Учет эффектов реального газа в статистическом моделировании неравновесных разреженных течений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Бондарь Евгений Александрович

УЧЕТ ЭФФЕКТОВ РЕАЛЬНОГО ГАЗА В СТАТИСТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ РАЗРЕЖЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ

01 02 05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ173123

Новосибирск - 2007

003173123

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной механики им С А Христиановича СО РАН

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор М С Иванов

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН А К Ребров

кандидат физико-математических наук, доцент В Ю Великодный

Ведущая организация - Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

Защита состоится 13 ноября 2007 г в _у_7____часов на заседании диссертационного совета Д 003 035 02 в Институте теоретической и прикладной механики им С А Христиановича СО РАН по адресу 630090, г Новосибирск-90 ул Институтская 4/1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной механики им С А Христиановича СО РАН

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный гербовой печатью учреждения просим направлять по адресу 630090, г Новосибирск-90 ул Инстит\тская, 4/1, ИТПМ им С А Христиановича СО РАН, ученому секретарю диссертационного совета Д 003 035 02

Автореферат разослан

^2. Я 2007г

"Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор технических наук

■и 5 л

И М Засыпкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Исследование разреженных неравновесных течений имеет непосредственное отношение к разработке новых аэрокосмических и микроэлектронных технологий Поскольку экспериментальное моделирование таких течений затруднительно как с технической, так и с экономической точки зрения (особенно в случае высокоэнтальпийных течений), то практически единственным средством для получения достоверных данных являются численные методы динамики разреженного газа (ДРГ)

Метод прямого статистического моделирования (ПСМ) в настоящее время фактически является основным инструментом для исследования сложных многомерных течений разреженного газа Метод ПСМ традиционно рассматривается как метод компьютерного моделирования 105 — 107 частиц, представляющих газовое течение Процесс непрерывного движения и столкновений молекул на временном шаге расщепляется на два последовательных этапа - свободномолекулярный перенос и столкновительную релаксацию Метод ПСМ может рассматриваться как стохастический численный метод решения кинетического уравнения Больцмана, основного уравнения ДРГ Метод обычно используется в переходном режиме течения, когда сплошносредное описание неприменимо, то есть при числах Кнудсена Кп= Х/Ь > Ю-1, где Л - длина сободного пробега молекул в газе, а Ь -характерный размер течения

Все существующие на данный момент схемы реализации метода ПСМ близки по эффективности Применимость метода ПСМ для моделирования течений простого газа неоднократно подтверждалась сравнениями с экспериментальными данными, результатами численных исследований другими методами ДРГ и аналитическими результатами

В настоящий момент основное направление в развитии метода ПСМ связано с необходимостью учета эффектов реального газа при решении задач высотной аэротермодинамики В приложении к методу ПСМ в понятие "эффекты реального газа'1 принято включать разнообразные аспекты, связанные с неупругими столкновениями молекул

-обмен энергией между поступательными, вращательными и колебательными степенями свободы молекул в столкновениях,

-химические реакции в газовой фазе, а именно реакции диссоциации и обмена (в подавляющем большинстве задач динамики разреженного реакции рекомбинации несущественны и поэтому не рассматриваются в настоящей работе),

- взаимодействие заряженных частиц с нейтральными и между собой Перечисленные выше физико-химические процессы оказывают существенное влияние на высокоскоростные разреженные течения Поэтому для иссле-

дования таких течений методом ПСМ выбор моделей для описания эффектов реального газа является принципиальным моментом

В континуальной газовой динамике эффекты реального газа описываются на уровне макроскопических констант скоростей процессов Данные макроскопические модели не могут быть непосредственно использованы в методе ПСМ, где для моделирования необходимо определить сечение (или вероятность) элементарного акта как функцию состояний сталкивающихся молекул и определить закон перераспределения энергии в процессе столкновения Данные по сечениям элементарных актов, полученные из эксперимента, квантовомеханических или квазиклассических расчетов, существуют только для ограниченного числа процессов По этой причине в методе ПСМ традиционно используются модели, специально разработанные для этого метода

Целью работы является создание моделей метода ПСМ для описания эффектов реального газа в задачах высотной аэротермодинамики В работе проводится

- анализ и отбор существующих моделей метода ПСМ,

- разработка ряда новых моделей и создание эффективных численных алгоритмов для них,

- анализ применимости моделей на основе экспериментальных данных по неравновесным разреженным течениям

- численное исследование задач, в которых существенны эффекты реального газа, а именно задачи о структуре релаксационной зоны в смеси СОг/Иг и задачи об истечении ионизованной струи из стационарного плазменного двигателя

На защиту выносятся следующие результаты, составляющие научную новизну работы

1 модель для описания неравновесной высокотемпературной диссоциации в методе ПСМ, основанная на решении обратной задачи для двухтемператур-ной константы скорости реакции,

2 модификация модели Ларсена-Боргнакке для описания колебательно-колебательных (\/ГУ) переходов в методе ПСМ, результаты численного исследования релаксационных процессов в азоте, колебательно возбужденном лазерным излучением,

3 результаты исследования гиперзвукового обтекания клина в околоконтинуальном режиме, валидация моделей эффектов реального газа для метода ПСМ сравнением с экспериментальными данными по величине отхода головной ударной волны (УВ),

4 результаты исследовапия на кинетическом уровне структуры релаксационной зоны за головной У В в химически-реагирующей смеси СОг/Мг,

5 результаты исследования истечения ионизованных струй российских электрореактивных двигателей управления СПД-100 и "Атон" в космическое пространство и в вакуумную камеру, результаты совместного статистического моделирования струи и остаточного газа в вакуумной камере

Практическая ценность Модели и созданные для них численные алгоритмы включены в программную систему SMILE для расчетов методом ПСМ, разработанную в ИТПМ СО РАН Данный вычислительный инструментарий используется для расчетов струй двигателей управления и аэротермодинамики высотного полета КА в нескольких аэрокосмических организациях

Достоверность результатов диссертационной работы подтверждается внутренними методическими исследованиями, согласованием результатов с экспериментальными данными и численными результатами, полученными с использованием других методов

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на ряде всероссийских и международных конференций, в том числе на Международных симпозиумах по динамике разреженного газа (2000, 2002, 2004, 2006 гг), Международных симпозиумах по ударным волнам (2004 и 2007 гг), Международных конференциях по методам аэрофизических исследований (2002 и 2007 гг), Всероссийском семинаре "Кинетическая теория и динамика разреженных газов" (2002 г), различных международных конференциях р конгрессах американского института аэронавтики и астронавтики AIAA (2000, 2001, 2002, 2004, 2007 гг), Всероссийских конференциях молодых ученых "Теория, эксперимент и новые технологии" (2001, 2002 и 2003 гг), Научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" (2006 г), 51-м международном семинаре по современным проблемам и возможностям вакуумной газовой динамики (2007 г), Международной конференции "XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды" (2007 г), а также на семинарах ИТПМ СО РАН под руководством академика В М Фомина, ИТ СО РАН под руководством академика А К Реброва и ИМ СО РАН под руководством академика С К Годунова

Публикации. По теме диссертации опубликована 21 печатная работа в реферируемых журналах и трудах международных конференций

Личный вклад автора При выполнении работ по теме диссертации диссертант принимал активное участие в постановке задач, обсуждении результатов, подготовке печатных работ и докладов на конференциях Основные результаты диссертации получены лично автором либо при непосредственном участии автора Им реализованы численные алгоритмы всех представленных в работе моделей и проведены расчеты методом ПСМ всех рас-

смотренных в работе задач Результаты совместных работ представлены в диссертации с согласия соавторов

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы из 170 наименований Полный объем работы - 190 стр , включая 95 рисунков

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность и практическая значимость рассматриваемой в диссертации тематики, представлено современное состояние проблемы, сформулированы цели и задачи диссертации и перечислены основные положения, выносимые на защиту

Первая глава носит частично методический, частично авторский характер В ней подробно описаны те существующие модели для описания внутренних степеней свободы и химических реакций в методе ПСМ, которые обладают рядом качеств, необходимых для широкого использования в реальных аэротермодинамических задачах достаточная точность в описании физических процессов, простота в реализации, численная эффективность и применимость к молекулам различных типов Особое внимание уделяется двум моментам моделированию колебательно-колебательного энергообмена и моделированию высокотемпературных неравновесных химических реакций

В §1.1 введены используемые в дальнейшем понятия равновесия, детального баланса, внутренних степеней свободы частиц, энергетических уровней и функций распределения вращательной и колебательной энергии

В §1.2 описываются стандартные модели метода ПСМ для описания вращательных и колебательных степеней своды молекул и их энергообмена с поступательной модой (ТЛ- и ТУ-обмены) простая и универсальная модель Ларсена-Боргнакке (ЛБ) и ее модификации Следующие предположения используются в модели ЛБ

- энергетический спектр вращательных и колебательных мод непрерывен,

- поступательно-вращательный (ТГ1) и поступательно-колебательный (ТУ) обмены в столкновении происходят с вероятностями \(2Г и 1/%,,

- перераспределение энергии по степеням свободы молекул в столкновениях с ТГ1- и ТУ-обменом производится в соответствие с локальными больц-мановскими функциями распределения,

В методе ПСМ используются как постоянные (обычно /?г=5 и Zv=50 ) так и зависящие от температуры релаксационные числа (обычно используются зависимости Паркера для У>г и Милликэна-Уайта с высокотемпературной поправкой Парка для

Непрерывное описание распределений колебательной энергии, используемое в модели ЛБ, является недостаточно физически адекватным Модель

ЛБ была обобщена (Бойд, 1993) на случай дискретных распределений внутренней энергии Модификация модели ЛБ для дискретных распределений, представленная Гимелынейном и др (2002), позволяет добиться точного совпадения с решениями макроскопических релаксационных уравнений для вращательной и колебательной температур Данная модификация модели ЛБ также может быть использована для описания многоатомных молекул, причем релаксация каждой из колебательных мод рассматривается независимо со своим релаксационным числом

Недостающим звеном при описании энергообмена между различными модами в существующих моделях метода ПСМ является моделирование обмена между колебательными степенями свободы молекул (УУ-обмена), процесса, играющего важную роль в неравновесных разреженных течениях Анализ работ по данной тематике показывает, что в настоящий момент не существует простой, численно эффективной и универсальной модели для описания УУ-обмена в методе ПСМ

В §1 3 проведено обобщение модели Л Б на описание резонансного УУ-обмена при столкновении двух одинаковых молекул Л2(п)+Л 2 (т) —> А2(п+ к) + А2{т — к) с дискретным описанием внутренней энергии в приближении гармонического осциллятора, где пит- колебательные состояния сталкивающихся молекул

Для обобщения модели ЛБ необходимо определить закон перераспределения энергии в столкновении и определить релаксационное число (или вероятность УУ-обмена Руу{Т) = Используя основное предположение модели ЛБ о равновесности послестолкновительных распределений, получено распределение в соответствие с которым моделируется значения колебательной энергии молекул в процессе столкновения Вероятности колебательных переходов при использовании такой модели выражаются соотношениями

С = п + ]п + 1Руу(Т) = {п + т+\)2у^г) (1)

Релаксационное число Zyv{T) определяется на основе выражения для средней вероятности полученного по трехмерной аналитической ква-

зиклассической модели Адамовича (2001)

В §1.4 проведено тестирование предложенной модели УУ-обмена на основе статистического моделирования колебательной релаксации в адиабатическом резервуаре с различными начальными условиями Как и ожидалось, учет УУ-обмена не влияет на эволюцию поступательной и колебательной температур, но существенно влияет на заселенности колебательных уровней в процессе релаксации

Рис. 1: Заселенность колебательных уровней 0, 1 и 2. Экспериментальные данные (1), погрешность эксперимента (2), однородней расчет (3) и одномерный расчет (4).

В §1.5 с целью анализа применимости разработанной модели выполнено сравнение результатов статистического моделирования релаксации азота, колебательные степени свободы которого возбуждены лазерным излучением (накачка первого колебательного уровня до заселенности около 40 %) при комнатной поступательной температуре и давлениях 630 и 300 мм. рт. ст. Для оценки влияния диффузии колебательно возбужденных молекул в данном исследовании расчеты проводились в двух постановках:

- однородная адиабатическая релаксация (без учета диффузии);

- одномерная постановка (с учетом диффузии в радиальном направлении).

На рис. 1 представлены временные зависимости заселенности колебатель-

I ных уровней для давления 300 мм рт. ст. Результаты статистического моделирования в одномерной постановке хорошо совпадают с экспериментальными данными для разных колебательных уровней, что подтверждает применимость модели для описания VV-обмена.

§1.6 посвящен описанию наиболее широко используемой модели для опи-' сания химических реакций в методе ПСМ - модели полной столкновительной энергии (Total Collision Energy - ТСЕ), предложенной Бердом (1979). В данной модели вероятность химической реакции как функции полной энергии сталкивающихся частиц (сумма относительной поступательной, вращательной и колебательной энергий) определяется на основе известной аррениусов-ской однотемпературной зависимости константы скорости реакции Kq(T) = АТВ ехр (—Еа/кТ).

Для модели ТСЕ в условиях термодинамического равновесия скорость реакции совпадет с аррениусовской. При этом модель применима и в неравновесных условиях. Модель ТСЕ изначально была разработана для непрерывного описания вращательной и колебательной энергии и была модифицирована для дискретных распределений в работе Гимельшейна и др. (2004).

