Целые функции в решениях алгебраических дифференциальных уравнений и систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Pf Б ОД

БЕЛОРУССКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗЕШЕНЗ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ нмэни В.Н.ЛЕЕННА

На правах рукгазса

ПШЯОВСКЕЙ ПРЕЙ ИЬШП

ЦШ2 ФУНКЦИЯ В ИШШЯХ АЛГЕЗРДИЧЕСгШХ ДЕИШШЦШЬНИС ЗТШШВЖ H C0CTEÎ

01.01.02 - дгффзрвнциальюге уравнэязя

Автореферат дгссертадаа на сошзсаяве ученей erensss кгндадатп фязако-натеизтачссках стук

ISHCK - IS34

Работа заполнена в Гродненском государственном университете вкеки Янха Купала

Научный руководитель: кандидат Сазгко-штеиатическаг наук, доцент В.й.Горбузов

Офзцнальнне опоненты: доктор £азико-ш тематических наук, профессор Н.А.Дгказевич щщат физико-математических наук, доцапт В.В.Цегеяьник

Ведущее высшее учебное

заведение: Гоиельскгй государственный университет

Загдата дассертащса состоится 17 мая 1994 года'в 12 часов на заседании специализированного Совета К 056.03.10 по присуждали» ученой степени каадвдата фашсо-иатеиатячесяах наук в Белоруской ордена Трудового Красного Знамена государственном университете им.В.К.Ленина по адресу : 220080,Г.Ыинск, проспект г-.Скориш, 4, главянй корту с, ауд. 206.

С диссертацией когно ознаксшться в библиотеке Белоруского государственного университета шаени В.И.Ленина

Автореферат разослан " 17 " апреля 1991. Ученый секретарь

специалазирсванаго Совета В.И.Корсж

доцент

СЕДАЯ ХШКТЕРИСЕКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. Данная работа относится к зналатическсЗ теории обыкновенных дифференциальных уравнений. По нспользуешм иэтодам и полученным результатам диссертация является научным исследованием □о проблеме существования у алгебраических дифференциальных уравнений и систем реиениа специальных видов.

Так для алгебраических дифференциальных уравнений нссягдухтся суще-стЕоваше и свойства парэнетраческих репений с целыми составляящими (алгебраическими и трансцендентными). Для систеи алгебраических диффе-ренцяальных уравнений определяются асимптотические характеристика роста целых реиэнвй.

Несмотря на то, что целые решенпя алгебраических д^ффзренцяглькиз уравнений рзссматрзваются уте несколько десятилетий и з данном направления получено ряд существенных результатов, эта проблема вей есЭ далека от заверзгння.

Отличительней ссобгниостьа данной дассертацая от исследований других авторов является го, что поставленные задача решаются для элхеб-ранческих дифференциальных урсвяежй и систем общего ввдя, в то время хазе ранее аналогичные задачи решалась для дгфферакцяальных уравнений специальных вядов.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ, Изучение свойств паргштраческах рзггэшй с цашкя сос-тзвлякцика у алгебраических дифференциальных уравнений, э тагаеэ целых решений у спстеи алгебраических даффаренвдальгах урзвнекяЗ.

МЕТОДЫ ШУЩЦ0ВА1Ш. В работе используется общяв иэтодн теории функция комплексного переменного, теорш максимального члена йшана-Ва-лирока, метод ломаных Ньитона.

НАУЧНАЯ НОЕЯоНЛ. В диссертации для алгебраических дифференциальных уравнений установлены асимптотические свойства параметрических решений с целыми составлявши, как-то, характеристики роста (порядок целой трансцендентной составляющей а степень полиномиальной состввлящей), выполнено построение полиномиальных составляющих параметрических решений на основе разработанного структурного ^иетодз в определены достаточные условия их нахождения.

Для систем алгебраических дифференциальных уравнений I хяучекы достаточные условия отсутствия цэлнл ревгэннй {алгебраических а трансцендентных),определена шшшв я верхние граншщ для степеней полинош-

- 4 -

влышх и порядков роста целых трансцендентных составлягвдзх.

