Топология прямой Зоргенфрея тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Патракеев Михаил Александрович ТОПОЛОГИЯ ПРЯМОЙ ЗОРГБНФРЕЯ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург — 2005

Работа выполнена в секторе топологии отдела алгебры и топологии Института Математики и Механики Уральского отделения Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Н. В. Величко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. А. Грызлов

кандидат физико-математических наук, доцент В.И. Белугин

Ведущая организация: Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 25 октября 2005 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан 10 сентября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук

В.В. Кабанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В 1947 году вышла статья Р.Зоргенфрея [10], в которой он показал, что паракомпактность не сохраняется конечными произведениями. В качестве контрпримера было приведено топологическое пространство 8, впоследствии названное прямой Зоргенфрея или стрелкой — это обыкновенная числовая прямая с топологией, базу которой образуют все полуинтервалы вида [а, 6).

С тех пор прямая Зоргенфрея и ее конечные степени стали постоянно встречаться в различных статьях по общей топологии в качестве контрпримера к тем или иным гипотетическим утверждениям — таких статей автор этой работы нашел более 50. Например, в 1972 году Е.Майкл доказал [9], что при СН для любого п £ N существует подмножество прямой Зоргенфрея У С В такое, что У, У2, ..., У" — наследственно лин-делефовые пространства, а Уп+1 даже не нормально; или в 1981 году Дж.Дийкстра показал [5], что сильно нульмерно, а его размерность, определяемая по конечным открытым покрытиям бесконечна. Энгелькинг в книге "Общая топология" [2] назвал прямую Зоргенфрея "универсальным контрпримером" в общей топологии.

Помимо применения прямой Зоргенфрея в качестве всевозможных контрпримеров, с помощью этого пространства в общей топологии были получены и различные "положительные" результаты, например в 1984 году Д.Б.Моторов получил описание Л-пространств как непрерывных метрических образов прямой Зоргенфрея [1]; или было показано, что некоторые топологические свойства пространства зависят от того, содержит ли оно прямую Зоргенфрея в качестве подпространства, или нет. Также прямая Зоргенфрея очень активно используется в изучении так называемых обобщенно упорядоченных топологических пространств, представителем которых она является. Нужно отметить что прямая Зоргенфрея важна и в математическом анализе, поскольку непрерывные вещественные функции на 8 являются его классическим

непрерывные справа.

В связи со столь большой важностью прямой Зоргенфрея и ее конечных степеней в общей топологии, это пространство само по себе систематически изучалось в течение последних 30-40 лет. К примеру, в 1971 году Р.Хис и Е.Майкл доказали [7], что 8" (для любого п € М) и §" являются совершенными пространствами; в 1972 году Д.Лутцер доказал [8], что 8™ (для любого п € М) и 8" субпаракомпактны; в 1987 году Лутцер и Д.Бурке доказали [3], что для различных т, п е N не существует гомеоморфизма между 8т и 8", в той же статье они построили уплотнение 82 на 8; в 1988 году С.Светличный доказал [И], что открытые метрические образы 8" полны по Чеху; в 1998 году Бурке и Дж.Мур доказали [4], что ни для каких натуральных п > т и ни для какого несчетного X С 8 пространство X" нельзя топологически вложить в §т, в частности, для различных т, п £ N не существует гомеоморфизма между Хт и X"; в той же статье Бурке и Мур дали характеристику всем подмножествам прямой Зоргенфрея, гомеоморфным ей самой — это Ра и одновременно вл множества без изолированных точек; в 2005 году В.А.Чатырко анонсировал результат о том, что для любого несчетного X С 8 пространство <0> х X" можно топологически вложить в 8"+1, но нельзя вложить в 8", тем самым усилив результат Бурке и Мура.

Основным объектом данной работы являются прямая Зоргенфрея и ее конечные степени.

Цель работы. Основной целью настоящей работы является систематическое изучение того, как связаны прямая Зоргенфрея и ее конечные степени друг с другом, а также с вещественной прямой и отрезком при помощи различных классов непрерывных отображений, таких как уплотнения, факторные, открытые, замкнутые, совершенные, псевдооткрытые, псевдофакторные, компактные, компактно накрывающие и другие.

Основной метод исследования. В диссертации используются методы общей топологии и математического анализа.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми.

. >1 I /

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации

носят теоретический характер. Они могут найти применение в общей топологии, в первую очередь при изучении всевозможных новых топологических свойств, поскольку прямая Зоргенфрея и ее конечные степени постоянно используется в общей топологии в качестве контрпримеров, и в изучении различных видов упорядоченных топологических пространств, поскольку прямая Зоргенфрея является одним из наиболее интересных представителей из их числа.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на топологическом семинаре в ИММ УрО РАН (г. Екатеринбург), на международной топологической конференции "Александровские чтения" памяти П. С. Александрова (г.Москва) в мае 2002 года и в июне 2005 года, а также на конференции "Современные математические методы и информационные технологии" (г.Тюмень) в апреле 2005 года.

Публикации. Основные результаты опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, параграфа, посвященного обозначениям и терминологии, а также из четырех параграфов в двух главах и списка литературы. Объем диссертации составляют 70 страниц машинописного текста, 49 библиографических ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава диссертации посвящена изучению непрерывных отображений между конечными степенями прямой Зоргенфрея. В первом параграфе изучаются уплотнения, т.е. непрерывные взаимно-однозначные отображения.

Известно, что не существует не только уплотнения, но даже и непрерывного отображения прямой Зоргенфрея на любую ее конечную степень, старшую первой. Выше упоминалось, что Бурке и Лутцер построили уплотнение 82 на 8. Из этого результата следует

Следствие 1.8 Для любых натуральных п > т > 1 существует уплотнение в" на 8т.

Оставался открытым вопрос о существовании уплотнения с меньшей степени прямой Зоргенфрея, старшей первой, на большую. В первом параграфе дается ответ на этот вопрос, а именно, доказываются теорема и следствие из нее:

Теорема 1.5 Существует уплотнение В2 на

Следствие 1.7 Для любых натуральных п,тп таких, что 2 < т < п, существует уплотнение Вт на 8".

В итоге получено, что любая конечная степень 8, кроме первой уплотняется на любую другую ее конечную степень. Из этого автоматически следует, что для тех же пар пространств существуют компактное, конечно-кратное и счетнократное непрерывные отображения одного пространства на другое.

Во втором параграфе первой главы изучаются остальные непрерывные отображения между степенями прямой Зоргенфрея. В первую очередь отмечается факт о том, что для любых двух степеней прямой Зоргенфрея существует непрерывное открытое отображение с большей степени на меньшую и, следовательно, существует факторное и псевдооткрытое непрерывные отображения большей степени § на меньшую. Основными результатами второго параграфа являются две следующие теоремы.