Основным недостатком модели ТСЕ является то, что вероятность хими-

ческой реакции зависит только от полной энергии столкновения, вне зависимости от того, как эта энергия разделена по модам. В частности, это приводит к тому, что модель ТСЕ не может корректно описывать процессы

колебательно-диссоциационного взаимодействия (КДВ)

В §1 7 дан краткий обзор исследований по КДВ на макроскопическом уровне Известно, что за фронтом сильной УВ (при температуре выше 50007000 К) скорость химических реакций не описывается однотемпературной аррениусовской константой Для таких условий константа скорости реакции зависит не только от поступательной, но и от колебательной температуры К = К(Т,Т„) и может на порядки величины отличаться от аррениусовской В §1.8 проводится построение модели химических реакций метода ПСМ с учетом КДВ с использованием двухтемпературной зависимости константы скорости реакции в качестве исходной информации (по аналогии с использованием однотемпературной константы для построения модели ТСЕ) Рассмотрим диссоциацию двухатомной молекулы А1А2 в результате столкновения с атомом Аз А \ А2 + /1 ч—> Л\ 4- А2 + А:\ Используется континуальное описание вращательной энергии и дискретное описание колебательной энергии молекул в соответствии с моделью ангармонического осциллятора Предполагается, что поступательные и вращательные моды в газе находятся в равновесии друг с другом при температуре Т, при этом функции распределения этих мод имеют равновесный вид Функция распределения заселен-ностей колебательных уровней также имеет больцмановский вид с температурой Т„, не равной Т в общем случае

Предположим, что уровневые сечения реакции диссоциации ап молекулы /I] А2 в колебательном состоянии п являются функцией суммы Е вращательной энергии молекулы Ег и поступательной энергии относительного движения партнеров по столкновению Е1 ап = сгп(Е) = о~п(Ет + Е^) Двух-температурная константа К(Т, Т„) может быть представлена в виде

дг со сю

г г

К(Т,%) = £ Мп,Ту) / ап{Е\

оо *

2 Ег

тг

МЕг,Т)МЕиТ)(1Ег(1Е1 (2)

Здесь тг - приведенная масса сталкивающихся молекул, а / - больцманов-ские функции распределения поступательной, вращательной и колебательной мод При известной двухтемпературной константе можно рассматривать соотношение (2) как интегральное уравнение, решением которого является набор уровневых сечений сгп(Е)

В настоящем исследовании используется двухтемпературная константа модели Кузнецова

К(Т,%) - Ко(Т) ^ ^ ехр(—6^/Т)

-е:

1

(3)

Данную константу можно записать в виде произведения К(Т, Т„) = д{Т)д„(Ту)

5000 7500 10000 12500 15000 17500 20000

Рис 2 Сечения диссоциации для различных уровней (слева), А2 Константа скорости диссоциации азота (справа), м\:~', расчеты ПСМ (1) и уравнение 3 (2)

Представляя решение в специальном виде, ап(Е) = 0(п)о-'п(Е), можно разбить задачу определения множества сечений на два независимых этапа с решением более простых уравнений на каждом из них

На Этапе 1 для каждого колебательного уровня п находятся функции о'п[Е) как решения уравнений

оо ,

/

Г? N

р \ 6-/2+1

ехр

~ктг С{ту

(4)

где - число вращательных степеней свободы и С(Т) - известная функция На Этапе 2 находится функция В(п) как решение уравнения

Nm

£ P(n)fv(n,Tv)--=9v(Tv)

n=О

(5)

Задача решения таких уравнений относится к классу некорректных обратных задач Для отыскания приближенного, но устойчивого решения этих уравнений в настоящей работе применяется метод регуляризации Тихонова В §1.9 детально рассмотрены различные аспекты численного решения этих уравнений Уровневые сечения в настоящей работе ищутся в виде неубывающих функций, стремящихся к нулю при приближении к порогу диссоциации Подробно описывается приложение данного подхода для отыскания сечений для реакции диссоциации N2 + N —> N + N + N Сечения ап{Е) для различных уровней п представлены на рис 2 Данные сечения были имплементированы в систему SMILE для расчетов методом ПСМ На рис 2 представлены результаты расчетов скорости реакций методом ПСМ для различных соотношениях Т и Tv в условиях равновесных распределений всех мод по энергиям Скорость реакции для таких условий очень хорошо соответствует двухтемпературной константе

В §1.10 дан детальный сравнительный анализ новой модели с учетом КДВ с используемыми в настоящий момент моделями метода ПСМ на моле-

кулярном (сечения столкновений как функции энергий различных мод сталкивающихся частиц), статистическом (колебательные распределения диссоциирующих молекул) и макроскопическом уровне (константа скорости реакций)

Показано, что новая модель обладает рядом преимуществ перед существующими

- "по умолчанию" предсказывает двухтемпературную константу в случае равновесных распределений,

- обеспечивает более реалистичный вид зависимости сечения от энергии

- не содержит подгоночных параметров

Также представлены результаты тестовых расчетов адиабатической коле-бательно-диссоциационной релаксации азота, демонстрирующие, что новая модель в неравновесных условиях при низкой колебательной температуре (что соответствует условиям за фронтом УВ) предсказывает существенно более низкую скорость реакции по сравнению с моделью ТСЕ

Вторая глава посвящена анализу применимости представленных в первой главе моделей для описания эффектов реального газа в методе ПСМ путем сравнения с доступными экспериментальными данными Существенной проблемой, связанной с разработкой моделей метода ПСМ, является отсутствие экспериментальных данных по высокоэнтальпийным разреженным течениям Большинство представленных в литературе экспериментальных данных относятся к течениям в континуальном режиме при числах Кнудсена Кп~ 10"' и ниже что на данный момент выходит за пределы возможностей метода ПСМ Одним из редких примеров данных, пригодных для валидации моделей для описания эффектов реального газа в методе ПСМ, являются экспериментальные результаты, представленные в работе Хорнунга и Смита (1979) Основное внимание в этих экспериментах уделялось влиянию релаксации внутренних степеней свободы и диссоциации на величину отхода головной УВ при обтекании клина, помещенного в однородный гиперзвуковой поток при числах Кнудсена Кп ~ 5х 10~4 Моделирование течений при таких числах Кнудсена находится на границе возможностей метода ПСМ и является сложной вычислительной задачей В настоящей работе для решения этой задачи применялись многопроцессорные ЭВМ Большая часть вычислений была проведена на вычислительных кластерах Межведомственного Суперкомпьютерного Центра РАН (до 200 процессоров использовалось в одном параллельном расчете) В дополнение к методу ПСМ было проведено численное моделирование данных течений на основе уравнений Навье-Стокса (НС)

В §2 1 описывается постановка задачи Все расчеты в настоящем исследовании проводились в двумерной постановке Для оценки влияния различ-

ных физико-химических процессов на течение рассмотрены три случая течение аргона (одноатомный газ), течение нереагирующего азота с учетом вращательных и колебательных степеней свободы и течение реагирующего азота с учетом вращательных и колебательных степеней свободы Расчеты проведены при числах Маха и Кнудсена в набегающем потоке М=15,64, Кп=4 7 х 10~4 для аргона и М=7,7, Кп=б, 52 х Ю-4 для азота Число Кнудсена вычислено по длине клина ги = 0,051 м Для течения азота мольная доля атомарного азота в набегающем потоке составляла 0,194 при температуре набегающего потока 1100 К

Следующие реакции диссоциации учитывались в ПСМ- и НС-расчетах реагирующего течения азота

N2+ N2 —>N + N + N3 + N —> N + N + N

Проведенные оценки показали, что обратные реакции рекомбинации не являются существенными при таких давлениях, и поэтому рекомбинация не учитывалась

В §2 2 описываются детали применяемых численных методов и моделей В расчетах методом ПСМ модель диффузного отражения с полной аккомодацией поступательной и внутренней энергий использовалась на поверхности клина Упругие столкновения моделировались по модели переменных мягких сфер УББ Для описания эффектов реального газа использовались различные модели, описанные в главе 1 В частности, для течения азота энергообмен между молекулярными модами осуществлялся по модели ЛБ с непрерывным и дискретным представлением внутренней энергии Для описания химических реакций применялись модель ТСЕ (для дискретного и для непрерывного случаев) и новая модель с учетом КДВ (для дискретного случая) Численное решение нестационарных уравнений Навье-Стокса было выполнено с использованием коммерческой программы СРБ-РАЭТКАЛМ

В §2 3 подробно исследуется численная сходимость для настоящей задачи как для метода ПСМ, так и для уравнений НС В соответствии со стандартными критериями, выработанными для метода ПСМ, число модельных частиц необходимых для корректного расчета течения при рассматриваемых числах Кнудсена, близко к предельно возможному даже при использовании суперкомпьютеров (более 70 миллионов) Поэтому было проведено исследование чувствительности результатов ПСМ расчетов к числу модельных частиц и показана сходимость результатов по этому параметру

В §2 4 представлены результаты моделирования течения аргона на основе метода ПСМ и уравнений НС На рис 3 сравниваются поля числа Маха полученные в расчетах ПСМ и НС для угла клина 46° Кинетический и континуальный подходы предсказывают одинаковые картины течения, в

частности положение головной УВ идентично в обоих случаях. Поля других макропараметров (плотности, температуры, давления, скорости и т.д.) для обоих методов также совпадают с высокой точностью. Отметим, что для других углов клина наблюдается также очень хорошее совпадение результатов моделирования двумя численными подходами.

В §2.5 исследуется течение нереагирующе-го азота с учетом вращательных и колебательных степеней свободы. Здесь и далее представлены только результаты расчетов ПСМ с дискретной внутренней энергией. Использование непрерывного описания не приводит к существенным отличиям в распределениях макропараметров. Профили поступательной температуры вдоль линии торможения для угла клина 62.5° представлены на рис. 4. Профили температуры для НС- и ПСМ-расчетов близки почти на всей линии торможения. Отличия по величине отхода лежат в пределах 5%. Схожий результат наблюдается для других углов клина.

Рис. 3: Число Маха для течения В §2-6 представлены результаты расчетов аргона (слева): ПСМ - заливка, для реагирующего азота. На рис. 4 изображено - линии. ны распределения поступательной температуры для расчетов НС и ПСМ с моделью ТСЕ. Для реагирующего течения также наблюдаются различия между двумя подходами. В частности, в расчете НС наблюдается более быстрое падение температуры и за фронтом УВ и меньшая величина отхода У В (около 10 %), чем в расчете ПСМ.

§2.7 посвящен исследованию влияния колебательно-диссоциационного взаимодействия на течение. На рис. 4 представлена температура вдоль линии торможения для реагирующего случая с использованием новой модели с учетом КДВ. Использование модели с учетом КДВ ведет к увеличению температуры за волной и величины отхода УВ по сравнению с моделью ТСЕ, что является следствием уменьшения скорости диссоциации за волной.

В §2.8 проводится сравнение результатов расчетов НС и ПСМ е экспериментальными данными по величине отхода У В на клине (см. рис. 4). Для нереагирующего газа с колебательными степенями свободы вычисления предсказывают практически линейную зависимость величины отхода от угла клина, при этом численные результаты с использованием различных подходов близки.

Учет химических реакций в численном моделировании приводит к бо-

х, т

15 12

н«9

Ь 6

9) .02

-0.01 I Щ

Рис. 4: Поступательная температура вдоль линии торможения (слева) и зависимость величины отхода от угла клина (справа): экспериментальные данные (1), ПСМ для нере-агирующего азота (2), ПСМ для реагирующего азота с моделью ТСЕ (3), ПСМ для реагирующего азота с моделью, учитывающей КДВ (4), НС для реагирующего (5) и для нереагирующего (6) азота.

лее медленному и нелинейному росту величины отхода с увеличением угла клина, что находится в хорошем качественном соответствии с экспериментальными данными и теоретическими исследованиями Хорнунга и Смита. Отметим, что для всех углов клина расчеты методом ПСМ с использованием модели ТСЕ дают величину отхода меньше, чем в эксперименте. НС-расчеты предсказывают еще меньшую величину отхода во всем диапазоне углов клина. Наилучшее предсказание экспериментальной зависимости даст новая модель с учетом КДВ.

В третьей главе созданный комплекс моделей применяется для численного исследования внутренней структуры УВ и релаксационной зоны за ней в смеси С02/^ для условий, соответствующих маневрам аэроторможения КА в атмосфере Марса. Термическая неравновесность и химические реакции за фронтом головной УВ существенно влияют на течение около КА и его термоаэродинамические характеристики. В связи с высокой степенью неравновесности течения особый интерес представляют исследования структуры фронта волны и релаксационной зоны на кинетическом уровне с использованием метода ПСМ.

В §3.1 дана постановка задачи, представлены вычислительные параметры и перечислены использованные модели. Исследована структура ударной волны и релаксационной зоны при обтекании двумерного цилиндра нереагирую-тцим и реагирующим потоками для чисел Кнудсена Кп~ 10~2 ~10"3). В расчетах использовалось два значения скорости набегающего потока 5400 м/с и 3500 м/с, температура 137,4 К и мольные доли СО2 и N2 0,954 и 0,046. Температура поверхности предполагалась равной 1000 К. Дополнительно было проведено моделирование структуры УВ и релаксационной зоны для нереа-гирующего газа в одномерной постановке. Набор из 54 реакций диссоциации и обмена для 8 компонентов (О, К, С, N2, N0, СО и СО2) использовался при

Рис 5 Параметры течения вдоль линии торможения для Кп=0,01 (слева) и для Кп=0,001 (справа)

моделировании химических процессов в СОг/Иг-смеси

В §3 2 исследуется структура релаксационной зоны для нереагирующего течения Профили поступательной, вращательной и колебательной температур, плотности и давления для скорости 5400 м/с и разных чисел Кнудсена представлены на рис 5 Поступательная температура имеет максимум внутри фронта УВ, ниже по потоку вращательная температура также достигает максимума, и далее вниз по потоку температуры всех мод релаксируют к одному и тому же значению Для меньшего числа Кнудсена в распределении температур имеет место характерное "плато'- за фронтом УВ Для случая большего числа Кнудсена температурного "плато" не наблюдается, и фронт У В переходит непосредственно в пограничный слой Отметим, что структура фронта УВ и релаксационной зоны для числа Кнудсена 0,001 в точности совпадает с такой структурой, полученной в расчетах одномерной ударной волны, если координата X обезразмерена на длину свободного пробега в набегающем потоке Таким образом, внутренняя структура головной УВ около тела в нереагирующем газе с релаксацией внутренних степеней свободы не зависит от числа Кнудсена в безразмерных координатах Исключение составляют только случаи достаточно больших чисел Кнудсена, когда "плато" не наблюдается

В §3.3 приводится исследование течения в релаксационной зоне с учетом химических реакций Поля поступательной температуры для реагирующего и нереагирующего течений для У=5400 м/с и Кп—0,001 представлены на рис б Химические реакции существенно снижают значение температуры за фронтом волны (более чем на 40 %] На рис 7 представлены мольные доли пяти основных компонентов для реагирующего случая Состав смеси меняется существенно в результате химических реакций Например, около точки торможения в потоке присутствует 42, 5% СО, около 41% О, и только 5 5% С02

Для иллюстрации неравновесности течения во фронте волны и релаксаци-

Рис. 6: Поступательная температура. Без учета реакций.

(слева) и с учетом (справа) химических г

Рис. 7: Мольная доля основных компонентов вдоль линии торможения (слева). Параллельная, поступательная и вращательная температуры и температуры различных колебательных мод ССЬ: изгибной (1), симметричной (2) и антисимметричной (3) (справа).

онной зоне на рис. 7 представлены профили параллельной, поступательной, вращательной и колебательной температур С02. Отметим, что поступательно-вращательная релаксация внутри фронта УВ протекает на фоне поступательной неравновесности СДХ не равна 71). Профили параллельной, поступательной и вращательной температур сходятся в точке X — —0,165 м. В этой точке возбуждение колебательных энергетических мод уже существенно ~ 0,571 = 0,571). Релаксация колебательной энергии продолжается далее вниз по потоку и заканчивается только внутри пограничного слоя.

Неравновесность течения внутри фронта УВ и за ним может быть продемонстрирована более детально на уровне функций распределения. Функции распределения компоненты скорости молекул £/х, заселенности вращательных уровней, а также заселенности уровней изгибной колебательной моды С02 в набегающем потоке (точка X = —0,3 м) и внутри фронта волны (точка X = ■ 0,177 м, максимум поступательной температуры) показаны на

о е-о 5" 0 4-

X = -О 3 m

X = -О 3 m

О ЗГ О

О 10 0<

1

/ 1

/ \

J\. к.

