿г(П); qn = {оо, п — 1,2; ~2>п = 3,4,...}; g(t, x, v) : II x R x R —R - каратеодориевская вместе с g'z функция, причем существует q € [2, q„) такое, что формулы g[z,v](.) = g(.,x{.),v(.)), gi[x,u](.) = 5^.(.,х(.),и(.)) определяют ограниченные операторы g[x,v] : Lq X V —)■ L2, : Lq X V Lr,

r~1 = 2-1. Функцию 6 Lq{П) назовем решением н.к.з.

<»+!,„+. - 4>И(0 = a(t, *(0, «(О), г e n; (13)

x(t,Q) =WlÇt), x't„+1(t,0) = w2(t), teQ;x(t) |,er=0, (14)

о 1

отвечающим управлению v Ç V, если она принадлежит W2 (П) и при данном v удовлетворяет (13),(14) в обобщенном смысле. Пусть: A[z] -0 1 ,

решение в смысле }V2 (П) аналогичной однородной задачи для уравнения г'Д+1,„+1 — £оИ(0 = г, где z 6 ¿г(П) (тогда А : Ь2 -4 Ьч - л.0.0. класса V (Тц), /i = {0, {п + 1}} , задаваемый рядом Фурье по собственным функциям £0)1 ©(£) _ решение н.к.з. для уравнения („+i — £о[я](0 = 0 с условиями (14). Тогда н.к.з. (13),(14) эквивалентна уравнению типа (*) z(t) = g{t,Q{t) + A[z](i),u(i)), t. 6 II, нал L2(II).

Пусть wv e v, v0 e тг(П) : tz[v,v0] = л[э(.,г0,и) - ,

I llq

где xo - решение (13),(14), отвечающее управлению v0. Из результатов

§2.3 вытекает: V vo S ЩП.) Э S > О, С > 0 такие, что если v 6 V. H[v,vo] < S, то v € 7?(П) и для соответствующего решения х н.к.з. (13),(14) имеем — £о||<, < С -Щу, v0]. Рассматривается также случай, когда правая часть уравнения (13) зависит от производных г,,, t = 1,...,гг+ 1.

Аналогичным образом в §4.6 подробно рассмотрена н.к.з. для параболического уравнения

- Ê коко;* + = А(*. «w). «еп, (is)

i,j=1 J = 1

z(t,0) = w(t), t € Q; x(t) = 0, t € Г, (16)

где П = Q х (0,сг) С Rn+1, п > 1, Q - область, dQ € С2, Г = dQ х (0, сг), предполагается выполненным условие равномерной парабо-личности, функция g(t,x, v)': П X R X R —f R удовлетворяет условиям К), допускаются управления {и (•),«;(•)} из некоторого ограниченного в ^оо ^ ¿оо (Q) множества D. Решения н.к.з. - ограниченные обобщенные из V2(П). Рассматриваются случаи: коэффициенты a¡j € Loo фиксированные, коэффициенты a¿j гельдеровские управляемые. Здесь А - интегральный оператор Грина (управляемый в случае управляемых старших коэффициентов). Рассматриваются также случаи: правая часть зависит от градиента Vt-jr; управление и (•) 6 L2.

В §4.7 рассматриваются смешанная н.к.з. для нелинейного интегро-дифференциального уравнения типа уравнения переноса и смешанная задача для нелинейной системы интегро-дифференциальных уравнений типа системы кинетики реактора. В §4.2 изучается начальная задача для системы дифференциальных уравнений с запаздыванием, управление в которой осуществляется функциями, задающими запаздывания, начальными функциями и начальными значениями.

Отметим еще следующие управляемые н.к.з. из рассмотреных в главе 4: задача Коши для гиперболической системы первого порядка и родственная задаче Гурса-Дарбу краевая задача, получающаяся "скрещением" задач Коши и часто встречающаяся в литературе по теории' оптимизации распределенных систем (§4.3); смешанная задача для полулинейного волнового уравнения с управляемым коэффициентом главной части и граничным управлением (§4.4); задача Коши для функционально-дифференциального уравнения вида х (í) = Ф[х](<), а < t < Ь (х € (И^ ([а, 6]))™) (п.4.8.1); многомерная задача Гурса-Дарбу (п.4.8.3); задача Коши для гиперболического уравнения второго порядка с управляемой кривой начальных данных (п.4.8.4). Последние две из упомянутых н.к.з. рассмотрены как примеры к более общему построению, связанному с так называемой обобщенной задачей Гурса и проведенному в п.4.8.2.

Простейший пример управляемой системы, приводимой к ф.в.у. (*), дает задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (п.4.1.1). В п.4.1.2 рассматривается двухточечная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. В отличие от упомянутых выше эта управляемая система такова, что одному и тому же допустимому упра-

влению может соответствовать не одно ее решение. Параметризация граничного многообразия и введение фиктивного управляющего параметра дают возможность перейти к эквивалентному ф.в.у.. Доказана теорема у.с.г.р. с заменой условия единственности решения на условие единственности в малом (в смысле слабой окрестности).