Приведенные в работе результаты являются новыш.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Диссертация носит теоретический характер. Ее результата иогут быть использованы в аналитической теория дифференциальных уравнешгй, применяться з конкретных ксследоза-няях по нахсвдениэ параметрических решений с целыми составлякцани. Также полученные в диссертации результата могут служить материалом для чтения спецкурса по аналитической теории дифференциальных уравнений.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Результата диссертации докладывалась на Белорусских республиканских конференциях( Шнек, 1583т., Гродно, 1938 г., 1992 г.), на межрегиональной конференции по фуккцаонально-дафферекца-альнш уравнения« ( Махачкала, IS9I г.), научном семинаре Гродненского госуниверситета им. Я.Купала

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Работа выполнена на 115 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и списка датируемой литературы, вкличащего 124 наименования.

ГОТО1ШШШ. Основные результаты опубликованы в работал t I -113.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1) Свойства параметрических решений с полиномиальными составляющими алгебраических дифференциальных уравнений: нахождение степеней параметрических репикий с полиномиальными составляхщами; установление границ изменения степеней полиномиальных составлшвцих; построение параметрических решений с полинош&яьныма составляющими структурным методом.

2) Свойства параметрических решений алгебраических дафферонцаадьных уравнений с целыми состбшыпзцани, одна из которых трвксцввденгаия функция, а вторая полином. '

3) Свойства целых решений систем алгебраических дифференциальных уравнений: определение границ изменения степеней полиномиальных решений; установление порядков роста целых трансцендентных ссставлящах решений.

С0ДЕР2АШБ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор работ по теме диссертации, а тают коротко излагаются оешаша результаты, получакнш в дассертацаи.

В первой главе расаатрявается елгебразческое дафферешдалыгое уравнение

f Bjz) f] - 0. (I)

i=0 j=0

b.

где 'Л^.целые кеотряцателышэ *эсяа, Btfz) = î?£z /з£*0.

Основная задача первой глава - определение воздохных степеней полиномиальных составляющих в порддков роста цели трансцендентная составляющих параметрического регэшя

z = z(t), ш = w(t). (2)

В первой парагргфз вводятся пс:гатня фуняциЯ степени Si(n,n) п функций коэф&щкента где я = Ueg z(t), п = ûeg w(t), <*m, rn- 1соэффицпента старом членов полннокоз ?.(t) в ю(t), соответственно.

Это позволяет параызтраческие ресгння (2) с поляингааяыгии состзвляю-щями подразделять на два класса: с особой а неособоЗ степенью (п,п). А

в зависимости от порядка I определение характергстшс роста ~ распадается на два случая: —* s,з = 1,1-1, = s,s « f 1,...,l-1).

1ак для реаеявй (2) с евссоСоЗ степенью прз *■ з,з s î ,1-1, справедлива

Теорема I. УраВпение (I) яахт млеть реиемия ф) степени (п,п), £L» з,з в 1,1-1 лишь яакие, чг.о ~ соЗергиясл 6 наборе

fCbÉ - ®£) - СЬр - 0» — —

■1-Г-^г.-:---J » * в Р » ОД. t*p. *t * з?р, (3)

P ï ^

i i

еде s. = E я.., я. sjJ st.., принем в набор втоОпп маеь полохи-l'O 1 j'0 Jl

ггэлькке чисм, неравные s.

Исходя из того, что значения фукм&й степени d точхэ (я.п) хнтя ба двух членов уравнения (I) долгкы на только совпадать, ко в бить Ksa-больвнга, нвхлэдазавгея ограгапзкая ка элемента, вгодепззз в набор (3). Дналогачкиа угверздвкзя доказлззатся для кассовых степо- эй. когда

д-я 3,0 «3 (1,...,Х-1).

- 6 -

Подобный подход полонен в основу рассувденкй, когда устанавливаются асимптотические характеристики для особи степеней (ш,п). Причём эти характеристики находятся не вз таборов вида (3), а является корняшг алгебраических уравнений, составленных на основе функций, коэффициента Е( ( в диссертации это теореш 1.1.3 - 1.1.4Б).

Во второй параграфа рассматривается подход, когда на основе асимптотической формулы, пре дставлягогаЗ: производную явно заданной фуккцни через её параметрическое задание с полиномзальнши составлящаш, определяются граница, в которых расположены асимптотические характеристики ~ и их аналоги.