-30-20-10 О 10 20 30 40 5

Рис 8 Распределения компоненты скорости (/„, заселенности вращательных и колебательных (изгибная мода) уровней СОг ПСМ (1), распределение Максвелла (2) и распределение Болъцмана (3)

рис 8 В набегающем потоке функции распределения всех мод совпадают с равновесными Внутри волны функции распределения всех мод существенно отличаются от равновесных Отметим, что для данных условий зона, в которой функции распределения всех мод являются неравновесными, имеет ширину в несколько десятков длин свободного пробега

§3.4 содержит результаты по оценке влияния модели упругих столкновений на структуру течения Основным недостатком модели переменных твердых сфер VHS, использованной в настоящей главе, является то, что, точно предсказывая коэффициент вязкости, она приводит к неверному значению коэффициента диффузии Модель VSS в отличие от модели VHS правильно описывает и вязкость и диффузию Модель VSS не использовалась в настоящих расчетах, потому что ее параметры известны не для всех столкновений в рассматриваемой восьмикомпонентной смеси В данном параграфе проведена лишь оценка влияния модели упругих столкновений на результаты расчетов и показано, что использование модели VHS приводит к небольшой ошибке (в пределах 5% по величине отхода УВ)

Четвертая глава посвящена моделированию струй стационарных плазменных двигателей, использующихся в качестве двигателей управления на спутниках Принципиальным моментом здесь является оценка параметров струи в области возвратного течения, что необходимо для предсказания взаимодействия струи с поверхностью спутника Результаты измерения параметров струи в наземных вакуумных камерах не могут непосредственно использоваться для таких оценок в связи с тем, что присутствующий в камере остаточный газ сильно влияет на характеристики струи, особенно в обла-

сти возвратного течения Численное моделирование является инструментом, позволяющим осуществить оценки параметров струи В данной главе проводится численное моделирование истечения струи двигателей СПД-100 и "Атон"

- в вакуумную камеру (проводится сравнение с экспериментальными данными),

- в вакуум (орбитальные условия) с целью оценки параметров струи в области возвратного течения

В §4 1 представлена физическая модель струи стационарного плазменного двигателя Струя состоит из следующих компонентов

- быстрых ионов Хе+ и Хе2+, вылетающих из ускорительного канала двигателя со средней энергией направленного движения около 200 и 400 эВ соответственно, температурой около 4 эВ и числовой плотностью порядка 1017 м ,

- нейтральных атомов Хе с температурой около 1000 К, и числовой плотностью порядка 1018 м-3, свободно истекающих из ускорительного канала,

- медленных ионов Хе^ЕХ и Хе'сЬХ. которые возникают в результате резонансной перезарядки ионов на нейтральных атомах и создают возвратное течение,

- электронов (температура 1 — 10 эВ), испускаемых внешним катодом

В настоящей работе движение тяжелых частиц (ионов и нейтральных атомов) описываются системой кинетических уравнений

-Д Г, 1еЁ а/г

ОТ ОХ ГПХе ОУ где /г - функции распределения (¿=0 для Хе, 1-1 для Хе+ и I = 2 для Хе2+), а столкновительные интегралы 81) описывают ион-атомные и межатомные упругие столкновения и резонансную перезарядку ионов на нейтральных атомах Потенциал ф электрического поля Е = — Vф находится из решения уравнения Пуассона

Аф = 4тге(пе — п+ — 2п2+ - п, (7)

где п+ - плотность Хе', - плотность Хе2+, п¡х - плотность космической плазмы (для случая вакуумной камеры равна нулю), а плотность электронов определяется соотношением Больцмана пе(х) = пгее^ ехр(ф(х)/Те), где Те -постоянное эмпирическое значение электронной температуры

Дополнительно применялась модель, схожая с предложенной Бойдом (1999), в которой используется эмпирический неоднородный профиль электронной температуры Те(х), а электрическое поле находится из соотношения

Ê{x) = -Te{x)V(Inne(г)) - n~l(x)VTe(x) (8)

На открытых границах расчетной области для потенциала ставилось условие Неймана, а на поверхности двигателя использовалось условие плавающего потенциала (потенциал находился из условия равенства электронного и ионного тока на элемент поверхности)

В §4 2 описаны вычислительные методы, с помощью которых решалась задача Рассматривалась осесимметричная постановка Движение ионов и вычисление самосогласованного электрического поля реализовано с использованием метода частиц в ячейках PIC, а движение нейтральных атомов и столкновения (межатомные и ион-атомные) реализованы в методе ПСМ (такая комбинация методов обычно называется PIC-DSMC) Дополнительно рассматривался альтернативный метод моделирования ион-атомных столкновений (Monte Carlo Collisions/MCC), существенно превосходящий метод ПСМ по численной эффективности При таком подходе влияние ионов на нейтральный компонент не учитывается, что позволяет ускорить вычисления в несколько раз при некоторой потере в точности

Особенно подробно в настоящей работе было исследовано взаимодействие струи с остаточным газом В рамках PIC-DSMC метода возможны два способа описания этого взаимодействия

1) рассматривать остаточный газ как однородный компонент с постоянными параметрами (временные частицы рождаются только при выполнении столкновительной процедуры),

2) моделировать остаточный газ в виде частиц, как и нейтральные атомы струи (так называемое полное PIC-DSMC моделирование)

Первый способ не учитывает влияние ион-атомных столкновений на остаточный газ, что может' привести к ошибке в результатах моделирования Второй способ является более сложным в реализации и численно более дорогим В начале моделирования считается, что остаточный газ однородно заполняет расчетную область На открытых границах области задаются потоки, соответствующие начальным значениям плотности и температуры Плотность остаточного газа в вакуумных камерах выше средней плотности всех остальных компонентов струи (1018 —1019 м-3), и поэтому для моделирования остаточного газа используются частицы со значительно большим весом чем для остальных компонентов В столкновительной процедуре используется схема для столкновений частиц, имеющих различные веса

В §4.3 даны параметры течения для струй двигателей СПД-100 и "Атон" при истечении в камеру и в космическое пространство и представлены численные параметры расчетов

Рис. 9: Двигатель "Атон". Плотность плазмы, м-3, истечение в вакуумную камеру (слева). Полный ионный ток на различных расстояниях от выхода двигателя (справа): без учета (1) и с учетом (2) влияния струи на остаточный газ, экспериментальные данные (3).

§4.4 содержит результаты моделирования истечения струи двигателя в камеру. На рис. 9 показаны изолинии плотности плазмы для двигателя "Атон" Отметим, что плазма распространяется не только в осевом, но в радиальном и даже обратном направлениях. Это связано с тем, что из-за высокой плотности остаточного газа (около 1019 м-3) существенная часть ионов струи рассеивается на нейтральных атомах (резонансная перезарядка), в результате чего образуются медленные ионы, которые движутся под действием электрического поля в направлениях, отличных от осевого. Этот же процесс приводит к тому, что струя "выметает" остаточный газ из окрестности выхода ускорительного канала. Это существенно сказывается на частоте ион-нейтральных столкновений и может быть учтено только в полном РЮ-ОБМС моделировании. На рис. 9 показан полный ионный ток как функция расстояния от выхода двигателя. Результаты моделирования без учета влияния струи на остаточный газ дают значения ионного тока более чем на 10 % ниже, чем в эксперименте. Результаты полного РЮ-ВЭМС моделирования находятся в хорошем соответствии с экспериментальными данными.

На рис. 10 показано сравнение численных результатов с экспериментальными данными по измерению плотности ионного тока, как функции угла от оси симметрии, на различных расстояниях от выхода двигателя СПД-100. Расчетные значения хорошо совпадают с экспериментальными данными во всем диапазоне углов на расстоянии 0,5 м от выхода. На расстоянии 1 м от выхода совпадение несколько хуже. Согласие результатов расчетов с экспериментальными данными в области возвратного течения (при углах более 90°) хорошее.

В §4.5 представлены результаты моделирования истечения струи двигателя в космическое пространство. На рис. 11 показано поле плотности плазмы для двигателя "Атон". Заметно существенное отличие структуры струи от случая истечения в вакуумную камеру: это проявляется в более сложной форме изолиний (сбоку от струи наблюдаются "перьевые" структуры),

-50 0 50

-150 -100 -50 0 50 ДЫБЬЕ, ОУС,

Рис. 10: Плотность ионного тока, мА/см2, на расстоянии 0,5 м (слева) и 1 м (справа) от выхода двигателя СПД-100: данные измерений (1) и расчеты (2). 1.2

160

>120 ф

ш 80

40

ГгТ V 2

- 3

-------4

ПОПЕ „ООО!) о о Р п С а а □ □ I

X, т<

5У, пРг'

Рис. 11: Двигатель "Атон". Плотность плазмы (слева), м 3, и энергия ионов (справа), эВ.

а также в снижении плотности на несколько порядков величины в области возвратного течения по сравнению с ядром струи. Эти отличия объясняется, прежде всего, снижением плотности нейтрального компонента в связи с отсутствием остаточного газа. В итоге в струе возникает на порядки величины меньше медленных ионов, создающих течение за пределами ядра струи. Интегральный поток массы в области возвратного течения составляет доли процента общего массового расхода струи.

На рис. 11 показаны радиальные профили энергии однократно и двукратно заряженных ионов струи в области возвратного течения при X — —0,01 м для двигателя "Атон". Результаты представлены для моделей с постоянной и переменной электронной температурой. Для модели с постоянной электронной температурой средняя энергия Хе^ЕХ и Хес%х приблизительно равна 45 и 90 эВ, а при использовании модели с переменной электронной температурой 70 и 140 эВ. Подобные оценки могут быть использованы для определения интенсивности распыления поверхности аппарата возвратным течением ионов.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

1. Создана модель химических реакций с учетом колебательно-диссоциаци-онного взаимодействия (КДВ) для метода ПСМ на основе решения обратной задачи для двухтемпературной константы скоростей реакций. Модель воспроизводит двухтемпературную константу скорости реакции при близости

распределений всех молекулярных мод к больцмановским и не содержит параметров, определяемых из экспериментальных данных Проведено обобщение модели Ларсена-Боргнакке на моделирование колебательно-колебательного (VV) обмена и получено хорошее совпадение с экспериментальными данными по временной эволюции заселенности колебательных уровней

2 Проанализирована применимость моделей для описания эффектов реального газа в методе ПСМ сравнением с экспериментальными данными по величине отхода ударной волны на клине, помещенном в гиперзвуковой поток при числе Кнудсена Кп ~ 0,0005 Результаты расчетов находятся в хорошем качественном соответствии с выводами теоретических и экспериментальных исследований влияния эффектов реального газа на вид зависимости величины отхода головной ударной волны от угла клина Использование модели химических реакций с учетом КДВ позволяет добиться лучшего совпадения с экспериментальными данными, чем при использовании стандартных моделей метода ПСМ

3 Составлен и реализован в системе SMILE, разработанной в ИТПМ СО РАН, набор моделей для описания эффектов реального газа в методе ПСМ Набор включает существующие модели и новые мбдели, предложенные в настоящей диссертации

4 Исследована структура релаксационной зоны за фронтом ударной волны для условий, соответствующих входу КА в атмосферу Марса Показана существенная термическая неравновесность течения в релаксационной зоне при числах Кнудсена 0,01 > Кп > 0,001 на уровне макропараметров и функций распределения

5 Проведено численное исследование струй стационарных плазменных двигателей СПД-100 и "Атон" с учетом остаточного газа в вакуумной камере и для орбитальных условий Впервые проведено совместное PIC-DSMC моделирование струи и остаточного газа, что позволило добиться лучшего совпадения с экспериментальными данными Для орбитальных условий получены параметры струи в зоне возвратного течения

Список публикаций по теме диссертации

1 Бондарь Б А , Гимелыпейн С Ф , Маркелов Г Н , Иванов М С Прямое статистическое моделирование структуры ударной волны в диссоциирующем газе // Теплофизика и аэромеханика 2006 Т 13, №2 С 257-274

2 Бондарь Е А , ПГвейгерт В А , Маркелов Г Н , Иванов М С Моделирование струи стационарного плазменного двигателя методом частиц // Теплофизика и аэромеханика 2001 Т 8, № 3 С 401-421

3 Bondar Ye А , Markelov G N , Gimelshem S F , Ivanov M S Numerical Modeling of Near-Continuum Flow over a Wedge with Real Gas Effects //J of Thermophysics and Heat IVansfer 2006 Vol 20, No 4 P 699-709

4 Stem W , Alexeenko A Hrbud I , and Bondar Y Performance Modeling of a RF Coaxial Plasma Thruster AIAA Paper 2007-5292, 2007

3 Bondar Ye A and Ivanov M S DSMC Dissociation Model Based on Two-Temperature Chemical Rate Constant AIAA Paper 2007-0614, 2007

6 Chen R , Agarwal R, Cheremism F , Bondar Ye A Comparative Studv of N&vier-Stokes, Burnett, DSMC, and Boltzmann Solutions for Hvpersomc Flow Past 2-D Bodies AIAA Paper 2007-0205, 2007

7 Bondar Ye A and Ivanov M S , New model for statistical simulation of high-temperature non-equilibnum dissociation / / Proc of25thInt Symp on RGD Novosibirsk 2007 P 379-384

8 Ivanov M S , Kashkovsky A V Gimelshem S F , Markelov G N , Alexeenko A A , Bondar Ye A , Zhukova G A , Nikiforov S B , Vashenkov P V SMILE Svstem for 2D/3D DSMC computations // Proc of 2öth Int Symp on RGD Novosibirsk, 2007 P 539-544

9 Ivanov M S , Kashkovsky A V Gimelshem S F , Markelov G N , Alekseenko 4. A , Bondar Ye A , Zhukova G A , Nikiforov S B , Vaschenkov P V Computation package SMILE for 2D/3D DSMC modeling//Int Conf on the Methods of Aerophvsical Research Proc Pt 5 Novosibirsk, 2007 P 62-67

10 Bondar Ye A , Markelov G N , Gimelshem S F , Ivanov M S DSMC Study of Shock-Detachment Process m Hypersonic Chemically Reacting Flow // Rarefied Gas Dynamics 24th Int Symp AIP, New York , 2005 P 523-528

11 Bondar Ye , Gimelshem N , Gimelshem S , Ivanov M , Wvsong I On the Accuracy of DSMC Modeling of Rarefied Flows with Real Gas Effects // Rarefied Gas Dynamics 24th Int Symp AIP New York , 2005 P 607-613

12 Kashkovsky A . Bondar Ye , Zhukova G , Ivanov M , Gimelshem S Object-Oriented Software Design of Real Gas Effects for the DSMC Method / / Rarefied Gas Dynamics 24th Int Symp AIP New York , 2005 P 583-588

13 Bondar Ye A , Gimelshem S F , Markelov G N , Ivanov M S DSMC Study of the Internal Shock-Wave Structure m a Dissociating Gas AIAA Paper 2004-2588, 2004

