Транспорт горячих электронов в полупроводниках-нитридах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.09 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На рравах рукописи

Масюков Никита Андреевич '

ТРАНСПОРТ ГОРЯЧИХ ЭЛЕКТРОНОВ в ПОЛУПРОВОДНИКАХ-НИТРИДАХ

Специальность 01.04.09 — Физика низких температур

г 6 СЕН 2013

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва-2013 005533653

005533653

Работа выполнена на кафедре физики низких температур и сверхпроводимости физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Дмитриев Алексей Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Звягин Игорь Петрович доктор физико-математических наук, профессор Бенеславский Сергей Дмитриевич

Ведущая организация: Институт теоретической и экспериментальной

физики имени А.И. Алиханова (ФГБУ «ГНЦ РФ ИТЭФ»)

Защита состоится 17 октября 2013 г. в 17:30 на заседании диссертационного совета Д 501.001.70 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991 ГСП-1 Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 35, конференц-зал Центра коллективного пользования физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

С диссертацией можно ознакомиться в отделе диссертаций научной библиотеки им. A.M. Горького МГУ им. М.В. Ломоносова (Ломоносовский пр., д. 27, Фундаментальная библиотека).

Автореферат разослан < » сентября 2013 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.70 доктор физико-математических наук профессор

Г.С. Плотников

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Полупроводники-нитриды InN, GaN, AIN и их твердые растворы вызывают огромный физический и прикладной интерес, основной причиной которого является перспектива применения InxGai_xN в качестве надежного, эффективного и универсального источника освещения [1]. Достаточно отметить, что переход на такой источник освещения позволит сократить энергозатраты более чем па десять процентов уже в ближайшие годы. И если проблема получения интенсивного голубого и зеленого цветов уже практически решена, то получение цветов, соответствующих более длинным волнам, все еще стоит на повестке дня. Одним из камней преткновения па этом пути являются сложный синтез и слабая изученность нитрида индия.

Всплеск интереса к этому материалу, произошедший в последнее время, связан не только и не столько с многообещающими перспективами его применения в оптоэлсктроинке. Дело в том, что долгое время — современный синтез кристаллов InN зародился в начале 70-х годов прошлого столетия -считалось, что ширина запрещенной зоны в InN составляет около 2 эВ. Взгляд на сё величину кардинально изменился после опубликования работ [2,3], в которых указывалось, что па самом деле ширина запрещенной зоны составляет около 0.7 эВ. Именно это обстоятельство открыло дорогу для широкого применения твердого раствора InxGai_xN в качестве источника освещения. Действительно, варьируя относительную концентрацию раствора х, можно управлять шириной запрещенной зоны, изменяя длину волны излучения во всем видимом диапазоне. Однако сам факт столь резкого изменения точки зрения па фундаментальную характеристику материала, синтезированного более 30 лет назад, представляется не менее интересным и немедленно приводит к необходимости проведения новых расчетов, в том числе, расчета электронного транспорта в сильных электрических нолях.

Цель диссертационной работы

Целью данной работы является численное исследование электронного транспорта в сильных полях в объемных образцах полупроводников-нитридов InN, GaN, AIN и их твердых растворах InxGai_xN и InxAli_xN при различных концентрациях примесей и различных температурах решетки с использованием современных данных о зонной структуре исследуемых материалов.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1-. На основе анализа современных экспериментальных и теоретических данных о зонной структуре нолунроводпиков-нитридов построена мо-

дсль их объемных образцов для моделирования транспорта электронов в сильных электрических полях. Однако для нитрида индия не удалось однозначно задать параметры построенной модели, так как в литературе встречаются различные рекомендации на этот счет. Поэтому для нитрида индия были выбраны четыре наиболее часто встречающихся набора параметров.

2. Для моделирования электронного транспорта разработан н реализован численный метод решения транспортного уравнения Больцмана в полупроводниках-нитридах. Несмотря на то, что основной задачей являлось исследование именно полупроводников этого семейства, при созда-шш метода стояла задача сделать его как можно более универсальным с точки зрения класса задач, которые могут быть решены с его помощью. Вычислительная эффективность также являлась предметом оптимизации.

3. Для построенной модели и численного метода проведены необходимые тесты, которые включили в себя анализ сходимости средних по функции распределения величин и времен релаксации импульса и энергии электронов как для отдельных механизмов рассеяния, так и для их комбинаций. Подобный анализ позволил понять относительную роль различных механизмов рассеяния и создал представление о том, как могут изменяться вольт-амперные характеристики при изменении температуры решетки и концентрации заряженных примесей. Кроме того, была найдена оптимальная конфигурация численного метода с точки зрения вычислительных затрат и получаемой точности результата. Стоит заметить, что проведенные тесты были полезны также с точки зрения отладки численного метода.

4. Полевые зависимости дрейфовых скоростей, полученные численно, сопоставлены с имеющимися экспериментальными данными.

•5. Для InN и для его твердых растворов с GaN и A1N проведены вычисления в широком диапазоне температур решетки, концентраций примесей и концентраций носителей заряда. В случае InxGai_xN и ЫхАЦ.хМ, кроме этого, варьировалась и относительная концентрация х.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Уравнение Больцмана с учетом механизмов рассеяния электронов на заряженных примесях, акустических и оптических фонопах позволяет количественно описать нелинейный электронный транспорт в

4

полуироводипках-питридах. Существенную роль при этом играет учет экранирования кулоновского потенциала и интегралов перекрытия бло-ховских амплитуд волновых функций носителей заряда.

2. Для решения уравнения Больцмана в греющих нолях разработан оригинальный итерационный численный метод. С его помощью возможно не только нахождение функции распределение электронов, но и исследование ее эволюции с течением времени. Кроме этого, он позволяет проводить расчеты для случая сильно вырожденного электронного газа, что характерно для полупроводников-нитридов, а также для газа, в котором функция распределения далека от равновесной. Построенный численный метод позволяет учитывать все механизмы рассеяния, значимые в полупроводниках-нитридах, включая электрон-электронное рассеяние. При этом он может быть использован для широкого класса полупроводников.

3. Наиболее эффективными механизмами расссния электронов в полупроводниках-нитридах при характерных концентрациях заряженных примесей являются рассеяние на заряженных примесях и оптических фоиопах. Увеличение температуры решетки увеличивает относительную эффективность рассеяния на акустических фононах.

4. При нахождении полевых зависимостей дрейфовых скоростей можно ограничиться упругим приближением для рассеяния на акустических фононах, а электрон-электронное рассеяние не учитывать.

