Топологическая эквивалентность линейных автономных уравнений в C m при наличии жордановых клеток тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

* 3 О? 9'

АКАДИШ НАУК СССР • ОРДЕНА. ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЩИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В.А. СТЕКЛОВА

Специализированный ученый совет Д 002. 38. 01

На правах рукописи УДК 517.925

Ортис Бобадилья Лаура

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ УРАВНЕНИЙ В О ПРИ НАЛИЧИИ ЖОРДАНОВЫХ КЛЕТОК 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - ГЭ9Г

О.е /

Работа выполнена в Ордена Ленина в Ордена Октябрьской Революции Иатематикеском институте им. В.А. Стеклова АН СССР

Научный руководитель :

доктор физико-математических наук, академик В.И. Арнольд. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук , Р.И. Богданов ( Институт Ядерной Физики МГУ ); кандидат физико-натеыатических наук, С.Ю. Яковенко ( Институт Проблем Управления АН СССР ). Ведущая организация:

Мооковский Государственный Университет

Защита диссертации состоится "• /■? и бстзк^/сз) 1991г.

в " Н " часов на заседании специализированного ученого совета Д 002. 38. 01 в Математическом институте им» В.А. Стеклова АН СССР по адресу : П7966, ГСП-Г, Москва, Вавилова 42, Математический институт им. В.А. Стеклова АН СССР .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан " /? к инэ/З)_1991 г.

Ученый секретарь Специализированного совета , доктор физико-математических наук

А.К. Гупин .

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ стуальность темы. Вопрос о топологической классификации особых то-ек динамических систем с комплексным временем впервые обсуждал .И.Арнольд в 1969. В 70-х годах топологическая классификация комп-ексных линейных систем в (С."1 была далеко продвинута в работах Х.Гу-енхеймера, Н.Н.Ладиса, В.С.Ильяшенко, Ц.Камачо, Н.Н.Кайпера и дс.Палиса5.

Топологическая классификация линейных дифференциальных уравне-

ш '

[ий в (L тесно связана с расположением на комплексной плоскости соб-¡твенннх чисел матрицы, определяющей уравнение. А именно, в работе С.ГукенхеЙмера доказано*, что любые два линейных дифференциальных гравнения в С."1 являются топологически эквивалентными, если для саздой из матриц, определяющих эти уравнения, набор собственных зна-гений состоит из m попарно различных чисел, которые лежат по одну зторону от некоторой, проходящей через нуль прямой (условие ПуанкареV, ® никакие два из них не имеют вещественного отношения (условие гиперболичности). Для систем с наборами собственных чисел, не лежащих по

одну сторону от проходящей через нуль прямой (условие Зигеля), по> ч

ложение совсем другое. Так, в работах Н.Н.Ладиса, В.С.Ильяшенко, Ц. Камачо, Н.Н.Кайпера и Дж.Палиса доказано, что любые два линейных дифференциальных уравнения с гиперболическими зигелевыми наборами попарно различных собственных чисел Л = и М= (д!,,....,/^) топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда наборы Л"=(>С,... 5-О и M-fH,',..-,^ ) IR-линейно эквивалентны.

В диссертации, в основном, изучается топологическая классификация

1. Арнольд В.И., Функц. анализ,1969, т.5, вып.1, 1-6.

2. C,uKEH«ctMERT.,CoHpMiTio Math . , 1972, 24, № I, 75-62.

3. Ладяс H.H., Дифф. уравнения, 1977, 13, Ä 2, 255-265.

4. Ильяшенко Ю.С., Функц. анализ, Г977, т.II, вып.2, 28-38.

5. СамасноС, KuipER N., PAUS X, PUSH.MATH . I.RE.S. , 1978 , 48 , 5-38.

3

комплексных линейных систем в СГ при наличии нетривиальных жор-дановых клеток и с гиперболическими наборами собственных чисел , соответствующих всем жордановым клеткам в области Зигеля (в области Пуанкаре ) . Оказывается, что для топологической классификации в случае, когда линейное комплексное уравнение имеет гиперболические собственные значения, соответствующие всем жордановым клеткам в области Зигеля, наличие нетривиальных жордановых клеток является жестким условием, так как оно влечет (С. -линейную эквивалентное! наборов собственных чисел.

