Трехмерные задачи теории упругости для полупространства с плоскими поверхностными трещинами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ім. Я. С. ПІДСТРИГАЧА

На правах рукопису

Ь .. -..і і;/

СУШКО Ольга Петрівна

ТРИВИМІРНІ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ , ЦЛЯ ПІВПРОСТОРУ З ПЛОСКИМИ ПОВЕРХНЕВИМИ

ТРІЩИНАМИ

Спеціальність: 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Львів - Х997

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригана НАН України

Науковий керівник - доіїтор фізико-математичних наук, професор

Хай Мирослав Васильович

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук Николишин Мирон Михайлович;

доктор фізико-математичних наук Стащук Микола Григорович

Провідні установа - Одеський .державнлй університет ім. І. Мечнікова

Захист відбудеться

" /6^г/П/-ґс^ 1997 р. о /2_

годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д04.17.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України (м. Львів-53, вул. Наукова. 3"Б").

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України. •

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 290601, МСЛ, м. Львів, вул. Наукова, 3"Б", ІЦПММ НАН України, вченому секретарю спеціалізованої ради.

Автореферат розіслано '> І> " 1997 р.

Вчений секретар ґ - Шевчук П. Р.

Спеціалізованої ради

з

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В структурі реальних твердих тіл, іатеріалів, які використовуються на практиці, завжди є іізного роду дефекти, які суттєво впливають на їх міцність. Іаявність таких дефектів як тріщини, включення та інші іедосконалості структури матеріалу мс.'ке різко зменшувати ірацездатність елементів конструкцій. Це зумовлено тим, що процесі деформації гіла, послабленого дефектами типу ріщин, в околі їх вершин виникає висока інтенсивність апружень, тобто такі дефекти сприяють досягненню в окальній області критичного стану і зумовлюють уйнування. Серед багатоманітності таких дефектів як ріщини часто зустрічаються тріщини, які виходять на оверхню тіла. В літературі; такі дефекти називають оверхневими тріщинами Тому вивчення розподілу апружень в околах поверхневих тріщин є актуальним, а їх рахування при розрахунку на міцність тіл дозволяє більш равильно прогнозувати рівень експлуатаційних авантажень.

Вагомий внесок у розвиток методів розв'язування задач горії пружгтості для тіл з тріщинами внесли О. Є. Андрейків, . IL Вайншток, І В. Варфоломеев, О. М. Гузь, Д. В. Гри-іцький, В. В. Зозуля, А. А. Камшський, Г. С. Кіт, В. В. Ло-їда, М. Ф. Морозов, Є. М. Морозов, М. М. Николишин,

. А. Осадчук, В. В. Панасюк, В. 3. Партон, 11. L Перлін, Я.

. Підстригач, Г. Я. Попов, М. П. Саврук, Л. І. Слепян, М.

. Стащук, Г. Т. Сулим, К Хеллман, І\ Л. Черепанов, А. ». Улітко, S. N. Alturi, С, A. Brebbia, F. Delale, F. Erdogan, O.

. Irwin, Mi Isida, J. Murakami, H. Misitani, H. Abe, L R. Ri-ce,

. Levy, A. S. Kobayashi, F W. Smith, H. F. Bueckner та інші.

У відомих в літературі роботах, в яких досліджується їлив поверхневих дефектів на напружено-деформоваїшй 'ан тіла, розглянуті в основному випадки півкругового або веліптичного профілів поверхневих тріщин. Тому питання івчення впливу глибини залягання .поверхневих тріщин і жвини ЇХ контура є досить актуальним.

В даній роботі для вивчений, напруженого стану впростору з поверхневими тріщинами використано метод »тенціалів, викладений в монографії Г. С. Кіта і М. В. Хая. В :нову покладені результати для півпростору з довільно'

розташованими плоскими розрізами,- які отримані в роботах Г. С. Кіта, І. П. Лаушника, М. В. Хая. З використанням цих результатів, в дисертаційній роботі тривимірні задачі теорії пружності про визначення напружено-деформованого стану у півпросторі з плоскими поверхневими тріщинами зведені до системи двовимірних граничних інтегральних рівнянь.