5. Наилучшее соответствие результатов расчетов с экспериментом получается при использовании консервативного и наиболее современного наборов параметров нитрида индия (наборы Н4 и Н1 в таблице 1, стр. 15). Однако на основе проведенного сравнения невозможно однозначно отдать предпочтение одному из отмеченных наборов.

Научная новизна:

1. Впервые численно исследован транспорт горячих электронов в 1пЫ, 1ихСа1_,^ и 1пхА11_,^ с использованием современных данных о зонной структуре нитрида индия.

2. Для проведения этого исследования разработан и реализован новый численный метод решения транспортного уравнения Больцмана, учитывающий специфику иолунроводнпков-нптридов, в том числе, сильную вырожденность электронного газа в этих материалах в практически интересных случаях.

3. Представлено сравнение результатов вычислений с известными экспериментальными данными, что в задачах подобного рода встречается крайне редко.

4. Впервые получены численно вольт-амперные характеристики InN, InxGai_xN и InxAli_xN при различных концентрациях примесей, уровнях компенсации и температурах решетки в режиме горячих электронов.

Практическая значимость

Полученные полевые зависимости дрейфовых скоростей электронов в InN, InxGai_xN и InxAli_xN в полях до 30 kB/см в широком диапазоне температур решетки (от 4 до 77 К) и концентраций заряженных примесей (от 1017 до 1019 см-3) могут быть важны при целенаправленном выборе материалов в практических задачах оптоэлектроники.

Достоверность, арробация и публикации

Успешной проверкой созданного численного метода можно считать хорошее соответствие результатов моделирования известным экспериментальным данным. При этом стоит заметить, что метод не содержит подгоночных параметров, управление которыми могло бы повлиять па результат.

Основные результаты работы докладывались на шести конференциях:

1. 4th International Conference on Material Science and Condensed Matter Physics (MSCMP-2008). Moldova, Chisinau, 2008.

2. 10-ая Всероссийская конференция по физике полупроводников и на-нотехнологиям, полупроводниковой опто- и наноэлсктронике. Россия, Санкт-Петербург, 2008.

3. XXXV Совещание по физике низких температур (НТ-35). Россия, Черноголовка, 2009.

4. Международный молодежный форум "Ломоносов-2010". Россия, Москва, 2010.

5. X Российская конференция по физике полупроводников. Россия, Нижннй-Новгород, 2011.

6. XXXVI Совещание по физике низких температур (НТ-36). Россия, Санкт-Петербург, 2012.

Тезисы докладов, которые были сделаны па перечисленных конференциях, опубликованы в соответствующих сборниках трудов конференций. Кроме того, результаты опубликованы в шести статьях, каждая из которых издана в журнале, рекомендованном ВАК.

Работа проводилась в рамках федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России "(2009-2013), контракт П-2312.

Список публикаций нрнведеи в конце автореферата.

Личный вклад

Автор принимал активное участие в разработке и реализации модели и численного метода, разработке и проведении тестов и получении окончательных результатов, а также в подготовке работ к опубликованию.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и одного приложения. Полный объем диссертации составляет 101 страницу с 47 рисунками и 5 таблицами. Список литературы содержит 72 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, сформулирована цель, поставлены задачи работы, отмечена научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

В разделе 1.1 первой главы проведен анализ современных экспериментальных п теоретических работ, посвященных исследованию параметров зонной структуры полупроводников-нитридов. Особое внимание уделено нитриду индия, как наиболее интересному, но, в то же время, наиболее сложно синтезируемому и наименее изученному материалу из этого семейства. На основе проведенного анализа была построена модель зонной структуры полупроводников-нитридов и выбраны значения параметров этой модели. Сложная зонная структура была аппроксимирована одной долиной с изотропным неиараболическим спектром. Последующие вычисления показали, что предложенная модель действительно может быть использована для количественного онисанпя электронного транспорта в выбранном диапазоне электрических полей. Стоит заметить, что для нитрида индия в литературе рекомендуются различные параметры зонной структуры. В дайной работе были выбраны четыре наиболее часто используемых набора параметров, каждый из которых в последствии был включен в расчеты.

В разделе 1.2 первой главы проведен краткий обзор современных методов решения задачи нелинейного электронного транспорта в полупроводниках. Был сделан вывод, что специфика решаемой задачи, а именно, сильное отклонение функции распределения электронов от равновесной в греющих электрических нолях, вырожденность электронного газа в полупроводниках-

нитридах в практически интересных случаях и соотношение эффективно-стсй механизмов рассеяния, исключает возможность аналитического решения уравнения Больнмана. Кроме того, все численные методы, основанные на линеаризации уравнения Больцмана по функции распределения или се искомой части, также не могут быть применены. Широко распространненый метод Монте-Карло мог бы быть использован, однако было решено отдать предпоч-пенне более простому итерационному методу решения уравнения Больцмана.

В разделе 1.3 первой главы предложен итерационный численный метод решения транспортного уравнения Больцмана в пространственно однородном случае в электрическом поле Е:

где к - волновой вектор электрона. Функция распределения / подчиняется условию нормировки

£/(k) = JV, (2)

к

где N — концентрация электронов. Различные механизмы рассеяния учитываются в интеграле столкновений

St[f}(к) = £ {И'(к' - к)/(к') [1 - /(к)] - W(k к')/(к) [1 - /(к')] } , к'

(3)

в котором И'(к —* к') — вероятность перехода электрона из состояния к в к'.

Задача нахождения функции распределения решается на равномерной двумерной сстке в пространстве волновых чисел

Щ = -ктях + (г + 1/2)До, г = 0,1,..., 2fcmax/A0 - 1,

k}L=jA0, j = 0,1,... ,ктах/А0 ,

так как именно от двух переменных зависит функция распределения электронов с изотропным спектром в электрическом иоле. В качестве переменных были выбраны значения проекций волнового вектора на направления, параллельное и перпендикулярное приложенному электрическому полю. Значения функции распределения в узлах сетки являются искомыми неизвестными. Но поскольку значения интегралов столкновений зависят от значений функции распределения во всем к-пространстве, то необходимо иметь возможность находить значение функции распределения в любой точке. В предлагаемом методе значения функции распределения между точками сетки находятся с

8

помощью бикубической сплайн-интерноляции. При гладкой функции распределения и хорошей ее аппроксимации между точками сетки сама эта сетка может быть довольно редкой.

Стационарное решение уравнения Больцмаиа находится с помощью итерационного метода, построенного па основе зависящего от времени уравнения (1). На итерации можно с этой точки зрения смотреть как на временную эволюцию функции распределения в соответствии с уравнением (1). Таким образом, метод позволяет находить не только стационарное решение уравнения Больцмаиа, но и исследовать эволюцию системы к своему стационарному состоянию.

