Учёт вязкости в методе дискретных вихрей с помощью коррекции инвариантов движения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Шмагунов Олег Александрович

Учет вязкости в методе дискретных вихрей с помощью коррекции инвариантов движения

01 02 05 - механика жидкости и газа

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003168888

Новосибирск - 2008

003168888

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной механики им С А Христиановича Сибирского отделения РАН

Научный руководитель Научный консультант Официальные оппоненты

Ведущая организация

кандидат физико-математических наук,

с н с

Скобелев Б Ю

доктор физико-математических наук, профессор Черепанов А Н

доктор физико-математических наук, профессор Ильин В П

кандидат физико-математических наук, с н с Кудрявцев А Н

Институт гидродинамики им МА Лаврентьева СО РАН, г Новосибирск

Защита состоится 6 июня 2008 г в 9 час 30 мин на заседании диссертационного совета Д 003 035 02 в Институте теоретической и прикладной механики им С А Христиановича СО РАН по адресу 630090, г Новосибирск, ул Институтская, 4/1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТПМ СО РАН

Автореферат разослан « 5" »_2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Засыпкин И М

Общая характеристика работы

Актуальность темы Задача рассматривается в контексте проблемы моделирования турбулентных течений Расчет турбулентных течений по моделям, основанным на уравнениях Навье-Стокса, наталкивается на ряд ограничений От них свободны методы дискретных вихрей Последние являются мощными численными методами для моделирования несжимаемых течений жидкости Поскольку они не требуют расчетных сеток, они позволяют существенно упростить численные алгоритмы и уменьшить влияние таких нежелательных эффектов как численная диффузия Идеальные вихревые элементы достаточно хорошо описывают интегральные характеристики отрывных обтеканий различных летательных аппаратов и крупномасштабные турбулентные структуры Для описания мелкомасштабной турбулентности необходимо принимать в расчет вязкость В настоящее время существуют различные подходы к этой проблеме, которые используют в той или иной форме уравнение вязкой диффузии завихренности В данной работе используется новый подход, разработанный БЮ Скобелевым и основанный на целенаправленной коррекции инвариантов течения идеальной несжимаемой жидкости, соответствующей заданной вязкости Такой подход обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами

Цель работы заключается в разработке такого численного метода, который позволял бы простыми средствами учитывать вязкость в методе дискретных вихрей и был свободен от недостатков других подходов, и проверке его эффективности на решении ряда известных задач Новизна работы заключается в следующем

1 Впервые сформулирован численный метод и разработан алгоритм учета вязкости в методе дискретных вихрей с помощью управления интегральными характеристиками течения

2 Разработанный метод опробован на решении ряда известных задач, и показана его эффективность в моделировании как интегральных характеристик течения - таких как число Струхаля дорожки Кармана, так и локальных характеристик — таких как нелинейное развитие возмущений

3 С помощью метода установлено, что динамика развития неустойчивых возмущений в плоской струе качественно совпадает с динамикой неустойчивости в,пограничном слое

Достоверность метода доказана многочисленными расчетами различных течений и их сравнением с экспериментальными данными, при котором наблюдается хорошее совпадение в широком диапазоне чисел Рейнольдса Данный подход расширяет возможности метода дискретных вихрей достаточно экономичными средствами, что обуславливает его практическую

ценность Кроме того, он обеспечивает сохранение интегральных характеристик течения, благодаря компенсации погрешностей дискретизации и интегрирования, метод позволяет наблюдать в течениях такие тонкие эффекты как развитие возмущений - соответствующие результаты описаны в последней главе, позволяет моделировать начальную стадию развития турбулентности, и обобщается на трехмерный случай, расширяя возможности для моделирования развитой турбулентности Если подход окажется эффективным и в трехмерном случае, он может послужить хорошей основой для построения замкнутой модели турбулентности

К защите представляется численный метод расчета двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости, основанный на коррекции координат и циркуляции точечных вихрей для выполнения интегральных законов сохранения движения системы идеальных точечных вихрей В известной литературе нам не встречались какие-либо другие попытки подобного учета вязкости Проделанная работа представляет собой хороший задел для дальнейшего развития подхода, в частности его обобщения на трехмерный случай Подробнее основные результаты и выводы сформулированы в Заключении

Апробация Полученные результаты докладывались на семинарах ИТПМ СО РАН (Новосибирск) и представлялись на российских и международных конференциях Международная конференция "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1996), Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ-96) (Новосибирск, 1996), The Third ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference (Париж, 1996), Saint-Venant Symposium (Париж, 1997), Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) (Новосибирск, 1998), International Symposium "Actual Problems of Physical Hydroaerodynamics" (Новосибирск, 1999), Международная конференция .¡¿'Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999), The First International Conference on Vortex Methods (Кобе, Япония, 1999), Конференция "Вычислительные технологии 2000" (Новосибирск, 2000), Конференция молодых ученых, поев 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 20QP), Международная конференция, поев 80-летию академика H H Яненко (Новосибирск, 2001), Всероссийская конференция молодых ученых "Проблемы механики теория, эксперимент и новые технологии" (Новосибирск, 2001),-33-й Региональная молодежная, конференция (Екатеринбург, 2002), IV Всероссийская конференция молодых ученых "Проблемы механики теория, эксперимент и новые технологии" (Новосибирск, 2004), The Twelfth International Conference on the Methods of Aerophysical Research (ICMAR'2004) (Новосибирск, 2004), Третья международная научно-практическая конференция/'Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности" (Санкт-Петербург, 2007), Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск, 2007)

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 19 работах, в том числе 4 - в рецензируемых журналах и сборниках

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы Список литературы содержит 90 наименований Объем диссертации 108 страниц

Содержание работы

Во введении дается описание основ и преимуществ метода дискретных вихрей, обзор его современного состояния и основных направлений развития, в общих чертах описывается предлагаемый подход Приводится структура диссертации и кратко излагается ее содержание

В Главе I описывается современное состояние проблемы, математические и вычислительные проблемы, связанные с расчетами турбулентных течений по моделям, основанным на уравнениях Навье-Стокса, существующие подходы к моделированию вязкости в методах дискретных вихрей

Известно, что уравнения Навье-Стокса выводятся в предположении гладких регулярных линий тока, гладких и сравнительно небольших градиентов завихренности и конечных масштабов движения, в то время как турбулентность характеризуется противоположными качествами Таким образом, попытки описать турбулентность уравнениями Навье-Стокса ведут эти уравнения к границам их применимости, что и создает ряд проблем, например остается открытым вопрос существования глобальных решений для трехмерных течений (§1 3) Если допустить, что это решение существует, то возникает вопрос о размерности численной модели В работах Ботэ С, Тге\'е У (1981) и Ботэ С, Тетеш И. (1983) были получены оценки минимального числа N базисных функций, необходимых для корректного описания множества предельных решений уравнений Навье-Стокса Оказалось, что для двумерных и трехмерных течений соответственно N > сКе2 и Ы> сКе6 Учитывая, что турбулентные течения появляются при больших числах Рейнольдса, эти оценки дают основания для сильных сомнений в возможности прямых численных расчетов турбулентных течений с помощью уравнений Навье-Стокса Если все же допустить, что единственное глобальное решение существует, и есть достаточно мощный компьютер, реализующий численную модель уравнений Навье-Стокса требуемой размерности, ее решение будет являться регулярной функцией пространственных координат, тогда как турбулентность обладает пространственной стохастичностью Пространственная стохастичность проявляется, в частности, в виде перемежаемости энергии диссипации Явление перемежаемости твердо установлено в экспериментах и служит одним из главных критериев правильности теории турбулентности

В §12 проводится анализ различных гипотез возникновения турбулентности Лере (1934), Ландау (1944) и Рюэля-Такенса (1971) При всех их

достоинствах, в них отсутствует механизм возникновения пространственной стохастичности, они либо недостаточно универсальны, либо не'обеспечивают модели достаточной размерности Эффект перемежаемостй в принципе описывается в рамках подхода Колмогорова, однако найти ее значение на основе численных расчетов уравнений Навье-Стокса не удалось "

Сложности возникают и при численном моделировании ламинарно-турбулентного перехода (§ 1 3) Несмотря на то, что при этом, по крайней мере на начальной стадии, множество предельных решений начально-краевой задачи для уравнений Навье-Стокса имеет малую размерность, возникают проблемы со схемной вязкостью и появлением ложных рсцилдяций в потоке, которые приводят к существенным ошибкам в определении момента и места возникновения турбулентности, ^д^кже значительно искажает турбулентное поле скоростей