Переходим к главам, посвященным собственно задачам оптимального управления. В главах 5 и 6 рассматриваются вопросы вычисления и представления производных и вариаций функционалов и операторов, играющие принципиально важную роль в теории оптимального управления. Первые два параграфа глалы 5 связаны с вопросами дифференцирования функционалов. Как было отмечено выше, существование производной Фреше в пространствах типа L2 функционалов оптимизационных задач предъявляет весьма жесткие требования к нелинейным управляемым н.к.з. - характер допустимых нелинейностей зависит от вида главной части н.к.з.. Некоторые варианты таких требований следуют из формулируемой ниже теоремы 5.1.4, касающейся дифференцирования в ¿2,s функционалов, связанных с ф.в.у. типа (*). В прикладных задачах оптимизации подобные требования выполняются далеко не всегда, из-за чего функционалы таких задач зачастую недифферен-цируемы в пространствах типа ¿2- Однако, для решения, например, наиболее распространенных оптимизационных задач - задач с ограниченным множеством допустимых значений управления, очевидно, и нет необходимости осуществлять градиентный спуск именно в пространстве типа L2: естественно воспользоваться каким-либо пространством ограниченных функций (например, типа Loo), беря в качестве направлений спуска в данном пространстве те, в которых соответствующая производная Фреше отрицательна. При этом достаточно, чтобы функционалы задачи были дифференцируемы лишь в смысле выбранного пространства ограниченных функций. В §5.1 доказана общая теорема 5.1.2 о дифференцируемости функционалов, связанных с ф.в.у. типа (*), в пространствах типа L00. В п.5.1.9 приводятся иллюстрирующие ее конкретные примеры.

Рассмотрим управляемую систему (*) (1 < Я < 2, р < д < со) над пространством Lp¡m, считая, что множество допустимых управлений Т> совпадает с ¿2,s• Введем следующие условия Кю) — К12).

Кю) Функция f(t, р, v) дифференцируема по {p,v} на R' X Rs при п.в. í € П и вместе с производными /', f4 измерима по t на П V {р, v} 6

R' X Rs, а также непрерывна по {p,v} на R' X Rs для н.в. t € П.

Кц) Для любого v{.) € L2,s формула /г(г;)[у](<) = f'p{t,y{t),v(t)), t € П, определяет непрерывный оператор : Lqj —t Lr mXl-

К12) Для любого у(.) € формула /зЫМ(*) = f'v{t,y(t),v(t)), t 6 П, определяет непрерывный и ограниченный оператор /з(у)[-] :

L2,s Ч- Lg_ mxs.

При переходе к описанию оптимизационных задач в терминах ф.в.у. (*) функционалы задач часто приводятся к виду

JM=F №„],!/], ®€П(П), (17)

где F[.,.] : L4ii X L2)S -4R - функционал, дифференцируемый по Фреше над Lgj X Z/2,s- Пусть {<т[г/, v](i),7"[y,v](f)} € L,<fi X есть его производная Фреше в точке {у, v} 6 L4j X ¿2,sj (?')"' + 1~l = Из теоремы 2.1.4 и следствия 2.3.4 вытекает

Теорема 5.1.4- Пусть выполняются условия Ki), Кдо) - К12), а также либо условия К3), а) - в), либо условия К8), к) вместе с условием (3) для оператора А. Тогда в любой точке vo € ii(n) функционал J имеет производную Фреше </'(vo)[-] € (¿2,®)*, которая отождествляется с принадлежащей функцией т [A[z0],v0] (t) + {J'v (f, Л[го],г>о)}* >Я0> t 6 П,где ф - единственное в Lpi>m, (р')-1 +р-1 — 1, решение уравнения

т-л* [{/;(.,= «еп. (18)

Теорема 5.1.4 находит применение в проблеме сингулярности распределенных управляемых систем, которой посвящен §5.2. Ж.-Л.Лионсом [Л] сингулярными названы управляемые системы, "уравнения состояния которых ... представляют "особенности", а именно: неустойчивость, явление разрыва, кратные решения и явления бифуркации". В [Л] подробно изучается вопрос о получении н.у.о. для систем с разрывом, описываемых н.к.з для параболических и гиперболических уравнений; системами с разрывом названы управляемые н.к.з., для которых, имеет место упомянутая выше сингулярная ситуация, связанная с отсутствием у.с.г.р. управляемой н.к.з. при выполнении условия единственности решения н.к.з.. Одной из основных модельных задач в [Л] является оптимизационная задача на минимум функционала

J[v, х] = i||s - Щ1 п + min, (19)

в котором х е L& - фиксировано, X е И7;! (II) - решение н.к.з. с условиями (14) для "неустойчивого гиперболического уравнения"

х".+1,.+1 - Их = х3 + v(t), i € П = Q х (0, и), (20)

где допустимы управления v из некоторого замкнутого в 1/г(П) вып

пуклого множества V (Да: = Y2 х',',,-, 1 < п < 3). В качестве второй

i=i

основной задачи используется задача на минимум (19), где х Е Wj(П) - решение н.к.з. для "неустойчивого параболического уравнения"

х-;п+1 - Дх = х3 -f v(t), t € П = Q X (0, <т) (21)

