Тождества в решетках многообразий полугрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 ОД сАита-пэты^етиш

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

■ 3 .чд" ^ • ' _

На правах рукописи

ВОЛКОВ Михаил Вдаддашрозич

ТОЖДЕСТВА В РЕШЕТКАХ МНОГООБРАЗИЯ ПОЛУГРУПП

01.01.06 - натвяатичэсжап логта, алгобра и' теория чисол

АВТОРЕФЕРАТ дассэргацни па саксканиэ уганоа иитев! дпстора фкзико-натемзтячоскга: наук

Санкт-Петербург

1994

Работа выполнена в Уральском государственном университете

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Л.А.Бокуть; доктор физико-матеыаттвскит наук, профессор А.Р.Немэр; доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Латышев.

Ведущая организация: Московски!! государственный педагогический университет.

Защита состоится "Л" 1994 г. в часов на

васедвнии ешциашзированного совета Д 063.57.29 по защите диссертаций на соискание учено« стегвни доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете.

Адрес совета: 198904 Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математако-механическия факультет СПОГУ.

Защита <5удат проходить ш адресу: 191011 Санкт-Пзтербург, наб. р. Фонтанки, 27, Петербургское отделение математического института им. В.А.Стеклова РАН, к.311.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Горького по адресу: Санкт-Пзтербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " пупл^л 19.94 г.

Ученый секретарь специализированного совета доцент

С.М.Ананьевскиа

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

¿ктуахыюсть теш. Гашетка всех шюгообразка групп иоду-, хтрна, а решетка всех многообразия полугрупп Ее удовлэтворяэт никакому нетривиальному решеточному тоадеству. Сопоставление этах фундаментальных фактов и приводит естественниц образом к задача описания многообразия пп/^угрушт с жодумрюй реисяисой подмногообразий - ниж? для краткости будем именовать такт као-огообраэия ^пдулярт.'ч'л. в явном вида данная задача бьиа вгарвыэ сформулирована более 20 лгг назад в известном обэорэ Эванса [4], хотя, по существу, она счала объектом интенсивных исслэдовашп бщэ в середине 60-х годов (начиная с диссертации Швабауэра [12)). К п"столгр:.(у врстлзн^ проблзкаткка, так дли иначе связанная о яодуляршки кногообразиши, зандла одно из центральны^ квот в тррри!1_^гаогврбраз5!Я полугрупп, о чан свидетельствует, срэда прочего, то, что различным ее аспектам яосвянззно более полутона сотая .ргЗзт. Г? ггг:г р Зотгх ааяухярзость выступала двояко: ¿о-парных, ка« для разработки и совершенствования мето-

дой исследования рекэток мншгоойразия (в частности, в нэправлэ-ннн решения пробоям Эшшса юн ро^етаэнноа задачи об описании , яногообратй пй^рупп с даотрйугавдоя рэшткоа подмногосбра-зия, прэдлогганноа в середина 70-г гг. Л.Н.Шдвриным 12]), во-вторых, как шструм#кт такого доследования, особенно удобный для нахождения разложения решеток многообразия а подпрямке и прямь» произведения. Было получено немало содержательных результатов, во многом способствовавших прояснению устройства некоторых важных фрагментов роштки всех многообразии полугрупп (так, была глубоко изучена решетка многообразия клкффордпвда полугрупп, т.е. по-дугрупп, покрываемых группами C9.1Q.11], оказавшаяся модулярной [61), но собственно проблема Эванса до сих пор оставалась нерешенной.

Цель работы - исявртьтапгрв описаний полугруппоид: иного-образий о модулярными решетками подмногообразий, т.е. полное решение проблемы Эваноа, Сопутствувдоа далью является заослэдо-иакиэ строения рэшвтак многообразии полугрупп, "далэких от групп", в частности, нильполугрупп.

Обцвя методика исследования. В работе существенно обобщены известные и развиты новью метода построения многообразии па-лугрутт с немодулярнса решвп;ой подмногообразия. Это позволило обнаружить принципиально новые необходимые условия модулярности .решеток полугрупповых многообразия, благодаря чему исходная задача была расчленена на ряд более конкретных подзадач, каждая из которых потребовала специфическое техники. А именно, можно сказать, что описэниэ иодулярныг многообразия сведано к случаям, когда многообразие состоит или из полугрупп, близких к клиИюр-доаым, или из полугрупп, близких к нилъпотентным. Чтобы разобраться в шраом из этих случаев, потребовалось приспособить к существенно более широкому классу полугрупп изошренныа инструментария, накопленный при изучении клиффордовых многообразия. В результате удалось обобщить большинство ранее известных признаков модулярности и доказать модулярность решетки многообразия полугрупп с клиффордовым квадратом. В противоположность этому при анализа "почти нильпотентного" случая путь, по существу, пролегал по целине. Здесь был развит совершенно новый подход, опиравшийся на глубокую аналогию со случаем колец и связанный с параметризацией многообразий нильпотентных полу1"рупп с помощью (нелинейных) представлений симметрических групп. Этот подход и позволил классифицировать все модулярные многообразия нильполугрупп.