Метод строится следующим образом. В момент времени í = О задастся некоторое начальное приближение = /0(/с|, Аг^). Итерационный шаг с п-ого на (п + 1)-ый временной слой организован следующим образом. Функция распределения интерполируется из узлов сетки в (Щ, /¿^-пространство для вычисления интеграла столкновений. Значения интеграла столкновений ¿'¿у вычисляются только для узлов сетки. Заметим, что интегрирование может быть проведено с необходимым шагом, никак не связанным с шагом сетки. Переход на следующий временной слой осуществляется вычислением новых значений функции распределения в узлах сетки непосредственно из транспортного уравнения Больцмаиа (1)

где Ді — шаг по времени. Затем определяются необходимые средние величины (волновой вектор, скорость, энергия, электронная температура и прочие). Итерационная процедура должна повторяться до достижения сходимости. Алгоритм детектирования сходимости и остановки итерационной процедуры также сформулирован в этом разделе. Кроме того, обсуждаются принципы выбора параметров численного метода: шага сетки, шага интегрирования, шага итерационной процедуры но времени.

Значения функции распределения в узлах сетки на новом шаге вычисляются совершенно независимо друг от друга, потому что для их нахождения необходимо знать значения функции распределения во всех узлах сетки только на предыдущем шаге. Кроме того, для каждого узла сетки интегралы столкновений, соответствующие различным механизмам рассеяния, тоже могут быть рассчитаны независимо друг от друга. Таким образом, если сетка содержит п узлов (п обычно порядка нескольких сотен) и в модель включены гіг механизмов рассеяния, то можно легко распараллелить вычисления на п х т процессов при наличии соответствующих вычислительных мощностей.

Рис. 1: Функция распределения электронов в поле Е = 30 кВ см, температура решетки Т\, = 77 К. концентрация заряженных примесей и электронного газа ЛГ; = ДГе = 9 X 1018 см-3.

В разделе 1.4 первой главы для одночастичных механизмов рассеяния в интеграле столкновений проведен переход от сумм по волновым векторам к интегралам. В результате в разностную схему (4) должны быть подставлены формулы вида

где X координаты, в которых удобнее всего проводить интегрирование для каждого конкретного механизма рассеяния. Для вычисления полученных интегралов значения функции распределения определяются как сумма значений функции распределения в узлах сетки па предыдущем шаге

г Л

где веса определяются интерполяцией по 16 соседним точкам на плоскости (кьк±).

В подразделах раздела 1.4 первой главы получены окончательные формулы для вычисления интеграла столкновений для рассеяния на заряженных примесях, оптических и акустических фононах. Формулы для акустических фононов получены в упругом приближении, а также в приближении малости скорости фонона по сравнению со скоростью электрона. Во всех рассмотренных механизмах рассеяния в результате перехода от сумм

10

к интегралам осталось интегрирование по двум переменным. В случае учета неупругости акустического рассеяния вычислительная сложность интегрирования намного выше.

В этом же разделе уделено внимание проблеме учета экранирования кулоновского потенциала. Длина экранирования Л входит в вероятности рассеяния в множителе

Однако Л зависит от функции распределения, которая заранее не известна. В приближении малости энергии электрона в экранирующем иоле ио сравнению со средней энергией электрона для длины экранирования можно получить

где ко -- статическая диэлектрическая проницаемость, дифференцирование идет ио энергии электрона. После перехода от суммы к интегралу в последней формуле и его вычисления для известной функции распределения, полученная длина экранирования должна быть использована для вычисления новых значений функции распределения на следующем шаге. Таким образом, задача становится самосогласованной. Это обстоятельство существенно, так как значение Л может заметно влиять на результат.

Рассмотрение электрон-электронного механизма рассеяния проводится в разделе 1.5 первой главы. Электрон-электронное рассеяние часто ис учитывается при решении подобных задач, поскольку ис меняет импульса системы электронов. Однако при решении задач, чувствительных к виду функции распределения, электрон-электронное рассеяние должно быть ирппято во внимание, так как оно влияет на формирование функции распределения.

Интеграл столкновений, описывающий рассеяние электрона с импульсом к па электроне с импульсом р, в результате которого импульсы электронов стали равны к' и р', соответственно, содержит интегрировании по девяти переменным (компоненты векторов р, к', р'). С учетом законов сохранения импульса и энергии остается интегрирование по пяти переменным. В таком виде задача представляется вычислительно очень сложной. Действительно, при рассмотрении одночастнчных механизмов рассеяния приходилось иметь дело с интегрированием всего лишь по двум переменным. Поэтому в этом разделе построен приближенный метод учета электрон-электронного рассеяния, основанный на предположении о малости изменения импульса сталкивающихся электронов (приближение Ландау). В тшигшом образце нитрида

4тге2^д/(к)

к о ^ 5е(к)

индия это приближение выполняется не очень хорошо. Однако получение качественных результатов возможно даже в таком приближении.

Результатом раздела 1.5 первой главы стали формулы для вычисления интегралов столкновении для электрон-электронного рассеяния. С учетом сделанных предположений в них осталось интегрирование по трем переменным. Однако интегрирование по одной из координат может быть проведено отдельно, интегралы параметризованы, вычислены однократно и затем затабулнрованы. Таким образом, фактически остается интегрирование только по двум переменным, правда, довольно громоздкое. Кроме того, в одном из подразделов данного раздела построен алгоритм вычисления температуры электронного газа для данной функции распределения, основанный па её аппроксимации смещенной фермиевской. Минимизировались при этом отклонения средней энергии и числа частиц.

Во второй главе проведено сравнение теоретических оценок для времен релаксации с результатами моделирования для всех рассматриваемых механизмов рассеяния в отдельности. С этой целью равновесная функция распределения выводилась из состояния равновесия /о(к) —► /(к) посредством возмущения. Если изучалась релаксация импульса, то таким возмущением являлся сдвиг в импульсном пространстве. При изучении релаксации энергии изменялась форма функции распределения. Время релаксации в этом случае оценивалось как

т-мк)

'numV1*-/ — /(к) '

где /(к) — вычисленное значение интеграла столкновений для точки к. Кроме того, времена релаксации определялись на основе анализа сходимости соответствующих средних по функции распределения величин: импульса или электронной температуры. Также были проведены непосредственные вычисления времен релаксации электронов.

После оценки времен релаксации и анализа сходимости средних величии для каждого механизма рассеяния была исследована сходимость итерационной процедуры при различных комбинациях включенных механизмов рассеяния и параметров численного метода в слабых и сильных полях. Таким образом была получена оптимальная конфигурация метода с точки зрения точности п вычислительных затрат.