14 Bondar Ye A , Markelov G N , Gimelshem S F , Ivanov M S DSMC modeling of near-conunuum flow over a wedge with real gas effects AIAA Paper 2004-1183, 2004

15 Bondar Ye \ , Gimelshem S F , Markelov G N Ivanov M S Study of internal structure of shock wave m C02 / N2 mixture // Proc of the 24th Int Symp on Shock Waves Beijing, 2004 Paper No 1382 6 p (CD-ROM)

16 Ivanov M S , Bondar Ye A , Markelov G N Gimelshem S F and Taran J -P Study of the shock wave structure about a body entering the Martian atmosphere /' Rarefied Gas Dvnaraics 23rd Int Sjmp AIP, New York , 2003 P 481-488

17 Bondar Ye A, Schweigert VA, and Ivanov MS Modeling of the Hall-effect thruster plume by combined PIC-MCC/DSMC method // Rarefied Gas Dynamics 23rd Int Symp MP, New York , 2003 P 549-556

18 Bondar Ye A , Schweigert V A , Ivanov M S Numerical assessnent of slow ion back flow m stationary plasma thruster plume //' Int Conf on the Methods of Aerophj sical Research Proc Pt 3 Novosibirsk, 2002 P 25-30

19 Bondar Ye A , Schweigert V A , Markelov G N , Ivanov M S Assessment of CEX ion backflow of SPT-lOO thruster // Rarefied Gas Dynamics 22 Int Symp, AIP, New York 2001 P 278-285

20 Bondar Ye A , Markelov G N , Schweigert V A , Ivanov M S Modeling of the Plume of an ATON-Hall Thruster AIAA Paper 2001-3357, 2001

21 Ivanov M S , Markelov G N , Bondar Ye A Numerical simulation of thruster plumes in cryogenic vacuum facility AIAA Paper 2000-2502, 2000

Ответственный за выпуск Е.А. Бондарь Подписано в печать 10.10.2007 Формат бумаги 60 х 84/16, Усл. печ. д. 1.0, Уч.-изд. л. 1.0, Тираж 100 экз.. Заказ Л» 23 Отпечатано на ризографе ЗАО "ДОКСЕРВИС" 630090, Новосибирск, Институтская, 4/1

Введение

1 Модели для учета эффектов реального газа в методе ПСМ

1.1 Внутренние степени свободы молекул.

1.1.1 Равновесие и детальный баланс.

1.1.2 Степени свободы частиц.

1.1.3 Энергетические уровни колебательной моды.

1.1.4 Функции распределения энергии.

1.2 Модель Ларсена-Боргнакке.

1.3 Моделирование VV-обмена.

1.3.1 Модель с одноквантовыми переходами.

1.3.2 Обобщение модели Ларсена-Боргнакке.

1.4 Тестирование моделей VV-обмена

1.4.1 Параметры численного метода.

1.4.2 Адиабатическая релаксация: постановка задачи

1.4.3 Результаты расчетов.

1.5 Анализ применимости моделей VV-обмена.

1.5.1 Параметры течения

1.5.2 Давление 670 мм рт. ст.

1.5.3 Давление 300 мм рт. ст.

1.6 Моделирование химических реакций.

1.6.1 Константа скорости реакции.

1.6.2 Модель полной столкновительной энергии ТСЕ

1.7 Химические реакции при высокой температуре и колебатель-но-диссоциационное взаимодействие.

1.8 Модель химических реакций метода ПСМ, основанная на двух-температурной константе.

1.9 Сечения диссоциации N2.

1.9.1 Отыскание функций сг'п(Е).

1.9.2 Отыскание функции /3(п).

1.9.3 Сечения диссоциации (тп(Е).

1.10 Анализ и примеры применения модели.

1.10.1 Равновесный резервуар

1.10.2 Сечения диссоциации

1.10.3 Распределения f{n\D).

1.10.4 Адиабатический резервуар

2 Анализ применимости моделей реального газа для метода

2.1 Постановка задачи.

2.2 Методы расчета.

2.2.1 Метод ПСМ

2.2.2 Уравнения Навье-Стокса.

2.3 Исследование численной сходимости.

2.3.1 Оценка точности результатов расчетов методом ПСМ

2.3.2 Оценка точности результатов численного решения уравнений Навье-Стокса.

2.4 Течение аргона.

2.5 Течение нереагирующего азота.

2.6 Течение азота с учетом химических реакций.

2.7 Влияние колебательно-диссоциационного взаимодействия

2.8 Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными

3 Структура релаксационной зоны в гиперзвуковом течении смеси C02/N

3.1 Постановка задачи и численные параметры.

3.2 Нереагирующее течение.

3.3 Химически реагирующее течение.

3.4 Оценка влияния модели упругого взаимодействия молекул

4 Моделирование струй стационарных плазменных двигателей

4.1 Физическая модель струи стационарного плазменного двигателя

4.2 Численные методы.

4.2.1 Моделирование движения частиц.

4.2.2 Моделирование столкновений.

4.2.3 Описание остаточного газа.

4.3 Геометрия двигателя, расчетная область и параметры течения

4.4 Моделирование струи, истекающей в камеру.

4.4.1 Двигатель СПД-100.

4.4.2 Двигатель "Атон".

4.5 Моделирование струи, истекающей в космическое пространство

4.5.1 Двигатель СПД-100.

4.5.2 Двигатель "Атон".

Исследование физических процессов и явлений в разреженных неравновесных течениях имеет непосредственное отношение к разработке новых аэрокосмических и микроэлектронных технологий. Такие течения традиционно изучаются в рамках динамики разреженного газа [1], которая охватывает большое число фундаментальных задач, таких как динамика молекулярных столкновений и эпергообмен между различными молекулярными модами в столкновениях, взаимодействие газа с поверхностью, конденсация и испарение, течения разреженных нейтральных и ионизованных струй и многие другие. Все эти задачи тесно связаны с практическими приложениями, которые могут быть условно разделены на две группы. Первая группа включает в себя вопросы, связанные с гиперзвуковой аэротермодинамикой космических аппаратов (КА) па больших высотах, а также вопросы взаимодействия струй двигателей управления с элементами конструкции спутников и орбитальных станций (в основном внешние высокоскоростные течения). Вторая группа представлена проблемами микроэлектроники, производства материалов, течениями в микроустройствах и т.п. (в основном внутренние медленные течения). Настоящая работа связана, прежде всего, с первой группой задач.

Поскольку экспериментальное моделирование разреженных неравновесных течений затруднительно как с технической, так и с экономической точки зрения (особенно в случае высокоэнтальпийных течений), то практически единственным средством для получения достоверных данных являются численные методы динамики разреженного газа. Существует целый ряд методов для решения газодинамических задач, и выбор того или иного метода зависит в существенной мере от степени разреженности исследуемого течения. Разреженность течения традиционно характеризуется числом Кпудсепа Кп, которое определяется как отношение средней длины свободного пробега молекул Л к характерной длине L. При числах Кнудсена Кп < 0,01 (в континуальном режиме) обычно пренебрегают внутренней структурой газа и применяют подходы, основанные на решении уравнений Навье-Стокса. Уравнения Навье-Стокса выводятся методом Чепмена-Эпскога из нелинейного кинетического уравнения Больцмана - основного уравнения, описывающего течения разреженного газа - в предположении малого отклонения от равновесия функции распределения скоростей. В связи с этим считается, что уравнения Навье-Стокса со стандартными для них граничными условиями прилипания пе применимы для расчета течений газа при Кп > 0,01. Можно расширить область применения уравнений Навье-Стокса до чисел Кнудсена Кп ~ 0,1, учитывая начальные эффекты разреженности использованием граничных условий скольжеиия и температурного скачка. При числах Кнудсена Кп > 0,1 (в переходном режиме) уравнения Навье-Стокса заведомо пе применимы, поскольку распределение скоростей частиц в таких разреженных течениях становится существенно неравновесным. Поэтому для численного решения задач динамики разреженного газа для чисел Кп > 0,1 необходимо рассматривать непосредственно уравнение Больцмана. Отметим, что приведенные здесь границы применимости подходов по числу Кпудсепа являются весьма условными, так как существенно зависят от типа рассматриваемого течения.

Известно [2], что аналитическое решение уравнения Больцмана возможно лишь для некоторых простейших случаев. Что же касается более сложных задач, то для их решения в основном применяются метод прямого численного интегрирования [3, 4] (ПЧИ) уравнения Больцмана и метод прямого статистического моделирования (ПСМ) [5, С].

Метод ПЧИ включает в себя два основных этапа - вычисление интеграла столкновений и интегрирование дифференциального уравнения. В работе [7] метод вычисления интеграла столкновений был существенно улучшен на основе использования специальных квадратурных формул. Основным педостатками этого подхода являются:

• существенная зависимость его трудоемкости от размерности задачи и, как следствие, весьма ограниченное использование для решения трехмерных задач;

• высокая сложность обобщения метода на течения с внутренними степенями свободы и химическими реакциями; в настоящий момент известны только примеры моделирования течений одноатомных и двухатомных газов без химических реакций [8].

Метод ПСМ в настоящее время фактически является основным инструментом для исследования сложных многомерных течений разреженного газа. Это обусловлено рядом его очевидных достоинств:

• сравнительной простотой перехода от одномерных к двух- и трехмерным задачам;

• возможностью эффективного применения метода на современных компьютерах с параллельной и векторной архитектурой;

• возможностью использования различных моделей взаимодействия частиц газа, в том числе и моделей внутренних степеней свободы молекул и химических реакций, без значительного усложнения вычислительного алгоритма.

Метод ПСМ традиционно рассматривается [5, 6, 9, 10, 11] как метод компьютерного моделирования ~ 105 — 107 частиц, представляющих реальный газ. Каждая из этих частиц (модельных молекул) в свою очередь представляет очень большое число реальных молекул. Процесс непрерывного движения и столкновений молекул на временном шаге At расщепляется на два последовательных этапа - свободномолекулярпый перенос и столкновительную релаксацию. В процессе реализации метода ПСМ расчетная область разбивается на ячейки, размеры которых должны быть меньше локальной длины свободного пробега молекул. Величина шага At выбирается таким образом, чтобы молекулы за один шаг не пересекали более одной ячейки. В течение временного шага независимо в каждой ячейке производятся столкновения молекул без учета их взаимного расположения. Затем на шаге At молекулы во всех ячейках сдвигаются на расстояние, пропорциональное их скоростям. Если в процессе свободномолекулярного движения молекула сталкивается с поверхностью обтекаемого тела, то моделируется ее отражение в соответствии с заданным законом взаимодействия газа с поверхностью. Пространственное распределение газодинамических параметров, таких как скорость, плотность, температура и т.п., а также поверхностные характеристики, такие как тепловой поток, давление и т.п. оцениваются осреднением молекулярных признаков по времени или по ансамблю.

В настоящее время существует два различных подхода к построению и обоснованию численных схем метода ПСМ. Первый подход [5, 6] основан на физических представлениях о течении разреженного газа и предположениях лежащих в основе феноменологического вывода уравнения Больцма-на. В настоящей работе используются численные схемы мажорантной частоты [9, 10, И], полученные с использованием другого, математического подхода. Эти схемы выведены из основного кинетического уравнения с учетом специфики N-частичной модели газа и обобщения известного метода максимального сечения [12] с дополнительной рандомизацией.

Все существующие на данный момент схемы реализации метода ПСМ близки по эффективности. Применимость метода ПСМ для моделирования течений простого газа неоднократно подтверждалась сравнениями с экспериментальными данными, результатами численных исследований другими методами ДРГ и аналитическими результатами. В настоящий момент основное направление в развитии метода ПСМ связано с необходимостью учета эффектов реального газа при решении задач высотной аэротермодинамики.

Отметим, что при уменьшении числа Кнудсена очень быстро возрастают требуемые вычислительные ресурсы для расчетов методом ПСМ, и поэтому моделирование течений при числах Кнудсена Кп~ 10~3 и ниже (в околоконтинуальном и континуальном режиме) долгое время находилось за пределами применения данного метода. Благодаря бурному росту производительности компьютеров и развитию технологий параллельных вычислений, в последние два десятилетия область применения метода ПСМ расширилась на двух- и трехмерные около-континуальные и даже континуальные течения. Таким образом, существует область параметров, в которой применимы одновременно уравнения Навье-Стокса и метод ПСМ. Отметим, что при моделировании около-континуальных и континуальных высокоскоростных течений корректное моделирование эффектов реального газа особо важно.

В континуальной газовой динамике под эффектами реального газа обычно понимается (см., например, [13]) влияние па картину течения возбуждения колебательных степеней свободы молекул, электронного возбуждения, ионизации и химических реакций. В приложении к методу ПСМ, который представляет собой микроскопический подход к описанию течений газа, в понятие "эффекты реального газа" удобно вкладывать более широкий смысл, подразумевая под этими эффектами влияние модели межмолекулярных столкновений в целом. Таким образом, эффекты реального газа для метода ПСМ касаются следующих аспектов, связанных со столкновениями молекул:

• потенциал межмолекулярпого взаимодействия;

• обмен энергией между поступательными, вращательными и колебательными модами молекул в столкновениях;

• химические реакции в газовой фазе, а именно реакции диссоциации и обмена (в подавляющем большинстве задач динамики разреженного газа реакции рекомбинации не существенны и поэтому не рассматриваются в настоящей работе).

• возбуждение электронных состояний атомов и молекул, ионизация и взаимодействие заряженных частиц с нейтральными и между собой.

В большинстве задач, попадающих в область применения метода ПСМ, процессы электронного возбуждения и ионизации в межмолекулярпых столкновепиях не оказывают существенного влияния на структуру течения, что связано, прежде всего, с высоким энергетическим порогом данных процессов. Однако в некоторых задачах динамики разреженного газа определяющую роль играют заряженные частицы, поступающие из внешних по отношению к исследуемой области источников. К таким задачам относится моделирование разреженных ионизованных струй электрореактивных двигателей управления, к которым особенно велик интерес в последнее время. В такой ситуации необходимо корректно моделировать как столкновения между заряженными и нейтральными частицами, так и дальнодействующее взаимодействие заряженных частиц друг с другом, которое может быть описано как их взаимодействие с самосогласованным электрическим полем. В настоящей работе мы будем включать в понятие "эффектов реального газа" и такие процессы, даже если они и не являются в строгом смысле столкновительными.

Перечисленные выше физико-химические процессы оказывают существенное влияние на высокоскоростные разреженные течения. В частности, образование высокотемпературной области за головной ударной волной и связанные с ней химические реакции и возбуждение колебательных степеней свободы, а также поступательно-вращательная неравновесность, существенно влияют на аэротермодинамику космических аппаратов на высотах полета ниже 90 км. Поэтому для исследования таких течений методом ПСМ выбор моделей для описания эффектов реального газа является принципиальным моментом.