Теорема 1.11 При любом натуральном п> 3 не существует непрерывного факторного отображения Б2 на 8".

Теорема 1.15 Пусть / — непрерывное замкнутое отображение, действующее из 8" на У" С 8, где п > 2. Тогда множество У счетно.

Непосредственным следствием теоремы 1.15 является:

Теорема 1.17 Для всех натуральных п > 1 не существует непрерывного замкнутого отображения 8" на 8.

Из теоремы 1.11 следует, что не существует открытого, замкнутого, совершенного, псевдооткрытого и компактно накрывающего непрерывных отображений 82 на 8", где п > 3. Из теоремы 1.17 следует, что не существует совершенного отображения в" на 8, где п > 2.

Помимо этих теорем во втором параграфе первой главы приводится лемма, полезная для изучения конечных степеней прямой Зоргенфрея:

Лемма 1.12 Если множество Е С 8" несравнимо в смысле отношения частичного порядка " на 8", то это множество является замкнутым дискретом в 8".

Отношение частичного порядка " ;< " на 8" определяется следующим образом: а-<Ь тгДа) < щ{Ъ) для всех г £ {1,..., п}, где 7Г;(а) — г-ая координата точки а £ в".

В конце первой главы ставятся следующие открытые вопросы:

Вопрос 1.18 Существует ли непрерывное замкнутое отображение 8" на §т при натуральных п > т > 2 ?

Вопрос 1.19 Существует ли непрерывное факторное отображение 8" на §т при натуральных 3 < п < т ?

Вопрос 1.20 Верно ли, что конечные степени прямой Зоргенфрея, старше второй, неотличимы при помощи классических видов непрерыв-

ных отображений, кроме гомеоморфизмов, т.е. верно ли, что при любых натуральных п,т > 3 существуют непрерывные факторное, замкнутое, открытое, совершенное, компактное, псевдофакторное, псевдооткрытое, бифакторное, компактно накрывающее и другие классические непрерывные отображения 8" на 8т ?

Во второй главе изучаются непрерывные отображения между прямой Зоргенфрея и ее конечными степенями с одной стороны, и вещественной прямой и отрезком с другой.

Отмечено, что не существует непрерывного отображения вещественной прямой или отрезка ни на какое подмножество прямой Зоргенфрея или ее конечной степени, отличное от одноточечного, кроме того, существует уплотнение 8 на К (например, тождественное отображение на числовой прямой). Основными результатами первого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 2.1 Существует непрерывное открытое отображение прямой Зоргенфрея на вещественную прямую.

Теорема 2.15 Пусть f : В С 8 К - непрерывное замкнутое отображение подпространства В прямой Зоргенфрея в числовую прямую. Тогда его образ /(В) счетен.

Из этих теорем вытекают

Следствие 2.12 Существует непрерывное открытое отображение прямой Зоргенфрея 8 на отрезок I.

Следствие 2.15 Не существует непрерывного замкнутого отобра-ОЮСИИЛ прямой Зоргенфрея 8 на числовую прямую К или на отрезок I.

Также из теоремы 2.1 следует, что для любого п е N существует непрерывные открытое (следовательно и псевдооткрытое и факторное) отображения 8" как на вещественную прямую, так и на отрезок. Следствие

2.15 влечет, что не существует совершенного отображения прямой Зорген-фрея на вещественную прямую или отрезок. Также в первом параграфе доказывается

Теорема 2.17 Существует уплотнение прямой Зоргенфрея на отрезок.

Из теоремы 2.17 и следствия 1.8 следует, что для любого натурального п существует уплотнение, а значит и непрерывные компактное, конечно-кратное и счетнократное отображения §" на R или на I.

Во втором параграфе второй главы изучается пространство CP(S) — пространство непрерывных вещественных функций над прямой Зоргенфрея, наделенное топологией поточечной сходимости. В этом параграфе доказывается следующая

Теорема 2.18 Для любого п S N пространство Ср(Еп) секвенци-ально-сепарабельно.

Указано, что таким образом пространство Ср(§) является контрпримером, разделяющим секвенциальную сепарабельность и наследственную сепарабельность (это пространство не наследственно сепарабельно).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору, доктору физ.-мат. наук Н.В.Величко за постановку задач и за внимательное и заботливое отношение к своему ученику, профессору, доктору физ.-мат. наук Е.Г.Пыткееву за первоначальную постановку заг дачи и за неоценимую поддержку и плодотворные научные дискуссии на протяжении всего времени написания диссертации, и своим родителям за понимание и поддержку.

Автор также благодарен всему творческому коллективу общегородского научного семинара по общей топологии, еженедельно проходящего в секторе топологии отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН М.И. Альперину, С.А Ануфриенко, И.Б. Казаковой, С.Э. Нохрину, A.B. Осипову, Д.С. Охе-зину и М.А. Филатовой за творческие дискуссии и дружескую обстановку в коллективе.

Литература

[1] Моторов, Д.Б. Метрические образы стрелки / Д.Б. Моторов // Вестник московского университета, серия математика и механика,— 1984.— С.35-37.

[2] Энгелькинг, Р. Общая топология (пер. с англ.) / Р. Энгелькинг.— М.: Мир.- 1986.- 751 с.

[3] Burke, D.K. On powers of certain lines / D.K. Burke, D.J. Lutzer // Topology and its applications - Vol.26.- 1987,- C.251-261.

[4] Burke, D.K. Subspaces of the Sorgenfrey line j D.K. Burke, J.T. Moore // Topology and its applications.- Vol.90.- 1998. - C.57-68.

[5] Dijkstra, J.J. A space with maximal discrepancy between its Katetov and covering dimension / J.J. Dijkstra // Topology Appl.— Vol.12, No.l.— 1981.- C.45-48.

[6] Douwen, E. Some properties of the Sorgenfrey line and related spaces / E. van Douwen, W. Pfeffer // Pacific J. Math - Vol.81, No.2- 1979-C.371-377.

[7] Heath, R.W. A property of the Sorgenfrey line / R.W. Heath, E.A. Michael // Compositio Math - Vol.23.- 1971 - C.185-188.

[8] Lutzer, D.J. Another property of the Sorgenfrey line / D.J. Lutzer // Compositio Math - Vol.24.- 1972.- C.359-363.

[9] Michael, E.A. Paracompaztness and the Lindelof property in finite and countable cartesian products / E.A. Michael // Compositio Math.— Vol.23.- 1971- C.199-214.

[10] Sorgenfrey, R.H. On the topological product of paracompact spaces / R.H. Sorgenfrey // Bull. Amer. Math. Soc- Vol.53. - 1947.- C.631-632.

