Ударное взаимодействие тонкостенных оболочек с упругой средой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 - 8

^¿рДЕСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ Ш6 1м. 1.1. МЕЧН1К0ВА

На правах рукопису БОГДАНОВ Владислав Ромуальдович

УДАРНА ВЗА6МОДШ ТОНКОСТ1ННИХ ОБОЛОНОК 3 ПРУЖНИМ СЕРЕДОВШЦЕМ

0] .02.04-механша дефоркнвного твердого т1ла

АВТОРЕФЕРАТ дисертаци на здобуття наукового ступени кандидата ф!зико-математичних наук

Одеса 1996

Дисертащя е рукописом.

Робота виконана в 1нститут1 мехашки HAH УкраТни.

Науковий кер1вник:

член-кореспонденг HAH Украши, доктор ф!зико~математичних наук, професор, В.Д. КУБЕНКО

Офодйш опоненти:

доктор ф!зико-магематичних наук, професор, 1.Ф. ШУМЛЯНСЬКИЙ доктор ф1зико-математичних наук, доцент, В.Г. ПОПОВ

Провцша организация: . 1нститут г1дромехан!ки HAH Украши.

Захист вщбудеться годин! на

засщанш спещал!зовано! ради K05.6l.05 при механЬсо-матема-тичному факультет Одеського ушверситету Im. I.I. Мечн1кова за адресою : м. Одеса, в ул. Дворянська, 2, ОДУ, мехашко-матема-тичний факультет.

3 дисертащею можна ознайомитися в науковШ б!бл!отещ Одеського ушверситету iM. 1.1. Мечн1кова.

Автореферат розклано "о/

" СС0996р.

Вчений секретар спец1ал!зовано1 ради

доктор ф!зико-математичних У —^

наук,професор ... ТРЕТЬЯК

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

Дисертацшна робота присвячена дослщженню плоско! та в!сеси-метрично! задач удару пружних оболонок о поверхшо пружного птпростору.

Актуальшсть теми . Задач1,що взноситься до проблемы нестащо-нарно! взаемода деформуемих та абсолютно жорстких т!л з оточуючим середовищем.мають великий практичний та теоретичний iHTepec. Про-грес та развитой сучасно» техшкн приводить до иеобхщност! вивчення нестацюнарних контактних процес!в у р!зних конструкщях.Важливе значения TaKi процеси мають у суднобудуванн1,ав1аци, ракетобудуванн!. Вони виникають.як правило, при вибухах.ударах. Основними елемента-ми б1льшост1 конструкщй е оболонки.пластини, стержн!.Тому вивчення динам!чних процеЫв саме у таких об'ектах мае великий iHTepec.

3 ударними процесами доводиться зустр1чатися при piuieiffli р1зно-маштних задач.Труднощ! розв'язування задач подобного роду м!стяться у необхщност! сукупно ¡нтегрувати системи р!внянь,як! описують рух т!ла i середовища.при завданн! граничних умов на нев!домих (рухомих) кривол!шйних поверхнях роздшу.Причому,положения ц!х поверхонь визначаеться у процес! розв'язування.Отже точн1 розв'язки у uifl галуз! механ!ки суц1пьного середовища е лнше в основному для 1деал1зованих абсолютно жорстких об'ект1в.

Проблема проникания пружних оболонкових консгрукцш у пру-жне середовшце.коли траниця облает! контакту в1дстае вщ фронту виникающих при удар! хвиль.е мало досл!дженою.

Р1зн! питания,що пов'язан! з нестацЬнарною взаемодею т!л та конструкщй ¡з суцшышм середовищем,подан! у трудах В.М. Александрова,JI.M. Бреховських.А.С. ВолЬмира.Ш.У. Гал1ева , J1.A. Галина, В. Голдсмита.А.Г. Горшкова,Э.И. Григолюка.В.Т. Гринченко, А.Н.Гузя.Р.М. Дейвиса,К. Джонсона,Б.Т. ДидухаДж.А. Зукаса, H.A. Кильчевского.Ю.В. Колесникова,А.В. Колодяжного,В.Д.Кубенко,М.А. Лаврентьева,Х.А. Метсавээра.Е.Н.Мнева.Е.М. Морозова, В.В. Новожилова,?. Пейтона,А.К.Перцева,Г.И. Петрашеня.Э.Г. Платонова, В.Б. ПоручиковаДЗ. Партона.П.И. Перлиня,А.Я. Сагомоняна, Л.И. Сле-пяна, В.Д. Тарлаковского, А.Ф. Улитко, Ю.С. Яковлева та ¡нших.

Досить повно дослщжен! задач! удару та проникания абсолютно твердих та пружних т\л у стис'каему та несгискаему р!дину,а також задач! удару та проникания абсолютно твердих tüi р!зномаштного проф!лю у пружне середовище.