с условиями (16) (рассматриваются также граничные условия Неймана и смешанные) при 1 < п < 3 . Оптимизационные задачи (14), (19), (20) и (16), (19), (21) как задачи на классе пар {х,и} € ¿6 X ¿2, используется в [JI] для демонстрации способа получения н.у.о. в сингулярной ситуации методом адаптированного штрафа (такие н.у.о. в [J1] названы "сингулярными системами оптимальности"). При этом гг.у.о. для штрафной задачи выводятся методом классического варьирования, которое не применяется в основной задаче из-за наличия разрыва у н.к.з.. Заметим, что метод адаптированного штрафа достаточно трудоемок и требует весьма тонких аналитических построений. Одна из существенных трудностей, как указано в [JI, С.66], - получение априорных оценок так называемого приближенного сопряженного состояния, зависящего от штрафного коэффициента. Подчеркнем, что в данном случае переходить к рассмотрению пар "управление - состояние" вынуждает лишь недостаток информации об у.с.г.р. управляемой н.к.з. относительно классического варьирования управлений, т.к. рассматриваемые оптимизационные задачи можно (ввиду свойства единственности решения н.к.з.) записать в классическом виде

J[ü] = F\x„, v] min, v e ЩП), (22)

(x„ - решение н.к.з., отвечающее управлению v). Если знать, что 7?(П) допускает классическое варьирование, то при выводе н.у.о. естественно действовать классическим способом в задаче (22), не переходя к штрафной задаче. В §5.2 диссертации показано, что в некоторых случаях с помощью перехода в описании управляемой системы к ф.в.у. и использовании соответствующих теорем у.с.г.р. из главы 2 (а иногда и классических теорем о неявных операторах) можно доказать открытость 7£(П)

в £з(П). В этом случае при гладком F[.,.] вопрос о н.у.о. решается с помощью теорем типа теоремы 5.1.4. Приведем пример.

Пусть F[:r,-u] = jG(x,v) it имеет над Lq X L2 непрерывную про-П

изводную Фреше F (r, v) [Ах, Д^] = f | Gx (г, v) Ах + Gv (х, v) Av f dt.

п L J

Пусть в дополнение к сказанному выше о н.к.з. (13), (14) правая часть

<7 (t, р, v) удовлетворяет условиям Кш) - К12) при р = 2, q 6 [2,gn]-

Тогда справедлива

Теорема 5.2.3. Функционал J[v\ = F[xu, г>], v 6 72(П), где хк - решение (13), (14), дифференцируем по Фреше в смысле L2 над It (П). Его производная имеет вид Gv (г (t) , v (í)) + gv (í, x (t), v (t)) (t), t 6 П, где ф - единственное в ¿2 решение уравнения

гР (£) = А* [<?; (х (•) ,«(•)) + ?; (•, * (•), V (•)) ф (•)] (0 , t е П. (23)

При достаточно хороших коэффициентах главной части (13) сопряженное уравнение (23) переписывается в форме эквивалентной н.к.з.. Условиям теоремы 5.2.3 удовлетворяют компоненты оптимизационной задачи (14), (19), (20), что позволяет в п.5.2.5 (пример 2) получить для нее "сингулярную систему оптимальности" [JI, гл.2, теорема 2.1] классическим варьированием в эквивалентной задаче (22). Аналогичным образом с помощью теоремы 5.1.4 в п.5.2.5 ( примеры 1, 3, 4) получены "сингулярные системы оптимальности" в задаче (16), (19), (21) и некоторых других модельных задачах Ж.-Л.Лионса [Л, гл.1, теоремы 3.2, 5.2, 16.2]. В ц.5.2.7 с помощью перехода к ф.в.у. и теоремы о неявном операторе решены также некоторые задачи о нахождении "сингулярных систем оптимальности", указанные в [Л] как нерешенные и представляющие интерес, а именно задачи 9 (при п=2,3, а=п+2), 11 (при п=1), 22 (при п=2) из §20 гл.1 монографии [Л].

В §§5.3, 5.4 обсуждается вопрос о вычислении вариаций функционалов в задачах оптимизации, связанных с функциональными урав-. нениями вида (*). Пусть для ф.в.у. (*) выполняются условие К) и условие а) при р = q — 1, причем существует квазинильпотентная мажоранта В : Li Ч- L\ такая, что В [Loo] С £<»• Будем считать, что Т> = Т>и = (•) € ¿oo,s : V (t) е U,t € П}, где U С R® - ограничено. Рассмотрим задачу минимизации

J[v] = F[zv] min, v £ П(П), (24)

где F [•] : ¿1,т -4Й - непрерывно дифференцируем по Фреше. Далее: v/, - варианта некоторого фиксированного управления г/о € О (П); /г = {г,с} - набор параметров варьирования, где е € - параметр, "нумерующий" элементы варианты, определяемой параметром (набором параметров) <т, принимающим значения из некоторого множества Е. Простейшая одноточечная игольчатая варианта (п.о.в.) имеет вид 1>л(4) = t £ Пе(т); t £ П\Пг(т)} , а = {т,-«г} (2 указано ниже), где

Пе(г) = г — е[0,3]". В §5.4 предложено удобное аксиоматическое описание способов варьирования, охватывающее наряду с игольчатым (одноточечным и многоточечным) и такие традиционно используемые способы, как классическое варьирование, пакетами, импульсное на полосах и др.. Положим: Д„/(£) = /(£, Л[го](0> - /(*, А[г0]Ц), « € П,

ч/ £ и (аналогично понимается Л„/р(()); ЛVJ = J\v] — ./[1>о], V £ П;

ф) = ||Д.(.,/(.)||11ГО, г,(») = ||Д.(.)^(.)Н 1,-ж«, Р(«) = ||В [|Д.(.)/(0|] I«,' и € V.

