Тождества со следом и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

ргб од

1 з дек ?т

Самойлов Леонид Михайлович

ТОЖДЕСТВА СО СЛЕДОМ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

т т п.-? _______.......------------ -------- ----гг,. - ...__

их-их.ии — илгемсШ!псшиш лигща, сии еира и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск — 2000

Работа выполнена в Ульяновском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор А.Р. Кемер

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук., профессор С.Б. Пчелинцев, кандидат физико-математических наук АЛ. Белов

Ведущая организация: Тульский государственный педагогический ! университет им Л.Н. Толстого

Защита диссертации состоится 19 декабря 2000 г. в UL часов на

^uv.v.'-jj j ai-fnwaiivx v ig i hvj ¿ai»i,»x iс диъьс^' iоцШ1

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук в Ульянопском государственном университете (432700, Ульяновск, ауд. 701-корп. на Набережной р. Свияга).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан ^-^"/ЬСу^Ъ^иР '.>000 г.

Отзывы на автореферат просим присылать по адресу: 432700, г.Ульяновск, ул Л. Толстого, 42, УлГУ, научная часть

//

Учёный секретарь ВШЛЩОЪ

диссертационного совета, доцент "^—^tJt^{OJ Е.А. Михеева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование тождеств алгебраических систем - активно развивающаяся область современной алгебры. В дальнейшем будем рассматривать только тождества ассоциативных алгебр над полем.

Алгебры, обладающие нетривиальными тождествами, выделяются из класса всех алгебр наличием ряда "хороших" свойств. Например, если рассматривать конечно-порождённые (ассоциативные) PI-алгебры, то для них положительно решаются проблемы локальной конечности и локальной алгсбраичности1, они имеют нильпотентный радикал Дже-кобсона2, размерность Гельфанда-Кириллова таких алгебр конечна (несложное следствие теоремы А.И. Ширшова о высоте) и т.д. Вместе с тем. Р/-алгебры обрадуют достаточно широкий класс, замкнутый относительно многих естественных операций. Нельзя не отметить связь теории тождеств с теорией инвариантов (более подробно с этим можно ознакомиться по книге К. Прочези3).

Теория многообразий ассоциативных алгебр имеет чёткое деление на два направления: исследование многообразий над полями нулевой характеристики и над полями положительной характеристики. В первом случае имеется законченная структурная теория многообразий, построенная А.Р. Кемером4, позволяющая получать ответы на большинство "общих" вопросов. Одним из центральных результатов и инструментов этой теории является полное описание вербально-первичных Т-идеалов на языке носителей.

Описание на полилинейном уровне вербально-первичных Г-идеалов над полями положительной характеристики является сейчас одной из центральных проблем PI-теории. Многообразия, индуцируемые первичными многообразиями из нулевой характеристики в положительную, также первичны, но кроме них в характеристике р > 0 имеются и

1Жевмков К.А., Слинько A.M., Шсстаков ИМ., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.:Наука. 1978.

2Braun A. The nilpotency of the radical in a finitely generated P.I. ring// 3. Algebra. V. 89. 1984. P. 375-396.

3Procesi С. Rings with polynomial identities. New Yorkio 1973.

4k'emer A.R. Ideal of Identities of Associative Algebras. Amer. Math. Soc. Translations of Math. Monographs. V. 87. Providence. Я I. 1991.

другие первичные многообразия, первый пример которых был указан Ю.П. Размысловым5.

А.Р. Кемером было показано, что первичные многообразия теснейшим образом связаны с первичными многообразиями алгебр со следом и 7-кдассическими многообразиями алгебр со следом6. Это предопределяет большую роль 7-классических многообразий в Р/-теории, тем более что в качестве примеров выступают такие важные многообразия, как многообразия, порождаемые матричными алгебрами или, в более общем плане, матричными супералгебрами.

Цель работы. Целью работы является исследование вербально-пер-вичных многообразий ассоциативных алгебр путём пополнения их следами. Для этого рассматриваются 7-классические многообразия алгебр со следом, исследование которых ведётся в основном на языке ассоциированных с ними систем аннуляторов групповых алгебр симметрических групп. Обычные тождества 7-классических многообразий во многих случаях (но не всегда) образуют вербально-первичные идеалы в свободной ассоциативной алгебре.

Методы исследований. В диссертации используются понятия и методы теории ассоциативных алгебр, теории тождеств ассоциативных алгебр, теории представлений симметрических групп.

Научная новизна. Получен ряд результатов о тождествах со следом первичные и непервичных 7-классических многообразий; это позволяет доказать несколько утверждений об обычных тождествах 7-клаоснческих многообразий и построить неизвестные ранее первичные многообразия ассоциативных алгебр.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения:

1) Получено описание полилинейных тождеств со следом матричных супералгебр над полями произвольной характеристики на языке аннуляторов. В нулевой характеристике такое описание позволяет дать короткое доказательство теоремы Ю.П. Размыслова о базисе тождеств со следом матричных супералгебр.

ьРазмыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.:Наука. 1989.

ёКетег Л. Remarks on the prime varieties// Israel J. of Math. V. 96. 1996. P. 341-356.

2) Показано, что над полями положительной характеристики существует только конечное число минимальных 7-классических многообразий. Для этих многообразий описаны базисы тождеств. Показано, что каждое 7-классическое многообразие в характеристике р удовлетворяет тождеству Гамильтона-Кэли некоторого порядка.

3) Описана конструкция свёртки 7-классических многообразий. С её помощью построены неизвестные ранее первичные многообразия ассоциативных алгебр. В качестве таких примеров выступают свёртки минимальных многообразий.

4) Доказано наличие у 7-классических многообразий центральных полиномов и бшотллеров. Это обобщает соответствующие результаты Ю.П. Размыслова7. Получен ответ на вопрос о том, в какой степени обычные тождества 7-классических многообразий определяют эти многообразия.

5) Доказана глобальная конечная базируемость над полями нулевой характеристики и локальная конечная базируемости над полями положительной характеристики Т-подпространств полилинейных центральных полиномов (содержащих все тождества) для 7-классических Г-пдеалов при 7 ф 0. В частности, речь может идти о центральных полиномах для матричпых супералгебр.

6) Доказано, что над бесконечным полем каждое трёхчленное тождество влечёт некоторое полугрупповое тождество, и при этом сохраняются все свойства приведённости. Тем самым изучение трёхчленных тождеств полностью сведено к изучению полугрупповых тождеств.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит целиком теоретический характер.