[11] Svetlichny, S.A. Projective completeness and projective classes of spaces / S.A. Svetlichny // Moscow Univ. Math. Bull.- Vol.43, No.l.- 1988— C.65-68

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[12] Патракеев, М.А. О секвенциальной сепарабельности / М.А. Патракеев // Математический и прикладной анализ, том 1: сб. науч. тр.— Тюмень: издательство ТюмГУ - 2003.- С.148-150.

[13] Патракеев, М.А. Топология прямой Зоргенфрея / М.А. Патракеев // Современные математические методы и информационные технологии в образовании: тезисы докладов.— Тюмень: Издательство ТюмГу.— 2005.- С.45.

[14] Патракеев, М.А. Непрерывные отображения между конечными степенями прямой Зоргенфрея / М.А. Патракеев // Математический и прикладной анализ, том 2: сб. науч. тр.— Тюмень: издательство ТюмГУ.— 2005.- С.156-160.

[15] Patrakeev, М.А. Continuous bijections of finite powers of the Sorgenfrey line / M.A. Patrakeev // Proc. Steklov Inst. Math - suppl.l - 2004. -C.S18-S25.

»16453

РНБ Русский фонд

2006-4 19747

Подписано в печать 25.08.2005г. Тираж 90 экз. Заказ 136_.

Ризография научно-исследовательской

части УГТУ-УПИ 620002, г.Екатеринбург, ул.Мира, 19

Введение

Обозначения и терминология

Глава 1. Непрерывные отображения между степенями прямой Зоргенфрея

§1.1. Уплотнения

§1.2. Другие непрерывные отображения.

Глава 2. Связь между прямой Зоргенфрея и вещественной прямой.

§2.1.Непрерывные отображения прямой Зоргенфрея и ее степеней на вещественную прямую и отрезок

§2.2. Пространство непрерывных функций над прямой Зоргенфрея

Впервые прямая Зоргенфрея, также называемая стрелкой встречается в книге "Мемуар о компактных топологических пространствах" П.С. Александрова и П.С. Урысона в 1929 году [1]. В этой книге Александров и Урысон рассматривают топологическое пространство две стрелки, которое служит примером сепарабельного совершенного компакта с первой аксиомой счетности без второй аксиомы счетно-сти. При этом пространство две стрелки является дизъюнктным объединением двух множеств ("стрелок"), каждое из которых в наследственной топологии является прямой Зоргенфрея. С точки зрения Д.Кэмерона, которое он высказал в справочнике по истории общей топологии 1993 года издания [21], Р.Зоргенфрей открыл стрелку независимо в 1947 году — в том году вышла статья Зоргенфрея [48], в которой он представил топологическое пространство § в качестве контрпримера, показывающего, что квадрат паракомпакта может не быть нормальным. Впоследствии пространство § назвали прямой Зоргенфрея.

Итак, прямая Зоргенфрея, которую мы будем обозначать символом §, представляет из себя числовую прямую с топологией, базу которой образуют все полуинтервалы вида [ а, Ь). Это пространство и производные от него очень часто встречаются в различных работах по общей топологии в качестве контрпримера к тем или иным гипотетическим утверждениям — собственно в качестве такого контрпримера оно и было придумано. Ричард Энгелькинг в книге "Общая топология" [12] называет его "универсальным контрпримером" в общей топологии. Из свойств этого пространства в первую очередь нужно отметить следующие: прямая Зоргенфрея является сепара-бельным, совершенно-нормальным, наследственно линделефовым, с первой аксиомой счетности, без второй аксиомы счетности, с несчетным сетевым весом, наследственно несвязным, сильно нульмерным, не Е -компактным, не локально-компактным, псевдометрическим не метризуемым топологическим пространством, квадрат которого не нормален. За последние почти 60 лет вышло много статей, касающихся непосредственно свойств этого пространства. Сделаем небольшой исторических обзор этих материалов.

В 1971 году Р.Хис и Е.Майкл доказали [37], что любая конечная и счетная степени прямой Зоргенфрея являются совершенным пространством, при этом они указывают, что таким образом прямая Зоргенфрея является примером совершенного пространства, любая конечная и счетная степень которого совершенна, которое при этом не является полу-расслаиваемым (зегсп-51;га<лйаЫе) пространством. А в 2002 году Т.О.Банах показал [16], что прямая Зоргенфрея также является примером четверть-расслаиваемого (яча^ег-Б^аийаЫе), но не полу-расслаиваемого пространства.

В том же году Е.Майкл опубликовал статью о сохранении паракомпактности и свойства Линделефа конечными и счетными произведениями [43]. В этой статье он указывает, что прямая Зоргенфрея удовлетворяет первой аксиоме счетности, наследственно сепарабельна, наследственно линделефова, любое ее несчетное подмножество имеет несчетный сетевой вес. Кроме этого множество Б = {х € Б" | Х)Г=17Г»(Х) = г € К} является замкнутым дискретом в §п. И главный для нас результат — Майкл доказал, что при СН для любого п € N существует подмножество прямой Зоргенфрея К С § такое, что У, У2, ., У" — наследственно линделефовые пространства, а У+1 даже не нормально.

В 1972 году Д.Лутцер в статье [40] доказал, что любая конечная и счетная степени прямой Зоргенфрея субпаракомпактны, т.е. в любое открытое покрытие можно вписать а -локально конечное замкнутое покрытие.

В 1973 году Г.Грюнхаге показал [35], что прямая Зоргенфрея является примером паракомпактного монотонно нормального пространства, которое при этом не elastic space. В том же году П.Никое доказал [44], что любая конечная степень прямой Зоргенфрея сильно нульмерна, т.е. любая пара непересекающихся нуль-множество отделяется открыто-замкнутыми окрестностями. А в 1981 году Дж.Дийкстра показал [24], что при этом размерность §2 по конечным открытым покрытиям бесконечна.

В 1977 году А.Емерик и В.Кульпа доказали [27], что прямая Зоргенфрея не имеет связной компактификации, т.е. любой компакт, который содержит S в качестве плотного подпространства несвязен. Затем в 1981 году Дж.ПеЛант доказал [47], что любое несчетное подмножество прямой Зоргенфрея не имеет связной компактификации. А в 1999 году А.Федели и А.ЛеДонне доказали [31], что прямая Зоргенфрея имеет локально-связную коннектификацию со счетным наростом. В 2001 году они же доказали [30], что у § есть и локально линейно связная коннектификация.

В 1979 году Э. ван Дауен [25] показал, что прямая Зоргенфрея является примером сильно ретрактифицируемого, наследственно ретрактифицируемого, но при этом не наследственно сильно ретрактифицируемого пространства. (Сильная) ретракти-фицируемость пространства X означает, что для его любого непустого замкнутого подмножества F существует (замкнутая) ретракция X на F.

