Точные оценки в интегральных теоремах о среднем значении тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ8 ОД

Па правах рукописи

- 5 ИЮН 1995

УДК 517.38

Никоноров Юрий Геннадьевич

ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ В ИНТЕГРАЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ

01.01.01. — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1995

Работа выполнена в Институте математики СО РАН.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Ионин В.К. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Медных А.Д.; доктор физико-математических наук, профессор Цецохо В.А.

Ведущая организация - Алтайский государственный университет

Защита состоится__ 1995г. в _час. на заседание

Специализированного Совета К 002.23.02 по присуждению ученой сте пени кандидата физико-математических наук в Институте Математики СО РАН по адресу:

630090, Новосибирск-90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослал__ 1995г.

Ученый секретарь Специализированного совета при Институте математики СО РАН кандидат физико-математических наук

В.В.Ивано!

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена изучению месторасположения точек среднего значения непрерывных функций в теоремах о среднем значении. Наиболее четко постановка такой задачи проявилась в связи с теоремами Лагранжа, Коти и представлением ряда Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Другой тип таких теорем - интегральные теоремы о среднем значении. Основным источник«*.? иптсрссак та^ий хсм« послужили я«» гинотвчн У.К.Испила, доказательству которых посвящены работы [1] и [3]. Анализ этих доказательств привел к достаточно общей постановке задачи, в которой все конструкции стали более наглядными и компактными. Рассматриваемые в диссертации задачи могут быть отнесены к теории дифференциальных и интегральных неравенств с отклоняющимся аргументом.

Первая гипотеза В.К.Ионина выглядела следующим образом:

Для произвольной непрерывной на отрезке [0,1] функции f выполняется неравенство

ТЕГ^ > е-1,

х—»0 X

где £(х) определяется как максимальное из чисел г £ [0, ж], для которых выполняется равенство

/до л = */(т).

о

Истинность этой гипотезы была показана в [1]. В результате развития идей этой статьи появилась работа [2]. Главным результатом проделанной работы является доказательство нетривиального асимптотического поведения точек среднего значения. Представленные в диссертации результаты убедительно свидетельствуют в пользу дальнейшего изучения интегральных уравнений и неравенств с отклоняю щимся аргументом.

Цель работы. Целью данной работы является развитие метода пор-лучения асимптотических оценок поведения точек среднего значения в интегральных теоремах о среднем.

з

Общая методика исследования. В диссертационной работе используются методы теории функций вещественной и комплексной переменных. Основным методом являются теоремы сравнения решений интегральных неравенств и интегральных уравнений с отклоняющимся аргументом.

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в получении принципиально новых точных оценок асимптотического поведения точек среднего значения.

Теоретическая ценность. Теоретическая ценность результатов диссертации заключается в применимости их к получению оценок в классических теоремах математического анализа, таких как теоремы Лагранжа и Тейлора, первая интегральная теорема о среднем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН под руководством академика Ю.Г.Решетняка, на семинаре лаборатории качественной теории дифференциальных уравнений ИМ СО РАН под руководством профессора Т.И.Зелсняка, на семинаре кафедры математического анализа Алтайского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 3].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 83 страницах и состоит из введения, восьми параграфов и списка литературы. Библиография включает 9 наименований.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, восьми параграфов и заключения. Во введении кратко излагаются основные результаты диссертации. В § 1 обсуждается первая гипотеза В.К.Ионина и доказывается несколько более общий факт.

4

В § 2 рассматривается общая постановка задачи о месторасположении точек среднего значения. Пусть С(0,1]—линейное пространство вещественнозначных непрерывных функций на промежутке (0, 1], Л (0,1]— некоторое его подпространство.

Рассмотрим линейный оператор С, : /1(0,1] —+ С(0,1], обладающий следующим свойством.: если /(<) < </(<) при 0 < < < ж, то

ж--. 4 > у* г >

Ах> > ■

Если оператор С действует из С[0,1], то для любой функции из области определения выполняется теорема о среднем значении.