Один из путей преодоления; возникающих трудностей с математической моделью турбулентности на основе уравнений Навье-Стокса состоит в построении новой модели движения жидкости, включающей все нерегулярности, свойственные турбулентности, и основой для такой модели могли бы послужить вихревые методы В самом деле,,вихревые методы имеют дело с движением отдельных вихревых элементов Система уже из четырех вихрей обладает как временной, так и пространственной стохастичностью С другой стороны, вихревые методы основаны на конечномерной динамической системе, описывающей движение вихревых элементов, следовательно сложные проблемы дискретизации уравнений в частных производных здесь не возникают, но есть проблема учета вязкости

Обзору существующих подходов к учету вязкости в методах дискретных вихрей посвящен §2 В настоящее время существуют различные подходы к решению этой проблемы, которые используют в той или иной форме уравнение вязкой диффузии завихренности Их можно разделить на две группы метод случайных блужданий (random walk), концепция которого была предложена Chonn A J (1973), и детерминистические методы Метод случайных блужданий популярен и успешно применяется во многих ситуациях Однако, этот метод имеет большие стохастические погрешности, возникающие в расчете вязкости Что касается детерминистических методов, метод га-уссового распределенного ядра (Gaussian core-spreading method), который основан на решении уравнения теплопереноса,, изучался Greengard С (1985), и было показано, что этот алгоритм сходится к системе уравнений, отличающихся от уравнений Навье-Стокса В этом методе завихренность корректно диффундирует, но ее конвекция описывается некорректно, даже в пределе бесконечного количества вихрей Cottet G Н. et al (1988) предложили подход, альтернативный алгоритму распределенного ядра и основанный на том, что веса вихревых частиц меняются на каждом шаге по времени без изменения их положений, так что выполняется закон сохранения завихренности, Rossi

(1996) был предложен новый детерминистический подход, использующий адаптивную пространственную детализацию, и установлена его равномерная сходимость Таким образом, проблемы существующих подходов к учету вязкости решаемы, но все они требуют решения сложных уравнений, что значительно усложняет классический метод дискретных вихрей для идеальной жидкости В данной работе предлагается новый подход, разработанный Б Ю Скобелевым, который берет за основу классический метод и сводит учет вязкости к вычислению на каждом шаге по времени некоторых поправок к координатам и циркуляциям идеальных дискретных вихрей В результате, метод оказывается намного проще с вычислительной точки зрения, но в то же время хорошо воспроизводит основные глобальные и локальные характеристики течения

В Главе II содержится подробное описание метода, гипотезы, положенные в его основу, расчет вязких поправок и разработанный численный алгоритм для расчета конкретных течений жидкости и газа

В §1 приводятся уравнения движения двумерной системы идеальных точечных вихрей и приводятся инварианты движения

^1=--1уг -

Л - 2*6 +

г = 1,2,

(1)

где х,, у,, Г, - координаты и циркуляция г-го вихря, г £ у, N - число вихрей Система уравнений (1) может быть записана в гамильтоновой форме

= —. = —• « = 1А (2)

' Л ду, ' Л дх,

с гамильтонианом Н

(3)

Гамильтониан (3) не меняется при трансляциях и вращениях системы координат, что обуславливает существование следующих интегралов движения

Регуляризация уравнений движения достигается введением радиуса дискретизации г0, и для г <г0 индуцированная вихрем скорость считается убывающей по некоторому степенному закону до нуля на оси вихря Это несколько видоизменяет вид уравнений движения, но не вносит диссипации в систему точечных вихрей Система по прежнему остается гамильтоновой системой, и величины X, У, Ь2 остаются инвариантами

В §2 показывается, как инварианты X, У, Ь2 можно использовать для коррекция схемной вязкости Для этого введем масштабы длины I' и циркуляции Г* и перейдем к новым переменным

Г.=

(5)

Рассмотрим инварианты перенормированной системы уравнений

"•к, 7=1 ,=1

где

1 , = +Я)1'

(6)

При точном решении величины И и /2 должны сохраняться, однако при численном интегрировании они будут меняться во времени

А/2„+1=/2„+1-/2^0,

где и=1,2,3 и Аг временной шаг численного интегрирования

Для того, чтобы сохранить неизменными исходные инварианты Н и Ь2,

начнем варьировать масштабы Г* и I* во времени С физической точки зрения это означает, что дискретизация уравнений движения эквивалентна переходу в некоторую неинерциальную систему отсчета, поэтому результаты численного расчета необходимо скорректировать, то есть преобразовать в исходную неподвижную систему отсчета Для определения вида преобразований потребуем

\Н=И - и =п

Или, используя (3) и (4)

= ^ Г, „+1Г; в+) 1п гя „+1 + ^ Г, „ Ь ^ „ = О,

(9)

л я

Подставим новые переменные из (5), используем (6) и учтем, что Г, „и = Г, я и Г , = Гу л, поскольку численное интегрирование уравнений движения не меняет циркуляции Кроме того, положим Г*п = 1, = 1,Г*л+1 = Г*, ¿*л+1 н ¡' В результате получаем систему уравнений

В итоге численный алгоритм выглядит следующим образом На и-м слое по времени вычисляются величины /г„,/2„, выполняется численное интегрирование уравнений движения (1), находятся новые координаты , у1 и вычисляются величины Ая+1,/2я+1 Далее, численно решается система уравнений (10), например из второго уравнения выражается Г* и подставляется в первое, которое решается методом итераций Поскольку величины Г* и II близки к единице, удобно вместо них использовать величины АГ, Д£

на определение Г* и Ь'

(10)

АГ = Г* -1, Д£ = £*-1

(И)

Тогда, новые значения координат и циркуляций находятся как

>>,«, = (1 + ^)5^'

Г,„.|1=(! + АГ)Г,1„.

и используются в качестве начальных значений для следующего шага Из сп'бсоба построения преобразования (12) следует, что инварианты//иЬ2, выраженные через преобразованные координаты, сохраняются

В §3 вышеописанный подход используется для моделирования физической вязкости Для этого находятся выражения величин Я, Ь2, Хи Г для вязкой жидкости и определяется их зависимость от времени

В §3 1 и §3 2 находятся выражения зависимости изменения энергии течения Е и дисперсии 1? от вязкости и формулируются две гипотезы, лежащие в основе метода

В двумерных течениях покоящейся на бесконечности невязкой жидкости энергия IV я дисперсия Ь2 записываются как

ТГ = --2-§аа'\в\г-г'\<1Ж, £ = ¡а(х2 + />¿5, (13)

4 7Г ~ «

¿о ^о

где р - плотность, со = а)(х,у), а)' = о)'(х',у') - распределения завихренности, г = (х,у), ЛЯ - элемент площади, и интегралы берутся по всей области течения 50

После перехода от непрерывного распределения завихренности к дискретному получаем дискретные аналоги инвариантов (13)

, ¿2=£Г,(х?+у?), (14)

1=1

где Е ~ регулярная часть энергии завихренности IV Под действием вязкости они изменяются как

— = -//У'Г2, ^ = 0 (15)

Л Л

Можно показать, что координаты центра завихренности X, У по прежнему сохраняются

Уравнения (15) описывают изменение инвариантов движения идеальных вихрей под действием вязкости С другой стороны, дискретизация уравнений (2) и их интегрирование ведет к появлению погрешностей, что вызывает неконтролируемые изменения Е и ¿2 в численных расчетах Чтобы использовать условия (15) для моделирования вязкости и компенсации погрешностей счёта, примем следующие две гипотезы

Е = р

г N

—IX2-

1

Движение системы идеальных точечных вихрей моделирует вязкое течение, если регулярная часть энергии завихренности Е удовлетворяет уравнению (14)

И дискретизация завихренности (переход от непрерывного распределения к точечным вихрям), и дискретизация уравнений движения (2) эквивалентны переходу в некоторую неинерциальную систему координат Следовательно, для получения результатов в исходной, физической системе координат необходимо выполнять обратное преобразование координат и времени после каждого шага численного интегрирования уравнений движения Эти преобразования определяются условиями (15)

Рассмотрим конечно-разностные формы уравнений (15)

N

= АЬ2 = 0, (16)

где V - кинематическая вязкость Это дает нам искомые поправки к условию (8)

N

Д£=я„+1-Я„=-ИЧ£ Г?,

(-1 и

Напомним, что х1П+1,у1п+] обозначают у нас координаты г-го вихря, полученные на («+1 )-.м шаге интегрирования уравнений (2), аГ„ - соответствующее значение циркуляции (оно не меняется при переходе с п-го на (л+1)-й слой по времени) Переход в физическую систему координат выполняется при помощи преобразований (12), а система уравнений (10) для нахождения поправок Д£„+,, ДГ„, преобразуется в