Набор аксиом §5.4 таков: 1) р(^) 0, £ 0 (гт £ И); 2) множество {7 > 0 : Цг/;, — ^о(11,я = 0(еу), г —> 0 (гт € X)} ф 0 и имеет максимальный элемент 70; 3) г(кЛ) = 0(е7а), е 4 0 (а £ Е); 4) г^гъ) = С>(г7°), г —> 0 (¡г £ 53); 5) для каждого <т £ 13 существует предел 57о./(сг) = Пш е-70 Д./. Условие 1) обеспечивает (в силу теоремы 3.3.3) коррект-

с-+0

ность варьирования: V сг £ 53 3 е„ > 0: £ П при 0 < £ < е^. Величину 57о/(а), как правило, называют первой вариацией функционала 3 на варианте V/,, а очевидное необходимое условие глобальной (и ¿1,5-локальной) оптимальности управления зд в задаче (24)

8^Ч(а) > 0, <т £53, (25)

- н.у.о. 1-го порядка для способа варьирования {гч, : а £ 53}. При игольчатом варьировании величина 70 = п. Указанный аксиоматический подход используется в главе б при изучении особых управлений.

В §5.3 показано (теоремы 5.3.1, 5.3.4), что при игольчатом варьировании указанные условия на уравнение (*) и задачу (24) обеспечивают существование вариации Например, в случае п.о.в. (теорема 5.3.1) = 7Г(г,-^\) = (Ф(г), Д„/(т)), где {•,•) - евклидово скалярное произведение, 53 = {{г, \у} : лу £.11, т £ П — правильная точка Лебега для тг(.,у/)}, ф(.) - единственное в ¿оо,п» решение сопряженного уравнения 8*[ф] = а;, 5[.] : Ь\1т Ь 1)7П. - л.о.о., задаваемый формулой яда = *(*) -/¿(«МИ(0, ДО = ДО, ЛЫ(0. ( £ П; и. - функ-

ыия Рисса для F'(zq) € L* m. Схема доказательства указанных теорем состоит в построении линейного интегрального представления

AVhJ = J <Ы*).Дь/(т)> dt,

п

где ДьДО = f(t, A[zVi], vh) - f(t, Фн (•) - решение "прибли-

женного сопряженного уравнения", и доказательстве сходимости (центральная теорема §5.3 - теорема 5.3.2):

V w 6 U при п.в. г 6 П lim е~п ¡ \фи (О - Ф (01 dt = 0. (26)

£-+0 J

П. (г)

обеспечивающей существование вариации. В §5.3 подробно изучается зависимость характера сходимости "приближенных сопряженных функций"^ от свойств правой части / (í,p,v). Так, при непрерывных / и /р имеем: |)ф^ — ^Ц^ т 0 при е —>■ 0 {лемма 5.3.3), что существенно упрощает вычисление определяющего вариацию предела и доказательство теорем о вариации. В общем же каратеодориевском случае сходимость, вообще говоря, не лучше, чем (26). Это доказано построением конкретного примера терминальной оптимизационной задачи для системы Гурса-Дарбу (лемма 5.3.4)-

В п.5.3.6 показано, что указанные выше требования к функционалу F можно значительно ослаъбить. Конкретизируя вид F и беря часто встречающуюся в приложениях форму F [г] = Ф [А [г]], где Ф - непрерывно дифференцируем над некоторым Lq, 1 < q < оо, можно существенно ослабить требования к оператору А и рассмотреть случай 1 < р < оо, р < q < оо (теорема 5.3.3).

В §5.5 схема вычисления вариаций функционалов, примененная в §5.3, обобщается на случай операторов. Именно, пусть D = 2? с/, выполняется условие К), А : Lp¡m Lq¡¡ - л.о.о. при некоторых р € [1,оо), q € [р,оо], причем А имеет мажоранту В : Lp Lq такую, что В[Ьоо] С Loo- При некоторых дополнительных предположениях, обеспечивающих применение теоремы 2.2.6 об у.с.г.р. уравнения (*) из ¿оо,т, рассматривается вопрос о вычислении вариаций операторов вида JC[v] = Ф[Л[2„]], где Ф[.] : Loo,¡ —У ~ непрерывно дифференцируемый по Фреше оператор, действующий в некоторое банахово пространство У. Обобщения теорем 5.3.1, 5.3.3, 5.3.4 доказываются в двух случаях:

1) р = (¡г = 1, компоненты оператора А : Ь\<т —► Ь\,( можно разбить на две группы: Л[.] = со1{Л(0)[.], Л(1)[.]} так, что Л(0)[Ь1,т] С ¿оо,;„; 2) р 6 [1,оо) , ц = со. Результаты §5.3 и §5.5 используются в §7.1 при доказательстве принципа максимума в общей, связанной с ф.в.у. оптимизационной задаче с функциональными и операторными ограничениями.