Научная новязна. Все основные результата диссертации являются новыми; навоя катается и большая часть вспомогательных результатов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа косит теоретический характер. Еэ результаты и методы ногут способствовать решению ряда смежных задач о решетках полугрупповых многообразия, в частности, для развития теории подпрямых разложения этих решеток и для решеточной характеризации некоторых свойств многообразия. Теория рмотс-с многообразия нильполу-групп, развитая в работе, может быть использован-) в значительно более общих, чем полу групповая, ситуациях. Некоторые вдар,-вь:в обнаруженные в диссертации феномены - например, парадокса-льныа характер взаимосвязи перестановочности вполне инвариантных конгруэнция на свободных полугруппах и тождеств в реиоткэх полугрупповых многообразия - также носят универсально-алгебраический характер и имеют значение, выходящее за рамки теории полугрупп.

Апробация работа. Результата работы докладывались на многих Всесоюзных и международных алгебраических конференциях, школах и симпозиумах, а тагсяв на научных семинарах в Москве, Сашст-Патербурго и Екатеринбурге.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 23 работах, перечисленных в, конца автореферата. Среди них 10 являются совместными; все основные идеи и метода соответствующих работ принадлежат автору, а реалиэовывались в нераздельном сотрудничестве.

Объел п структура работы. Работа состоит из введения, пята глав и заключения и занимает 300 страниц машинописного текста. Список литературы содержит 227 наименования. •

5

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Сформулируем прэжде всего основной результат работы, т.е. описание многообразия полугрупп с модулярной решеткой подиного-образки. Мы характеризуем эта многообразия с нескольких точек зрения: во-шрвьгх, с помощью предъявления полного списка таких систем тождеств, что их истинность в некотором многообразии эквивалентна модулярности решетки его подмногообразий; во-вторых, о помощью указания равносильных модулярности решетки подмногообразия особенностей строения многообразий и входящих в них полугрупп; в-третьих, с помощью перечисления всех прч-ги популярных многообразий, т.е. многообразия, минимальных по отношению к свойству "обладать немадулярной решеткой подмногообразий". Пользуясь терминологией, введенной Л.Н.Шеврины* в обзоре 131, можно сказать, что указываются соответственно зквацианалъная, структурная и индикаторном характеризацш многообразий с модулярной решеткой подмногообразия.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА Сэкнациональный вариант). РеШеПНО вСВХ

подмногообразий многообразия полугрупп яз ладуларна тогда и только тогда, когда в о вглшняегася:

либо тохдестбо

ху - {ху)Л (я > 1);

либо одна из двух систем тождеств

ау = хпу, (ху)п = хуп, хугг = хух^гЬ

ху = хуЛ, {ху)п - хпу, хугг = ху1Л~^zt

либо тождество

где О - одна из сежи перестановок <123>, <124>, <134>, <234>, <1г><34>, <13><24>, <14><32>, блеете с одной из следующих 17 систем тождеств:

(1)

(п >1); (г) (а >1); (3)

(4)

XaУ ° ХЦХ = ух* - зГу (а > 2); х*у = хух = ¡/Ia, = oqj'z, г® » г7 ; » .тух ух2, x*y2z « xy'z2; .

Х*У «= хух « уг2, rM/z » xy2z3i х*у - i^vt = ху2, х*у * ух* ;

- УЧ/ " ^У3. х*у " ух*; х*у = rjr, уз? " ху2 ; . х*у = .ух* = хух; x*y » уху, yx* » xi'1 ; x2y » ¡fJx, ух2 = y xi/; l'y = y'x, хух = хгух; хух = хух-*, yxs = xy2 ; xay =■• x^y, XV1 = УЦИ yx* « yx3, xyx■» уху;

х*у = ух3 = уху; Хгу = ух2с лд;х = уху; х-'у = хт/2, гт/х - доу;

wtuöo сбш m ùvcr.ej? arsrätcnö , г2!/ = í/x2 = хуг, ^x-jXjX^ - x^x.jrx3íx4í;

Xsу » ух2 t= ух9, » ^çX?JX3çZfrJ

еде С - о0ш аз ш перестновок <1гэ>, <1£<}>, <134>, <12><34>,

.«ибо одна из сиапвл mosdccmâ Вида (22) или (23), » <13><24>, б,кзсяе с обкшг ия исгаЗеasß

— ут,:*.х\ Xtjzz =■■ yq;z ; т;гт„г ysxsi

лиао овна из СШЯ&7& awtóeesá ötöa (22) tuu (2:¡). <14><23>. ASSORS с ойьггд noräe^ß

Í5) (5) (7)

(а) (9) (10) (11) (12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20) (21)

(22)

(23) <23f>,

8дв £ "

(24) (25J (Р-6)

gfíe С =

хугх = хухг -, (27

хугх = ухуг; (28;

хугх = уяух; (29:

хухя « угух; (30;