(1 + ЛГ)2

Ья+1~— 1п(1 + Л1)£Га„Г,„

N

I

а в=1

(18)

(1 + ДГ)(1 +Д1) гя+1 -1г„ = 0

Как и в предыдущем параграфе, можно выразить из второго уравнения 1 + ДГ, подставить в первое и полученное нелинейное уравнение на 1 + решать методом итераций После преобразований (12) мы получаем величины координат и циркуляций идеальных точечных вихрей, моделирующих течение с заданной кинематической вязкостью V

В §4 описывается численный алгоритм, реализующий разработанный подход для учета вязкости в двумерных течениях Условно его можно разделить на два этапа, на первом из которых выполняется интегрирование уравнений движения и находятся координаты вихрей на новом слое по времени, а на втором из системы уравнений (18) находятся вязкие поправки Д£п+1, АГ„И и проводится соответствующая коррекция координат и циркуляций Приводится схема алгоритма с комментариями

В Главе III описывается численный расчет свободных течений (система четырех вихрей, вихревое пятно) и течений в областях с границами (обтекание пластины, плоская струя) Приводятся полученные результаты, их сравнение с теорией и данными экспериментов

В § 1 собраны результаты моделирования течений со свободной границей система четырех вихрей и вихревое пятно

В §1 1 было исследовано влияние вязкости на систему из четырех дискретных вихрей с тремя вихрями равномерно распределенными по окружности и одним в центре, впервые изученную Новиковым Показано, что в отсутствие вязкости движение вихрей стохастично, и их траектории заполняют собой почти весь круг Если добавить небольшую вязкость, движение остается стохастичным, но траектории с течением времени формируют кольцо К сожалению, в данной задаче алгоритм вязкой корректировки эффективно работает лишь для вязкости V <5 1СГ4 и небольших времен При большей вязкости и больших значений < расчет расходится, что связано с малым количеством вихрей и трудностью учета диффузии завихренности из области течения Эта трудность была преодолена в следующей задаче

В §1 2 рассматривается круговой вихрь единичного радиуса с равномерно распределенной завихренностью и циркуляцией Г0 = 1 (вихрь Ренки-яа) Он заменяется системой равномерно распределенных точечных вихрей В этой задаче завихренность, диффундировавшая из области вихревого пятна на бесконечность, была учтена с помощью виртуального вихря, помещенною в область завихренности и обеспечивающего выполнение закона сохранения полной завихренности и закона сохранения координат центра завихренности Такой подход позволил избежать проблем, возникших в предыдущей задаче

В §2 описывается численное моделирование течений при наличии твердых границ Учет влияния твердых границ представляет собой некоторую проблему В отсутствие вязкости достаточно выполнения условия непротекания

и 11 = 0 на Ш,

где и - вектор скорости, п - вектор нормали к границе, дО. - граница области В вязком случае, при моделировании течения уравнениями Навье-Стокса, граничное условие меняется на условие прилипания

и = 0 на ЭП

(19)

н представляет собой определенную сложность для моделирования В данных вычислениях в качестве некоторого приближения используется условие непротекания, реализация которого будет более подробно описана в следующем параграфе При дальнейшем развитии метода предполагается моделировать границу двумя рядами вихрей

В §2 1 описывается метод моделирования границ, используемый во многих исследованиях, в частности проведенных группой С М Белоцерков-ского Граница делится на п участков Неподвижные вихри Г, помещаются в серединах участков, а контрольные точки Т, - на их концах Точки отрыва свободных вихрей от кромок располагаются на касательных к профилю линиях на расстояниях, равных половине длины участка В результате такого разбиения все контрольные точки оказываются посередине между соседними неподвижными дискретными вихрями, а крайние из них - на кромках профиля

О X—О—X—О-----О—X—О—X о

Рис 1 Моделирование границы

Безразмерные координаты дискретных вихрей и контрольных точек для плоской пластины будут равны

1~1/2

хг --, 1 = 0, ,п +1

л

хт=г/п, ¡ = 0, ,п

Этот метод учета границ был использован и в данной работе

§2 2 содержит описание и результаты моделирования обтекания плоской пластины потоком вязкой жидкости с постоянной скоростью ио Пластина замещается системой неподвижных точечных вихрей, как было описано в предыдущем параграфе Точки отрыва свободных вихрей располагаются на фиксированном расстоянии от краев пластины Два свободных вихря порождаются перед каждым шагом интегрирования уравнений движения Циркуляции неподвижных и свободных вихрей определяются из двух условий условие непротекания в контрольных точках, расположенных между неподвижными вихрями и на краях пластины, и равенства нулю полной циркуляции Таким образом, есть два типа вихрей в задаче перед переходом к («+!)-

му шагу по времени Л^ неподвижных вихрей и 2п свободных вихрей Свободные вихри движутся в соответствии с уравнениями (1), дополненными вкладом от неподвижных вихрей и внешнего течения

Условие непротекания в контрольных точках, гипотеза Чаплыгина-Жуковского на обеих кромках профиля и условие равенства нулю суммарной циркуляции дают нам систему уравнений для определения неизвестных циркуляции неподвижных вихрей Г5, (1=1, ,N0), а также двух новых вихрей, сходящих с кромок профиля

2 п

1=1 1=1

"о 2п

1гя+£гт=0

1=1

где и>а ) и и>т (тх,) - нормальные составляющие безразмерной скорости в

контрольных точках от вихрей Гя и Гет соответственно Определение положения свободных вихрей производится интегрированием уравнений движения (1)

Преобразования координат и циркуляций, описанные в предыдущей главе, выполняются на каждом шаге по времени, начиная с некоторого слоя п0, перед порождением двух новых вихрей При этом принимается во внимание, что N свободных вихрей, находящихся на («+1)-м временном слое (И-2п + 2), движутся во внешнем поле скорости, порождаемом набегающим потоком и неподвижными вихрями Влияние внешней скорости С/0 исключается переходом в систему координат, движущуюся с внешним потоком

Скорость и = (и^,и ), порожденная неподвижными вихрями, приводит к дополнительным изменениям в энергии Е и величине I2 На интервале времени А? эти изменения имеют вид

АЕ = /й£тК1иу1-иуЮ

1=1

где и 1 — величина £У в точке г-го вихря, а и; — скорость, наведённая в этой точке всеми свободными вихрями, исключая г'-й вихрь. Соответствующие вклады от неподвижных вихрей вычитаются из величин /2„+,,е/[т, до определения параметров преобразования.

В численном моделировании пластина замещалась М0 = 20 неподвижными вихрями. Точки отрыва свободных вихрей располагались на расстояниях 1/2]У0 от краёв пластины. Результаты показали, что предлагаемый метод учёта вязкости хорошо моделирует вихревую дорожку Кармана и зависимость числа Струхаля БЬ от числа Рейнольдса Яе. Примеры вихревых дорожек Кармана в момент 1 = 70 приведены для Яе = 100 на Рис. 2 и для Яе= 1000 на Рис. 3

Рис. 2. Вихревая дорожка Кармана при / = 70 и Яе = 100.

Рис. 3. Вихревая дорожка Кармана при / = 70 и Яе = 1000.

Сравнение значений числа Струхаля БЬ с экспериментальными данными в диапазоне 50 < Яе < 1000 показано на: Рис. 4.

ЭЪ А

Рис. 4. Зависимость числа Струхаля от числа Рейнольдса и сравнение с экспериментальными данными.

Сплошные линии показывают экспериментальную зависимость БЬ от Ис, кружки обозначают результаты численного моделирования

§2 3 показывает ¡применимость предлагаемого метода к исследованию влияния вязкости на аэродинамические характеристики пластины Описан численный расчет коэффициента сп нормальной силы и безразмерной координаты Ха центра давления при различных углах атаки и числах Рейнольдса

§2 4 посвящен моделированию плоской струи, вытекающей из сопла в затопленное пространство Расчетная область представляет собой сопло, состоящее из двух параллельных друг другу стенок, длиной 15=4,5, отстоящих на расстоянии 2Д5=2 друг от друга Стенки сопла моделировались двумя системами из N=3 0 равноотстоящих точечных вихрей Г, ^, Г,,, и расположенных посередине между ними контрольных точек Т^, Г2а

Г15Ы Г^Ы Г] 5,1 7*151 •—X—•—X—•—

•—*—I

Г 2SN Ткы

о----о---о-

Гы 9 ___<у-'

Ггв! Згэ!

<>----о-

Ггет

—-о—

-о-.