Глава 6 посвящена теории особых управлений в случае произвольного множества допустимых значений управления. Управления, особые в смысле поточечного принципа максимума (п.п.м.), па которых он вырождается, играют важную роль в теории оптимизации и ее приложениях. Однако, для распределенных систем вопросы получения н.у.о. особых управлений (о.у.) изучены еще относительно слабо: в основном рассматривались системы Гурса-Дарбу и близкие им. Главные усилия были направлены на конструирование с учетом специфики таких систем формул приращения, удобных для вычисления старших вариаций функционалов. За допустимые брались обычно кусочно-непрерывные управления. Предполагалось, как правило, что каждому допустимому управлению отвечает единственное в большом решение управляемой краевой задачи. Принципиально важно изучение более широкого класса управлений - измеримых19, причем без указанного ограничительного условия на разрешимость управляемой н.к.з.. В §6.1 описана соответствующая схема изучения о.у., опирающаяся на способ унификации построения н.у.о. с помощью тензорных произведений лебеговых пространств. Схема обслуживает обширный класс управляемых систем, описываемых функциональными уравнениями типа (*). Показано, что для распределенных задач оптимизации достаточно характерно сильное вырождение о.у., когда вместе с н.у.о. 1-го порядка (например, ильм.) вырождаются и н.у.о. 2-го порядка (п.6.1.3,теорема в.1.3). Это происходит, если задача "устроена не слишком сложно" (пА.'Л,теорема в. 1.2), как часто и бывает в приложениях.

Обратимся к задаче (24), считая функционал Р дважды непрерывно дифференцируемым над ¿1,т. Пусть V — Т>и и для уравнения (*) выполняются все условия, указанные при описании §5.3, §5.4. Дополнительно предположим, что существует производная /рр, каратеодориев-ская и ограниченная на любом ограниченном множестве. Рассмотрим ситуацию, когда для некоторого способа варьирования {и/, : сг € 2} н.у.о.

19См., напр., Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. М.: Наука. 1988

1-го порядка (25) вырождаются, т.е. ¿Уо./(сг) = 0, сг € Е. В этом случае ио назовем о.у. для этого способа варьирования и для соответствующего н.у.о. (25). Предел 5у3(сг) = 13т г-7Д„д .7, если он существует

е—»-О

при 7 > 701 назовем вариацией У порядка 7 — 70 + 1 на варианте г//,. Н.у.о. ио : ¿77(ст) > 0 (сг £ Е) назовем н.у.о. порядка 7 — 70+1. В традиционных способах варьирования параметр е обычно вводится так, что для о.у. г>0 вместе с 6УйJ(cr) = 0, а £ Е, имеем <57./(сг) = О, а £ Е, 70 < 7 < 70 + 1, и содержательны, вообще говоря, лишь н.у.о., начиная с порядка 2. Поэтому назовем о.у. г/о сильно вырожденным для способа варьирования {17, : сг £ Е}, если вариация 2-го порядка 5У+Ч{а) = 0, <г € Е.

В §6.1 сформулированы общие условия (условия А), обеспечивающие сильное вырождение о.у. при 70 > 1 и позволяющие с помощью теории тензорных произведений лебеговых пространств построить удобную для изучения о.у. и получения н.у.о. для сильно вырожденных о.у. (с.в.о.у.) асимптотическую формулу {формула (6.1.10)). Ограничимся здесь тем, что укажем некоторые, простые для проверки, но важные для приложений случаи, когда условия А заведомо выполняются.

Теоремы 6.1.2 и6.1.3 (вариант). Пусть имеет место один из следующих случаев:

О = 0, * € П; И) А[^т] С ¿оо,;; ш) /(*, Р,у) = Д(*,р1)р2 + /2(*,Р1, V), р = со1{р1,р2}, р< € 11г< (г = 1,2), 1\ + к = I, /1 является (гп х /2)-матрицей, А[.] = со1{^<1)[.],[.]>, : Ь1>т Ь^. (г = 1,2), причем Л^1) [£!,„] С Ь^^.

Если г»о - о.у. для способа варьирования {г^ : сг £ Е} и при всех достаточно малых е > 0 имеем Vа £ Е : J 7г(£, г7,(£))Л = 0, то Д^./ = О(е2уо),

п

е —0 (сг £ Е), а при 70 > 1 управление г/о - с.в.о.у. для данного способа варьирования.

Получаем, в частности, что если г>о - о.у. для п.п.м. и выполняется одно из условий ¡), п), или ш), то из полученных игольчатым (одноточечным и многоточечным) варьированием н.у.о. вырождаются все условия до порядка п включительно, и содержательными могут быть лишь н.у.о. порядка, большего п.