хугх - ухгу, (31] либо ой; ,л ио ыияп&м тождеств

хгу = ух, ух3 - (.ух)*; (32]

12У ~ {ху)2, ух* = ху*; (33] влестэ с одной из систем тождеств

«г^ ~ лг^х^ ^ С34 ]

- х^х^х^х^, хухг = ухгх. (35)

х1х2х3х4 = х4х3х2х1, хугх = ухгу. (36]

Таким образом существует счетной набор таких систем то» деств (боже точно, 10 серил, зависящих от натурального парг метра, и еще 144 "спорадических" системы), каждая из которых ¡итечнп (более точно, состоит из не более чем пяти тождеств) что их истинность в некотором многообразии эквивалентна моду дярности решетки его подмногообразий.

Чтобы сформулировать описание многообразий с модулярной решеткоа подмногообразия на структурном языке, потребуется не сколько обозначения и определения. Пусть: а: - тривиальное многообразие;

- многообразие всех коммутативных идемпотентных полугрупп (полуреЕеток);

<£ - многообразие, порождаемое полугруппой С = {0,с,1}, в котороя о - нуль, 1 - единица, а с2 = о;

Ц> - многообразие, порождаемое полугруппой Р = <р.е| ег = в, ер - р, ре = о>; » - многообразие, порождаемое полугруппой С.9 = е/ = /, /е = е, цг = Щ = це = о>.

а

Чэрэз обозначим многообразие, двойственное многообразию гг. а символом и будем обозначать объединение • в ротеткз многообразий. Напомним е-ца, что шиьшлщшаш называется полугруппа а нудам, в которой некоторая степень каждого элемента есть нуль. Лйводистркбупгаиой (прздгдшщдаДутивипа) назовем полугруппу о тождеством xyz = xyxz (с гивдеством xyz « xzyz).

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА (структурный аа(шлит). PeUteiWl всех ПОО-

лзюгоабразий жогообрали полугрупп V яодулярш тогда и только тогда, когда V удовлетворяет одноху из следуххрх условий-.

U1) для jüoöqü полугруппы ¿'¿at полугруппа S2 клиффардава;

U2) в «ои*, гбе многообразие о состоит иа клйффордо-Вьх полугрупп, идетсшжгн Kcmofbx образуш леводиаприбутв-нуо подполугруппу, а я - одно иэ лтогообравШ V иди О;

U2' ) л? «си», see jOioaooöpasuB £> состоип ив клиффсрОо-бьа полугрупп, иЗелегсяекта которых образует прайодиаярийутв-нугз подполугруппу, а а - одно из хногопбразий или.

ИЗ) о » я и » и *, «te тогооврсхлиэ w состоим из абелв-ßui групп, я - одно из многообразий ж, ей или с, а ¿swaooöpa-sue зт удо&леяворвет яюхдетвсш х*у =■ zta «= ух* и тохдеапву вида (4), б которое « - обна us перестазноЗок <123>, <ia4>, <134>, <234>, <12><34>, <1Э><24>, <14><32>;

И4) » ».И U где s - одно из многообразий ж иди ее, а многообразие я состоит из ни.:ъполугрупп и удовлетворят:

либо некоторому тождеству (4). гЗе -ö - одна из пересшш*-ÖOH <123>, <124>, "<134>. <234>. <12><34>, <13><24>» <14><32>, ßjsecme с обмой из сисяе-ч тохдвапв (6)-(21);

либо одной из систем тхдеств вида (22) или (23), где £ -ойна из перестановок <123>, <124>, <134>, <234>, <12?<Э4>;

лийа одной из систем кахдеств бива (гн) иди (гз), гве С = » <1Э><24>, Вместе с одним ив тождеств (24)-(26);

либо одной ив систем тождеств вида (22) или (23), где С « «• <14><23>, вместе а одним из тождеств (г?)-(31);

либо одной из систем толдеств (32) или (33) влеств с одной из систем тождеств (34)-(36).

Хотя приведащшв характеризэции весьма полно раскрывает строение изучаемых многообразия, уместно добавить к ним естест венно возникающую в процэссе доказательства индикаторную харак твризацию. Практика убевдает, что именно индикаторные характе-ризации зачастую оказываются наиЗолве удобными, когда возникает необходимость проверить, обладает ли интересующим нас свойством то,или иное конкретное многообразие.