Теорема о среднем значении. Для произвольной непрерывной на отрезке [0,1] функции / существует единственная функция £ : (0,1] -+ # такая, что

1) а<£(х)<х,

2) £(/)(х) = №х))£(1){х) при 0<х<1,

3)если £(я) <1<х, то £(/){х) ф /(«)>С(1)(лг)

Под символом £(1) понимается образ функции, тождественно равной единице, при действии оператора С.

В общем случае мы для любой функции / € А(0,1] будем понимать под £(х) максимальное из чисел т € (0,ж], для которых выполняется равенство:

/(г)£(1)(я) = £(/)(*) .

Если таких т не существует, то полагаем £(х) = 0. Очевидно, что функция £(х), построенная по /, несет некоторую информацию о поведении / в окрестности нуля. Цель нашего исследования— установить более конкретно эту зависимость. Мы сконцентрируем свое внимание на простейшей содержательной асимптотической характеристике функции / — величине £(/) = Пт^. Интересующая нас задача в наиболее общей формулировке звучит так: исследовать зависимость между £(/) и поведением функции в окрестности нуля.

Предположение о том, что £(/) < д с необходимостью влечет то, что либо /, либо -/на некотором промежутке (0, а] является решением

неравенства:

С{д){х) < д(рх)С(1)(х) , q < Р < 1 t0 < х < а . (2)

Если в рассматриваемом нами пространстве Л(0,1] нет решений такого неравенства, то можно сделать вывод о том, что L(f) > q для всех /6А( 0,1].

Основными неравенствами из тех, которые исследуются в этом параграфе, являются следующие:

C(f)(x) < f(x)C(l)(x) , (3)

C{f)(x) < f(qx)C(l)(x) , (4)

£(/)(*) < /ЫА 1)(*) • (5)

Мы рассматриваем их на некотором промежутке (0, а] и предполагаем, что 0 < q < 1.

Заметим, что исследование решения вышеприведенных неравенств производится без каких-либо предположений о выполнимости теоремы о среднем значении. Одним из результатов данного параграфа является

Теорема 2.4. Пусть для всех а > 0 функции —ха принадлежат Л(0,1] и удовлетворяют неравенству (4), f Е А(0,1], /(ж) = 0(1), тогда на промежутке (0,а] существует точка xq, в которой £(xq) > qx 0.

В следующем § 3 исследуется вопрос о месторасположении точки среднего значения непрерывной функции для первой интегральной теоремы о среднем значении. Пусть L+[0,1] обозначает множество неотрицательных интегрируемых функций на отрезке [0,1] . Для / : [0,1] R обозначим через limess/(x) точную нижнюю грань таких t € R, для которых f(x) < t почти всюду на некотором отрезке [а,<$] С [а,Ь]. Аналогично limessf(x) есть точная верхняя грань таких t € R, для которых f(x) > t почти всюду на некотором отрезке Ml с (а, 6].

Пусть а е L+[0,1], / - непрерывная на отрезке [0,1] функция. По / определим функцию ( : [0,1] R следующим образом: для произвольного х £ (0,1] t) — максимальное из чисел г (Е (0,я], удовлетворяющих равенству

Г X

[a(t)f(t)dt = f(r) f a(t)dt .

л '

Заметим, что интегральный оператор с неотрицательным ядром а попадает в класс операторов, рассмотренных в предыдущем параграфе.

Рассмотрим Т : Z/+[0,1] —*■ R, для произвольной функции а € £+[0,1] Т(а) — максимальное из таких чисел t, что для произвольной непрерывной функции / выполняется неравенство lim^ > t, где £(а:) определяется по функции /. Очевидно, что Т(а) G [0,1] . Точно также определяется и функционал Та (а > 0), только в этом случае в качестве / берутся только те непрерывные на отрезке [0,1] функции, которые в нуле удовлетворяют условию f(x) = 0(ха). Этот параграф посвящен изучению оценок на значения функционалов Т и Та. Сформулируем основные результаты. Чтобы не разбирать некоторые специальные случал, будем считать, что | = 0.