Большое число моделей для описания эффектов реального газа было предложено в литературе за последние десятилетия (см. работу [18] и далее по списку литературы). На основе многолетнего опыта были выработаны следующие требования к моделям, используемым в методе ПСМ:

• модель должна с достаточной точностью описывать процесс (как минимум необходимо соответствие с известной температурной зависимостью экспериментальной или теоретической, макроскопической скорости процесса);

• модель пе должна быть излишне сложной для реализации в расчетной программе;

• желательно, чтобы модель была применима к многоатомным молекулам (или хотя бы допускала возможность обобщения на многоатомные молекулы);

• модель должна быть достаточно численно эффективной для применения к около-континуальным и континуальным течениям, при моделировании которых необходимо выполнять миллионы столкновений модель-пых молекул за шаг по времени на каждом процессоре.

В представленном ниже обзоре основное внимание будет уделяться моделям, которые удовлетворяют или хотя бы частично удовлетворяют этим требованиям.

В связи со сложностью строгого расчета межмолекулярного потенциала в газовой динамике традиционно используются модельные потенциалы (обратно-степенной потенциал, потенциал Леннарда-Джонса и т.п.). Использование таких потенциалов в методе ПСМ ие удовлетворяет указанным выше требованиям простоты имплементации и численной эффективности, и поэтому модельные потенциалы практически не применяются для многомерных задач и течений при низких числах Кнудсена. Обзоры и примеры расчетов с использованием таких потенциалов представлены в работах [11, 14, 15, 16, 17].

С начала 80-х годов и вплоть до настоящего времени наиболее часто используемой столкновительной моделью в методе ПСМ является модель переменных твердых сфер (Variable Hard Sphere / VHS) [18], разработанная специально для этого метода. В этой модели используется закон рассеяния твердых сфер, а диаметры сталкивающихся частиц обратно пропорциональны относительной поступательной энергии пары в степени, которая определяется из равенства вязкого сечения вязкому сечению для степенного потенциала. Отметим, что, если выполняется условие равенства вязких сечений этих моделей, то их диффузионные сечения различны (в наихудшем случае отличие составляет 50%). В связи с этим в [14] предложена модель переменных мягких сфер (Variable Soft Sphere / VSS). В пей диаметр, как и для VHS, является обратно-степенной функцией относительной поступательной энергии сталкивающейся пары, а закон рассеяния модифицирован таким образом, чтобы вязкое и диффузионное сечения для VSS модели и степенного потенциала совпадали.

При низких температурах модели VHS и VSS могут оказаться недостаточно точными, так как при их выводе не учитываются силы притяжения молекул. В модели обобщенных твердых сфер (Generalized Hard Sphere / GHS), разработанной в [19], при выводе выражения для сечения учитывается притяжение молекул, а при рассеянии используется закон твердых сфер.

Использование в расчетах методом ПСМ моделей VHS и VSS фактически является стандартом в настоящее время. Можно утверждать, что эти модели удовлетворяют указанным выше требованиям для большинства задач динамики разреженного газа. Отдельный интерес представляет вопрос об использовании диаметров, зависящих от колебательного состояния молекулы, рассмотренный в [20, 21, 22]. Из последних достижений следует отметить работу [23], где построена высокотемпературная модель упругих столкновений, использующая закон рассеяния модели VSS и выражение для сечения модели GHS. Все параметры модели определяются из температурных зависимостей столкновительиых интегралов, полученных на основе кваптовомеханических расчетов или экспериментальных данных.

Для описания энергетического обмена между поступательными и вращательными модами (RT-обмена) сталкивающихся молекул в методе ПСМ традиционно используется модель Ларсена-Боргнакке (ЛБ) [24]. В этой модели энергетический спектр вращательной моды полагается непрерывным, и некоторая доля ф = 1/Zr от полного числа столкновений производится с обменом энергией между поступательными и вращательными степенями свободы. При этом послестолкновительиые энергии моделируются в соответствии с локальными равновесными функциями распределения.

Отметим несколько работ, в которых были предложены различные улучшения модели ЛБ. Вплоть до 90-х годов в методе ПСМ использовались постоянные значения Zr (обычно Zr = 5). В то же время известно, что скорость вращательной релаксации зависит от температуры газа. В связи с этим в работах [25]-[27] были применены энергетически-зависимые формы Zr, которые были получены на основе температурно-зависимого выражения работы [28]. В дальнейшем было предложено использовать температурно-зависимые Zr непосредственно в ПСМ расчетах. В работе [29] была установлена связь между Zr, используемым в методе ПСМ и релаксационным числом, используемым в уравнении Джинса при макроскопическом описании вращательной релаксации. Использование алгоритма столкновений с "запрещением многократных релаксационных событий" (в одном столкновении может меняться вращательная энергия только одной из сталкивающихся молекул), предложенного в [30], позволило добиться точного соответствия с решением уравнения Джинса для случая однородной изотермической релаксации.

Модель ЛБ для описания вращательных степеней свободы нужно использовать с некоторой осторожностью при расчете низкотемпературных течений газа, поскольку для таких течений существенными могут оказаться квантовые эффекты вращательной моды. Поэтому более адекватными моделями для решеиия таких задач являются модели, учитывающие дискретный характер вращательной моды [31]-[34]. Модификация модели ЛБ для дискретного описания вращательной энергии была предложена в [31] для двухатомных молекул и обобщена па различные многоатомные молекулы в работе [35].

Вращательно-вращательный эпергообмен (RR-обмен) не рассматривался в ПСМ вычислениях. RR-обмен может сказаться только на форме вращательного распределения в процессе TR-релаксации. В большинстве задач динамики разреженного газа TR-обмен быстро уравновешивает функцию распределения вращательной энергии по сравнению с характерным временем других процессов (колебательная релаксация и химические реакции), и поэтому дополнительное включение RR-обмеиа в процесс моделирования не должно заметно повлиять на результат. По этой причине аккуратное моделировапие TR-обмена является достаточным в подавляющем большинстве случаев [36].

Отметим также работу [37], где метод ПСМ был использован совместно с методом классических траекторий и были рассмотрены двухатомные молекулы в приближении твердого ротатора.

Таким образом, в настоящий момент стандартом является описание в методе ПСМ вращательной энергии молекул на основе непрерывной или дискретной модели ЛБ с использованием столкповительного алгоритма [30] и выражений для температурно-зависимых релаксационных чисел, модифицированных в соответствие с [29].

Для описания обмена энергией между поступательными и колебательными степенями свободы в большинстве случаев в методе ПСМ, как и в случае молекулярного вращения, используется модель ЛБ. Доля неупругих столкновений, приводящих к изменению колебательной энергии молекул, определяется как ф = l/Zy■ При этом используются как постоянные значения Zy (обычно полагается Zy — 50), так и энергетически-зависимые выражения [25, 26]. В связи с тем, что использование этих энергетически-зависимых выражений вело к нарушению принципа равнораспределения энергии в равновесии, обычно в расчетах методом ПСМ используются непосредственно температурпо-зависимые Zy па основе выражения, основанного на экспериментальных данных [38] с высокотемпературной поправкой [39]. В работе [40] были предложены энергетически-зависимые Zy для модели ЛБ, позволяющие добиться равнораспределения энергии в равновесии. В работе [41] исследована связь температурпо-зависимого Zy с его континуальным аналогом и предложены выражения для Zy, позволяющие добиться соответствия с решением релаксационного уравнения для колебательной энергии в случае однородной колебательной релаксации. Также в работе [41] был предложен столкновительпый алгоритм с "запрещением многократных релаксационных событий". Данный алгоритм дает возможность описывать сложные релаксационные процессы с участием двух или более внутренних мод в соответствии с решением релаксационных уравнений. Важным достоинством модели ЛБ является применимость к сложным многоатомным молекулам. Например, в работе [42] она успешно применялась для описания колебательной релаксации тетрафторэтилена (C2F4).

В модели JIB делается предположение о непрерывности колебательного энергетического спектра. Для вращательной моды подобное предположение является приемлемым и вполне допустимым при достаточно высоких температурах, однако для колебаний оно представляется весьма сомнительным. Это объясняется тем, что колебательный спектр реальных молекул является дискретным и характеризуется большими промежутками между соседними энергетическими уровнями. Кроме указанных физических проблем, также существует ряд численных проблем, связанных с использованием непрерывного представления колебательной энергии в методе ПСМ [43].

В связи с этим в рамках метода ПСМ предложен ряд моделей, учитывающих дискретную природу колебательного спектра.

В работе [44] колебательная энергия молекул трактуется в рамках модели простого гармонического осциллятора (simple harmonic oscillator / SHO), и вероятность поступательно-колебательных энергетических обменов определяется с помощью обратного преобразования Лапласа. В [45] для получения энергетически зависимых вероятностей поступательно - колебательного обмена используется столкповительпая теория; молекулы рассматриваются как SHO, и учитываются только переходы между соседними колебательными уровнями. В [46, 47] подобный подход применен к молекулам, рассматриваемым как ангармонические осцилляторы. В работах [48, 40] используются выражения из работы [49] для сечений поступательно-колебательных пеупру-гих процессов в предположении SHO. В работе [50] в рамках метода ПСМ для молекул азота используются матрицы поступательно-колебательных переходов, полученные для SHO в [39] на основе SSH подхода [51]. Эта модель отличается высокой трудоемкостью. В работах [21, 22] применяются сечения VT-переходов, полученных для ангармонического осциллятора с использованием квазиклассической теории для потенциала Морзе [55]. Модель [56] основана на информационной теории [57]. В работе [58] были имплемептированы в расчетную программу ПСМ вероятности VT-переходов трехмерной квазиклассической модели [59]. Модификация модели ЛБ для дискретных вращательных и колебательных энергий была представлена в [52] для SHO, а в работах [53], [54] и [35] использовалась для ангармонического осциллятора. Заметим здесь, что все эти дискретные модели ограничиваются рассмотрением двухатомных молекул, за исключением модели [56], которая была обобщена для моделирования трехатомных молекул в работе [60] и дискретной модели ЛБ, обобщенной в работах [35, 61] на произвольные многоатомные молекулы.

Известно несколько работ, в которых проводилось моделирование колебательно-колебательных (VV) переходов для двухатомных молекул в рамках метода ПСМ. Отметим модель [62], где проводилось моделирование как VT, так и VV-обмеиа, причем рассматривались многоквантовые VT-переходы и VV-переходы на основе теоретических моделей [63, 64]. Отметим здесь также работу [65], где рассмотрены VT-переходы и VV-переходы для SHO, работу [66], где рассматривался около-резонансный VV-обмен для ангармонических осцилляторов (там же отмечалось, что модель не удовлетворяет принципу детального баланса) и простую статистическую модель [67] с од-иоквантовыми VT-переходами и VV-переходами. Модель с многоквантовыми VT-переходами и VV-переходами для ангармонического осциллятора, основанная на квазиклассической теории, была предложена в работах [21, 22]. Модель подробно анализировалась в [58], где было показано сильное влияние VV-обмена на функцию распределения колебательной энергии в гиперзвуковых около-континуальных течениях. Попытки валидации ПСМ моделей VV-обмена сравнением с экспериментальными данными до настоящего времени не предпринимались.

Таким образом, исходя из вышеуказанных требований, в настоящий момент для моделирования VT-обмепа предпочтительно использовать модель ЛБ с использованием температурпо-зависимых релаксационных чисел, модифицированных в соответствии с [41] и столкповительпого алгоритма [41]. Отметим также, что не было проведено попыток модификации модели ЛБ для моделирования VV-обмена.

Метод ПСМ применяется для расчета химически реагирующих разреженных течений уже более трех десятилетий. При построении модели химических реакций для метода ПСМ необходимо определить сечение реакции как функцию энергий различных мод сталкивающейся пары. В этом заключается принципиальное отличие от континуального подхода, где требуется существенно менее детальная информация о скоростях процессов как функциях температуры или температур различных мод. Проблема построения таких моделей также осложняется практически полным отсутствием экспериментальных данных по сечениям химических реакций.

Первые примитивные модели (см., например, [68, 69]) не имели прямой связи ни с экспериментальными, пи с аналитическими данными о химических превращениях. В начале 80-х годов была предложена модель полной столкновителыюй энергии (Total Collision Energy / ТСЕ) сначала для обратно-степенного потенциала [70], а потом и для модели VHS [18], основанная на столкновителыюй теории для химических реакций. В этой модели делается предположение о том, что сечения химических реакций являются функцией энергии Ес, которая равна сумме относительной поступательной и внутренней энергии сталкивающейся пары (или фиксированной доли внутренней энергии). Модель использует непрерывное представление внутренней энергии, а зависимость вероятности реакции от Ес находится таким образом, чтоб в равновесии зависимость скорости реакции от температуры совпадала с экспериментальной в аррениусовской форме. При этом аррениусовские константы используются в качестве входных параметров модели. Данная модель применима как для двухатомных, так и для многоатомных молекул.

Как было указано выше, применение дискретного представления внутренней энергии в методе ПСМ является предпочтительным. Однако при обобщении моделей химических реакций с непрерывной внутренней энергией на дискретный случай возникает проблема с воспроизведением равновесной скорости реакции. В частности, при использовании модели ТСЕ с дискретной внутренней энергией скорость реакции в равновесии может в несколько раз отличаться от исходной аррепиусовской. Данная проблема была решена в [43], где была предложена процедура пересчета входных параметров модели, после применения которой модель ТСЕ воспроизводит аррепиусовскую зависимость при использовании дискретной внутренней энергии.

Основным недостатком модели ТСЕ является независимость сечений реакций от энергетического вклада различных мод. Так, с точки зрения протекания реакций, не важно, имеют ли молекулы большую поступательную, колебательную или вращательную энергию. Важно лишь, чтобы энергия Ес была велика. В то же время известно [71, 72], что, например, для реакции диссоциации наибольший вклад в сечение реакции дает колебательная энергия диссоциирующей молекулы. Таким образом, в этой модели не учитывается процесс колебателыю-диссоциационного взаимодействия (КДВ).

В связи с этим в 90-х годах начали появляться новые, более сложные модели для метода ПСМ, учитывающие более точно особенности химических превращений в газе. Часть из них, как и модель ТСЕ, основаны на столкновительной теории для химических реакций, остальные строятся на других предположениях. Подробные обзоры и результаты тестирования моделей представлены в работах [73]-[76].

Среди моделей, основанных на столкновительной теории, отметим модель VFD (Vibrationaly Favored Dissociation), представленную в [77]), которая, как и модель ТСЕ, воспроизводит в равновесии аррепиусовскую зависимость. В данной модели присутствует свободный параметр, регулирующий степень КДВ, который должен определяться на основе экспериментальных данных (в [78] отмечались сложности, связанные с его определением). В работе [79] было предложено определять данный параметр из условия, что максимальное значение соответствующей вероятности реакции равно 1. В работе [80] предложено обобщение модели VFD с дополнительным учетом вращателыю-диссоциациоппого взаимодействия.