У

Досшджено сшвудар пружних оболонок та пружного п!впрост1ру на зверхсейсм!чному еташ,коли швидкють з якою зм1нюеться граница облает! контакту,перевищуе швндккгь повздовжних хвиль.хцо виникають в швпросторК У цьому випадку розв'язувалася незм!шана крайова задача.Задач1 удару та проникания пружних оболонок у пружне середовище мало дослщжеж , а в постанови! з врнхуванням впливу величини швидкост! проникания оболонки та обгрунтованого нею вщповщного пщняття середовища не вивчалися.

Ц1ллю щеГ роботи з'являеться:розробка строгого п1дходу до роз-в'язування плоских та вкесиметричних задач удару пружних оболонок з поверхнею пружного Ывпростору , який дозволяе проводите до-слщження процеав нестацюнарно! контактно! взаемодп з врахуванням пщняття середовища та змши величини швидкост! проникания ударника у пружне середовище ; дослщження залежност1 основних динакпчних. характеристик процесу вщ початковоТ швидкосп удару, маси та товщинн пружноТ оболонки , фЬикомехашчних властивостей матер1алу швпростору та оболонки.

Наукова новизна .Розроблено строгий математичний п1дх!д до розв'язування нестащонарних плоских та вкесиметричних змнианих крайових задач, який дозволяе проводити точне, у межах лшшноУ постановки задач1,досл1дженнЯ процесу лестацюнарноУ взаемодГТ на ск!н-ченому ¡нтервал1 часу 1 заснований на зведенш задач! удару до р!шен-ня нескшчено! системи ¡нтегральньх р]внянь Вольтера другого роду. Цей Ыдхщ ви>1робувано на ряд1 конкретних задач.Розвинена методика, яка дозволяе врахувати змшу форми пов!льноТ поверхн! швпростору поблизу т!ла,що вдаряеться.та величини швидкост1 проникания ударника в пружне середовище. ЕИрогщно дослщжен! основш к!лькктш характеристики,що ' описують процес удару,в залежносп вщ величини початковоТ швидкосп удару, параметр!в оболонки та п1впростору. ' Вфог1дшсть отриманих результате забезпечуеться стропстю постановки задач 1 математичних методдв !х р!шення.Досягнуто повний зб1г з вщомими результатами плоско! та вкесиметрично! задач удару абсолютно твердих тш ! поверхш пружного п1впрост1ру та пружних оболонок ! поверхн1 стисливо! рщини,як1 отримуються як частков! ви-падки задач удару пружних оболонок 1 поверхн1 пружного середовища; в першому випадку,коли покласти р1вними нулю ус1 перех1дн1,функци для оболонок,та в другому-коли модуль зрушення ц в середовищ1 при-йняти р1вним нулю.Обчислення проводились з контролючою точн1стю.

Практична ц1ин1сть . На основ) розроблено! в робот! методики та отриманних pimeHb плоско!" та вкесиметрично!' задач сшвудару пружних оболонок та nienpocripy можлнво дослйщувати напружно-деформований стан конкретннх тонкостшннх об'ект!в,як! ударяються з поверхнею пружного середовища.

Досл!дження,як! представлен! у робот! ,ув1'йшли в зв1т Гнституту мехашки HAH Укра'ши по темах НДР :"Исследование динамических процессов в телах и элементах конструкций .взаимодействующих с жидкой и газожидкой средой" (№ г.р. 01.9.10010358), "Исследование динамического взаимодействия твердых тел и упругих оболочек вращения с жидкой и газожндкой средой" ( № г. p. 0194v015131).

Апробац1я роботи .Результати дисертащйно!' роботи докладались та обговорювалнсь на наукових сем!нарах в!дд!лу теор!!' коливань 1нституту механ!ки HAH УкраУни(Кшв,1990-1996р.р.);на сем!нар1 по напрямку "Теор1я коливань та ст!йксть руху механ!чних систем" (КиТв,1998 р,);на науково-техн!чн!й коиференцй' Дев'яп "Бубновские чтения" "Эксплуатационная и конструктивная прочность судовых конструкций" (Нижн. Новгород, 1991); на XV1.XV1I наукових конференщях молодих вчених 1нсппуту механки HAH УкраГни (Кшв, 1991,1992 p.p.).

Публшац1К .OcuoBHi результати проведених досл!джень опублшован! у восьми роботах [1-8].

Структура та обсяг робатн. Дисертац1я складаеться з вступу, трьох розд1л1в, висновк!в та списку л'1тератури.Робота викладена ,на 139 стор!нках,включаючи 72 малюнка.Б1бл!ограф1чний список нал1чуе 104 назви.

3MICT ДИСЕРТАЦН .