В этой главе при расчетах воспроизводятся условия эксперимента [4] и считается, что концентрация заряженных примесей составляет Ni = 9 х 1018 см-3, концентрация электронного газа Nc = Ni, температура решетки Tl = 77 К. Выбранным условиям соответствует энергия Ферми Еу «

2100 К Tl, то есть функция раснрсдслпия электронов сильно вырождена.

12

В разделе 2.1 второй главы вычислено время релаксации импульса электронной системы при рассеянии на заряженных примесях. На рисунке 2 представлена временная зависимость среднего по функции распределения волнового числа, выраженного в кр, начальному моменту времени соответствует сдвиг равновесной функции распределения в пространстве волновых чисел на 0.5/ср. Видно, что сходимость имеет четкий экспоненциальный характер. Действительно, полученная кривая практически идеально аппроксимируется экспонентой с релаксационным временем 5.5 х 10~14 с, что хорошо согласуется с другими оценками, проведенными в этом разделе.

Рис. 2: Релаксация импульса при рассеянии на заряженных примесях. Зависимость среднего волнового числа, измеренного в кр, от времени. Начальному моменту времени соответствует сдвиг равновесной функции на О.Ъкр.

В разделе 2.2 второй главы получены времена релаксация импульса и энергии электронов при рассеянии на оптических фононах. Для вычисления времени релаксации энергии температура электронного газа задавалась отличной от температуры решетки, для вычисления времени релаксации импульса возмущением функции распределения являлся сдвиг в импульсном пространстве. Стоит заметить, что в отсутствии других механизмов рассеяния бездисперснонпые оптические фонолы не обеспечивают полной релаксации как импульса, так и энергии. Анализ сходимости показывает, что на начальном этапе время релаксации импульса составляет порядка 12 х 10~14 с, а время релаксации электронной температуры - порядка 16 х Ю-14 с. Та-

13

ким образом, в рассматриваемых условиях рассеяние на оптических фононах сравнимо с рассеянием на заряженных примесях с точки зрения эффективности релаксации импульса.

В разделе 2.3 второй главы проведены вычисления времен релаксации при рассеянии на акустических фопонах. На основе анализа сходимости показано, что эффективность релаксации импульса сильно зависит от температуры решетки. Так, при Ть = 77 К оно составляет 13 х Ю-13 с, а при 71 = 300 К — 3 х Ю-13 с. Далее показано, что приближенный учет неупругости акустического рассеяния, предложенный в первой главе, практически не влияет на скорость релаксации импульса. Релаксация энергии при этом идет намного медленнее, чем за счет рассеяния на оптических фопонах: соответствующее время составляет порядка 1.7 х Ю-9 с.

В разделе 2.4 второй главы было показано, что предложенный способ учета электрон-электронного рассеяиня обеспечивает релаксацию возмущенной функции распределения к фермиевской. В качестве возмущения была использована локальная добавка к функции распределения, не меняющая средний импульс системы и количество электронов. Также были проведены оценки соответствующего времени релаксации.

В разделе 2.5 второй главы предложена оптимальная конфигурация вычислений для проведения дальнейших расчетов. Под оптимальной конфигурацией подразумевается такая конфигурация, которая обеспечивает приемлемую точность результата и скорость вычислений. Она получается за счет выбора оптимальных параметров: шага базовой сетки, шага интегрирования, шага итерационной процедуры, а также включенных в модель механизмов рассеяния. Искомые шаги могут быть выбраны следующим образом. Если при уменьшении шага в два раза результат не изменился, то выбранный шаг может быть использован при моделировании. Что касается механизмов рассеяния, то в идеальном случае наличия бесконечных вычислительных мощностей должны быть включены все рассмотренные механизмы рассеяния. Однако на практике, имея дело с ограниченными вычислительными ресурсами, представляется более правильным использовать разумные приближения или вовсе не включать некоторые механизмы рассеяния, если это не критично для получаемого результата.

В результате было получено, что для вычисления нолевых зависимостей дрейфовой скорости электронов можно ограничиться включением рассеяния на заряженных примесях, оптических и акустических фопонах. При этом можно пренебречь неуиругостью рассеяния на акустических фононах, а электрон-электронное рассеяния вовсе не учитывать. Расчет функции распределения для выбранного значения электрического поля при этом занима-

ст около 70 секунд при использовании одного потока на персональном компьютере. Таким образом, при эффективном распараллеливании эта задача сможет быть решена за время порядка нескольких десятков миллисекунд.

В третьей главе представлены результаты расчетов полевых зависимостей дрейфовых скоростей в 1пИ, 1пхСа1_^ и 1пхА11_хН при различных условиях в электрических полях до 30 кВ/см. Тесты показали, что переходы в долину, находящуюся на 2 эВ выше дна зоны проводимости, начинаются в нолях более 50 кВ/см. Таким образом, в рассматриваемом диапазоне полей можно пользоваться предложенной однодолшиюй моделью для аппроксимации зоны проводимости.

В разделе 3.1 третьей главы проведено сравнение результатов вычислений для различных имеющихся в литературе наборов параметров нитрида индия, представленных в таблице 1, с результатами, полученными в экспериментальной работе [4]. Следуя экспериментальной работе [4], считаем А^ = А^ = 9 х 1018 см-3 и Ть = 77 К. Представленные в таблице 1 параметры были выбраны в первой главе па основе анализа литературы: набор Н1 включает в себя наиболее современные данные, Н4 — наиболее консервативные, наборы Н2 и НЗ были многократно использованы в работах, посвященных расчету электронного транспорта в полупроводниках-нитридах.

Таблица 1: Часто используемые наборы параметров 1пК

Величина обозначение единицы Н1 Н2 НЗ Н4

Эффективная масса т т0 0.07 0.045 0.11 0.12

Запрещенная зона Ч эВ 0.7 1.9 2.0

Энергия ЬО-фононов /шьо мэВ 73

Энергия ТО-фононов ¡тлю мэВ 57

Высокочастотная диэл. прон. ¿«•ос 6.7 8.4

Статическая диэл. прон. 11.0 15.3

Скорость ЬА-фононов 105 см/с 5.2 6.24

Скорость ТА-фононов «ТА 105 см/с 1.2 2.55

Ак. деформационный потенциал оА эВ 3.6 7.1

Опт. деформационный потенциал А> эВ/'см 10°

Пьезомодуль е14 К/м2 0.375

Плотность массы р г/см3 6.81

Из рисунка 3 видно, что наилучшее соответствие с экспериментом получается при использовании набора параметров Н4, который был получен как раз на грязных образцах с концентрациями, близкими к используемым в расчетах. В настоящее время этот набор считается устаревшим. Набор НЗ,

близкий ио значениям параметров к Н4, также дает неплохое соответствие результатов расчётов с экспериментом. При использовании современного набора параметров Н1 получается результат, также близкий к экспериментальному. Отклонение от экспериментальной кривой примерно такое же как для НЗ, по больше, чем для Н4. Результат для набора Н2 совершенно не совпадает с экспериментом.