Модель [81] основана на информационной теории [57]. Данный подход затем был развит в работах [82, 61]. В работе [83] на основе аппарата квантовой механики были получены выражения для сечений реакции диссоциации в двухкомпопептпом газе в предположении, что реакции проходят через образование квазисвязанных состояний. Модель [84] строится па базе общефизических предположений. Реакция диссоциации происходит в случае превышения некоторой фиксированной долей внутренней энергии молекулы энергетического барьера реакции. Модель [85] напоминает модель [84] - реакция происходит при условии превышения колебательной энергией молекулы энергетического барьера реакции после неупругого столкновения. Энергетический обмен между модами в процессе столкновения осуществляется по модели ЛБ. В [85], помимо диссоциации, рассматриваются также реакции обмена. В работе [53] представлена модификация модели [85] для ангармонического осциллятора Морзе. В работах [47, 8G] предложена модель с учетом колебательно-диссоциационного и колебателыю-обмеппого взаимодействий, воспроизводящая в равновесии уровпевые константы химических реакций из работы [87]. В работе [88] предложено использовать сечения реакции теоретической модели [89, 90] (использована упрощенная форма сечений), в работе [74] была использована полная форма сечений. В работе [91] предложено использовать сечения диссоциации молекулы при столкновении с атомом, полученные теоретически в работах [92]. Данная модель была модифицирована в [74] (был добавлен учет вращательной энергии молекулы). Отметим, что перечисленные модели использовались только для двухатомных молекул.

Отметим также работы [80, 93, 94], в которых проводились ПСМ расчеты с использованием сечений реакций, полученных методом квазиклассических траекторий. В последние годы появляется все больше данных по таким сечениям (например, [95, 96]), но они доступны пока для недостаточного числа реакций. Данные ограничены реакциями с участием атомов и двухатомных молекул, и использование их в ПСМ расчетах сопряжено с достаточно высокими вычислительными затратами. В [74] также отмечается сложность оценки точности таких данных.

В недавних работах [76, 97, 98] предложен простой макроскопический метод для моделирования химических реакций в расчетах ПСМ. Реакции в этом методе не рассматриваются па кинетическом уровне. Число химических столкновений за шаг по времени вычисляется непосредственно с использованием макроскопических соотношений, используемых в континуальной газовой динамике (соотношения Аррениуса, двухтемпературные константы и т.п.). Оправданность данного подхода в ситуациях, когда функции распределения скоростей и внутренних энергий сильно отличаются от равновесных, является сомнительной.

Модели, учитывающие колебательпо-диссоциационное взаимодействие, подробно анализировались в [73, 74]. К недостаткам практически всех перечисленных моделей (за исключением разве что ТСЕ, VFD и модели [47, 86]) относится то, что они не воспроизводят аррениусовскую зависимость в равновесии, и нуждаются для этого в специальной калибровке [74]. Отметим также определенные сложности, возникающие при определении свободных параметров (в частности в VDF модели). Практически полное отсутствие экспериментальных данных по сечениям реакций, а также экспериментальных результатов по реагирующим разреженным течениям сильно осложняет процесс анализа применимости и валидации моделей. По перечисленным причинам, а также из-за сложности применения большинства моделей к многоатомным молекулам, в большинстве исследований в настоящий момент применяют модель ТСЕ с непрерывной или дискретной внутренними энергиями. Отметим также проблему, связанную с актуальной задачей создания гибридных расчетных программ, объединяющих метод ПСМ и континуальный подход: для такой программы необходимо наличие модели химических реакций, соответствующей макроскопической модели, используемой в рамках континуального подхода.

Процессы ионизации и возбуждения электронных состояний молекул в методе ПСМ рассматривались в [99] в однородной и одномерной постановках, и позже в работах [100, 101, 61] в приложении к двумерным задачам высотной аэротермодинамики. Эти процессы, характерные при входе в атмосферу с высокими скоростями (более 12 м/с), не рассматриваются в настоящей работе.

Процессы коллективного взаимодействия заряженных частиц традициопно рассматриваются в физике низкотемпературной плазмы и физике газового разряда. Для численного моделирования таких течений на кинетическом уровне широко используется метод частиц в ячейке (Particle in Cell/PIC). Этот метод подробно рассматривается в монографиях [102] и [103]. В работе [104] этот метод был усовершенствован для учета столкповительных процессов между заряженными и нейтральными частицами. Модифицированный метод получил название PIC-MCC (Particle in Cell / Monte Carlo Collisions). В такой формулировке метод может быть использован, когда влияние заряженных компонентов на нейтральные в результате столкновений пе является существенным. Нейтральный компонент не моделируется в виде частиц и обычно предполагается, что распределения параметров нейтрального компонента однородны.

Отметим, что для ряда задач динамики разреженного газа, таких как, например, моделирование ионизованных струй, рассматриваемое в настоящей работе, необходим учет влияния заряженных компонентов па нейтральный. Для численного решения таких задач необходимо совместное использование метода PIC с методом ПСМ. Такой комбинированный метод будем называть далее PIC-DSMC. Примеры применения такого метода представлены в работе [105], где моделировался высокочастотный разряд в двумерной постановке и в работе [106], где проведено моделирование тлеющего разряда в одномерной и двумерной постановках.

Моделирование разреженных ионизованных струй электрореактивных двигателей управления было впервые начато в работах [107, 108]. В данных работах рассматривалось течение струй ионных двигателей с высокими энергиями ионов струи (около 1000 эВ). Такие быстрые ионы движутся по прямолинейным траекториям, так как практически не подвержены воздействию электрического поля струи, что позволяет рассматривать часть компонентов струи (ионы струи и нейтральные атомы) и столкновения между ними аналитически. Течение медленных ионов, являющихся продуктом резонансной перезарядки быстрых ионов на нейтральных атомах, моделировалось методом PIC. При моделировании струй стационарных плазменных двигателей (энергия движения ионов около 200 эВ) был использован метод PIC-DSMC [109]. В работах [110]-[115] этот подход получил дальнейшее развитие. Отметим также альтернативный подход, который основан на решении кинетических уравнений методом характеристик, предложенный в работах [116, 117].

Основной целью численного моделирования ионизованных струй является предсказание их взаимодействия с поверхностью космического аппарата. Особую важность здесь приобретает задача использования экспериментальных данных, полученных в вакуумных установках, для получения параметров струи в космических условиях. Для этого необходимо численное моделирование этих струй как для орбитальных условий, так и для условий истечения в вакуумную камеру. Отметим, что в перечисленных PIC-DSMC работах, предполагалось однородное распределение остаточного газа в вакуумной камере и не учитывалось влияние струи на его течение. Этот момент имеет принципиальную важность, так как игнорирование неоднородности остаточного газа в камере может привести к существенным ошибкам в моделировании. Для оценки таких эффектов необходимо совместное моделирование струи и остаточного газа в рамках метода PIC-DSMC.

Основной целыо настоящей работы является создание моделей метода ПСМ для описания эффектов реального газа в задачах высотной аэротермодинамики. В работе проводится анализ и отбор существующих моделей, разработка новых моделей, создание эффективных численных алгоритмов для них, анализ применимости моделей па основе экспериментальных данных по неравновесным разреженным течениям, а также численное исследование задач, в которых эффекты реального газа играют определяющую роль.

Представленные модели и алгоритмы реализованы па основе программной системы SMILE (Statistical Modelling in Low-Density Environment / Статистическое моделирование в средах малой плотности) [54, 118, 119] для расчетов методом ПСМ, разработанной в ИТПМ СО РАН.

Наибольшее внимание в работе уделяется следующим аспектам:

1. Разработка модели высокотемпературной неравновесной диссоциации для метода ПСМ. Хорошо известно [71, 72], что в сильных ударных волнах, процессы колебательной релаксации и химических реакции протекают с близкими скоростями и скорость реакции не описывается одно-температурной моделью Аррениуса. Как указывалось выше, был предложен ряд моделей для метода ПСМ, которые учитывают такое колеба-тельно-диссоциационное взаимодействие, но обладают рядом недостатков, в частности отсутствием соответствия с аррениусовскими скоростями в равновесии. В настоящей работе предлагается новая модель химических реакций метода ПСМ, которая построена таким образом, чтобы

• в равновесии воспроизводить аррениусовскую зависимость;

• в случае отличия колебательной температуры от поступательной при равновесных распределениях скоростей, вращательной энергии и колебательной энергии воспроизводить макроскопическую двух-температурную константу скорости реакции.

Уровневые сечения диссоциации, используемые в данной модели, находятся как решения обратной задачи методом регуляризации Тихонова [122, 123].

2. Разработка модели для описания VV-обмена в методе ПСМ. В настоящий момент в подавляющем большинстве исследований методом ПСМ данный процесс не рассматривается, что связано с отсутствием достаточно общей простой и эффективной модели, хорошо соответствующей экспериментальным результатам. В настоящей работе проведено обобщение простой и универсальной модели Ларсена-Боргнакке (ЛБ) на моделирование резонансного VV-обмена двухатомных молекул. Проведен апробация модели сравнением результатов моделирования с экспериментальными данными [121].

3. Анализ применимости моделей для описания эффектов реального газа в методе ПСМ. Существенной проблемой, связанной с разработкой моделей метода ПСМ, является отсутствие экспериментальных данных по высокоэптальпийным разреженным течениям. Большинство представленных в литературе экспериментальных результатов относятся к течениям в континуальном режиме при числах Кнудсена Ю-5 и ниже, что на данный момент выходит за пределы возможностей метода ПСМ. Этот факт сильно осложняет анализ применимости моделей для описания эффектов реального газа. Примером крайне редких экспериментальных данных при числах Кнудсена около Ю-4 являются результаты работы [120], где для различных газов измерялась величина отхода головной ударной волны на клипе, помещенном в гиперзвуковой поток. В настоящей работе впервые проводится валидация физико-химических моделей для метода ПСМ сравнением результатов численного моделирования с результатами работы [120].

4. Исследование структуры релаксационной зоны в смеси CO2/N2. Исследование аэротермодинамики КА в атмосфере Марса является актуальной задачей в связи с планируемыми в ближайшем будущем полетами КА к этой планете. В настоящей работе детально исследуется методом ПСМ структура ударной волны и релаксационной зоны за пей в химически-реагирующей смеси CO2/N2 с параметрами характерными для маневра аэроторможения КА в атмосфере Марса. Анализ структуры течения проведен как на уровне газодинамических параметров, так и на уровне функций распределения различных энергетических мод молекул.

5. Моделирование ионизованных разреженных струй электрореактивных двигателей малой тяги. Численное моделирование струй стационарных плазменных двигателей необходимо для предсказания эффектов взаимодействия струи с поверхностью космического аппарата. В работе представлена вычислительная модель струй стационарных плазменных двигателей СПД-100 и "Атон" и проведено численное моделирование истечения струй в вакуумную камеру и в космическое пространство методом PIC-DSMC. Проведено сравнение с доступными экспериментальными данными по измерению параметров струи в камере. Выполнено полное PIC-DSMC моделирование на кинетическом уровне струи совместно с остаточным газом вакуумной камеры, что позволило добиться хорошего соответствия с экспериментальными данными для двигателя "Атон".

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Ниже представлено краткое содержание работы.

Выводы главы 4

Проведено численное моделирование струй стационарных плазменных двигателей СПД-100 и "Атон" для условий, соответствующих экспериментальной установке и истечению в космический вакуум. Полное моделирование струи совместно с остаточным газом в вакуумной камере позволило добиться хорошего совпадения с экспериментальными данными. Для орбитальных условий детально исследована структура струи и получены ее параметры в области возвратного течения. Разработанное программное обеспечение может быть использовано для оценки возвратного течения струй электрореактивных двигателей на поверхность спутника.

Заключение

Метод ПСМ в настоящий момент является самым широко используемым численным методом для решения задач динамики разреженного газа. Более того, в связи со сложностью получения экспериментальной информации по высокоскоростным разреженным течениям, метод ПСМ стал в последние два десятилетия основным инструментом для исследования высотной аэротермодинамики космических аппаратов в переходном и около-континуалыюм режимах. Метод с успехом применяется и в других областях динамики разреженного газа, таких, как струйные течения, течения в микроприборах и т.п. Все существующие схемы реализации метода близки по численной эффективности и для течений простого газа дают идентичные результаты. Более сложная ситуация наблюдается в моделировании высокоэнтальпийных течений в около-континуальном и континуальном режиме, когда определяющую роль играют эффекты реального газа. Основные проблемы здесь связаны с отсутствием достаточно точных и численно эффективных моделей для описания физико-химических процессов в таких течениях. В настоящей работе предпринята попытка разрешения ряда проблем этой области вычислительной динамики разреженного газа. В работе проведены отбор существующих и разработка новых моделей для описания эффектов реального газа в методе ПСМ, а также их анализ и применение для расчетов неравновесных разреженных течений.

Ниже представлены основные результаты и выводы работы.

1. Создана модель химических реакций с учетом колебательио-диссоциаци-онпого взаимодействия (КДВ) для метода ПСМ на основе решения обратной задачи для двухтемпературной константы скоростей реакций. Модель воспроизводит двухтемпературиую константу скорости реакции при близости распределений всех молекулярных мод к больцмановским и не содержит параметров, определяемых из экспериментальных данных. Проведено обобщение модели Ларсена-Боргнакке на моделирование колебательно-колебательного (W) обмена и получено хорошее совпадение с экспериментальными данными по временной эволюции заселенности колебательных уровней.

2. Проанализирована применимость моделей для описания эффектов реального газа в методе ПСМ сравнением с экспериментальными данными по величине отхода ударной волны на клине, помещенном в гиперзвуковой поток при числе Кнудсена Kn ~ 0,0005. Результаты расчетов находятся в хорошем качественном соответствии с выводами теоретических и экспериментальных исследований влияния эффектов реального газа на вид зависимости величины отхода головной ударной волны от угла клина. Использование модели химических реакций с учетом КДВ позволяет добиться лучшего совпадения с экспериментальными данными, чем при использовании стандартных моделей метода ПСМ.

3. Составлен и реализован в программной системе для прямого статистического моделирования газовых течений SMILE, разработанной в ИТПМ СО РАН, набор моделей для описания эффектов реального газа. Набор включает существующие модели и новые модели, предложенные в настоящей диссертации.

4. Исследована структура релаксационной зоны за фронтом ударной волны для условий, соответствующих входу К А в атмосферу Марса. Показана существенная термическая неравновесность течения в релаксационной зоне при числах Кнудсена 0,01 > Кп > 0,001 на уровне макропараметров и функций распределения.

5. Проведено численное исследование струй стационарных плазменных двигателей СПД-100 и "Атон" с учетом остаточного газа в вакуумной камере и для орбитальных условий. Впервые проведено совместное PIC-DSMC моделирование струи и остаточного газа, что позволило добиться лучшего совпадения с экспериментальными данными. Для орбитальных условий получены параметры струи в зоне возвратного течения.

1. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.:Наука, 1967. 440с.