Как уже отмечалось, первичные многообразия и вербально-первич-ные Г-идсалы являются одним из центральных инструментов современной Р/-теории. Проблема их описания в положительной характеристике является весьма трудной. Полученные в диссертапии результаты

7Розмыслов Ю.П. Тождества алгебр и нх представлений. М,:Наука. 1989.

о ^-классических .многообразиях и их связях с первичными многообразиями следует рассматривать прежде всего с точки зрения этой общей проблемы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной алгебраической конференции памяти А.Г. Куроша (Москва, 1998), на Второй Международной конференции "Полугруппы: теория и приложения" в честь профессора Е.С. Ляиина (Санкт-Петербург, 1999), на пленарном докладе Европейской конференции "Rings, Modules and Representations" (Констанца, 2000).

Личный вклад. Все результаты диссертации получены автором лично. Все результаты являются новыми, за исключением теоремы Ю.П. Размыслова о базисе тождеств со следом матричных супералгебр в характеристике нуль, для которой получено гораздо более простое доказательство.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 6 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из девяти параграфов, первый из которых является введением, и списка литературы. Объём диссертации - 76 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, даются некоторые определения, а также приводится аннотация основных результатов диссертации. Для их понимания необходимо формальное определение алгебр со следом и -/-классических многообразий.

Пусть А - ассоциативная алгебра с единицей над полем F, R - ассоциативная и коммутативная алгебра с единицей над тем же полем, С(А) ~ центр Л и () : R —>- С (А) - гомоморфизм F-алгебр. Полагая аг — га = аО(г) для а € А, г £ й, мы превращаем алгебру А в R-алгебру. Пусть Тг : А —> R - произвольное Л-лииейное отображение со свойством Тт(аЪ) = Tr(ba) для любых а,Ь € А. Четвёрка (A,R,9,Tr)

называется алгеброй со следом. Впрочем, часто для простоты мы будем называть алгеброй со следом алгебру А, предполагая заданными алгебру Я и отображения 0,Тг.

Рассмотрим две алгебры со следом (Л, Я, в, Тг) и (Л', Я\ в', Тг'). Пара (/г, и) гомоморфизмов Р-алгебр ц : А -» А' и и : Я —> Я' называется гомоморфизмом алгебр со следом, если цВ — 0'/' и рТг = Тг'ц.

Пусть X - некоторое (возможно пустое) множество и 1< :(Х) - свободная ассоциативная алгебра с единицей, порождённая множеством X. На свободной полугруппе с единицей (А'), порождаемой множеством X, определим отношение эквивалентности, полагая щ ~ «2 тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы V. ги 6 (X), что щ — гпи и «2 = гм. Если и € (X), то положим й = {V £ (X) : V ~ «}. Обозначим через Т(Х) свободную ассоцнативно-коммутативную Т-алгебру с единицей, порождённую всеми элементами Тг(й), где и £ {X).

Рассмотрим алгебру ~ Г'{Х) ® Т{Х). Определим гомомор-

физмы ^-алгебр в : Т{Х) С{Р{Х)) п Тг : Р(Х) Т(Х) по формулам #(£) = í®t п 7>(£ и ® £) = £Гг(м)£. Из определения отображения Тг следует, что оно удовлетворяет свойству Тг{аЪ) = Тг{Ъа)Уа,Ъ £ Р(Х). Четвёрка (Е{Х),Т{Х),в,Тг) является алгеброй со следом, которая называется свободной алгеброй со следом, порождённой множеством А'. После отождествления алгебр F*{X) £§) 1 и F•'{Ar} получаем включение X С Р(Х) С Г«(Х> С ЩХ).

В дальнейшем будем предполагать множество X счётным. Если А -алгебра со следом, аь..., ат £ А и / = /(жх,.. .,хт) £ ^(Х), ш > 0, то естественным образом может быть определён элемент /(ах,...,аш) £ А. Алгебра А удовлетворяет тождеству со следом / = 0, если для произвольных а\,...,ат € А выполнено равенство /(«1,....ат) — 0. Идеалы вида

Т[А] = {/ £ /7{Л") : / = 0 есть тождество А}

называются идеалами тождеств со следом (или Т-идеалами). Скажем, что система тождеств следует из системы тождеств {/,•}, если наименьший Т-идеал, содержащий {/,•}, содержит и {.<]]}■

Перейдём теперь к рассмотрению полилинейных тождеств со следом. Обозначим через К подалгебру с единицей в Р{Х), порождённую

элементом Tr( 1). Её можно рассматривать как множество полиномов нулевой степени. Пусть KSm+i есть групповая алгебра (над К) симметрической группы биекций множества {0,1,..., га}. Произвольный полилинейный полином / можно представить как линейную комбинацию над К полилинейных мономов одинакового состава u0Tr(ui).. .Тг(ип), где п > 0 и «1,..., ип - непустые слова из (X) (uQ может быть пустым). Пусть Рт есть множество всех полилинейных полиномов степени т, зависящих от переменных х\..... хт. Определим К--линейное отображение Хт : Рт KSm+i, полагая

АяЛа;,-!... xirTr(xh ... xjt )Тг(хк,... Xkt) ...) — <?€ Sm+i,

где и имеет следующее разложение на непересекающиеся циклы:

<7 = (0, г'ь..., ir)(ji,... ,ja)(ku ■ ■ • Л)....

Отображение Хт осуществляет изоморфизм /\-модулей. Если / € Рт, а £ KSm+1, то положим /а = А~1(Лт(/)а) и а/ = А~1(аАт(/)). Тем самым Рт превращается в левый и правый К"£т+1-модуль. По сути дела мы отождествляем Рт с групповой алгеброй KSm+j. При этом символ "О" играет роль .метки, отделяющей неследовую часть мономов.

Обозначим через /., идеал F-алгебры К, порождённый элементом Тт{ 1) — 7. Очевидно, что К/1-, = F. Имеется эпиморфизм ф : KSm+\ —> FSm+1, индуцируемый эпиморфизмом К —ъ F. Определим F-гомомор-физм Am : Pm —> FSm+1, полагая Ат = ф о Ат. Ограничение этого отображения на ^-пространство полилинейных полиномов с коэффициентами из F обозначим \т. Ясно, что Хт является изоморфизмом на FSm+1.

Скажем, что Т-идеал Г является вербально-иервичным, если для произвольных Т-идеалов Гi, Г2 из включения Г1Г2 С Г следует, что Ft С Г или Г2 С Г. Многообразие алгебр со следом V называется Г-первичным или просто первичным, если идеал T[V] вербально-первичен.