Рис. 3: Полевая зависимость дрейфовой скорости в при Д. = Д = 9 х 1018 см и Ть = 77 К. Для вычислений использовались различные параметры 1п]М.

На рисунке 4 представлено сравнение вычисленных полевых зависимостей электронной температуры с экспериментом. По-прежнему наборы НЗ и Н4 дают близкие между собой результаты, которые в случае электронной температуры одинаково далеки от экспериментальных точек. Более близкий к эксперименту результат получается при использовании современного набора параметров Н1. Лучше всего совпадает с экспериментом результат, полученный для набора Н2, который при этом дал наихудшее совпадение с экспериментом в случае дрейфовой скорости. Стоит заметить, что в работе [4] для получения этой зависимости был использован метод сравнения по-движностей. В основе этого метода лежит предположение, что зависимость релаксации импульса от электронной температуры идентична зависимости релаксации импульса от температуры решетки. Ясно, что такой подход даст достоверный результат, только если фононные механизмы рассеяния доминируют над остальными. Остальными в рассматриваемом случае является

рассеяние на заряженных примесях, эффективность которого довольно велика, как следует из анализа времен релаксаций. Кроме того, метод сравнения нодвнжпостсй требует, чтобы равновесная функция распределения характеризовалась некоторой температурой, ввести которую в случае сильных полей и горячих электронов, вообще говоря, пе так просто. Таким образом, работая с экспериментальной полевой зависимостью электронной температуры, следует нопимать, что это величина, которая может и не совпадать с оценкой электронной температуры, полученной на основе аппроксимации текущей функции распределения фермиевской.

Рис. 4: Полевая зависимость электронной температуры в МЧ при Л^ = Л^ = 9 х 1018 см-3 н Ть = 77 К. Для вычислений использовались различные параметры 1пМ.

На основе анализа дрейфовой скорости не удалось отдать предпочтение какому-то одному из наборов параметров 1пМ. Набор Н4 обеспечил наилучшее соответствие результатов вычислений с экспериментом, но и актуальный в данный момент набор Н1 дал лишь небольшое отклонение. Кроме того, набор Н1 лучше аппроксимировал данные для электронной температуры. Набор же Н2 дал совсем плохое соответствие результатов вычислений с экспериментом. Отличие результатов более чем в два раза указывает на низкую вероятность того, что этот набор соответствует действительности.

В разделе 3.2 третьей главы получены полевые зависимости дрейфовой скорости в нитриде индия при различных концентрациях заряженных примесей (1017, 1018, 1019 см"3), температурах решетки (4, 20, 77, 300 К) и уровнях компенсации. Стоит заметить, что не все комбинации параметров, для которых проведены вычисления, можно исследовать экспериментально

в настоящий момент. Однако такие вычисления полезны с точки зрения лучшего понимания природы транспорта электронов в нитриде индия. Для моделирования использован набор параметров Н1 нз таблицы 1, потому что этот набор в данный момент считается наиболее правильным и в предыдущем разделе показано, что результаты, полученные при использовании этого набора, хорошо согласуются с экспериментальными данными.

На рисунке 5, для примера, представлены результаты для различных ЛГе = N1 = N при температуре решетки 77 К. Явное уменьшение дрейфовых скоростей при увеличении концентраций вызвано увеличением относительной роли рассеяния на заряженных примесях. В то же самое время, при увеличении ]УС увеличивается и значение фермневского импульса, то есть размер области, которую функция распределения занимает в импульсном пространстве. Это, в свою очередь, приводит к тому, что больше электронов попадают за порог оптического испускания, что также уменьшает подвижность. Для образцов с низкими концентрациями примесей характерны сильно нелинейные полевые зависимости дрейфовых скоростей. Причиной является относительно важная роль оптического рассеяния в этих условиях.

35. ---

Рис. 5: Полевая зависимость дрейфовой скорости в 1иН для различных концентраций заряженных примесей Компенсация отсутствует ЛГе = = N. Температура решетки

77 К.

Следующие выводы обобщают результаты данного раздела:

1. С ростом Ari дрейфовая скорость уменьшается. Это наиболее заметно при низких Tl.

2. С ростом Ti дрейфовая скорость уменьшается, а при сопутствующем росте N-¡ кривые, отвечающие различным Tl, хуже разрешаются. Причиной является уменьшение относительной роли акустического рассеяния.

3. Нелинейность v¿(E) растет с ростом относительной эффективности оптического канала рассеяния.

В разделе 3.3 третьей главы представлены результаты расчётов полевых зависимостей дрейфовых скоростей для InxGai_xN и InxAli_xN. Температура решетки и концентрация заряженных примесей менялась в том же диапазоне, как в предыдущем разделе для InN. При этом считалось, что Nc = N¡. Относительная концентрация InN менялась от 0 до 1 с шагом 0.25. Было показано, что вольт-амперные характеристики InxGai_xN и InxAli_xN качественно подобны полученным в InN вплоть до полей 30 кВ/см, а, скорее всего, и в более сильных полях. С практической точки зрения такой результат представляется полезным: действительно, удобнее иметь дело с предсказуемым материалом. Кроме того, при комнатной температуре и температурах выше комнатной и при высокой концентрации примесей токопереиос в InxGaj_xN с высокой концентрацией галия и InxAli_xN с высокой концентрацией алюминия может быть описан в омическом приближении с удовлетворительной точностью. Стоит заметить, что наиболее интересны именно образцы InxGai_xN с высокой относительной концентрацией галлия (80-90%), так как именно при таких концентрациях галлия достигается наибольшая эффективность испускания света.

В заключении сформулированы результаты и выводы, включившие в себя положения, выносимые на защиту и практическую значимость работы, которые вошли в первую часть автореферата.

Литература

1. Humphreys С. Solid-state lighting // MRS Bulletin. — 2008.— Vol. 33.— P. 459-470.

2. Absorption and emission of hexagonal InN. Evidence of narrow fundamental band gap / V.Yu. Davydov, A. A. Klochikhin, R.P. Seisyan, et al. // Phys. Stat. Sol. (b).- 2002.-Vol. 229, no. 2,- P. 1-3.