х

f a(t)dt _

Теорема 3.1. Пусть а € L+[0,1], с = lim ess 0 , . , С = limess

x—Q ^ ^ лг—*0

*

/ a(t)dt

2—рг, тогда

е~с < Т(а) < е~с.

J a(t)dt

Теорема 3.2. Пусть а е L+[0,1], с = limess , С = limess

]a(t)dt

тогда

(1 + Ca)-« < Та(а) < (1 + ca)~«.

Теорема 3.3. Функционалы Т и Та принимают все значения на отрезке [0,1].

Объектом исследования в §4 являются операторы специального вида:

г

£(/)(х) = j A(t,x)f(tx)dt , 0 < х < 1 ,

о

где A(t,x) для любого х 6 (0,1]— неотрицательная суммируемая по переменной t на отрезке [0,1], причем A(t, х) непрерывно изменяются

как функции из Loo[Q, 1] при изменении параметра х, / A(t,x)dt = 1. В

качестве Л(0,1] мы берем множество непрерывных и интегрируемых на промежутке (0,1] функций.

Мы предположим, что A(t,x) сходится в Li-слабой топологии к некоторому ядру a(t) € ¿оо[0,1] при г -> 0, которое, очевидно, будет почти всюду неотрицательно. Предположение о существенной ограниченности функции а можно во многих случаях ослабить.

Пусть д(а) = (f a{t)tadt)l'a при а ф 0 и д(0) = е° . Эта

о

функция используется и в следующих параграфах. В этом параграфе основными являются следующие теоремы.

Теорема 4.1. Пусть f(x) = 0(xß), где ß > 0, тогда L(f) > q(ß).

Теорема 4.2. Пусть f A(t,x)lntdt —»• /a(i)lnfrf* при x —> 0, тогда о о

если f(x) = 0(1113;), то L(f) > g(0).

Теорема 4.3. Пусть A(t,x) —► a(t) Ьр-слабо, где р > (1 + а)-1, и пусть }(х) = 0(ха), тогда L(f) > q(a).

Эти теоремы обобщают результаты В.В.Иванова, которые относятся к случаю, когда ядро A(t,x) рассматриваемого интегрального оператора не зависит явно от переменной х.

Заметим, что если ядро имеет некоторую регулярность в нуле, то функционал может быть определен на более обширном множестве функций. Допустим A(tyx) = a(t) = 0(tß) в окрестности нуля, тогда функционал естественно определить для функций /(х) = 0(х7), где 7 > -1 — ß. Для такого случая справедлива следующая

8

Теорема 4.4. Если f(x) — 0(х7), где 7 > —1 — 0, то

1 1/7

L(f)>(J a(t)t4t) .

о

Все оценки в теоремах данного параграфа точны. R ицргтво r»™.™, ¡тссттля paccMü.T¡j¡índica случай интегрального лтурггтора с регулярным ядром, также доказываются несколько более сильные утверждения для операторов с почти всюду положительным ядром.

В §5 мы исследуем многомерный аналог теоремы о среднем значении.

Рассмотрим единичный шар В = {£ € Rn | ||<|| < 1} (в этом параграфе мы предполагаем, что п > 2 ), функцию /, непрерывную на В, а.

также неотрицательную функцию А : В х [0,1] —► Я, A(t, х) класса LIX1 для scex х £ (0,1]. Тогда может быть сформулирована многомерная

Теорема о среднем. Для любого х € (0,1] существует т € хВ такое, что

I A(t,x)f(xl)dl = /(т) I A(t,x)dt . в в

Рассмотрим для каждого х £ (0,1] - максимум норм таких г.