Обозначим через уагЕ многообразие, задаваемое системой тождеств В индикаторной харакгеризации многообразий с модулярной решеткой подмногообразий участвуют помимо названных выше следующие многообразия полугрупп:

взш = чьг{хуг1 -у1, ху = ух}, *0 « yar{xyzt » У , ху = ух, хух « уху}, ®<12> ** Т®*"^*4 * У*г> ХлХгХ^ = ХгХ1Х3, хух - уху},

®<13> " = У3• х1хгхэ " хзхгхч' Щ1 " 1/Ч/Ь

э<гз> " Уаг^хУг1' - У2* • - х,ду:г, Щх - уху},

з<1г> = уагЧхуг! = угу, х.,х2.тэ = х^х^х3, х*у - у2х), -з<13> •> vaг{IJ/2í = угу, х.,х2хэ = Х-^х.,, х*у - ху'}, * 3<гз> = = угу, х.,хгх3 = хлх^хг, ух2 - ху1},

из = ггаг(ху = I), = = у),

езтп = тагЧхуг = ху), эсзта » уаг{хуг •> уг}, «зег$ = уагЧх2 = х, ху » хух], эгэсв « уаНх« » х, ух - хух}, = тат{ха= х, хуг^хугхг}, яетев = уагСх2- х, хуг^хгхуг}.

ю

V » Var{ (IaI/ = у, xy ~ ух),

ero. var((xy)°x * x, хух2 - x^x). Через Syn(n) обозначаем группу всех перестановок йнотаагг-ва (1,2,..,п>.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА Снкднкаторныя влршит). Р&иеДШ flCOJ

пов&югооОразий жнагообхххзия полугрупп J» дснЗуляриа аагОа и сымько азгда, когда s¡ не содерпт ни одного из следуацаг еооОравий:

азга и е-з, ®зя и яз. ссз:я и р. ®зм и 'ф. ссззд и jj,

в

где а пробегах* все гинимиышп нс-айелебы яногообразш периодических групп;

й0и эги а, в. 50и "У^и -З^и где т - jxxkm щхтспазицця tts Syra(3), а р пробегаея все просеке числа;

и и и езя, a и 3«t¡a, *а и «яз,

Q U *Q U ЯвГСЗ, Q у *a U сгв^р.

г<Ээ р пробегавя все про гам числа;

varí*3 - ХУХ - ХГ..Т5, Х1Х2Г314 - i^ggX^^},

ейв о пробегавп 0¿e транспозиции из Syra(4);

var{y» « xyat, x^x-j = х1ах2Тг3а), гбэ а прсбегиеп Все пранспогггции из Syra(3);

varlxyzt = z2yj, varUyzt « zyz), var{xyzt zy2}; vartxyzí » y», x2y » уху), vartxyzí = xy2 = xyxi, varíxyzt ~ ya, X2y = xy2}; var{xyzt «a ya, xJy « !,,2x, xy2 = ух2, дух = угу); irar{x1...x5 » x2, x^x^ - x^jX^, хухз = хгху}, . var{x1...x5 = x2, x1xgx3x4 x4x3xgx1 , jj/xz = yxyz}, var{x1 . . .xg = x2, x.j.tgx^ = x^xjxgx^ xyxz =• л{/2Х>; variz,...tb = x2, ^x2r3x4 -- xgx^xg}; varíx^.-xg = r» = x"y2, xy = yx>.

■ Перечисленные в последнем варианта основной теоремы мноп образия суть в точности все почти модулярные многообразия пол; групп. Таким образом, имеется одна континуальная серия почп иодуляршд многообразия (индексируемая минимальными незбелевы ми многообразиями периодических групп, множество которых конл нуальио в силу ИЗ), 9 счетных серий (индекштауемьос простыми числами) и 38 "спорадических" многообразия. Заметим, что среди почти модулярных многообразий существуют и нэ конечно базируемые. в

. Все остальные результаты диссертации так или иначе группа русгся вокруг основног теоремы, будучи либо этапами ее доказательства, либо ее приложениями, либо ее вариациями, в которьс место модулярности занимает, скажем, дистрибутивность (или какое-нибудь другое родственное условие). Кратко остановимся тетерь на распределении материала по главэм и параграфам работы, Глава О, состоящая из 990-6, содержит необходимые подготовительные сведения. Отметим, что многие из результатов 982, 3, 5 и 8 являются новыми и, хотя и играет в рамках данной диссертации вспомогательную роль, зачастую представляют самостоятельный интерес.

Глава 1 посвящена изучению строения решеток подмногообразия многообразий нильпотентных полугрупп. В 97 доказано, что I случаю многообразий нильпотентных полугрупп сводится изучен® тождеств в решетках многообразия нильполугрупп. В ВРЧ и 9 показано, как решетка подмногообразия нильпотентного многообразия может быть "собрана" из некоторых ее интервалов. Наконец, в ключевом 910 строение упомянутых интервалов полностью определено в терминах действия симметрической группы на некотором конечном множестве. Центральный результат главы 1- теорема 10.1.. Р,1Я ее формулировки понадобятся некоторые построения.