3. Band gap of InN and In-rich InGaN alloys (0.36 < x < 1) / V.Yu. Davydov, A.A. Klochikhin, R.P. Seisyan, et al. // Phys. Stat. Sol. (b).— 2002.— Vol. 230, no. 3. - P. 4-6.

4. Hot electron cooling rates via the emission of LO-phonons in InN / D. Zanato, N. Balkan, B. Ridley et al. // Semicond. Sci. Technol. — 2004. — Vol. 19. - P. 1024-1028.

Публикации автора по теме диссертации

1. Masyukov N., Dmitriev A. Hot electrons in wartzite indium nitride: a new numerical approach // Mold. J. Phys. Sci. — 2009.— Vol. 8, no. 1,— P. 18-22.

2. Масюков H., Дмитриев А. Горячие электроны в нитриде индия: новый метод численного решения задачи электронного транспорта // ВМУ. Серия 3. Физика. - 2009. - Т. 4. - С. 63-68.

3. Masyukov N., Dmitriev A. Hot electrons in indium nitride: a new numerical approach to solving the electron transport problem // MSU Phys. Bull. — 2009. — Vol. 64, no. 4. — P. 423-429.

4. Масюков H., Дмитриев А. Новый метод численного решения уравнения Больцмана в задаче нелинейного электронного транспорта в полупроводниках // Фундаментальная и прикладная математика.— 2009.— Т. 15, № 6. - С. 77-97.

5. Masyukov N., Dmitriev A. A new numerical method for the solution of the Boltzmann equation in the semiconductor nonlinear electron transport problem // J. Math. Sci. — 2011. — Vol. 172, no. 6.-P. 811-823.

6. Masyukov N., Dmitriev A. Hot electrons in wurtzite indium nitride //J. Appl. Phys. - 2011. - Vol. 109. - P. 023706.

7. Masyukov N., Dmitriev A. Hot electrons in wurtzite indium nitride: anew numerical approach // 4th International Conference on Material Science and Condensed Matter Physics. - Moldova, Chisinau, 2008. - P. 222-223.

8. Масюков H., Дмитриев А. Горячие электроны в нитриде индия: новый численный метод /7 10-ая Всероссийская конференция по физике полупроводников и ианотехнологиям, полупроводниковой опто- и наноэлек-троиике. — Россия, Санкт-Петербург, 2008. — С. 18.

20

9. Масюков Н., Дмитриев А. Нелинейный электронный транспорт в 1пЫ и его твердых растворах при низких температурах // XXXV Совещание по физике низких температур (НТ-35). Россия, Черноголовка, 2009. С. 276-277.

10. Масюков Н. Электронный транспорт в нитриде нндня // Материалы международного молодежного форума "Ломоносов-2010". — Россия, Москва, 2010.

11. Масюков Н., Дмитриев А. Горячие электроны в нитриде индия //X Российская конференция по физике полупроводников. — Россия, Нижний-Новгород, 2011. - С. 9.

12. Дмитриев А., Масюков Н. Горячие электроны в полупроводпнках-нитридах // XXXVI Совещание по физике низких температур (НТ-36). -Россия, Санкт-Петербург, 2012,— С. 206.

Подписано к печати 9 сентября 2013 года. Формат 62x94 1/16 Печать офсетная. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз.

ООО «Издательство «Триада». ИД 06059 от 16.10.01 г. 170034, г. Тверь, пр. Чайковского, 9, оф.504. тел./факс (4822) 42-90-22, 35-41-30 E-mail: triada@stels.tver.ru http: //www.triada.tver.ru

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 538.935

04201362806

МАСЮКОВ НИКИТА АНДРЕЕВИЧ

ТРАНСПОРТ ГОРЯЧИХ ЭЛЕКТРОНОВ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ-НИТРИДАХ

Специальность 01.04.09 — «Физика низких температур»

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д. ф.-м.н., профессор Дмитриев А.В.

Содержание

Введение 4

1 Физическая модель и численный метод 6

1.1 Параметры исследуемых материалов....................... б

1.1.1 Нитрид индия................................................................6

1.1.2 Нитрид галия..................................................................11

1.1.3 Нитрид алюминия.............................. 13

1.1.4 Твердые растворы.............................. 13

1.2 Уравнение Больцмана................................ 14

1.3 Численный метод .................................. 17

1.4 Одночастичные механизмы рассеяния электронов в нитридах......... 19

1.4.1 Вспомогательные формулы......................... 20

1.4.2 Учет экранирования............................. 21

1.4.3 Рассеяние на заряженных примесях.................... 22

1.4.4 Рассеяние на оптических фононах..................... 23

1.4.5 Рассеяние на акустических фононах ................... 25

1.5 Электрон-электронное рассеяние..................................................27

1.5.1 Интеграл столкновений в приближении рассеяния с малым изменением импульса................................................................28

1.5.2 Интеграл столкновений в форме Ландау................. 30

1.5.3 Случай вырожденной статистики..........................................31

1.5.4 Преобразование координат..................................................32

1.5.5 Формулы для вычисления интеграла столкновений в приближении Ландау ........................................................................34

1.5.6 Кулоновский логарифм......................................................36

1.5.7 Об интегралах по полярному углу..........................................36

1.5.8 Электронная температура..................................................40

2 Механизмы рассеяния: сходимость и времена релаксации 42

2.1 Рассеяние на заряженных примесях................................................43

2.2 Рассеяние на оптических фононах..................................................47

2.3 Рассеяние на акустических фононах................................................52

2.3.1 Упругое приближение........................................................55

2.3.2 Приближенный учет неупругости..........................................59

2.4 Электрон-электронное рассеяние ..................................................60

2.5 Оптимальная конфигурация вычислений..........................................63

2.5.1 Слабые поля..................................................................65

2.5.2 Сильные поля ................................................................70

3 Полевые зависимости дрейфовых скоростей в нитридах 74

3.1 Результаты для различных параметров 1пК......................................74

3.2 Транспорт в при различных условиях........................................77

3.3 Транспорт в 1пхСа1_хК и 1пхА11_хК при различных значениях относительной концентрации х и различных внешних условиях..................................81

Результаты и выводы 90

Список рисунков 94

Список таблиц 95

Литература 96

Введение

Целью данной работы является исследование электронного транспорта в объемных образцах полупроводников-нитридов: InN, GaN, AIN и их твердых растворов InxGax_xN и InxAli_xN. Как InN, так и его твердые растворы с другими полупроводниками-нитридами остаются довольно мало изученными материалами со сложной процедурой синтеза. Тем не менее, эти материалы представляют огромный интерес, основной причиной которого является перспектива применения InxGai_xN в качестве надежного, эффективного и универсального источника освещения [24]. И если проблема получения интенсивного голубого и зеленого цветов уже практически решена, то получение цветов, соответствующих более длинным волнам, все еще стоит на повестке дня. Одним из камней преткновения на этом пути являются сложный синтез и слабая изученность нитрида индия.