У пступ! подано огляд pa6iT по cniayaapy пружних тЬл.обговореш границ! вживания вибраних моделей,сформульована мета роботи та ви-значено и м!сце серед ран!ше проведених досл1джень, обгрунтовано актуальнкть та новизну.теоретичне значения та практичну цйшкть роботи,а також обгрунтовано достов'фшсть отрнманих результат.

У нершому розд1л1 здтснена постановка плоско» та вкесимет-рнчНо'1 задач! удару га нестацюнарного проникания пружних оболонок у поверхню пружного niBnpocripy.

Розглянемо постановку плоско!' задачШозначимо

Тут К- модуль об'емного стискання.ц-модуль зсуву.р-густина пружного п1впростору, Ср ,С5 - швидкосп в!дпов1дно поздовжних та поперечних хвиль у середовшщ.С,, - швидккть звуку у середовищ} з ц=0. '; Тонка пружна цшиндрична оболонка.яка рухаеться перпендикулярно поверхш пружного п!впростору,приходить у дотикання з пружним середовищем та починае проникатн без тертя б момент ча-су 1=0.Початкова швидкшть проникания оболонки V0= vT(0). Товщина оболонки h значно менша рад!уса R серединноГ поверхн1 оболонки (h/R < 0.05). Пов'язуем з оболонкою рухому цшйндричну систему координат гву' , а з niBnpocropoM - нерухому декартову xyz. Полярний кут 6-в1дкладаеться в!д додагного напрямку Bici OZ ,котра спрямована углиб п!впростору.Введемо безрозм1рш 3MiHHi:

vi = wi - = ¿;q' = ¿;M' = j = x,y.z);

Тут wrj,u0,p и q -радаальш та тангенщальш перемпцення точок се-рединно! поверхш оболонки,радаальш та тангенщалыц складаюч! розподшеного зовшшнього навантаження.що Д1е на оболокку;М,%т, vT -погонна маса оболонки,перемкцення та швидккть перем1щення оболонки як твердого тша. Дал1 використовуемо тшьки 6e3po3Mipni змшш, тому штрих не пишемо.

Будемо розглядати процеси з V0= vT(+0) S ICH .Це виправдовуе застосування лшеяризацп гранич!шх умов:вони зносяться на незбурену поверхню швпростору.

PiBHHHHH динамши тонких пружних щшндричних оболонок.яю1 виведен! на основ! гшотез Юрхгофа-Лява,сл1дуюч1:

Su0 ^«О . 9<w0 a , „

h2 . C*(l-vfrp0,fl Kp(l-^)K.

ai B 7rrr.P1 = —-iPi - TT£ .

12R E0 hp0E0

v0,E0,p0 -коефодент .Пуасона,модуль пружност» Юнга та гущина ,ма-тер1алу оболонки. , '

к

Динамша пружного швпростору описуеться двома хвильовими р1'вня1шями:

е5«) . . а1 а1 /лч

а2а2 р2бг Ох1 ду Лшеарнзоваш граничш умови:

-г1 = *,(()--^-¿созО--~—-!т6; х| < х (1>;

сК о 51 81

аи| = 0; 1х|>х*(0; ов1 =0; Ы<со; (5)

У зош контакту справедпивий зв'язок пром!ж змйшнми х 1 8:

х = б1п в; (6)

Початков1 умовн для потенц!ал1в ф и у нульов1.

«<* (7)

„I .05^1 ^

1=0

На неск!нченост[ здШснюються умови згасання збурень. Границя област1 контакту х (1) у кожннй момент часу визначаеться з умовн:

№,О)-Г(х)-иг(1,х,О)-%Уо(1,е)со8О-ио(1,0)5тО = (8)

£ < I/, IX} X I */

До р]внянь (3)-(б)|(7) необх!дно додати р1вняння руху ;

М53И1 = -Р((); П(0|1=0 = У0; Р(() = -2 /огаах,ОЦк; (Э)

ах 0

Розглпнемо постановку аналогично! Ысеснметрично! задачь Тонка (И/Й ^ 0.06) пружна сфернчна оболонка.яка рухаеться перпендикулярно поверхн! г-0 ,у початковий момент часу приходить у дотикання з пружним середовищем та починае проникати без тертя. У0= ут(+0) - початкова швидю'сть проникания оболонки (У0 < 1СИ)-Пов'язуем з оболонкою рухому сферичну систему координат г'<р'в (0 -полярний кут), а з п!впростором - нерухому цшиндричну гфг. Вкь 02 спрямована углиб п1впростору.Безрозм1рш зм1н1И,як1 в!др1зняються в1д (2), мають вигляд:

И КИ2 К112 р^ ' Р1вняння динам!ки тонких пружнйх сферичних оболонок.як! виведе-ш на основ! гшотез К]рхгофа-Лява,сл1дуючк

2-6-^39

ае} до1

-Р^-Рл (II)

тИН«^!).«-...«^.*)

= у[(1)--rr—-cos8--r<r(t);

8t 8t

(l-vg)p„K. . (l-v3)KR.