А.Р. Кемером8 было введено понятие 7-классического многообразия (7-класснческого Г-ыдеала), которое в неявном виде фигурировало и в

sKemer A. On the multilinear components of the regular prime varieties// Methods in Ring. Proc. of Trento Conference. Lect. Notes in pure and appl. math. V. 198. 1998. P. 171-183.

работах К).П. Размыслова9.

Т-пдсал Г называется 7-классическим, 7 € F, если:

1) идеал Г порождается полилинейными полиномами;

2) полином Тт{ 1) — 7 лежит в Г;

3) для любого m > 0 множество Хгп (Г Г) Рт) является двусторонним идеалом алгебры KSm41;

4) идеал Г не порождается элементами нулевой степени и не удовлетворяет тождеству х = О (эти условия нужны только для исключения трйвиатьных случаев).

Никаких условий на 7 g F в определении 7-классических многообразий не накладывается; тем не менее, теорема 4 работы утверждает, что в случае нулевой характеристики 7 £ Z; если же char F = р> 0, то 7 G Zp. ^

Через Лin,к обозначим идеал, порождаемый полилинейными тождествами со следом матричной супералгебры АТп,к- Идеалы ^Ink являются (п — к)-классическими, и можно показать, что над полями нулевой характеристики других 7-классических идеалов нет.

В § 3 рассматриваются системы идеалов 1 алгебр FSm+1. .Эти идеалы определяются так: представим множество {0,1,..., т} в виде объединения попарно непересекающихся множеств Ai,..,A„ и Difit (некоторые из этих множеств могут быть пустыми). Для такого разбиения рассмотрим в алгебре FSm+i элемент А^ ... A+Qf... fij^, где 0± = 1, А+ = Е tr, ft" = Е (-1)"*. Идеал 1порожда-

vÇ.Sym( A) (T6Si/ra(0)

ется всеми подобными элементами.

Оказывается, что система идеалов 1 полностью описывает полилинейные тождества со следом алгебр Mnj., без каких-либо огранияений на характеристику основного поля. А именно, имеет место следующаяя теорема.

Теорема 2. Пусть F - произвольное поле и / g Рт. Тогда полипом / является тождеством алгебры Mn,k тогда и только тогда, когда

9см., например, Размыслоа Ю.П. Тождества со медом полных матричных алгебр над полем характеристики нуль// Изв. АН СССР. Сер. ыатем. Т. 38. 1974. .V4. С. 723-756.

Если основное поле F имеет нулевую характеристику, то ввиду теоремы 2 совершенно очевидно, что для описания базиса тождеств со следом алгебры Mn ¿ остаётся преодолеть только некоторые технические трудности, связанные с применением диаграмм Юнга. Тем самым в качестве следствия теоремы 2 получается простое доказательство теоремы Ю.П.Размыслова о базисе тождест со следом матричных супералгебр над полями нулевой характеристики.

Теорема 3. Допустим, что char F — 0. Тогда.все тождества со следом алгебры МПгк следуют из тождества Tr( 1) = п — к и тождеств Xñk-+n+k(afD'n+l k+íT) = 0; где -D*+lí.+1 - любая диаграмма Юта, полученная из таблицы Dn+i^+ь сг,т £ S(n+i)(i-+i)-

В диссертации показано, что в случае положительной характеристики алгебры М„д. при достаточно больших п и к (по сравнению с р) имеют полилинейные тождества меньшей степени, чем пк + п + к (теорема 9), которые тем самым не следуют из тождеств, фигурирующих в теореме 3. Таким образом, прямое перенесение этой теоремы по соображению степени на положительную характеристику невозможно (в отличие от случая п • к = 0 или р = 2 в соответствии с результатами А.Р. Кемера10).

§ 4 носит технический характер: здесь доказываются необходимые для дальнейшего рассмотрения утверждения, связанные с аннулято-рами тождеств '/-классических многообразий. Самостоятельный интерес представляет только уже упоминавшаяся выше теорема 4.

В § 5 исследуются первичные многообразия В-у алгебр со следом, построенные Ю.П. Размысловым в качестве контрпримера к глобальной проблеме Бернсайда для алгебр Ли11. Эти многообразия определяются следующим образом.

Через Tt обозначим сумму всех перестановок т G .S'm. i. раскладывающихся в произведение ровно i независимых циклов. Положим

гп+1

sm+1 = £ -(=i

'"Kernet A. Multilinear identities of the algebras over a field of characteristic p// Intern. X of Algebra and Computations. V. 5. 1995. »2. P. 189-197.

11 Размыслоб Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.'.Наука. 1989.

элемент из центра аггебры FSm+í. Пусть элемент с™+1 порождает и алгебре FSm+1 идеал С™+1 и пусть B™+1 = Лппг(С™+1) (правый анну-лятор). В7 является многообразием, задаваемым полиномом XV(1) = у и полиномами из Á^(B™+1). Всюду теоремы 4 будем считать, что 7 £ Z в случае char F — 0 и 7 £ Ър при char F — р > 0, так как все другие случаи тривиальны.

Оказывается, что эти многообразия являются минимальными 7-клас-сическими многообразиями (теорема 5). Это означает, что каждое 7-классическое многообразие содержит Ву в качестве подмногообразия. Далее описывается базис тождеств этих многообразий.

Теорема 6. Пусть char F — р> 0. Тогда:

1) ВД = Мъо;

2)Т[В^] = Мь,ъ __ _ _

3) если char F = р > 5 и 7 £ {2,3,... ,р-2}. то Т[В~\ -- Мг0+М0,р_7;

4) если char F ф 2, то T[Bq] = Щ,ь'

5) если char F = 2, то Т[Во] порождается полиномами Тг(1) — 0, ху + ух + Тг(х)Тг(у) = 0 и хТг(у) + уТг(х) + Тг(ху) = 0.

Пункты 1) и 2) тривиальны, а основную сложность представляет доказательство пункта 3). Отметим, что описание базисов полилинейных тождеств со следом алгебр Mk$ (Л/од) было получено А.Р. Кемером12: зсе тождества следуют из тождества Гамильтона-Кэли порядка к (симметрического тождества Гамильтопа-Кэли порядка к) и тождества ну-тевой степени XV(1) = к (Tr( 1) = —к). Поэтому в случаях 1), 2) и 3) георема 6 действительно описывает базисы тождеств со следом минимальных 7-классических многообразий.