Пусть а - множество и tp:G -» Буш (У) - гомоморфизм ка-

которой групш С в группу всех перестановок Jf. В этоя ситузцж кы (Зудам рассматривать И как унарную алгебру с мяойвет-вон операция О - операция ge<7 определена правилом щ » щ(8) - и нэ-зыв?~ь С-йншшшшн. Пс.плтил подалгебры и чсягрузнции С-жножо-отва икеют стандартный смысл. Согласованной парой на С-йнтжео-тве lf назовем всякую пару (рД), гдэ р - конгруэнция на U, а ¡/ - ее класс, яб.1якэдягяя подалгеброй а И. Условимся считать пустое подмножество подалгеброй в К и классом любой конгруэнции на М; тогда для каждой конгруэнции р на И пара (р,в) будет согласованно!!. . Обозначим через с?(М) жнсн-аство всех согласованных пар на М. Нетрудно ввдэть, что благодаря предыдущая договоренности множество ср(Н) будет полной решеткой относительно естественного порядка: (p,S) i тогда и только тогда, ког* даргциЯзЬ.

Пусть я - многообразие полугрупп и Од вполне инвариантная конгруэнция на свободной полугруппе Р, отвечающая V. Назовем многообразие ® однородный, если длины всех слов произво.»Ьг ного а^-классл, отличного от нуля полугруппы У/ар, одинаковы. Для каждой пары нэтуральных чисел бив таких, что a i к, рассмотрим в свободной'полугруппе Р множество P[fc,m;3Jl всех слов длины fe, ззвися1пих в точности от букв из {i.J,... и еэ лежащих в нулевом а^-классе. Подмножество Ц = F[fe,m;®J назовем Р-трансвардалт-.ю, если:

1) Никакие два различных слова из V не принадлежат одному Ор-клзссу.

г) Для любого слова iteP[fc,i?¡;?J] существует (в силу условия 1) единственное!) слово tr^tv такое, что и'а^и.

Пусть № - произвольная я»-трэнсверсаль. С каждой перестановкой aeSym(m) свяжем преобразование о* множества ¡V, опреде-

ЛЗЕШО0 правилом во* и о(в)*. Лэгко понять, что при этой W превращается в Бую(к)-шюжасгво. Обозначим через а>1к,т) шданого-' обратив, ьадантшо внутри ® товдаствами »^...х^ - ы » о, где пробегьот изоюство всех слов длины 2г, гавиояпда rrr з га букв.

теорема 10.1. Uyiянь m - проиьйолъное odtiopoOnoe мюгооОра-sus, т,к - lassjцшьныв числа, и s ft, W ~ произвольная ai-mpqHc-бщкхыь ö i'fft,ra;it]. Тогда интервал №(k,r<t), »(Мм)] озаячшо-мрфын ревсш» trE* (V/) согласованных пар йуи(а)-лэ<ажеси0а (Р.

Подход к игученшо ¡юшэток многообразий югльшлу групп, раз-вктш ь глава 1, газет значение, на огрэничиьаодэася рамкаки о тшдествах в решетках многообразии. Он существенно проясняет отразила таких рошачок, помогает единообразно объяснить цэльт ряд шйщю разнородных ф&ноывнсв и открывает путь, к постановка (И решению) садач, предсташшвтаяся ранее недосягаемыми. Исходя из что го, теорему 10.1 сладует, наряду а основноа теоремой, othöC'to к главным достижениям диссертации.

Глава 2 посвящена доказательству необходимости условии основной теоремы. В И.1 необходимость устанавливается для еа Индикаторного варианта, т.е. провари.¡геи, что все многообразия, шрэчислоннш на с .11, имеют немоду лирную решетку многообразий. Затем вы начинаем анализ строения многообразий, не содериащих пн ада до иг; построенных.намодулярных многообразна, в качества подмногообразия. Ошрва в В12 показывается, что такие много об-разил лгпбо удовлетворяют одному из условна ш, иг, Ii2', jp'pc-нешноа теоремы, либо икамгг вид m и я, где 2 - одно из многообразий ж или о»,, а многообразие зд состоит из нильполугрупп; наконец, в Q13 разбирается случай многообразий нильпо.лугрупп. Тем самым доказывается необходимость и для структурного варианта основной теоремы.

В главе 3 в Ш.4-17 гаслэдовэтаяьяо устанавливается модулярность рметок подмногообразий многообразия, удшэлггворя-вдих каждому из условия М1-И4. Это докягзывззт достаточность как в структурном, так к в илдикаторнои варианте. В 018 доказывается эквационзльныа вариант осясвноя тоороку и формулируются следствия, демонстрирующие эффективность найденного описания. Здесь ми ответим только наиболее важное среда яих

следствие lö.ii. Cyvtecvßyсп алгоритм, nancfXiil па любсй конечной no.iyapjvni} опребедяет, яо0,уддрна ли рдатяга под.чио-гообразиП порожденного ей миогосбрсяпя.

Мы покязивгем так»», что вопрос о возможности алгоритмического распознавания модулярности решетки падмногообрациЯ кногообразия полугрупп по конечному базису его тождеств эквивалентен староя открытой проблеме теории многообразий групп,-' проблаио распознаваемости зболэвости многообразия периодических груш.