В том же году ван Дауен и В.Пфеффер доказали [26], что для любых натуральных n,m€ N пространства §п и Тт не гомеоморфны, где Т — иррациональная прямая Зоргенфрея, т.е. множество иррациональных чисел в топологии стрелки. Кроме этого они доказали, что любая конечная степень прямой Зоргенфрея является D -пространством, т.е. если для каждой точки х € мы произвольным образом зафиксируем ее окрестность ф(х), то обязательно найдется дискрет D С §" такой, что семейство {Ф{х) | х G D} будет покрытием всего пространства

А двумя годами позже, в 1981 году П. де Ко усилил их результат, показав [22], что любое подпространство §п также является Л -пространством.

В 1980 году Ц.Боргез доказал [18], что гиперпространство компактов прямой Зор-генфрея не нормально. В том же году М.Геванд и С.Вильяме доказали [34], что при МА и ->СН существует подмножество прямой Зоргенфрея такое, что его квадрат нормален, но не коллективно-нормален.

В 1983 году Дж.О'Фарелл доказал [45], что прямая Зоргенфрея не вполне ме-такомпактана, а в 2001 году Ф.Лупианез доказал [39], что прямая Зоргенфрея даже не вполне паракомпактна. Вполне паракомпактность (вполне метакомпактность) означает, что для любой базы найдется локально конечное (точечно конечное) ее подсемейство, являющееся покрытием пространства.

В 1984 году Д.Б.Моторов доказал [7], что метрические образы прямой Зоргенфрея являются в точности Л-пространствами. А в 1988 году С.Светличный доказал [49], что открытые метрические образы конечных степеней прямой Зоргенфрея полны по Чеху.

В 1987 году Д.Лутцер и Д.Бурке доказали [19], что для любых различных натуральных п, т € N пространства §" и §ш не гомеоморфны, а также не гомеоморфны пространства Тп и Т171. В той же статье они построили уплотнение §2 на В.

В 1996 году Ф.Экертсон доказал [28], что никакая конечная или счетная степень прямой Зоргенфрея не слабо псевдокомпактна, т.е. £7,$ -плотна в некоторой компак-тификации.

В 1998 году Д.Бурке и Дж.Мур опубликовали большую статью о прямой Зоргенфрея [20]. В ней они, в частности, доказали, что ни для каких натуральных п > т и ни для какого X С § — несчетного подмножества прямой Зоргенфрея, Хп не вкладывается в §т. В частности, тем самым они ответили на вопрос из [19] показав, что для любого несчетного подмножества прямой Зоргенфрея все его конечные степени топологически различны. Также они показали, что в утверждении, доказанном Майклом в [43] о том, что при СН существует несчетное подмножество У С S, квадрат которого обладает свойством Линделефа, нельзя освободиться от СН — они показали, что при PFA [17] квадрат любого несчетного подмножества прямой Зоргенфрея не линделефов. В той же статье Бурке и Мур дали характеристику всем подмножествам прямой Зоргенфрея, гомеоморфным ей самой — это Fa и одновременно G& множества без изолированных точек. Точно такую же характеристику независимо получил и Д.Перевалов, опубликовав ее в [11] в 2001 году. Из этой характеристики, в частности, следует, что § вкладывается в Т, и что Канторово совершенное множество без левых концов дополнительных интервалов в топологии прямой Зоргенфрея гомеоморфно ей самой.

В 2003 году А.МакКласки и Т.МакМастер, отвечая на вопрос Архангельского, показали [41], что прямая Зоргенфрея является примером к -нормального (т.е. пространства, в котором непересекающиеся канонически-замкнутые подмножества отделяются окрестностями) регулярного пространства, которое не плотно-нормально (см., например [14]).

Недавно на конференции памяти Золтан Валог С.Попвассилев анонсировал, что во-первых, прямая Зоргенфрея — "base-base paracompact\ т.е. существует открытая база такая, что любое ее подсемейство, которое также является базой, обладает локально-конечным подпокрытием (неизвестно, является ли каждое паракомпактное пространство base-base паракомпактом), а во-вторых, подмножество прямой Зоргенфрея имеет тип Fa тогда и только тогда, когда оно является "base-cover пара-компактом", т.е. у него существует открытая база такая, что любое ее подпокрытие имеет локально конечное подпокрытие (это свойство сильнее base-base паракомпактности), и тогда и только тогда, когда оно обобщенно лево-отделенное пространство (generalized left separated). Стоит отметить, что в [20] Бурке и Лутцер дали характеристику Fa -подмножествам § как непрерывным образам § в §. Кроме этого

С.Попвассилев анонсировал еще один результат о том, что подпространство прямой Зоргенфрея счетно тогда и только тогда, когда оно base-family paracompact.

В 2005 году В.А.Чатырко анонсировал результат [23] о том, что если Xi — несчетные подмножества §, то Q х П?=1 Xi вкладывается в Srt+1, но не вкладывается в §п, тем самым усилив результат Д.Бурке и Дж.Мура в [20].

Как мы видим, багаж знаний о прямой Зоргенфрея на сегодняшний день достаточно велик, при этом можно сказать, что особенно активно изучались конечные степени прямой Зоргенфрея. Когда мы изучаем какие-либо топологические объекты, то, пожалуй, основной вопрос, который мы должны себе задавать, заключается в том, как эти объекты связаны между собой непрерывными отображениями. Поэтому интересно было бы знать, как связаны между собой прямая Зоргенфрея и ее конечные степени посредством непрерывных отображений.

К настоящему времени касательно этого вопроса было известно следующее: во-первых, S нельзя непрерывно отобразить на §", где п > 2 — это связано с тем, что прямая Зоргенфрея наследственно линделефова, а ее конечные степени, старшие первой, не нормальны. Во-вторых, как уже отмечалось, Д.Лутцер и Д.Бурке в статье [19] построили уплотнение §2 на S, из чего следует (следствие 1.8), что любая большая конечная степень прямой Зоргенфрея уплотняется на меньшую. В-третьих, в той же статье было доказано, что все конечные степени прямой Зоргенфрея топологически различны, т.е. между ними не существует гомеоморфизмов. И, наконец, в-четвертых, всегда большую степень топологического пространства можно открыто отобразить на меньшую при помощи проектирования.

Мы видим, что в решении вопроса о том, как связаны между собой конечные степени прямой Зоргенфрея при помощи непрерывных отображений есть существенный задел, однако белых пятен в этом вопросе больше. Если вспомнить, что известно относительно аналогичного вопроса о вещественной прямой, то наиболее интересными фактами тут являются следующие: во-первых, различные конечные степени R не уплотняются друг на друга — это связано с тем, что они имеют разные топологические размерности, во-вторых, R можно непрерывно отобразить на R2 — это классическое отображение Пеано, или кривая Пеано (следовательно, меньшую конечную степень прямой можно непрерывно отобразить на большую), и в-третьих, в 1957 году Л.Келдыш построила непрерывное открытое отображение трехмерного куба на четырехмерный ([4], [5]).