P5--„ ' > Рб--—-•

E oP E0h

Динамша пружного швпростору описуеться хвильовими р!внян-

д3® . д2ш д1дд2 '/, пч

= = (12)

Лшеаризоваю граничш умови:

Ч et

У зош контакту справеддивий зв'язок пром!ж зм1нннми г i 9 :

Г = sin 8; (.14)

Початков! умови для погенщал1в ф i \j/ (7). Bei збурення на не-скшченосл згасають .

Границя облает! контакту г (t) у кожний момент часу визначаегься з умови:

w,(t) - f(r) - n2(t,r,0) -W0(t,e)cos9 -M0(t,0)8ine = ■ ' 1 * Г,{? (16)

[6<0, r>r (t)

До р1вняш. (11)-(13),(7) додаемо р!вняння руху : • M^jjfä—P(t); v,(t)|i=0 = V0; w,(t)|i=0 =0; P(t) =-2rt'|raa(t,r,0)dr; (16)

У другому роздал! наведено алгоритм розв'язку змшано! неста-nioHapHo'i задач! удару пружних оболонок об пружний niBnpocTip.

Будемо розглядати т!льки скшчений часовий штервал OstsT, причому Т з'являеться величиною,яку можно пор1вняти з тривалктю удару. 3 того ,що хвильов! р!вняння мають г!пербол!чннй характер, випливае.що область збурень у кожний момент часу t е обмеженою величиною, i якщо ostsT пружний niBnpocTip можна зам1ннти пружною ШВСМуГОЮ |xjäl,z£0 ,причому ,

lsaT+x'(T); (17)

Для зображення вектора зм!щень через потенщал поздовжних та

поперечних хвнль коли реал1зуеться, наприклад,умова

ковзького закладення.

Чи=<* Чи"* °8)

У (3) розкладаемо функци у тригонометр1чш ряди.Застосовуемо перетворення Лапласу за змшною 1.До означених у простор! трансформант гармошкам застосовуемо обернене перетворення Лапласу та теорему про згортку ! одержуемо там сшввщношення:

Р1 о

|К„^о,»|!(0=1Р„(^||О11,611|(ПД - -оат +|ч„(ф12,о,2]|(п,1-т)ат; (19)

0 0

= ¡Рп(^)||021,021||(п,1 - т)с1т +)чп(х)|о211в2а||(п,1- х)йт, о о

де перехщш функцн О^бц - трнгонометрнчш полшоми.

Загальннй розв'язок р]внянь (4) при умов1 (18) на б1чшй поверхш швсмуги мае вигляд:

<рь(^х,г) = ¿А„(8)ехр(-ф2 /а2 +Х211)'/2)юзХпх; (20)

п*0 п=о

Розв'язуеться перша допом1жна задача для швпростору з гранич-ними умовами:

01

= Уах); овЬ0-0| (21)

¡я 1 г

1=0

Одержано зв'язок м1ж компонентами нормальних напружень та вертикально'/ складаючо!' швидкос™ точок.яю лежать на поверхш швпростору.

<та(0 =^УП(()+/У.гоР^-т)«!^; (22)

^(1) = -аХп/,(аХ„() +2ЬрХ„ (рХ^(^К')-ТоФКО + МРМ» +

+рХ,11(Ы0(аХ„1)-10(рХп»)) + (2-Ь2);()(а).п1)- Т0(^-„1)} ; 10(1) =//0(т)(1г,

о

Дал! розв'язуеться друга допом!жна задача з граничшши умовами :

= аа|„0-<* (23)

Одже маемо : У11(1) = -^(^+|сгт(х)011(1-х)с!1; (24)

а о

г * 7

G„(t) = XnJ,(a>.nt) - f [/0(ß).nT)f,(at - x) + 10Кт)УМ ~ t)]dt; 0

fj(n,t) = A^chrotcosaot +A2jsh%tsina0t +A3j(H(^)chs,t + H(-^2)oossIt);(j = 1;2) де s„r0la0lAjj,(j=l;2;i = l,3) - стал1 ,яш залежать в!д швидкосп поздовжних та поперечних хвиль та власних чисел А., .Н-одинична функщя &евтайда.З (5),(22) одержимо слщуюче сшвв!дношення:

«о

£Vn(t)cos ).пх = Н(Х* -14 -<i/0(t,0)cos в - (i0(t,Q) sine}. . (26) - Н(|х| - X*) ¿cos >.nxj V„(X) Fn(t - X) dt;

n-0 0

У fliBift 4acTiiHi (26) функци розкладаемо у тригономегричн! ряди, враховуем (6),(19),викорнстовуем ортогональн!сть тригонометричних функцш i одержуемо розв'язуючу нескшчну систему ¡нтегральних piBHHHb (HCIP) Вольтера другого роду вщносно невщомих компонент вертикально! складаючо! швидкост!.