Для с.в.о.у. в рассматриваемом классе возможна компактная унификация построения н.у.о.. Примером служат касающиеся п.п.м.теоремы 6.1.4, 6.1.5, из которых следуют как различные известные н.у.о., так и многие новые - для конкретных задач, не рассматривавшихся

ранее. В первой из этих теорем рассматривается случай полного вырождения п.п.м., когда сечения M(t) ~ {v £ U : {£,v} € M} мпожества M = {{i, v} 6 П х U : v(t,\) = 0} совпадают с U при п.в. í g П. Во второй - общий случай: mes {te П : M(t) ф {ко(*)}> > 0. В п.6.1.10 рассматриваются три конкретных.примера, иллюстрирующих указанные теоремы. В примере 1 обобщаются на случай измеримых управлений известные н.у.о. 2-го порядка, полученные ранее Л.Т.Ащепковым для управляемой системы с запаздыванием. В примере 2 показано, как из теоремы 6.1.4 могут быть получены известные н.у.о. 2-го порядка для сосредоточенных систем, связанные с так называемыми матричными импульсами Р.Габасова. В примере 3 рассматривается оптимизационная задача, связанная с н.к.з. для пелинейного волнового уравнения, решение которой понимается в обобщенном смысле. В теории особых управлений подобные управляемые системы не рассматривались и полученные в примере 3 конкретные результаты являются новыми.

Параграф 6.2 посвящен терминальной задаче оптимизации системы Гурса-Дарбу, являющейся фактически основным объектом исследования в теории оптимальных о.у. для распределенных систем. Полученные в §6.2 конкретные условия сильного вырождепия о.у. и н.у.о. 3-го порядка являются, по-видимому, новыми. Сходные результаты, полученные ранее другими авторами (О.В.Васильев, В.А.Срочко и др.) касались лишь случая полного вырождения о.у. на всем множестве допустимых значений управления и предполагали существенно более жесткие условия на правую часть уравнения. В п.6.2.1 выписана полученная автором формула (6.2.11) приращения функционала, являющаяся асимптотической формулой 2-го порядка при любом игольчатом варьировании. В п.6.2.3 показано, что с помощью (6.2.11) могут быть получены как известные н.у.о. 2-го порядка для управлений, особых в смысле п.п.м., так и новые (касающиеся, в частности, неполного вырождения о.у., лемма 6.2.3).

Коротко остановимся на результатах последней главы 7, посвященной связанным с ф.в.у. оптимизационным задачам с ограничениями. Пусть U С R' - ограниченное множество, V = Т>и и для уравнения (*) выполняются условия К). Будем считать, что А : Lp>m Lq¡¡ -л.о.о. при некоторых р € [l,oo), q € [р, оо], причем А имеет мажоранту В : Lp -4 Lq такую, что С Считаем, что как оператор, дей-

ствующий в Lp, оператор В квазинильпотентен, а его сужение, действу-

ющее в пространстве обладает V<5 > 0 вольтерровской 5-цепочкой. Пусть для (*) множество fl = i! (П) ф 0. Пусть Y - некоторое банахово пространство, Ф[.] : L^j Y - непрерывно дифференцируемый по Фреше оператор, S - выпуклое тело в Y, ". Lq<\ -+ R - непрерывно дифференцируемый по Фреше функционал (: = 0,1,...,к). Положим Ji[u] = Ф.ИК]] {i = 0,1,..., к), ОД = Ф[Л[«„]], v е П. В §7.1 для оптимизационной задачи с фнкциональными ограничениями типа равенства и неравенства и операторным ограничением типа включения

JoM min, Ji[v] < 0 (г G l,«i), /¿Н = 0 (t 6 7cT7«), £H, v G Ct.

доказывается принцип максимума (теорема 7.1.1). Доказательство проводится по схеме, предложенной В.И.Плотниковым [П]. При этом существенным образом используются результаты §5.3 и §5.5.

В качестве конкретных примеров применения доказанного принципа максимума рассматриваются задачи оптимального управления, связанные с управляемой первой н.к.з. для параболического уравнения (15), (16). Пусть ш(.) € Loo(Q) - фиксировано, v(.) G Vu■ Старшие коэффициенты считаем гельдеровскими. Пусть: G,(.) : R —> R - гладкие

функции, г = 0,1,...,«. Для v £ 7^(П) положим ./¿[к] = / Gi(xu(t))dt,-

П

i = 0,1,..., к, где xv (.) -обобщенное из решение н.к.з., отвечающее управлению v. Т.к. решения н.к.з. непрерывны в замыкании любого множества П^>(Т = Q X (£,сг), ( € (0,с), то формула £[г>](.) = г„(.,сг), v € 72.(11), определяет оператор /С[.] : 7^(Г1) —f C(Q). Пусть Е - выпуклое тело в пространстве C(Q). Рассматривается оптимизационная задача с фазовым ограничением типа включения

Jo[i>] -4 min, /¿[г/] <0, t € 1, м; Ji[и] =0, г 6 + 1,к; /С[г>] € Е, v 6 Щи).

Результат распространяется на случай, когда правые части зависят от производных xti, i = 1,...,п. В случае, когда фазовое ограничение отсутствует, старшие коэффициенты можно считать измеримыми.

В §7.2 доказываются теоремы существования минимизирующих обобщенных решений и минимизирующих приближенных решений в смысле Дж.Варги [В] оптимизационных задач, связанных с функциональными уравнениями вида (*).