гм ь

Рис 5 Моделирование плоской струи

В каждый момент времени на кромках сопла образуется два новых вихря Г15„, Г2Л,, которые начинают перемещаться в поле скоростей, наведенном всей системой вихрей Необходимо определить циркуляции вихрей на стенках, а также циркуляции двух новых вихрей Имеется условие непротекания в контрольных точках, которое дает 2Ы уравнений

2

£ "нь Рщ )ГИ, + Ё )Г*

= 0, / = 1,2, ; =

(20)

где и (Т^) - нормальные составляющие безразмерной скорости

в контрольных точках ТК] от вихрей Г&, и Тка1 соответственно Еще одно уравнение получается из условия сохранения суммарной циркуляции

(2D

4=1 V 1=1 J

И замыкается система уравнением расхода через сопло

V; (22)

j=i ы V i=i м

п - количество точек в сечении сопла, интегрированием по которым насчитывался выходной поток В расчетах п-10

Из решения системы находятся циркуляции всех вихрей, что позволяет рассчитать скорости в точках расположения свободных вихрей и найти их новые координаты интегрированием уравнений

^ = = (23)

drv drv

В расчетах шаг но времени At = 0,2

Как и в случае моделирования обтекания пластины, после каждого шага интегрирования выполняется вязкая коррекция координат и циркуляций свободных вихрей (12) с предварительной поправкой инвариантов на внешнюю скорость Для ускорения счета применялась процедура попарного объединения вихрей, удалившихся от сопла на достаточно большое расстояние

На Рис 6 приведена характерная картина течения для вязкости 0,001 и безразмерного времени 80 На Рис 7 - сравнение профиля продольной составляющей средней скорости с другим расчетом и экспериментом По оси абсцисс (вверху) отложено расстояние от среза сопла, внизу — амплитуда скорости По оси ординат - расстояние от оси струи Вязкость - 3,74 10"5, «о»-расчет, «+» - расчет Shimizu S (1986) без учета вязкости, «•»-эксперимент Hussain AKMF, Thompson С А (1980) Видно, что вязкая коррекция смещает результаты расчета по сравнению с классическим методом дискретных вихрей в сторону большего соответствия эксперименту

Рис. 6. Характерная картина течения.

„Чй

Рис. 7. Профиль средней скорости.

Расчёты показали, что, независимо от числа Рейнольдса, струю можно разбить на три характерные области: 0 < х < В - начальная (струйный профиль ещё не сформировался, и течение, по сути, состоит из двух слоёв сдвига); 8 <х< 12 - ламинарная; х> 12 - турбулентная. В ламинарной области численные расчёты полуширины струи и профиля продольной скорости хорошо совпадают с теоретическими результатами. На рис. 8 приведен профиль продольной скорости при х = 10 и вязкости 0,001 и его аппроксимация (пунктир) по теоретической формуле

Профиль продольной скорости и вязкость 0,001 Х= 10

<Г\

\\

- эксперимент

- "теория _|

Рис.

-6 -4 -2 0 2 45 у, расстояние от оси

8. Профиль продольной скорости.

и = (х + Х„ ) БСII2 (<2:77), где

(х + х0) 48к-

^ = 0,65, х„ = 24.

В заключительной части исследования, описанной в §2.5, ставилась цель проследить нарастание возмущений, вызывающих переход одной области течения в другую. Для этого на оси на различном удалении от среза сопла измерялись пульсации продольной скорости и исследовался их спектр. Если посмотреть отдельные гармоники в начальной области, то видно, что сначала они растут экспоненциально в соответствии с линейной теорией устойчиво-

сти, затем наступает стадия нелинейного развития, характеризующаяся замедлением роста и появлением субгармоник (Рис. 9).

0,040 0,035 : 0,030 ; 0,025 }■ 0,020 с 0.015 ; 0,010 1 0,005 0, ООО

вязкость' 0 001

Теория: у = а*ехр(Ь*х)

а 0.00035 10.00013 Ь 0.93233 ±0.09342

/

-■- частота 0.088 « частота 0:049' .... теория

2 3 4 5 6 7 х, расстояние от сопла

Рис. 9. Экспоненциальный рост гармоники, стабилизация и появление субгармоник.

0,007 0.006 | 0,005 I 0,004 § 0,003

I 0,002

с

I 0,001 ■ одао

Частота 0,0585 Теория: у - а"ехр{Ь"х)

т вязкость 0,01 вязкость 0,001 -- - теория -теория

э,о

х. расстояние от сопла

Рис. 10. Сравнение роста гармоник для вязкостей 0,01 и 0,001. Большей вязкости соответствует меньший инкремент нарастания.

При экспоненциальной аппроксимации амплитуд гармоник видно, что большей вязкости соответствует меньший инкремент нарастания (Рис. 10), что опять-таки находится в согласии с линейной теорией. Аналогичная картина наблюдается в области ламинарно-турбу-лентного перехода при 8 < х <12 (Рис. 11).

5 0.020

ь 0,01 |

I -■-частота0,0781 : ♦ частота 0.0391

х. расстояние от сопла

Рис. 11. Появление гармоник 8 <х < 12, вязкость 0,01.

при

Надо отметить, что в отличие от погранслоя, где сначала выделяется одна нарастающая волна Толмина-Шлихтинга, для начального участка струи характерен целый спектр практически одновременно нарастающих гармоник. Этот результат находится в полном соответствии с линейной теорией гидродинамической устойчивости. Известно, что линейная нейтральная кривая для погранслойного течения имеет ярко выраженный «носик», в то время как сдвиговые слои в начальном участке струи неустойчивы при всех числах Рейнольдса. При Яе —> со это неустойчивость Рэлея (невязкая неустойчи-

вость), а неустойчивость при конечных 11е и при 11е —> О была получена численно в работе Бетчова Р и Криминале В (1971)

Содержание Глав II-III представляется к защите

В Заключении приведены основные результаты и выводы диссертации

1 Впервые сформулирован метод, позволяющий моделировать начальную стадию развития турбулентности в двумерных течениях вязкой несжимаемой жидкости с помощью управления интегральными характеристиками течения На основе этого метода создан численный алгоритм расчета двумерных течений вязкой жидкости

2 С помощью предложенного метода показана возможность влиять на эволюцию свободных течений, в частности на стохастичность движения вихрей При этом, характер влияния соответствует заданной вязкости

3 На примере численных расчетов обтекания плоской пластины под различными углами атаки и истечения плоской струи в затопленное пространство показано хорошее согласие численных результатов с известными экспериментальными данными

4 На основе детального изучения потери устойчивости в начальном участке струи как в ламинарной, так и в нелинейной стадии развития возмущения установлено, что динамика развития неустойчивых возмущений качественно совпадает с динамикой неустойчивости в пограничном слое

5 Показано, что разработанный метод успешно моделирует как интегральные, так и локальные характеристики ламинарных течений и начальной стадии развития турбулентности Аналогичный подход может быть развит для анализа трехмерных течений и моделирования развитой турбулентности

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1 Белоцерковский С М, Скобелев Б Ю, Шмагунов О А Моделирование течений вязкой жидкости движением дискретных вихрей // Международная конференция4 «Математические модели и численные методы механики сплошных сред» Тезисы докладов Новосибирск, 1996 С 153

2 Белоцерковский С М , Скобелев Б Ю , Шмагунов О.А Новый подход к моделированию вязкости в методе дискретных' вихрей // Второй Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-96)- Тезисы докладов Новосибирск, 1996 С 210-211

3 Belotserkovsky S М,' Scobelev В Yu, Shmagunov О A Viscosity simulation in the method of discrete vortices // Computational Fluid Dynamics'96 Proceedings of the Third ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference Paris, 1996 P 791-796

4 Scobelev В Yu, Shmagunov О A New method of viscosity simulation in a system of discrete vortices // Proceedings of Saint-Venant Symposium Pans, 1997 С 133-140

5 Scobelev В Yu, Shmagunov O. A A new approach to the modeling viscous diffusion in vortex element methods // Fluid Mechanics and Its Applications Vol 44 / Ed E Krause and К Gersten Dordrecht Kluwer Academic Publishers, 1998, P 95-104

6 Скобелев Б Ю , Шмагунов О А Принципиальные трудности описания турбулентности уравнениями Навье - Стокса и метод дискретных вихрей // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) Тезисы докладов Ч II Новосибирск. Ин-т математики СО РАН, 1998 С 122

7 Скобелев Б Ю, Шмагунов О А Анализ эффективности уравнений Навье -Стокса для описания турбулентных течений // ' Международная конференция «Математические модели и методы их исследования» Тезисы докладов Красноярск, 1999 С. 186