Vn(t)+ I<(x)J Vm(.)Fm(t - x)dx + ¿<"(x) ¿Jy&O'W) x (26)

m=0 о i=l j-lm=0 k«0o

x^(t) +}vt(^)Fk(T -4)d^Og(m,t-t)di = C„(x')vt(t); (n = O.oo)

1 1 Iх* I

atm(x') = TJT /cos ^-щХ®08 Ä,ftxdx; ' Cn(X*) = —j- jcos Xnxdx; N2 = J cos 2 X,Rxdxj

"n x' "n о о

. --

«S(x') = -T JVl-x2Dta(x)coS\nxdx; Dlra(x) = cos(rmt12)Tro(x)+sin(rwr/2)Um(x);

п 0

1

«S(x') = ^r/xBim(x)^sVdx;Blm(x) = sin(m7E/2)T;(x)-oos(m>c/2)Uro(x);

Nn о '

де T^U,,, -полшоми Чебишева 1-го та 2-го роду.

е* _ «

/т(0*)=-=у |со»6со»пвсо1(*,ш11ае)<1в; N2 = Jooss nödö; N„ „ 0

e" «

r(„n(0') = I silletin tlOcos( >„шsinG)dG; f5*=Jsin2 nGdO; о о

Сила реакцп P(t) така: P(t) = 2ot v,(t)x*(t) + ¿-sillVx )vn(t)Fn(t-t)dT}; (27)

I, n=0 0 J

До HCIP (26) необхдаш додати р1вняння pyxy (9) .

Якшо при задоволенн! змиианих граничних умов (б) внкористувати сшввщношення (24) замють сшввщношетш (22),то одержимо НСИР в'щносно нев'щомих компонент нормальних напружеиь.

¿P^(x)jann(x)On(t-T)dT + i£ Ур<ГЮЕЬ1»(0Чт)) х

ш=0 о i=| j=lm=0 k=Oo \4о)

Р^(х') = Хгахсо, Xnxdx; pS(x*) = аа£>(х); = аа^(х);

Ni о

Dn(x*) = -aC„(x); ч Сила реакцн P(t) мае внгляд:

P(t) = -22^Ei-<Tm(t); (29)

п=0 Лп

Для системи диференщальних р1внянь (типу С.П. Тимошенко), яка описуе динам!ку щшндричних оболонок та враховуе зсув та ¡нерщю обертання поперечного перер1зу,: .

592 0 ¿>0 ,Uo + P34, ^!,~(l-v2)p0•

lS2w0 dw0 дФ „ ,3Uo „ 1 d . b?E„

£^.аф+аи. ba_!a 6(1-v0)b2R2.

Я 2 ■„ - 0-Vq)^R.» .2(1 + Vq)K2R,

as - - E2h b?E?h '

одержано TaKi перех!дш функщУ Q^Q^; (i = 1,3;j = 1;2):

Qij(n, t) = D^ch^tcosa^ + B2lislir0tsina0t + B3u(II(sf )chs,t + H(-s,2)coss,t);

Qij(n, t) = C1(jshr0tcoso0t + C2i)chf0tsincr0t + C3. (H(s2)shs,t + H(-s,2)coss,t);

||Dl».Cki|| = |Diij,Ct(j||(a,p,Xn); (k = U); (30)

Розглядаемо вкесиметричну задачу (11)-(13),(16),(7),аналопчно плосшй задач1,яка розглядалася вище.Для часу Ost^T niBnpocTip замЬ-июем нашвнесктченим цилшдром.радаус якого I беремо з умови аналопчноУ (17).Аналог1чно М1ркуючи,беремо на б!чнш поверхн! швцшиндра, наприклад, умови ковзького закладення.

Функцн у (11) розкладаемо у ряди за полшомами Лежандра bU cos9 та be похщним'за 0 .Для р!внянь (11) отримаш сп!ввщношення (19),де

замкть перехщних функцш в^О^ необхщно писати функци Ни,Ни ,як1

з'являються тригонометричними пол'шомами .

Загальне рщення р^внянь (12) для швцшйндра г^1,г>0 мае вигляд:

ф'Чаг.г) = £Ап(9ец.