В 1978 Ю.С.Ильяшенко и Н.Н.Ладис объявили', что два комплекс ных линейных дифференциальных уравнения со строго зигелевыми гиперболическими сиектрами Л и И и нетривиальными жордановыми кле

.отиечеиняе .

ками топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда' наборы А и М (Л -линейно эквивалентны. Доказательство этой теоремы не было опубликовано. В диссертации доказан более слабый вариант . А именно, требуется наличие хотя бы одной нетривиальной жордановой клетки, хотя бы двух собственных значений порядка 1 } и чтобы все собственные значения порядка 1 образовали с каждым собст-

венным значением, соответствующим жордановой клетке порядка больше 1 , строго зигелев гиперболический набор.

В случае Пуанкаре, в отличие от диагонализируемого случая, гд все собственные значения равноправны, наличие жордановой клетки в линейной системе ввделяет одно из собственных значений и поэтому положение этого значения относительно остальных собственных значений оказывается решающим для топологической классификации уравнения. В диссертации доказано, что если два линейных дифференциальных

уравнений с ровно одной жордановой клеткой порядка к»* , к >о .в «.к

0_ и с гиперболическими наборами собственных чисел

М = (/<,,...,/4щ) (соответственно) в области Пуанкаре, такими, что А, и я. соответствуют жордановой клетке соответствующих уравнений,топологически эквивалентны,то по левую сторону от прямых Л, ¡И и д К , ориентированных векторами Д, I Д . лежит одинаковое число собственных значений из наборов А и М соот-; ветственно.

Нелинейные уравнения. Из работы М. Шаперона ' следуетг что если полупростая часть А линейной части аналитического векторного поля V в особой точке слабо гиперболическая и нерезонансна, то для каждого натурального числа к поле у ^-эквивалентно нормальной форме А + N '• , где М' - нильпотентная часть линейной части поля V .

Этот результат позволяет обобщить результаты диссертации для нелинейных уравнений.

Дель работы. Дальнейшее исследование критериев топологической эквивалентности для не изученных ранее классов линейных систем с комплексным временем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения„ 8 параграфов и заключения. Объем работы 70 страниц ; библиогра -фия содержит и наименований.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного.

Научная новизна. Даны критерии топологаческой эквивалентности для линейных гиперболических систем с комплексным временем в области Зягеля ( в области Пуанкаре ) при 'наличии Жордановых клеток

1. С НАРППСИ М . Риви.Млт. 1.М.Е.5., 1367, ЬЛ ,

( ровно одной хордановой клетки ) .

Теоретическая значимость . Результаты диссертации являются продолжением ряда результатов о топологической классификации линейных дифференциальных систем с комплексным временем, полученных в 70 -х годах,которые в свое время являлись неожиданными. В частности, в случае, когда набор гиперболических собственных чисел уравнения лежит строго внутри области Зигеля, получено, что при наличии хордановых клеток самая слабая эквивалентность между уравнениями( топологическая эквивалентность ) равносильна аналитической. Другими словами, доказано существование явления абсолютной негрубости.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинарах МГУ, Института Математики Мексиканского Автономного Университета и С1МАТ ( Гуанахуато-Мехико) 0 99 0 -9'1) .

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ...

Введение к диссертации содержит краткие исторические сведения и общую характеристику рассматриваемых задач и полученных результатов.

В первом параграфе обсуждаются основные понятия и явление . топологической инвариантности преобразований монодромии. Дана также формулировка основной теоремы

Теорема (Основная) . Если два линейных дифференциальных уравнени в комплексном пространстве С4

ж ш

Л, 1 0 0

о л, о о

о о л, о

о о о л,

>,100

О М, о о

о о я» о

.0 О О Я,

г , 2»(н.,г,,г„г,) и <С

V/ , Ч), = <Ц /<Н, и с

ги!Тев5Ъ»ииш(и мм

со строго зягелевыми' наборами собственных чисел топологически эквивалентны, то наборы { , И {С^м.V,(А«, Я,)] С-линей-

но эквивалентны.

Допуская вольность речи, комплексную фазовую кривую голоморфного векторного поля будем называть решением соответствующего уравнения наряду с ее параметризацией.

