Точные решения в многомерных моделях гравитации

Иващук, Владимир Дмитриевич

Точные решения в многомерных моделях гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Иващук, Владимир Дмитриевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Точные решения в многомерных моделях гравитации»

Автореферат диссертации на тему "Точные решения в многомерных моделях гравитации"

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-2003-54

На правах рукописи УДК 530.12; 531.51

ИВАЩУК Владимир Дмитриевич

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ МОДЕЛЯХ ГРАВИТАЦИИ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Дубна 2003

Работа выполнена во Всероссийском научно-исследовательском институте метрологической службы (ВНИИМС)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор И.Л. Бухбиндер

доктор физико-математических наук

профессор Д.В. Гальцов

доктор физико-математических наук

профессор В.И. Деписов

Ведущее научно-исследовательское учреждение: Институт ядерных исследований РАН, г. Москва

Защип состоится "_"_2003 г. в_

час. на заседании диссертационного Совета Д 720.001.01 при Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований по адресу: 141980, Московская обл., г. Дубна, ЛТФ ОИЯИ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯИ.

Автореферат разослал "_"_2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета хр

доктор физико-математических наук t/vc^v

G.B. ГЬлоскоков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актугшьность темы.

Достижения современной астрофизики и космологии (наблюдения компактных космических объектов, анализ реликтового микроволнового фона, данные по ускоренному расширению Вселенной) обуславливают актуальность теоретических исследований физических явлений в сильных гравитационных полях в различных теориях гравитации, а также построение непротиворечивых космологических моделей. Можно выделить следующие основные направления такого рода исследований: 1) поиск точных решений уравнений гравитационного поля с материальными источниками в различных теориях гравитации; 2) исследование свойств точных решений, включая их поведение вблизи сингулярности; 3) изучение квантовых свойств гравитационного поля, в т.ч. на примере "космологических" метрик; 4) анализ свойств квантовых полей, взаимодействующих с гравитацией. Первые три направления представлены в данной диссертационной работе; особое внимание уделяется сферически-симметричным решениям и решениям космологического типа.

Фундаментальной задачей современной теоретической физики, как полагают, является объединение взаимодействий, включая гравитацию. Современные теории объединения предполагают существование дополнительных измерений пространства-времени и различных физических полей, прежде всего скалярных и векторных, помимо метрического поля. Это, а также некоторые известные трудности, присущие общей теории относительности (ОТО) (проблема энергии гравитационного поля, не-перенормируемость квантового варианта ОТО), привело к появлению целого ряда альтернативных ОТО теорий гравитации — многомерных, скалярно-тензорных, би-метрических и т. д. Возникает необходимость получения точных решений в альтернативных теориях, а также сравнения свойств точных решений различных теорий и их наблюдательных предсказаний, включая прямые наблюдательные следствия "много-мерия". Ряд задач такого рода рассматривается в данной диссертации, в частности, гравитационные аспекты наиболее актуальных теорий объединения взаимодействий — суперструнных и супермембранных теорий, гипотетической "М-теории" и их возможных обобщений. ,---

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ 1 БИБЛИОТЕКА | 1 С-Петербург/ух^ |

09 1<Х>3 «кт/ ¿ЫЛ

Целью диссертации

является разработка сигма-модельного и лагранжевого подходов для широкого класса моделей многомерной гравитации с блок-диагональной метрикой, а также поиск новых точных решений (с источниками в виде скалярных, полей форм и многокомпонентной " идеальной" жидкости) и анализ поведения решений вблизи сингулярности.

Научная новизна диссертации.

Центральным результатом диссертации является разработка сигма-модельного и лагранжевого подходов для поиска точных решений в моделях многомерной гравитации с блок-диагональной метрикой и цепочкой "внутренних" пространств Эйнштейна и применение этих подходов при нахождении новых классов точных решений в многомерных гравитационных моделях.

В диссертации найдены новые семейства точных (классических и квантовых) решений на многообразиях с цепочкой риччи-плоских внутренних пространств в задачах космологии и сферической симметрии в случае материальных источников в виде скалярных полей, полей форм и многокомпонентной "идеальной" жидкости, а также получен ряд семейств решений, управляемых гармоническими функциями.

При решении задач космологии и сферической симметрии, в диссертации развит весьма общий подход сведения многомерной модели к лагранжевой системе типа • (псевдоевкидовой) цепочки Тоды. Потенциал лагранжевой системы определяется некоторым набором векторов {/г. Интегрируемость лагранжевой системы (и, как следствие, исходных полевых уравнений) определяется скалярными произведениями векторов по отношению к минисуперметрике: (иг,из). При определенных значениях (иг, 11") возможно сведение рассматриваемой системы к евклидовой цепочке Тоды, отвечающей некоторой полупростой конечномерной алгебре Ли. Для точных решений с полями форм и скалярными полями предложенный метод "скалярных произведений" дает простое объяснение известных правил пересечений р-бран и позволяет обобщить их на случай произвольных (конечномерных) полупростых алгебр Ли. Сведение задачи о сферически-симметричных решениях в модели с /ьбранами к евклидовым цепочкам Тоды при пересечениях р-бран, отвечающих алгебрам Ли Ат (т = 1,2,..), приводит к обнаружению семейства решений с горизонтом, которые управляются набором полиномиальных функций. Число полиномов равно рангу алгебры Ли, а их степени вычисляются по матрице Картана.

Важным результатом диссертации является также разработка бильярдного подхода в многомерной космологии (с многокомпонентной идеальной жидкостью и р-бранами). Вблизи особой точки (сингулярности) динамика космологической модели

эффективно сводится к движению точки в бильярде, построенном в пространстве Лобачевского. Это позволяет описывать осциллирующее поведение масштабных факторов вблизи сингулярности, подобно тому, как это имеет место в модели типа Бьянки-IX.

Научная и практическая ценность работы.

> Полученные точные решения и примененные методы решения могут быть в даль-

нейшем использованы для построения и изучения новых многомерных моделей с различными симметриями. Многие результаты получены для моделей достаточно общего вида с произвольными размерностями, сигнатурами фактор-многообразий, в широком классе полей и других материальных источников. Изложенные точные решения, сигма-модельный подход, сведение к системам типа цепочек Тоды, анализ групп симметрий пространства мишеней, бильярдный подход к исследованию поведения вблизи сингулярности, и другие результаты могут быть включены в университетские курсы классической и квантовой теории гравитации.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Получено сигма-модельное представление со связями для гравитирующей системы композитных р-бран в многомерной гравитационной модели со скалярными полями и внешними формами. Исходная модель определена на многообразии М0 х М\ х ... х Мп, где "внутренние" пространства М,, I > 1, суть пространства Эйнштейна, метрика берется в блок-диагональном виде, и все поля и масштабные факторы метрики являются функциями на М0. В "чисто" электрическом и магнитном случаях число связей равно т(т —1)/2, где т - число одномерных внутренних пространств. В "электромагнитном" случае, когда размерность Мд равна 1 или 3, возникает т дополнительных связей. Сформулированы ограничения на пересечения р-бран, при которых связи удовлетворяются тождественно. Доказано, что пространство потенциалов (мишеней) сигма-модели в модели с р-бранами, является однородным пространством, причем, оно симметрично тогда и только тогда, когда [/-векторы, задающие метрику сигма-модели, либо совпадают, либо взаимно ортогональны. Для ненулевых несовпадающих [/-векторов решены уравнения Киллинга, отвечающие метрике сигма-модели.

2. Для риччи-плоских внутренних пространств и базового многообразия М0 получено семейство решений "типа Маджумдара-Папапетру", определяемых набором гармонических функций, для "блок-ортогональных" пересечений р-бран.

Эти решения обобщены на случай не-риччи-плоского М0, когда семейство внутренних пространств дополнено рядом пространств Эйнштейна ненулевой кривизны. Выделены специальные классы решений с пересечениями р-бран, отвечающими алгебрам Ли. В частном случае плоского пространства М0 размерности ¿о > 2 и гармонических функций с конечными множествами особых точек сформулированы критерии существования горизонта и сингулярности квадрата тензора Римана для полученных решений. В случае зависимости от одной гармонической функции получено семейство решений, отвечающее нулевым геодезическим метрики сигма-модели. Выделен подкласс решений, отвечающих цепочке Тоды для алгебры Ат, т = 1,2____

3. Получено общее решение полевых уравнений в модели, описывающей "космологическую эволюцию" и сферически-симметричные конфигурации системы композитных р-бран в случае нескольких риччи-плоских пространств. В квантовом случае получено многомерное обобщение уравнения Уилера-ДеВитта, имеющее ковариантный и конформно-ковариантный вид. Это уравнение проинтегрировано для "ортогональных" пересечений р-бран. Найдено семейство статических р-бранных решений, заданных на произведении нескольких пространств Эйнштейна и являющихся композитным р-бранным обобщением решений Фройнда-Рубина.

4. Получены обобщенные р-бранные аналоги чернодырных решений для широкого класса пересечений в случае риччи-плоских "внутренних" пространств. Они определяются с точностью до набора функций, являющихся решениями системы нелинейных дифференциальных уравнений, эквивалентных уравнениям типа цепочки Тоды, с наложенными граничными условиями. Высказана гипотеза о полиномиальной структуре управляющих функций в случае пересечений, отвечающих полупростым алгебрам Ли. Эта гипотеза проверена для алгебр Ли Ат, Ст+1, т = 1,2,.... Получено выражение для температуры Хокинга. Выделены частные случаи решений, отвечающие ортогональным и "блок-ортогональным" правилам пересечений. Приведены явные формулы для решений, отвечающих алгебре А2- Вычислены пост-ньютоновские параметры /3 и 7, отвечающие 4-мерному сечению метрики. Показано, что параметр ¡3 не зависит от пересечений р-бран.

5. Модель многомерной космологии с цепочкой из п пространств Эйнштейна и материей в виде т-компонентной "идеальной жидкости" сведена к лагранже-вой системе в случае, когда давления во всех пространствах пропорциональны плотности и коэффициенты пропорциональности, зависящие от масштабных

факторов, для каждой компоненты образуют потенциальное векторное поле. Получено многомерное уравнение Уилера-ДеВитта (УДВ), имеющее ковариант-ный и конформно-ковариантный вид. В случае, когда коэффициенты пропорциональности не зависят от масштабных факторов и все внутренние пространства риччи-плоские, уравнения Эйнштейна и УДВ проинтегрированы в однокомпо-нонтном случае т = 1. Для однокомпонентной "идеальной жидкости" получено обобщение классических и квантовых решений на случай безмассового скалярного поля с минимальной связью. Выделены классы решений "инфляционного" типа. В вакуумном случае найдено обобщение решения Казнера на случай п риччи-плоских пространств. Получено точное космологическое решение, описывающее " эволюцию" пространства Эйнштейна ненулевой кривизны и п — 1 риччи-плоских пространств в скалярно-вакуумном случае - с материей в виде безмассового скалярного поля с минимальной связью.

. ден квантовый аналог биллиардного представления, т.е. выписаны асимптотические решения уравнения УДВ вблизи особой точки. Получено бильярдное представление в космологической модели с р-бранами.

7. Получено обобщение решения Тангерлини на случай цепочки из нескольких риччи-плоских пространств в вакуумном и скалярно-вакуумном случаях. Доказано, что чернодырное решение имеет место только, если масштабные факторы внутренних пространств и скалярное поле постоянны, а остальные конфигурации отвечают голым сингулярностям. Получено решение для многомерной заряженной дилатонной черной дыры с цепочкой из п "внутренних" риччи-плоских пространств. Найдено ограничение (снизу) на массу черной дыры. Обнаружена независимость температуры Хокинга от размерности внутреннего риччи-плоского пространства при струнном значении дилатонной константы связи. Экстремальное решение обобщено на случай нескольких черных дыр, а также на случай ненулевой космологической постоянной.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались автором на Международных конференциях по общей теории относительности и гравитации: на Советско-американ-

ской школе молодых космологов (СССР - 1990, США - 1991), на Международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (Казань - 1992), на 58-ом съезде немецкого физического общества (Гамбург - 1994), на VII и VIII международных семинарах им. Марселя Гроссмана (Стэнфорд - 1994, Иерусалим - 1997), на международной конференции "Астрофизика и космология после Гамова" (Одесса — 1994), на международных школах-семинарах "Многомерная гравитация и космология" (Ярославль — 1994) и "Основания гравитации и космологии" (Одесса — 1995), на Всесоюзных и Всероссийских конференциях "Современные теоретические и экспе- '

риментальные проблемы теории относительности и гравитации" (Пущино — 1993, Новгород — 1996, Владимир - 1999), на I Ионовской школе (Ярославль - 1995), на \

V Международном семинаре "Квантовая теория гравитации", посвященном памяти М.А. Маркова (Москва - 1995), на семинаре "Гравитационная энергия и гравитационные волны" в ЛТФ ОИЯИ (Дубна — 1996), на Международной летней школе в Центре им. Софуса Ли (Нордфйордейд - 1996), на Международном совещании "Современные теории гравитации и космологии" (Бер-Шева - 1997), на Международной конференции по космомикрофизике "Космион - 97", посвященной памяти Я.Б. Зельдовича (Москва - 1997), на Фридмановском международном семинаре по гравитации и космологии (С.-Петербург - 1998), на Международном семинаре по математической космологии (Потсдам - 1998), на II Зимней школе по бранам, полям и математической физике (Соул - 1999), на Гамовской мемориальной конференции (Одесса - 1999), на I и II Международных школах-семинарах "Проблемы теоретической космологии" (Ульяновск - 1997, 2000), на Международной конференции "Квантование, калибровочные теории и струны" памяти Е.С. Фрадкина (Москва - 2000), на III и IV Международных совещаниях-школах "Квантовая гравитация и суперструны" (Дубна -2001, 2002), на V Международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва - 2001), на научных семинарах в МГУ, ГАИШ, ИТЭФ, ВНИИМС, в ряде университетов в Германии, США, Южной Корее, Японии.

Публикации. Диссертация написана на основе 55 работ автора, указанных в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (гл. 1), десяти глав основного текста, заключения (гл. 12), приложений и списка цитируемой литературы, включающего 345 наименований. Объем диссертации составляет 220 страниц текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1 - введение - содержит мотивировку исследований, изложенных в диссертации, и описание ее структуры.

В Главе 2 изучается сигма-модельное представление со связями, описывающее гравитирующую систему композитных р-бран в многомерной модели гравитации с действием следующего вида

5 = [ dDz^\{R[g}-2\-ha0gMNdM<padN^-YJ—,eM2U'P)}{n2} + ScH,

¿к jM абД па.

(1)

где д - метрика произвольной сигнатуры, заданная на многообразии М размерности dim М = D, ipa - дилатонные скалярные поля, а = 1,... ,1; (hnp) - невырожденная матрица, ва ф 0, Fa = dA" - внешние формы, rangF" = па> 2, А - космологическая постоянная и Лa(ip) = \аа(ра ~ 1-формы дилатонных констант связи, а 6 Д; Д -непустое конечное множество, и Sgh ~ стандартный граничный член.

При определенных составах полей с выделенными значениями общей размерности D, сигнатуры метрики, рангов па, констант дилатонных связей А„ и Л = 0 такого рода модели возникают в "усеченных" бозонных секторах (т.е. без слагаемых типа Черна-Саймонса) различных теорий супергравитации и в низкоэнергетическом пределе суперструнных моделей. Так, например, для D = 11 супергравитации, которая рассматривается сейчас как низкоэнергетический предел некоторой гипотетической М-теории, бозонный сектор содержит метрику и 4-форму (скалярные поля отсутствуют). Простейшая D-мерная теория со скалярным полем, 2-формой и константой дилатонной связи А2 = (D — 1)/(/? — 2) может быть получена размерной редукцией из (D + 1)-мерной теории Калуцы-Клейна.