В главе 4 собраны некоторые важные приложения основного результата и методов, развиты! при его доказательстве. 8 ¡119 изучается перестановочность вполне инвариантных конгруэнтна на свободных полугруппах. Связь можду этим свойством и тождествами в решетках многообразия хорошо известна - так, именно перестановочностью конгруэнция групп и колец объясняется модулярность соответствую!®« решеток многообразия. Перестановочность "почти всех" вполне инвариантных конгруэнция на свободных клиф-фордопых полугруппах была установлена в работах [7 ,я| и приме-нена^ам для еще одного доказательства модулярности решетки многообразия клиффордовых полугрупп. Сходные соображения (с заме-ноя перестановочности ее ослабленным вариантом) использованы в 914 для доказательства достаточности условия М1. Это делает вни-

каш» к шр8ст8новслности вполне инвариантных конгруэнция очень естественным a priori; a posteriori же сказыьаетсн, что данное свойство ьздет с&Зя в случае полугрупп неслщпат-.ш образом -оно связаьо скорей с дистрибутивность чей с модулярностью.

Мы описываем маогообразия, на свободная полугруппах которых. коммутируют все вполне инвариантные контруаяцки:

ткорои lö. i . Все вполне инвариантне конгруэнции на обо-floöiwx полугруппах мюгоодровия о пвресжаюйачхы тогда и только гюада, когда ч< удовлетворят однсшу иа следкгщи усло&Л:

Р() о cacncw иа вполне простых полугрупп;

Y?. ) Ю « «3« ;

УЗ) « состоит иа шльгюлугрупп и удоблегпЗорнт одной ив амдукхт cur,тая иахдесжЗ (где 6 (37)-(42) t - одна иа транспозиций <12> tuu <23>):

х^хгх3 - х1{х2£13£, з?у • уХ*, х*у - 0; x^gTj » ^.Xgjl-jç, х*у m ух*, ~ О;

J^XgXg « X^XgçXjç, X2у ш г>у 2?y*¡

X.

(37)

(за)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47) (43)

(49)

(50)

(51)

х1хгхэ = ¿i i^fbfc* "

S^X/fS^ — K o¡

J1^2.r3 » ZyVçXj, » xyx, Xay " 0; r^XgX-j « x.jC,¿x1, a^y « дуг, лЯу* «= о; X.,x2x'3 = , X'y » xyx, ~ Л^У2 ;

X^gX-j - XyTgX, , X*y » уху; x^igx^j * .r^XgX,,, xyx » 0;

^ X^TrjX^ ir X2 Ijf ~ Oy

tCgXj —~ ' J/ ^ 0¡

• X^gjSj = T2ToX1, x2^ = 0;

~ * У ™ î/3 "

В 920 изучаются многообразия полугрупп с дкстриЗутавноя рэшеткой подмногообразий. Основной результат 920 дзот неоп'хсч' димое условие дистрибутивности, которое в билымнство случаев оказывается и достаточным.

теорем ¿о. 1. Если рь-'л'.тша всех подююгопбранА многообразия полугрупп 31 дисщхибути9на, то "л удовлетворяю однгащ из сдебуших условий!

щ ) решетка все г. группових под&шгаобразь'й ж-югообразия о дистрибутивна, и йля нам'ой полугруппы З^п полугруппа 53 клиф&эрдови;

1)2) 'Л = » и I, где ^тгосОразия о сосгюип из нлифрордо-Сыт полугрупп, идетстЕнтн которых обравут леводистриДути£~ нух> подполугруппу, X - одно из многообразий "Р или о, а решетка всех группових подмногообразий лзюгообразия ¡0 дистрибутб-на;

Б2" ) 5$ = х> и у, где лтсгообразив о состоит из клиффордо-вьх полугрупп, идемпапентт 1хморых образует праОоСисщтбутив-нуъ подполугруппу, х - одно из многообразий *ф или *о, а ре-шеяиса всех гщпповмх подмногообразий многообразия с виафлбу-тибма;

БЗ) К -=-л и и ^. где многообразие а состоит из обеде-вых групп, многообразие т удовлетворяет тождествам х3у = ztz = = ух2 и некоторому тождеству вида х^.г^ = х1 ^.т^г.^, где | -нетривиальном перссжиювт, ах- одна из многообразий ж, • или

»4) *х» и; и , где у - одно из многообразий 3 или 0«, а' многообразие тп состоит из нхиьполугрупп и удовлетворяет од-мой из схистея тождеств (37>-(51).

ООраяна, если многообразие » удовлетворяем либо условия 1)1, причел б кшг)ой полугруппе из и Ше&итвьяш обрсиуш подполугруппу, либо одному из условий Ь2, ш*, 03 или щ, (по ре-шжа всех подмногообразий лэюгоо^хгзия диачрибутпвна.

3 отличиэ от описания модулярных.многообразии здесь присутствуй условия, сформулированные "по модулю груш;". Такой подход к задача о дистрибутивности представляется вполне опрг данным, поскольку по каждое многообразие групп имеет дастрийу тканую решетку подмногообразий. Ошетим, что соотватсгаущая гругшоаая задача пока не решена (и по всей вароятности весьма дало кз от окончательного рещэвда).