Заметим, что теорема о среднем в приведенном здесь варианте выполняется не только для непрерывных на шаре В функций, но и в более общих случаях. Поэтому в этом параграфе мы имеем дело с функциями, которые непрерывны на множестве В \ {0} и интегрируемы по шару В.

Предположим, что A(t,x) не зависит явно от х, т.е. A(t,x) = a(t), и, кроме того, a(t) — сферически симметричная функция, a(í) = b(p), где р = (tj + íj + — + Ь (0,1] R• Предварительно еще введем

1 1/о

функцию q : (—п,+00) следующим образом: q(a) = (f crb(p)pn+a 1dp)

о

i

, Г. Ir.ч J еКр)р%-Чл pdp

при а ф 0 и </(0) = е»

Теперь мы можем сформулировать основную теорему параграфа.

Теорема 5.1. Если /(х) = о(1и ||х||), то 7(0), если же

/(ж) = 0(||х|П при а > -п, то Ет^ > д(а). Интересным следствием является

Теорема 5.2. Пусть для каждого х из промежутка (0,1] &(*) = I Г 6 хВ, / /(*)Л = /(г»(Я)} ,

хВ

где ц{В)~ мера Лебега шара В. Тогда

> е~>.

х—>0 х

Нетрудно показать, что оценки в обеих теоремах неулучшаемы. Следует отметить также, что теорема 5.2 перестает быть верной при п = 1. Для этого достаточно рассмотреть функцию у(х) = х на отрезке [—1,1]. Причина такого явления - несвязность сферы 5"1-1 при п = 1.

§6 посвящен кругу вопросов, связанных с гипотезой В.К.Ионина о точках Лагранжа в формуле Тейлора. В их изложении мы следуем работе [3].

Рассматривается вещественная функция /, непрерывно дифференцируемая п — 1 раз на некотором промежутке числовой прямой, содержащем точку 0, и всюду на этом промежутке, если не считать указанную точку, обладающую производной порядка п. Для х ф 0 символом $п(х) обозначим верхнюю грань тех чисел в из интервала 0 < в < 1, для которых

= + (6)

ыо

Предметом нашего исследования является простейшая асимптотическая характеристика расположения точек Лагранжа, определяемая равенством

£„(/) = Щвл(х).

Без дополнительных предположений о поведении функции / в окрестности нуля, величина Ьп(/) может оказаться равной любому числу из

Ю

отрезка [0,1]. Гипотеза В.К.Ионина заключалась в предположении, что для функции /, которая имеет производную порядка п и в нуле, выполняется неравенство

Для п = 1 это утверждение было доказано Ю.Г.Никоноровым [1],

Milu II iinuinnm.unTYi т» от ппмччп Y1 11ТПП

Более точно зависимость характеристики Ln(f) от поведения функции в окрестности нуля передает

Теорема 6.2. Если асимптотика f(x) при х —► 0 описывается формулой f(x) = 0(хп+а) для какого-либо а > —1, то L„(f) > qn(a). В последней теореме участвуют величины

qn(a) = [(1 + «)(1 + «/2)...(1 + а/п)]"1'*

при аф 0 и

дв(0) = \\mqn[a) = e-(1+3+-i-) .

а—>0

при а = 0. Доказательство последней теоремы в случае а < 0 было впервые проведено В.В.Ивановым.

§7 посвящен одному виду интегрального оператора с неположительным ядром.

Рассмотрим функцию а € £«>[0,1] такую, что ¡ a(t)dí > 0 , / a(t)dt >

0 í

0 для всех £ € (0,1]. Очевидно, что а может быть знакопеременной. Рассмотрим оператор

i

£(/)(*) = / a(t)f(tx)dt ,

о

определенный на множестве непрерывных и суммируемых на промежутке (0,1] функций.

Заметим, что если функция / монотонная, то выполняется следующая

Теорема о среднем. Пусть /— непрерывная и монотонная функция на промежутке (0,1]. Тогда существует такое т € [0,1], что

1 1 I а(<)/(*)л = /(г) I а(г)Ж .