На основе анализа современных экспериментальных и теоретических данных о зонной структуре полупроводников-нитридов в работе построена модель их объемных образцов для моделирования транспорта электронов. Забегая вперед, заметим, что слабая изученность нитрида индия существенно затрудняет построение модели и вносит значительное количество оговорок и ограничений на её использование.

Для моделирования электронного транспорта разработан и реализован численный метод решения транспортного уравнения Больцмана в полупроводниках-нитридах. Несмотря на то, что основной задачей является исследование именно полупроводников этого семейства, при создании метода стояла задача сделать его как можно более общим и эффективным с точки зрения класса задач, которые могут быть решены с его помощью. Разумеется, вычислительная эффективность также являлась предметом оптимизации.

Далее, для построенной модели и численного метода проведены необходимые тесты, которые включили в себя анализ сходимости средних по функции распределения величин и времен релаксации импульса и энергии электронов как для отдельных механизмов рассеяния, так и для их комбинаций. Эти тесты стали удобным полигоном для отладки реализации численного метода. Но, главное, подобный анализ позволил понять относительную роль различных механизмов рассеяния и создал представление о том, какой результат может быть получен в тех или иных условиях. Кроме того, была определена оптимальная конфигурация численного метода с точки зрения вычислительных затрат и получаемой точности результата.

Наконец, полевые зависимости дрейфовых скоростей, полученные численно, сопоставлены с имеющимися экспериментальными данными. Кроме того, как для InN, так и для его твердых растворов с GaN и A1N проведены вычисления в широком диапазоне температур решетки, концентраций примесей и концентраций носителей заряда. В случае InxGai_xN и InxAl!_xN, кроме прочего, варьировалась и относительная концентрация индия и галия. Полученные результаты тщательным образом проанализированы, и на основе проведенного анализа сделаны необходимые выводы и рекомендации.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и одного приложения. Полный объем диссертации составляет 101 страницу с 47 рисунками и 5 таблицами. Список литературы содержит 72 наименования.

Научная новизна:

1. Впервые численно исследован транспорт горячих электронов в InN, InxGa!_xN и InxAlx_xN с использованием современных данных о зонной структуре нитрида индия.

2. Для проведения этого исследования разработан и реализован новый численный метод решения транспортного уравнения Больцмана, учитывающий специфику полупроводников-нитридов, в том числе, сильную вырожденность электронного газа в этих материалах в практически интересных случаях.

3. Представлено сравнение результатов вычислений с экспериментальными данными, что в задачах подобного рода встречается крайне редко из-за отсутствия экспериме-нальных данных в области сильных электрических полей.

4. Впервые получены численно вольт^амперные характеристики InN, InxGai_xN и InxAli_xN при различных концентрациях примесей, уровнях компенсации и температурах решетки в режиме горячих электронов.

Достоверность, арробация и публикации:

Успешной проверкой созданного численного метода можно считать хорошее соответствие результатов моделирования с известными экспериментальными данными. При этом стоит заметить, что метод не содержит подгоночных параметров, управление которыми могло бы повлиять на результат.

Основные результаты работы докладывались на шести конференциях:

1. 4th International Conference on Material Science and Condensed Matter Physics (MSCMP-2008).

2. 10-ая Всероссийская конференция по физике полупроводников и нанотехнологиям, полупроводниковой опто- и наноэлектронике.

3. XXXV Совещание по физике низких температур.

4. Международного молодежного форум "Ломоносов-2010".

5. X Российская конференция по физике полупроводников.

6. XXXVI Совещание по физике низких температур (НТ-36).

Тезисы докладов, которые были сделаны на перечисленных конференциях, опубликованы в соответствующих сборниках трудов конференций [33,62,63,65,67,68]. Кроме того, результаты опубликованы в шести статьях [34-37,64,66], каждая из которых издана в журнале, рекомендованном ВАК. Таким образом, можно считать, что проведенные исследования прошли защиту перед научным сообществом. Стоит также отметить, что работы проводилась в рамках федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (2009-2013), контракт П-2312.

Личный вклад. Автор принимал активное участие в разработке и реализации модели и численного метода, разработке и проведении тестов и получении окончательных результатов, а также в подготовке работ к опубликованию.

Глава 1

Физическая модель и численный метод

В этой главе будет построена модель для изучения транспорта электронов в объемном образце полупроводника-нитрида n-типа в сильных полях. Сначала будут приведены доступные данные о параметрах и зонной структуре исследуемых полупроводников и проведено обсуждение этих данных. Затем будет построена схема численного метода решения транспортного уравнения Больцмана. После этого будут проанализированы механизмы рассеяния электронов и получены конкретные формулы для расчета интегралов столкновений для релевантных механизмов рассеяния. Изучение информации о зонной структуре исследуемых материалов и построение их модели объединены с разработкой численного метода в одну главу с точки зрения удобства изложения и восприятия. По смыслу же это могли быть две самостоятельных главы.

1.1 Параметры исследуемых материалов

В этом разделе будет приведено обсуждение параметров исследуемых бинарных полупроводниковых соединений InN, GaN и AIN с решеткой типа вюрцита, а также их твердых растворов. Особое внимание будет уделено менее изученному и представляющему наибольший интерес нитриду индия. Будут отобраны параметры материалов, которые в дальнейшем будут использованы при моделировании.

Сразу оговоримся, что в работе проводится исследование только электронного транспорта в массивном образце, то есть считается, что дырки в валентной зоне никак не влияют на транспорт. Таким образом, вначале перед нами стоит задача построения адекватной модели зоны проводимости исследуемых материалов.

1.1.1 Нитрид индия

Всплеск интереса к нитриду индия, произошедший в последнее время, связан не только и не столько с многообещающими перспективами его применения в оптоэлектронике. Дело в том, что долгое время (современный синтез кристаллов InN зародился в начале 70-х годов прошлого столетия) считалось, что ширина запрещенной зоны в InN составляет около 2 эВ. Взгляд на ситуацию кардинально изменился после опубликования работ [1,3], в которых указывалось, что на самом деле ширина запрещенной зоны составляет около 0.7 эВ. Именно это обстоятельство открыло дорогу для широкого применения твердого раствора InxGai_xN в качестве источника освещения [24]. Действительно, варьируя относительную концентрацию х, можно управлять шириной запрещенной зоны, изменяя ее во всем видимом диапазоне. Однако сам факт столь резкого изменения точки зрения на

фундаментальную характеристику материала, синтезированного более 30 лет назад, представляется не менее интересным.