Из теоремы 6 также вытекает, что каждое 7-классическое многообразие над полем характеристики р > 0 удовлетворяет тождеству Гамильтона-Кэли некоторого порядка (факт, не имеющий места в ну-тевой характеристике).

В § б описывается конструкция свёртки 7-классическнх мпогообра-шй. Пусть V- и V"2 - 7i- и 72-классические многообразия, € F. положим Г = Т[\% Рт+1 - АГВ(Г* Л Рт), КЦ! = Апт(Гт+1). Если А -

"Kemer A. Multilinear identities of the algebras over a field of characteristic p// Intern. J. of Algebra md Computations. V. 5. 1S95. №2. P. 189-197.

множество из (ш+ 1)-го элемента, то образ идеала при естественном изоморфизме FSm+i —> FSyrn(A) обозначим UA, а образ идеала как I-1.

Зафиксируем подмножество А множества {0,1,...,ш} и положим А — {0,1,..., т}\А Через WA обозначим идеал в алгебре FSm+i, порождённый элементами множества UAVA (считаем, что V® = 1, — 1). Пусть

- wm+1= Е

ЛС{0Д,...,га}

Отметим, что Wm+1 порождается элементами из U UAVA как левый(ира-

.4 _

вый) идеал. Пусть Гт+1 = ^4nnr(H/"m+i). Породим Т-идеал Г элементом Tr( 1) = 7i -f 72 и элементами из А^Гт-ц), m > 0. Идеал Г назовём свёрткой идеалов fj и Г2- а многообразие V, сответствующее Т-идеалу Г, свёртпкой 7-кдассическнх многообразий Ц 11 Ц: Г = * Г2, V = l'i Ясно, что V удовлетворяет хотя бы одном}' нетривиальному тождеству. Теорема 7 проясняет смысл данного определения.

Теорема 7. 1) V - (71 + ^-классическое многообразие. 2)Хт{ТГ)Рт)=Тт+ь

■При помощи конструкции свёртки легко может быть доказано следующее утверждение.

Теорема 9. Алгебра над полем характеристики р > 0 удовлетворяет тождеству Гамильтона-Кэли порядка k{p — 1) + п и симметрическому тождеству Гамильтона-Кэли порядка п(р— 1) + к. Тождества Гамильтона-Кэли меньших степеней в алгебре не выполняются. _

Теорема 9 позволяет указать пример не первичного 7-классического многообразия. Для этого зафиксируем р > 2 н 7 £ {0,1, ...,£> — 1}. Тогда Т-идеал М.,ф2 П Мрзявляется 7-классическим, но не является первичным.

Теорема 9 также показывает, что при пик достаточно больших по сравнению с р (например, при п,к > р — 2), Т-идеал содержит полиномы меньших степеней, чем пк + п + к, которые в силу этого не следуют из тождеств, индуцируемых из нулевой характеристики.

При свёртке первичных 71- и "^-классических многообразий, где хотя бы одно из них удовлетворяет некоторому дополнительному ествен-ному условию, снова получается первичное, (71+72)-классическое многообразие (теорема 11). Свёртка используется в § 7, где при помощи её над полями характеристики р > 5 строятся неизвестные ранее первичные многообразия алгебр со следом, а поэтому ввиду теорем 13 и 14 (см. ниже) и обычные первичные многообразия. Такими примерами являются, в частности, свёртки нескольких многообразий вида В-,.

Теоремы 13 и 14 показывают, что 7-классические первичные многообразия при 7^0 однозначно определяются своими обычными тождествами.

Теорема 13. Пусть Г1 I) Г 2 - 7-классические Т-идеалы, 7 ф 0. Тогда если Г\ П F(X) = Г2 П F{X) и Г 2 - вербалъно-первичен, то Гх = ГУ

Теорема 14. Пусть Гх и Гг - 7-классические вербальпо первичные Т-идеалы, 7 ф 0. Тогда если Гх П F(X) = Г2 П F(X), mo Гх = Г2.

Для доказательства этих теорем необходимо установить наличие у 7-классическнх многообразий тождеств специального вида. Это делается в теореме 12, которая является обобщением результатов Ю.П. Раз-мыслова о существовании центральных полиномов для матричных супералгебр Д/n.fc над полями нулевой и положительной характеристик. Прежде напомним несколько определений.

Полилинейные тождества многообразия V вида

f(xu..., xm)Tr(y) - g{xu ...,xm,y) н

f(x 1,.. ,,xm)Tr(y)Tr(z) = g(xb xm,y, z),

где fug- полиномы без следа и / не принадлежит T[V], будем называть соответственно киллерами и бикиллерами многообразия V.

Рассмотрим О-классический Т-идеал Г п полином / £ Г П Рт. Представим / в виде

/ = /о + /ь

где Лто(/о) и Ат(/х) - линейные комбинации чётных и нечётных перестановок соответственно. Будем называть идеал Г чётно-градуированным,

если для каждого т из включения / 6 Г П Рт следует, что /0 € Г Г) Рт и Л € Г П Рт.

Теорема 12. 1) Каждое j-классическое многообразие обладает би-киллерами;

2) каждое q-классическое многообразие обладает (полилинейными) центральными полиномами;

3) каждое 7-классическое многообразие при 7^0 обладает киллерами.

4) 0-классическое первичное многообразие обладает киллерами тогда и только тогда, когда оно не является чётно-градуированным.

В § 8 рассматриваются Г-пространства С\}г] центральных полиномов для 7-классических многообразий V при 7 ф 0. а точнее говоря, их Т-подпространства L с условием

T[V) С L С CjV].

В этих обозначениях путём сведения к проблеме Шпехта для Т-идеалов доказана следующая теорема.

Теорема 15. Если char F = 0, mo L - конечно-базируемое T-npocm-ранство. Если char F — р > 0, то L локально конечно-базируемое Т-пространств о.

Частным случаем этой теоремы является положительный ответ на известную проблему о конечной базируемости центральных полиномов ДЛЯ Мп.

Следствие 2. Пространство полилинейных центральных полиномов для алгебры матриц порядка п над полем характеристики 0 конечно-базируелю. Над полем положительной характеристики это пространство локально конечно-базируемо на полилинейном уровне, если п не делится на р.

Вместо Мп можно рассматривать матричные супералгебры Mnj; с условием п — к ф 0 (в поле F).