Как мы видим, существенную роль здесь играет тот факт, что различные степени числовой прямой имеют разные размерности. В отличие от вещественной прямой все конечные степени прямой Зоргенфрея нульмерны в смысле размерности dim. Кроме вышеперечисленного интересно заметить, что прямая Зоргенфрея уплотняется на вещественную прямую (топология на § сильнее евклидовой-топологии на R), в то время, как вещественную прямую нельзя непрерывно отобразить ни на какое подпространство У С S, кроме точки, поскольку прямая Зоргенфрея наследственно несвязна. Что касается существования других видов непрерывных отображений S на R, то этот вопрос также был открыт.

Учитывая все вышесказанное, можно сформулировать следующий вопрос, который и был поставлен перед автором этой работы:

Как связаны прямая Зоргенфрея и ее конечные степени друг с другом, а также с вещественной прямой и отрезком при помощи различных классов непрерывных отображений, таких как уплотнения, факторные, открытые, замкнутые, совершенные, псевдооткрытые, псевдофакторные, компактные, компактно накрывающие и другие?

Первая глава этой работы посвящена изучению непрерывных отображений между конечными степенями прямой Зоргенфрея. В первом параграфе изучаются уплотнения, т.е. непрерывные взаимно-однозначные отображения.

Как уже говорилось, не существует не только уплотнения, но даже и непрерывного отображения прямой Зоргенфрея на любую ее конечную степень, старшую первой.

Также упоминалось, что Бурке и Лутцер построили уплотнение 82 на В [19]. Из этого результата следует

Следствие 1.8 Для любых натуральных п > т > 1 существует уплотнение 8П на Вт.

Оставался открытым вопрос о существовании уплотнения с меньшей степени прямой Зоргенфрея, старшей первой, на большую. В первом параграфе дается ответ на этот вопрос, а именно, доказываются теорема и следствие из нее:

Теорема 1.5 Существует уплотнение Б2 на 83 .

Следствие 1.7 Для любых натуральных п, т таки±, что 2 < т < п, существует уплотнение 8т на 8" .

Итак, касательно уплотнений степеней прямой Зоргенфрея, получаем, что любая конечная степень 5, кроме первой уплотняется на любую другую ее конечную степень. Из этого автоматически следует, что для тех же пар пространств существуют компактное, конечнократное и счетнократное непрерывные отображения одного пространства на другое.

Во втором параграфе первой главы изучаются остальные непрерывные отображения между степенями прямой Зоргенфрея. В первую очередь отмечается следующий очевидный факт: для любых двух степеней прямой Зоргенфрея существует непрерывное открытое отображение с большей степени на меньшую и, следовательно, существует факторное и псевдооткрытое непрерывные отображения большей степени 3 на меньшую. Основными результатами второго параграфа являются две следующие теоремы.

Теорема 1.11 При любом натуральном п > 3 не существует непрерывного факторного отображения Б2 на §п.

Теорема 1.15 Пусть / — непрерывное замкнутое отображение, действующее из §п на У С §, где п > 2. Тогда множество У счетно.

Непосредственным следствием теоремы 1.15 является

Теорема 1.17 Для всех натуральных п > 1 не существует непрерывного замкнутого отображения Бп на §.

Из теоремы 1.11 следует, что не существует открытого, замкнутого, совершенного, псевдооткрытого и компактно накрывающего непрерывных отображений §2 на §п, где п > 3. Из теоремы 1.17 следует, что не существует совершенного отображения 8П на 3, где п > 2.

Помимо этих теорем во втором параграфе первой главы приводится лемма, полезная для изучения конечных степеней прямой Зоргенфрея.

Лемма 1.12 Если множество Е С 8" несравнимо в смысле отношения частичного порядка " ^ " на 8П, то это множество является замкнутым дискретом в Вп .

Напомним, что отношение частичного порядка " ^ " на 8П определяется следующим образом: а ■< Ь ^ 7гДа) < для всех i € {1,.,гг} .

В конце первой главы ставятся следующие вопросы:

Вопрос 1.18 Существует ли непрерывное замкнутое отображение 8" на §т при натуральных п > т > 2 ?

Вопрос 1.19 Существует ли непрерывное факторное отображение на

§т при натуральных 3 < п < т ?

Вопрос 1.20 Верно ли, что конечные степени прямой Зоргенфрея, старше второй, неотличимы при помощи классических видов непрерывных отображений, кроме гомеоморфизмов, т.е. верно ли, что при любых натуральных п, т > 3 существуют непрерывные факторное, замкнутое, открытое, совершенное, компактное, псевдофакторное, псевдооткрытое, бифакторное, компактно накрывающее и другие классические непрерывные отображения §п на §т ?

Во второй главе изучаются непрерывные отображения между прямой Зоргенфрея и ее конечными степенями с одной стороны, и вещественной прямой и отрезком с другой.

Как уже отмечалось, не существует непрерывного отображения вещественной прямой или отрезка ни на какое подмножество прямой Зоргенфрея или ее конечной степени, отличное от одноточечного. Также нужно отметить, что существует уплотнение 3 на К — это тождественное отображение на числовой прямой. Основными результатами первого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 2.1 Существует непрерывное открытое отображение прямой Зоргенфрея на вещественную прямую.

Теорема 2.15 Пусть / : В С 8 —» К — непрерывное замкнутое отображение подпространства В прямой Зоргенфрея в числовую прямую. Тогда его образ /(В) счетен.

Из этих теорем вытекают

Следствие 2.12 Существует непрерывное открытое отображение прямой Зоргенфрея 8 на отрезок [0,1].

Следствие 2.16 Не существует непрерывного замкнутого отображения прямой Зоргенфрея 8 на числовую прямую К или па отрезок I.

Также из теоремы 2.1 следует, что для любого тг € N существует непрерывные открытое, псевдооткрытое и факторное отображения Б" как на вещественную прямую, так и на отрезок. Следствие 2.16 влечет, что не существует совершенного отображения прямой Зоргенфрея на вещественную прямую или отрезок. Также в первом параграфе доказывается

Теорема 2.17 Существует уплотнение прямой Зоргенфрея на отрезок.

Из теоремы 2.17 и следствия 1.8 следует, что для любого натурального п существует уплотнение, а значит и непрерывные компактное, конечнократное и счетно-кратное отображения 8П на К или на I.

Во втором параграфе второй главы изучается пространство Ср(5) — пространство непрерывных вещественных функций над прямой Зоргенфрея, наделенное топологией поточечной сходимости. Нужно отметить, что в математическом анализе непрерывные функции из 8 в К известны как вещественные функции, "непрерывные справа". В этом параграфе доказывается следующая

Теорема 2.18 Для любого п € N пространство Ср(§п) секвенциально-сепарабелъно.