Стоит также заметить, что и до опубликования работ [1,3] некоторые исследователи указывали [2], что запрещенная зона в 1пК должна быть существенно меньше 2 эВ, поскольку при х, близких к единице, твердый раствор 1пхСа1_хМ имеет ширину запрещенной зоны менее 2 эВ при том, что запрещенная зона в СаК составляет около 3.5 эВ. С современным состоянием дел в области исследования параметров 1пК и 1пхСа1_хМ можно ознакомиться в обзорах [9,50,56].

Вырастить качественный кристалл 1пК очень сложно. В обзорах [9,25,50,56] подробно изложены проблемы, возникающие при выращивании пленок 1п1Ч. Дело в том, что не удается подобрать материал, хорошо согласующийся с 1пК по параметру кристаллической решетки и коэффициенту теплового расширения. Обычно в качестве подложки используется сапфир А120з. При этом расхождение в параметрах решетки составляет более 30 %. Даже если в качестве подложки взять Са1Ч, то расхождение в параметрах решетки будет порядка 12 %. Кроме того, 1пК имеет низкую температуру диссоциации, порядка 500-600°С. При этом равновесное давление N2 быстро возрастает с ростом температуры, начиная с 450°С, что вызывает быстрое обеднение азотом поверхности пленки. Перечисленные сложности, возникающие при синтезе, в данный момент позволяют выращивать образцы нитрида индия с концентрациями носителей заряда не менее (5 — 10) х 1017 см-3. При таких концентрациях образец нельзя считать чистым. Действительно, электронный газ вырожден даже при комнатных температурах. Таким образом, нужно принимать во внимание конечность чисел заполнения и считаться со всеми возникающими из-за этого эффектами. В то же время данные, которые считались актуальными до опубликования работ [1,3], были получены на очень грязных образцах с концентрацией носителей заряда более Ю20 см-3. Заметим, что ширина запрещенной зоны обычно определяется на основе анализа спектра фотолюминесценции и края оптического поглощения. Оба эти эффекта чувствительны к концентрации свободных электронов (эффект Бурштейна-Мосса [6]). Это могло стать причиной неверной оценки ширины запрещенной зоны при неверной оценке концентрации носителей в грязном образце.

В обзорах [9,50,56] исследованы экспериментально параметры электронных и фонон-ных спектров нитридов, что для нас и представляет наибольший интерес. Дно зоны проводимости в 1пК находится в точке Г зоны Бриллюэна. Это хорошо видно на рисунке 1.1, где представлена зонная структура 1п1М, полученная в результате расчетов в работе [18]. Закон дисперсии электронов в окрестности точки Г можно считать изотропным с хорошей степенью точности и взять в виде

Як2 ,

— =*(! + «), (1.1)

фактор а учитывает непараболичность спектра. В модели Кейна значение о: определяется формулой

1 Л го у

а = - 1--, (1.2)

Ч V то )

где т — эффективная масса электрона на дне зоны проводимости, то — масса свободного электрона.

Несмотря на то, что основные расчеты будут проводиться для актуальных в данный момент параметров, которые рекомендованы в упомянутых обзорах, мы также выделим несколько наборов параметров 1п!Ч, для которых представляется интересным провести некоторые расчеты. В качестве таких наборов мы возьмем набор параметров материала,

> с

о

>ч

ф

с ш

0

-5

А R L U М Ъ Г А А S НРК°Т Г

Рисунок 1.1: Зонная структура InN [18]

который считался актуальным ранее и, кроме того, два набора, которые довольно часто можно встретить в работах, где численно решается задача нелинейного электронного транспорта вInN.

Таблица 1.1: Часто используемые наборы параметров InN

Величина обозначение единицы Н1 Н2 НЗ Н4

Эффективная масса т то 0.07 0.045 0.11 0.12

Запрещенная зона Ч эВ С .7 1.9 2.0

Энергия ЬО-фононов hulo мэВ 73

Энергия ТО-фононов hu! ТО мэВ 57

Высокочастотная диэл. прон. Хоо 6.7 8.4

Статическая диэл. прон. щ 11.0 15.3

Скорость ЬА-фононов sla 105 см/с 5.2 6.24

Скорость ТА-фононов sta 105 см/с 1.2 2.55

Ак. деформационный потенциал Da эВ 3.6 7.1

Опт. деформационный потенциал Do эВ/см 109

Пьезомодуль Єі4 К/м2 0.375

Плотность массы p г/см3 6.81

Выбранные наборы параметров объединены в таблице 1.1. Стоит заметить, что спектр оптических фононов имеет более двух ветвей. Однако можно выделить две группы ветвей, которые очень близки, что мы и сделали. Одна группа соответствует продольным ЬО, а другая поперечным ТО оптическим фононам. Со спектром фононов в можно более подробно ознакомится в обзорах [9,56]. Набор Н1 построен из наиболее актуальных в настоящий момент параметров. Этот набор был использован в работе [11], в которой был теоретически и экспериментально исследован электронный транспорт в нитриде ин-

дия в слабых полях. Однако, насколько нам известно, такой набор параметров еще не был использован для расчета электронного транспорта в 1пК в сильных электрических полях. Значение ег = 0.7 эВ было также использовано при расчете электронного транспорта в сильных полях в работах [31,40,41,46]. В этих же работах было использовано значение эффективной массы т = 0.045тоо. Набор Н2 как раз соответствуют параметрам, использованным в этих статьях. Набор Н4 был рекомендован в обзоре [49] и в данный момент считается неактуальным. Зонная структура на рисунке 1.1 была получена на основе использования набора Н4. Набор НЗ очень близок к набору Н4. Мы добавили этот набор, так как он был использован во множестве работ [12,15,44-47], посвященных расчету нелинейного электронного транспорта в нитриде индия. Отметим, что в отличие от очень похожих друг на друга работ [12,15,45-47], в каждой из которых расчет проводился с помощью метода Монте-Карло, в работе [44] были использованы уравнения баланса.

Также стоит заметить, что различные параметры зонной структуры 1пК получались и в работах, посвященных численному расчету зонной структуры. Так, в работах [18] и [19] одних и тех же авторов, вышедших в течение двух лет, рекомендуются совершенно разные значения ширины запрещенной зоны и эффективной массы. Если в раб