Метою роботи є розробка методики розв'язування тривимірних задач теорії пружності для півпростору з плоскими довільно розташованими поверхневими тріщинами, поверхні яких перебувають під дією самозрівноважених зовнішніх навантажень; розв'язування нових задач теорії пружності для півпростору з плоскими поверхневими тріщинами. З метою кількісного дослідження впливу наявних у півпросторі поверхневих тріщин на його напружено-деформований стан багато місця в дисертації відведено доведенню розв'язків розглядуваних задач до числових результатів.

Наукова новизна роботи полягає у розробці методики розв'язування тривимірних задач теорії пружності для півпростору з поверхневими тріщинами різної глибини залягання і різної кривини," яка дозволяє доводити розв'язки розглядуваних задач до числових розрахунків.

Основними результатами, які виносяться на захист с: :

- поширення методу граничних інтегральних рівнянь на

тривимірні задачі теорії пружності для тіл у вигляді півпростору з довільно розташованими плоскими поверхневими тріщинами; ,

> - розвиток числово-аналітичного методу для

розв'язування двовимірних- сингулярних інтегральних рівнянь з нерухомою особливістю, які притаманні задачам теорії пружності для тіл з поверхневими тріщинами; :

- виявлені кількісні і якісні закономірності взаємодії у

півпросторі плоских поверхневих тріщин між собою в залежності від їх орієнтації, конфігурації, а також при їх зближенні. •' . :•’>- •. ' ■:

* Вірогідність основних положень і отриманих в дисертації результатів базується иа коректності математично! постановки задачі; строгості застосованих математичних —методів, які використовуються при зведенні розглядуваних задач до системи сингулярних інтегральних рівнянь;

узгодженістю результатів деяких • частинних випадків з відомими в літературі.

Практична значимість. Отримані в дисертації результати мають як теоретичне; так і практичне значеная при визначенні міцності тіл з поверхневими тріщинами, при встановленні умов локального руйнування деформівних твердих тіл, а також для подальшого розвитку математичної теорії тріщин. Дослідження напружено-деформованого стану в околі поверхневих тріщин відкриває широкі можливості для вивчення процесів викришування тіл шляхом поширення в них поверхневих тріщин, обумовлених як механічними, так і немеханічними навантаженнями.

Апробація роботи. Основні результати, викладені в дисертації, доповідались на І Міжнародній конференції з механіки неоднорідних . структур (Тернопіль, 1995), на семінарах відділу математичних методів механіки руйнування Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригана НАН України (Львів, 1995-L996 р.р.).

Дисертаційна робота в цілому обговорювалась на кваліфікаційному семінарі "Механіка деформівного твердого гіла" Інституту прикладних проблем механіки і математики м. Я. С. Підстригача НАН України (Львів, 1997 p.), науковому :емінарі відділу математичних методів механіки руйнування га контактних явищ цього ж Інституту (Львів, 1997 р.)

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 4 іаукових статті. ' ■

Структура і об"ем роботи. Дисертація складається з іступу, 4-ох розділів, підсумків, додатку та списку цитованої гітератури, що охоплює 136 найменувань. Загальний об"єм юботи становить 156 сторінок машинописного тексту основний зміст - 111 сторінок, додаток - 17 сторінок), і іключає 26 рисунків і 2 таблиці. ’ '

ОСНОВНИМ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, дано короткий аналіз сучасного стану проблеми, проведено огляд публікацій з даного науковоЛ напрямку, а також коротко викладено основні ' результати проведених досліджень.

У першому розділі наведено основні результати з дослідження тривимірних задач теорії пружності для півпростору я поданням їх розв'язків через- довільні гармонічні функції; описано метод зведення цих задач до систем двовимірніх сингулярних інтегральних рівнянь; описано числово-аналітичний метод розв'язування двовимірних сингулярних інтегральних рівнянь з нерухомою особливістю в ядрі, який використовується в роботі при числових розрахунках; приведені деякі положення механіки руйнування, що використовуються в наступних главах дисертаційної роботи. .