Также говорится о том, что таким образом пространство Ср(§) является примером секвенциально-сепарабельного не наследственно сепарабелыюго пространства.

Основные результаты диссертации опубликованы в [8]-[10] и |46], а также докладывались на топологической конференции "Александровские чтения" на механико математическом факультете МГУ в мае 2002 года и июне 2005 года, и неоднократно — на семинаре сектора топологии отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору, доктору физ.-мат. наук Н.В.Величко за постановку задач и за внимательное и заботливое отношение к своему ученику, профессору, доктору физ.-мат. наук Е.Г.Пыткееву за первоначальную постановку задачи и за неоценимую поддержку и плодотворные научные дискуссии на протяжении всего времени написания диссертации, и своим родителям за понимание и поддержку.

Автор также благодарен всему творческому коллективу общегородского научного семинара по общей топологии, проходящего в секторе топологии отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН за творческие дискуссии и дружескую обстановку в коллективе.

Обозначения и терминология

Большинство обозначений и терминов этой работы взяты из книги Р.Энгенлькинга "Общая топология" [12]. В работе изучается топологическое пространство прямая Зоргенфрея (Sorgenfrey line), которую мы обозначаем § — это обычная числовая прямая с топологией, базу которой образуют все полуинтервалы вида [а,Ь). Иногда на русском языке у этого пространства встречается другое название — стрелка, или правая стрелка. Также в работе (в доказательстве теоремы 1.15) встречается топологическое пространство "левая стрелка"— это пространство, так же как и прямая Зоргенфрея, получено из числовой прямой, только его базу составляют полуинтервалы открытые не справа, а слева. Очевидно, левая стрелка гомеоморфна прямой Зоргенфрея.

Объектом, при помощи которого изучается прямая Зоргенфрея, являются различные виды непрерывных отображений, напомним их определения. Отображение / из топологического пространства X в топологическое пространство Y называется открытым, если образ любого открытого множества открыт; замкнутым, если образ любого замкнутого множества замкнут; факторным, если произвольное множество в образе А С Y открыто тогда и только тогда, когда открыт его прообраз /-1(Л); компактным, если прообраз любой точки является компактом; совершенным, если оно замкнуто и компактно, а пространство X является Тг - пространством; уплотненеим, если оно взаимооднозначно и сюръективно, т.е. f(X) = Y\ гомеоморфизмом, если оно является уплотнением и обратное отображение /-1 также непрерывно; конечнократным, если прообраз любой точки конечен; счетнократ-ным, если прообраз любой точки счетен; пседвооткрытым, если для любой точки в образе y&Y и для любой окрестности ее прообраза U = 0(f~1(y)) справедливо у 6 Int(/(C/)), где Int — оператор взятия внутренности множества; компактно накрывающим, если для каждого компакта В С У найдется компакт А С X такой, что f(A) = В.

Напомним определения различных типов топологических пространств, которые встречаются в работе. Топологическое пространство X называется хаусдорфовым, или Т2 -пространством, если любые две его точки отделяются друг от друга окрестностями; нормальным, если пара любых непересекающихся замкнутых его подмножество отделяется окрестностями; паракомпактным, если в его любое открытое покрытие можно вписать локально-конечное подпокрытие; паракомпактом, если оно паракомпактно и регулярно; финально-компактным, если его каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие, линделефовым, если оно финально-компактно и хаусдорфово; счетно-компактным, если его каждое счетное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие; компактом, если оно хаусдорфово и любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие; Е -компактным, если оно представляется в виде счетного объединения компактов; секвенциальным, если произвольное его подмножество А С X замкнуто тогда и только тогда, когда вместе со всякой последовательностью оно содержит все ее пределы; совершенным, если любое его замкнутое подмножество имеет тип Gs\ сепарабельным, если оно содержит счетное плотное подмножество; секвенциалъно-сепарабельным, если оно содержит счетное подмножество, секвенциальное замыкание (см. ниже) которого совпадает со всем пространством; связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся открыто-замкнутых непустых подмножеств; удовлетворяющим первой аксиоме счетности, если его характер счетен; удовлетворяющим второй аксиоме счетности, если его вес счетен; нульмерным, если оно непустое - пространство и обладает базой из открыто-замкнутых множеств; дискретным, если каждая его точка является изолированной.

Если V — тип или свойство топологического пространства, то пространство X называется наследственно- V -пространством, если каждое его подпространство обладает свойством V.

Подмножество А топологического пространства X плотно в X, если его замыкание совпадает со всем пространством; открыто-замкнуто, если оно открыто и замкнуто; называется дискретом, если А в наследственной топологии, порожденной пространством X, является дискретным топологическим пространством; замкнутым дискретом, если оно замкнуто и является дискретом; имеющим тип О5 ( )> если множество А можно представить в виде счетного объединения (пересечения) открытых (замкнутых) множеств пространства Х\ борелевским, ест ли его можно получить за счетное количество шагов из открытых и замкнутых подмножеств пространства X, где на каждом шаге мы можем применять операции дополнения, счетного объединения и счетного пересечения к множествам, полученных на предыдущих шагах.

Будем называть несравнимым в смысле отношения р, если любые две его точки несравнимы в смысле отношения р; насыщенным относительно отображения /, где область определения отображения / содержит множество А, если А = ГЧ ПА)).

Семейство подмножеств пространства X называется дискретным, если любая точка х € X имеет окрестность, пересекающуюся не более чем с одним элементом данного семейства.

Под произведением топологических пространств мы будем понимать тихоновское произведение (см. [12]). Прямой суммой пространств будем называть сумму пространств, как она понимается в [12].

Два множества в К" будем называть конгруэнтными, если одно из них можно перевести в другое движением, т.е. отображением, сохраняющим расстояния.

Последовательность функций {/„}п€М из топологического пространства X в числовую прямую К равномерно сходится к функции / : X Е, если для любого е > 0 найдется п£ £ N такое, что для любого т > пе и для любой точки х&Х выполняется |/т(х) — /(х)| < е.

В работе нам встретится топологическое пространство К — канторово совершенное множество, или канторово множество. Это подмножество всех точек отрезка [0,1] таких, что в их троичной записи (т.е. записи в троичной системе счисления) не встречается цифра "1", в топологии, наследуемой из числовой прямой. Канторово множество также можно представить в виде К = [0,1 ] \ ипеН 7П> где {7п}пем — дизъюнктная система интервалов. Будем называть эти интервалы дополнительными интервалами канторова множества.