Сопоставлений результатов Ш19 и 20 и приводит к упомянуто »у аыше заключению о парадоксальном характере взэимоотно-веькд тоядеота в решетках многообразия полугрупп и перестановочности вполне инвариантных конгрузыций на свободных в этих многообразиях полугруппах. Имеем, в частности,

СЛЕДСТВИЕ 20.5. ДлЯ .ЕНОЗООбразиЯ }ииьпсиугрут1!1 ¡а с.«хЦрэ~ щш условчь эквиОсиеняни:

цмгвя диаприбутвщро решетаку иодшпгообравт!;

Бпслнз ин&цимаишз юшру энцца но. евроиеной па*уе:руппв счеянаго ранга многообразия аг переая&явегш*.

Ь §31 исследуется еще одно естественное тоадэство - тоа-дество Ьешргодоаии. Будучи скльнеа модулярности в состракт-шт. решетках, оно довольно часто оказывается слвд(у1Ъйэи модулярности в решетках конгруэнция (см., например, [51). Можно оййцзть возтому, ч-ю иодулярвые решетки тюдмногосбразиЕ полугруппе® ¿х многообразий будут дезарговыми. В действительности ии доказательства основной тяг.) от:: сразу «лз.пуэт, т о%ммо-гообразия,' удовлб-тЕорякад'.о усильипм кй,«1 и ю, югая: дазар-

ш

говы решетки поданогпобрэзия, в то время как условия и И4 требуют отдельного рассмотрения. 821 содержит доказательство о деззрговости рэшеток многообразий, состояния из полугрупп с клийгардовым ^.вадротсм, т.е. удовлетворяющих !Л. т

822 содержит краткий обзор дальнейших прнлошниа и следствий основных результатов диссертации. Завершает работу закллчо-гай, посвяиенное обсуждению некоторых перспективных задач и открытых вопросов, примыкающих к теме диссзргзцки.

Автор считает приятым долгом шрззить иасрешша признательность своему учителю .Льву Наумовичу Шоврину за симулирующее влияние m постоянную всестороннюю подшржу.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов C.B. О некоторых вопросах теории лыогооОразий spin //Межд. ксвф. по алгебре, посвященная памяти А/И.Малыр^:. Тез. докл. по теории групп. Новосибирск, 1989. 0.49. •2. Свердловская тетрадь. Нзрешенные задачи теории полугруш. 2-е изд. Свердловск: -Урал, ун-т, 1979. 40 с.

3. Шеврин Л.Н., Суханов Е.В. Структуриые аспекты теор.вл многообразий полу групп//У^зв.вузов. Математика. 1909. Д6. G.3-39-

4. Bvana Т. The lattice of semigroup uoriefif?3//5 em i group Forum. 1971. Я1. P.1-43.

5. Preeae R, Jonnaon B, Congruence modularity Implies the I!r-guestcm Identity//XIgebra Universalis.1976.V.6. P.225-228.

6. Paatijn p. The lattice of completely regular semigroup vor-letteo/ZJ.Augtral.Ma-th.Soa. 5er.A. iggo. V.49, JS1 ; p.24-42.

7. Pastijn ?. Consmting fully Invariant congruences on free completely regular semigroup,з//Тгап.э. Amer.Math.Soo. 1991, v.323, JS1. p. 79-92.

a. petrioh Ы., Rt;üiy N.R. The Modularity of the lattice of i-arletiea of cumpletely regular aemigroupa or,J related re-¡j eaeritaitorw/ZGlaagcvr Hath.J. 1990. v.:j2,JS2. г. 137-152.

9„ PoUk^b. On wii'tiea of completely regular p.emitiroupa.l// Semigroup Яснгш. 19Ö5. V.32, JS1. P.97-123.

10. PolaJc ь. On }xjri&tiea of completely re,rular aamigroupa.II //Semigroup Уогик. 19ГУ7. V.36- te3. P.253-284.

11. pni£ii ь. ífa torfetíes о/ completely regular ñemígroups.HI //Semigroup Foivm. 1983. V.37, Й1 . P.1-30.

12. Sohwabauer R. The lattice of closed aeta of commutative semigroup equatíona/PtiD Theaia. Univ. of Nobi;\3ka, 1 <>6G.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

• 1. Шрншоз Б.М., Волков М.В. Дополнения В решетках яюгообра-. вий и хвсипшюгойбравий//УНТ Всесоюз. алгебраич. кокф. Тез. Ч.е. Л., 1981. 0.25.

-■2. Берников Б.М., Валков М.В. Дополнения ß рпяивтнах шогообра-вий и квязияногооОраз11й//У1зв. вузов. Математика. 1982. J0.1, C.1V-2Ü.

3. Варников Б.М., Бажов М.В. Решали нилшояятяьх ¿вюгоойра-аий полу групп//Ашвйрат. системы и их многообразия. Свердловск, 1эаа. с.53-65.

4. Берников Б.М., Волков М.В. Многообразия коммутативных полугрупп с лойуларной или дистрибутивной решеткой подяногооб-разий//1ретиа Всесоюз. симпозиум по теории полугрупп. Тез. сэоба. Свэрдяовск, 1938. С.14.