8 Scobelev В Yu, Shmagunov О A Principal difficulties of turbulence description by Navier - Stokes equations and vortex methods // Proceedmgs of the First International Conference on Vortex Methods Kobe, 1999 P 23-30

9 Скобелев Б Ю, Шмагунов О А Численный расчет турбулентных характеристик плоской струи методом дискретных вихрей [Электронный ресурс] // XVII школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости «Вычислительные технологии 2000» Тезисы докладов. Новосибирск. ИВТ СО РАН, 2000 Режим доступа

http //www ict nsc ru/ws/show_abstract dhtmP8+624

10 Скобелев БЮ, Шмагунов OA. Численный расчет турбулентных характеристик плоской струи методом дискретных вихрей [Электронный ресурс] // Конференция молодых ученых, поев 10-летию ИВТ СО РАН. Тезисы докладов Режим доступа

http://www ict nsc ru/ws/show_abstract dhtmPru+9+1212

11 Скобелев Б Ю , Шмагунов О А Проблема учета вязкости в методах дискретных вихрей // Вычислительные технологии 2001 T 6, ч 2 С 563-569

12 Скобелев БЮ, Шмагунов OA Численный расчет турбулентных характеристик плоской струи методом дискретных вихрей // Труды Конференции молодых ученых, поев 10-летию ИВТ СО РАН Новосибирск, 2001 С 140-144

13 Скобелев Б Ю , Шмагунов О А Расчет течений вязкой жидкости методом дискретных вихрей // Всероссийская конференция молодых ученых "Проблемы механики теория, эксперимент и новые технологии" Тезисы докладов Новосибирск, 2001 С 43

14Шмагунов OA Метод дискретных вихрей проблема учета вязкости // Труды 33-й Региональной молодежной конференции Екатеринбург, 2002, С 200-204 [Рецензируемый сборник ]

15 Шмагунов О А Нелинейное нарастание возмущений в плоской струе // IV Всероссийская конференция молодых ученых "Проблемы механики теория, эксперимент и новые технологии" Тезисы докладов Новосибирск, 2004 С 42

16 Shmagunov О A Nonlinear disturbance growth in a plain jet // International Conference on the Methods of Aerophysical Research Proceedings Pt IV Novosibirsk, 2004 P 285-290

17 Шмагунов О А Исследование развития течения в плоской струе методом дискретных вихрей // Труды Третьей международной научно-практичес-

кой конференции "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности" Санкт-Петербург, 2007 С 162-163

18 Шмагунов О А Применение метода дискретных вихрей к анализу развития течения в плоской струе [Электронный ресурс] // Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007 Тезисы докладов Новосибирск, 2007 Режим доступа

http //www sbras ru/ws/show_abstract dhtmPru+löA+nOlQ

19 Скобелев Б Ю , Шмагунов О А Новый подход к моделированию вязкости в методе дискретных вихрей // Вычислительные технологии 2007 Т 12, №5 С 116-125

Ответственный за выпуск О А Шмагунов

Подписано в печать 21 04 2008 Формат бумаги 60 х 84/16, Уел печ л 1 0, Уч -изд л 1 0, Тираж 100 экз , Заказ № 3

Отпечатано на ризографе ЗАО "ИНТЕРТЕК" 630090, Новосибирск, Институтская 4/1

Введение.

Глава I. Проблемы моделирования турбулентных течений.

1. Модели турбулентности, основанные на уравнениях Навье-Стокса.

1.1. Математические проблемы.

1.2. Анализ различных гипотез возникновения турбулентности.

1.3. Проблемы численных расчётов турбулентности и ламинарно-турбулентного перехода.

2. Учет вязкости в методах дискретных вихрей.

Глава II. Моделирование вязкости на основе инвариантов движения системы дискретных вихрей.

1. Идеальные точечные вихри.

2. Коррекция схемной вязкости.

3. Моделирование физической вязкости.

3.1. Гипотеза вязкости.

3.2. Неинерциальное преобразование системы координат.

4. Описание численного алгоритма.

Глава III. Численные расчёты конкретных течений.

1. Свободные течения.

1.1. Система четырёх вихрей.

1.2. Вихревое пятно.

2. Течения в области с границами.

2.1. Метод Белоцерковского.

2.2. Обтекание пластины.

2.3. Аэродинамические характеристики пластины.

2.4. Истечение плоской струи.

2.5 Нелинейный рост возмущений в начальном участке струи.

2.6 Ламинарно-турбулентный переход в струе.

Задача рассматривается в контексте проблемы моделирования турбулентных течений. Расчёт турбулентных течений по моделям, основанным на уравнениях Навье-Стокса, наталкивается на ряд ограничений, которые будут более подробно рассмотрены в §§1.1-1.3 Главы I. От них свободны методы дискретных вихрей [1]. Вихревые методы хорошо зарекомендовали себя как привлекательный и успешный подход к численному моделированию несжимаемых течений жидкости для больших чисел Рейнольдса [2]. У них есть несколько отличительных особенностей, как было показано в [3]: (1) Физические механизмы в реальном сложном течении могут быть смоделированы взаимодействием дискретных вихрей, (2) вихревые методы автоматически адаптивны, поскольку вихри концентрируются в области, представляющей физический интерес, и (3) им не свойственны ошибки, такие как численная вязкость. Математический анализ точности и сходимости вихревых методов для течений невязкой жидкости был проведён в [3-6]. Ряд интересных результатов был получен в разное время в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН, например в [7, В] предлагается вариационный метод построения дискретных вихревых моделей на основе принципа Гамильтона и строится обобщённая модель дискретных вихревых частиц для описания двумерных течений идеальной несжимаемой жидкости. Построенная модель сравнивается с использовавшимися ранее и тестируется на решении тестовых задач о вихрях Рэнкина и Кирхгофа, имеющих аналитические решения. Выводятся инварианты течения - энергия, импульс и момент импульса. В [9] гамильтонов формализм двумерной системы идеальных вихревых элементов обобщается на пространственный случай и показано, что интегралами трёхмерной системы являются полная энергия, суммарный импульс и суммарный момент. В [7, 10] метод вихревых частиц применяется к описанию течений в областях с границами и отрывных течений, в частности эволюции вихревой пелены, сходящей с острой кромки полубесконечной пластины. В [11, 12] анализируются вихревые возмущения в слое смешения и рассматривается возможность управления ими.

Некоторую проблему представляет учёт твёрдых границ, но условие непротекания может быть удовлетворено точно во всех точках поверхности [13, 14]. Так, известно, что при отрывном обтекании кругового цилиндра с образованием вихрей в потоке граничные условия на поверхности цилиндра могут быть удовлетворены путём расположения дополнительных вихрей в точках инверсии внутри цилиндра [15, 16]. Во всех других случаях плоского течения (отрывное обтекание крыловидного профиля и т.п.) следует воспользоваться конформным отображением внешности обтекаемого тела на какую-либо вспомогательную плоскость (внешность круга, верхняя полуплоскость и др.) [15-17]. Труднее учесть условие прилипания. Это граничное условие имеет очень важную физическую интерпретацию: оно ответственно за возникновение завихренности на границе. В данной работе в качестве некоторого приближения будет использоваться условие непротекания, о чём более подробно будет сказано в §2 Главы II.

Другая проблема методов дискретных вихрей - учёт вязкости. Идеальные вихревые элементы достаточно хорошо описывают интегральные характеристики отрывных обтеканий различных летательных аппаратов и крупномасштабные турбулентные структуры [18, 19]. Для описания мелкомасштабной турбулентности необходимо принимать в расчёт вязкость. В настоящее время существуют различные подходы к этой проблеме [18, 20, 21, 22], которые используют в той или иной форме уравнение вязкой диффузии завихренности. Более подробно эти подходы и связанные с ними проблемы будут рассмотрены в §2 Главы I.