Зокрема, загальний розв'язок задач теорії пружності для суцільного півпростору через довільні гармонічні функції записано у вигляді

де //, (.V) - компоненти вектора зміщень, V - коефіцієнт Пуассона, - символ Кронекера, у, - незалежні гармонічні функції змінних л^л'р.ї^х,). Якщо функції V; Еіібрати у вигляді гармонічних потенціалів простого шару

«, (х) = Ц1 - у)[\\і, - 5П (1 - 2 V) Л/] - Г х-3Ч' з “ 2 (1 - у)х3 М

(1)

О

то довільність густіш а,(£,) можна використати для задоволення граничних умов задачі на поверхні півпростору.

Наведені також вирази для зміщень і напружень в безмежному тілі- з тріщиноїд через функції, які характеризують розкриття тріщини в процесі деформування тіла. ,

Для розв'язування отриманих двовимірних сингулярних інтегральних рівнянь з нерухомою особливістю в ядрі, заданих на частині кругової області^ запропоновано числово-аналітичний метод. У випадку, коли області відмінні від кругових, пропонується застосовувати метод відображень при чисельно-аналітичному розв'язуванні таких рівнянь.

У другому розділі розглянуті задачі теорії пружності для півпростору з системою N довільно розташованих

плоских поверхневих Тріщин 5Л(«=1............/V) під дією

заданих зовнішніх навантажень. З використанням принципу суперпозиції напружено-деформованих станів, зміщення мДх0 ),(./ = 1,2,3) в декартовій системі координат , яка вибрана в якості Є зисчої, зображено у вигляді

М ■ .

Ц (х0) = ії,0 (х0) + £[ иік (хк0)1ІІс0 + и2к (хк0)тік0 + щк (Лк0 )піі0], (3)

*=1

де х0 - довільна точка тіла в базисній системі координат, хк0 -ця ж сама точка в к - ій локальній системі координат, яка пов’Язана з тріщиною, /,АО,^о>%о - геометричні параметри, які визначають взаємне розташування поверхневих тріщин у півпросторі. У співвідношенні (3) и,о\*о) “ компоненти вектора зміщень в базисній системі координат при довільних зовнішніх навантаженнях на границі півпростру. Вони визначаються через довільні гармонічні функції співвідношеннями (1). иік(хк0)(і = 1,2,3) - компоненти вектора зміщень в 1с - ій локальній системі координат, обумовлені стрибками зміщень аік протилежних поверхонь к - ої тріщини в деформованому півпросторі.

Компоненти вектора зміщень иік(хк0) зображені у вигляді комбінацій гармонічних потенціалів з невідомими густинами аік на місці розташування тріщин

Задовольнивши граничні умови задачі на поверхнях тріщин і на границі півпростору, отримаємо систему 3(N+1) двогимірних інтегральних рівнянь для визначення функцій аік і а,. Зауважимо, що подання компонент вектора зміщень иі0 для суцільного півпростору у вигляді (1) дозволило визначити а, через функції аіГ Це дало змогу звести систему 3(iV+l) граничних інтегральних рівнянь до системи З N сингулярних інтегральних рівнянь для визначення функцій аік, тобто

Л .

^,.(0-44* Í; І j¡'oL„AV^,xn)dtS = ^N¡n(xn),

Зл-,„ |*я-$| 4-І Ш=1 £ G

х„ ^S„,n=],Ñ,j = 1,2,3. , (5) '

де Д„ - двовимірний оператор Лапласа змінних x¡ і х2, К^п -відома функція, яка враховує взаємодію поверхневих тріщин між собою і з границею тіла. Зауважимо, що характерною особливість рівнянь (5) є те, що, крім полярної, вони містять церухому особливість, коли точка хп належить границі півпростору, тобто, коли хп єS„ належить лінії перетину

області S„ з границею півпростору. • . .