2. Бобылев А.В. Точные решения уравнения Больцмана и теория релаксации максвелловского газа // Теор. и матем. физ. 1984. Т.60, No.2.

3. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативный метод расщепления для решения уравнения Больцмана // Журн. вычисл. математики и ма-тем.физики. 1980. Т.20, No.l. С.191-207.

4. Tcheremissine F.G. Fast solutions of the Boltzmann equation // Proc. XVII Intern, symp. on Rarefied Gas Dynamics. Aachen, 1991, P.273-284.

5. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М.:Мир, 1981. 320с.

6. Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows. Clarendon Press, Oxford, 1994. 458p.

7. Tcheremissine F.G. Conservative discrete ordinates method for solving of Boltzmann kinetic equation // Proc. XX Intern, symp. on Rarefied Gas Dynamics. Beijing, 1997. P. 297-302.

8. Tcheremissine F.G., Kolobov V.I., Arslanbekov R.R. Simulation of Shock Wave Structure in Nitrogen with Realistic Rotational Spectrum and Molecular Interaction Potential // Proc. of 25th Int. Symp. on RGD. Novosibirsk, 2007, P. 203-208.

9. Иванов M.C., Рогазинский С.В. Экономичные схемы статистического моделирования пространственно-неоднородных течений разреженного газа. // Препринт СО АН СССР. ИТПМ. Новосибирск, 1988, С.29-88.

10. Иванов М.С., Рогазинскнй С.В. Экономичные схемы прямого статистического моделирования течений разреженного газа // Мат. моделирование. 1989. T.l, No.7. С.130-145.

11. Иванов М.С. Статистическое моделирование гиперзвуковых течений разреженного газа: Дис.док.физ.-мат.наук: 01.02.05. Новосибирск, 1992. 419с.

12. Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. Новосибирск: Наука, 1974.

13. Park С. Calculation of real-gas effects on airfoil aerodynamic characteristics. AIAA Paper 90-1712, 1990.

14. Koura K., Matsumoto H. Variable soft sphere molecular model for inverse power - law of Lennard-Jones potential // Phys. Fluids A. Vol. 3, No.10. 1991. P.2459-2465.

15. Erwin D.A., Pham-Van-Diep, Muntz E.P. Nonequilibrium gas flows. I: A detailed validation of Monte Carlo Direct Simulation for monoatomic gases // Phys. Fluids A. Vol. 3, No. 4. 1991. P.697-705.

16. Koura K., Matsumoto H., Shimada T. A test of equivalence of the variable-hard-sphere and inverse-power law models in the direct simulation Monte Carlo method // Phys. Fluids A. Vol. 3. 1991. P.1835-1837.

17. Sugimoto H., Takata S., Kosuge S., Gas separation effect of the pump driven by the thermal edge flow // Proc. of 25th Int. Symp. on RGD. Novosibirsk, 2007, P. 1158-1163.

18. Bird G.A. Monte-Carlo simulation in an engineering context // Proc. XII Intern, symp. on Rarefied Gas Dynamics. New-York, 1981. V.74, part.l. P.239-255.

19. Hassan H.A., Hash D.B. A generalized hard-sphere model for Monte Carlo simulation // Phis. Fluids A 1993. Vol 5, No. 3. P.738-744.

20. Gorbachev Yu.E., Gordillo-Vasquez F.J., and Kunc J.A., Diameters of rotationally and vibrationally excited diatomic molecules // Physica A: Statistical and Theoretical Physics. 1997. Vol. 247. P. 108.

21. Gimelshein S.F., Ivanov M.S., Markelov G.N., and Gorbachev Yu.E. Quasiclassical VRT transitional models in the DSMC computations of reacting flows. // Proc 20th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics, Beijing. 1997. P. 711-717

22. Gimelshein S.F., Ivanov M.S., Markelov G.N., and Gorbachev Yu.E. Statistical simulation ofnonequilibrium rarefied flows with qusiclassical energy transfer models // J. of thermophysics and Heat transfer. 1998. Vol.12, No. 4. P. 2079-2086.

23. Jae Gang Kim, Oh Joon Kwon, and Chul Park, A High Temperature Elastic Collision Model for DSMC Based on Collision Integrals. AIAA Paper 2006-3803 (9th AIAA/ASME Joint Thermophysics and Heat Transfer Conference, June 2006), 2006.

24. Borgnakke C., Larsen P.S. Statistical collision model for Monte Carlo simulation of polyatomic gas mixture // J. of Сотр. Phys. 1975. Vol.18. P.405-420.

25. Boyd I.D. Direct simulation of rotation and vibration nonequilibrium. AIAA Paper 89-1880, 1989.

26. Boyd I.D. Assessment of chemical nonequilibrium in rarefied hypersonic flow. AIAA Paper 90-0145, 1990.

27. Boyd I.D. Analysis of rotational nonequilibrium in standing shock waves of nitrogen // AIAA Journal. 1990. Vol. 28, No. 11. P. 1997-1999.

28. Parker J.G. Rotational and vibrational relaxation in diatomic gases // Phys. Fluids. 1959. Vol.2, No.4. P.449-462.

29. Lumpkin III F.E., Haas B.L., Boyd I.D. Resolution of differences between collision number definitions in particle and continuum simulations // Phys. Fluids A. 1991. Vol. 3, No. 9. P.2282-2284.

30. Haas B.L., Hash D., Bird G.A., Lumpkin F.E., Hassan H. Rates of thermal relaxation in direct simulation Monte Carlo methods // Phys. Fluids. 1994. Vol. 6. No. 6. P.2191-2201.

31. Boyd I.D. Relaxation of discrete rotational energy distributions using a Monte Carlo method // Phys. Fluids A 5(9). 1993. P.2278-2286.

32. Кларк Дж., Макчесни M. Динамика реальных газов. М: Мир, 1967. 566с.

33. Koura К. Statistical inelastic cross-section model for the Monte Carlo simulation of molecules with discrete internal energy // Phys. Fluids A 4(8). 1992. P.1782-1788.

34. Willauer D.L., Varghese P.L. Direct simulation of rotational relaxation using state-to-state cross-sections // J. Therm, and Heat Transfer. 1993. Vol.7, No.l. P.49-54.

35. S. F. Gimelshein, M. S. Ivanov, and I. D. Boyd. Modeling of internal energy transfer of polyatomic molecules in rarefied plume flows. AIAA Paper 1999738 (Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, 37th, Reno, NV, Jan. 11-14, 1999), 1999.

36. Koura K. Monte Carlo direct simulation of rotational relaxation of diatomic molecules using classical trajectory calculations: Nitrogen shock wave // Physics of Fluids. 1997 Vol.9, No.ll. P. 3543-3549.

37. Millikan R.C., White D.R. Systematics of Vibrational Relaxation // J. of Chem. Phys. 1963. Vol.39, No.12. P.3209-3213.

38. Park C. Problems of Rate Chemistry in the Flight Regimes of Aeroassisted Orbital Transfer Vehicles // Progr. in Astronautics and Aeronautics. Vol. 96. AIAA, New York. 1985. P.511-537.

39. Pradeep Vijayakumar, Quanhua Sun, and Iain D. Boyd. Vibrational-translational energy exchange models for the direct simulation Monte Carlo method // Physics of Fluids. 1999. Vol.11, No.8. P.2117-2126.

40. Gimelshein, N.E., Gimelshein, S.F., and Levin, D.A., Vibrational relaxation rates in the direct simulation Monte Carlo method // Physics of Fluids. 2002. Vol.14, No.12. P.4452-4455.

41. Maltsev R.V., Morozov A.A., Rebrov A.K. Interpretation of impact and static pressure measurements in non-equilibrium supersonic flow by the DSMC method // Proc. of 25th Int. Symp. on RGD. Novosibirsk, 2007. P. 527-532.

42. S.F. Gimelshein, N.E. Gimelshein, D.A. Levin, M.S. Ivanov, and I.J. Wysong. On the use of chemical reaction rates with discrete internal energies in the direct simulation Monte Carlo method // Physics of Fluids. 2004. Vol. 16, No. 7. P. 2442-2451.

43. Choquet I. Modelisation des desequilibres thermiques dans les ecoulements de gas rarefies // Ph. D. L'universite Paris VI. 1993. 240p.

44. Boyd I.D. Analysis of vibrational-translational energy transfer using the direct simulation Monte Carlo method // Phys. Fluids A 3(7). 1991. P.1785-1791.

45. Ivanov M.S., Antonov S.G., Gimelshein S.F., Kashkovsky A.V., Markelov G.N. Statistical Simulation of hypersonic flows about concave bodies in transitional regime // Sci. Rep. of ICAR. ITAM, RAS. Novosibirsk, 1994. No. 8094. 17p.

46. Гимелыиейн С.Ф. Статистическое моделирование эффектов реального газа в разреженных течениях: Дис. канд.физ.-мат.наук: 01.02.05. Новосибирск, 1995. 191с.

47. Boyd I.D. Particle simulation of vibrational relaxation // Proc. XVIII Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Vancouver, Canada. 1992.

48. Kerner E.H. Note on the forced and damped oscillations in quantum mechanics // Canadian J. of Physics. 1958. V.36. P.371-377.

49. Olynick D., Moss J., Hassan H. Monte Carlo simulation of vibrational relaxation in nitrogen. AIAA Paper 90-1767. 1990.

50. Scwartz R.N., Slawsky Z.I., Herzfeld K.F. Calculation of vibrational relaxation times in gases //J. Chem. Physics. Vol.20. No.10. 1952. P.1591-1599.

51. Bergemann F., Boyd I.D. DSMC simulation of inelastic collisions using the Borgnakke-Larsen method extended to discrete distributions of vibrational energy // Proc. XVIII Intern, symp. on Rarefied Gas Dynamics. Vancouver, Canada. 1992. P.174-183.

52. Lord R.G. Modeling vibrational energy exchange of diatomic molecules using the Morse interatomic potential // Phys. Fluids 10(3). 1998. P. 742746.

53. Ivanov M.S., Markelov G.N., Gimelshein S.F. Statistical Simulation of Reactive Rarefied Flows: Numerical Approach and Applications. AIAA Paper 98-2669, 1998.

54. Bogdanov A.V., Dubrovskii G.V., Gorbachev Yu.E. and Strelchenya V.M. Theory of vibrational and rotational excitation of polyatomic molecules // Physical Reports. 1989. Vol. 181, No. 3. P.121-206.

55. Marriott P.M. Non-equilibrium chemical reactions in the simulation of hypersonic rarefied flows // Ph. D. Imperial College of Science, Technology and Medicine, London. January 1994. 188p.

56. Levine R.D., Bernstein R.B. Molecular reaction dynamics. Oxford University Press (Clarendon), London and New York. 1987.

57. Gimelshein, S.F., Boyd, I.D., Sun Q., Ivanov, M.S. DSMC Modeling of Vibration-Translation Energy Transfer in Hypersonic Rarefied Flows // AIAA Paper 99-3451, 1999.

58. Adamovich I.V., and Rich, J.W. Three-Dimensional Nonperturbative Analitic Theory of Vibrational Energy Transfer in Molecule-Molecule Collisions. AIAA Paper 99-3565, 1999.

59. Marriott P.M. The Extension of the Semi Quantum Maximum Entropy Energy Method to Energy Exchange in Triatomic Molecules. AIAA Paper 95-2092, 1995.

60. M. Gallis and J. K. Harvey, The modeling of chemical reactions and thermochemical nonequilibriuin in particle simulation computations // Phys. Fluids 10(6), 1998, P.1344-1358.

61. K. Koura, Improved Null-Collision Technique in the Direct Simulation Monte Carlo Method: Application to Vibrational Relaxation of Nitrogen // Computers Math. Applic. 1998. Vol. 35, No. 1/2. P. 139-154.

62. R.I. Morse. Semiclassical transition probabilities for collinear diatom-diatom collisions // J. Chem. Phys. 1972. Vol. 56. P. 2329.

63. D. Rapp and P.E.Golden. Resonant and near-resonant vibrational-vibrational energy transfer between molecules in collisions // J. Chem. Phys. 1964. Vol. 40. P. 573.

64. Abe Т. Inelastic collision model for vibrational-translational and vibrational-vibrational energy transfer in the direct simulation Monte Carlo method // Phys. Fluids 6(9). 1994. P.3175-3179.

65. Haas B.L. Thermochemistry models applicable to a vectorized particle simulation: Ph.D. Stanford University, 1990. 262p.

66. D. Bruno, M. Capitelli, S. Longo, P. Minelli and F. Taccogna, Particle kinetic modelling of rarefied gases and plasmas // Plasma Sources Sci. Technol. 2003. Vol. 12. P.89-97

67. Koura K. Nonequilibrium velocity distributions and reaction rates in fast highly exothermic reactions // J. Chem. Physics. 1973. Vol.59. No.2. P.691-704.

68. Larsen P.S. Monte Carlo simulation of a homogeneous dissociating diatomic gas // Archives of Mechanics. 1976. V.28, No.5-6. P.719-732.

69. Bird G. A. Simulation of multi-dimensional and chemically reacting flows // XI Intern, symp. on Rarefied Gas Dynamics. Paris, 1979. P.365-388.

70. P. V. Marrone and С. E. Treanor. Chemical relaxation with preferential dissociation from excited vibrational levels // Phys. Fluids. 1963. Vol. 6. P.1215.

71. Кузнецов H.M. Кинетика мономолекулярного распада. M: Наука. 1982. 220с.

72. I. J. Wysong, R. A. Dressier, Y. Н. Chiu, and I. D. Boyd, Direct simulation Monte Carlo dissociation model evaluation: Comparison to measured cross sections // J. Thermophys. Heat Transfer, 2002. Vol. 16. P. 83.

73. Wadsworth D.C. and Wysong I.J. Vibrational favoring effect in DSMC dissociation models // Phys. Fluids 9(12). 1997. P. 3873-3884.

74. Ivanov, M.S., Gimelshein, S.F., Computational hypersonic rarefied flows // Annual Review of Fluid Mechanics, Vol.30. Annual Reviews Inc., Palo Alto, California, USA, 1998. P. 469-505.

75. C. R. Lilley, A macroscopic chemistry method for the direct simulation of nonequilibrium gas flows // Ph.D. thesis, The University of Queensland, 2005.

76. Haas B.L., Boyd I.D. Models for vibrationally favoured dissociation applicable to a particle simulation. AIAA Paper 91-0774, 1991.

77. Boyd I.D., Karipides D.P., Candler G.V., Levin D.A. Effect of dissociation modeling in strongly nonequilibrium flows at high altitude. AIAA Paper 95-0709, 1995.

78. Hash D.B., Hassan H.A. Direct simulation with vibration-dissociation coupling. AIAA Paper 92-2875, 1992.

79. Boyd I.D., Bose D., Candler G.V. Monte Carlo modeling of nitric oxide formation based on quasi-classical trajectory calculations // Phys. Fluids 9(4). 1997. P. 1162-1170.

80. Marriott P.M., Harvey J.K. A new approach for modeling energy exchange and chemical reactions in the direct simulation Monte Carlo method // Proc. of XVIII Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Aachen, Germany. 1990.