В дополнение помещены: краткий обзор известных автору определений вольтерровости операторов; вариант теоремы о неявном операторе,используемый в §4.1; сведения из теории тензорных произведений, используемые в главе 6.

Основные результаты диссертации

1) Введено новое понятие "функциональный оператор, вольтерров на системе множеств", являющееся естественным многомерным обобщением известного понятия "оператор, вольтерров по А.Н.Тихонову". Новое понятие является полезным инструментом изучения функциональных уравнений (в частности, в вопросах устойчивости существования глобальных решений (у.с.г.р.) таких уравнений) и функциональных операторов (в частности, в вопросах, связанных со свойством квазинильпотентности операторов).

2) Введена новая конструкция "функциональное вольтеррово уравнение типа (*)". Показано, что описание распределенных управляемых систем с помощью формы (*) адекватно многим проблемам теории оптимального управления распределенными системами (см. п.п. 3) - 8)). Показано, что с помощью обращения главной части к уравнениям типа (*) сводятся начально-краевые задачи (н.к.з.) для нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с частными производными весьма широкого класса. В частности, сюда относятся разнообразные н.к.з. для гиперболических и параболических уравнений при весьма общих условиях па коэффициенты главных частой и при понимании решения в обобщенном смысле, н.к.з. для разнообразных уравнений с запаздыванием, интегро-дифференциальных уравнений типа уравнений переноса и других. Это позволило получи гь целый ряд новых конкретных результатов в теории оптимального управления такими н.к.з..

3) Получены общие условия у.с.г.р. функциональных вольтерровых уравнений (ф.в.у.) по возмущению управляющих воздействий, которые могут осуществляться через посредство функциональных параметров и операторов. Это позволило доказать ряд новых достаточпых условий у.с.г.р. для конкретных управляемых н.к.з..

4) Показано, что с помощью ф.в.у. и теорем у.с.г.р. можно преодолевать сингулярность (в смысле Ж.-Л.Лионса) распределенных управля-

емых систем и получать необходимые условия оптимальности (н.у.о.) для таких систем классическим способом. В диссертации решен ряд задач о получении "сингулярных систем оптимальности", поставленных в известной монографии Ж.-Л.Лионса "Управление сингулярными распределенными системами", М.: Наука, 1987.

5) Предложен способ вычисления вариаций функционалов и операторов распределенных оптимизационных задач, основанный на представлении управляемых н.к.з. в виде ф.в.у.. Этот способ охватывает, в частности, случай нелинейных каратеодориевских "правых частей" при понимании решения н.к.з. в обобщенном смысле.

6) Получены н.у.о. типа принципа максимума для достаточно общей задачи оптимального управления распределенной системой, описываемой управляемым ф.в.у., с функциональными и операторными ограничениями. Как частный случай он включает, например, принцип максимума для оптимизационной задачи с функциональными и фазовыми ограничениями, связанной с н.к.з. для нелинейного параболического уравнения при условии Каратеодори на правую его часть и понимании решения н.к.з. в обобщенном смысле.

7) Предложен аксиоматический подход в теории вариаций функционалов оптимизационных задач на основе аксиоматического описания способов варьирования управления. Это позволило единообразно рассмотреть целый класс способов варьирования и соответствующих им н.у.о. первого и более высоких порядков (случай особых управлений).

8) Введено новое понятие " сильно вырожденное особое управление". Показано, что для распределенных задач оптимизации достаточно характерно сильное вырождение особых управлений, когда вместе с н.у.о. 1-го порядка (например, поточечным принципом максимума) вырождаются и н.у.о. 2-го порядка. Это происходит, если задача устроена "не слишком сложно". Для сильно вырожденных особых управлений на основе ф.в.у. и теории тензорных произведений лебеговых пространств предложен способ компактной унификации построения н.у.о., позволивший с единых позиций взглянуть на известные н.у.о. особых управлений сосредоточенных и распределенных систем, и получен ряд новых н.у.о. особых управлений для распределенных систем.

9) Введено новое понятие "вольтерровская 5-цепочка" функционального оператора, удобное в теории у.с.г.р. для ф.в.у.. С его помощью для операторов, действующих в идеальных пространствах измеримых функ-

ций, сформулирован и доказан признак квазинильпотентности, удобный в приложениях и более общий по форме, чем известный признак П.П.Забрейко. Введено и изучено новое понятие "равностепенно ква-зипильпотентное семейство операторов", оказавшиеся полезным в теории у.с.г.р. для ф.в.у..

Основные публикации по теме диссертации

1. Сумин В .И. Об устойчивости существования глобального решения первой краевой задачи для управляемого параболического уравнения //Дифференц. уравнения. 1986. Т.22. А/^9. С.1587-1595.

2. Сумин В.И. Удобная операторная форма описания распределенных управляемых систем / Методы оптимизации и их приложения. Сб. науч. тр. СЭИ СО АН СССР. Иркутск. 1988. С.94-103.

3. Сумин В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // ДАН СССР. 1989. Т.305. С.1056-1059.

4. Сумин В.И. Проблемы устойчивости распределенных управляемых систем / Международная шк.-семинар по методам оптимизации и их приложениям. Тезисы докл. Иркутск. 1989. С.188-189.