В данной работе применяется совершенно другой подход, предложенный Б.Ю. Скобелевым и в дальнейшем развиваемый совместно с автором. Он описан в работах [23-43], и его главная идея заключается в следующем. Как известно, двумерные течения идеальной жидкости обладают следующими инвариантами: полная завихренность, координаты центра завихренности, дисперсия завихренности и некоторая составляющая кинетической энергии. Для вязких течений первые две характеристики по-прежнему сохраняются, тогда как дисперсия и энергия изменяются во времени по известным законам [44, 45]. Как и в случае идеальных течений, непрерывное распределение завихренности <о = V х и вязкого течения моделируется набором круговых вихрей с завихренностью <у0. (Здесь и скорость. Поскольку мы рассматриваем двумерные течения, вместо векторной величины ю мы будем обычно использовать её значение по модулю со.) Устремляем радиус вихрей г0 к нулю, а их завихренность со0 — к бесконечности так, чтобы циркуляция вихрей Г0 = жг02а>0 оставалась конечной:

При этом, скорость изменения дисперсии и энергии обращается в бесконечность. Устремим исходную вязкость //0 к нулю так, чтобы скорость вызванной вязкостью диссипации энергии £> соответствовала данной вязкости //: г0-»О, ©о-»оо: 71Г02со0=Г0)

Рис. 1. Предельный переход к точечным вихрям го—>0, соо—Цо->0

Рис. 2. Соответствие диссипации энергии при предельном переходе

В результате мы получим систему идеальных точечных вихрей, энергия которых будет диссипировать так же, как кинетическая энергия вязкого течения. Чтобы согласовать диссипацию энергии с уравнениями движения идеальных точечных вихрей, постулируем, что процесс дискретизации поля завихренности вязкого течения соответствует переходу в некоторую неинерциальную систему координат. В этой системе выполняются хорошо известные уравнения движения точечных вихрей. Известно, что численная дискретизация уравнений движения порождает схемную диссипацию и дисперсию. Этот процесс также можно представить как переход в другую неинерциальную систему координат. Следовательно, чтобы получить результаты в исходной физической системе координат, необходимо после каждого шага численного интегрирования выполнять обратное преобразование координат и времени. Другими словами, если мы моделируем вязкое течение системой идеальных точечных вихрей, на каждом шаге по времени у нас накапливается некоторая ошибка, связанная с влиянием вязкости и погрешностью дискретизации и интегрирования. Задача заключается в том, чтобы найти преобразование, минимизирующее эту ошибку и, таким образом, позволяющее моделировать реальное вязкое течение. Это преобразование определяется условием соответствия диссипации энергии системы точечных вихрей некоторой заданной вязкости.

Новизна работы заключается в учёте вязкости в методе дискретных вихрей, исходя из законов сохранения инвариантов течения. Это позволяет обойтись без сложных вычислений, дополняя классический метод лишь вычислением поправок на каждом шаге по времени. Таким образом метод оказывается экономичным с точки зрения объёма вычислений и избегаются многие проблемы, связанные с использованием уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса, описанные в следующей главе. Достоверность метода доказана многочисленными расчётами различных течений и их сравнением с экспериментальными данными, при котором наблюдается хорошее совпадение в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Данный подход расширяет возможности метода дискретных вихрей достаточно экономичными средствами, что обуславливает его практическую ценность. Кроме того, он обеспечивает сохранение интегральных характеристик течения; благодаря уменьшению погрешностей дискретизации и интегрирования, метод позволяет наблюдать в течениях такие тонкие эффекты, как развитие возмущений - соответствующие результаты описаны в последней главе; позволяет моделировать начальную стадию развития турбулентности и обобщается на трёхмерный случай, расширяя возможности для моделирования развитой турбулентности. В этом случае метод может послужить хорошей основой для построения замкнутой модели турбулентности.

К защите представляется численный метод расчёта двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости, основанный на коррекции координат и циркуляций точечных вихрей для выполнения интегральных законов сохранения движения системы идеальных точечных вихрей. В известной литературе это первая попытка подобного учёта вязкости. Проделанная работа представляет собой хороший задел для дальнейшего развития подхода, в частности его обобщения на трёхмерный случай.

Диссертация построена следующим образом. В Главе I описано современное состояние проблемы, математические и вычислительные проблемы, связанные с расчётами турбулентных течений по моделям, основанным на уравнениях Навье-Стокса, существующие подходы к учёту вязкости в методах дискретных вихрей. Глава II посвящена подробному описанию разработанного метода: сформулированы гипотезы, положенные в его основу, вычислены вязкие поправки, разработан численный алгоритм для расчёта конкретных течений жидкости и газа. В § 1 приведены уравнения движения двумерной системы идеальных точечных вихрей и инварианты движения. В §2 показано, что эти инварианты можно использовать для коррекции схемной вязкости. В §3 этот же подход использован для моделирования физической вязкости. Наконец, в §4 описан численный алгоритм, реализующий разработанный подход для учёта вязкости в двумерных течениях. В Главе III описаны проведённые численные эксперименты по моделированию свободных течений (система четырёх вихрей, вихревое пятно в §1) и течений в областях с границами (обтекание пластины, истечение плоской струи в §2). Приведены полученные результаты, их сравнение с теорией и данными экспериментов. Показано, что метод правильно учитывает влияние вязкости в двумерных течениях несжимаемой жидкости. В Заключении сформулированы основные результаты, выносимые на защиту, и намечены пути обобщения метода на трёхмерный случай. В Приложении приведён вывод некоторых формул метода.

Апробация. Полученные результаты неоднократно докладывались на российских и международных конференциях: Международная конференция "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1996); Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ-96) (Новосибирск, 1996); The Third ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference (Париж, 1996); Saint-Venant Symposium (Париж, 1997); Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) (Новосибирск, 1998); International Symposium "Actual Problems of Physical Hydroaerodynamics" (Новосибирск, 1999); Международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999); The First International Conference on Vortex Methods (Кобе, Япония, 1999); Конференция "Вычислительные технологии 2000" (Новосибирск, 2000); Конференция молодых учёных, поев. 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000); Международная конференция, поев. 80-летию академика H.H. Яненко (Новосибирск, 2001); Всероссийская конференция молодых учёных "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии" (Новосибирск, 2001); 33-я Региональная молодёжная конференция (Екатеринбург, 2002); IV Всероссийская конференция молодых учёных "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии" (Новосибирск, 2004); The Twelfth International Conference on the Methods of Aerophysical Research (ICMAR'2004) (Новосибирск, 2004); Третья международная научно-практическая конференция "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности" (Санкт-Петербург, 2007); Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск, 2007). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [25-43].

Основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Впервые сформулирован метод, позволяющий моделировать начальную стадию развития турбулентности в двумерных течениях вязкой несжимаемой жидкости с помощью управления интегральными характеристиками течения. На основе этого метода создан численный алгоритм расчёта двумерных течений вязкой жидкости.

2. С помощью предложенного метода показана возможность влиять на эволюцию свободных течений, в частности на стохастичность движения вихрей. При этом, характер влияния соответствует заданной вязкости.

3. На примере численных расчётов обтекания плоской пластины под различными углами атаки и истечения плоской струи в затопленное пространство показано хорошее согласие численных результатов с известными экспериментальными данными.

4. На основе детального изучения потери устойчивости в начальном участке струи как в ламинарной, так и в нелинейной стадии развития возмущения установлено, что динамика развития неустойчивых возмущений качественно совпадает с динамикой неустойчивости в пограничном слое.

5. Показано, что разработанный метод успешно моделирует как интегральные, так и локальные характеристики ламинарных течений и начальной стадии развития турбулентности. Аналогичный подход может быть развит для анализа трёхмерных течений и моделирования развитой турбулентности.

Заключение

На основе метода дискретных вихрей разработан новый численный метод моделирования двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости. Существенное преимущество этого метода заключается в исключении влияния численной диссипации из физических процессов. Процесс интегрирования уравнений движения дополняется процедурой локальной коррекции координат и циркуляций точечных вихрей с целью привести изменения энергии и дисперсии вихревого движения в соответствие с заданной вязкостью. Несмотря на приближения метода - двумерность и условие непротекания на границах, - численное моделирование показывает, что он достаточную эффективен для моделирования ламинарных течений и начальной стадии турбулентности. Для моделирования развитой турбулентности необходим переход к трёхмерности, и концепция метода позволяет развить аналогичный подход для трёхмерных течений. Известно, что трёхмерные идеальные течения имеют следующие инварианты [9]: полная завихренность, импульс, момент импульса, кинетическая энергия и спиральность. Для вязких течений первые три величины по прежнему сохраняются, а энергия и спиральность изменяются по известным законам [44, 109]. Непрерывное поле завихренности может быть аппроксимировано набором коротких сегментов вихревых нитей. Каждый сегмент может быть представлен как предел системы замкнутых вихревых нитей. Тогда появляется возможность разработать численный алгоритм для учёта вязкости, подобный алгоритму для двумерных течений.

1. Cottet, G.-H. Vortex methods: theory and practice / G.-H. Cottet, P. Kou-moutsakos. Cambridge University Press, 2000. 320 p.

2. Sarpkaya T. Computational methods with vortices The 1988 Freeman scholar lecture. // ASME J. Fluid Eng, 1989, 115. P. 5-52.