Последний параграф работы, § 9, не использует техники, связанной ; '/-классическими многообразиями. Здесь исследуются трехчленные тождества, т.е. полиоднородные тождества вида атпх +/Зтг + 7тз = О, где а, /3,7 € Е, Ш1,тп2,тз - различные мономы и хотя бы два коэффициента отличны от нуля. Для тождеств такого вида получены результаты, являющиеся обобщением соответствующих результатов о полугрупповых тождествах, т.е. полиоднородных тождествах, имеющих зид гп1 - 7712, гДе т1 и тг - различные мономы. Основным результатом является доказательство утверждения, что каждое трёхчленное тождество влечет некоторое полугрупповое тождество, и при этом со-сраняются свойства приведённости.

Напомним, что полиоднородный полином вида а,-т,-, где а,- € Р, а,- ф 0, а т-г - различные мономы, называется приведённым, слева 'справа), если п > 1 и наибольшее общее начало (конец) мономов т,-шляется пустым. Если полпном приведён и слева и справа, то он на-¡ывается приведённым.

Георема 16. Для алгебры А (в общем случае без единигщ) над беско-¡ечным полем следующие условия эквивалентны:

1) алгебра А удовлетворяет трёхчленному тождеству (приведён-юму, приведённому слева, приведённому справа);

2) для некоторых т. п, к алгебра А удовлетворяет тождеству 1тЕ„ук -0 (Еп = 0, Епук = 0, утЕп = 0);

3) в алгебре А выполнено полугрупповое тождество (приведённое, гриведённое слева, приведённое справа);

4) многообразие \'аг(А) не содержит алгебру верхнетреуголъных штриц второго порядка

Теорема 16 показывает, что изучение трёхчленных тождеств над ¡есконечным полем полностью может быть сведено к изучению полу-рупповых тождеств, поскольку сохраняются все необходимые свойст-¡а приведённости.

Работы автора по теме диссертации

[1] Samoilov L.M. Remark on the trinomial identity// Международная алгебраическая конференция памяти А.Г. Куроша. Москва. 1998. Тез. докл.

[2] Samoilov L.M. Minimal degree of trace identities of the matrix superalge-bras// Вторая Международная конференции "Полугруппы: теория и приложения" в честь профессора Е.С. Ляпина. Санкт-Петербург.

1999. Тез. докл.

[3] Samoilov L.M. Convolution of prime varieties of associative algebras// Euroconference "Rings, Modules and Representations". Констанца.

2000. Тез. докл.

[4] Самойлов Л.М. Замечание о трёхчленных тождествах в ассоциативных алгебрах// Мат. заметки. Т. 65. 1999. №2. С. 254-260.

[5] Самойлов Л.М. Новое доказательство теоремы Ю.П. Размыслова о тождествах матричной супералгебры// Фунд. и прикл. математика. Т. 6. 2000. №3. С.

[6] Самойлов Л.М. О 7-классическнх многообразиях// Ульяновск. 2000, 28 С. Дел. в ВИНИТИ 29.06.00, №1837-В00.

1. Введение.

2. Определения и основные обозначения

3. Полилинейные тождества со следом алгебр МП)*.

4. Аннуляторы тождеств 7-классических многообразий

5. Описание минимальных 7-классических многообразий.

6. Свёртка 7-классических многообразий.

7. Свёртка первичных многообразий

8. Конечная базируемость некоторых Т-пространств.

9. Трёхчленные тождества ассоциативных алгебр

Пусть F(X) - свободная ассоциативная алгебра над полем F, порождённая счетным множеством X, и А - произвольная ассоциативная алгебра над F. Алгебра А удовлетворяет полиномиальному тождеству f(x 1,.,жто) = О, где f(x 1,.,жт) е F(x) и аг,- в X, если для произвольных ai,.,am 6 i в алгебре А выполнено равенство /(ai,., am) = 0. Алгебра, удовлетворяющая нетривиальному (то есть ненулевому) полиномиальному тождеству, называется Р1-алгеброй.

Простейшими примерами FJ-алгебр являются коммутативные, конечномерные, нильпотентные, алгебраические ограниченной степени алгебраичности и т.п. алгебры. Категория (ассоциативных) алгебр, удовлетворяющих некоторой системе тождеств, называется многообра-г зием, а свободные объекты в этой категории - относительно свободными алгебрами. Ясно, что многообразия замкнуты относительно гомоморфных образов, подалгебр и произвольных прямых произведений. Можно доказать и обратное (теорема Биркгофа), то есть что непустой класс алгебр, замкнутый относительно трёх вышеперечисленных операций, является многообразием. По теореме Регева-Латышева ([21]) класс PI-алгебр замкнут относительно тензорных произведений.

Тождества являются важным объектом исследования как для теории колец (см, например, [29]), так и для теории инвариантов (см. [22] или

И)

Чтобы работать с тождествами, надо иметь язык, на котором можно адекватно описывать их существенные свойства. Имеются два традиционных способа задания многообразий алгебр, взаимно дополняющих друг друга:

1) используя носитель, то есть предъявляя алгебру и рассматривая минимальное многообразие, содержащее её;

2) предъявляя некоторый набор тождеств.

Эти два способа задания многообразий далеки друг от друга и переход от одного способа к другому даже для "простейших" случаев является весьма сложной задачей. Так, например, базис тождеств неизвестен над полем характеристики нуль для алгебры матриц третьего порядка, а над полем положительной характеристики он неизвестен даже для матриц второго порядка (и неизвестно, конечен ли этот базис).

Тождества некоторой алгебры А образуют двусторонний идеал Т[А) в свободной алгебре F(X). Такие идеалы называются Т-идеалами, или вербальными идеалами. Т-идеалы совпадают с классом вполне характеристических идеалов свободной ассоциативной алгебры, то есть идеалов, замкнутых относительно всех эндоморфизмов. Между многообразиями алгебр и Т-идеалами имеется взаимно-однозначное соответствие. Если Г - Т-идеал, то алгебра F(X)/T порождает многообразие, идеал тождеств которого равен в точности Г.

В случае, когда основное поле F имеет нулевую характеристику, структурная теория многообразий была построена А.Р. Кемером (см. [12]), откуда им было получено положительное решение проблемы Шпех-та. Эта проблема заключается в доказательстве того факта, что каждый Т-идеал порождается (как Т-идеал) некоторой конечной системой своих элементов. Над полями положительной характеристики проблема Шпехта в общем случае была решена отрицательно (А.Я. Белов, A.B. Гришин, В.В. Щиголев, см. [1], [4], [30]). Тем не менее, А.Р. Кемером была доказана локальная шпехтовость (см. [13]): каждый Т-идеал свободной ассоциативной алгебры конечного ранга порождается конечным числом элементов как Т-идеал.