В работе встречаются такие кардинальные инварианты топологического пространства X, как число Суслина — наименьший кардинал г > и> такой, что любое семейство попарно непересекающихся непустых открытых подмножество пространства X имеет мощность < т; вес — минимум мощностей всех баз пространства Х\ сетевой вес — минимум мощностей всех сетей пространства Х\ характер точки х £ X — минимум мощностей всех баз в точке х\ характер пространства X — точная верхняя грань характеров всех точек пространства X; плотность — минимум мощностей всех плотных подмножеств пространства X.

Если точка а лежит в конечном произведении пространств ПГ=1-^«» т0 она представима в виде а = {а^ а^,., ап) € ПГ=1 ® этом случае г -той координатой точки о мы называем точку а{ € Х{ и обозначаем через 7Г¿(а).

Помимо терминов, описанных выше, в работе используются следующие обозначения:

N — множество натуральных чисел (в нашем понимании N = ш \ {0} ). Также мы рассматриваем N как дискретное топологическое пространство мощности

12 — множество рациональных чисел.

0>2 = 1 2, п £ М} — множество двоично-рациональных чисел, или диади-ческих рациональных чисел.

Ъ — множество целых чисел.

К — множество действительных чисел (числовая прямая с евклидовой топологией).

Р — пространство иррациональных чисел с евклидовой топологией.

§ — прямая Зоргенфрея (числовая прямая К с топологией, база которой состоит из всех полуинтервалов вида [а,Ь)).

Во — полуинтервал [0,1) с топологией, наследуемой из прямой Зоргенфрея.

Т — множество иррациональных чисел с топологией, наследуемой из прямой Зоргенфрея.

К — канторово совершенное множество. и — первый бесконечный ординал. и>1 — первый несчетный ординал.

2" — кардинал континуум, мощность множества всех подмножеств ш .

СР(Х) — пространство непрерывных функций из X в вещественную прямую К в топологии поточечной сходимости.

X х У — тихоновское произведение пространств X и У .

П Ха — тихоновское произведение пространств Ха . аеА

Хп — п - ая степень пространства X, тихоновское произведение п копий пространства X . а1,.,о„) — точка из Хп (при с^ е X ) с координатами а!,.,ап.

7Г,(а) — г - тая координата точки а £ X" .

При к = 0 мы считаем хП1.Пк = х . |А — сужение функции / на множество А. [Л] — замыкание множества А. [ а ] — целая часть числа а € К . А ]ввк —замыкание множества А в евклидовой топологии. [Л]ш — секвенциальное замыкание множества А. По определению = х 6 X | существует {х„}„ем С А : х = Ншп^ооО:«} . пг(Л) — множество всех внутренних точек множества А . |Л| — мощность множества А .

Fr(Л) — граница множества А. По определению Рг(А) = [ А] \ /тг£(Л) .

А' — множество предельных точек множества А . с(Х) — число Суслина пространства X .

1(Х) — число Линделефа пространства X . с1(Х) — плотность пространства X . у}{Х) — вес пространства X . пи)(Х) — сетевой вес пространства X . м1(Х) — наследственная плотность пространства X . й1(Х) — наследственное число Линделефа пространства X .

Иат(Л) — диаметр множества А в евклидовой метрике. хк,е) — базисная окрестность функции / € СР(Х), по определению \У(/,Х1,.,хк,е) = {д <= СР(Х) \ для любого г е {1, .,т} |/(х») - 5(х*)| < е} .

Ос(а) — стандартная базисная е - окрестность точки а € В", по определению

01вК {а) — стандартная базисная е - окрестность точки о € К", по определению 01вк\а) = {х € К" | р(х, а) < е} . тах(Л) — максимум множества А . ппп(Л) — минимум множества А . Бир(Л) — супремум множества А . тГ(Л) — инфимум множества А .

А, В, д° — эти символы ничего не означают, они используются для получения дополнительных переменных. а,Ь] — отрезок в пространстве К" заключенный между точками а и Ъ. (а, Ъ) — интервал в пространстве К™ заключенный между точками а и Ь . р(а, Ь) — евклидово расстояние между точками а и Ь . X = У — пространства X и У гомеоморфны. а ■< Ь — отношения частичного порядка на К", по определению а ■< Ь ^ ^¿(а) < 7г»(Ь) для всех г'е{1,.,п}. а<В— означает, что а < Ъ для всех Ь е В . А X В — означает, что а-<Ь для всех а е А и Ь € В . СН — континуум гипотеза, утверждение о том, что = шх . МА — аксиома Мартина.

1. Александров, П.С. Мемуар о компактных топологических пространствах (переиздание) / П.С. Александров, П.С. Урысон — М.: Наука.— 1971.— 144 с.

2. Архангельский, A.B. Основы общей топологии в задачах и упражнениях / A.B. Архангельский, В.И. Пономарев.— М.: Наука.— 1974.— 423 с.

3. Архангельский, A.B. Топологические пространства функций. A.B. Архангельский. — М.: Издательство МГУ — 1989.— 222 с.

4. Келдыш, JI.B. Преобразование монотонно-неприводмого отображения в монотонно-открытое отображение куба на куб большей размерности / J1.B. Келдыш // ДАН СССР.- Т.114,^3.- 1957 С.472-475.

5. Келдыш, JI.B. Преобразование монотонно-неприводмого отображения в монотонно-открытое и монотонно-открытые отображения куба, повышающие размерность / JI.B. Келдыш // Мат. Сб.— Т.43,№2 — 1957.— С. 187-226.

6. Куратовский, К. Топология. Том 1 / К. Куратовский.— М.: Мир,— 1966.— 594 с.

7. Моторов, Д.Б. Метрические образы стрелки / Д.Б. Моторов // Вестник московского университета, серия математика и механика.— 1984,— С.35-37.

8. Патракеев, М.А. О секвенциальной сепарабельности / М.А. Патракеев // Математический и прикладной анализ, том 1: сб. науч. тр.— Тюмень: издательство ТюмГУ.— 2003,- С. 148-150.

9. Патракеев, М.А. Непрерывные отображения между конечными степенями прямой Зоргенфрея / М.А. Патракеев // Математический и прикладной анализ, том 2: сб. науч, тр.— Тюмень: издательство ТюмГУ.— 2005,— С.156-160.

10. Патракеев, М.А. Топология прямой Зоргенфрея / М.А. Патракеев // Современные математические методы и информационные технологии в образовании: тезисы докладов.— Тюмень: Издательство ТюмГу.— 2005.— С.45.

11. Перевалов, Д.С. Характеристика гомеоморфных подмножеств стрелки / Д. С. Перевалов // Математический и прикладной анализ, том 1: сб. науч. тр.— Тюмень: издательство ТюмГУ.— 2003.— С.151-164.

12. Энгелькинг, Р. Общая топология (пер. с англ.) / Р. Энгелькинг.— М.: Мир.— 1986,- 751 с.