5. Сумин В.И. Функционально-операторные уравнения Вольтерра. в проблеме устойчивости существования глобальных решений краевых задач. В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Межвуз. сб. научных тр. / ГГУ. Горький. 1989. С.14-20.

6. Сумин В.И. Об обосновании градиентных методов для распределенных задач оптимального управления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т.30. МЧ. С.3-21.

7. Сумин В.И. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26. ЛГМ2. С.2097-2109.

8. Сумин В.И. Функционально-операторные уравнения Вольтерра и устойчивость существования глобальных решений краевых задач // Укр. матем. журн. 1991. Т.43. ЯЧ. С.555-561.

9. Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в распределенных задачах оптимизации // ДАН СССР. 1991. Т.320. Л/^2. С.295-299.

10. Сумин В .И. Об особых управлениях в распределенных задачах оптимизации. В кн.: Методы прикладного функционального анализа. Межвузовский сб. / Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. 1991. С.82-88.

11. Сумин В.И. Функциональные уравнения Вольтерра и теория оптимального управления распределенными системами. В кн.: XVI Всес. шк. по теории операторов в функциональных пространствах. Материалы к лекциям. Н.Новгород. 1991. С.115-135.

12. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть I. Вольтерровы уравнения и управляемые начально-краевые задачи. Монография. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1992. 110с.

13. Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в задачах оптимизации распределенных систем /[ Оптимизация. Сб. научн. тр. ЛЛ^52 (69). Новосибирск: 1993. С.74-94.

14. Сумин В.И. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач / Второй междунар. семинар "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации"(Челябинск, 24-30 мая 1993). Тезисы докл. Челябинск: ЧТУ. 1993. С.132-133.

15. Сумин В.И. Удобная форма описания распределенных управляемых систем // Математическое моделирование и оптимальное управление. Межвузовский сб. научн. тр. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1994. С.5-17.

16. Сумин В.И. О функциональных вольтерровых уравнениях // Изв. вузов. Математика, 1995, Л/"-9, С.67-77.

17. Сумин В.И. Об устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач для нелинейных гиперболических уравнений / "Понтрягинские чтения - IX". Тезисы докл. шк. Воронеж: ВГУ. 1998. С.100.

18. Сумин В.И. О расширении оптимизационных задач, связанных с функциональными уравнениями в пространствах существенно ограниченных функций /J Вестник Нижегородского университета. Математическое моделирование и оптимальное управление / Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1998. Л/"-1 (18), С.126-133.

19. Сумин В.И. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах // Вестник Нижегородского университета. Математическое моделирование и оптимальное управление / Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1998. AfS-2 (19), С.138-151.

20. Сумин В.И. Об устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными / Международная конференция, посвященная девяностолетию со дня рождения Л.С.Понтрягина. Тезисы докладов. Оптимальное управление и добавления. - М.: Изд-во МГУ. 1998. С.259-261.

21. Сумин В.И. Об управляемых функциональных вольтерровых уравнениях в лебеговых пространствах / Нижегородский ун-т. Нижний Новгород. 1998. 96с. Деп. в ВИНИТИ 03.09.98. ЛД2742-В98.

22. Sumin V.I. Volterra functioned equations find optimal control theory of distributed systems. Abstracts of IFIP Conference "Modellijig and optimization of distributed parameter systems with applications to engineering", Warsaw, Poland, July 17-21, 1995. System Research Institute, Polish Academy of Sciences, Warsaw, Poland. 1995. P.154-155.

23. Морозов С.Ф., Сумин В.И. Нелинейное интегро-дифференциальное уравнение нестационарного переноса // Матем. заметки. 1977. Т.21. Л^. С.665-676.

24. Морозов С.Ф., Сумин В.И. Нелинейные интегро-дифферешшальн-ые системы уравнений нестационарного переноса // Сиб. матем. журн. 1978. Т.19. С.842-848.

25. Морозов С.Ф., Сумин В.И. Оптимизация нелинейных процессов переноса // ДАН СССР. 1979. Т.247. ЛЛЧ. С.7Э4-798.

26. Морозов С.Ф., Сумин В .И. Оптимизация нелинейных систем теории переноса // Ж. вычислит, матем. и матем. физ. 1979. Т.19. ЛЛ4. С .99-111.

27. Морозов С.Ф., Сумин В.И. Нелинейная система переноса спайков в статистических нейронных ансамблях // Дифференц. уравнения. 1979. Т.15. №-9. С.1661-1666.

28. Плотников В.И., Сумин В.И. О первой вариации и сопряженной задаче в теории оптимального управления // Функциональный анализ и его приложения. 1976. Т. 10. Вып.4. С.95-96.

29. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация распределенных систем в лебеговом пространстве // Сиб. матем. ж. 1981. Т.22. ЛУ^б.

C.142-iei.

30. Сумин В.И., Чернов A.B. О некоторых признаках квазинильпотентности функциональных операторов // Изв. вузов. Математика. 1998 (принято к печати).

31. Сумин В .И., Чернов A.B. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность // Дифференц. уравнения. 1998. Т.35. А/^Ю.