Важнейшую роль в структурной теории многообразий ассоциативных алгебр играют так называемые первичные многообразия (и соответствующие им вербалъно-первичные, или просто первичные, Т-идеа-лы), введённые А.Р. Кемером. Напомним, что Т-идеал Г называется вербально-первичным, если для произвольных Т-идеалов Гх и Г2 из включения Гх • Г2 С Г вытекает, что Гх С Г или Г2 С Г. Многообразие называеся первичным, если соответствующий ему идеал тождеств вербально-первичен. Более слабым по отношению к вербальной первичности является понятие вербальной полупервичности. А именно, Т-идеал Г называется вербально-полупервичным, если для произвольного Т-идеала Гх из включения Гх • Гх С Г вытекает, что Гх С Г.

Над полями нулевой характеристики все вербально-первичные Т-идеалы были описаны А.Р. Кемером (см. [12]).

Теорема (А.Р. Кемер). Собственный Т-идеал Г является вербально-первичным тогда и только тогда, когда Г = Т[А], где алгебра А -одна из алгебр следующих двух бесконечных серий:

1) Мп (G) - полная матричная алгебра порядка п над алгеброй Грас-смана G бесконечного ранга. п к

1 G0 I Gi N п

2) Мп>к ~ алгебра матриц вида

G1\Go ) к где Go(Gl) - подпространства алгебры Грассмана G, порождённое всеми словами чётной (нечётной) длины, причём п > к, п.к > О, п + к

Чтобы проиллюстрировать важную роль первичных многообразий, отметим, что из их описания (а на самом деле из описания только нематричных первичных многообразий) легко может быть получено доказательство лиевой нильпотентности энгелевых ассоциативных алгебр над полями нулевой характеристики (подробности см. в [11]).

Структурная теория ассоциативных Т-идеалов в случае нулевой характеристики выглядит следующим образом (подробности см. в [12]).

Теорема (А.Р. Кемер). Пусть Г - произволъый Т-идеал. Тогда:

1) сущестпвугп наибольший нильпотентный по модулю Г Т-идеал;

2) этот Т-идеал является вербально-полупервичным;

3) каждый вербально-полупервичным Т-идеал является пересечением конечного числа вербально-первичных Т-идеалов.

Теорема (А.Р. Кемер). Для каждой конечно-порождённой Р1-алгебры А над бесконечным полем (нулевой или положительной характеристики) найдётся конечномерная алгебра, имеющая те же самые тождества, что и алгебра А.

Теорема (А.Р. Кемер). Каждый собственный Т-идеал является идеалом тождеств грассмановой оболочки некоторой конечномерной супералгебры. Вербально-первичные Т-идеалы являются идеалами тождеств грассмановых оболочек конечномерных простых супералгебр.

При положительной характеристике основного поля указанные выше алгебры Мп{С) и МП;к так же порождают первичные многообразия, но список первичных многообразий этим не исчерпывается (см. [24]). Описание вербально-первичных Т-идеалов над полями положительной характеристики является важнейшей проблемой Р1-теории.

Для её решения понятие тождества расширяется, и вместо обычных тождеств рассматриваются тождества со следом, алгебры со следом, многообразия алгебр со следом и т.д. Формальное определение этих понятий будет дано в § 1. Интуитивно понятно, что такое тождество со следом: например, для матричной алгебры первого порядка выражение х — Тг(х) обращается в нуль при подстановке вместо х любой матрицы 1x1; то же самое справедливо, если в выражение ж2 — хТг(х) + |(Тг(ж)2 — Тг(х2)) подставить произвольную матрицу порядка 2 (теорема Гамильтона-Кэли). При линеаризации последнего полинома получается полином Гамильтона-Кэли второго порядка ху + ух — хТг(у) — уТг(х) — Tr(xy) + Тг(х)Тг(у), который так же является тождеством со следом для алгебры матриц второго порядка. При этом для матричных алгебр имеет место равенство Tr(ab) = Тг(Ъа) (о и Ь -произвольный матрицы), которое входит в общее определение алгебр со следом.

Алгебры матриц Мп и рассмотренные выше матричные супералгебры Mnjt являются алгебрами со следом (определение следа для мы напомним в начале § 3). Совокупность всех тождеств со следом некоторой алгебры образует Т-идеал в свободной алгебре со следом счётного ранга. Аналогично обычным многообразиям определяются вербально-первичные многообразия алгебр со следом, Т-первичные Т-идеалы и понятие следствий для тождеств со следом.

Важность рассмотрения Т-первичных Т-идеалов объясняется тем, что, очевидно, обычные полиномы из этих идеалов образуют вербально-первичные идеалы алгебры F{X). Наоборот, вербально-первичный идеал алгебры F{X) на полилинейном уровне может быть получен таким способом при выполнении достаточно общих условий регулярности,, введённых А.Р. Кемером в [18]. Над полем характеристики р каждый нетривиальный Т-идеал Г содержит все полилинейные тождества алгебры матриц некоторого порядка к (см. [16]). Наименьшее число к с таким свойством называется матричным типом идеала Г.

Идеал Г, порождаемый полилинейными полиномами, называется регулярным, если М]. удовлетворяет полилинейному тождеству со следом вида /Тг(у) = д, где / и д полиномы без следа, причём / ^ Г. В противном случае Т-идеал является нерегулярным. Эти определения применяются к первичным Т-идеалам, порождаемым полилинейными полиномами. Оказывается (см. [18]), что если такой идеал регулярен, то он совпадает с множеством обычных тождеств некоторого Т-первичного Т-идеала свободной ассоциативной алгебры со следом.

Тем самым любое исследование первичных многообразий алгебр со следом доставляет информацию об обычных первичных многообразиях. Именно таким способом Ю.П. Размыслов впервые построил над полями характеристики р > 3 первичные многообразия, не имеющие аналогов в нулевой характеристике (см. [27]).

В 1974 г. идеал тождеств со следом полной матричной алгебры порядка п над полем .Р характеристики 0 был описан Ю.П. Размысловым (см. [25] или [24] и формулировку теоремы 1). В 1976 г. К. Про-чези описал алгебру инвариантов относительно действия сопряжением группы ОЬ(п,Р). Позже выяснилось, что результаты Ю.П. Размы-слова о тождествах со следом влекут за собой результаты К. Прочези об описании алгебры инвариантов кольца матриц вхи, и соответствующая теорема в характеристике 0 (теорема 1, см. ниже) называется теперь теоремой Размыслова-Прочези. Имеются аналоги этой теоремы об описании инвариантов для полей положительной характеристики, из которых отметим теорему А.Н. Зубкова (см. [8]).