В. Бажов М.В. Многообразия полугрупп с модулярной реиетой подмногообразий//Трэтш Всесоюз. симпозиум по теории полугрупп. Тез. сообш,. Свердловск, 1988. С. 16.

Бажов H.H. Пногообрсзия полугрупп а пяреатновачныш 8ер-балъшшх комгрузкциае» на свободных пал угрутах/П&тщ t> Есэаоюз. симпозиум по .теории полугрупп. Тез. cuoucf. Свердловск, 1DS8. Ü.17.

Волков М.В. Многообразия полугрупп с ждулярной ретийзй подмногообразий//'Азв„ вузов. Математика. 1539. Й6. С.51-60. Волков M.B. Иодулярние лыогообразия шиъпелугрупп//VI Бег.-союз, школа по теории многообразия алгебраич. систем. Тез. сообщ. Магнитогорск. 1990. 0.9-10.

Волков М.В. Многообразия полугрупп с еюдулщмой рсься?той подлногообравий//Вторые мзтвм. тшяия пашнги М. Н.Суелкиа. Тез. докл. Саратов, 1991. 0.29.

Волков М.В. Многообразия полугрупп с людулщзной pevszuxü по0£Ногообразий.и//Изв.вузов. Математика, iggs. Л7.С.З-0. Волков М.В. Иногообрпзия полугрупп с яодулярной рс'с;т>~Нсй подаюгообразий.I П//Изв.вузов.Математика.1992.£3.С.21-2Ü. Волков М.В. Многообразия полугрупп с яодулярной ртаелчой подлэюгообразий//Р№. 1992. Т.326, ЯЗ. 0.409-413. Волков М.В., Ершова Т. A. Реыепка ляюгаобразий полугрупп с Вполне регуляршм к6аЗргаи!//Межд.кояф. по алгебро, посвященная памяти а.и.Ширшова. Тез.докл. по логике и уливэрез-лышм алгебрам,прикладной алгебре. Новосибирск, 1991. С. 26. Волков М.В., Ершова Т.Д. Редадаа .яшгоибразчй полугрупп с вполне регулярным квадратом.II//Вторые мятом, чтения' пзу.п-ти М.Я.Суслина. Тез. док.1. Саратов, 1391. С.30. Сапир М.В., Волков М.В. Ртиеточно универсальные многообразия полугрупп//Ывнп. конф. по алгебре, посвященная памяти Л.И.П1иршова. Тез.докл. по логика и. универсальным алгебрам, прикладной алгебре. Новосибирск, 1991. 0.125.

?<5."vcmUaoT B.U., volte? u.y. Cazmitatlw еааС^згсцр vas'tßtfa with rxxkilar mibvarlety latttcce/Aionoida and Semigroup: with Appliofttions, proo. Berkeley Wortaliop in kionoids (Воз Irolej, 1909), Singapore« World Boientifio, 1991. P.833-85' 17. Vcmitov Б.Ц., yylkov к.T. Structure of latttaea of nllp ivnt seaigrcup varletiee//&mlgcaut>s: Algebraic theory sni Application! to Parsal tangusges and Codoa. Singapore ;Borl ßüiontifio, 19ЭЭ- P.297-299. ip. toxica? u.V. Qamutatiw e&aleraup uurietlea tattfi diairito t iVJ eubwtety lot tl ues//ContrÜju i icn to general algsbzu У >7 . i.'ien, 1991. - P.351-359.

Vo.ltov e.T.Zooidcible Ktcrds сгеД lattice ußiusr-sal eesUßrcy; iKVietlou/Aiath. Poreobungaüuititut Oberwoliaob. Tsgungsbi x-iaiit 31/91. 1991. Б.21. gQ, yoJi»v ц.т.Оот^г*ие«сзо юг а-шр and lattices о/ esalgrcii; wrlettffa//lni(<M.'.Cfis|. on e&atgrcwj»-: r^gs^aiff

to ioraal laasuaQott «Sä ео&З .AÜatracta, P.53. 21,; Yolkay пл. Semigroup varlotiea with со^щйЩ fully tnm riant <wffi$m?)we<3 on /ires dbjeotB//Qm\sm. Math. 1992

ТИЭЬ Part 3. P.Ü95016. гз,; v^iicov u.V. iter.lgroup iorieiiea ©its alragt «¡fcattin^-/ulTy invariant congruences ш /теа objects/Дратья вадд. кпнф.по алгебре памяти М.И.Каргаполпва. Тез.,докл. Красноярск, 1Ö93. 0.449-450. вз, Vajpcov Ы.У., Brflhova 0!.ж. The lattice of vаг1еЦез of

ч '

semigroups with completely rogular oguare/ZUonaah Uunt.

on Retri/jroyp Theory in Honour of Q В Tree tor. (Clay'".on, 1990). Singapore; World Boientifio, 1991. p.306-328.