В разделе 2.1. выписаны уравнения движения, отвечающие действию (1). В разделе 2.2. сформулирован анзатц для так называемых композитных р-бранных решений, определенных на многообразии

М = М0 х М1 х ... х Мп, (2)

с метрикой "блочного вида"

д = е2ф)д0 + ^е^д\ (3)

i=i

где д° = g°l/(x)dxtl ® dx" - метрика на многообразии Mq и (Мг,дг) - пространства Эйнштейна: Шс[<?'] = £tg', г — 1,...,п. Масштабные факторы и скалярные поля суть (гладкие) функции на М0, и поля форм также определяются набором скалярных

функций на М0. Всякая форма является суммой (линейно независимых) мономов, отвечающих электрическим и магнитным р-бранам (р-мерным аналогам мембран).

В разделе 2.3 получено сигма-модельное представление со связями. В "чисто" электрическом и магнитном случаях число связей равно тп(гп — 1)/2, где го - число одномерных внутренних пространств. В "электромагнитном" случае, когда размерность Мо равна 1 или 3, возникает го дополнительных связей. Сформулированы ограничения на пересечения р-бран, при которых связи удовлетворяются тождественно (п. 2.3.1).

В Главе 3 рассматриваются решения с гармоническими функциями. В разделе 3.1 для риччи-плоских внутренних пространств и М0 получено семейство решений "типа Маджумдара-Папапетру", определяемых набором гармонических функций, для "блок-ортогональных" пересечений р-бран. В п. 3.1.2 выделены специальные классы новых решений с пересечениями р-бран, отвечающими алгебрам Ли: конечномерным и гиперболическим, в т.ч. решения в 10-мерной IIА и 11-мерной моделях супергравитации, и в так называемых Вд-моделях в размерностях Б > 12. В п. 3.1.3 в частном случае плоского пространства Ма размерности ¿а > 2 и гармонических функций с конечными множествами особых точек сформулированы критерии существования горизонта и сингулярности квадрата тензора Римана для полученных решений. В п. 3.1.4 получено обобщение этих решений на случай не риччи-плоского М0, когда семейство внутренних пространств дополнено рядом пространств Эйнштейна ненулевой кривизны. В разделе 3.2 в случае зависимости от одной гармонической функции получено общее семейство решений, отвечающее нулевым геодезическим метрики сигма-модели. В п. 3.2.3 выделен подкласс решений, отвечающих цепочкам Тоды для алгебр Ат, т = 1,2____

Глава 4 посвящена классическим и квантовым решениям космологического типа с р-бранами. В раздел 4.1 рассмотрено сведение космологических уравнений к лагран-жевой динамике. В разделе 4.2 получено общее решение полевых уравнений в модели, описывающей "космологическую эволюцию" и сферически-симметричные конфигурации системы композитных р-бран в случае нескольких риччи-плоских внутренних пространств. Решения определены с точностью до решений уравнений типа цепочки Тоды. В п. 4.2.3 выделен подкласс решений для "блок-ортогональных" пересечений р-бран. В разделе 4.3 получено семейство статических р-бранных решений, заданных на произведении нескольких пространств Эйнштейна. Решения являются композитным р-бранным обобщением решений Фройнда-Рубина. Здесь рассматривается ряд примеров решений, определенных на произведении сфер, пространств Лобачевского и анти-де-ситтеровских пространств. Раздел 4.4. посвящен квантовой космологии с р-бранами. В п. 4.4.1 получено уравнение Уилера-ДеВитта, имеющее ковариантный и конформно-ковариантный вид. Это уравнение проинтегрировано для "ортогональ-

ных" пересечений р-бран (п. 4.4.2). Проведено сравнение с "полуквантовым" подходом, в котором поля форм классические (п. 4.4.3).

В Главе 5 рассматриваются чернодырные решения и их р-бранные аналоги. В разделе 5.1 получены обобщенные р-бранные аналоги чернодырных решений для широкого класса пересечений в случае риччи-плоских "внутренних" пространств. Они определяются с точностью до набора функций, являющихся решениями системы нелинейных дифференциальных уравнений (эквивалентных уравнениям типа цепочки Тоды) с наложенными граничными условиями. Получено выражение для температуры Хокинга. В разделе 5.1 рассмотрены частные случаи решений, отвечающие ортогональным и блок-ортогональным правилам пересечений и выдвинута гипотеза о полиномиальной структуре управляющих функций в случае пересечений, отвечающих полупростым алгебрам Ли (п. 5.2.1). Эта гипотеза проверена для алгебр Ли ■Ат, Ст+1, т = 1,2,... (п. 5.2.2). Получены явные формулы для решений, отвечающих алгебре А2 (п. 5.3.1), в т.ч. дионного решения в 11-мерной супергравитации (п. 5.3.2). В разделе 5.4 вычислены пост-ньютоновские параметры /3 и 7, отвечающие 4-мерному сечению метрики. Показано, что параметр р не зависит от пересечений р-бран. В разделе 5.5 рассмотрены экстремальные р-бранные конфигурации и получены их обобщения "типа Маджумдара-Папапетру".

В Главе 6 изучаются симметрии пространства мишеней сигма-модели из Главы 2. В разделе 6.1 доказано, что пространство потенциалов (мишеней) для сигма-модели, возникающей в модели с р-бранами, является однородным пространством, причем, оно (локально) симметрично тогда и только тогда, когда [/-векторы, задающие метрику сигма-модели, либо совпадают, либо взаимно ортогональны. В разделе 6.2 для ненулевых несовпадающих [/-векторов решены уравнения Киллинга. Показано, что при достаточно общих допущениях алгебра векторных полей Киллинга является прямой суммой нескольких копий алгебры А1 = я/(2,К), нескольких разрешимых алгебр Ли и алгебры Киллинга плоского пространства. В разделе 6.3 показано, что при допущениях из 6.2 пространство потенциалов разлагается в произведение плоского пространства, нескольких двумерных пространств постоянной кривизны, в частности, пространства Лобачевского, части анти-деситтеровского пространства и нескольких многообразий разрешимых групп Ли.

В Главе 7 рассматриваются многомерные космологические модели с " идеальной жидкостью". В разделе 7.1. описывается многомерная модель с цепочкой из п пространств Эйнштейна и материей в виде т-компонентной "идеальной жидкости". В п. 7.1.1 модель сводится к лагранжевой системе в случае, когда давления во всех пространствах (для каждой компоненты) пропорциональны плотности, и коэффициенты пропорциональности, зависящие от масштабных факторов, для каждой компоненты образуют потенциальное векторное поле. В п. 7.1.2 уравнения Эйнштейна проинте-

грированы в ряде случаев, когда коэффициенты пропорциональности не зависят от масштабных факторов, и все внутренние пространства риччи-плоские. Здесь рассматривается однокомпонентный случай т = 1, а также интегрируемые случаи с т-компонентной материей специального вида. В п. 7.1.3 записано уравнение Уилера-ДеВитта (УДВ), имеющее ковариантный и конформно-ковариантный вид. Это уравнение проинтегрировано в однокомпонентном случае и для т-компонентной материи из п. 7.1.2. Здесь также выделены решения типа квантовых "кротовых нор". В разделе 7.2 изучается космологическая модель с цепочкой из п риччи-плоских пространств и материей в виде 1-компонентной "идеальной жидкости" и безмассового скалярного поля с минимальной связью. В п. 7.2.1 рассматриваются классические решения. В пп. 7.2.1.1 рассматриваются решения с вещественным скалярным полем, в т.ч. особые классы решений " инфляционного" типа. Особые решения отвечают постоянному значению скалярного поля и могут быть, как экспоненциального, так и степенного типов. Они являются аттракторами для неособых решений при больших значениях синхронного времени, либо при малых (в зависимости от уравнения состояния материи). Показано также, что неособые решения имеют казнеровское поведение при малых, либо больших значениях синхронного времени (в зависимости от уравнений состояния). Здесь также рассмотрен ряд частных случаев уравнений состояния, отвечающих Л-члену, пыли и др. В пп. 7.2.1.2 рассматриваются решения с чисто мнимым скалярным полем, среди которых содержатся решения типа "кротовых нор". Также рассмотрена "третично-квантованная" космологическая модель.

Глава 8 посвящена бильярдному представлению для многомерной космологии вблизи сингулярности. В разделе 8.1 изучается многомерная космологическая модель с материей в виде многокомпонентной идеальной жидкости, описывающая эволюцию п пространств Эйнштейна. В п. 8.1.1 определяется исходная модель. В п. 8.1.2 динамика модели вблизи особой точки при определенных ограничениях на параметры сводится к бильярду в пространстве Лобачевского. Сформулирован и доказан критерий конечности объема бильярда и его компактности в терминах задачи об освещении казнеровской сферы точечными источниками света. Источники освещают сферу тогда, и только тогда, когда бильярд имеет конечный объем. В этом случае космологическая модель обладает осциллирующим (и возможно стохастическим) поведением решений вблизи особой точки. В случае бесконечного объема бильярда космологическая модель имеет казнеровское поведение вблизи сингулярности. Показано, что введение безмассового скалярного поля "разрушает" возможное осциллирующее поведение вблизи сингулярности. В пункте 8.1.3 рассматривается пример модели Бьянки-1Х и ее расширения на случай цепочки внутренних пространств Эйнштейна. Получена казнеровская параметризация асимптотических решений. В 8.1.4 рассматриваются некоторые обобщения, в том числе обобщение на квантовый случай, получено асим-

птотическое решение ("вблизи сингулярности") уравнения УДВ в специальной временной калибровке. В разделе 8.2 рассматривается бильярдное представление в космологической модели с р-бранами. Здесь описаны бильярды со стенками р-бранного происхождения (п. 8.2.2) и выделен ряд примеров бильярдов с конечным объемом. Среди них квадратные и треугольные двумерные бильярды (п. 8.2.3) и 4-мерный бильярд в "усеченной" £> = 11 супергравитации без слагаемого Черна-Саймонса (п. 8.2.3). Показано, что слагаемое Черна-Саймонса "снимает" некоторые стенки и разрушает удерживающий бильярд.

В Главе 9 изучаются многомерные вакуумные и скалярно-вакуумные космологические решения, т.е. решения с безмассовым скалярным полем с минимальной связью. В разделе 9.1 рассматривается обобщение решения Казнера на случай п риччи-плоских пространств и его скалярно-вакуумный аналог (п. 9.1.1), а также получено точное решение, описывающее "эволюцию" пространства Эйнштейна ненулевой кривизны и нескольких риччи-плоских пространств в скалярно-вакуумном случае (п. 9.1.2). В разделе 9.2 рассматривается семейство вакуумных решений с казнеровским асимптотическим поведением при —> 0, где - синхронное время, и изучается поведение квадрата тензора Римана при ^ —» 0. В п. 9.2.1 рассматривается простейшее обобщение решения Казнера на случай п одномерных пространств, и доказано, что квадрат тензора Римана положителен и расходится при ( = 1, —> 0 для всех нетривиальных (не "милновско-подобных") конфигураций. В п. 9.2.2 этот результат обобщается на случай п риччи-плоских пространств. В п. 9.2.3 доказана теорема о расходимости квадрата тензора Римана для широкого класса космологических метрик с неособым казнеровским поведением масштабных факторов при ¿., —> 0.

Глава 10 посвящена сферически-симметричным решениям в многомерной гравитации. Получено обобщение решения Тангерлини на случай цепочки из нескольких {п — 1) риччи-плоских пространств в вакуумном и скалярно-вакуумном случаях. Доказано, что чернодырное решение имеет место только, если масштабные факторы внутренних пространств и скалярное поле постоянны, а остальные конфигурации отвечают голым сингулярностям. В вакуумном случае для п-временного обобщения решения Тангерлини проинтегрированы уравнения геодезических. Получено обобщение закона (тяготения) Ньютона на многовременной случай.

В Главе 11 рассматриваются заряженные дилатонные черные дыры с цепочкой из п "внутренних" риччи-плоских пространств. Получено ограничение (снизу) на массу черной дыры. Найдено выражение для температуры Хокинга и обнаружена ее независимость от размерности внутреннего риччи-плоского пространства при струнном значении дилатонной константы связи. Экстремальное решение обобщено на случай нескольких черных дыр, а также на случай ненулевой космологической постоянной.

В Главе 12 - заключении - формулируются основные результаты, выносимые на защиту.

В Приложениях приведены некоторые вспомогательные формулы, используемые в диссертации (компоненты тензоров Риччи, Римана, решения дифференциальных уравнений, отвечающих системам типа цепочек Тоды, формулы для "произведений" форм), некоторые сведения о простых конечномерных алгебрах Ли (диаграммы Дынкина; матрицы, обратные матрицам Картана), уравнениях Киллинга, а также рассмотрены примеры суперсимметричных решений в D = 11 супергравитации, пояснено происхождение дробных суперсимметрий N = 2~к для пересекающихся р-бран и приведен пример решения полиномиального типа для алгебры A3. I

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multidimensional gravity with Einstein internal spaces, Grav. Cosmol. 2, 3 (7), 211-220 (1996).

2. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Intersecting p-brane solutions in multidimensional gravity and M-theory, Grav. Cosmol. 2, 4 (8), 297-305 (1996).

3. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Generalized intersecting p-brane solutions from the ff-model approach, Phys. Lett. В 403, 23-30 (1997).

4. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Sigma-model for the generalized composite p-branes, Class. Quantum Grav., 14, 3001-3029 (1997); Corrigenda 15 (12), 3941 (1998).

5. Ivashchuk V.D., Rainer M., Melnikov V.N., Multidimensional sigma-models with composite electric p-branes, Grav. Cosmol. 4, 1 (13), 73-82 (1998).

6. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Madjumdar-Papapetrou type solutions in sigma-model and intersecting p-branes, Class. Quantum Grav. 16, 849-869 (1999).

7. Grebeniuk M.A., Ivashchuk V.D., Sigma-model solutions and intersecting p-branes related to Lie algebras, Phys. Lett. В 442, 125-135 (1998).

8. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Exact solutions in sigma-model with p-branes, J. Korean Phys. Soc. 35, S638-S648 (1999).

9. Ivashchuk V.D., Kim S.-W., Melnikov V.N., Hyperbolic Kac-Moody algebra from intersecting p-branes, J. Math. Phys. 40, 4072-4083 (1999); Erratum ibid. 42, 11 » (2001).

10. Ivashchuk V.D., Kim S.-W., Solutions with intersecting p-branes related to Toda t

chains, J. Math. Phys. 41, 444-460 (2000).

11. Grebeniuk M.A., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Integrable multidimensional quantum cosmology for intersecting p-branes, Grav. Cosmol. 3, 3(11), 243-249 (1997).

12. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multidimensional classical and quantum cosmology with intersecting p-branes, J. Math. Phys. 39, 2866-2889 (1998).

13. Bronnikov K.A., Grebeniuk M.A., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Integrable multidimensional cosmology for intersecting p-branes, Grav. Cosmol. 3, 2 (10), 105-112

(1997).

14. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multidimensional quantum cosmology with intersecting p-branes, Hadronic J. 21, 319-335 (1998).

15. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Cosmological and spherically symmetric solutions with intersecting p-branes. J. Math. Phys. 40 (12), 6558-6576 (1999).

16. Grebeniuk M.A., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Triay R., On some cosmological models with fields of forms, Grav. Cosmol. 5, 3(19), 229-236 (1999).

17. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multidimensional cosmological and spherically symmetric solutions with intersecting p-branes. In Lecture Notes in Physics, Vol. 537, "Mathematical and Quantum Aspects of Relativity and Cosmology Proceedings of the Second Samos Meeting on Cosmology, Geometry and Relativity held at Pythagoreon, Samos, Greece, 1998, eds: S. Cotsakis, G.W. Gibbons., Berlin, Springer, 2000.