Эта границу устанавливаются в зависимости от кавдого члена уравнена (I). Поэтому, рассматривая последовательно каждый член уравнения, всякий раз происходит переопределение границ, а в итоге их уточнение. Границы устанавливаются в завЕСИьшста от параметров, входящих в задание уравнения (I), и зависят от выбранного члена уравнения. Доказанные здесь теореиы обладает алгорзтиом, что позволяет легко шгз пользоваться в практических целях. Основные результаты этого цетода составляют тзорема 1.1.2 - 1.1.5 диссертации.

Третей параграф посвящён построении параметрических решений с полиномиальными состазляэтготш уравнения (I) структурный методой. Для этого уравнение (I) рассматривается в ввде

£ А1(г)?1 [г.ю,..../^ = О, (4)

1=0

где и Р,. - полинош своих аргуыентов, в

тТ) + Т^Ш.п) < тог + fy.rn.Ti} = тр + Тр(ш,п), т> = О,Т, Г * т), Р * п. г е (О,. ...Т), р « (0,...,Т), а. = <3ее А^г), Г1(т,п) = йее Р^ггШ.юси.), и кроме того

г 'VI !Г О Л 6 г 'VI

. ,к> = с. .....т J

Основной результат составляет

Теорема 2. Ура6не>ше (4) при (б) -кожей гитъ решые (2), анетна с.осж^лтцах •нсаюрого удоблтборяхт (5), нем оно яЁля&яая решением

'./павкения

(5)

(6)

- 7 -а т»,... = О,

или решение* хотя Си одного из уравнений

Г (сгоЛ Г <4. Л

г,а>,...,Е> р - «^ГгЛ«!*:,®,...,»

*

где ст/кь корни уравнения с6= 1, Й^.ю, -некоторый

пштая, степень которого определяемся б заВисивоат огя п,т, а. ,Г,.

Указанный метод построения парамзтрзческах ргиыгаЭ апробируется на двфференцяальки уравнениях специальных видов, яра этом указываются как необходимые, так и достаточные условия наличия таких ргиегай.

3 параграфе четвёртом изучаются свойства решений (2) в случае, когда одна составляемая является полтююи, а вторая - целой трансцендентной функцией. Есла - полином степени ш , а - целая трансцендентная функция порядка р, то справедлива следующие тзоремы.

Теореыа 3. Пусжь выполнятся условия ■■

1) я0 = ... = хр = зг, х > зе^, о < р < N. ту = ;

2) я0 = ... = = я, я > п6, О < П < р, б = Ъ.+1,р ;

3) Ъ0 = ... - \ - Ъ, Ь > Ът, О ^ \ < П, т = \fi.7i ;

4) й - к >: Ьй - Щд , <5 = Л+1,р ;

к

5) Е Р, * а 1=0

?ог<?а уравнение (I) не илеал паранещпмеских решений (2), где - помаиха, а та) - целая трансцендентная фунни&я.

Теореме 4. Пусть 6ьпалшхяся условия:

I) 20 = ... = 2р = 2, г > зеп, 0 < р < У, г? = рйл ;

2; = ... = = тх, я > 0 ^ Л < р, б = Л+?,р ;

3; й0 = ... = = Ъ, Ь > Ьт, О < х < Л, т = х-ь1,Ь, ;

сгд^еетвуел б'« Ои-1,..*,р} шясй,ч';ю Ъ - ■а < Ъ6 -

х

5) на,* о.

1=0

Тогда ¡/равнение (I) может имагл парсшщтеские решения (Z), где z(t) - пешнея степени п. a w(t) - целая гараксценЗешкая фунющ порядка р, хихь такие, чао

р Г (Ь - И) - (Ъ6- ъ6) 1

__ 5 гаи ■{ —--- V •

и _ I в, - в I

Теоращ 5. Пусть бипомшхяса условия:

1) s0 = ... = хр « 2, к > хп, О < pi Я, TJ = ртМ ;

2; = ... = т^ = т, в < О s h < р, <s = h+f,p ;

з; Ъ0 = ... = \ в Ь, Ъ > ъг, О £ \ * h, Т = ;

X

4; £ ft, * 0.

l-O

.Гозба уравнение (Г) ¿етжея акеть щхи&щтеские решетя (2), где z(t) - тюлшюя ааепени и, а sift; - целая трансцендентая Функция порядка р, мш> гаагше, что