3. Beale J. T. Vortex methods. I: Convergence in three dimensions and vortex methods. II: Higher order accuracy in two and three dimensions. // Math. Com-put. 1982, 39. P. 1-27, 29-52.

4. Anderson C., Greengard C. On vortex methods. // SIAM J. Numer. Anal. 1985, 22. P. 413-440.

5. Hald O.H. Convergence of vortex methods for Euler's equations, III. // SIAM J. Numer. Anal., 1987, 24. P. 538-582.

6. Cottet G.H., Mas-Gallic S., Raviart P.A. Vortex methods for incompressible Euler and Navier-Stokes equations. // Computational fluid dynamics and reacting gas flows, Eds. B. Engquist, M. Luskin, A. Majda, New York: SpringerVerlag, 1988. P. 47-68.

7. Веретенцев A.H., Куйбин П.А., Рудяк В.Я. Моделирование формирования вихря на острой кромке полубесконечной пластины. // Изв. СО РАН, Сер. Тех. наук, 1988, №7, вып. 2. С. 21-25.

8. Веретенцев А.Н., Рудяк В .Я., Яненко Н.Н. О построении дискретных вихревых моделей течений идеальной несжимаемой жидкости. // ЖВМиМФ, 1986, т. 26, №1. С. 103-113.

9. Яненко Н.Н., Веретенцев А.Н., Григорьев Ю.Н. Гамильтонов формализм для пространственной системы малых вихрей в идеальной жидкости //

10. Численные методы механики сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т теоретической и прикладной механики, 1979, т. 10. № 5. С. 144-149.

11. Веретенцев А.Н., Гешев П.И., Куйбин П.А., Рудяк В.Я. О развитии метода вихревых частиц применительно к описанию отрывных течений. // ЖВМиМФ, 1989, т. 29, №6. С. 878-887.

12. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я. Об управлении развитием вихревых возмущений в слое смешения. // МЖГ, 1988, №3. С. 78-84.

13. Kuibin P.A., Rudyak V.Ya., Veretensev A.N. Instability Development Processes in Separated Flows behind the Plate. // Abstracts of IUTAM Symposium on Separated Flows and Jets, 9-13 July 1990, Novosibirsk, 1990. C.162-163.

14. Белоцерковский C.M., Гиневский А.С. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. Москва, 1995.

15. Shimizu S. Discrete-vortex Simulation of a Two-dimensional Turbulent Jet. // Bulletin of JSME, August 1986, vol. 29, no. 254. P. 2440-2446.

16. Ильичёв К.П., Постоловский П.Н. Расчётное исследование нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости. // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1972, №2. С. 72-82.

17. Sarpkaya Т., Schoaff R.L. Inviscid model of two-dimensional vortex shedding by a circular cylinder. // AIAA Journal, 1979, vol.17, no. 11. P. 11931200.

18. Liu J.T.C. Coherent structures in transitional and turbulent free shear flows. // Ann. Rev. Fluid Mech., 1989, vol. 21. P. 285-315.

19. Belotserkovsky S. M., Lifanov I. Method of Discrete Vortices. CRC Press, USA, 1997.

20. Leonard. Computing three-dimensional incompressible flows with vortex elements. // Annu. Rev. Fluid Mech, 1985, 17. P. 523-559.

21. Chorin A. J. Numerical study of slightly viscous flow // J. Fluid Mech. 1973, vol. 57. P. 785-796.

22. Winckelmans G. S., Leonard A. Contributions to Vortex Particle Methods for the Computation of Three-Dimensional Incompressible Unsteady Flows // J. Сотр. Phys, 1993, vol. 109. P. 247-273.

23. Таранов A.E. Применение метода вихревых частиц для решения задач динамики вязкой жидкости: дис. . канд. техн. наук / А.Е. Таранов. Санкт-Петербург, 2001. 152 с.

24. Белоцерковский С.М., Скобелев Б.Ю. Метод дискретных вихрей и турбулентность. // Препринт № Ю-93 ИТПМ СО РАН, Новосибирск, 1993.1. С. 38.

25. Belotserkovsky S.M., Scobelev B.Yu. Discrete vortex method and turbulence. IIICAR Report, no. 6-94, Inst. Theor. Appl. Mech., Novosibirsk, 1994. P. 42

26. Белоцерковский С.М., Скобелев Б.Ю., Шмагунов О.А. Новый подход к моделированию вязкости в методе дискретных вихрей // Второй Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-96): Тезисы докладов. Новосибирск, 1996. С. 210-211.

27. Belotserkovsky S.M., Scobelev B.Yu., Shmagunov О.А. Viscosity simulation in the method of discrete vortices // Computational Fluid Dynamics'96:

28. Proceedings of the Third ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference. Paris, 1996. P. 791-796.

29. Scobelev B.Yu., Shmagunov O.A. New method of viscosity simulation in a system of discrete vortices // Proceedings of Saint-Venant Symposium. Paris, 1997. C.133-140.

30. Scobelev B. Yu., Shmagunov O. A. A new approach to the modeling viscous diffusion in vortex element methods // Fluid Mechanics and Its Applications. Vol.44 / Ed. E. Krause and K. Gersten. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998, P. 95-104.

31. Скобелев Б. Ю., Шмагунов О. А. Анализ эффективности уравнений Навье Стокса для описания турбулентных течений // Международная конференция «Математические модели и методы их исследования»: Тезисы докладов. Красноярск, 1999. С. 186.

32. Scobelev В. Yu., Shmagunov O.A. Principal difficulties of turbulence description by Navier Stokes equations and vortex methods // Proceedings of the First International Conference on Vortex Methods. Kobe, 1999. P. 23-30.

33. Скобелев Б.Ю., Шмагунов O.A. Проблема учёта вязкости в методах дискретных вихрей // Вычислительные технологии. 2001. Т. б, ч. 2.1. С. 563-569.

34. Скобелев Б.Ю., Шмагунов O.A. Численный расчёт турбулентных характеристик плоской струи методом дискретных вихрей // Труды Конференции молодых учёных, поев. 10-летию ИВТ СО РАН. Новосибирск, 2001. С. 140-144.

35. Скобелев Б.Ю., Шмагунов O.A. Расчёт течений вязкой жидкости методом дискретных вихрей // Всероссийская конференция молодых учёных "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии": Тезисы докладов. Новосибирск, 2001. С. 43.

36. Шмагунов O.A. Метод дискретных вихрей: проблема учёта вязкости // Труды 33-й Региональной молодёжной конференции. Екатеринбург, 2002, С. 200-204. Рецензируемый сборник.

37. Шмагунов O.A. Нелинейное нарастание возмущений в плоской струе // IV Всероссийская конференция молодых учёных "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии": Тезисы докладов. Новосибирск, 2004. С. 42.

38. Shmagunov O.A. Nonlinear disturbance growth in a plain jet // International Conference on the Methods of Aerophysical Research: Proceedings. Pt. IV. Novosibirsk, 2004. P. 285-290.

39. Скобелев Б.Ю., Шмагунов O.A. Новый подход к моделированию вязкости в методе дискретных вихрей // Вычислительные технологии. 2007. Т. 12, №5. С. 116-125.

40. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М. Мир, 1973.

41. Шавалиев М.Ш. Законы изменения моментов распределения завихренности под влиянием вязкости, внешнего поля скорости и наличия твёрдых границ. // Механика неоднородных и турбулентных потоков: Сб. науч. тр. / М.: Наука, 1989. С. 63-69.

42. Leray, J. Sur le mouvements d'un liquide visqueux emplissant l'espace. // Acta. Math., 1934, 63.

43. Hopf, E. Uber die Anfangswertanfgambe fur die hydrodynamischen Grun-gleichungen. //Math. Nachlichten, 1950-51, 4. P. 213-231.

44. Scheffer, V. Turbulence and Hausdorff dimension. // Lecture Notes in Math, 1976, 565. P. 94-112.

45. Ладыженская O.A. О конечномерности ограниченных инвариантных множеств для диссипативных задач // Докл. АН СССР, 1982, т. 263, № 4. С. 802-804.

46. Ильяшенко Ю.С. Слабосжимающие системы и аттракторы галеркин-ских приложений уравнений Навье-Стокса на двумерном торе // Успехи механики, 1982, т.5, вып. 1/2. С. 31-63.

47. Бабин А.В., Вишик М.И. Оценки сверху и снизу размерности аттракторов эволюционных уравнений с частными производными // Сиб. мат. ж., 1983, т. 24, №5. С. 15-30.

48. Foias, С., Treve, Y. Minimum number of modes for the approximation of the Navier-Stokes equations in two and three dimensions. // Phys. Letters, 1981, 85A, 1.