18. Ivashchuk V.D., Kenmoku M., Melnikov V.N., On quantum analogues of p-brane black hole, Grav. Cosmol. 6, 3 (23), 225-232 (2000).

19. Ivashchuk V.D., Composite p-branes on product of Einstein spaces, Phys. Lett. B 434, 28-35, (1998).

20. Grebeniuk M.A., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multidimensional cosmology for intersecting p-branes with static internal spaces, Grav. Cosmol. 4, 2 (14), 145-150

(1998).

21. Cotsakis S., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., P-brane black holes and post-Newtonian approximation, Grav. Cosmol. 5, 1 (17), 52-57 (1999).

22. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., P-brane black holes for general intersections, Grav. Cosmol. 5, 4 (20) 313-318 (1999).

23. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Black hole p-brane solutions for general intersection rules, Grav. Cosmol. 6, 1 (21), 27-40 (2000).

24. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Toda p-brane black holes and polynomials related to Lie algebras. Class. Quantum Grav., 17, 2073-2092 (2000).

25. Ivashchuk V.D., Manko V.S., Melnikov V.N., Post-Newtonian parameters for general black hole and spherically symmetric p-brane solutions, Grav. Cosmol. 6, 3 (23), 219-224 (2000).

26. Ivashchuk V.D., On the structure of target space for a ст-model of p-brane origin, In : Proceedings of the International seminar "Curent topics in mathematical cosmology", (Potsdam, Germany , 30 March - 4 April 1998), Eds. M. Rainer M. and Schmidt H.-J., p. 267-274.

27. Ivashchuk V.D., On symmetries of target space for cr-inodel of p-brane origin, Grav. Cosmol. 4, 3(15), 217-220 (1998).

28. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Perfect-fluid type solution in multidimensional cosmology, Phys. Lett. A 135, 9, 465-467 (1989).

29. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Zhuk A.I., On Wheeler-DeWitt equation in multidimensional cosmology, Nuovo Cimento В 104, 5, 575-581 (1989).

30. Иващук В.Д., Мельников B.H., Точные решения в многомерной космологии с космологической постоянной, ТМФ 98, 312-319 (1994).

31. Bleyer U., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Zhuk A.I., Multidimensional classical and quantum wormholes in models with cosmological constant, Nucl. Phys. В 429, 177-204 (1994).

32. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multidimensional cosmology with m-component perfect fluid, Int. J. Mod. Phys. D 3, 4, 795-811 (1994).

33. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multidimensional classical and quantum cosmology with perfect fluid, Grav. Cosmol., 1, 2, 133-148 (1995).

34. Иващук В.Д., Кириллов А.А., Мельников B.H., О стохастическом поведении многомерных космологических моделей вблизи сингулярности, Изв. Вузов. Физика 11, 107-111 (1994).

35. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Billiard representation for multidimensional cosmology with multicomponent perfect fluid near the singularity, Class. Quantum Grav. 12, 809-826 (1995).

36. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Billiard representation for pseudo-Euclidean Toda-like systems of cosmological origin, Regular and Chaotic Dynamics 1, 2, 23-35 (1996).

37. Ivashchuk V.D., Melnikov V.D., Billiard representation for multi-dimensional cosmology with intersecting p-branes near the singularity, J. Math. Phys. 41, 8, 63416363 (2000).

38. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Billiard representation for multidimensional cosmology with p-branes near the singularity. In Advanced Series in Astrophysica and Cosmology-Vol. 10. "The Chaotic Universe", Proc. of the Second ICRA Network Workshop, Eds. Gurzadyan V.G. and Ruffini R., 1999, World Scientific, Singapore, p. 509-524.

39. Ivashchuk V.D., Multidimensional cosmology and Toda-like systems, Phys. Lett., A 170, 16-22 (1992).

40. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., On singular solutions in multidimensional gravity, Grav. Cosmol. 1, 3, 204-210 (1995).

41. Fadeev S.B., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Variations of constants and exact solutions in multidimensonal gravity, In: Gravitation and Modern Cosmology, Plenum, N.-Y., 1991, p. 37-49.

42. Fadeev S.B., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., On black holes in multidimensional theory with Ricci-flat internal spaces, Phys. Lett. A 161, 2, 98-100 (1991).

43. Иващук В.Д., Мельников B.H., Фадеев С.В., Черные дыры в многомерной теории с риччи-плоскими внутренними пространствами, Изв. Вузов. Физика, 9, 62-65 (1991).

44. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multi-temporal generalization of the Tangherlini solution, Class. Quantum Grav. 11, 1793-1805 (1994).

45. Иващук В.Д., Мельников B.H., Многовременное обобщение решения Шварцшиль-да, Изв. Вузов. Физика 6, 111-112 (1994).

46. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multitemporal generalization of the Schwarzschild solution, Int. J. Mod. Phys. , D 4, 2 (1995) 167-173.

47. Fadeev S.B., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., On charged black hole in multidimensional theory with Ricci-flat internal spaces, Chinese Phys. Lett. 8,9, 439-441 (1991).

48. Иващук В.Д., Мельников B.H., Фадеев С.Б. Сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла с риччи-плоскими внутренними пространствами, Изв. Вузов. Физика 10, 113-114 (1994).

49. Bleyer U., Ivashchuk V.D., Mass bounds for multidimensional charged dilatonic black holes, Phys. Lett. B 332, 292-296 (1994).

50. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Extremal dilatonic black holes in string-like model with cosmological term, Phys. Lett. B 384, 58-62 (1996).

51. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Exact solutions in multidimensional gravity with antisymmetric forms, topical review, Class. Quantum Grav. 18, R87-R152 (2001).

52. Grebeniuk M.A., Ivashchuk V.D., Kim S.-W., Black-brane solutions for C2 algebra, J. Math. Phys. 43, 6016-6023 (2002).

53. Grebeniuk M.A., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Black-brane solution for A3 algebra, Phys. Lett. B 543, 98-106 (2002).

54. Ivashchuk V.D., Composite fluxbranes with general intersections, Class. Quantum Grav. 19, 3033-3048 (2002).

55. Ivashchuk V.D., Composite S-brane solutions related to Toda-type systems, Class. Quantum Grav. 20, 261-276 (2003).

nojiyneHO 25 MapTa 2003 r.

I I

»11299

2.0 0?"

Макет Н. Л. Киселевой

Подписано в печать 31.03.2003. Формат 60 X 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,12. Тираж 100 экз. Заказ № 53833.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@pds.jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Иващук, Владимир Дмитриевич

1 Введение

2 Сигма-модельное представление в теории с р-бранами

2.1 Действие и уравнения движения.

2.2 Анзатц для составных р-бран

2.3 Сигма-модель.

2.3.1 Ограничения на р-бранные конфигурации.

2.3.2 Действие сигма-модели в гармонической калибровке.

2.3.3 Сигма-модель со связями.

2.3.4 Общие конформные калибровки и случай d0 = 2.

3 Решения с гармоническими функциями

3.1 Решения с блок-ортогональными наборами U* и риччи-плоскими фактор-пространствами

3.1.1 Решения с ортогональными U*

3.1.2 Решения, отвечающие алгебрам Ли.

3.1.3 Скаляр Кречмана, горизонт и обобщенные решения типа Маджумдара-Папапетру (МП).

3.1.4 Обобщение на не-риччи-плоские внутренние пространства

3.2 Общие решения тодовского типа, полученные методом нулевых геодезических

3.2.1 Лагранжиан системы типа цепочки Тоды

3.2.2 Решения тодовского типа.

3.2.3 Решения, отвечающие Лm-цепочке Тоды.

4 Классические и квантовые решения космологического типа

4.1 Лагранжева динамика.

4.2 Классические решения сЛ = 0.

4.2.1 Решения с риччи-плоскими пространствами.

4.2.2 Решения с одним не-риччи-плоским пространством.

4.2.3 Блок-ортогональные решения

4.3 Классические решения с Л ф 0 на произведениях пространств Эйнштейна

4.4 Квантовые решения.

4.4.1 Уравнение Уилера-ДеВитта.

4.4.2 Квантовые решения с одним фактор-пространством ненулевой кривизны и ортогональными U'.

4.4.3 Уравнение УДВ с фиксированными зарядами.

5 Р-бранные аналоги чернодырных решений

5.1 Решения с горизонтом.

5.2 Полиномиальная структура Нй для алгебр Ли.

5.2.1 Предположение о полиномиальной структуре.

5.2.2 Проверка Гипотезы 1 для алгебр Ли Ат и Cm+i

5.3 Некоторые примеры

5.3.1 Решение для А2.

5.3.2 Лг-дион в D = 11 супергравитации.

5.3.3 Лг-дион в модели Калуцы-Клейна.

5.4 Пост-ньютоновское приближение

5.5 Экстремальный случай.

5.5.1 "Однополюсное" решение.

5.5.2 Мультичернодырное обобщение.

6 Симметрии пространства мишеней

6.1 Структура однородного пространства.

6.2 Алгебра векторных полей Киллинга

6.3 Блок-ортогональное разложение.

7 Многомерные космологические модели с "идеальной" жидкостью

7.1 Классическая и квантовая космология с многокомпонентной "идеальной" жидкостью.

7.1.1 Сведение к лагранжевой системе.

7.1.2 Классические решения

7.1.3 Квантовые решения.

7.2 Однокомпонентная идеальная жидкость со скалярным полем.

7.2.1 Классические решения.

7.2.2 Квантовый случай: третично-квантованная модель.

8 Бильярдное представление для многомерной космологии вблизи сингулярности

8.1 Бильярды в моделях с многокомпонентной идеальной жидкостью

8.2 Бильярдное представление для космологии с р-бранами вблизи сингулярности

8.2.1 Модель с р-бранами.

8.2.2 Бильярдное представление.

8.2.3 Примеры двумерных бильярдов.

8.2.4 D = 11 супергравитация.

9 Космологические решения со скалярным полем

9.1 Решения с к < 1 не-риччи-плоскими пространствами.

9.1.1 Решения казнеровского типа.

9.1.2 Случай одной кривизны.

9.2 Сингулярные решения.

9.2.1 (п + 1)-мерное казнеровское решение.

9.2.2 Решения типа казнеровских с риччи-плоскими пространствами

9.2.3 Решения с асимптотическим казнеровским поведением.

10 Сферически-симметричные решения в скалярно-вакуумном случае

10.1 Сферически-симметричные решения с риччи-плоскими внутренними пространствами.

10.1.1 Анализ сингулярностей.

10.2 Многовременное обобщение решения Тангерлини.

10.2.1 Уравнения геодезических.

10.2.2 Многовременной аналог закона Ньютона.

11 Многомерные дилатонные чернодырные решения

11.1 Сферически-симметричные решения

11.2 Неэкстремальные дилатонные заряженные черные дыры.

11.3 Экстремальные дилатонные черные дыры с космологическим членом

Введение диссертация по физике, на тему "Точные решения в многомерных моделях гравитации"

Необходимость изучения многомерных моделей гравитации и космологии [1, 2, 3, 4, 5] мотивируется рядом причин. Во-первых, основной тенденцией в современной физике является объединение всех известных фундаментальных физических взаимодействий: электромагнитного, слабого, сильного и гравитационного. В последние десятилетия был достигнут значительный прогресс в объединении электромагнитного и слабого взаимодействий, несколько более скромные достижения в теориях великого объединения (GUT), суперсимметричных, струнных и суперструнных теориях.

В настоящее время развиваются теории с мембранами, р-бранами - так называемые М- и F-теории, см., например, [22, 23, 24, 27, 28]. Хотя в настоящее время не построено никакой более или менее реалистичной теории объединения, представляется желательным изучение общих свойств этих теорий и их применений к решению основных проблем современной гравитации.

Во-вторых, многомерные гравитационные модели, также как и скалярно-тензорные теории гравитации, являются теоретической основой объяснения возможных временных и пространственных вариаций фундаментальных физических констант [6]. Эти идеи ведут свое начало от ранних работ П. Дирака (1937) по связи явлений микро-и макромиров и до настоящего времени являются объектом пристального внимания, как теоретиков, так и экспериментаторов [3].

Памятуя о том, что многомерные гравитационные модели суть обобщения общей теории относительности, которая надежно проверена для слабых и частично для сильных полей (двойные пульсары) с точностью до 0.001, совершенно естественно поставить вопрос о их возможных наблюдательных и экспериментальных "окнах" [34]-[36]. В настоящее время имеются следующие "окна":

- возможные отклонения от законов Кулона и Ньютона;

- возможные изменения эффективной гравитационной постоянной с временными масштабами меньше планковского;

- возможное существование монопольных мод в гравитационных волнах;

- возможные проявления объектов сильного поля, таких как многомерные черные дыры, "кротовые норы" и р-браны;

- пост-ньютоновские параметры, стандартные космологические тесты и т. п.

Поскольку на сегодняшний день нет приемлемой модели объединения, представляется целесообразным рассматривать простые, но в тоже время достаточно общие с точки зрения числа дополнительных измерений модели, основанные на многомерных уравнениях Гильберта-Эйнштейна в вакууме или с источниками различной природы, такими как:

- космологическая постоянная,

- "идеальная" и вязкая жидкости,

- скалярные и электромагнитные поля,

- поля антисимметричных форм (ассоциированные ср-бранами),

- их взаимодействия и т.д.

Основная цель диссертации состоит в получении точных решений (интегрируемых моделей) и анализ их в космологических, сферически-симметричных и др. случаях. Это, как показывает опыт, наиболее естественный и надежный способ изучения нелинейных систем.

История многомерного подхода в гравитации берет начало с известных работ Т. Калуцы и О. Клейна [37, 38] по 5-мерной теории гравитации, которые положили начало исследованиям в многомерной гравитации (см. также [1, 39,110, 40]). Эти идеи в дальнейшем были развиты П. Иорданом [41], который рассмотрел общий случай <755 ф const, приводящий к теории с дополнительным скалярным полем. Работы [37, 38, 41] были в некотором смысле источником вдохновения для К. Бранса и Р. Дикке в их известной работе [42], посвященной скалярно-тензорной теории гравитации. Эта работа во многом стимулировала исследования моделей со скалярными полями (с конформной и неконформной связями) [6].

Возрождение интереса к "многомерию" началось в 70-х годах и продолжается до сих пор. Это связано, главным образом, с развитием объединенных теорий. Интерес к многомерной гравитации стимулировался в значительной степени: i) развитием теории калибровочных полей (предложенной Янгом и Миллсом) [9, 10], приведшей к неабелеву обобщению подхода Калуцы-Клейна, и ii) построением супергравитационных теорий [43, 44, 291]).

В 80-е годы на смену супергравитационным теориям пришли суперструнные модели [12] (см. также [11]). В настоящее время определенные ожидания связаны с так называемой ЛТ-теорией, а также с ^-теорией и др. Во всех этих теориях 4-мерные гравитационные модели с дополнительными полями получаются из многомерных моделей путем размерной редукции, основанной на представлении исходного многообразия в виде М = М4 х Mint, где М4 - 4-мерное многообразие и Mint - некоторое "внутреннее" многообразие (обычно компактное).

В ранних работах по многомерной космологии обычно рассматривался случай блок-диагональной космологической метрики п д = -dt®dt + £a 2r(t)gr, заданной на многообразии

М = R х М0 х . х Мт где (Мт,дг) - пространства Эйнштейна, г = 0,. [45]—[76].

В работах [54, 55, 59, 64, 66, 71, 84, 86] изучались модели с многомерной (многокомпонентной) "идеальной" жидкостью. В этих моделях давления (для каждой компоненты) пропорциональны плотности где dr - размерность Mr, ur = const, г = 0,. ,п. Такие модели могут быть сведены к псевдоевклидовым системам типа цепочек Тоды с лагранжианом и нулевым уровнем энергии Е = 0. В классическом случае точные решения с риччи-плоскими пространствами (Мг,дт) и 1-компонентной идеальной жидкостью рассматривались многими авторами (см., например, [52, 53, 64, 66, 84, 86, 119] и ссылки там).