Опираясь на описание тождеств со следом алгебры М„, Ю.П. Размыслов позднее доказал (см. [25] или [27]), что все тождества со следом алгебры МП1к над полем нулевой характеристики следуют из тождества Тг( 1) = п—к и тождеств степени п/г+п-Ь^, и охарактеризовал эти тождества в терминах групповых алгебр, а точнее, в терминах диаграмм Юнга.

В 1995 г. А.Р. Кемер в работе [16] комбинаторными методами описал базис полилинейных тождеств со следом алгебры Мп над произвольным полем, а так же алгебры Мо,ь В случае характеристики р эти базисы оказались устроенными так же, как и в случае характеристики нуль.

Теорема 1. Над произвольным полем все тождества алгебры Мп$ следуют из тождества ТУ(1) = п и тождества Гамильтона-Кэли

Хп = К\ Е (-1)^); се5гг,+1 все тождества алгебры Мо^ следуют из тождества Тг( 1) = —к и симметрического тождества Гамильтона-Кэли

Рк = К1( Е <*)•

На протяжении всей работы постоянно используются отображения Ат, которые фактически отождествляют пространства Рт полилинейных полиномов со следом степени т от переменных хг,., хт с групповыми алгебрами симметрических групп 1 (группа 5то+1 действует на множестве {0,1,., т}) по модулю какого-либо тождества нулевой степени вида Тг( 1) = 7, 7 Е Р.

По модулю этого тождества каждый полилинейный полином со следом является линейной комбинацией мономов со следом, каждый из которых имеет вид щТг(щ). Тг(и8), где все щ при г > О непусты. Для мономов такого вида отображение Лто определяется следующим образом:

1 • • • . . . X. . . ■ • •) — ^ ^ где а имеет следующее разложение на непересекающиеся циклы: а = (0, ¿1,., гг)Уь . ., Ь) • • • •

Поскольку Тг(иу) = Тг(уи) для любых мономов и и г/, то отображение определено корректно, и его можно продолжить по линейности до изоморфизма Ато : Рт —> -Р5Ш+1. При этом символ "О" играет роль метки, отделяющей неследовую часть мономов.

В § 3 рассматриваются системы идеалов Iалгебр Р5то+1. Эти идеалы определяются так: представим множество {0,1,. , га} в виде объединения попарно непересекающихся множеств Л1,.,Л„ и О1,., (некоторые из этих множеств могут быть пустыми). Для такого разбиения рассмотрим в алгебре элемент Л+. . О^Г, где 0± = 1, Л+ = Е сг, О" = £ (-1)<то"- Идеал порождаа£Зут(А) <т <=Зут(П) ется всеми подобными элементами.

Оказывается, что система идеалов I™^1 полностью описывает полилинейные тождества со следом алгебр А именно, имеет место следующаяя теорема.

Теорема 2. Пусть F - произвольное поле и / Е Рт. Тогда полином / является тождеством алгебры МП;к тогда и только тогда, когда

Inf-Mf) = 0.

Если основное поле F имеет нулевую характеристику, то ввиду теоремы 2 совершенно очевидно, что для описания базиса тождеств со следом алгебры Мп^ остаётся преодолеть только некоторые технические трудности, связанные с применением диаграмм Юнга. Тем самым в качестве следствия теоремы 2 получается доказательство теоремы Ю .П.Размыслова.

Теорема 3. Допустим, что char F = 0. Тогда все тождества со следом алгебры Мп^ следуют из тождества Tr( 1) = п — к и тождеств ^"¿+n+fe(cr/£>*+ife+ir) = 0, где D*+1к+1 - любая диаграмма Юнга, полученная из таблицы Dn+ff^G

Предложенное доказательство теоремы 3 много короче, чем оригинальное доказательство Ю.П. Размыслова. Ниже будет показано, что в случае положительной характеристики алгебры Мп^ при достаточно больших пик (по сравнению с р) имеют полилинейные тождества меньшей степени, чем пк+п+к (теорема 9), которые тем самым не следуют из тождеств, фигурирующих в теореме 3. Таким образом, прямое перенесение этой теоремы на положительную характеристику невозможно, в отличие от случая п • к = 0 или р = 2 в соответствии с результатами А.Р. Кемера (а именно, с теоремой 1).

Основным понятием при исследовании первичных многообразий является определение 7-классического многообразия алгебр со следом, введённое А.Р. Кемером. А именно, нетривиальный Т-идеал называется 7-классическим, 7 6 F, если он порождается полилинейными полиномами, содержит элемент Tr( 1) — 7 и при каждом m полилинейные тождества степени m при отображении Ато переходят в двусторонние идеалы алгебр FSm+1 (самое главное). Обычный идеал Г называется

7-классическим, если Г = Р{Х) П Г для некоторого 7-классического Т-идеала Г,

Определение 7-классических многообразий накладывает очень жесткие условия. Тем не менее, все регулярные первичные многообразия являются 7-классическими, где 7 равно матричному типу многообразия (см. [18]), что позволяет при их исследовании использовать тождества со следом. Важнейшим примером (п — &)-классических многообразий являются многообразия, порождаемые полилинейными тождествами матричных супералгебр Мп

О нерегулярных первичных многообразиях практически ничего неизвестно. Так, например, вычисление матричного типа алгебры Грас-смана уже представляет из себя большие трудности (недавно такое решение было получено А.Р. Кемером). Тем не менее, существует весьма правдоподобная гипотеза Размыслова-Кемера, которая сводит их изучение к исследованию О-классических многообразий. По модулю этой гипотезы классификация (на том или ином языке) полилинейных компонент первичных многообразий полностью сводится к классификации первичных 7-классических многообразий, чем и объясняется их важная роль в Р1-террии.

Гипотеза Размыслова-Кемера (недоказанная даже для случая нулевой характеристики) формулируется следующим образом. Пусть Г -нетривиальный первичный нерегулярный Г-идеал, порождаемый полилинейными полиномами. Тогда найдётся такой О-классический первичный Г-идеал Г, что Г = Р{Х) П (Г + {Тг(х)}т). Неформально это означает, что Г получается из Г путём "отбрасывания" следов у всех полиномов из Г.

Над полями нулевой характеристики все 7-классические многообразия являются первичными, что вытекает из их полной классификации. В положительной характеристике это неверно: в § б построен соответ-свующий пример.

§ 4 носит технический характер: здесь доказываются необходимые для дальнейшего рассмотрения утверждения, связанные с аннулято-рами тождеств 7-классических многообразий. Самостоятельный интерес представляет теорема 4.