49. Foias, C., Temam, R. Asymptotic numerical analysis for the Navier-Stokes equations. // In: Nonlinear Dynamics and Turbulence, Boston, London, Mel-bourn, 1983. P. 139-155.

50. Ландау JI.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР, 1944, т. 44, № 4. С.339-342.

51. Андрейчиков И.П., Юдович В.И. Об автоколебательных режимах, ответвляющихся от течения Пуазейля в плоском канале // Докл. АН СССР, 1972, т. 202, № 4. с. 791-794.

52. Chen, T.S., Joseph, D.D. Subcritical bifurcation of plane Poiseuille flow. // J. Fluid Mech, 1973, 8, 2. P. 337-352.

53. Струминский B.B., Скобелев Б.Ю. Нелинейная нейтральная кривая для течения Пуазейля // Докл. АН СССР, 1980, т. 252, № 3. С. 566-570.

54. Newhouse, S., Ruelle, D., Takens, F. Occurrence of strange axiom A attrac-tors near quasi periodic flows on Tm m>=3. // Comm. Math. Phys., 1979, 64, 1.

55. Ruelle, D., Takens, F. On the nature of turbulence. // Comm. Math. Phys., 1971, 20. P. 167-192.

56. Lorenz, E.N. Deterministic nonperiodic flow. // J.Atmos. Sci., 1963, 20. P. 130-141.

57. Струминский В.В., Скобелев Б.Ю. Странные аттракторы и турбулентность. // Механика неоднородных и турбулентных потоков, М.: Наука, 1989. С. 164-173.

58. Narasimha, R. Order and Chaos in Fluid Flows. // Current Science, 1987, 56, 13. P. 629-645.

59. Williats, R.F. The structure of Lorenz attractors. // In: Turbulence Seminar, Univ. Calif. Berkley, 1976-1977.

60. Kaplan, L., James, A., Yorke. Preturbulence: a regime observed in a fluid flow model of Lorenz. // Comm. Math. Phys., 1979, 67, 2.

61. Curry, J.H. A generalized Lorenz system. // Comm. Math. Phys., 1978, 60, 3.

62. Boldrighini, C., Franceschini, V. A five-dimensional trancation of the plane incompressible Navier-Stokes equations. // Comm. Math. Phys., 1979, 64, 2.1. P. 159-170.

63. Franceschini, V., Tebaldi, C. A seven-mode trancation of the plane incompressible Navier-Stokes equations. //J. Stat. Phys., 1981, 5, 3.

64. Franceschini, V., Tebaldi, C. Breaking and disappearance of tori. // Comm. Math. Phys., 1984, 94, 2. P. 317-329.

65. Колмогоров A. H. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса. // Докл. АН СССР, 1941, т. 30, №4. С. 299-303.

66. Anselmet, F., Gagne, Y., Hopfinger, E.J., Antonia, R.A. High-order velocity structure functions in turbulent shear flow. // J. Fluid Mech., 1984, 140. P. 6389.

67. Eggers, J., Crossman, S. Does deterministic chaos imply intermittency in fully developed turbulence. //Phys. Fluids, A., 1991, 3, 8. P. 1958-1968.

68. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. С. 421.

69. Скобелев Б.Ю. Конечномерная инвариантная аппроксимация уравнений Навье-Стокса и автоколебательные режимы течения Пуазейля. // ПММ, 1990, т. 54, вып. 3. С. 416^29.

70. Скобелев Б.Ю. Нелинейная теория гидродинамической устойчивости и бифуркации решений уравнений Навье-Стокса. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1990, № 1.С. 9-15.

71. Zang, Т.А., Krist, S.E., Hussaini, M.Y. Resolution requirement for numerical simulations of transition. // Lecture Notes in Engineering, 1988, 3. P. 508525.

72. Iida, A. Prediction of aerodynamic sound spectra by using an advanced vortex method / A. Iida, K. Kamemoto, A. Ojima // Proceedings of the Second International Conference on Vortex Methods, Sept. 26-28, Turkey, 2001. P. 235242.

73. Kamemoto, K. Engineering application of the vortex methods developed in Yokohama National University / K. Kamemoto // Proceedings of the Second International Conference on Vortex Methods, Sept. 26-28, Turkey, 2001. P. 197-209.

74. Ota, S. Study on higher resolution of vorticity layer over a solid boundary for vortex methods / S. Ota, K. Kamemoto // Proc. of The Second Intern. Conf. on Vortex Methods September 26-28, Istanbul, Turkey, 2001. P. 33-40.

75. Forsythe, J.R. Detached-Eddy simulation of a supersonic axisymmetric base flow with an unstructured solver / J.R. Forsythe, K.A. Hoffmann, J.-F. Dietker // AIAA paper, 00-2410, 2000.

76. Lam, K. Flow around four cylinders in square configuration using surface vorticity method / K. Lam, R.M.C. So, J.Y. Li // Proceedings of the Second International Conference on Vortex Methods, Sept. 26-28, Turkey, 2001. P. 235242.

77. Chorin A .J. Numerical study of slightly viscous flow. // J. Fluid Mech, 1973,57. P. 785-796.

78. Goodman J. Convergence of the random vortex method. // Commun. Pure Appl. Math, 1987, 40. P. 189-220.

79. Long D.-G. Convergence of the random vortex method in two dimensions. // J. Am. Math. Soc, 1988, 1. P. 779-804.

80. Greengard C. The core-spreading vortex method approximate the wrong equation. // J. Comput. Phys, 1985, 61. P. 345-348.

81. Degond P., Mas-Gallic S. The weighted particle method for convection-diffusion equations, Part 1: The case of an isotropic viscosity. // Math. Comput., 1989, 53. P. 485-507.

82. Rossi L.F. Resurrecting core-spreading vortex method: A new scheme that is both deterministic and convergent. // SIAM Sei. Comput., 1996, 17. P. 370397.

83. Алексеенко C.B., Куйбин П.А., Окулов B.JI. Введение в теорию концентрированных вихрей. Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН, 2003.

84. Kirchhoff G. Vorlesungen über matematische Physik, 1883, v. 1, ch. 20, Leipzig: Teubner.

85. Белоцерковский C.M. Турбулентность и вихревая аэродинамика // Природа, №10 (987), 1997, с.5-12.

86. Рациональные пути построения замкнутых моделей свободной турбулентности на основе метода дискретных вихрей // Научно-технический отчёт ЦАГИ№ 004119, 1989.

87. Новиков Е.А., Седов Ю.Б. Стохастические свойства системы четырех вихрей //ЖЭТФ, 1978, т. 75, № 3(9). С.868-876.

88. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

89. Chorin, A.J. Vortex Sheet Approximation of Boundary Layers. // J. Comp. Phys. 27, 1978. P. 428-442.

90. Альбом течений жидкости и газа. Сост. М. Ван-Дайк. М.: Мир, 1986. С. 59.

91. Roshko A. On the Development of Turbulent Wakes from Vortex Streets. // NACA TN, no. 2913. P. 1953.

92. Лойцянский Л.Г., Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003.

93. Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978.

94. Дворак А. В., Хлапов Н. В. Турбулентные характеристики плоской струи. // Применение ЭВМ для исследования аэродинамических характеристик летательных аппаратов. Труды Военно-воздушной академии им. Жуковского, 1986, Вып. 1313. С. 76-84.

95. Russo G., Strain J.A. Fast Triangulated Vortex Methods for the 2D Euler Equations // J. Сотр. Phys., 1994, vol. 111 (2). P. 291-323.

96. Strain J. 2D Vortex Methods and Singular Quadrature Rules // J. Сотр. Phys., 1996, vol. 124. P. 131-145.

97. Kornev, N. Comparison of two fast algorithms for the calculation of flow velocities induced by a three-dimensional vortex field / N. Kornev, A. Leder, K. Mazaev // Schiffbauforschung, 2001, vol. 40, 1. P. 47-55.

98. Hussain A.K.M.F. and Thompson C.A. Controlled symmetic perturbation of the plain jet: an experimental study in the initial region // J.Fluid Mech., 1980, vol. 100. P. 397-431.

99. Kelly, R.E. On the stability of an inviscid shear layer which is periodic in space and time // J. Fluid Mech., 1967, vol. 27(4). P. 657-689.

100. Kachanov Yu.S., Levchenko V.Ya. The resonance interaction of disturbances at laminar-turbulent transition in a boundary layer // J. Fluid Mech., 1984, vol. 138.

101. Бетчов P., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971.

102. Moffat Н. К. The degree of knotedness of tangled vortex lines // J. Fluid Mech., 1969, 35. P. 117-129.V125 N