В [129] были получены точные вакуумные решения в случае задачи с двумя кривизнами, когда п = 2 и (di,d2) = (2,8), (3,6), (5,5). (Эти решения содержат подкласс "особых" решений, а также его расширение [135]). Для 2-компонентной идеальной жидкости и двух риччи-плоских пространств аналогичные решения были получены также в [130]. Для любого п имеется семейство точных решений милновского типа в задаче о п кривизнах [130].

Необходимо отметить, что псевдоевклидовы системы типа цепочек Тоды до сих пор еще мало изучены. Однако существуют некоторые специальные классы уравнений состояния идеальной жидкости, которые приводят к евклидовым цепочкам Тоды. Впервые решения такого типа были рассмотрены в работе [86] для алгебры Ли А2. В работе [128] был рассмотрен общий случай для алгебр Ли Ап = sl(n +1), где космологические решения были выписаны в терминах нового представления решений А„ цепочки Тоды, полученного А. Андерсен [250].

Среди решений космологического типа были получены также решения: i) со спонтанной и динамической компактификациями; ii) с казнеровским поведением вблизи сингулярности; iii) изотропизацией на больших временах (см. например [85, 84]).

1 m L = -Giizix*-YiAke"i* к=1

Также были получены решения, у которых вблизи сингулярности наблюдается осциллирующее поведение, схожее с поведением решений в хорошо известной модели Бьянки-IX. Многомерное обобщение этой модели рассматривалось многими авторами, см., например, [45, 93, 94, 98].

В работах [99, 100, 101] получено бильярдное представление для многомерных космологических моделей вблизи сингулярности и сформулирован критерии конечности объема бильярда и его компактности в терминах освещения единичной сферы точечными источниками света. Для модели с идеальной жидкостью бильярдное представление было детально рассмотрено в работе [101]. В работе [102] рассматривалось обобщение модели на неоднородный случай.

Многомерные космологические модели также могут быть обобщены на случай вязкой жидкости. В работах [131, 132, 133] были получены некоторые классы точных решений, в том числе несингулярные космологические решения.

Важным направлением в современных исследованиях многомерных космологических моделей является многомерная квантовал космология, которая основывается, главным образом, на уравнении Уилера-ДеВитта (УДВ)

ЯФ = 0, где Ф - так называемая "волновая функция Вселенной". Многомерное конформно-ковариантное обобщение уравнения Уилера-ДеВитта в случае вакуумной космологической модели с п пространствами постоянной кривизны было впервые получено в работе [65] и проинтегрировано в частном случае двух фактор-пространств (одно из которых риччи-плоское). Конформно-ковариантное уравнение УДВ в общем контексте рассматривалось также в [77, 78] (см. также [80] и ссылки там.)

Уравнение УДВ для случаев космологической постоянной и идеальной жидкости было исследовано в работах [83, 85] и [84], соответственно. Точные решения в случае 1-компонентной идеальной жидкости со скалярным полем детально изучались в [119]. В работе [74] были получены многомерные квантовые кротовые норы - решения с особым поведением волновой функции (см. [79]). Эти решения были обобщены на случай космологической постоянной и идеальной жидкости в работах [83, 85] и [84, 119], соответственно. В [101] было получено "квантовое бильярдное" решение уравнения УДВ (точнее, его аппроксимация вблизи сингулярности). В ряде работ также были рассмотрены " третично-квантованные" многомерные космологические модели [73, 127, 119].

Космологические решения в гравитации тесно связаны со сферически-симметричными решениями. Впервые многомерное обобщение решений такого типа было получено Д. Крамером [107] и затем переоткрыто А.И. Легким [108], Д. Гроссом и М. Пери [109] и другими. В работе [112] решение Шварцшильда было обобщено на случай п внутренних риччи-плоских пространств. Было показано, что конфигурация типа черной дыры имеет место только в случае постоянных масштабных факторов внутренних пространств. В работе [113] было получено аналогичное обобщение решения Тангерлини [111]. Эти решения были обобщены на электровакуумный случай в [115, 118, 117]. В [310, 117] рассматривались также решения типа дилатонных черных дыр. В [117] была доказана теорема о неустойчивости нечернодырных решений (относительно монопольных возмущений). В работе [121], посвященной экстремальным заряженным дилатонным черным дырам, были получены обобщенные решения типа Маджумдара-Папапетру с ненулевой космологической постоянной. Следует отметить, что в работе [190] были получены пионерские решения типа Маджумдара-Папапетру в размерности D = 4 с конформным скалярным и электромагнитным полями.

В настоящее время существует большой интерес к так называемой М-теории [22, 24, 27] (а также F-теории [28]). Эта теория является супермембранным аналогом суперструнных моделей [12] в D — 11. Низкоэнергетический предел теорий суперструн и М-теории приводит к моделям с лагранжианом следующего вида

С = R[g] - hamMNdu4>a^ ~ £ -^exp[2Aa(yp)](Fa)2, где д - метрика, Fa = dAa - форма ранга па, и ipa - дилатонные скалярные поля.

Простейшая D-мерная теория со скалярным полем, 2-формой и константой ди-латонной связи А2 = (D — 1)/(D — 2) может быть получена размерной редукцией (D + 1)-мерной теории Калуцы-Клейна (в этом случае скалярное поле <р определяет размер (D + 1)-го измерения). Заметим, что космологическая постоянная А может имитироваться /^-слагаемым с rankF ■ D.

При определенных составах полей с выделенными значениями общей размерности D, рангов пау констант дилатонных связей А0 и А = 0 такие лагранжианы возникают в "усеченных" бозонных секторах (т.е. без слагаемых Черна-Саймонса) определенных теорий супергравитации или в низкоэнергетическом пределе суперструнных моделей [43, 44, 12]. Для D = 11 супергравитации [43], которая рассматривается сейчас как низкоэнергетический предел гипотетической М-теории [22, 25, 24, 27, 26], бозонный сектор содержит метрику и 4-форму (скалярные поля отсутствуют). При D = 10 можно рассматривать в качестве примера супергравитацию типа I с метрикой, скалярным полем и 3-формой, супергравитацию типа IIА с бозонными полями супергравитации типа /, образующими NS — iV5-ceKTop (NS - сокращение для "Neveu-Schwarz") и, кроме того, 2-формой и 4-формой в R — R-секторе (R - сокращение для "Raraond"), а также супергравитацию типа ИВ с бозонными полями супергравитации типа I (NS — NS сектор) и, кроме того, 1-формой, 3-формой и (самодуальной) 5-формой (R — R сектор). Как полагают сейчас, все пять суперструняых теорий (/, IIА, IIВ и две гетеротических с калибровочными группами G — Е& х Е& и Spin(32)/Z2) [12] вместе с 11-мерной супергравитацией [43] являются предельными случаями М-теории. Все эти теории связаны между собой преобразованиями дуальности [22, 26].

Список теорий супергравитации не ограничивается только размерностями D = 10,11 и сигнатурой ( —, +,., +). Можно изучать супергравитации в размерностях D < 11 (в т.ч. полученные размерной редукцией из 11-мерной супергравитации [138]) или 12-мерную супергравитацию с двумя временами [31], или евклидовы супергравитации [32]. Также было высказано предположение, что теория суперструны типа IIB может быть получена из 12-мерной теории, называемой F-теорией [23, 28]. В работе Н. Кхвиенгиа и др. [33] был получен (деформированный) низкоэнергетический эффективный (бозонный) лагранжиан для F-теории. Полевой состав этой 12-мерной полевой модели таков: метрика, одно скалярное поле (с отрицательным кинетическим членом), 4-форма и 5-форма.

В работе [167] было показано, что в случае композитного электромагнитного р-бранного анзатца после размерной редукции на многообразии М0 х Mi х . х Мп исходная модель сводится к гравитирующей самодействующей <т-модели со связями (в электрическом случае см. также [164, 165, 168]). В случае одномерных М» сигма-модельное представление было распространено в работе Д.В. Гальцова и О.А. Рычкова [236] на не-блок-диагональный случай (для одной и двух р-бран). Следует отметить, что гравитационный сектор сигма-модели [167] рассматривался ранее в работах В.А. Березина и др. [67], М. Райнера и А.И. Жука [134], а также в [135] (в этой работе рассмотрен случай общего конформного фактора для М0 и исправлена неточность в потенциале, допущенная в [67].) (Обзор по гравитирующим сигма-моделям см. в [16]).

Сигма-модельное представление является мощным инструментом в получении различных решений с пересекающимися композитными (составными) р-бран ами (аналогами мембран). В рамках данного подхода было найдено большое количество различных типов решений. В работах [167, 168, 185, 248] были получены решения типа Маджумдара-Папапетру (в некомпозитном случае см. [164, 165]). Эти решения, соответствуют риччи-плоским внутренним пространствам (Mi,gl), г = 1,. ,7г. В [167] было также получено обобщение решений на случай дополнительных эйнштейновских внутренних пространств (ненулевой кривизны).

Ранее некоторые специальные классы таких решений рассматривались в работах [149, 150, 170, 171, 172]. Полученные решения имеют место при определенных соотношениях на параметры модели (дилатонные константы связи, размерности р-бран и их пересечений, общую размерность исходного многообразия). Эти соотношения суть соотношения ортогональности некоторых векторов, ассоциированных с р-бранами. В ортогональном случае широкий класс решений космологического типа (в т.ч. сферически-симметричных) был получен в [200] (см. также частные случаи в [151, 179, 180, 178]). Решения с горизонтом (чернодырные и их мембранные обобщения) рассматривались также в работах [152, 173, 174, 175, 200, 261, 262, 263] и др. В [175, 235] был доказан ряд утверждений, относящихся: к связи между температурой Хокинга и сингулярностью кривизны и к многовременным решениям. В работе К.А. Бронникова и В.Н. Мельникова [264] подробно исследовалась проблема стабильности сферически-симметричных решений с р-бранами (о проблеме устойчивости см. также [14]). В работах [118, 194], были получены многовременные обобщения решений Шварцшильда и Тангерлини, где также было найдено обобщение закона Ньютона на многовременной случай.

Следует отметить, что наиболее широкий класс р-бранных решений с одной гармонической функцией и пересечениями общего вида был получен в [248], путем сведения задачи к лагранжевой системе тодовского типа с помощью метода нулевых геодезических [216, 217]. Частные подклассы этих решений ("ортогональных" и "блок-ортогональных") были получены ранее в [200, 5]. В работе [200] (см. также [187]) было также проинтегрировано конформно-ковариантное уравнение УДВ в случае "ортогонального" пересечения р-бран. (В некомпозитном случае см. также [180].) В менее общем случае несколько иной подход (с классическими полями форм) был предложен в работе американской группы [181]. В работах [188, 241] были получены точные решения в моделях с пересекающимися р-бранами в случае статических внутренних пространств. Был рассмотрен способ генерации эффективной космологической постоянной с помощью р-бран.

В работах [252, 253] рассматривалось бильярдное представление для многомерной космологии с р-бранами. Построен ряд примеров бильярдов с конечным объемом и на конкретном примере D = 11 супергравитации показано, что добавление слагаемого Черна-Саймонса может разрушить "удерживающий" бильярд. Полученные в [252] неравенства на казнеровские параметры сыграли ключевую роль в "доказательстве" хаотического поведения решений в моделях суперструн [254].

Отметим, что в настоящее время большое число публикаций посвящено многомерным моделям "(мем)бранного мира" (см., например, [17]-[21]). В этом подходе предполагается, что мы живем в (1 + 3)-мерном тонком (или "толстом") слое ("3-бране") в многомерном пространстве, и существует удерживающий потенциал, т.е. калибровочные и другие поля материи локализованы на (мем)бране, в то время как гравитация "живет" в многомерном "объеме". Этот подход, предложенный первоначально В.А. Рубаковым и М.Е. Шапошниковым [17], получил мощный импульс после работ JI. Рэндалл, Р. Сандрума и др. [18, 19]. В работе [18] была предложена конкретная схема возникновения удерживающего потенциала (см. также [20]) за счет склейки двух симметричных копий части 5-мерного анти-де-ситтеровского пространства. В рамках данного подхода были получен аналоги уравнений Фридмана и закона Ньютона. В работе диссертанта ([21] была рассмотрена модель толстого "мембранного мира" с цепочкой риччи-плоских внутренних пространств и материального источника в виде (анизотропной) "идеальной" жидкости. Тем не менее, следует отметить, что данный подход находится все еще в стадии "формирования", и каждая новая публикация в огромном потоке статей может существенно изменить ситуацию в данной области исследований.

Следует отметить, что имеется ряд хороших обзоров, посвященных различным аспектам р-бранных решений (см., например, [137, 138]). Однако эти обзоры, главным образом, имеют дело с более или менее частными классами решений р-бранных решений и их применениями в теориях суперструн, М-теории и.т.д. В настоящей диссертационной работе, также как и в обзорной статье [340], рассматриваются общие классы решений с композитными (нелокализованными) р-бранами и блок-диагональными метриками, заданными на произведении риччи-плоских и эйнштейновских пространств произвольных размерностей и сигнатур.

Диссертация состоит из 12 глав и Приложения. Данная глава носит вводный характер.

В главе 2 изучается сигма-модельное представление со связями для гравитиру-ющей системы композитных р-бран, возникающее в многомерной гравитационной модели со скалярными полями и внешними формами. В разделе 2.1 определяется действие модели и выписаны уравнения движения. В разделе 2.2 формулируется исходная модель, определенная на многообразии М0 х Мх х . х Мп, где "внутренние" пространства Mi, г > 1. суть пространства Эйнштейна, метрика берется в блок-диагональном виде, и все поля и масштабные факторы метрики являются функциями на Mq. В "чисто" электрическом и магнитном случаях число связей равно т(т —1)/2, где т - число одномерных внутренних пространств. В "электромагнитном" случае, когда размерность Mq равна 1 или 3, возникает т дополнительных связей. Сформулированы ограничения на пересечения р-бран, при которых связи удовлетворяются тождественно.

В главе 3 рассматриваются решения с гармоническими функциями. В разделе 3.1 для риччи-плоских внутренних пространств и Мо получено семейство решений "типа Маджумдара-Папапетру", определяемых набором гармонических функций, для "блок-ортогональных" пересечений р-бран. В п. 3.1.2 выделены специальные классы новых решений с пересечениями р-бран, отвечающими алгебрами Ли: конечномерным и гиперболическими, в т.ч. решения в 10-мерной IIА и 11-мерной моделях супергравитации, и в так называемых Др-моделях в размерностях D > 12. В п. 3.1.3 в частном случае плоского пространства Mq размерности d0 > 2 и гармонических функций с конечными множествами особых точек сформулированы критерии существования горизонта и сингулярности квадрата тензора Римана для полученных решений. В п. 3.1.4 получено обобщение этих решений на случай не-риччи-плоского М0, когда семейство внутренних пространств дополнено рядом пространств Эйнштейна ненулевой кривизны. В разделе 3.2 в случае зависимости от одной гармонической функции получено общее семейство решений, отвечающее нулевым геодезическим метрики сигма-модели. В п. 3.2.3 выделен подкласс решений, отвечающих Ат цепочке Тоды. т = 1,2,.