р " г fi> - в> - (Ъш.) 1

Аналогичного характера теореш дохазнь^зтся в случае, когда zftj-целая трансцендентная функция, w(t) - гидгкои. Здесь в основу положен аналог асимптотической формулы Бииан-'-Валарона для производных от (2) ( лека 1.4.3 и 1.4.4 в дкссертащк ) =

Пятый параграф носит прикладной характер н посвяцается уравнениям Р-тша. Так ддя третьего, четвертого, пятого и шестого уравнений Пен-леве получены условия наличия паранатрзческих решений с полшюшаль-ныш составлявшая на основе иатода, разработанного в §1. Для уравнений третьего порядка спзггаалькых видов, характеризующихся тем, что в их совокупности содержатся уравнения Р-типа, на основе иатода границ, разработанного г 52,подучены условия наличия решений (2) с полиномиальными состаЕл/г'гзаи.

Основной задачей второй главы является определание характеристик роста целых решений ( алгебраических п трансцендентных ) систем алгебраических дафферанцазлышх уравнений

[V П п {»""'1

к(У -

о, ; = (7)

где и Лтмо' " Ц0ЛЫО неотрицательные часлз, <4,^(2 =

а. .

= г 17 + ..., а^, * о.

3 первом параграфе этой главы находятся степени полиномиальных ре-

пзхшй системы (7) на основе метода границ, адаптированного на случай алгебраических дифференциальных систем. Основные результата сформула-рсваны в двух теоремах ( теорема 2.1.1 и 2.1.2 диссертации ). По методам доказательства а по структуре формулировки она схозш. Приведем одну из них.

Теореиа 6. Пуапь для ¡-го уравнения си;теаы (7) выполнятся условия:

= - ••• - > Хт/Г/' г е —

О 2 р < Ну в - о.р - 1, = р

*тР/ " *ТР+ХТГ О 5 лт - хг. Т = 77п. г ^ г;

ар> - > а^. - п^., г = рГПр?х, х = О^.-т = Тйг).

Тогда стюсияелът сущесявовшия полиномшыюх решений % = &г (г) справедливы сиедущие утверждения:

1) при р = о, ^ = И. решений кет.

при р = 0, \ < степени тт ясауп быть лшь шюит, что

выполняется хстя бы одно из неравенств

(8)

3) при 0 < р < х = 2Г- р степени тг яогуш быпъ лглиъ такихи, чяо выполняется хотя бы одно из неравенств

' Д^геу - ХгРР"г г & = О)

4) при 0 < р < Ку, х < Ну - р степени шг> при ¡старых выпол-

нястса иерайежт&а

- * * = р^щ-

логут <Шь мша ш&ш, ч®о выпомаашся хеш бы одно из неравенств (9).

5) при 0 < р < Яу к < Яу - р степени вц.. при шпорах вчпол-нятея неравенства

Д<»гву - < 0 =

лог-^та вътаь лишь шгаизи, чао выгодмяегаса ятя бы одно из неравенств (8) при п =

н . н. .

1

где = - ®т£/.

Бо второй параграфе второй глава, сспсльзуд асимптотическую формулу представления производной целей функции черэз саму функцию, получены условия нешчия а опрэдаяаш характеристика роста целых решений састеш (7). При зтоа в салу выбора дохода решэння поставленной задача по Еаобхо&омста бая взедвя в рзг.таияршв спввзгалышй класс о цглах реаешй

вт = п>г(г). т = 1,п, (10)

сзаотеш (7) (см. сарздаленка в дсеергацаи на с.53). Основной результат

этого параграфа гласит слад^з^зе:

Теореиэ 7. Пуавь для ¿-га урабнекш сисхглт (7) выполнятся условия: •

- • > 0 5 Р« ~ Ра-1 •

/а = Р^-Р«-,. Ро * " =

******' = ° = ^

5 Р,. 5

= в+1,я;

- и -

oj в ••• » х /

с со-1

- V- > аО - 1 *

0 Ха 5 = = '.s;

Рогйа система (?) шя авегаь uejfttô реиеиия CIOJ класса £>s, гЗе иг fsj [îo « fi,...,nJ, <7 = i,3, 1 s о s nj - црхаа гранс-