З врахуванням ць о, . розглянута задачі - про дископодібну^поверхневу тріщину, перпендикулярну до границі півиростру, ПІД ДІЄЮ ЗОВНІШНІЇ розтягуючих ¡jjyCHJ'\>. •Граничні інтегральні рівняння задачі розв’язано¡ шляхом

використання запропонованого в першому розділі числово-аналітичного методу. Наведена поведінка коефіцієнтів інтенсивності напружень в околі поверхневої тріщини від кутової координати точки контура в залежності ьід глибини тріщини. Показано, що розташування точок максимальних значень коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН) суттєво залежить від геометричних параметрів поверхневої тріщини. Для неглибоких тріщин їх місце розташування знаходиться в точках найбільш віддалених від границі тіла. Для глибоких тріщин точки максимуму КІН знаходяться на границі тіла, тобто в точках перетину контура тріщини з границею "тіла.

- У третьому розділі досліджено напруясено-деформований стан півпростору з плоскими поверхневими тріщинами, контури котрих відмінні від кругових. Для таких тріщин пропонується метод відображень області тріщини на частину кругової області. Показано, що одержані таким чином сингутарні інтегральні рівняння можна розв"язуватл числово-аналітичним методом.

Розглянуті випадки, коли півпростір послаблений еліптичною поверхневою тріщиною або тріщиною у формі кривої Паскаля, перпендикулярними до його границі. Поверхні тріщин знаходяться під дією самозрівноважуючих розтягуючих зовнішніх зусиль, а границя півпростору вважається вільною від зовнішніх навантажень.

У випадку еліптичної поверхневої тріщини, коли біль: іа вісь еліпса нахилена до границі півпростору під кутом ф0, відображеі ня області тріщини на частину круг„ одиничного радіуса визначається з допомогою функції.

.х,=<л^с<кфо-ау28Іпф;,, фо=агав(^ф0),

о (6)

х2 = Ьу1 вІПфо -Ьу2 СОБфо,

де )>! ,у2- декартові координати точок одиничного круга, а,Ь-півосі еліпса.

Для поверхневих тріщин у фоомі кривої Паскаля, а залежності від оріг •ітації, таке відображення має вигляд

г = х1+іх2- и' + лн'2, 0іт<\/2, (7) .

або

z = xl+ix2 = w-imw2, w = yj+/y2. (8)

•Показано, що • при розв'язуванні відповідних сингулярних інтегральних рівнянь можна використовувати числово-аналітичний метод.

Показано приведені значення коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН) в залежності від кутової координати точок контура тріщин. Зокрема, КІН для еліптичної поверхневої тріщини, відображення якої задаєтьс.» співвідношенням (6), визначається за формулою

^ rsi»¡2a + e4 cos2a,1/4 •

' Ki (<*) = “ 7¡-ГТ І”--------2----2"] Ф (0)> тч

(l-v)e sin а+е cora (91

; К1 = КІ = 0, а = arctg [etg(0 + ф0),

де 9 - кутова координата точки у0, яка відповідає точці х0] а

- кутова координата точки х0; ф(0) - функція, значення якої знаходяться шляхом числового розв'язування граничних інтегральних рівнянь. Числовий аналіз одержаних результатів показує, що для глибоких еліптичних нахилених тріщин' точки максимуму КІН співпадають з точками перетину контура тріщини з границею півпростору. зі сторони нахилу тріщини до границі тіла. .

Вираз для визначення КІН для поверх іевої тріщини у формі кривої Паскаля, яка відображається на частину кругової області, з допомогою відображення (8), має вигляд

гг..* .2, ф(1>чОП + 4»г2 +4msinv|/)]~1/4 /1ПЧ

Мх0) - -«• т., 0—:-----\2~'л 2—3-------> (10'

(1 + 2/и sin іу) + 4м cor ц/

V» - кутова координата точки х0 на математичній відображеній площині, ф - функція, яка визначається при рс зв"язувчнні граничних інтегральних рівнянь. Для більшості випадків максимуми КІН співпадають з точкою від"ємної криьі.ші контура кривої Паскаля.