81. M. Gallis and J. K. Harvey, Modelling of chemical reactions in hypersonic rarefied flow with the direct simulation Monte Carlo method // J. Fluid Mech. 1996. V. 312. P. 149.

82. Kuscer I. Dissociation and recombination in a inhomogenious gas // Physica A. 1991. Vol. 176. No. 3. P.542-556.

83. Nanbu К. Numerical simulation of Boltzmann flows of real gases // Hypersonic Flows for Reentry Problems. Edited by J.A. Desideri, R. Glowinski, J. Periaux. Springer Verlag, 1991.

84. Bird G.A. A new chemical reaction model for DSMC studies // Proc. XVIII Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Vancouver, Canada. 1992.

85. Warnatz J., Riedel U., Schmidt R. Different Levels of Air Dissociation Chemistry and Its Coupling with Flow Models // Proceedings of the 2nd Joint Europe/U.S. Short Course in Hypersonics. Preprint No. 4. 1991.

86. Boyd, I.D. A threshold line dissociation model for the direct simulation Monte Carlo method // Phys. Fluids A. 1996. Vol.8, No.5. P. 1293-1300.

87. S. 0. Macheret and J. W. Rich. Nonequilibriurn dissociation rates behind strong shock waves: classical model // Chem. Phys. 1993. Vol. 174. P.25.

88. S. 0. Macheret, A. A. Fridman, I. V. Adamovich, J. W. Rich, and С. E. Treanor. Mechanisms of nonequilibriurn dissociation of diatomic molecules // AIAA Paper 94-1984, 1994.

89. K. Koura. A set of model cross sections for the Monte Carlo simulation of rarefied real gases: Atom-diatom collisions // Phys. Fluids. 1994. Vol. 6, No.10. P.3473-3486.

90. J. H. Kiefer and J. C. Hajduk. A vibrational bias mechanism for diatomic dissociation: Induction times and steady rates for 02, H2, and D2 dilute in Ar // Chem. Phys. 1979. Vol. 38. P. 329.

91. Т. Ozawa, D. Fedosov, D. A. Levin, and S. F. Gimelshein. Quasiclassical trajectory modeling of OH production in direct simulation Monte Carlo // J. Thermophys. Heat Transfer. 2005. Vol. 19. P. 235.

92. T. Ozawa, D. A. Levin, I. J. Wysong. Chemical reaction modeling for hypervelocity collisions between О and HC1 // Phys. Fluids. 2007. Vol. 19, No. 5, 056102.

93. Погосбекян М.Ю. Моделирование динамики молекулярных реакций на высокопроизводительных многопроцессорных кластерах: Дис. канд.физ.-мат.наук: 05.13.18. Москва, 2005. 122с.

94. F. Esposito, М. Capitelly, С. Gorse. Quasi-classical dynamics and vibrational kinetics of N + N2(v) system // Chem. Physics. 2000. Vol. 257. P.193-202.

95. C. R. Lilley and M. N. Macrossan. A macroscopic chemistry method for the direct simulation of gas flows // Phys. Fluids. 2004. Vol. 16. P.2054-2066.

96. M. J. Goldsworthy, M. N. Macrossan, and M. M. Abdel-jawad. Nonequilibrium reaction rates in the macroscopic chemistry method for direct simulation Monte Carlo calculations // Phys. Fluids. 2007. Vol. 19, No. 6, 066101.

97. Шематович В.И. Нестационарное статистическое моделирование столк-новительных физико-химических процессов в разреженном газе: Дис. канд.физ.-мат.наук: 01.02.05. Москва, 1980. 195с.

98. М. A. Gallis and J. К. Harvey, Ionisation reactions and electric fields in plane hypersonic shock waves // Progress in Astronautics and Aeronautics, Rarefied Gas Dynamics: Space Science and Engineering, AIAA, City, 1994. Vol. 160, P. 234-244.

99. M. A. Gallis, and J. K. Harvey, New ionisation model for the direct simulation Monte Carlo method. AIAA Paper 96-1849 (31st AIAA Thermophysics Conference, New Orleans, June 1996), 1996.

100. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц: Пер. с англ. М.: Мир, 1987.

101. Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование: Пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1989.

102. Birdsall С.К. Particle-in-Cell charged particle simulations, plus Monte Carlo collisions with neutral atoms, PIC-MCC. // IEEE Transactional Plasma Scince, 1991. Vol. 19, No 2.

103. Gimelshein S.F., Schweigert V.A., Ivanov M.S. Monte Carlo Direct Simulation of RF discharge for plasma processing // Proceedings of the 21st International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Vol.2. Cepadues Editions, France. 1999. P. 401-408.

104. Vladimir V. Serikov, Shinji Kawamoto, and Kenichi Nanbu. Particle-in-Cell Plus Direct Simulation Monte Carlo (PIC-DSMC) Approach for Self-Consistent Plasma-Gas Simulations // IEEE Transactions on Plasma Science, Vol.27, No.5, 1999

105. Samanta Roy, R.I., Ph. D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1995.

106. Samanta Roy, R. I., Hastings, D. E., and Gatsonis, N. A. Ion-Thruster Plume Modeling for Backflow Contamination, // Journal of Spacecraft and Rockets. 1996. Vol. 33. P. 524-534.

107. Oh D.Y., Hastings D. Axisymmetric PIC-DSMC Simulations of SPT Plumes. IEPC Paper 95-160, 1995.

108. Oh, D. and Hastings, D. E., Experimental Verification of a PIC-DSMC Model for Hall Thruster Plumes. AIAA Paper 96-3196, 1996.

109. Oh, D. and Hastings, D. E., Three Dimensional PIC-DSMC Simulations of Hall Thruster Plumes and Analysis for Realistic Spacecraft Configurations. AIAA Paper 96-3299, 1996.

110. VanGilder D.B., Boyd I.D. Particle Simulations of the SPT-100 Plume. AIAA Paper 98-3797, 1998.

111. VanGilder, D. В., Boyd, I. D., and Keidar, M., Particle Simulations of a Hall Thruster Plume // Journal of Spacecraft and Rockets, Vol. 37, No. 1, 2000.

112. Boyd, I. D., Particle Simulation of an Anode Layer Hall Thruster Plume // Journal of Propulsion and Power, Vol. 16, No. 1, 2000.

113. Boyd, I. D. and Yim, J.T., Modelling of the Near Field Plume of a Hall Thruster // Journal of Applied Physics, Vol. 95, 2004, P. 4575-4584.

114. Бишаев A.M., Калашников В.К., Ким В. Численное исследование струи разреженной плазмы стационарного ускорителя с замкнутым дрейфом электронов (НЗДП) // Физ. Плазмы. 1992, т.18. Вып. 6, С.698-708.

115. Бишаев A.M. Применение методов кинетической теории для решения задач разреженных газов и плазмы: Дис. док.физ.-мат.наук: 01.02.05. Москва, 2006. 227с.

116. Ivanov M.S., Kashkovsky A.V., Gimelshein S.F., Markelov G.N., Alexeenko A.A., Bondar Ye.A., Zhukova G.A., Nikiforov S.B., Vashenkov P.V. SMILE System for 2D/3D DSMC computations // Proc. of 25th Int. Symp. on RGD. Novosibirsk, 2007. P. 539-544.

117. Hornung, H.G., Smith, G.H., The influence of relaxation on shock detachment // Journal of Fluid Mechanics, Vol. 93, Part 2, 1979, P.225-239.

118. Т. Ahn, I. Adamovich, W. Lempert, Determination of nitrogen V-V transfer rates by stimulated Raman pumping // Chem. Phys. 298, 2004. P. 233-240.

119. A.H. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. М: Наука. 1986.

120. Шелепин C.JI. Исследование уровневых сечений и констант скорости диссоциации высокотемпературных газов методом обратной задачи.: Дис. канд.физ.-мат.наук: 01.04.14. Москва, 2005. 108с.

121. Stein W., Alexeenko A., Hrbud I., and Bondar Y. Performance Modeling of a RF Coaxial Plasma Thruster. AIAA Paper 2007-5292, 2007.

122. Bondar Ye.A. and Ivanov M.S. DSMC Dissociation Model Based on Two-Temperature Chemical Rate Constant. AIAA Paper 2007-0614, 2007.

123. Chen R., Agarwal R., Cheremisin F., Bondar Ye. A Comparative Study of Navier-Stokes, Burnett, DSMC, and Boltzmann Solutions for Hypersonic Flow Past 2-D Bodies. AIAA Paper 2007-0205, 2007.

124. Бондарь E.A., Гимельшейн С.Ф., Маркелов Г.Н., Иванов М.С. Прямое статистическое моделирование структуры ударной волны в диссоциирующем газе // Теплофизика и аэромеханика. 2006. Т. 13, № 2. С. 257-274.

125. Bondar Ye.A., Gimelshein S.F., Markelov G.N., Ivanov M.S. DSMC Study of the Internal Shock-Wave Structure in a Dissociating Gas. AIAA Paper 2004-2588, 2004.

126. Bondar Ye.A., Markelov G.N., Gimelshein S.F., Ivanov M.S. DSMC modeling of near-continuum flow over a wedge with real gas effects. AIAA Paper 2004-1183, 2004.

127. Bondar Ye.A., Schweigert V.A., Ivanov M.S. Numerical assessnent of slow ion back flow in stationary plasma thruster plume // Int. Conf. on the Methods of Aerophysical Research: Proc. Pt.3. Novosibirsk, 2002. P. 25-30.

128. Бондарь E.A., Швейгерт В.А., Маркелов Г.Н., Иванов М.С. Моделирование струи стационарного плазменного двигателя методом частиц // Теплофизика и аэромеханика. 2001. Т. 8, № 3. С. 401-421.

129. Bondar Ye.A., Schweigert V.A., Markelov G.N., Ivanov M.S. Assessment of CEX ion backflow of SPT-100 thruster // Rarefied Gas Dynamics: 22 Int. Symp., AIP, New York, 2001. P. 278-285.

130. Bondar Ye.A., Markelov G.N., Schweigert V.A., Ivanov M.S. Modeling of the Plume of an ATON-Hall Thruster. AIAA Paper 2001-3357, 2001.

131. Ivanov M.S., Markelov G.N., Bondar Ye.A. Numerical simulation of thruster plumes in cryogenic vacuum facility. AIAA Paper 2000-2502, 2000.

132. Бом Д. Квантовая теория. M.: Наука, 1965.

133. Vincenti W.G., Kruger C.H. Introduction to physical gas dynamics. Wiley, New York. 1965.

134. Hinshelwood C.N. The kinetic of chemical change. Clarendon Press, Oxford. 1940.

135. Anderson J.D. Hypersonic and high temperature gas dynamics. McGraw Hill, USA. 1989.

136. Bird G.A. Direct molecular simulation of a dissociating diatomic gas //J. Comp.Phys. 1977. V.25. P.353-365.

137. Boyd I.D. Rotational and vibrational nonequilibrium effects in rarefied hypersonic flow //J. Thermophysics. Vol.4, No.4. 1990. P.478-484.

138. I.V. Adamovich, Three-Dimensional Model of Vibrational Energy Transfer in Molecule-Molecule Collisions // AIAA Journal, vol. 39, No. 10, 2001, P.1916-1925

139. Ковач Э.А., Лосев С.А.,Сергиевская А.Л. Модели двухтемпературной химической кинетики для описания диссоциации молекул в сильных ударных волнах // Хим.физика. 1995. Т. 14. № 9. С. 44-76.

140. Физико-химические процессы в газовой динамике. Компьютеризованный справочник в 3-х томах. Том I: Динамика физико-химических процессов в газе и плазме. Под ред. Г.Г. Черного и С.А. Лосева М.: Изд. Моск. ун-та, 1995. 350 с.

141. Кондратьев В.Н., Никитин Е.Е. Химические процессы в газах. М: Наука, 1981. 262с.

142. Кривоносова О.Э., Шаталов О.П. Численный анализ констант скорости диссоциации двухатомных молекул в квазистационарных условиях колебательной неравновесности // Хим. физика. 1999. Т.18. JVQ 9. С.22-26.

143. Moss, J.N., Bird, G.A., Dogra, V.K., Nonequilibrium thermal radiation for an aeroassist flight experiment vehicle // AIAA Paper 88-0081, 1988.

144. Hayes, W.D. and Probstein, R.F., Hypersonic Flow Theory, edited by F.N. Frenkiel, Academic Press, New York and London, 1959.

145. Chen, Y.K. et al. Navier-Stokes solutions with surface catalysis for Martian atmospheric entry // J. of Spacecraft and Rockets, Vol. 30, No. 1, 1992, P. 32-42.

146. V. Gromov, S. Surzhikov, Convective and radiative heating of Martian space vehicle base surface // Proc. of the 4th European Symposium on Aerothermodynamics of Space Vehicles (Capua, Italy), SP-487. European Space Agency, 2002, P. 265-269

147. J.N. Moss, R.G. Wilmoth, J.M. Price, DSMC simulation of blunt body flows for Mars entries: Mars Pathfinder and Mars Microprobe capsules // AIAA Paper, 1997, No. 97-2508.

148. Струминский В.В., Великодный В. Ю. Структура ударных волн // Докл. АН СССР. 1982. Т. 266. № 1. С.28.-31.

149. Borie D., Perrin V., Khartov S., Nadiradze A. The I.S.P. software: Calculation of the SPT Jet Influence. Paper/IEPC 97-027, 1997.

150. VanGilder D.B., Keidar M., Boyd I.D., Modeling Hall Thruster Plumes Using Particle Methods. AIAA Paper 99-2294, 1999.

151. Ruytan, W.M. Density-Conserving Shape Factors for Particle Simulations in Cylindrical and Spherical Coordinates. //J. Сотр. Phys. 1993. V. 105.

152. Schneider G., Zedan M. A modified strongly implicit procedure for the numerical solution of field problem. // Numerical heat transfer. 1981. V.4 P.l.

153. Dalgarno A., McDowell M.R.C., Williams A. The mobilities of ions in unlike gases. // Proc. of the Royal Society. 1958. V. 250. P. 411-425.

154. Pullins S., Chiu Y., Levandier D.J., Dressier R.A. Ion dynamics in Hall effect and ion thrusters:Xe+ + Xe symmetric charge transfer // AIAA Paper 2000-0603, 2000.

155. King L.B., Gallimore A.D. Ionic and neutral particle transport property measurements in the plume of an SPT-100 // AIAA Paper 96-2712, 1996.

156. Manzella, D.H. Stationary Plasma Thruster Ion Velocity Distribution // AIAA Paper 94-3141, 1994.

157. Kim S.W., Foster J.E., Gallimore A.D. Very near field plume study of a 1.35 kW SPT-100. // AIAA Paper 96-2972, 1996.

158. Morozov A.I. et al., ATON-Thruster Plasma Accelerator // Plasma Physics Reports, Vol.23, No.7, 1997. P. 587-597.