гленденяахз функции* а ^tj2' (*<5 e п.....п}> 6 = о+1,п, 1 £ s s

s ni- полиномы, Jtiesb rasas, что порядки, ord и, (z) = p, и саепгки

j су о

âeg v>( (z) = пг уОовлея&сряхя. ш См о&нояу из неравенств 6 6

ЕК*,-♦¿К*;-v.'K 5

- Ы - - К/ - v)« *=

ОСНОШЫЕ РЗЗУЛЬ!ШЫ ОПУВЛЕКтШ В йЩТйШ PÂSOTAÏ:

1. Гнездований B.D. Паргштраческкэ решил уравкеюй Пашъве.-Натеразлк рэспубдгкенсксЭ квучко-преютческоЗ конференции творческой иолодеш " Агстувяыав проблем акформатшя: иатекя-тячвеков, протраакое а йнформацзоннсв сйосаечекав " ( 3-6 кзя 1983 года).- Ыяксх; 517,1933.- С Л 34.

2. Горбузоб В.Н., VhssScôchuiS. D.8. Рост пзр^трячесюк подяноиа-вльгои ревзннй алгебрвкчеекзх даффервкцввяьнах ур*внеииЭ ке виза второго порядка я кепрааодаао уравкэнзЯ Пешгеве,- Шнек: Ред. ж. * Дв^ферекц. урдаозная 1583^- 25с ( Рухопксь лсп. я ШНЙТК 4 ноября 1988 Г., S 6347 - BS8). -

3. Гнезде,Gaciû V.D. ДлтебрЕВческке рэпйнш! дгфферегетал -пи уравнений второго порядка,- Тезяса докладов яаушо-првкпг-рекой «зкферегагяи " Научно - теттсксз творчество иогтодезз - sas-

- 12 -

вый фактор коммунистического восшташя в профессиональной подготовки высококвалифицированных' спевдаластов ".(12 - 14 декабря 1988 г.).- Гродно: ГрГУ, 1988,- С. 64 - 66.

4. Горбузоб В.Е.. 1иездо6ский D.D. Об алгебраических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений.- Тезисы докладов третьей северо - кавказской региональной конференции по функционально - дифференциальный уравнениям и их прзлоавкияи.-Нахачкала: ДГУ, 1991.- С.49.

5. Гнездовсюлй D.D. Параметрические ратания алгебраических дифференциальны* уравнение.- 6 Конференция математиков Беларуси. (29 сентября - 2 октября 1992 г.).- Гродно: ГрГУ, 1992,- С.22.

6. Гнездобсыий D.D. По поводу параметрических решений алгебраических дифференциальных уравнений второго порядка.- Минск: Ред. ж. " Дифференц. уравнения 1992.- 23с ( Рукопись даа. в ВИНИТИ 27.10.92, № 3087 - В92 ). ч '

7. Горбузоб В.Н., Гнезаобский D.D. Целые трансцендентные решения алгебраических дифференциальных систем.- Ыинск: Ред. в. " Дифференц. уравнения 1992.- 13с. ( Рукопись деп. в ВИНИТИ 27.I0.a2, * 3077 - В92 ).

8. Горбузоб В.Н., Гневдовский D.D. Пврамвтричесхвв решения дифференциальных уравнений.- Гродно: Изд - во ГрГУ, 1993.- 107 с.

9. Горбузоб В.Ы., Гнездований D.D. Целые трансцендентные решения , алгебраических дифференциальных систем // Двфференц. уравнения.- 1993.- Т. 29, В 6.- С. 1064 - 1067.

10.Горбузоб В.Н., ГмезОовскиа D.D. Полиномиальные решения систем алгебраических дифференциальных уравнений // Вестнак БГУ.-1994, KZ.

Н.Гнездавский 0.0. Параметрические решения алгебраических дифференциальны х уравнений// Б сб. "Математические исследования". Вып. 2. - Гродно: Изд -во Гроднеского госуниверситета, 1994. -С. 38 - 55.

Подписано в почать 12.04.1994 г. Формат 60 64/16. Буиага таз. 3 Печать офсетная. Tapas 100 экз. Заказ 2.0 . Отпечатано на ротапринте Гродненского государственного университета им.Я.Купала. 230023, г.Гродао, ул.Оззвко.ЗЯ