У четвертому розділі вивчаються взаємодія поверхневих тріщин різних геометричних розмірів, а також вплив віддалі між ними на КІН. '

Розглядається півпростір, який містить N плоских компланарних (розміщених в одній площині) поверхневих тріщин і знаходиться під дією розтягуючих самозрів-н; важених зовнішніх зусиль, а його границя вважається вільною від зовнішніх навантажень. Тоді задача про визначення напружень може бути зведена до розв'язування системи інтегральних рівнянь виду

(1І)

*=15* О

ч_ Ібу-7 12у(1-2у)(х2Ь+^)2-18^х2, 'Ік\ьк>хкп) пг+ ;-----|"

\)’кп І \Укп~ 4/уІ

і(1-у)(1-2у)(*„л + із* - 7\Укп -5

-^І)2

І**, £*1“ [(*Ші ^и) ~г (!л ^2*) 1 • Х]Ьі ~ ^¡кгАкп

Іл» - 4і*)2 Нхіь, +и)2]и\

сп — | - віддаль між точками хп і сікп - віддаль між

ентрами к - ої і п - ої тріщин. е]кп - напрямні косинуси

ектора, що з"єднує центри к - ої і п - ої тріщин в к - ій окальній системі координат, а3л - невідомі функції, які арактеризують розкриття тріщини в процесі деформації ла. (Штрих біля знаку суми означає, що в ній відсутній зданок з номером к = п).

КІН визначимо за розв'язками системи граничних тегральних рівнянь.. ,

Для дископодібних тріщин і тріщин у формі кривої аскаля досліджено вплив глибини, конфігурації, а також ддалі між ними на клпружено-деформований стан в'простору. Результати обчислень показують^ що взаємодія

поверхневих тріщин є суттєвою лише для близько розміщених тріщин. ‘

У підсумках коротко сформульовано основні результати роботи та висновки.

В додаток винесено явні вирази для регулярних ядер системи інтегральних рівнянь задач теорії пружності для півпростору з довільно розташованою поверхневою тріщиною.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА КОРОТКІ ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі з використанням теорії гармонічних потенціалів запропоновано єдиний підхід до розв'язування тривимірних задач теорії пружності для півпростору з довільно 1 розташованими плоскими поверхневими тріщинами. Вихідні задачі зведено до граничний інтегральних рівнянь. Характерною особливістю отриманих рівнянь є те, що при їх розв'язуванні інтегрування по безмежній області, яка співпадає з границею півпростору, зводиться до інтегрування по • поверхнях тріщин. Такий підхід є достатньо загальним, оскільки не вимагає обмежень на взаємне розташування поверхневих • тріщин їх конфігурацію, а також на характер напружено-деформованого стану в розглядуваному тілі.

Для побудови наближеного розв'язку отриманих сингулярних інтегральних рівнянь в роботі запропоновано числово-аналітичний метод, суть якого полягає в побудові регулярного аналога сингулярних двовимірних інтегральних рівнянь та в нехтуванні нерухомої особливості в їх ядрах.

Основні результати дисертаційної роботи:

1. Метод граничних інтегральних рівнянь поширено на випадок півпростору з довільно розташованими плоскими поверхневими тріщинами, а числово-аналітичний метод - на розв'язування отриманих сингулярних інтегральних рівнянь, які, крім звичайної особливості, містять нерухому особливість в ядрі.

2. Виявлено деякі кількісні і якісні закономірності

взаємодії плоских поверхневих тріщин між собою і з границею півпростору в залежності від їх орієнтації, глибини, конфігурації, а також при їх зближенні.—-------- --- .