13. Alleche, В. On the coinsidence of the upper Kuratowski topology with the cocompact topology / B. Alleche, J. Calbrix // Topology and its applications.— Vol.93.—1999 — C.207-218.

14. Arhangel'skii, A.V. Relative topologicaal properties and relative topologicaal spaces / A.V. Arhangel'skii // Topology and its applications — Vol.70.— 1996 — C.87-99.

15. Bade, W.J. Two properties of the Sorgenfrey plane / W.J. Bade // Pacific J. Math.— Vol.51.- 1974,- C.349-354.

16. Banakh, Т.О. (Metrically) quarter-stratiRable spases and their applications in the theory of separately continuous functions / Т.О. Banakh // Math. Stud.— Vol.18, No.l.— 2002,- C.10-28.

17. Baumgartner, J.E. Applications of the Proper Forcing Axiom, in: The Handbook of Set-Theoretic Topology / J.E. Baumgartner.— New-York: North-Holland.— 1988.

18. Borges, C.R. Normality of hyperspaces / C.R. Borges // Math. Japon.— Vol.25, No.4.— 1980.- C.507-510.

19. Burke, D.K. On powers of certain lines / D.K. Burke, D.J. Lutzer // Topology and its applications — Vol.26.— 1987.— C.251-261.

20. Burke, D.K. Subspaces of the Sorgenfrey line / D.K. Burke, J.T. Moore // Topology and its applications — Vol.90.— 1998 — C.57-68.

21. Cameron, D.E. The Alexandroff-Sorgenfrey line / D.E. Cameron // Handbook of the history of general topology, San Antonio, TX,— Vol.2.— 1993 — C.791-796.

22. Caux, P. Yet Another property of the Sorgenfrey plane / Peter de Caux // Topology Proc.- Vol.6, No.l.— 1981.- C.31-43.

23. Chatyrko, V. Subspaces of the Sorgenfrey line and their products / V. Chatyrko // Manuskript— 2005.

24. Dijkstra, J.J. A space with maximal discrepancy between its Katetov and covering dimension / J.J. Dijkstra // Topology Appl.— Vol.12, No.l.— 1981.— C.45-48.

25. Douwen, E.K. Retracts of the Sorgenfrey line / E.K. van Douwen // Compositio Math.- Vol.38.- 1979,- C.155-161.

26. Douwen, E. Some properties of the Sorgenfrey line and related spaces / E. van Douwen, W. Pfeffer // Pacific J. Math.- Vol.81, No.2 — 1979.- C.371-377.

27. Emeryk, A. The Sorgenfrey line has no connected compactification / A. Emeryk, \V. Kulpa // Comment. Math. Univ. Carolin- Vol.18, No.3 — 1977 — C.483-487.

28. Eckertson, F.W. Sums, products, and mappings of weakly pseudocompact spaces / F.W. Eckertson // Topology and its applications.— Vol.72.— 1996 — C.179-157.

29. Espelie M.S. Compact subsets of the Sorgenfrey line / M.S. Espelie, Joseph J.E. // Math. Mag.- Vol.49.- 1976.- C.250-251.

30. Fedeli, A. The Sorgenfrey line has a locally pathwise connected connectification / A. Fedeli, A. Le Donne // Proc. Amer. Math. Soc.- Vol.129.- 2001. C.311-314.

31. Fedeli, A. On locally connected connectifications / A. Fedeli, A. Le Donne // Topology and its applications.— Vol.96.— 1999.— C.85-88.

32. Fora A.A. On the covering dimensions of subspaces of product of Sorgenfrey lines / A.A. Fora // Proc. Amer. Math. Soc.- Vol.72, No.3.- 1978. C.601-606.

33. Fora A. A. The covering dimension of product of generalized Sorgenfrey lines / A. A. Fora // Mat. Vesnik- Vol.5.(18).(33).- 1981. C.33-41.

34. Gewand, M.E. Covering properties of linearly ordered topological spaces and their products / M.E. Gewand, S.W. Williams // Topology and order structures, Lubbock, Tex.- Part.l.— 1980.— C.119-132.

35. Gruenhage, G. The Sorgenfrey line is not an elastic space / 'G. Gruenhage // Proc. Amer. Math. Soc.- Vol.38.- 1973.- C.665-666.

36. Gruenhage, G. On the existenco of the metizable or Sorgenfrey subspaces / G. Gruenhage // General topology and its relations to modern analysis and algebra, Prague.— 1986.- C.223-230.

37. Heath, R.W. A property of the Sorgenfrey line / R.W. Heath, E.A. Michael // Com-positio Math Vol.23.- 1971 - C.185-188.

38. Lupianez, F.G. On continued fractions and the Sorgenfrey line / F.G. Lupianez // Quest. & Ans. Gen Topology — Vol.8.— 1990.— C.457-465.

39. Lupianez, F.G. Continued fractions and order preserving gomeomorphism / F.G. Lupianez // J. Computational and Applied Math.— Vol.136.— 2001,— C.255-258.

40. Lutzer, D.J. Another property of the Sorgenfrey line / D.J. Lutzer // Compositio Math.- Vol.24.- 1972,- C.359-363.

41. McCluskey, A.E. An elementary counterexample on dense normality / A.E. Mc-Cluskey, T.B.M. McMaster // Topology and its applications— Vol.130.- 2003 -C.87-90.

42. Meyer, P.R. The Sorgenfrey line is a join of orderable topologies // Czechoslovack Math. J Vol.23.(98).— 1973 - C.402-403.

43. Michael, E. A. Paracompactness and the Lindelof property in finite and countable cartesian products / E.A. Michael // Compositio Math — Vol.23.— 1971.— C.199-214.

44. Nyikos, P. The Sorgenfrey plane in demension theory / Peter Nyikos // Fund. Math.— Vol.79.- 1973- C.131-139.

45. O'Farrell, J. The Sorgenfrey line is not totally metacompact / John O'Farrell // Houston J. Math.- Vol.9, No.2 1983.- C.271-273.

46. Patrakeev, M.A. Continuous bijections of finite powers of the Sorgenfrey line / M.A. Patrakeev // Proc. Steklov Inst. Math.— suppl.l.— 2004. — C.S18-S25.

47. Pelant, J. On compactifications of GO-spaces / J. Pelant // Topology and order structures, Amsterdam.— Part.2.— 1981.— C.47-51.

48. Sorgenfrey, R.H. On the topological product of paracompact spaces / R.H. Sorgenfrey // Bull. Amer. Math. Soc.- Vol.53. — 1947 C.631-632.

49. Svetlichny, S.A. Projective completeness and projective classes of spaces / S.A. Svetlichny // Moscow Univ. Math. Bull.- Vol.43, No.l.- 1988,- C.65-68