10(кпГ);у1(и.т,г) = ¿В„(5)ехр

(31)

Власн! числа Хп-з'являються послщовними коренями р1вияння

При задоволеши зм1шаних граничних умов (б) та враховуючи (22) за схемою аналопчною випадку плоско! задач1 та використовуючи при цьому властивкть ортогональное^ функщй Беселя,маемо таку НС1Р Вольтера другого роду:

(32)

ш«0 о Ы>=1от=0 к*Оо

V. О

-с)(1т = Сп(г>,(«); (п = 0,ос)

II , г*

^(г*) = -Г|П0(Хшг)10().„г)аг; Сп(г")

"»,• ип о

«!£(**) = 11у!^?Рт(Л^7}}0(Хат)йг; VI « }г(10(Хпг))2аг; нч о

„в" _ « У(Д(в')=«г/оо.е»тегп(С<,.е)10(Хю,шв)(Ш; =|вте(рп(со8е))2<ш;

"«о о

в* ш

ГЙ(в') = «г {.¡п'вР^со. О)1о(Хт«ш0)(10; И* = |б1пВ(Р^(созО))2сЮ; "по о

Сила: Р(1) = £х«г-(1) Ч1(х)Р11а - т)с!х1; (33)

До НС1Р (32) додаемо р1в.няння руху (16).

Колй замкть сшввщношення (22) використовувати (24),маемо:

01=0 о МНт-0 к»Со

Х(ТЙ(Т) X Х)(1т = Оп(г*)У,С0;(п = 0,оо);

Р^(г') = -аа<»(г');р<«(г-) = -аа<«(г');Пп(.') = -аС.(г *);

(О

PffiíO —JrJo(^r)Jo(M^

Nn o

Сила реакци приймае вигляд: P(t) = -2it¿r (t)) am(t) (35)

n=0

Для сисгеми диференщальних р1внянь (типу С.П. "Пмошенко), hkí описують динам!ку сферичних оболонок та враховуючих зсув та шерц!ю обертання поперечного перер!зу,: \ 62ц0 ctge бц0 2(\4-v0)k,+\-v08w0 N 1-v2 592 1-v2 59 2(1 -vj)k, -09 "

Vo+O-Vojcos'e^ Ф _ г

(1-vj)sin29 0 2(l + v0)k, 0 5tJ 4' 1 d2w0 1 d% ctg9 dw0 1 ЭФ 2(l + v0)k, S9J ~l-v0 59 + 2(l+v0)k, 69 + 2(l+v0)k, 59 ~

ctg9 2 . ctg9 . 2 9V0 f0c\

(36)

52Ф 5Ф EuhR2 а* o 592 59 2(1 + v0)k,D 59

(1 - v0)k,D(2 v„ +(1 - v0) sin 29) +E0hR2 sin2 9 ф а52Ф.

2(1 +v0)k,DsinJ9 ~n°5t2'

nP ... . , h2 . _ 3h2 E0h3 _5.

отримаш перехщй функци R^R^ ,hkí мають вигляд аналопчний (30) та вщр1зняються bía випадку щшндрично'Г оболонки коЕфодентами

sl.rOiCTOiBi|j>^-kv •

У третьему розд1л! наводиться чисельна реал1зацдя задач та анал1з чисельних результат1в.Плоска задача.

Чисельна реал!защя побудована на сумкному застосуванш методов редукщГ та мехашчних квадратур.Порядок редукци беремо Í3 М1ркувань практично!' зб1жност».Щоб отримати згладжування явищ Гибса застосовувалися множники Ландоша.

ст =í '' n=ü_ (37)

n = [sin(nTc/N)/(nTt/N), n=l,N;

Використовувалась квадратурна формула Tperopi з утриманням р1зннць до четвертого порядку. Задача Коши для диференцшного р1вняння руху розв'язувалась методом Адамса з утриманням р!зниць до чегвер-

п

того порядку.Початок ршення обчислювався з шагом Д1, = м/16. Границя обласп контакту х'(0 визиачалась з ушви (8) , при цьоыу використовувався ¡терацшний алгоритм.

При розрахунках робилося припущення : х=8; (38)

Чисельш результата для плоско! задач! приведено на малюнках 1-б.Вони вщповщають прикладу:удару сталево!' оболонки об алюмщ! евий швпрослр . Крива 1 в1дпов!дае випадку У0=О.ОО1; Ь/Я=0.02; М=0.1; ц=0.03582К; (дал! будемо називати щ результата випаДком 1); крива 2 - випадку 1^=0.001; Ь/й=0.01; М=0.03; ц=0.03б82К; (випадок 2). 1з наведених граф!юв бачимо як змшюються з рухом часу нормальн! напруження ои (мал.1) та нормальш перем!щення и1 (мал.2) у точщ початкового дотикання.сила реакцп п1впростору Р (мал.З), швидюсть V,. тьпа в середдовищ! (мал.4),перем1щення \у0 у лобов!й точщ (мал.б) та шдняття середовища иг для випадку 2 в облает! контакту у фжсован! момента часу (ыал.б).Беручи модуль зеуву ц р!вним нулев!,одержемо,як частковий випадок,задачу удару оболонок об поверхню стискаемо!" р!дини,а беручи функци (У = 1,2) р!вними

