Упорядочения на группах классов отображений и перечислительные вопросы маломерной топологии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Глава 0. Введение

§0.1. Классификация узлов и зацеплений

§0.2. Упорядочения на группах классов отображений

§0.3. Алгоритмы сравнения и распознавания

§0.4. Структура работы

Глава I. Порядки на группах

§1.1. Представления групп порядковыми автоморфизмами

§1.2. Порядки на группах

§1.3. Отделяющие порядки представления

§1.4. Вполне отделяющий порядок

§1.5. Вполне отделимый элемент.-** •. - ■■•,

§1.6. Характеристика ;

§1.7. Некоторые свойства характеристики

Глава II. Группы классов отображений

§2.1. Гомотопическая конструкция порядкового представления

§2.2. Гиперболическая конструкция порядкового представления

§2.3. Связь между двумя представлениями

§2.4. Скручивания Дена и число вращения

§2.5. Вспомогательная лемма

§2.6. Классификация Терстона и число вращения

Глава III. Группа кос

§3.1. Определения

§3.2. Число вращения и отделяющие порядки на группе кос

§3.3. Порядок Деорнуа

§3.4. Гипотеза Оревкова

§3.5. Обобщения гипотезы Оревкова

Глава IV. Зацепления и косы

§4.1. Определения

§4.2. Гипотезы Менаско

§4.3. Теорема о возможности операций на косах

Добавление. Алгоритмы сравнения и распознавания

§5.1. Элементы теории сложности

§5.2. Гомотопические классы кривых

§5.3. Конечные порядки

§5.4. Вычислимость

§5.5. Алгоритмы сравнения для конечных порядков

§5.6. Алгоритм сравнения для порядка Деорнуа

§5.7. Оценка сложности алгоритма А<г>(Вп)

§0.1. Классификация узлов и зацеплений

Ключевым вопросом почти любого раздела маломерной топологии можно назвать вопрос классификации. В теории узлов, занимающей в маломерной топологии важное место и связанной, в той или иной степени, со всеми ее разделами, при всей интенсивности проводимых исследований удовлетворительной классификации до сих пор не получено.

Один из основных подходов к изучению и классификации узлов и зацеплений основан на их связи с группой кос Артина. Алексан-дер [2] показал, что любое зацепление представимо в виде замкнутой косы. В 1926 г. Артин [3] описал алгебраическую группу кос. Позже Марков [31] доказал теорему об отношениях между косами, представляющими одно зацепление.

Теорема Маркова утверждает, что две косы и (32 представляют одно зацепление, если и только если от ¡3\ можно перейти к /32 с помощью конечной последовательности операций сопряжения, стабилизации и дестабилизации (см. главу IV диссертации). В тот момент, когда Марков сформулировал свою теорему, проблема сопряженности в группе кос не была решена. Сейчас решения найдены, но до сих пор не известно, существует ли алгоритм нахождения последовательности операций Маркова, переводящей друг в друга две заданные косы (если они представляют одно и то же зацепление).

Одна из операций Маркова — стабилизация увеличивает на единицу индекс (число нитей) косы. Бирман и Менаско, развивая теорию, направленную на получение классификации зацеплений с помощью кос, попытались "избавиться" от стабилизации и ввели новые опера4 ции на косах, не меняющие тип представляемого косой зацепления и индекса косы. Некоторые относящиеся к этим операциям результаты можно найти в работах [7-12, 29, 32, 34]. В частности, удалось ([9]) классифицировать зацепления, представимые косами индекса 3.

На ключевой для классификации вопрос о существовании в классе сопряженности данной косы кос, допускающих операцию дестабилизации или новые операции, ответа не получено. Некоторые гипотезы, касающиеся возможности проведения указанных операций, см., например, в ставшей уже классической книге [4]. Предположения на ту же тему подробно сформулированы в четырех гипотезах Мена-ско (опубликованных в известном сборнике топологических проблем Кирби [27]).

В теореме 4.3.1 (§4.3) диссертации установлены ограничения на возможность проведения операций на косах. Следствие 4.3.2 этой теоремы позволяет, в частности, верифицировать все гипотезы Ме-наско. Так, вторая, третья и четвертая гипотезы Менаско, касающиеся псевдоаносовских кос, верны, — вторая в точности, две другие допускают усиление. Первая гипотеза Менаско, касающаяся периодических кос, верна в отношении операций дестабилизации и замены и неточна в отношении операции обобщенной замены (см. пример (3) §4.3). Второй пункт следствия 4.3.2 доставляет точную оценку для операции обобщенной замены.