Согласно этой теореме для монотонной функции / и для любого ж € (0,1] мы можем определить ¿(ж) — максимальное из чисел т 6 [0, ж] таких, что

1 1 / а(*)/(<®)Л = /(г) ! а{1)<И . о о

Справедлива следующая

Теорема 7.1. Пусть / — монотонная, непрерывная и суммируемая на промежутке (0,1] функция, тогда

-1

ТшТ^М > (|а{1)гЩ Iа(*)Л

Оценка в этой теореме точная, для того, чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть функции /(ж) = ха (а > -1).

В заключительном §8 мы остановимся на исследовании свойств решений интегральных уравнений вида 1

У а(1)1(гх)(И = /(?ж) , 0 < х < 1 , (12)

о

где я — неотрицательная, суммируемая и существенно ограниченная

функция на отрезке [0,1], /а(*)Л = 1. Будем также предполагать,

о

что не существует такой окрестности нуля, в которой а{1) = 0 почти всюду. В качестве / будем рассматривать функции непрерывные на промежутке (0,1] и такие, что указанный в уравнении интеграл существует. Такие функции, очевидно, образуют линейное пространство.

При = 1 доказанные прежде результаты позволяют заключить, что при /(ж) = о(1пж) > 1/е , где £(ж) — крайняя правая точка

х—*0 *

среднего значения функции / на отрезке [0, х]. Таким образом, очевид но, что если / ограниченная строго монотонная функция, то она не может являться решением уравнения (12) при а(х) = 1 и 0 < q < 1/е. Но это рассуждение не распространяется на класс осциллирующих функций, и, действительно, как будет ясно из дальнейшего, среди функций такого вила существует бесконечномерное подпространство решений

"1"1П1ГТ1П1УЛ лгтл^а пиои и и

V ............................ i ' ........

Теорема 8.1. Пусть функция h - решение уравнения (12), д - решение неравенства J a(t)f(tx)dt < f(qx) с одним и тем же q, причем

д{х) —у +оо при х 0, a h(x) = о{д{х)). Тогда h - ограниченная функция.

Теорема 8.2. Пусть q = q(a), где а > 0, и функция f является решением уравнения (12). Тогда если f(x) = о(1) в нуле, то существуют такие константы С\ и Ci, что С\ха < f(x) < С-2Ха на промежутке (0,1].

Заметим, что если для некоторого комплексного а выполняется равенство }a(t)tadt — qa, то fi(x) — Re(xa) и f2{x) — Im(xa) будут о

вещественными решениями нашего уравнения. Под выражением та, где г > 0, а а комплексное число, мы подразумеваем е0,1117", где 1п т-обычный вещественный логарифм.

Можно попытаться найти решения нашего уравнения, решая в комплексной плоскости уравнение

i

I a(t)tadt = qa (13)

о

Теорема 8.3. Пусть q = q(¡3) и /? ф 0. Тогда не существует i

решений уравнения J a(t)tadt = q" таких, что Rea лежала бы строго о

между /3 и нулем.

Пусть q* = limq(a), Dc — {а | Rea > c,Ima > 0}. Теорема 8.4. Пусть в области De преобразование Лапласа функции я(е_г) имеет конечное число нулей. Тогда для любого q Е (0,q*) уравнение (13) в этой области имеет бесконечное число решений.

Публикации по теме диссертации

1. Никоноров Ю.Г. Об интегральной теореме о среднем // СМЖ, 1993, Т.34, N6, с.150-152.

2. Никоноров Ю.Г. О точных оценках в первой теореме о среднем // Докл. РАН, 1994, Т.336, N2, с.168-170.

3. Иванов В.В., Никоноров Ю.Г. Асимптотика точек Лагранжа в формуле Тейлора // СМЖ, 1995, Т.36, N1, с.86-92.