Теорема 4. Пусть V - некоторое 7-классическое многообразие. Тогда если char F = 0; то 7 Е Z; если же char F = р > 0, то 7 Е Zp.

В § 5 исследуются первичные многообразия В1 алгебр со следом, построенные Ю.П. Размысловым. Оказывается, что эти многообразия являются минимальными 7-классичеекими многообразиями (теорема 5). Это означает, что каждое 7-классическое многообразие содержит Ду в качестве подмногообразия. Далее описывается базис тождеств этих многообразий.

Теорема 6. Пусть char F = р > 0. Тогда:

1) Т{Щ = М1А;

Ю T[Bp-i] =-Мод/

3) если char F = р > 5 и 7 Е {2,3,., 2}, то Т[В7] = M7i0+M0jP7;

4) если char F ф 2, mo T[BQ] = М\у,

5) если char F — 2, то T[Bq] порождается полиномами Tr( 1) — 0; ху+ух-Ь Тг(х)Тг(у) = 0 и хТг(у) + уТг(х) + Тг(ху) = 0.

При помощи теоремы 1 можно явно указать порождающие системы идеалов Т[В7] в пунктах 1)-3). В этой теореме самым сложным является общий случай (пункт 3)). Отметим, кстати, что многообразия В7 при р> 5и7 Е {2,3,.,р—2} являются по крайней мере (р— 1)-энгелевыми, но не являются лиево нильпотентными (это один из контрпримеров Ю.П. Размыслова к глобальной проблеме Бернсайда для алгебр Ли, см. [27]).

В конце § 5 показывается, что каждое 7-классическое многообразие над полем положительной характеристики удовлетворяет тождеству Гамильтона-Кэли некоторого порядка (в нулевой характеристике это неверно).

В § б описывается конструкция свёртки 7-классических многообразий. Её определение довольно длинно, поэтому отметим только, что при свёртке первичных 71- и 72-классических многообразий, где хотя бы одно из них удовлетворяет некоторому дополнительному ествен-ному условию, снова получается первичное, (71 + 72)-классическое многообразие (теорема 11). Свёртка используется в § 7, где при помощи её над полями характеристики р > 5 строятся неизвестные ранее первичные многообразия алгебр со следом, а поэтому ввиду теорем 13 и

14 и обычные первичные многообразия. Такими примерами являются, в частности, свёртки нескольких многообразий вида В7.

Теоремы 13 и 14 показывают, что 7-классические первичные многообразия при 7^0 однозначно определяются своими обычными тождествами.

Теорема 13. Пусть Г i Э Г 2 - 7-классические Т-идеалы, 7^0. Тогда если Г1 П F(X) = Г2 П F(X) и Г2 - вербалъно-первичен, то Гi =

Теорема 14. Пусть Г1 и Г2 ~ 7-классические вербалъно первичные Т-идеалы, 7 ф 0. Тогда если Гi П F{X) = Г2П F{X), тоТх = Т2.

Для доказательства этих теорем необходимо установить наличие у 7-классических многообразий тождеств специального вида. Это делается в теореме 12, которую мы сформулируем только частично. Эта часть обобщает результаты Ю.П. Размыслова о существовании центральных полиномов для матричных супералгебр над полями нулевой и положительной характеристик.

Теорема 12. Каждое 7-классическое многообразие обладает (полилинейными) центральными полиномами.

В § 8 рассматриваются Г-пространства C[V] центральных полиномов для 7-классических многообразий V при 7 ф 0, а точнее говоря, их Т-подпространства L с условием

T[V] С L С C[V].

В этих обозначениях доказана следующая теорема.

Теорема 15. Если char F = 0, то L - конечно-базируемое Т-пространство. Если char F = р > 0, то L - локально конечно-базируемое Т-пространство.

Частным случаем этой теоремы является положительный ответ на известную проблему о конечной базируемости центральных полиномов для Мп.

Следствие 2. Пространство полилинейных центральных полиномов для алгебры матриц порядка п над полем характеристики 0 конечно-базируемо. Над полем положительной характеристики это пространство локально конечно-базируемо на полилинейном уровне, если п не делится на р.

Последний параграф работы, § 9, не использует техники, связанной с 7-классическими многообразиями. Здесь исследуются трёхчленные тождества, т.е. полиоднородные тождества вида ami + + 7^3 — О, где а,/3,7 G F, Ш1,Ш2,тз - различные мономы и хотя бы два коэффициента отличны от нуля. Для тождеств такого вида получены результаты, являющиеся обобщением соответствующих результатов о полугрупповых тождествах, т.е. полиоднородных тождествах, имеющих вид т\ — ш.2, где гщ и т^ - различные мономы. Такие тождества изучались ранее в ряде работ (см., например, [3], [28]) Основным результатом является доказательство утверждения, что каждое трёхчленное тождество влечет некоторое полугрупповое тождество, и при этом сохраняются свойства приведённости.

Напомним, что полиоднородный полином вида агшг-, где щ Е F, а.{ ф 0, а тг- - различные мономы, называется приведённым слева (справа), если п > 1 и наибольшее общее начало (конец) мономов появляется пустым. Если полином приведён и слева и справа, то он называется приведённым.

Теорема 16. Для алгебры А (в общем случае без единицы) над бесконечным полем следующие условия эквивалентны:

1) алгебра А удовлетворяет трёхчленному тождеству (приведённому, приведённому слева, приведённому справа);

2) для некоторых т, п, к алгебра А удовлетворяет тождеству утЕпук = 0 (Еп = 0, Епук = 0, утЕп = 0);

3) в алгебре А выполнено полугрупповое тождество (приведённое, приведённое слева, приведённое справа);

4) многообразие Var(A) не содержит алгебру верхнетреугольных матриц второго порядка К^.

Теорема 16 показывает, что изучение трёхчленных тождеств над бесконечным полем полностью может быть сведено к изучению полугрупповых тождеств, поскольку сохраняются все необходимые свойства приведённости.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35]-[37] и докладывались на Международной алгебраической конференции памяти А.Г. Куроша (Москва, 1998), на Второй Международной конференции "Полугруппы: теория и приложения" в честь профессора Е.С. Ляпина (Санкт-Петербург, 1999), на пленарном докладе Европейской конференции "Rings, Modules and Representations" (Констанца, 2000).

Автор выражает глубокую благодарность проф. А.Р. Кемеру за постановку задач, научное руководство и постоянное внимание к работе.