нулю,як частковий випадок,маемо задачу удару цилшдричного штампу об пружний Ывпроспр.Для пор!вняння наведен! результата обчислень часткових випадк!в:удар абсолютно твердого цилшдра з масою м = 0.03 об алюм1н!еве середовище та удар сталево! оболонки з масою М = 0.1 та товщиною И/В. = 0.02 об р!дину з модулем об'емного стискання Е=7.6х10и дин/см* з такою ж самою початковою швидк!стю У0 = 0.001. На мал. 1-6 ц! результата зображен! в!дпов!дно пунктирною (випадок 3) та штрихпунктирною л!н!ями (випадок 4).3 наведених результат можно зробитн висновок, що максимальш напруження сты для розв'я-зуемо!" задач! займають пром!жне положения м!ж випадками 3 та 4; максимальш нормальш перемодення п!впростору тд лобовою точкою оболонки у випадках 1 и 2 значно меньше, н!ж у випадках 3 та 4; теж саме зтверджуеться в!дносно сили реакцп середовища;швидк!сть прони кання оболонки у пружне середовище зм!нюеться б!льш плавно,шж у випадках 3 та 4; прогиб оболонки в лобов1й точщ у процеа удару об пружне середовище значно перевищуе випадок 4; в окол! границ! облает! контакту середовище опускаеться.

Вкесиметричиа задача обчнслювалась аналопчно плоскш.Граннця обласп контакту - г (О визначалась з умовн (15), при цьому вико-ристовувався ¡теращйний алгоритм.

При обчислешН робилося припущення : г = 0; (39)

Розглянемо чисельш результат для "вкесиметрично! задач! наведет на малюнках 7-12. Як приклад обрана сталева оболонка та швпрост!р з алюмшпо. Крива 1 вщповщае внпадну У„=0.001; И/11=0.01; М=0.03; ц=0.03582К; крива 2 - випадку У„=0.0005; Ь/И=0.02; ц=0.03582К; М=0.1; штрихпуштрна линя -випадку У0=О.ООО5; Ь/П=0.02; ц=0; М=0.1 . На малюнках 8 та 9 зображеш вщповцщо нормальш напру-зйення оа та нормальш перемщення и, у точц! початкового дотику,на мал. 10 -сила реакцн пружного лтпростору Р , на мал. 11 -швидшсть Ут проникания оболонки у середовище,на мал. 12 -перем1щеш1я \у0 у лобов1й точщ та на мал.7 -пщйом середовища иг в област1 контакту у ф1ксован1 моменти часу.Випадком 1 будемо називати удар пружноТ оболонки об пружний п1впрослр,а випадком 2 -удар пружноТ оболонки об поверхню стискаемоГ рщшш. Як бачимо ¡з малкнтав,нормальш напруження стп у випадку 2 бистро зменьшуються з рухом часу 1 абсолютна величина Ух менше з пор1внянн! з зипадком 1 ;максимальш нормальш перем1щекня и, у випадку 2 значно перевищують перекищення.як! вщповщають випадку 1;те ж саме стверджуется для снлн реакцн середовища,-прогиб оболонки у лобопш точщ при удар! об пружне середовище б!льш, нЬх у випадку 2;в окол1 гранищ областш контакте виникае опущення середовища.

ОСНОВН1 РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ.

1. Розроблено математнчний п!дх!д до розв'язку плоских та вкеси-метричных задач удару пружних оболонок.пю описуються системою диференщальних р1внянь,що виведена на пщстав1 ппотез Ирхгофа-Лява та С.П. Имошенко, об поверхню пружного швпростору, який дозволяв проводити - точне у рамках лшшноУ постановки задач! досл]дження процесу нестащонарноТ контактно! взаемодц на скЬменому ¡нтервал1 часу, що пор1внюеться з тривалктю удару.

2. Досл!джено залеЖност! основних динам!чних характеристик процесу в!д початково1 шв"идкост1 удару, маси та товщини пружно1 оболошш,ф1зичних властивостей матер1алу швпростору та оболонки, контактних напружень, нормальних перем1щень середовища, сили реакцц пружно'1 основи, пщйому середовища, швидкост1 проникания

оболонки у швпрост1р,ра,щалъних переывдень у оболонщ з спливанням часу.

3. Розвинено чисельно-анал!тичний метод розв'язування л!ншно! плоско! та вкесиметричноУ задач проникания тонких пружних цил!н-дричних та сферичних оболонок у пружшш п!впрост1р у випадку pyxoMoiграница

4. Розроблено шдх]д, який дозволяе врахувати п!дйом вмьно')' noßepxni niBnpocTopy поблизу проникаючоУ цилЫдричноУ та сферично'У оболонок.

5. Досл1джено вплив початковоУ швидкост1 проникания, маси та товщини цил!ндрично1 та сферично'У оболонок на напружно-деформований стан, в!дпов1дно, цилшдрично! та сферичноУ оболонок.