Пусть р - точка в С* , р =(^,(>,(3^) . Решение уравнения (1.1) , проходящее через точку р , обозначим Ц ,

Пусть е к - к -й орт в С. . Сепаратрисы к = о,г,з, являются единственными решениями уравнения (м) , когорт , при добавлении к ним особой точки О , превращаются в открытые топологические диски.

В дальнейшем через (Х,х) обозначается окрестность точки эс в топологическом пространстве X ; через -С :(х,х) ♦ (У, у) обозначается отображение, переводящее х в у . Разные окрестности точки х обозначаются (Х,х) . (Х,х)' , и т.д. Для уравнений 0.1) и (1.2) в диссертации употребляются координаты гк я , к = 0,1,2,3 , соответственно.

Обозначим через - трансверсаль к сепаратрисе Ч^ , к^о.г.5, Г {н | гк = 1} * Пусть петля Л '►—» ^ - представитель класса [у] е тт,(7к) такой, что начальная точка У (о) £ Г^ .В силу теоремы об аналитической зависимости решения от начального условия определено преобразование монодромии из окрест-

ности точки У (о) в окрестности (Г^е^)* . которое

сопоставляет каждой точке ре(!^,е„) результат продолжения решения ^ вдоль кривой 2До,1] •—> % , накрывающей петлю Ц Росток отображения А( не зависит от выбора представителя а

классе Í е. тт, (•?„)

Отображение соответствия одной трансверсали на другую Дк.:(Гк,р).—, Kf j, к.К о.г.з , определяется с помощью

Дуги íp : Со. i] •-> • соединяющей точку р с точкой q на

решении . AKJ- - комплексное отображение соответствия .

Оно допускает,вообще говоря, неоднозначное аналитическое продолжение. Мы выбираем такую ветвь логарифма, что AKj(p) = .

Доказательство основной теоремы существенно опирается на топологическую инвариантность преобразований монодромии и отображения соответствия. Это явление выражает тот факт, что топологическая эквивалентность уравнений влечет за собой Топологическую эквивалентность преобразований монодромии и отображений соответст -вия.

Второй параграф посвящен вычислению времени, соответствующего п -ой степени преобразования ионодромии при наличии жор-дановой клетки первого порядка.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с жордано-вой клеткой в С*

Пусть г: ={(г01г.) |zo = l} - трансверсаль к сепаратрисе VJ уравнения (г.О . Для точки (i,z) в окрестности (Г^е.) преобразование монодромии Ао:(Г7 e.V'—»(£,0* опРеДелено и оно имеет вид

Ae<ifB) *(еАТ'(1Л;г),еАТ,г) ,

где - голоморфная функция от z вблизи нуля такая, что

справедливы равенства

еДТ'(1Л>) = 1 , TjÍOUZTTÍA"' .

Основным результатом параграфа является следующее

Предложение г.1 Пусть _ПГ = {(1,2) 1к г, |агдг|< тт/4} -сектор в , пусть Л = гпс . Тогда для каждого натурального числа

п при достаточно малом г определена п -суперпозиция преобразования монодромии в Г1г . Кроме того, время,

соответствующее п -ой степени преобразования монодромии А"в ) выражается формулой

Х,(г.) =Л"' Сгпёп - 1п(|+пг) + ,

где Ч-'сп.г) - равномерн^сходящаяся к нулю функция при 2 -*• о ,. 2 е Пг .

В дальнейшем = гпС , Х- 2тт£ ЛТ' ) ] = 1,г,ъ ,

В третьем параграфе содержится основная конструкция. Эта конструкция позволяет провести доказательство основной теоремы.

В силу условия Зигеля и гиперболичности набора собственных чисел (А.^к'Ч) уравнения (и) . для любого фиксированного числа £ в отрезке (0,1) существует последовательность целых чисел такая, что

-«Г1'

О^кГЛ'ф, ,где + .„(3.1)

В начале построения выбирается последовательность точек {^ в такая, что ^ стремится к точке ре(£(е„)л(2в,*,)Ч?и и

стремится к точке еС^.е.) » где р,<). - фиксированные

точки такие, что . соответственно. Сущест-

вование указаной последовательности следует из условия Зигеля

Э

в гиперболичности набора собственных чисел. Кроме того, значение первой координаты р 2,(рт) выбирается равным (К™) £ .

Затем определяются последовательности гт и на транс-

версали (Г2)ег) равенствами

г^дло , ^ = ... <„>

Точки г е (Г^.е,) П (г0.г,) и з е (Г^) П(гг>г3) являются предельными для последовательностей гт и 5т соответственно . Кроме того, Но(г)^0 и Н3(5)^0 .

Это построение позволяет применять результаты работы Ю. С. Ильяшенко1 и доказать, что из топологической эквивалентности уравнений (и) и (1.2) следует -линейная эквивалентность

наборов , л;' ^ и {(яД(м;', м]' ) } .

Пусть • А : 1—► - линейное преобразование такое,

что А (я.}') = Л,"' I ^ 1,2,5 . Сделав,'при необходимости, С -линейт-ную замену, можно предположить, что Л,-,М, = 2п£ . Отсвда А(£)= ¿.

Чтобы закончить построение, определяются последовательности ит и V,,, на трансверсали (Г|,ез) равенствами

I А Ц **>

ц„ - Аи ^ , ут д; (ои) ...

Точки и с Сг;,е4)П (2а,23) и 5 е п (г,являются предельными для последовательностей ит и Ут соответственно . Кроме того, и

Пусть - решение уравнения (м) с начальным уело-

л

вием а. . Мы рассматриваем универсальную накрывающую У над

Ъ ^ естественным образом определена'функция "время" равенствами

!•■. Ильяиенко Ю.С., Функц. анализ, 1977,х11,г, 28-38.

<Ла = ¡-12 3 I (а) =0

* Ь д. г. и ' '

\ 1 0 Ч

Равенство Сзг) определяет путь, соединяющий точки рт и на решении Ч* . Аналогичным образом соединены точки

с гЛ , гт с Т с и и и„, с У„, на решении У

\ ■ С см. равенства С*.^) и Сз.-ч) ) . Итак, можно представить "время"

(О из точки р в точку у_ в виде разложения

Чт, т

*р(0 = (О + ^ ЬО .

'т 'т т т

Доказано, что последнее равенство эквивалентно равенству

где V = ЧЧС. р^-) равномерно сходящаяся к нулю функция по к," 1Р* Рт,-*0 • В силу (з.Л ■Ьрп>1у„,)=0(1)

Четвертый параграф посвящен исследованию образа основной конструкции под действием сопрягающего гомеоморфизма.

Пусть Н -гомеоморфизм, сопрягающий уравнения (1.0 с уравнением (1Д) . Для любой не положим И (о.) - а' .

Так же, как и для уравнения (1.1) , определены преобразова -ния монодромия :»(С«еи)» отображения соответствия

: --* ^ . ^к-о.г,з и функции "время"

Используя проектирования вдоль решений уравне1шя п.г) тгн' : (Се^ —» ССеЛ , к=о,г,з , * обозначая £ = тткЧ<0 имеем, что каждой точке рт ^ , гм ,5т , .ии.у«,) основной конструкции соответствует точка г5Дс| . ,5т , От,У„ )

Кроме того, каждой предельной точке р , г, 5, и, у) соответствует точка р' (соответственно г', 5', о', V') .Точки р'.%' г', б' , и', V ' лежат в инвариантных плоскостях уравнения 0.2), соответствующих инвариантным плоскостям уравнения а.1) .

А

Пусть и. = гти'/ч. , j =1,2,3. Основным результатом этого

' J Л

параграфа является равенство

кгА+Сл * л Пп и*рт< -ои) ...а,

где ^ = и равномерно по к,*"

сходящаяся к нулю функция.при ^ о.

Пятый параграф посвящен завершению доказательства основной теоремы и выводу ее следствия для систем в С™ , имеющих одну нетривиальную жорданову клетку второго порядка и с зигелевыми гиперболическими наборами собственных чисел.

я к

Применяя линейное преобразование А : (С <—+ к равенству И О и вычитая полученное равенство из формулы (3.1) , имеем

АО). Мир =

Последнее равенство эквивалентно равенству

Используя равноправность систем (1.1) и (х.г) , получим, что •«'г*. Отсюда и яг равенства А (С) = £ следует А * *с) . Это * доказывает основную теорему.

Шестой параграф посвящен обобщению основной теоремы для систем, имеющих жордановы клетки порядка к>2 .

Основным результатом этого параграфа является следующая

Теорема 6.Г. Пусть А и Б - комплексные матрицы в £ Кт,<£). имеющие ровно одну нетривиальную жорданову клетку порядка км , к»г, с собственным значением Л, и >и, соответственно. Предположи«, что

спектры Л г(Л......Д„) и ....., п»т-к матриц А и

В соответственно являются зигелевыми гиперболическими наборами. Тогда, если системы дифференциальных уравнений

.¿г... Да , *сСт , ^

В^ , ^С™ -Л*)

топологически эквивалентны, то наборы {(л,) ; (Д,] и ^ £.-линейно эквивалентны.

Предположим, что матрицы А и "Е> записаны в жордановой блочно-диагональной форме. Предположим также, что гиперплоскость

(г.......соответствует жордановой клетке матрицы А с

собственным значением Л, (гиперплоскость . (у/, и

собственное значение >4, соответствуют жордановой клетке матрицы

В) .

Доказательство теоремы для случая жордановоИ клетки более высокого порядка так же, как для случая второго порядка, основано на вычислении времени , соответствующего ш обходам вдоль петли на сепаратрисе VI, . Все остальные необходимые при доказательстве рассуждения повторяют с небольшими изменениями рассуждения, приведенные в параграфах 3-5.

Для вычисления времени "Т^, рассматривается линейное дифференциальное уравнение с жордановой клеткой порядка кч 1 в С,"*',

л 1 о... о" О Л j ... 0 V 2,

¿к ооо -л л. ... а.

Пусть Г^ = { г е (!С 1 - 1 } - трансверсаль к сепаратрисе V„ уравнения (с.~ь) и пусть Л^О^е, )*—» (£,e;V ~ преобразование монодромии, соответствующее . Имеет место следующее

Предложение 6.2. Пусть'

nr»{(J.ï)ci:|lZ1l<rI|ar3a1|i^4 , lïjlAlJWfc} |îrg2.lin/4 , - сектор в (Г1,0 и пусть Х-гтхС . Тогда для всякого nclU , г» -суперпозиция преобразования монодромии определена в

некоторой связной подобласти JTL сектора .П ( при достаточно малом г) , содержащей точку (i,o) в ее замыкании. Кроме того, время , соответствующее п - ой степени преобразования монодромии, выражается формулой

~1^(г) = /'[гп1п-1п(нг\2^-+п,<2к/к! ) + Ф0>,г)"]

где Ч'Сп.-г^ - равномерно по п сходящаяся к нулю

функция при . г -» о , г е П .

Наконец, приведем формулировку теоремы для системы с более, чем одной, нетривиальной жордановой клеткой. Эта теорема является следствием теоремы I и теоремы 6.1.

Теорема 2. Пусть А и "В - комплексные матрицы в 0(Vn, (С > имеющие хотя бы две тривиальные жордановы клетки и хотя бы одну нетривиальную жорданову клетку. Пусть ос -(<*t <х k ) ,

(р,) наборы собственных значений, соответствующие жор-дановым клеткам первого порядка матриц А н Ь соответственно. Пусть Л=(Л,.....Лп и М^ (А,..../М„) - остальные собственные значения матриц А и соответственно. Предположим, что для каждого п .и,;}"'* (^ 0 ^ является зигелевыи гиперболическим набором. Тогда, если системы дифференциальных уравнений

¿г/А\ = Аг , эеГ , Ы

с)\м/И = В« , ы е <Цт > ^ е С

топологически эквивалентны, то наборы ... 5 ; <* ] и

;Яп1 ; Р ] С-линейно эквивалентны.

Седьмой параграф посвящен исследованию линейных дифференциальных уравнений с гиперболическими собственными значениями в области Пуанкаре и с ровно одной нетривиальной жордановой клеткой.

Приведем формулировку доказанной в §7 теоремы.

Теорема 4. Пусть два линейных гиперболических дифференциальных уравнения с жордановой клеткой в (£т,к топологически эквивалентны. Пусть наборы собственных чисел (АЛт) , М-Ои, каждого уравнения принадлежат области Пуанкаре, и предположим, что Л, иД соответствуют жордановой клетке порядка им соответствующих уравнений. Тогда по левую сторону от прямых ЛД и /х, 1Й. » ориентированных векторами Л, и /I, , лежит одинаковое число собственных значений из наборов Д и М соответственно.

Доказательство теоремы следует из топологической инвариантности преобразований монодромии.

Восьмой параграф посвящен обобщению предшествующих результатов для систем, имеющих нулевое собственное значение и все остальные собственные значения - гиперболические и в области Пуанкаре.

Теорема 5. Любые два диагонализируемых дифференциальных уравнения в С с нулевыми собственными значениями порядка ^ и со всеми остальными гиперболическими т ц - $ попарно различными собственными значениями, лежащими в области Пуанкаре, топологически эквивалентны.

Также справедлива следующая

Теорема 6. Пусть два линейных дифференциальных уравнения А

.г _ тис,.!

и А в с ровно одной нетривиальной жордановой клеткой поряд

ка к-и , к>о , и нулевыми собственными значениями Лв и ,4. соответственно порядка Л> о (без нетривиальных жордановых клеток ) топологически эквивалентны. Пусть наборы ненулевых собственных чисе

Л = (Д.......и м = ( Яг ,•••> Мт) каждого уравнения -

гиперболические и принадлежат области Пуанкаре. Предположим, что собственные значения , и /4, соответствуют нетривиальной жордановой клетке уравнений Л и Л ' . Тогда по левую сторону от прямы* А 1Й. ид1(? , ориентированных векторами Л, и }А, , лежит одинаковое число значений из наборов А и М соответственно.

В топологической классификации линейных векторных полей в Г остаются открытыми некоторые вопросы. В Заключении поставлены эти вопросы, а также обсуждаются вопросы о коразмерности соответствующих вырождений. Отмечено, что самая маленькая вещественная кораг мерность неисследованного случая равна единице.

Автор выражает искреннюю и глубокую благодарность своему научному руководителю В.И.Арнольду и Ю.С.Ильяшенко за постановку задачи и ценные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Арнольд В.И., Замечания об особенностях конечной коразмерности в комплексных динамических системах. Функц.анализ, т.15, вып. i , 1969 , 1 - 6.

2. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнения. Москва, Наука, 1978, 304.с.

3. Camacho С., KuipeivN.,"Paus Т. ,Тнв то(Чхо(,у of ношмоарше ruows with singularity PUUL. Math. X.H.E.S. , 1478 , 5"-зв .

4. СнАРЕЯОК M., С - COMJUHACy OF HOLOMORpHlC FUWS USAI A SIM^ULARIfy . PuBL. MaTU .

r.H.E.S. 1487 , H3- 105.

5. c¡ukenhe¡m6g t., hartmam's чнеокем for complex flows in ihb "rmhcahs domain, compositio math. , 24 , ы&i. , 1472 . 75-8 2 .

6. Ильяшенко Ю.С. Замечания о топологии особых точек аналитических дифференциальных уравнений, в комплексной области и Теорема Ладиса. Функц. анализ и его прил. т. u 0 вып.. 2, 1977 , 28-38.

7. Il'i'asbi»ko,Tu.$. Global amo local aspectí Огтне тнЕо*)> of complex Dirre*eNTiAi. eûuatioms . hslsimki, "Froc. 1нт»еы. Con*». Math , 1978 , 821-8268. Ладис H.H. Топологическая эквивалентность гиперболических линейных систем, Дифф.уравнения 13, N„ 2, 1977,' 255-265.

9: Ладис H.H. Топологические инварианты комплексных линейных потоков, Дифф. уравнения 12, Ne 2, 1976, 2159-2)69.

0. Щербаков A.A. Топологическая классификация ростков конформных отображений с тоджественной линейной частью. Вестник МГУ , N„ 3, 1982 , 52-56.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ортис Бобадилья Л. Топологическая эквивалентность линейных автономных уравнений в <£.*" при наличии жордановых клеток . Труды ММО , 1991. Сдано в печать.