Глава 4 посвящена классическим и квантовым решениям космологического типа с р-бранами. В разделе 4.1 рассмотрено сведение космологических уравнений к лагран-жевой динамике. В разделе 4.2 получено общее решение полевых уравнений в модели, описывающей "космологическую эволюцию" и сферически-симметричные конфигурации системы композитных р-бран в случае нескольких риччи-плоских внутренних пространств. Решения определены с точностью до решений уравнений типа цепочки Тоды. В п. 4.2.3 выделен подкласс решений для "блок-ортогональных" пересечений р-бран. В разделе 4.3 получено семейство статических р-бранных решений, заданных на произведении нескольких пространств Эйнштейна. Решения являются композитным р-бранным обобщением решений Фройнда-Рубина. Здесь рассматривается ряд примеров решений, определенных на произведении сфер, пространств Лобачевского и анти-де-ситтеровских пространств. Раздел 4.4. посвящен квантовой космологии с р-бранами. Здесь (в п. 4.4.1) получено (р-бранное) уравнение Уилера-ДеВитта, имеющее ковариантный и конформно-ковариантный вид. Это уравнение проинтегрировано для "ортогональных" пересечений р-бран (п. 4.4.2). Проведено сравнение с полуквантовым подходом, в котором поля форм классические (п. 4.4.3).

В главе 5 рассматриваются мембранные аналоги чернодырных решений. В разделе 5.1 получены обобщенные р-бранные чернодырные решения для широкого класса пересечений в случае риччи-плоских "внутренних" пространств. Они определены с точностью до набора функций, являющихся решениями системы нелинейных дифференциальных уравнений, эквивалентных уравнениям типа цепочки Тоды, с наложенными граничными условиями. Приведено выражение для температуры Хокинга. В разделе 5.1 рассмотрены частные случаи решений, отвечающие ортогональным и блок-ортогональным правилам пересечений, и высказана гипотеза о полиномиальной структуре управляющих функций в случае пересечений, отвечающих полупростым алгебрам Ли (п. 5.2.1). Эта гипотеза проверена для алгебр Ли Am, Cm+i, га = 1,2,. (п. 5.2.2). Получены явные формулы для решений, отвечающих алгебре А2 (п. 5.3.1), в том числе дионного решения в 11-мерной супергравитации (п. 5.3.2). В разделе 5.4 вычислены пост-ньютоновские параметры /3 и 7, отвечающие 4-мерному сечению метрики. Показано, что параметр (3 не зависит от пересечений р-бран. В разделе 5.5 рассмотрены экстремальные р-бранные чернодырные конфигурации, и получены их обобщения "типа Маджумдара-Папапетру".

В главе 6 изучаются симметрии пространства мишеней сигма-модели из главы 2. В разделе 6.1 доказано, что пространство потенциалов (мишеней) сигма-модели, возникающей в модели с р-бранами, является однородным пространством, причем, оно симметрично тогда и только тогда, когда {/-векторы, задающие метрику сигма-модели, либо совпадают, либо взаимно ортогональны. В разделе 6.2 для ненулевых несовпадающих [/-векторов решены уравнения Киллинга. Показано, что при достаточно общих допущениях алгебра векторов Киллинга является прямой суммой нескольких копий алгебры А\ = sl(2, R), нескольких разрешимых алгебр Ли и алгебры Киллинга плоского пространства. В разделе 6.3 доказано, что при допущениях из 6.2 пространство потенциалов разлагается в произведение плоского пространства, нескольких двумерных пространств постоянной кривизны, в частности, пространства Лобачевского, части анти-де-ситтеровского пространства и нескольких многообразий разрешимых групп Ли.

В главе 7 рассматриваются многомерные космологические модели с "идеальной жидкостью". В разделе 7.1. описывается многомерная модель с цепочкой из п пространств Эйнштейна и материей в виде m-компонентной "идеальной жидкости". В п. 7.1.1 модель сведена к лагранжевой системе в случае, когда давления во всех пространствах пропорциональны плотности, и коэффициенты пропорциональности, зависящие от масштабных факторов, для каждой компоненты образуют потенциальное векторное поле. В п. 7.1.2 уравнения Эйнштейна проинтегрированы в ряде случаев, когда коэффициенты пропорциональности не зависят от масштабных факторов, и все внутренние пространства риччи-плоские. Здесь рассматривается 1-компонентный случай тп = 1, а также интегрируемые случаи с m-компонентной материей специального вида. В п. 7.1.3 записано уравнение Уилера-ДеВитта (УДВ), имеющее ко-вариантный и конформно-ковариантный вид. Это уравнение проинтегрировано в в случае т = 1 и для m-компонентной материи из п. 7.1.2. Здесь также выделены решения типа квантовых "кротовых нор". В разделе 7.2. изучается космологическая модель с цепочкой из п риччи-плоских пространств и материей в виде 1-компонентной "идеальной жидкости" и безмассового скалярного поля с минимальной связью. В п. 7.2.1 рассматриваются классические решения. В пп. 7.2.1.1 рассматриваются решения с вещественным скалярным полем, как неособые, так и особые классы решений "инфляционного" типа. Особые решения отвечают постоянному значению скалярного поля и могут быть как экспоненциального, так и степенного типов. Они являются аттракторами для неособых решений при больших (либо малых) значениях синхронного времени (в зависимости от уравнения состояния материи). Показано также, что неособые решения имеют казнеровское поведение при малых (либо больших) значениях синхронного времени. Здесь рассмотрен ряд частных случаев уравнений состояния, отвечающих Л-члену, пыли, и др. В пп. 7.2.1.2 рассматриваются решения с чисто мнимым скалярным полем, среди которых содержатся решения типа "кротовых нор".

Глава 8 посвящена бильярдному представлению для многомерной космологии вблизи сингулярности. В разделе 8.1 изучается многомерная космологическая модель с многокомпонентной "идеальной жидкостью", описывающая эволюцию п пространств Эйнштейна. В п. 8.1.1 определяется исходная модель. В п. 8.1.2 динамика модели вблизи особой точки при определенных ограничениях на параметры сводится к бильярду в пространстве Лобачевского. Сформулирован и доказан критерий конечности объема бильярда и его компактности в терминах задачи об освещении казне-ровской сферы точечными источниками света. Источники освещают сферу тогда и только тогда, когда бильярд имеет конечный объем. В этом случае космологическая модель обладает осциллирующим (и возможно стохастическим) поведением решений вблизи особой точки. В случае бесконечного объема бильярда космологическая модель имеет казнеровское поведение вблизи сингулярности. Показано, что введение безмассового скалярного поля "разрушает" (возможное) осциллирующее поведение вблизи сингулярности. В пункте 8.1.3 рассматривается пример модели Бьянхи-IX и ее обобщения на случай цепочки внутренних пространства Эйнштейна. Получена казнеровекая параметризация асимптотических решений. В 8.1.4 рассматриваются некоторые обобщения, в том числе обобщение на квантовый случай; получено асимптотическое решение ("вблизи сингулярности") уравнения УДВ в специальной временной калибровке. В разделе 8.2 рассматривается бильярдное представление в космологической модели с р-бранами. Здесь в явном виде описаны бильярды со стенками р-бранного происхождения (п. 8.2.2) и выделен ряд примеров бильярдов с конечным объемом. Среди них - квадратные и треугольные 2-мерные бильярды (п. 8.2.3) и 4-мерный бильярд в "усеченной" D = 11 супергравитации без слагаемого Черна-Саймонса (п. 8.2.3). Показано, что включение в рассмотрение слагаемого Черна-Саймонса "снимает" некоторые стенки и разрушает удерживающий бильярд.

В главе 9 изучаются многомерные вакуумные и скалярно-вакуумные космологические решения, т.е. решения с безмассовым скалярным полем с минимальной связью. В разделе 9.1 рассматривается обобщение решения Казнера на случай п риччи-плоских пространств и его скалярно-вакуумный аналог (п. 9.1.1), а также получено точное решение, описывающее эволюцию пространства Эйнштейна ненулевой кривизны и п—1-го риччи-плоского пространства в скалярно-вакуумном случае (п. 9.1.2). В разделе 9.2 рассматривается семейство вакуумных решений с казнеровским асимптотическим поведением при tt —> 0, где t„ - синхронное время, и изучается поведение квадрата тензора Римана при t, —у 0. В п. 9.2.1 рассматривается простейшее обобщение решения Казнера на случай п одномерных пространств, и доказано, что квадрат тензора Римана положителен и расходится при t = t„ —t 0 для всех нетривиальных ("не-милновско-подобных") конфигураций. В п. 9.2.2 этот результат обобщается на случай п риччи-плоских пространств. В п. 9.2.3 доказана теорема о расходимости квадрата тензора Римана для широкого класса космологических метрик с неособым казнеровским поведением масштабных факторов при t, —> 0.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Получено сигма-модельное представление со связями для гравитирующей системы композитных р-бран в многомерной гравитационной модели со скалярными полями и внешними формами. Исходная модель определена на многообразии М0 х Mi х . х Мп, где "внутренние" пространства Mj, г > 1, суть пространства Эйнштейна, метрика берется в блок-диагональном виде, и все поля и масштабные факторы метрики являются функциями на Mq. В "чисто" электрическом и магнитном случаях число связей равно т,(т — 1)/2, где т - число одномерных внутренних пространств. В "электромагнитном" случае, когда размерность Mq равна 1 или 3, возникает т дополнительных связей. Сформулированы ограничения на пересечения р-бран, при которых связи удовлетворяются тождественно. Доказано, что пространство потенциалов (мишеней) сигма-модели в модели с р-бранами, является однородным пространством, причем, оно симметрично тогда и только тогда, когда [/-векторы, задающие метрику сигма-модели, либо совпадают, либо взаимно ортогональны. Для ненулевых несовпадающих (/-векторов решены уравнения Киллинга, отвечающие метрике сигма-модели.

2. Для риччи-плоских внутренних пространств и базового многообразия Мо получено семейство решений "типа Маджумдара-Папапетру", определяемых набором гармонических функций, для "блок-ортогональных" пересечений р-бран. Эти решения обобщены на случай не-риччи-плоского Мо, когда семейство внутренних пространств дополнено рядом пространств Эйнштейна ненулевой кривизны. Выделены специальные классы решений с пересечениями р-бран, отвечающими алгебрам Ли. В частном случае плоского пространства Мо размерности do > 2 и гармонических функций с конечными множествами особых точек сформулированы критерии существования горизонта и сингулярности квадрата тензора Римана для полученных решений. В случае зависимости от одной гармонической функции получено семейство решений, отвечающее нулевым геодезическим метрики сигма-модели. Выделен подкласс решений, отвечающих цепочке Тоды для алгебры Ат, т = 1,2.

3. Получено общее решение полевых уравнений в модели, описывающей "космологическую эволюцию" и сферически-симметричные конфигурации системы композитных р-бран в случае нескольких риччи-плоских пространств. В квантовом случае получено многомерное обобщение уравнения Уилера-ДеВитта, имеющее ковариант-ный и конформно-ковариантный вид. Это уравнение проинтегрировано для "ортогональных" пересечений р-бран. Найдено семейство статических р-бранных решений, заданных на произведении нескольких пространств Эйнштейна и являющихся композитным р-бранным обобщением решений Фройнда-Рубина.

4. Получены обобщенные р-бранные аналоги чернодырных решений для широкого класса пересечений в случае риччи-плоских "внутренних" пространств. Они определяются с точностью до набора функций, являющихся решениями системы нелинейных дифференциальных уравнений, эквивалентных уравнениям типа цепочки То-ды, с наложенными граничными условиями. Высказана гипотеза о полиномиальной структуре управляющих функций в случае пересечений, отвечающих полупростым алгебрам Ли. Эта гипотеза проверена для алгебр Ли Ат, Ст±i, т = 1, 2,. Получено выражение для температуры Хокинга. Выделены частные случаи решений, отвечающие ортогональным и "блок-ортогональным" правилам пересечений. Приведены явные формулы для решений, отвечающих алгебре А2. Вычислены пост-ньютоновские параметры /3 и 7, отвечающие 4-мерному сечению метрики. Показано, что параметр (3 не зависит от пересечений р-бран.

5. Модель многомерной космологии с цепочкой из п пространств Эйнштейна и материей в виде m-компонентной "идеальной жидкости" сведена к лагранжевой системе в случае, когда давления во всех пространствах пропорциональны плотности и коэффициенты пропорциональности, зависящие от масштабных факторов, для каждой компоненты образуют потенциальное векторное поле. Получено многомерное уравнение Уилера-ДеВитта (УДВ), имеющее ковариантный и конформно-ковариантный вид. В случае, когда коэффициенты пропорциональности не зависят от масштабных факторов и все внутренние пространства риччи-плоские, уравнения Эйнштейна и УДВ проинтегрированы в однокомпонентном случае т = 1. Для однокомпонент-ной "идеальной жидкости" получено обобщение классических и квантовых решений на случай безмассового скалярного поля с минимальной связью. Выделены классы решений "инфляционного" типа. В вакуумном случае найдено обобщение решения Казнера на случай п риччи-плоских пространств. Получено точное космологическое решение, описывающее "эволюцию" пространства Эйнштейна ненулевой кривизны и п — 1 риччи-плоских пространств в скалярно-вакуумном случае - с материей в виде безмассового скалярного поля с минимальной связью.

6. Показано, что многомерная космология с материей в виде многокомпонентной идеальной жидкости, описывающая эволюцию п пространств Эйнштейна, вблизи особой точки сводится к бильярду в пространстве Лобачевского. Сформулированы и доказаны критерии конечности объема бильярда и его компактности в терминах задачи об освещении казнеровской сферы точечными источниками света, а также в терминах неравенств на казнеровские параметры. Найден квантовый аналог бил-лиардного представления, т.е. выписаны асимптотические решения уравнения УДВ вблизи особой точки. Получено бильярдное представление в космологической модели с р-бранами.

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Иващук, Владимир Дмитриевич, Москва

1. Владимиров Ю.С. Размерность физического пространства-времени и объединение взаимодействий. М.: Изд-во МГУ, 1987.

2. Владимиров Ю.С. Пространство-время: явные и скрытые размерности. М.: Наука, 1989.

3. Melnikov V.N., Multidimensional cosmology and gravitation, CBPF-M0002/95, Rio de Janeiro, 1995, 210 p.; In: Cosmology and Gravitation. II ed. M. Novello, Editions Prontieres, Singapore, 1996, p. 465.

4. Станюкович К.П., Мельников В.Н. Гидродинамика, поля и константы в теории гравитации. М.: Энергоатомиздат, 1983.

5. Зельдович Я.В., Новиков И.Д. Теория тяготения и эволюция звезд. М.: Наука, 1971.

6. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей, М.: Наука, 1984.

7. ДеВитт B.C. Динамическая теория групп и полей, М.: Наука, 1987.

8. Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей, М.: Наука, 1978.

9. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. Модель релятивистской струны в физике адронов. М.: Энергоатомиздат, 1987.

10. Green M.B., Schwarz J.H., E. Witten E. Superstring theory, vol. 1,2, Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1987, 469p., 596p.

11. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Ideas and methods of super symmetry and supergravity: or a walk through superspace, IOP, Bristol, 1998, 656p.

12. Бронников К.А., Шикин Г.Н. Модели самогравитирукяцих частиц с классическими полями и их устойчивость. В сб.: серия "Итоги науки и техники", подсерия "Классическая теория поля и теория гравитации", т. 2, ВИНИТИ, Москва, 1991, с. 4-55.

13. Петров А.З. Пространства Эйнштейна, М.: Физматгиз, 1961.

14. Червон С.В. Нелинейные поля в теории гравитации и космологии, Ульяновск: УлГУ, 1997.

15. Rubakov V.A., Shaposhnikov М.Е., Do we live inside a domain-wall? Phys. Lett. В 125 136-138 (1983).

16. Randall L., Sundrum R., An alternative to compactification, Phys. Rev. Lett. 83, 4690 (1999).

17. Randall L., Sundrum R., A large mass hierarchy from a small extra dimension, Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999).

18. Muck W., Viswanatan K.S., Volovich I.V., Geodesic and Newton's law in brane backgrounds, Phys. Rev. D 62 105019 (2000).

19. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Thick brane world model from perfect fluid, Gravit. Cosm. 7, 3(27), 241-246 (2001).

20. Hull C.M., Townsend P.K., Unity of superstring dualities, Nucl. Phys. В 438, 109-137 (1995).

21. Hull C.M., String dynamics at strong coupling, Nucl. Phys. В 468, 113-154 (1996).

22. Schwarz J.M., Lectures on superstring and M-theory dualities: given at ICTP Spring school and TASI summer school, Nucl. Phys. Proc. Suppl. В 55, 1-32 (1997).

23. Townsend P.K., Four lectures on M-theory, preprint hep-th/9612121.

24. Gibbons G.W., Quantum gravity/String/M-theory as we approach the 3rd Millennium, preprint gr-qc/9803065.

25. Duff M.J., M-theory (the theory formerly known as strings), Int. J. Mod. Phys. A 11, 5623-5642 (1996).

26. Vafa C., Evidence for F-theory, Nucl. Phys. В 469, 403-418 (1996).

27. Nicolai H., On M-theory, preprint hep-th/9801090.

28. Polchinski J., TASI lectures on D-branes, preprint hep-th/9611050.

29. Nishino H., Supergravity in (10 + 2)-dimensions as consistent background for superstring, Phys. Lett. В 428, 85-94 (1998).

30. Cremmer E., Lavrinenko I.V., Lii H., Pope C.N., Stelle K.S., Tran T.A., Euclidean-signature supergravities, dualities and instantons, Nucl. Phys. В 534, 40-82 (1998).

31. Khviengia N., Khviengia Z., Lii H., Pope C.N., Towards a field theory of F-theory, Class. Quantum Grav. 15, 759-773 (1998).

32. Melnikov V.N. In: Gravitational measurements, fundamental metrology and constants. Eds. de Sabbata V., Melnikov V.N. Kluwer Academic Publ., Dordtrecht, 1988, p. 283.

33. Kaluza Т., Zum Unitatsproblem der Physik. Sitzungsber. Preuss. Akad. Wtss. Berlin Phys. Math., K1 33, 966-972 (1921).

34. Klein O., Quantentheorie und funfdimensionale Relativitatstheorie. Z. Phys. 37, 895-906 (1926).39. de Sabbata V., Schmutzer E.(eds.) , Unified field theories in more than four dimensions, World Scientific, Singapore, 1983, 457p.

35. Wesson P.S., Ponce de Leon J., Kaluza-Klein theory and Machian cosmology, Gen. Rel. Gravit. 26, 555-566 (1994).

36. Jordan J., Erweiterung der projektiven Relativitatstheorie, Ann. der Phys. F. в, В. 1, 219-228 (1947).

37. Brans C., Dicke R.H., Mach's principle and a relativistic theory of gravitation, Phys. Rev. D 124, 3, 925-935 (1961).

38. Cremmer E., Julia В., Scherk J., Supergravity theory in eleven-dimensions, Phys. Lett. В 76, 409-412 (1978).

39. Salam A., Sezgin E. (eds.), Supergravities in diverse dimensions, reprints in 2 vols., World Scientific, Singapore, 1989, 1499p.

40. Белинский B.A., Халатников И.М., ЖЭТФ, 63, 1121 (1972).

41. Forgacs P., Horvath Z., Influence of extra dimensions on the homogeneous isotropic universe, Gen. Rel. Grav. 11, 205-216 (1979).

42. Chodos A., Detweyler S., Where has the fifth dimension gone? Phys. Rev. D 21, 8, 21672170 (1980).

43. Freund P.G.O., Kaluza-Klein cosmologies, Nucl. Phys. В 209, 1, 146-156 (1982).

44. Sahdev D., Perfect fluid higher dimensional cosmologies, Phys. Rev. D 30, 2495-2507 (1984).

45. Kolb E., Linkley D., Seckel D., More dimensions less entropy, Phys. Rev. D 30 1205 (1984).

46. Ranjbar-Daemi S., Salam A., Strathdee J., On Kaluza-Klein cosmology, Phys. Lett. В 135, 5-6, 388-392 (1984).

47. Lorentz-PetzoldD., Higher-dimensional cosmologies, Phys. Lett. В 148,1-3, 43-47 (1984).

48. Bergamini R., Orzalesi C.A., Towards a cosmology for multidimensional unified theories, Phys. Lett. В 135, 1-3, 38-42 (1984).

49. Gleiser M., Rajpoot S., Taylor J.G., Higher-dimensional cosmologies, Ann. Phys. (NY) 160, 299-322 (1985).

50. Bleyer U., Liebscher D.-E., In Proc. Ill Sem. Quantum Gravity ed. M.A. Markov, V.A. Berezin, V.P. Frolov, Singapore: World Scientific, 1985, p. 662-674.

51. Bleyer U., Liebscher D.-E., Kaluza-Klein cosmology: phenomenology and exact solutions with three component matter, Gen. Rel. Gravit. 17, 989-999 (1985).

52. Demianski M., Golda Z., Heller M., Szydlowski M., The dimensional reduction in a multidimensional cosmology, Class. Quantum Grav. 3, 1199-1205 (1986).

53. Wiltshire D.L., Global properties of Kaluza-Klein cosmologies, Phys. Rev. D 36, 6, 16341648 (1987).

54. Bleyer U., Liebscher D.-E., Kaluza-Klein cosmology: Friedmann models with phenomenological matter, Annalen d. Physik (Lpz) 44, 7, 81-88 (1987).

55. Gibbons G.W., Maeda K., Black holes and membranes in higher-dimensional theories with dilaton fields, Nucl. Phys. В 298, 4, 741-775 (1988).

56. Wu Y.-S., Wang Z., Time variation of Newton's gravitation constant in superstring theories, Phys. Rev. Lett. 57, 16, 1978-1981 (1986).

57. Gibbons G.W., Wiltshire D.L., Spacetime as a membrane in higher dimensions, Nucl. Phys. В 287, 717-742 (1987).

58. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., On time variation of gravitational constant in superstring theories, Nuovo Cimento В 102, 2, 131-138 (1988).

59. Bronnikov К.A., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Time variation of gravitational constant in multidimensional cosmology, Nuovo Cimento В 102, 2, 209-216 (1988).

60. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Zhuk A.I., On Wheeler-DeWitt equation in multidimensional cosmology, Nuovo Cimento В 104, 5, 575-581 (1989).

61. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Perfect-fluid type solution in multidimensional cosmology, Phys. Lett. A 135, 9, 465-467 (1989).

62. Berezin V.A., Domenech G., Levinas M.L., Lousto C.O., Umerez N.D., Kaluza-Klein cosmology with n-dilaton fields, Gen. Rel. Grav. 21, 1177-1192 (1989).

63. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., On reduction of multicomponent cosmology to Toda lattice, Chinese Phys. Lett. 7, 3, 97-100 (1990).

64. Demiansky M., Polnarev A., Dynamical dimensional reduction induced by changing equation of state, Phys. Rev. D 41, 3003-3011 (1990).

65. Fadeev S.B., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Variations of constants and exact solutions in multidimensonal gravity, In: Gravitation and Modern Cosmology, Plenum, N.-Y., 1991, p. 37-49.

66. Bleyer U., Liebscher D.-E., Polnarev A.G., Some more methods and exact solutions to solve Kaluza-Klein cosmologies, Class. Quant. Grav. 8, 477-491 (1991).

67. Ivashchuk V.D., Multidimensional cosmology and Toda-like systems, Phys. Lett. A 170, 16-22 (1992).

68. Zhuk A.I., Integrable multidimensional quantum qosmology, Class. Quantum Grav. 9, 2029-2038 (1992).

69. Zhuk A.I., Multidimensional quantum wormholes, Phys. Rev. D 45, 1192-1197 (1992).

70. Жук А.И., Многомерные квантовые кротовые норы, ЯФ 55, 2, 266-272 (1992).

71. Жук А.И., Об изменении сигнатуры метрики в многомерной квантовой космологии, ЯФ 56, 2, 223-233 (1993).

72. Misner C.W., In magic without magic: John Archibald Wheeler, ed. Klauder J.R., Freeman, San Francisko, 1972, p. 441.

73. Halliwell J.J., Derivation of the Wheeler-DeWitt equation from a path integral for minisuperspace model, Phys. Rev. D 38, 8, 2468-2481 (1988).

74. Hawking S.W., Page D.N., The spectrum of wormholes, Phys. Rev. D 42, 2655-2663 (1990).

75. Cavaglia M., de Alfaro V., Filippov A.T., A Schrodinger equation for mini universes, Int. J. Mod. Phys. A 10, 611-634, (1995).

76. Liu H., Wesson P.S., Ponce de Leon J., Time dependent Kaluza-Klein soliton solutions, J. Math. Phys. 34, 4070-4079 (1993).

77. Gavrilov V.E., Zeldovich matter in seven-dimensional generalized Friedmann-Robertson-Walker universe; Hadronic J. 16, 469-478 (1993).

78. Иващук В.Д., Мельников В.Н., Точные решения в многомерной космологии с космологической постоянной, ТМФ, 98, 312-319 (1994).

79. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multidimensional cosmology with m-component perfect fluid, Int. J. Mod. Phys. D 3, 4, 795-811 (1994).

80. Bleyer U., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Zhuk A.I., Multidimensional classical and quantum wormholes in models with cosmological constant, Nucl. Phys. В 429, 177-204 (1994).

81. Gavrilov V.R., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Integrable pseudo-Euclidean Toda-like systems in multidimensional cosmology with multicomponent perfect fluid, J. Math. Phys 36, 5829-5847 (1995).

82. Bleyer U., Zhuk A., On multidimensional cosmological models with static internal spaces, Class. Quantum Grav. 12, 89-100 (1995).

83. Bleyer U., Zhuk A., Multidimensional integrable cosmological models with negative external curvature, Grav. Cosmol., 2, 106-118 (1995).

84. Bleyer U., Zhuk A., Multidimensional integrable cosmological models with positive external space curvature, Grav. Cosmol. 1, 37-45 (1995).

85. Zhuk A.I., О третичном квантовании многомерных космологических моделей с Л-членом, ЯФ 58, 11, 2104-2109 (1995).

86. Zhuk A., Generalized deSitter solution in multidimensional cosmology with static internal spaces, Astron. Nachrichten, 316, 269-274 (1995).

87. Bleyer U., Zhuk A., Kasner-like, inflationary and steady-state solutionsin multidimensional cosmology, Astron. Nachrichten, 317, 161-173 (1996).

88. Barrow J.D., Stein-Schabes J., Kaluza-Klein mixmaster universes, Phys. Rev. D 32, 6, 1595-1596 (1985).

89. Demaret J., Henneaux M., P. Spindel P., Non-oscillatory behaviour in vacuum Kaluza-Klein cosmologies, Phys. Lett. В 164, 27-30 (1985).

90. Demaret J., Hanquin J.-L., Henneaux M., Spindel P., Taormina A., The fate of the mixmaster behaviour in vacuum homogeneous KaluzarKlein cosmological models, Phys. Lett. В 175, 129-132 (1986).

91. Demaret J., De Rop Y., Henneaux M., Chaos in nondiagonal spatially homogeneous cosmological models in space-time dimensions < 10, Phys. Lett. В 211, 37-41 (1988).

92. Szydlowski M., Szczesny J., Biesiada M., Is the space-time dimension eleven distinguished in cosmology, Gen. Rel. Grav., 19, 12, 1181-1194 (1987).

93. Szydlowski M., Pajdosz G., The dynamics of homogeneous multidimensional cosmological models, Class. Quantum Grav., 6, 1391-1408 (1989).

94. Иващук В.Д., Кириллов A.A., Мельников B.H., О стохастическом поведении многомерных космологических моделей вблизи сингулярности, Изв. Вузов. Физика, 11, 107-111 (1994). '

95. Иващук В.Д., Кириллов А.А., Мельников В.Н., О стохастических свойствах многомерных космологических моделей вблизи особой точки, Письма в ЖЭТФ 60, 4, 225229 (1994).

96. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Billiard representation for multidimensional cosmology with multicomponent perfect fluid near the singularity, Class. Quantum Grav. 12, 809826 (1995).

97. Kirillov A.A., Melnikov V.N., On properties of metrics inhomogeneouties in the vicinity of a singularity in K-K cosmological models, Astron. Astrophys. Thins., 10, 101 (1996).

98. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Billiard representation for pseudo-Euclidean Toda-like systems of cosmological origin, Regular and Chaotic Dynamics, 1, 2, 23-35 (1996).

99. Gasperini M., Veneziano G., Dilaton production in string cosmology, Phys. Rev. D 50, 2519-2540 (1994).

100. Gasperini M., Veneziano G., Inflation, deflation and frame independence in string cosmology, Mod. Phys. Lett. A 8, 3701-3714 (1993).

101. Angelantonj C., Amendola L., Litterio M., Occhionero F., String cosmology and inflation, Phys. Rev. D 51, 4, 1607-1616 (1995).

102. Kramer D., Axialsymmetrische St at ion are Losungen der Projektiven Feldtheorie, Acta Physica Polonica, 2, 6, 807-811 (1969).

103. Легкий А.И., В сб. "Проблемы теории гравитации и элементарных частиц" (ПТГЭЧ), М.: Атомиздат, 10, 149 (1979).

104. Gross D.J., Perry M.J., Magnetic monopoles in Kaluza-Klein theories, Nucl. Phys. В 226, 29-48 (1993).

105. Lee S.-C., Dyons and the Toda lattice, Phys. Lett. В 149, 1-3, 98-99 (1984).

106. Tangherlini F.R:, Nuovo Cimento 27, 636 (1963).

107. Бронников K.A., Иващук В.Д. Черные дыры и дополнительные измерения. Тезисы 7 Советской гравитационной конференции, Ереван, ЕГУ, 1988, с. 156-157.

108. Fadeev S.B., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., On black holes in multidimensional theory with Ricci-flat internal spaces, Phys. Lett. A 161, 2, 98-100 (1991).

109. Иващук В.Д., Мельников B.H., Фадеев С.Б., Черные дыры в многомерной теории с риччи-плоскими внутренними пространствами, Изв. Вузов. Физика, 9, 62-65 (1991).

110. Fadeev S.B., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., On charged black hole in multidimensional theory with Ricci-flat internal spaces, Chinese Phys. Lett. 8, 9, 439-441 (1991).

111. Иващук В.Д., Мельников B.H., Фадеев С.В., Сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла с с риччи-плоскими внутренними пространствами, Изв. Вузов. Физика, 10, 113-114 (1994).

112. Bronnikov К.А., Melnikov V.N., Black holes in multidimensional gravity: existence and stability. Ann. Phys. (N.Y.), 239, 1, 40-56 (1995).

113. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multi-temporal generalization of the Tangherlini solution, Class. Quantum Grav., 11, 1793-1805 (1994).

114. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multidimensional classical and quantum cosmology with perfect fluid, Grav. Cosmol. 1, 2, 133-148 (1995).

115. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., On singular solutions in multidimensional gravity, Grav. Cosmol. 1, 3, 204-210 (1995).

116. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Extremal dilatonic black holes in string-like model with cosmological term, Phys. Lett. В 384, 1-4, 58-62 (1996).

117. Rubakov V.A., On the third quantization of the cosmological model, Phys. Lett., В 214, 503 (1988).

118. Giddings S.B., Strominger A., Loss of incoherence and determination of coupling constants in quantum gravity, Nucl. Phys. В 321, 481 (1989).

119. Кириллов А.А., ЖЭТФ 76 (1993) 705.

120. Кириллов А.А., Письма в ЖЭТФ, 55, 541-543 (1992).

121. Guendelman E.I., Kaganovich A.B., The boost-like symmetry of Kaluza-Klein cosmologies, Phys. Lett. В 301, 15-19 (1993).