Основи! результата вщображеш у сл}дуючих публтащях: ККубенко В.Д.,Попов С.Н.,Богданов В.Р. Удар упругой цилиндриче ской оболочки о поверхность упругого полупространства//Допо-в]д1 HAH Укра!ни.-1995.- №7.-С. 40-44.

2.Кубенко В.Д.,Богданов В.Р. Удар тонкой упругой сферической обо лочки о поверхность упругого полупространства/ /Доповщ! HAH УкраТ'ни.-1995.- Ne8.-C. 66-60.

3.Кубенко В.Д.,Богданов В.Р. Плоская задача удара оболочек об упругое полупространство.//Прикл. механика.-1995.-31 ,№ 6,-

С. 78-86.

4.Кубенко В.Д.,Богданов В.Р. Осесимметричая задача удара оболочек об упругое полупространство.//Прикл. механика,-1996.-31, № 10.-С. 66-63 .

6.Богданов В.Р. Задача соударения тонкостенных оболочек с упругой средой//Ин-т механики АН Украины.-Киев.-1994.-Рус.-Рук. деп. в ГНТБ Украины от 13.12.94 г. № 2388-Ук94.

6.Богданов В.Р.,Попов С.Н. Вертикальный удар тонкой упругой сферической оболочки о поверхность упругого полупространства// Тр. 17 научн. конф. мол. ученых Ин-та механики АН Украины.-1992. -С.24-30.-Рус.Рук. деп. в УкрНИНТИ № 1022-Ук92. Деп. от 07.07.92. •

7.Попов С.Н.,Богданов В.Р. Вертикальный удар тонкой упругой цилиндрической оболочки о поверхность упругого полупространства //Тр. 16 научн. конф. мол. ученых Ин-та механики АН УССР,-1991.-С. 332-337.-Рус.Рук. деп. в ВИНИТИ № 4260-В91. Деп. от 12.11.91.

8.Попов С.Н.,Богданов В.Р. Вертикальный упругий удар сферической оболочки об упругое полупространство//Тез. докл. научн,-техн. конф. "Эксплуатационная и конструктивная прочность судовых конструкции'.-Девятые "Бубновскне чтения".-Нижн.Новгород.-19Э1.-С.69.

Bogdanov V.R. Impact interaction of fine-walled shell with elastic medium.

Dissertation for the Candidate of Physical and Matthematical Sciences Degree in Speciality 01.02.04,- mecanics of a deformable solid,S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the National Academy of Scien-ses of Ukraine, Kyiv, 1996.

An axisymmetric and planar problem of elastic co-impact of the thin-walled spherical and cylindrical shells with elastic half-spase is studied. A contact problem with dynamically variable contact site is considered The problem is redused by the Laplace transformation and the method of serries development by eigen functions to the infinite system of Volterra integral equations of the second kind which is numerically relized by the method of reduction and mechanical quadratures.The determinad quantitative dynamic and kinematic characteristics describing the co-impact depending on the value of the starting speed of the impact, parameters of the shell and half space have been determined. Богданов B.P. Ударное взаимодействие тонкостенных оболочек с упругой средой.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04.-механика деформируемого твердого тела, Институт механики им. С.П. Тимошенко Национальной академии наук Украины, Киев, 1996.

В работе исследуется плоское и осесимметричноо напряженно-деформированное состояние тонкостенных упругих оболочек и упругого полупространства.возникающее в процессе их соударения.Рассматрива-ется контактная задача с изменяющейся со временем областью контакта. Исходные уравнения динамики системы оболочка-полупространство сводятся к решению бесконечной системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода.Это позволило эффективно провести численную реализацию задачи и достоверно определить количественные характеристики,описывающие процесс соударения.в зависимости от ве- ■ личины начальной скорости удара, параметров оболочки и полупространства.

Ключов} слова: удар, початкова швидюсть удару, пружна обо-лонка, пружний швпроспр, границя облает! контакту, швидккть про никання оболонки, напруження, перемщення.

Подп. к Формат 60х84'/|в.

Бумага тип. № { . Способ печати офсетный. Условн. печ. л. 4 с? Уел о в н. кр.-отт. ¿,<9 . Уч.-изд. л -1,0 . Тираж ЮО • Зак. № $-0.4*9 .

Фирма «ВИПОЛ» 252151, г. Киев, ул. Волынская, 60.

U2

0.00002 0.00001

t/0.6 \

IfO.ï

Uz о.сссоя о moi

1^0.6 ' \

ti-аз 1 .

Мал.6

2Z

■0,0015

■0,0010

О р

Q000035 0,000030

VJ

2

V •

"г

аооосй

Мал.8

t -

q ooooz 0,00001 о

А

Ii i\

IV

[ 1

! \ /

г

\

0,0006 о

щ

0,0005

1.2 t Мал. 10

Мал.7

s/

i/ 2

/

Мал.9

4J

2

Мал.11

0

i 2 t

Мал.12