На основі розглянутих в роботі прикладів можна зробити наступні висновки:

- глибина залягання поверхневих тріщин у півпросторі істотно впливає на напружено-деформований стан тіла. Для глибоких дископодібних перпендикулярних до поверхні розтягуваного півпростору поверхневих тріщин максймальне значення коефіцієнта інтенсивності напружень (КІН) буде знаходитись на поверхні -півпростору, а при зменшенні глибини тріщини це значення буде перемішатись до найбільш віддаленої від границі півпростру точки;

- орієнтація поверхневої тріщини відносно границі півпростору суттєво впливає на коефіцієнти інтенсивності напружень в околі контура тріщини. Із результатів, отриманих для нахилених еліптичних поверхневих тріщин випливає, що максимальне значення КІН буде в одному з кінців перетину поверхневою тріщиною границі півпростору;

- якщо півпростір послаблений плоскою поверхневою тріщиною, обмеженою контуром, який має точки від"ємної кривини, то КІН досягають найбільшого значення саме в цих точках;

- взаємодія глибоких поверхневих тріщин між собою практично не впливає на КІН, якщо віддаль між центрами тріщин більша двох діаметрів, при умові, що півпростір знаходиться під дією розтягуючих зовнішній зусиль;

- якщо у півпросторі знаходяться дві дископодібні поверхневі тріщини, то наявність другої тріщини приводить до суттєвого збільшення КІН в точках контура тріщини, найближчих до сусідньої тріщини;

- при взаємодії двох глибоких поверхневих тріщин, контури я-сих мають точки. від”ємної кривини, на місцезнаходження максимального значення КІН суттєво впливають як віддаль між центрами тріщин, так і значення параметра, який характеризує від ємну кривину поверхневої гріщини.

Основні положення дисертації опубліковані в роботах:

■ Л -

1. Сушко О. П., Хай М. В. Решение задач теории упругости для полупространства с плоскими краевыми трещинами // Мат. методы и физ.-мех. поля. - 1994. - Вып. 37. - С. 58-63.

2. Хай М. В., Сушко О. П. Взаємодія компланарних поверхневих тріщин у півпросторі // Пробл. прочности. -1994. - № 10. - С 12-16.

3. Хай М. В., Сушко О. П. Взаємодія поверхневих тріщин у

. півпросторі // В кн.: IV Міжнародна конференція з

механіки неоднорідних структур. Тези доповідей. -Тернопіль. - 1995. - С. 154.

4. Хай М. В., Сушко О. П. Исследование' влияния ориентации плоской поверхностной трещины в форм? улитки Паскаля на концентрацию напряжений в полупространстве // Мат. методы п физ.-мех. поля. - 1995. - Вып. ¿8. - С. 79-54.

ABSTRACT. О. P. Susnko. The 3-D elasticity theory problems of for a half-space with plane surface cracks.

The thesis presented for a candidate's degree (phisics anu mathematics), speciality: 01.02.04 - mechanics of a deformable solid body. Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, Ukrainian National Academy of Sciences, Lviv, 1997.

The procedure for solving the 3-D elasticity theory:problems with surface cracks, the faces of which are under self-balanced power loads, is presented. The problems are reduced to solving of the 2-D boundary integral equations with fixed singularity at points, where a surface crack intersects with the half-space boundary. The numerical-analitical method for solving of singular integral equ-ttions, defined at a circular region part, is developed. On the basis of the results obtained, the quantitative and qualitative analisys of the surface cracks interaction between each other and with the half-cpace boundary is carried out.

АННОТАЦИЯ. Сушісо О. П. Трехмерные задачи теории упругости для полупространства с плоскими поверхностными трещинами.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических тгаук по специальности 01.02.04 - механика

деформируемого твердого тела, Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины, Львов, 1997.

Ра фаботана методика решения трехмерных задач теории упругости для полупространства с произвольно расположенными поверхностными трещинами, поверхности которых находятся под действием самоуравнопешенных силовых нагрузок. Задачи сведены :с решению двумерных граничных интегральных уравнений с неподвижной ■ особенностью в точках пересечения поверхностной трещины с границей полупространства. Разработан численноаналитический метод решения сингулярных интегральных уравнений, заданных ' на .¡асти круговой области. На основании полученных решений проведны количественные и качественные исследования взаимодействия поверхностных трещин между собой и с границей полупространства. .

Нл-5}ї?о.«і елова: руйнування, півпростір, поверхнева тріщина, граничні інтегральні рівняння, коефіцієнт інтенсивності напружень.