122. Horigushi Т., Mod. Phys. Lett. A 8, 777 (1993).

123. Gavrilov V.R., Kasper U., Melnikov V.N., M. Rainer, Toda chains with type Am Lie algebra for multidimensional m-component perfect fluid cosmology, Gen. Rel. Grav., 31, 139-155 (1999).

124. Gavrilov V.R., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multidimensional integrable vacuum cosmology with two curvatures, Class. Quantum Grav. 13, 11, 3039-3056 (1996).

125. Гаврилов В.Р., Мельников В.Н., Интегрирование D-мерных космологических моделей с двумя фактор-пространствами сведением к обобщенному уравнению Эмдена-Фаулера, ТМФ 114, 3, 355-367 (1998).

126. Gavrilov V.R., Melnikov V.N., Triay R., Exact solutions in multidimensional cosmology with shear and bulk viscosity, Class. Quantum Grav. 14, 2203-2218 (1997).

127. Gavrilov V.R., Melnikov V.N., M. Novello, Exact solutions in multidimensional cosmology with bulk viscosity, Grav. CosmoL, 1, 2, 149-154 (1995).

128. Gavrilov V.R., Melnikov V.N., Novello M., Bulk viscosity and entropy production in multidimensional integrable cosmology, Grav. Cosmol. 2, 4, 325-330 (1996).

129. Rainer M., Zhuk A., Tensor-multi-scalar theories from multidimensional cosmology, Phys. Rev., D 54, 6186-6192 (1996).

130. Ivashchuk V.D.,. Melnikov V.N., Multidimensional gravity with Einstein initernal spaces, Grav. Cosmol. 2, 3 (7), 211-220 (1996).

131. Bronnikov K.A., Fabris J.C., Multidimensional Reissner-Nordstrom problem with a generalized Maxwell field, Grav. Cosmol. 2, 4, 306-314 (1996).

132. Duff M.J., Khuri R.R., Lu J.X., String solitons, Phys. Rep. 259, 213-326 (1995).

133. Stelle K.S., Lectures on supergravity p-branes, preprint hep-th/9701088.

134. Gibbons G.W., Horowitz G.T., Townsend P.K., Higher dimensional resolution of dilatonic black hole singularities, Class. Quantum Grav. 12, 297-318 (1995).

135. Dabholkar A., Gibbons G.W., Harvey J.A., and Ruiz Ruiz F., Superstrings and solitons, Nucl. Phys. В 340, 33-55 (1990).

136. Callan C.G., J.A. Harvey J.A., Strominger A., Worldsheet approach to heterotic instantons and solutions, Nucl. Phys. В 359 (1991) 611-634; Worldbrane actions for string solutions, Nucl. Phys. В 367, 60-82 (1991).

137. Duff M.J., Stelle K.S., Multimembrane solutions of D = 11 supergravity, Phys. Lett. В 253, 113-118 (1991).

138. Horowitz G.T., Strominger A., Black string and p-branes, Nucl. Phys. В 360, 197-2091991).

139. Giiven R., Black p-brane solutions of D — 11 supergravity, Phys. Lett. В 276, 49-551992).

140. Kallosh R., Linde A., Ortin Т., Peet A., van Proeyen A., Supersymmetry as a cosmic censor, Phys. Rev. D 46, 5278-5302 (1992).

141. Lii H., Pope C.N., Sezgin E., Stelle K., Stainless super p-branes, Nucl. Phys. В 456, 669-698 (1995).

142. Tseytlin A.A., Extreme dyonic black holes in string theory, Mod. Phys. Lett. A 11, 689-714 (1996).

143. Papadopoulos G., Townsend P.K., Intersecting M-branes, Phys. Lett. В 380, 273-2791996).

144. Tseytlin A.A., Harmonic superpositions of M-branes, Nucl. Phys. В 475, 149-163 (1996).

145. Gauntlett J.P., Kastor D.A., Traschen J., Overlapping branes in M-Theory, Nucl. Phys. В 478, 544-560 (1996).

146. Lii H., Pope C.N., and Xu K.W., Liouville and Toda solitons in M-Theory, Mod. Phys. Lett. A 11, 1785-1796 (1996).

147. Cvetic M., Tseytlin A., Non-extreme black holes from non-extreme intersecting M-branes, Nucl. Phys. В 478, 181-198 (1996).

148. Klebanov I.R., Tseytlin A.A., Intersecting M-branes as four-dimensional black holes, Nucl. Phys. В 475, 179-192 (1996).

149. Lii H., Pope C.N., Stelle K.S., Vertical versus diagonal reduction for p-branes, Nucl. Phys. В 481, 313-331 (1996).

150. Lii H., Pope C.N., SL(N+1,R) Toda solitons in supergravities, Int. J. Mod. Phys. A 12, 2061 -2074 (1997).

151. Lii H., Pope C.N., Black p-branes and their vertical dimensional reduction, Nucl. Phys. В 48», 264-278 (1997).

152. Lii H., Mukherji S., Pope C.N., Xu K.-W., Cosmological solutions in string theories, Phys. Rev. D 55, 7926-7935 (1997).

153. Khviengia N., Khviengia ZM Lii H., Pope C.N., Intersecting M-branes and bound states, Phys. Lett. В 388, 21-28 (1996).

154. BergshoefF E., Kallosh R., Ortin Т., Stationary axion/dilaton solutions and supersymmetry, Nucl. Phys. В 478, 156-180 (1996).

155. Clement G., Gal'tsov D.V., Stationary BPS solutions to dilaton-axion gravity, Phys. Rev. D 54, 6136-6152 (1996).

156. Volovich A., Three-block p-branes in various dimensions, Nucl. Phys. В 492, 235-2481997).

157. Aref'eva I.Ya., Viswanathan K.S., Volovich I.V., p-Brane solutions in diverse dimensions, Phys. Rev. D 55, 4748-4755 (1997).

158. Aref'eva I.Ya., Volovich A.I., Composite p-branes in diverse dimensions, Class. Quantum Grav., 14,11, 2990-3000 (1997).

159. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Intersecting p-brane solutions in multidimensional gravity and M-theory, Grav. Cosmol. 2, 4, 297-305 (1996).

160. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Generalized intersecting p-brane solutions from the сr-model approach, Phys. Lett. В 403, 23-30 (1997).

161. Aref'eva I.Ya., Viswanathan K., Volovich A.I., Volovich I.V., p-Brane solutions in diverse dimensions, Nucl. Phys. Proc. Suppl. В 56, 52-60 (1997).

162. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Sigma-model for the generalized composite p-branes, Class. Quantum Grav. 14, 3001-3029 (1997); Corrigenda 15 (12), 3941 (1998).

163. Ivashchuk V.D., Rainer M., Melnikov V.N., Multidimensional sigma-models with composite electric p-branes, Grav. Cosmol. 4, 1(13), 73-82 (1998).

164. Bergshoeff E., de Roo M., Eyras E., Janssen В., van der Schaar J.P., Multiple intersections of D-branes and M-branes, Nucl. Phys. , В 494, 119-143 (1997).

165. Aref'eva I.Ya., Rytchkov O.A., Incidence matrix description of intersecting p-brane solutions, preprint hep-th/9612236.

166. Argurio R., Englert F., Hourant L., Intersection rules for p-branes, Phys. Lett. В 398, 61-68 (1997).

167. Aref'eva I.Ya., Ivanov M.G., Rytchkov O.A., Properties of intersecting p-branes in various dimensions, preprint hep-th/97020)7.

168. Aref'eva I.Ya., Ivanov M.G., Volovich I.V., Non-extremal intersecting p-branes in various dimensions, Phys. Lett. В 406, 44-48 (1997).

169. Ohta N., Intersection rules for non-extreme p-branes, Phys. Lett. В 403, 218-224 (1997).

170. Bronnikov K.A., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., The Reissner-Nordstrom problem for intersecting electric and magnetic p-branes, Grav. Cosmol. 3, 3(11), 203-212 (1997).

171. Wald R.M., General relativity., Univ. of Chicago Press, Chicago, 1984, 491p.

172. Filippov A.T., Ivanov V.G., A new class of integrable models of 1 +1 dimensional dilaton gravity coupled to scalar matter, ЯФ 61, 1757-1761, (1998).

173. Bronnikov K.A., Kasper U., Rainer M., Intersecting electric and magnetic p-branes: spherically symmetric solutions, Gen. Rel. Grav. , 31, 1681-1702 (1999).

174. Bronnikov K.A., Grebeniuk M.A., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Integrable multidimensional cosmology for intersecting p-branes, Grav. Cosmol. 3, 2(10), 105-112 (1997).

175. Grebeniuk M.A., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Integrable multidimensional quantum cosmology for intersecting p-branes, Grav. Cosmol. 3, 3(11), 243-249 (1997).

176. Lii H., Maharana J., Mukherji S., Pope C.N., Cosmological solutions, p-branes and the Wheeler De Witt equation, Phys. Rev. D 57, 2219-2229 (1998).

177. Weinberg S., The cosmological constant problem, Rev. Mod. Phys. 61, 1-23 (1989).

178. Sahni V., Starobinsky A., The case for a positive cosmological lambda-term, Int. J. Mod. Phys., D 9, 373-444 (2000).

179. Melnikov V.N., Multidimensional gravity and cosmology: exact solutions, Proc. 8 M. Grossman Meeting, Jerusalem, World Scientific, Singapore, 1997.

180. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Madjumdar-Papapetrou type solutions in sigma-model and intersecting p-branes, Class. Quantum Grav. 16, 849-869 (1999).

181. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Exact solutions in sigma-model with p-branes, 35, J. Korean Phys. Soc., S638-S648, (1999).

182. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multidimensional quantum cosmology with intersecting p-branes, Hadronic J. 21, 319-335 (1998).

183. Grebeniuk M.A., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multidimensional cosmology for intersecting p-branes with static internal spaces, Grav. Cosmol., 4, 2(14), 145-150 (1998).

184. Majumdar S.D., Phys. Rev. 72, 930 (1947); Papapetrou A., Proc. R. Irish Acad. A51, 191 (1947).

185. Бочарова H.M., Бронников К.А., Мельников B.H., Об одном точном решении уравнений Эйнштейна и скалярного поля. Вестн. МГУ. Физ. Астрон. , 6, 706-709 (1970).

186. Szydlowski М., Acta Cosmologica, 18, 85 (1992).

187. Gibbons G.W., Hawking S.W., Action integrals and partition functions in quantum gravity, Phys. Rev., D 15, 2752-2756 (1977).

188. Иващук В.Д., Мельников B.H., Многовременное обобщение решения Шварцшильда, Изв. Вузов. Физика, 6, 111-112 (1994).

189. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multitemporal generalization of the Schwarzschild solution. Int. J. Mod. Phys. D 4, 2, 167-173 (1995).

190. Hewson S., Perry M., The twelve-dimensional super (2 + 2)-brane, Nucl. Phys., В 492, 249-277 (1977).

191. Strominger A., Open p-branes, Phys. Lett. В 383, 44-47 (1996).

192. Townsend P.K., D-branes from M-branes, Phys. Lett. В 373, 68-75 (1996).

193. Tseytlin A.A., No-force condition and BPS combinations of branes in eleven-dimensions and ten-dimensions, Nucl. Phys. В 487, 141-154 (1997).

194. Ohta N., Shimizu Т., Non-extreme black holes from intersecting M-branes, Int. J. Mod. Phys. , A 13, 1305-1328 (1998).

195. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Multidimensional classical and quantum cosmology with intersecting p-branes, J. Math. Phys., 39, 2866-2889 (1998).

196. Feingold A., Frenkel I.B., Math. Ann. 263, 87 (1983).

197. Julia В., in Lectures in Applied Mathematics 21, 355 (1985).

198. Nicolai H., A hyperbolic Lie algebra from supergravity, Phys. Lett. В 276, 333-340 (1992).

199. Никулин В.В., личное сообщение.

200. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., On singular solutions in multidimensional gravity, hep-th/9612089; Grav. Cosmol. 1, 3, 204 (1996).

201. Kac V.G., Infinite-dimensional Lie algebras, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990, 400p.

202. Fuchs J., Schweigert C., Symmetries, Lie algebras and representations. A graduate course for physicists. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997.

203. Adler A., van Moerbeke P., Commun. Math. Phys. 83, 83 (1982).

204. Bogoyavlensky O.I., Commun. Math. Phys. 51, 201 (1976).

205. Kostant В., Adv. in Math. 34, 195 (1979).

206. Olshanetsky M.A., Perelomov A.M., Invent. Math., 54, 261 (1979).

207. Edelstein J.D., Tataru L., Tatar R., Rules for localized overlappings and intersections of p-branes, JEEP 9806, 003 (1998).

208. Izquiero J.M., Lambert N.D., Papadopoulos G., Townsend P.K., Dyonic membranes, Nucl. Phys. 460, 560-578 (1996).

209. Russo J.G., Tseytlin A.A., Waves, boosted states and BPS states in M-theory, Nucl. Phys. В 490, 121-144 (1997).

210. Ohta N., Zhou J.-G., Towards the classification of non-marginal bound states of M-branes and their construction rules, Int. J. Mod. Phys. , A 13, 2013-2046 (1998).

211. Neugebauer G., Kramer D., Ann. der Physik (Leipzig) 24, 62 (1969).

212. Kramer D., Stephani H., MacCallum M., Herlt E., Exact Solutions of the Einstein field equations, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1980.

213. Clement G., Stationary solutions in five dimensional general relativity, Gen. Rel. Grav. 18, 137-160 (1986).

214. Freund P.G.O., Rubin M.A., Dynamics of dimensional reduction, Phys. Lett. В 97, 233235 (1980).

215. Duff M.J., Nilsson B.E.W., Pope C.N., Kaluza Klein supergravity, Phys. Rep. 130, 1-142 (1986).

216. Gibbons G.W., Townsend P.K., Vacuum interpolation in supergravity via super p-branes, Phys. Rev. Lett. 71, 3754-3763 (1993).

217. Strominger A., Vafa C., Macroscopic origin of the Bekenstein entropy, Phys. Lett. 379 99-104 (1996).

218. Castellani L., Ceresole A., D'Auria R., Ferrara S., Fre P., Trigiante M., G/H M-branes and AdSp+2 geometries, Nucl. Phys. В 527, 142-170 (1998).

219. Duff M.J., Lii H., Pope C.N., AdSb X S5 untwisted, Nucl. Phys. В 532, 181-209 (1998).

220. Maldacena J., The large N limit of superconformal field theories and supergravity, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231-252 (1998).

221. Ferrara S., Fronsdal C., Conformal Maxwell theory as a singleton field theory on AdS$, IIB three-branes and duality, Class. Quantum Grav. 15, 2153-2164 (1998).

222. Gubser S.S., Klebanov I.R., Polyakov A.M., Gauge theory correlators from non-critical string theory, Phys. Lett. В 428, 105-114 (1998).

223. Witten E., Anti-de Sitter space and holography, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253-291 (1998).

224. Boonstra H.J., Peeters В., Skenderis K., Brane intersections, Anti-de Sitter spacetimes and dual superconformal theories, Nucl. Phys. В 533, 127-162 (1998).

225. Kasper U., Zhuk A., Integrable multicomponent perfect fluid. Multidimensional cosmology. I, Gen. Rel. Grav., 28, 1269-1292 (1996).

226. Giinther U., Zhuk A., Gravitational excitons from extra dimensions. Phys. Rev. D 56, 6391-6402 (1997).

227. Helgason S., Differential geometry and symmetric spaces, New York: Academic Press, 1962.

228. Ivashchuk V.D., On symmetries of target space for tr-model of p-brane origin, Grav., Cosmol., 4, 3(15), 217-220 (1998).

229. Bronnikov К.A., Block-orthogonal brane systems, black holes and wormholes, Grav. Cosmol. 4, 1(13), 49-56 (1998).

230. Gal'tsov D.V., Rytchkov O.A., Generating branes via sigma models, Phys. Rev. D 58, 122001 (1998).

231. Fre P., Solvable "Lie algebras, BPS black holes and supergravity gaugings, Fortsch. Phys. 47, 173-181 (1999).

232. Grebeniuk M.A., Ivashchuk V.D., Sigma-model solutions and intersecting p-branes related to Lie algebras, Phys. Lett. В 442, 125-135 (1998).

233. Youm D., Black hole and solutions in string theory, Phys. Rep. 316, 1-232 (1999).

234. Ivashchuk V.D., Kim S.-W., Melnikov V.N., Hyperbolic Kac-Moody algebra from intersecting p-branes, J. Math. Phys. 40, 4072-4083 (1999); Erratum ibid. 42, 11 (2001).

235. Ivashchuk V.D., Composite p-branes on product of Einstein spaces, Phys. Lett., В 434, 1, 28-35, (1998).

236. Grebeniuk M.A., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., P-brane multidimensional cosmology with spontaneous compactification of internal spaces. Grav. Cosmol., 5, Supplement, 1-8 (1999).

237. Grebeniuk M.A.', Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Triay R., On some cosmological models with fields of forms, Grav. Cosmol, 5, 3(19), 229-236 (1999).

238. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Cosmological and spherically symmetric solutions with intersecting p-branes, J. Math. Phys., 40 (12), 6558-6576 (1999).

239. Cotsakis S., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., P-brane black holes and post-Newtonian approximation, Grav. Cosmol. 5, 1 (17), 52-57 (1999).

240. Gavrilov V.R., Melnikov V.N., Toda chains associated with Lie algebras Am in multidimensional gravitation and cosmology with intersecting p-branes, Theor. Math. Phys. 123, 3, 374-394 (2000) (in Russian).

241. Ivashchuk V.D., Kim S.-W., Solutions with intersecting p-branes related to Toda chains, J. Math. Phys., 41, 444-460 (2000).

242. Toda M., Theory of Nonlinear Lattices, Springer-Verlag, Berlin, 1981.

243. Anderson A., An elegant solution of the N body Toda problem, J. Math. Phys. 37, 13491355 (1996).

244. Bronnikov K.A., Gravitating brane systems: some general theorems, J. Math. Phys. 40, 2, 924-938 (1999).

245. Ivashchuk V.D., Melnikov V.D., Billiard representation for multi-dimensional cosmology with intersecting p-branes near the singularity. J. Math. Phys., 41, 8, 6341-6363 (2000).

246. Damour Т., Henneaux M., Phys. Rev. Lett. 85, 920 (2000).

247. Dobiash P., Maison D., Stationary, spherically symmetric solutions of Jordan's unified theory of gravity and electromagnetism, Gen. Rel. Grav. 14, 231-242 (1982).

248. Gross D.J., Perry M.J., Magnetic monopoles in Kaluza-Klein theories, Nucl. Phys. В 226, 29 (1983).

249. Sorkin R.D., Kaluza-Klein monopole, Phys. Rev. Lett. 51, 87-90 (1983).

250. Gibbons G.W., Wiltshire D., Black holes in Kaluza-Klein theory, Ann. Phys. 167, 201 (1986); Erratum: ibid 176, 393 (1987).

251. Chen C.-N., Gal'tsov D.V., Maeda K., Sharakin S., SL(4, R) generating symmetry in five-dimensional gravity coupled to dilaton and three-form, Phys. Lett. В 453, 7-16 (1999).

252. Chen C.-N., Gal'tsov D.V., Sharakin S., Einstein gravity supergravity correspondence.

253. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., P-brane black holes for general intersections, Grav. Cosmol., 5, 4(20) 313-318 (1999).

254. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Black hole p-brane solutions for general intersection rules.

255. Grav. Cosmol, 6, 1(21), 27-40 (2000).

256. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Toda p-brane black holes and polynomials related to Lie algebras, Class. Quantum Grav. 17, 2073-2092 (2000).

257. Bronnikov K.A., Melnikov V.N., P-brane black holes as stability islands, Nucl. Phys. В 584, 436-458 (2000).

258. Rogers A., J. Math. Phys., A global theory of supermanifolds, 22, 5, 939-945 (1981).

259. Иващук В.Д., Об аннуляторах в бесконечномерных алгебрах Грассмана-Банаха, ТМФ, 79, 1, 30-40 (1989).

260. Иващук В.Д., Обратимость элементов в бесконечномерных алгебрах Грассмана-Банаха, ТМФ, 84, 1, 13-22 (1990).

261. Иващук В.Д., Тензорные банаховы алгебры проективного типа I, ТМФ, 91, 1, 17-29 (1992).

262. Иващук В.Д., Тензорные банаховы алгебры проективного типа И. ^-случай, ТМФ, 91, 2, 192-206 (1992).

263. Ivashchuk V.D., Infinite-dimensional Grassmann-Banach algebras, math-ph/0009006.

264. Ivashchuk V.D., On supersimmetric solutions in D = 11 supergravity on product of Ricci-flat spaces, Grav. Cosmol. 6, 4(24), 344-350 (2000).

265. Kaya A., A note on a relation between Killing spinor and Einstein equations, Phys. Lett. В 458, 267-273 (1999).

266. Ivashchuk V.D., Manko V.S., Melnikov V.N., Post-Newtonian parameters for general black hole and spherically symmetric p-brane solutions, Grav. Cosmol. 6, 3 (23), 219-224 (2000).

267. Ivashchuk V.D., Kenmoku M., Melnikov V.N., On quantum analogues of p-brane black hole, Grav. Cosmol. 6, 3 (23), 225-232 (2000).

268. Berezin V.A., Kuzmin V.A., A new possibility of cosmological model construction in Kaluza-Klein theories, Mod. Phys. Lett. A3, 1421 (1988).

269. Dianyan X., Class. Quantum Grav. 5, 871 (1988).

270. Bleyer U., Liebscher D.-E., Schmidt H.-J., Zhuk A.I., On the Wheeler-DeWitt equation in multidimensional cosmology with phenomenological matter, Wissenschaftliche Zeitschrift, 39 (1990) 20-24.

271. Miiller V., Schmidt H.-J., Starobinsky A.A., Power-law inflation as an attractor solution for inhomogeneous cosmological models, Class. Quantum Grav. 7, 1163-1168 (1990).

272. Campbell L., Garay L., Quantum wormholes in Kantowski-Sachs space-time, Instituto de Optica, C. S. I. C. at Madrid report, 1990; Phys. Lett. В 254, 49-54 (1991).

273. Birrell N., Davies P., Quantized fields in curved space-time, Cambridge University Press, 1980.

274. Grib A.A., Mamaev S.G., Mostepanenko V.M., Vacuum quantum effects in strong fields, St. Petersburg, Friedmann Laboratory Publishing, 1994.

275. Chernikov N.A., Tagirov E.A. Quantum theory of scalar field in de Sitter world. Ann. Inst. H. Poincare 9, 109-133 (1968).

276. Peleg Y., On the third quantization of general relativity, Class. Quantum Grav., 8, 827-842 (1991).

277. Peleg Y., Interacting third quantized general relativity and change of topology, Mod. Phys. Lett., A 8, 20, 1849-1858 (1993).

278. Иващук В.Д., Регуляризация е-метрикой. I. Изв. АН Молд. ССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук, 3, 8-17 (1987).

279. Иващук В.Д., Регуляризация б-метрикой. II. Предел е = +0, Изв. АН Молд. ССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук, 1, 10-20 (1988).

280. Greensite J., Dynamical origin of the Loretzian signature of space-time, Phys. Lett. В 300, 34-37 (1993).

281. Carlini A,, Greensite J., Why is space-time Lorentzian, Phys. Rev. D 49, 866-878 (1994).

282. Elizalde E., Odintsov S.D., Romero A., Dynamical determination of the metric signature of space-time of non-trivial topology, Class. Quantum Grav. 11, L61-L64 (1994).

283. Ivashchuk V.D., Wick rotation, regularization of propagators by a complex metric and multidimensional cosmology, Grav. Cosmol., 3, 1 (9), 8-16 (1997).

284. Бухбиндер И.Л., Кириллова E.H., Изв. Вузов. Физика, 6, 20 (1988).

285. Giddings S., Strominger A., Axion induced topology change in quantum gravity and string theory, Nucl. Phys. В 306, 890 (1988).

286. Myers R.S., New axionic instantons in quantum gravity, Phys. Rev. D 38, 1327 (1988).

287. Hawking S.W., Wormholes in space-time, Phys. Rev. D 37, 904-911 (1988).

288. Misner C.W., Quantum cosmology.I., Phys. Rev. 186, 1319-1327 (1969).

289. Белинский B.A., Лифшиц E.M., Халатников И.М., УФН 102, 463 (1970).

290. Misner C.W., The Mixmaster cosmological metrics, preprint UMCP PP94-162; preprint gr-qc/9405068.

291. Аносов Д.В., Геодезические потоки на многообразиях постоянной кривизны, М.: Труды Математического института им. Стеклова, 1967.

292. Корнфельд И.П., Синай И.Г., Фомин С.В., Эргодическая теория, М.: Наука, 1980.

293. Солтан П.С., Изв. АН Молд. ССР 1 (1963) 49.

294. Болтянский В.Г., Гохберг И.З., Теоремы и проблемы комбинаторной геометрии, М.: Наука, 1965.

295. Fejes Toth L. Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und Raum. Berlin: Springer, 1953.

296. Rogers C.A., Covering a sphere with spheres, Mathematika, 10, 20, 157-164 (1963).

297. Chitre D.M., Ph. D. thesis, Univ. of Maryland, 1972.

298. Misner C., Thorne K., Wheeler J., Gravitation, Freeman & Co., San Francisco, 1972.

299. Pullin J., Time and chaos in general relativity, preprint Syracuz. Univ. Su-GP-91/1-4; 1991 in Relativity and Gravitation: Classical and Quantum, Proc. of SILARG VII Cocoyos Mexico, 1990 (Singapore, World Scientific) ed. D'Olivo J С et al.

300. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Billiard representation for multidimensional quantum cosmology near the singularity, preprint RGA-CSVR-014/94, gr-qc/ 9411012.

301. Aref'eva I.Ya., Medvedev P.B., Rytchkov O.A., Volovich I.V., Chaos in M(atrix) theory, preprint hep-th/9710032.

302. Myers R.C., Perry M.J., Black holes in higher dimensional space-times, Ann. of Phys., 172, 304-347 (1986).

303. Bleyer U., Ivashchuk V.D., Mass bounds for multidimensional charged dilatonic black holes, Phys. Lett. В 332, 292-296 (1994).

304. Bleyer U., Bronnikov K.A., Fadeev S.B., Melnikov V.N. On black hole stability in multidimensional gravity. Preprint AIP-94-01, Astron. Nachr. 315, 6, 399-408 (1994).

305. Bronnikov K.A., Charged black holes and multidimensional gravity. Ann. der Phys., 48, 8, 527-534 (1991).

306. Бронников K.A., Устойчивость многомерных черных дыр. Изв. Вузов. Физика, 1, 106-110 (1992). •

307. Garfinkle D., Horowitz G., Strominger A., Charged black holes in string theory. Phys. Rev., D 43 3140-3143 (1991); Erratum, ibid. D45 3888 (1992).

308. Shiraishi K., Quantum effects near charged dilaton black holes, Mod. Phys. Lett., A 7, 3569-3574 (1992).

309. Gibbons G.W., Wells C.G., Anti-Gravity bounds and the Ricci tensor, DAMTP preprint R93/25, 1993.

310. Kalitzin N.S., Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt- Universitat zu Berlin, Jg. VII, 2, 207 (1957/58).

311. Kalitzin N.S., Izv. Bolgar. Ah. Nauk, Fiz. 7, 219 (1959).

312. Maki Т., Shiraishi K., Multi-black hole solutions in cosmological Einstein-Maxwell dilaton theory, Class. Quantum Grav. 10, 2171-2178 (1993).

313. Kastor D., Traschen J., Cosmological multi-black hole solutions, Phys. Rev. D 47, 53705375 (1993).

314. Home J.H., Horowitz G.T., Cosmic censorship and the dilaton Phys. Rev. D 48, R5457-R5462 (1993).

315. Maki Т., Shiraishi K., Extremal black holes and strings in linear dilaton vacua, Progress of Theor. Phys., 90 1259-1268 (1993).

316. Shiraishi К., Multicintered solution for maximally charged dilaton black holes in arbitrary dimensions, J. Math. Phys. 34 1480-1486 (1993); Moduli space metric for maximally charged dilaton black holes, Nucl. Phys. В 402, 399-410 (1993).

317. Poletti S.J., Wiltshire D.L., The global properties of static spherically symmetric charged dilaton space-times with Liouville potential, Phys. Rev. D 50, 7260-7270 (1994).

318. Bronnikov K.A., Spherically symmetric solutions in D-dimensional dilaton gravity. Grav. Cosmol., 1, 1, 67-78 (1995).

319. Yoshimura M., Classification of the static vacuum metric with Ricci-flat compactification, Phys. Rev. D 34, 4, 1021-1024 (1986).

320. Myers R.C., Higher-dimensional black holes in compactified space-times. Phys. Rev. D 35, 2, 455-466 (1987).

321. Callan C.G., Myers R.C., Perry M.J., Black holes in string theory, Nucl. Phys. В 311, 673 (1989).

322. Pavsic M., Unified theory of gravitation and electromagnetism based on the conformal group 50(4,2), Nuovo Cimento В 41, 397-427 (1977).

323. Ingraham R.L., Conformal relativity. Part 6. The general theory, Nuovo Cimento В 50, 233-270 (1977). .

324. Сахаров А.Д., ЖЭТФ 87 (1984) 375.

325. Kugo Т., Townsend P.K., Supersymmetry and the division algebra, Nucl. Phys. В 221, 357 (1983).334. van Nieuwenhuizen P., in: Relativity, groups and topology, ed., DeWitt and Stora, North-Holland, Amsterdam, 1983.

326. Арефьева И. Я., Волович И.В., Теории Калуцы-Клейна и сигнатуры пространства времени, Письма в ЖЭТФ 41, 654 (1985).

327. Blencowe М.Р., DuffM.J., Supermembranes and the signature of space-time, Nucl. Phys. В 310, 387 (1988).

328. Hull C.M., Warner N.P., Noncompact gaugings from higher dimensions, Class. Quantum Grav. 5, 1517 (1988).

329. Popov A.D., Hyperbolic strings, Phys. Lett. В 259, 256-260 (1991).

330. Каменев А.В., Проблемы гравитационной теории и теории относительности, М.: УДН, 1986, р. 20.

331. Ivashchuk Y.D., Melnikov V.N., Exact solutions in multidimensional gravity with antisymmetric forms, topical review, Class. Quantum Grav. 18, R87-R152 (2001).

332. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Selivanov A.B., Multidimensional black hole solutions in models with an anisotropic fluid, Grav. Cosmol. 7 4(28), 308-310 (2001).

333. Grebeniuk M.A., Ivashchuk V.D., Kim S.-W., Black-brane solutions for C2 algebra, J. Math. Phys. 43, 6016-6023 (2002).

334. Grebeniuk M.A., Ivashchuk V.D., Melnikov V.N., Black-brane solution for A3 algebra, Phys. Lett. В 543, 98-106 (2002).

335. Ivashchuk V.D., Composite fluxbranes with general intersections, Class. Quantum Grav. 19, 3033-3048 (2002).

336. Ivashchuk V.D., Composite S-brane solutions related to Toda-type systems, Class. Quantum Grav. 20, 261-276 (2003).