Найденные ограничения на возможность проведения операций на косах описаны в работе в терминах некоторого упорядочения на группе кос.

1. А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман, Построение и анализ вычислительных алгоритмов, Мир, М., 1979.

2. J. W. Alexander, A lemma on system of knotted curves, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 9 (1923), 93-95.

3. E. Artin, Theorie der Zopfe, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 4 (1925), 47-72.

4. J. S. Birman, Braids, links, and mapping class goups, Ann. of Math. Stud., Vol 82, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1974.

5. J. S. Birman, К. H. Ко and S. J. Lee, A new approach to the word and conjugacy problem in the braid groups, Adv. Math. 139 (1998), 322-353.

6. J. S. Birman, К. H. Ко and S. J. Lee, The infimum, supremum and geodesic length of a braid conjugacy class, preprint (2000).

7. J. Birman and W. Menasco, Studying links via closed braids I: A finiteness theorem, Pacific J. Math. 154 (1992), 17-36.

8. J. Birman and W. Menasco, Studying links via closed braids II: On a theorem of Bennequin, Topology Appl. 40 (1991), 71-82.

9. J. Birman and W. Menasco, Studying links via closed braids III: Classifying links which are closed 3-braids, Pacific J. Math. 161 (1993), 25-113.

10. J. Birman and W. Menasco, Studying links via closed braids IV: Split links and composite links, Inv. Math. 102 (1990), 115-139.

11. J. Birman and W. Menasco, Studying links via closed braids V: Closed braid representations of the unlink, Trans. AMS 329 (1992), 585-606.

12. J. Birman and W. Menasco, Studying links via closed braids VI: Anon-finiteness theorem, Pacific J. Math. 156 (1992), 265-285.107

13. P. F. Conrad, Right-ordered groups, Mich. Math. J. 6 (3) (1959), 267-275.

14. P. Dehornoy, Braid groups and left distributive operations, Trans. Amer. Math. Soc. 345 (1994), 115-151.

15. P. Dehornoy, A fast method of comparing braids, Adv. Math. 125 (1997), 200-235.

16. E. Elrifai, H. Morton, Algorithms for positive braids, Quart. J. Math. 45 (1994), 479-497.

17. D. Epstein et al., Word Processing in Groups, Jones and Bartlett Pubis., 1992.

18. A. Fathi, F. Laudenbach, V. Poenaru, Travaux de Thurston sur les surfaces, Orsay Seminaire (Asterisque 66-67), Soc. Math. France, Paris, 1979.

19. R. Fenn, M. T. Greene, D. Rolfsen, C. Rourke, B. Wiest, Ordering the braid groups, Pacific J. Math. 191 (1999), 41-74.

20. D. Garber, S. Kaplan, M. Teicher, A new algorithm for solving the word problem in braid groups, preprint (2001).

21. F. A. Garside, The braid group and other groups, Quart. J. Math. Oxford 20 (1969), 235-254.

22. J. Gonzalez-Meneses, Ordering pure braid groups on closed surfaces, preprint (2000).

23. H. Hamidi-Tehrani, On complexity of the word problem in braid groups and mapping class groups, preprint (1998).

24. J. Harer and R. C. Penner, Combinatorics of train tracks, Ann. of Math. Stud Princeton University Press 125 (1992).

25. C. W. Holland, Transitive lattice-ordered groups, Math. Z. 87 (3) (1965), 420-433.

26. S. Kaplan, M. Teicher, Solving the braid word problem via the fundamental group, preprint (2001).

27. R. Kirby, Problems in low-dimensional topology, Berkeley 1995.

28. В. Копытов, H. Медведев, Правоупорядоченные группы, Научная книга, Новосибирск, 1996.

29. J. Los, Knots, braid index and dynamical type, Topology 33 (1994), 257-270.

30. J. Los, Pseudo-Anosov maps and invariant train tracks in the disc: a finite algorithm, Proc. London Math. Soc. 66 (1993), 400-430.

31. А. А. Марков, Uber die freie Aquivalenz der geschlossenen Zopfe, