Топологические пространства монотонных функций

Охезин, Дмитрий Сергеевич

Топологические пространства монотонных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Охезин, Дмитрий Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Екатеринбург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Топологические пространства монотонных функций»

Автореферат диссертации на тему "Топологические пространства монотонных функций"

¿ух ^

На правах рукописи

ОХЕЗИН Дмитрий Сергеевич

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА МОНОТОННЫХ

ФУНКЦИЙ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург — 2004

Работа выполнена в отделе алгебры и топологии Института математики и механики УрО РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Н. В. Величко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. А. Грызлов

кандидат физико-математических наук, доцент М.О. Асанов

Ведущая организация:

Томский государственный университет

Защита состоится *_» СслтзсулА, 2004 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 004.006.03. в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук

2006-4 [4го

МоЙЬ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Понятие связности топологического пространства, выражающее интуитивное понятие непрерывности точечного множества, по сути возникло еще в работах К.Жордана в XIX веке. Тот факт, что для функции действительного аргумента условие монотонности (т.е. невозрастания или неубывания относительно порядка) эквивалентно тому, что прообраз всякого связного подмножества связен, позволяет определить монотонность в топологических терминах. Монотонные отображения континуумов в терминах полунепрерывных сверху разбиений впервые изучал Р.Л. Мор ((9|). Впервые класс монотонных отображений был введён Уайберном в [10]. Различные обобщения монотонности слабо монотонные, квазимонотонные, псевдомонотонные отображения и их свойства изучались в работах Я. Харатоника и В. Харатоника ([5],[б])

В теории размерности Л.В. Келдыш получила важные результаты о повышении размерности монотонными и открытыми монотонными отображениями ([2]).

В теоретико-множественном анализе активно исследуются отображения Дарбу, т.е. отображения для которых образ связного множества связен ([7]). Отметим, что монотонная функция обладает свойством Дарбу в том и только в том случае, если она непрерывна (теорема 3.2.1).

В работах Дийкстра и ван Милла рассматривался круг вопросов о продолжении монотонных отображений на компактификации ([8]).

Роль монотонных отображений раскрывает следующий факт ([4], теорема 6.2.22): каждое совершенное отображение можно представить в виде композиции монотонного и нульмерного отображений.

Основным объектом исследования в данной работе является пространство всех монотонных непрерывных функций СМ(Х) над связным тихоновским пространством X. Естественно рассматривать СМ(Х) как подпространство пространства СР(Х) всех непрерывных функций на X с топологией поточечной сходимости, обозначаемое как СМР{Х), и как подпространство пространства С{Х) всех непрерывных функций с топологией равномерной сходимости, обозначаемое как СМ(Х). Изучению топологических и алгебраических свойств СР(Х) и С(Х) посвящено большое число исследований как в России, так и за рубежом (см. монографию (1]).

РОС. НА!' '<>НАЛЬНАЯ

БКГ. 5ТЕКА

СЛ. .ьрбург

ЮОбРК

В данной работе впервые делается попытка систематического изучения топологических и алгебраических свойств СМР{Х) и СМ(Х).

Вопросы, рассматриваемые в настоящей диссертации, можно условно разделить на три группы.

1. Насколько может быть "большим" или "малым" пространство СМ{Х)1 В этой связи появилось определение функционально т-отделимого пространства, т.е. пространства, у которого СМ(Х) разделяет точки, и функционально m-вырожденного пространства, т.е. пространства у которого СМ(Х) состоит только из констант.

2 Что можно сказать о свойствах СМ(Х) как подпространства С(Х)? Какова линейная структура СМ(Х)? Что представляют из себя линейные подпространства СМ(Х)? Как расположено СМ{Х) в пространствах СР{Х) и С(Х)? В каком случае оно замкнуто в СР{Х) и С{Х), в каком случае нигде не плотно?

3. Какова связь между топологическими свойствами пространства X и пространства СМР(Х)? В каком случае пространство СМР(Х) метри-зуемо, в каком случае оно ст-компактно?

Цель работы. Работа посвящена изучению таких свойств пространств непрерывных монотонных функций СМ(Х) и СМР(Х), как разделение точек в X, линейность, замкнутость и нигде не плотность в С(Х) и в СР(Х), метризуемость, ст-компактность.

Основной метод исследования. В диссертации используются методы общей и геометрической топологии, функционального анализа, развитые в работах отечественных и зарубежных математиков.

Научная новизна. В работе получены следующие результаты:

1) Получены необходимые и достаточные условия функциональной то-отделимости и функциональной то-вырожденности пространств в классе обобщенно локально дугообразно связных пространств (теоремы 1.3.3, 1 3.4, 1.3.5) и в классе компактов (теоремы 1.4.8, 1.4.9). Приведены примеры, показывающие существенность условий в этих теоремах.

2) Получены условия, при которых СМ(Х) является линейным пространством и выделен класс пространств, для которых полностью описана структура всех линейных подпространств СМ(Х) (теорема 2.1.5).

3) Показано, что СМ(Х) нигде не плотно в С(Х) для любого тополо-

гического пространства X (теорема 2.2.1). Также доказано, что СМ{Х) замкнуто в С(Х) для любого нормального счётно-компактного пространства X (теорема 2.2.6). Приведён пример псевдокомпактного пространства для которого СМ(Х) не замкнуто в С(Х) (пример 2.2.7). Выделены классы пространств, для которых СМ(Х) замкнуто и нигде не плотно в СР(Х) (теорема 2 2.4).

4) Для линейно упорядоченных пространств получен критерий метризуемости СМр(Х) (теоремы 3.1.7, 3.1.9) и выделен класс пространств, вообще говоря не являющихся линейно упорядоченными, для которых СМР(Х) метризуемо.

5) Доказана эквивалентность следующих условий:

(1) СМр(Х) локально компактно;

(2) СМР(Х) сг-компактно;

(3) СМр(Х) с-счётно компактно;

(4) СМр(Х) является пространством Гуревича:

(5) пространство X функционально т-вырождено.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение при дальнейшем изучении монотонных отображений и функциональных пространств методами общей топологии и функционального анализа.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (г Москва, 1997), на молодёжной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (г. Екатеринбург, 1998), Международной топологической конференции, посвященной памяти Л.В. Келдыш (г. Москва, 2004), топологическом семинаре в ИММ УрО РАН ► (г. Екатеринбург), на семинарах памяти П. С. Александрова (г. Москва)

и других.

Публикации. Основные результаты опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата. Самые первые результаты, вошедшие в магистерскую диссертацию, опубликованы в журнале "Известия института математики и информатики Удмуртского Государственного Университета" ([11])- Основные результаты по функционально т-отделимым пространствам в журнале 'Труды института математики

и механики УрО РАН" за 2002 год ([15], на английском языке), а основные результаты по линейным и топологическим свойствам СМР(Х) в том же журнале за 2004 год ([16], на английском языке). Часть результатов была опубликована в журнале Тюменского государственного университета "Математический и прикладной анализ" в 2003 году ([14]). Обзорная статья "Исследование семейств монотонных непрерывных функций над тихоновскими пространствами" подготовлена и принята в печать редакцией журнала "Фундаментальная и прикладная математика".

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения,

трёх глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Ссылка на теорему 2.1.5 означает, что эта теорема находится в параграфе 1 главы

2. Объем диссертации составляет 60 страниц машинописного текста и содержит 33 библиографические ссылки.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во втором параграфе приведены результаты о существовании монотонных продолжений функций с подпространств. Устанавливается общий результат для класса пространств, содержащего все дендриты (следствие 1.2.7). Вопрос о продолжении произвольной функции до монотонной на произведении пространств решается в теореме 1.2.9 и в примере 1.2.10.

В третьем параграфе устанавливаются необходимые и достаточные условия функциональной т-отделимости и функциональной т-вырожденности для локально дугообразно связных пространств. Один из основных полученных результатов:

Теорема 1 (теорема 1.3.5/ Пусть X - обобщённо локально дугообразно связное пространство, ог<1Х < с. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) X - функционально т-отделимое пространство;

(2) X удовлетворяет условию единственности пути.

Приведены примеры (1.3.6.1.3.7,1.3.8) показывающие существенность условий в этой теореме.

В четвёртом параграфе первой главы рассматриваются метрические компакты. Используя технику, развитую в работах К. Куратовского (см. [3]), получены следующие критерии, являющиеся первым основным результатом диссертации.

Теорема 2 (теорема 1.4.8/ Пусть X - метрический компакт. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) X - функционально т-отделимое пространство.

(2) Для любых точек а,Ь € X существует несчетное дизъюнктное семейство разделителей между а иЪ.

(3) Для любых точек а,Ь € X существует континуальное дизъюнктное семейство разделителей между а и Ъ.

Теорема 3 (теорема 1.4.9/ Пусть X - метрический компакт. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) X - функционально т-вырожденное пространство.

(2) Для любых точек а,Ь € X и любого дизъюнктного семейства О разделителей между а и Ь имеем, что \$\ < Ко-

Приведены примеры, показывающие, что теорема 1.4.9 неверна в классе сепарабельных метрических пространств (пример 1.4.10) и в классе бикомпактов (пример 1.4.11). Приведён пример (1.4.12), показывающий существенность наличия невырожденного семейства разделителей для теоремы 1.4.8.

В первом парграфе второй главы изучаются линейные свойства СМ(Х). Устанавливается, что СМ(Х) является линейным пространством относительно обычных алгебраических операций в том и только в том случае, если X функционально т-вырождено. Выделены классы пространств (обобщение дендритов и локальных дендритов), для которых все линейные подпространства СМ(Х) имеют простую структуру. Основной результат главы и второй основной результат диссертации:

Теорема 4 (следствие 2.1.5). Предположим, что пространство X удовлетворяет одному из следующих условий:

(1) X - обобщённо локально дугообразно связное пространство, удовлетворяющее условию единственности пути;

(2) X - обобщённо дугообразно связное пространство, ord X < с;

(3) X — Ц=! Хп где X, есть либо дуга, либо точка.

И предположим, что L невырожденное линейное подпространство СМ(Х).

Тогда L представляется одной из следующих формул:

(1) L = {/ : /Ec.ce Щ;

(2) L = {к ■ f(x) к 6 К} для некоторой функции / € СМ(Х), f ф const;

(3) Ь = • /(х) f с ■ к G R, с £ R} для некоторой функции f € СМ(Х), f £ const.

Установлено, что СМ(I2) содержит линейное подпространство алгебраической размерности 3 (пример 2.1.6). Отметим, что предложение 3.2.3 главы 3 содержит достаточное условие монотонности суммы двух монотонных функций.

Во втором парграфе второй главы изучается расположение СМ(Х) как подпространства топологических пространств С(Х) и СР(Х). Показано, что СМ(Х) нигде не плотно в С{Х) для любого топологического пространства X (теорема 2.2.1). Также доказано, что СМ(Х) замкнуто в С{Х) для любого нормального счётно-компактного пространства X (теорема 2.2.6). Приведён пример псевдокомпактного пространства для которого СМ(Х) не замкнуто в С(Х) (пример 2.2.7).

Выделены классы пространств (обобщение дендритов и локальных дендритов), для которых СМ(Х) замкнуто и нигде не плотно в Ср(Х).

Теорема 5 (теорема 2.2 А). Предположим, что пространство X удовлетворяет одному из следующих условий:

(1) X - обобщённо локально дугообразно связное пространство, удовлетворяющее условию единственности пути;

(2) X - обобщённо дугообразно связное пространство, ord X < с;

(3) X = U^x Хи где Хг есть либо дуга, либо точка.

Тогда СМР{Х) замкнуто и нигде не плотно в СР(Х).

В примере 2.2.5 показано, что СМ{I2) не замкнуто в Ср(I2).

В первом параграфе третьей главы исследуется вопрос о метризуемости СМр(Х). Классический общеизвестный результат Ср-теории гласит, что \Х\ — х(Ср(Х)) = Lo(Cp(X)). Из него следует эквивалентность следующих условий:

(1) СР(Х) метризуемо;

(2) Характер СР(Х) равен Ко;

(3) Вес СР(Х) равен

(4) X счётно.

Для линейно упорядоченных пространств были получены следующие критерии метризуемости СМР(Х), являющиеся третьим основным результатом диссертации.

Теорема 6 (теорема 3.1.7/ Пусть (X, <) - линейно упорядоченное пространство. Следующие условия эквивалентны:

(1) СМР(Х) метризуемо;

(2) Характер СМР(Х) равен Ко;

(3) X а-компактно;

Теорема 7 (теорема 3.1.9/ Пусть (Х,<) линейно упорядоченное пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) СМр(Х) метризуемое сепарабелъное пространство;

(2) X топологически вкладывается в К.

Следующий основной результат выделяет класс пространств, вообще говоря не являющихся линейно связными, для которых СМР(Х) метризуемо.

ос

Теорема 8 (теорема 3.1.5/ Пусть X = (J Хг, где X, - связные линейно упорядоченные компакты, и ordX < с. Тогда СМР(Х) метризуемо.

Во втором параграфе третьей главы устанавливаются условия, при которых пространство СМР(Х) обладает свойствами локальной компактности, er-компактности, с-счетной компактности и свойством Гуревича. Известные результаты Ср-теории, полученные в работах Н.В. Величко, В В. Ткачука. Д Б. Шахматова и A.B. Архангельского устанавливают эквивалентность следующих условий:

(1) СР(Х) локально компактно;

(2) СР(Х) бг-компактно;

(3) СР{Х) ст-счетно компактно,

(4) СР(Х) обладает свойством Гуревича;

(5) X конечно.

Для СМр(Х) получен следующий результат, являющийся четвёртым основным результатом диссертации.

Теорема 9 (теорема 3.2.10). Следующие условия эквивалентны :

(1) СМР(Х) локально компактно;

(2) СМР(Х) сг-компактно;

(3) СМр(Х) а-счётно компактно;

(4) СМр(Х) является пространством Гуревича;

(5) пространство X функционально гп-вырождено.

Заметим, что внутренние характеристики функционально т-вырожденных пространств изложены в параграфах 1.3 и 1.4.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Н В. Величко и доктору физ.-мат. наук Е.Г. Пыткееву за постановку задач и плодотворное обсуждение результатов, своим родителям за понимание и поддержку, а также любимой Анне за нежность и заботу.

Неоценимую помощь оказали активные участники топологического семинара в ИММ УрО РАН Альперин М.И., Ануфриенко С.А., Казакова И., Нохрин С.Э., Осипов A.B., Патракеев М. и Филатова М.А. За это им отдельное спасибо.

Список литературы

|1) Архангельский A.B. Топологические пространства функций. -М.: Изд-во МГУ, 1989.

|2] Келдыш Л.В. Преобразование монотонно-неприводимого отображения в монотонно-открытое и монотонно-открытые отображения куба, повышающие размерность, Матем. сб. 43, № 2 (1957), 187-226.

[3j Кура-говский К. Топология. Том 2. -М.: , Мир, 1969.

|4] Энгелькинг Р. Общая топология. -М.: Мир, 1986.

[5] Charatonic J.J., Charatonic W.J. Semi-confluent mappings, Mathematics Pannonica, 12/1, 2001, 39-54.

[6] Charatonic J.J. On feebly monotone and related classes of mappings, Topology and its applications 105(2000), 15-29.

[7] Gibson R. G. and Natkaniec T. Darboux like functions, Real Analysis Exch. 22(2) (1996-97), 492-533.

[8] Dijkstra J.J. and J. van Mill Extending monotone mappings, Composito Math. 77 (1998), 201-210.

|9] Moore R.L. Concerning upper semi-continuous collections od continua, Trans. Amer. Math. Soc. 27(1925), 416-428.

[10] Whyburn G.T. Non-alternating transformations, Amer. J. Math., 45, №2, (1934), 294-302.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[11] Охезин Д.С. Топологические пространства с большим запасом монотонных функций. -Ижевск: "Известия института математики и информатики Удмуртского Государственного Университета", 1998, 3(14), 92-103.

|12] Охезин Д.С. Разделение точек при помощн монотонных функций. -М.: Материалы конференции молодых учёных механико-математического факультета МГУ, 1997.

[13] Охезин Д.С. Семейства монотонных функций, разделяющие точки. -Екатеринбург: Молодёжная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики", 1998,11-12.

[14] Охезин Д.С. Пространства монотонных непрерывных функций, Математический и прикладной анализ, издательство ТюмГУ, 2003,119-147.

[15] Okhezin D.S. Functionally m-separated spaces, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, suppl. issue 2, Proceedings of the IMM, Ural branch of the RAS, 2002, 142-151.

[16] Okhezin D.S. Topological and Linear Properties of Spaces of Monotone Functions, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, suppl. issue 1, Proceedings of the IMM, Ural branch of the RAS, 2004, 1-14.

РНБ Русский фонд

2006-4 1430

Подписано в печать Ло ОлрЮС^/ Формат 60х84у1С.

Тираж 100 экз. Заказ № 122

Ризография НИЧ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

17 СЕН 2004

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Охезин, Дмитрий Сергеевич

Введение

1 Функционально m-отделимые и га-вырожденные пространства.

1.1 Сужение монотонных функций.

1.2 Продолжение монотонных функций.

1.3 Критерии в классе обобщённо локально дугообразно связных пространств.

1.4 Критерии в классе метрических компактов.

2 Линейные и топологические свойства СМ(Х) как подпространства

С(Х).

2.1 Линейная структура СМ(Х).

2.2 Расположение СМ(Х) в СР(Х) и С{Х).

3 Метризуемость и о-компактность СМР(Х).

3.1 Метризуемость СМР(Х).

3.2 Пространства Гуревича, локальная компактность и сг-счётная компактность СМр(Х).

Введение диссертация по математике, на тему "Топологические пространства монотонных функций"

Для вещественнозначной функции вещественного аргумента условие монотонности (т.е. невозрастания или неубывания относительно порядка) эквивалентно тому, что прообраз всякого связного подмножества связен. Это позволяет определить монотонность в топологических терминах. Впервые класс монотонных отображений был введён Уайберном в [31] (см. также [32], [33]). Различные обобщения монотонности и свойства монотонных отображений изучались в работах Я. Харатоника, В. Харатоника ([16],[17],[18],[19]). В теории размерности Р. Бинг и Л.В. Келдыш получили важные результаты о повышении размерности монотонными и открытыми монотонными отображениями ([30],[7],[8]). В теоретико-множественном анализе активно исследуются отображения Дарбу, т.е. отображения для которых образ связного множества связен ([20].[21],[23]). Много применений монотонные отображения нашли и в теории континуумов ([25]). В работе Дийкстра и ван Милла [22] рассматривался вопрос о продолжении монотонных отображений на компактификации.

Основным объектом исследования в данной работе является пространство всех монотонных непрерывных функций СМ(Х) над связным тихоновским пространством X. Естественно рассматривать СМ(Х) как подпространство пространства СР(Х) непрерывных функций на X с топологией поточечной сходимости, обозначаемое как СМР(Х), и как подпространство пространства С(Х) непрерывных функций с топологией равномерной сходимости, обозначаемое как СМ(Х). Изучению топологических и алгебраических свойств СР(Х) и С(Х) посвящено большое число исследований как в России, так и за рубежом (см. монографию [3]).

В теоретических исследованиях пространств функций одной из важнейших задач является нахождение связей между топологическими свойствами пространства X и линейными и топологическими свойствами пространств функций над X. На топологическом семинаре профессора Н.В. Величко в ИММ УрО РАН были сформулированы следующие группы вопросов.

1. Насколько может быть "большим" или "малым" пространство СМ(Х)? В этой связи появилось определение функционально т-отделимого пространства, т.е. пространства, у которого СМ(Х) разделяет точки, и функционально т-вырожденного пространства, т.е. пространства у которого СМ(Х) состоит только из констант.

2. Какова линейная структура СМ(Х)? Что представляют из себя линейные подпространства СМ(Х)?

3. Как расположено СМ(Х) в пространствах СР(Х) и С(Х)? В каком случае оно замкнуто в СР(Х) и С(Х), в каком случае нигде не плотно?

4. Какова связь между топологическими свойствами пространства X и пространства СМр(Х)?

Первый параграф первой главы посвящен техническим аспектам сужения монотонных функций на подпространства. Выделены классы пространств, обладающих тем свойством, что сужения монотонных функций являются монотонными (теорема 1.1.4). Приведены примеры функций на I2, не обладающих указанным свойством (1.1.5, 1.1.6). Во втором параграфе приведены результаты о существовании монотонных продолжений функций с подпространств. Устанавливается общий результат для класса пространств, содержащего все дендриты (следствие 1.2.7). Вопрос о продол-, жении произвольной функции до монотонной на произведении пространств решается в теореме 1.2.9 и в примере 1.2.10.

Теорема 1 (теорема 1.3.3/ Пусть X - связное, локально дугообразно связное, функционально т-вырожденное пространство. Пусть т = б1(Х) - плотность пространства X. Тогда X можно представить в виде х = у Са, а<т где Са есть простая замкнутая кривая.

Теорема 2 (теорема 1.3.4/ Обобщённо локально дугообразно связное пространство, удовлетворяющее условию единственности пути, функционально т-отделимо.

Теорема 3 (теорема 1.3.5/ Пусть X - обобщённо локально дугообразно связное пространство, огс!Х < с. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X - функционально т-отделимое пространство;

2) X удовлетворяет условию единственности пути.

Приведены примеры (1.3.6, 1.3.7, 1.3.8) показывающие существенность условий в этих теоремах.

Во четвёртом параграфе первой главы рассматриваются метрические компакты. Используя технику, развитую в работах К. Куратовского ([10]), получены следующие критерии, являющиеся первым основным результатом диссертации.

Теорема 4 (теорема 1.4.8). Пусть X - метрический компакт. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X - функционально т-отделимое пространство.

2) Для любых точек а,Ь 6 X существует несчетное дизъюнктное семейство разделителей между а и Ъ.

3) Для любых точек a,b € X существует континуальное дизъюнктное семейство разделителей между а и Ь.

Теорема 5 (теорема 1.4.9/ Пусть X - метрический компакт. Тогда следующие т условия эквивалентны:

1) X - функционально т-вырожденное пространство.

2) Для любых точек a,b G X и любого дизъюнктного семейства Q разделителей между а и b имеем, что \Q\ < К0.

Приведены примеры, показывающие, что теорема 1.4.9 неверна в классе сепара-бельных метрических пространств (пример 1.4.10) и в классе бикомпактов (пример 1.4.11). Приведён пример (1.4.12), показывающий существенность наличия невырожденного семейства разделителей для теоремы 1.4.8.

В первом параграфе второй главы изучаются линейные свойства СМ{Х). Устанавливается, что СМ(Х) является линейным пространством относительно обычных алгебраических операций в том и только в том случае, если X функционально т-вырождеко. Выделены классы пространств (обобщение дендритов и локальных денд-ритов), для которых все линейные подпространства СМ(Х) имеют простую структуру. Основной результат главы и второй основной результат диссертации:

Теорема 6 (следствие 2.1.Ъ). Предположим, что пространство X удовлетворяет одному из следующих условий:

1) X - обобщённо локально дугообразно связное пространство, удовлетворяющее условию единственности пути;

2) X - обобщённо дугообразно связное пространство, ord X < с;

3) X = (Xj Xi, где Xi есть либо дуга, либо точка.

И предположим, что L - невырожденное линейное подпространство СМ(Х). Тогда L представляется одной из следующих формул:

1) L = {/:/ = с, с 6 Ш};

2) L = {к • f(x) : к 6 R} для некоторой функции f € СМ(Х), f ф const;

3) L — {к • /(я) + с : к € R, с el} для некоторой функции f е СМ(Х), f ф const.

Во втором парграфе второй главы изучается расположение СМ(Х) как подпространства топологических пространств С(Х) и СР(Х). Показано, что СМ(Х) нигде не плотно в С(Х) для любого топологического пространства X (теорема 2.2.1). Также доказано, что СМ(Х) замкнуто в С(Х) для любого нормального счётно-компактного пространства X (теорема 2.2.6). Приведён пример псевдокомпактного пространства для которого СМ(Х) не замкнуто в С(Х) (пример 2.2.7).

Теорема 7 (тпеорема 2.2.4/ Предположим, что пространство X удовлетворяет одному из следующих условий:

1) X - обобщённо локально дугообразно связное пространство, удовлетворяющее условию единственности пути;

2) X - обобщённо дугообразно связное пространство, ord X < с;

3) X = (J^j Xi, где Xi есть либо дуга, либо точка. Тогда СМР(Х) замкнуто и нигде не плотно в СР(Х).

В примере 2.2.5 показано, что СМ(I2) не замкнуто в Ср(12). В первом параграфе третьей главы исследуется вопрос о метризуемости СМр(Х). Классический общеизвестный результат (см. [3J теорема 1.1.1) Ср-теории гласит, что |Л"| = х{Ср(Х)) = ш(Ср(Х)). Из него следует эквивалентность следующих условий:

1) СР(Х) метризуемо;

2) Характер СР(Х) равен Но;

3) Вес СР(Х) равен

4) X счётно.

Для линейно упорядоченных пространств были получены следующие критерии метризуемости СМр(Х), являющиеся третьим основным результатом диссертации.

Теорема 8 (теорема 3.1.7). Пусть (X, <) - линейно упорядоченное пространство. Следующие условия эквивалентны:

1) СМр(Х) метризуемо;

2) Характер СМР(Х) равен Н0;

3) X а-компактно;

Теорема 9 (теорема 3.1.9j. Пусть (X, <) - линейно упорядоченное пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) СМр(Х) метризуемое сепарабельное пространство;

2) X топологически вкладывается в R.

Следующий основной результат выделяет класс пространств, вообще говоря не являющихся линейно упорядоченными, для которых СМР(Х) метризуемо. оо

Теорема 10 (теорема 3.1.Пусть X = (J Х{, где Х{ - связные линейно упоря1 доченные компакты, и ordX < с. Тогда СМР(Х) метризуемо. »

Во втором параграфе третьей главы устанавливаются условия, при которых пространство СМР{Х) обладает свойствами локальной компактности, а-компактности, сг-счетной компактности и свойством Гуревича. Известные результаты Ср-теории, полученные в работах Н.В. Величко, В.В. Ткачука, Д.Б. Шахматова и A.B. Архангельского (см. [3], теоремы 1.2.1,1.2.4, И.2.10) устанавливают эквивалентность следующих условий:

1) СР(Х) локально компактно;

2) СР(Х) сг-компактно;

3) Ср(Х) ст-счетно компактно;

4) СР(Х) обладает свойством Гуревича;

5) X конечно.

Для СМР(Х) получен следующий результат, являющийся четвёртым основным результатом диссертации.

Теорема 11 (теорема 3.2.10/ Следующие условия эквивалентны :

1) СМР(Х) локально компактно;

2) СМр(Х) а-компактно;

3) СМР(Х) а-счётно компактно;

4) СМР{Х) является пространством Гуревича;

5) пространство X функционально т-вырождено.

Заметим, что внутренние характеристики функционально тп-вырожденных пространств изложены в параграфах 1.3 и 1.4.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Н.В. Величко и доктору физ.-мат. наук Е.Г. Пыткееву за постановку задач и плодотворное обсуждение результатов, своим родителям за понимание и поддержку, а также любимой Анне за нежность и заботу.

ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

На протяжении всей работы К обозначает числовую прямую с естественной топологией. N обозначает множество натуральных чисел с дискретной топологией, a Q -множество рациональных чисел. I обозначает отрезок [0; 1] числовой прямой, (а; Ь) -открытый интервал с концами а и Ь. Топологическое пространство называется связным, если оно не представляется в виде объединения двух дизъюнктых замкнутых невырожденных множеств. Отметим, что всякое связное невырожденное подмножество R есть промежуток, т.е. одно из следующих множеств: сю; а), (—оо; а], (6;+оо), [&;+оо), оо; +оо), (а; 6), (а; 6]. [о; Ь), [а; Ь].

Под функцией будет пониматься непрерывное отображение в К. Топологическое пространство X называется тихоновским или вполне регулярным, если для любой точки х € X и любого замкнутого множества F С X существует функция / такая, что f(x) = 0 и f(F) = {1}. Все топологические пространства, если не оговорено противное, предполагаются бесконечными связными тихоновскими и именуются просто пространствами. Все базовые топологические понятия и определения соответствуют монографиям [15], [3]. Замыкание множества Е мы будем обозначать через Е, границу через Fr(E), внутренность через Int(JS'), семейство всех окрестностей точки х через М(х). Гомеоморфность пространств X и Y обозначается так: X ~ Y. Символ 0 обозначает пустое множество.

Определение. Отображение / : X —» Y называется монотонным, если для всякой точки yeY полный прообраз связен.

Определение. Функция / называется монотонной, если для всякой точки у € К полный прообраз /1(у) связен.

Покажем, что это определение эквивалентно тому, что прообраз всякого связного подмножества связен.

Предложение 0.1 Для непрерывной функции f : X —>■ R, определённой на связном пространстве X, следующие условия эквивалентны:

1) Для всякого связного множества С С К полный прообраз f~l(C) связен.

2) Для всякой точки у б R полный прообраз /-1(у) связен.

Доказательство. Очевидно, достаточно доказать только импликацию (2) =Ф> (1). Если / = const, то теорема доказана. Так как f{X) связно и всякое связное подмножество прямой есть промежуток, пересечение промежутков есть промежуток, то достаточно доказать, что прообраз любого промежутка из образа f(X) связен. Поскольку любой промежуток С можно представить в виде С = [а,; ¿»¿], [а^; С [а»+1; то /1(С) = и если доказать, что прообраз любого отрезка связен, то используя тот факт, что объединение возрастающей последовательности связных множеств связно, получим, что /~1{С) связно.

Пусть [а, Ь] С /(X), а < Ь, А = В = /-1(Ь), £> = /~1([а,Ь]). Предположим, что замкнутое множество И не связно, т.е. П = ЕиР,ЕГ)Р = 0, где Е и Р непусты и замкнуты в £>, а значит и в X. Отметим, что А С В С Э.

Если АГ)Еф0иВПЕф 0, тоЛП^ = 0 и В Г\ Г — 0, поскольку А к В связны. Тогда X = (/1((—оо, а])и£и/1([Ь, +оо))) и Г, т.е. представляется в виде ^ объединения двух замкнутых непустых дизъюнктных множеств - противоречие со связностью X.

Если тоАП^ = 0иВп£ = 0, поскольку А и

В связны. Тогда X = (/1((-оо, а]) и Е) и (Р и +оо))), т.е. представляется в виде объединения двух замкнутых непустых дизъюнктных множеств - противоречие со связностью X.

Аналогично разбираются случаи, когда АГ\ Р ф 0, В П ^ ^ 0 и когда А П Р Ф 0, В П Е ф 0. Следовательно, предложение доказано. □

Предложение 0.2 Если существует монотонная функция / : X —» К, разделяющая точки х,у € X: /(ж) ф ¡{у), то существует монотонная функция д такая, что д{Х) = I, д(х) = 0, д(у) = 1.

Доказательство. Без ограничения общности мож- А ^^ но считать, что /(х) < /(у). Рассмотрим следующую монотонную непрерывную функцию Л, : К -4 К: 1* .

Положим д(г) = /г(/(г)). Эта функция непрерывна и монотонна как композиция непрерывных монотонных функций, а также д(х) = 0, д(у) = 1, д(Х) =1. □ /(*) М

Через С(Х) мы будем обозначать пространство всех непрерывных функций на X.

Фундаментальная система окрестностей функции / в топологии равномерной сходимости задаётся следующим образом:

0(f,e) = {де С(Х) : \f(x) - < е для всех х е X }, где е > 0. Будем обозначать соотвествующее пространство функций, наделённое топологией равномерной сходимости, как С(Х).

Фундаментальная система окрестностей функции / в топологии поточечной сходимости задаётся следующим образом:

0{f,e,x1,x2,.,xn) = {g€C{X) :\/(ц)-д(х{)\<£, i = l,2,.,n}, где е > 0, Х\,Х2, .,хп € X. Будем обозначать соотвествующее пространство функций, наделённое топологией поточечной сходимости, как СР(Х).

Через СМ(Х) мы будем обозначать семейство всех непрерывных монотонных функций на X. Будем обозначать соотвествующие пространства функций, наделённые топологией равномерной и поточечной сходимости, как СМ(Х) и СМР(Х) соответственно.

Функция / = 0 обозначается через в.

Если Y С X и Т{Х) есть семейство функций на X, то через T{Y\X) будем обозначать семейство сужений на Y функций из F{X).

Определение. Пространство X называется функционально т-отделимым или, короче, т-огпделимым, если семейство СМ(Х) разделяет точки, т.е. для любых двух точек х, у € X, х ф у, найдётся монотонная функция / такая, что f(x) ф f(y).

Определение. Пространство X называется функционально т-вырожденным, если семейство СМ(Х) состоит только из констант, т.е. все монотонные функции являются постоянными на X.

Далее приведены определения известных понятий, используемые в работе.

Дугой ab в пространстве X называется гомеоморфный образ отрезка ^(I), где ip : I X, ф(0) = а, ф(1) = Ь. В этом случае говорят, что дуга соединяет точки а и Ь.

Простой замкнутой кривой называется гомеоморфный образ окружности.

Пространство называется локально дугообразно связным в точке х, если для любой окрестности U точки х найдётся окрестность V такая, что все точки из V можно соединить с точкой х дугами, целиком лежащими в U.

Пространство называется локально дугообразно связным, если оно локально дугообразно связно в каждой своей точке.

Пространство называется дугообразно связным, если любые две точки можно соединить дугой. Отметим, что всякое связное локально дугообразно связное пространство является дугообразно связным.

Отметим основные факты, касающиеся линейно упорядоченных пространств. Пусть (X, <) - линейно упорядоченное множество. Множество X называется плотно упорядоченным, если для любых а, Ь, а < Ь найдётся с такое, что а < с < Ь. Множество называется полным, если любое ограниченное подмножество А С X имеет верхнюю грань вир А и нижнюю грань М А. Линейный порядок порождает интервальную топологию (Х,тк). Следующие предложения хорошо известны (см. [15]). ,

Предложение 0.3 Пространство (X, т<) связно тогда и только тогда, когда (X, <) - полное и плотно упорядоченное множество.

Предложение 0.4 Связное пространство (X, г<) компактно в том и только в том случае, когда в (X, <) существуют максимальный и минимальный элементы.

Предложение 0.5 Пусть X - связное линейно упорядоченное пространство. Функция / монотонна тогда и только тогда, когда она не убывает или не возрастает относительно порядка на X.

Теорема 0.6 Пусть X - связное линейно упорядоченное топологическое пространство. Тогда пространство X функционально т-отделимо.

Доказательство. Схема доказательства подобна доказательству классической леммы Урысона ([15], теорема 1.5.10). Рассмотрим две точки а € X, Ь € X и а < Ь. Построим по индукции систему интервалов {(а£; &£)}„,* и систему отрезков на а; Ь] и зададим значение функции / на каждом из интервалов. В силу предложения 0.3 можно выбрать а{ и Ь\ так, что а < а| < < Ь. Пусть = [а; ах], = Положим }{х) = | при х £ (а\;Ь\).

На п-ы шаге построим 2П1 интервалов (а*; &*), (а£; Ь2п),., (а£п1; и 2" отрезков ., так, что

С1пО, к = 1,2,.,2п~\

Г?"1 = П (-оо; «#, В? = П К; +оо), к = 1,2,., 2»"1. Положим /(х) = 34=1 при X € (а*; &£), к= 1,2,., 2я"1.

Таким образом, мы определили функцию / на множестве А = и(а«> Она не п,к убывает относительно порядка на А. Продолжим её на все пространство :

10, если х < т£ А, у), если х <Е (а; Ъ) \ А, уеА,у<х

1. если х > вир А.

Полученная функция непрерывна и не убывает на X. Следовательно, она монотонна. Кроме того, /(а) = 0, /(&) = 1, а значит, X - т-отделимое пространство.

Если (X, <) - линейно упорядоченное пространство, то через СМ1(Х) будем обозначать семейство всех монотонных неубывающих функций на X.

Обобщенной дугой аЬ в пространстве X называется гомеоморфный образ линейно упорядоченного компакта (К, <), т.е. ф{К), где ф : К —» X, ф{А) — а, ф(В) = 6, А, В - наименьший и наибольший элементы К соответственно. В этом случае говорят, что дуга аЬ соединяет точки а и Ь.

Пространство называется обобщённо дугообразно связным, если любые две точки можно соединить обобщённой дугой. '

Пространство называется обобщённо локально дугообразно связным в точке х, если для любой окрестности и точки х найдётся окрестность V такая, что все точки из V можно соединить с точкой х обобщёнными дугами, целиком лежащими в {/.

Пространство называется обобщённо локально дугообразно связным, если оно обобщённо локально дугообразно связно в каждой своей точке.

Континуумом называется связное компактное метрическое пространство. Дендритом называется локально связный континуум не содержащий простых замкнутых кривых. Локальным дендритом называется пространство, для каждой точки которого существует замкнутая окрестность, являющаяся дендритом.

Пространство называется счётно компактным, если из любого его открытого счетного покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Пространство называется а-компактным, если оно представляется в виде объединения счетного числа бикомпактов. Пространство называется сг-счётно компактным, если оно представляется в виде объединения счетного числа счётно компактных пространств. Пространство X называется пространством Гуревича, если для каждой последовательности {7„} открытых покрытий пространства X найдутся конечные Ап С 7„, такие, что У А„ поп крывает X. Пространство называется псевдокомпактным, если любая непрерывная функция на этом пространстве ограничена.

Введём понятие порядка топологического пространства в точке (см. [10] §51,1). Пусть т - некоторый кардинал.

Будем говорить, что пространство X имеет порядок < т в точке р, если существует фундаментальная система окрестностей {С/а} С М(р) такая, что для всех а имеем

Щиа)\ < г.

Обозначается это так: огс!р.Х" < т.

Пространство X имеет порядок < т, если во всех точках р € X имеем оп!рХ < т. Обозначается это так: огс!Х < т.

Пространство X называется дискогерентным, если для любой пары замкнутых множеств А и В, таких, что X = А и В, А Ф X ф В, пересечение А П В несвязно.

Пространство X называется неразложимым, если оно связно и не допускает представления в виде объединения двух замкнутых связных множеств, отличных от X.

Канторовским дисконтинуумом называется подмножество 1, состоящее из чисел, которые могут быть записаны в троичной системе счисления без использования цифры 1. (см. [9] § 3, IX 3).

Пример 0.7 Предположим, что задано некоторое множество К С К гомеоморф-ное канторовскому дисконтинууму. Опишем построение монотонной "ступенчатой" функции к.

Это построение по сути представляет из себя "лестницу Кантора" (см. [9], §16, II, следствие ба). Отметим, что К есть замкнутое, нигде не плотное подмножество К без изолированных точек. Пусть {ип} - дизъюнктное семейство дополнительных се интервалов ко множеству К, т.е. = У {/„, причем С/х = (—оо;о), £/2 = (Ь; +оо).

П=1

Положим С1 = 0, сг = 1. Пусть определены числа с\, сг, ., спг. Из множества {¡Уь и-2,., ип-\} выберем самый ближний слева £4 и самый ближний справа {// интервалы к интервалу IIп. Положим с„ = . Далее, продолжая этот процесс, построим последовательность {с„пробегающую множество всех двоично-рациональных чисел отрезка I. се

Определим функцию на объединении и 11п следующим образом: ^(х) = с„,

71—1 если х 6 ип. Продолжим функцию И,\ на множество К по непрерывности справа: х), если х еЖ\ К, т1;{с* : х лежит слева от С/*}, если х е К. Нетрудно убедиться, что построенная функция непрерывна и монотонна. Точнее:

Ых) h-^c») = Um oo h~l{p) = {xp}, где p g Ы, a xp n=l

Доказательство следующего предложения фактически повторяет доказательство из [15], теорема 6.1.18.

Предложение 0.8 Пусть X - нормальное счётно компактное пространство,» {С„}£°=1 - последовательность вложенных замкнутых связных подмножеств X, со

Сп+1 Q Сп. Тогда их пересечение С = П Сп связно.

71=1

Первый бесконечный ординал мы будем обозначать uq, первый несчётный ординал ш 1, мощность счётного множества К0, наименьшую несчётную мощность мощность континуума с = 2No.

Перечислим основные кардинальнозначные инварианты, используемые в работе. |Х| - мощность пространства X.

- вес пространства X (наименьшая мощность базы пространства). х{Х, хо) - характер пространства X в точке Хо (наименьшая мощность базы пространства в точке).

-ф(Х,хо) - псевдохарактер пространства X в точке х0 (наименьшая мощность семейства открытых множеств, дающего в пересечении точку), ind X - малая индуктивная размерность пространства X. Ind X - большая индуктивная размерность пространства X. dim X - размерность в смысле покрытий пространства X.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Охезин, Дмитрий Сергеевич, Екатеринбург

1. Александров, П.С. Мемуар о компактных топологических пространствах / П.С.IАлександров, П.С. Урысон.- М.: Наука, 1971.-144 с.

2. Александров, П.С. Введение в теорию размерности / П.С. Александров, Б.А. Пасынков.- М.: Наука, 1973.- 575 с.

3. Архангельский, A.B. Топологические пространства функций / A.B. Архангельский М.: Изд-во МГУ, 1989 - 222 с.

4. Архангельский, A.B. Пространства Гуревича, аналитические множества и веерная теснота пространств функций / A.B. Архангельский // ДАН СССР 1986. Т.287, № 3 - С.525-528.

5. Архангельский, A.B. Основы общей топологии в задачах и упражнениях / A.B. Архангельский, В.И. Пономарев.- М.: Наука, 1974.- 423 с.

6. Гуревич, В. Теория размерности / В. Гуревич, Г. Волмэн.- М,: И.Л.- 1948.

7. Келдыш, Л.В. Монотонное отображение куба на куб большей размерности / Л.В. Келдыш // Мат. сб.- 1957.- Т. 41, № 2,- С. 129-158.

8. Келдыш, Л.В. Преобразование монотонно-неприводимого отображения в монотонно-открытое и монотонно-открытые отображения куба, повышающие размерность / Л.В. Келдыш // Мат. сб.- 1957,- Т. 43, № 2.- С. 187-226.

9. Куратовский, К. Топология. Том 1 / К. Куратовский.- М.: Мир, 1966. 10] Куратовский, К. Топология. Том 2 / К. Куратовский М.: , Мир, 1969.

10. Охезин, Д.С. Топологические пространства с большим запасом монотонных функций / Д.С. Охезин // Известия института математики и информатики Удмуртского Государственного Университета: сб. науч. тр.- Ижевск: 1998, выпуск 3(14).- С. 92-103.

11. Охезин, Д.С. Разделение точек при помощи монотонных функций / Д.С. Охезин // Материалы конференции молодых учёных механико-математического факультета МГУ М. 1997.

12. Охезин, Д.С. Семейства монотонных функций, разделяющие точки / Д.С. Охе-, зин // Труды молодёжной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики".- Екатеринбург, 1998 С. 11-12.

13. Охезин, Д.С. Пространства монотонных непрерывных функций / Д.С. Охезин // Математический и прикладной анализ: сб. науч. тр.- Тюмень : издательство ТюмГУ, 2003.- С. 119-147.

14. Энгелькинг, Р. Общая топология / Р. Энгелькинг.- М.: Мир, 1986.- 751 с.

15. Charatonic, J.J. Semi-confluent mappings / J.J. Charatonic, W.J. Charatonic // Mathematica Pannonica, 12/1, 2001 C.39-54.

16. Charatonic, J.J. Monotone-open mappings of rational continua / J.J. Charatonic, W.J. Charatonic // Bol. Soc. Mat. Mexicans. (3), Vol. 3, 1997.

17. Charatonic, J.J. On feebly monotone and related classes of mappings / J.J. Charatonic // Topology and its applications. Vol. 105 2000.- C.15-29.

18. Charatonic, W.J. Opennes and monotoneity of induced mappings / W.J. Charatonic // Proceedings of the AMS.- Vol. 127, N 12,- 1999.

19. Ciesielski, K. Sums of connectivity functions on Rn / K. Ciesielski, J. Wojciechowski // Proc. London Math. Soc., 76(2).- 1998.- C.406-426.

20. Ciesielski, K. Extending connectivity functions on Rn / K. Ciesielski, T. Natkaniec, J. Wojciechowski // Topology and its applications Vol. 112(2).- 2001 - C.193-204.

21. Dijkstra, J.J. Extending monotone mappings / J.J. Dijkstra, J. van Mill // Composito Math.- Vol. 77. 1998.- C.201-210.

22. Gibson, R.G. Darboux like functions / R. G. Gibson, T. Natkaniec // Real Analysis Exch. Vol. 22(2).- 1996-1997. C.492-533.

23. Moore, R.L. Concerning upper semi-continuous collections od continua/ R.L. Moore // Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 27- 1925 C.416-428.

24. Nadler Jr., S.B. Continuum Theory: An Introduction / S.B. Nadler Jr. // Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Vol. 158 New York:' Marcel Dekker, Inc.- 1992.

25. Newman, M.H.A. Elements of the Topology of Plane Sets of Points / M.H.A. Newman.- Cambridge: Cambridge University Press, 1939.

26. Okhezin, D.S. Functionally m-separated spaces / D.S. Okhezin // Proc./ Steklov Inst. Math. 2002. suppl.2 C. S142-S151.

27. Okhezin, D.S. Topological and Linear Properties of Spaces of Monotone Functions / D.S. Okhezin // Proc./ Steklov Inst. Math. 2004. suppl.l C. S1-S14.

28. Ohezin, D.S. Compactness and Metrizability of CMp(X) / D.S. Ohezin // Intern. Conf. "Geometric topology, Discrete Geometry and Set Theory", dedicated to the centenary of L.V. Keldysh, Moscow, 2004: abstr- Moscow, 2004 C.32-33.

29. Singh, S. Collected papers of R. H. Bing / S. Singh, S. Armentrout, R. J. Daverman.-American Mathematical Society, 1988.

30. Whyburn, G.T. Non-alternating transformations / G.T. Whyburn // Amer. J. Math. Vol. 45, №2,- 1934,- C.294-302.

31. Whyburn, G. T. Analytic topology / G.T. Whyburn Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 28, Providence, 1942, reprinted with corrections 1971. MR 32:425.

32. Whyburn, G.T. Cut points of connected sets and of continua / G.T. Whyburn // Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 32, № 1,- 1930.- C.147-154.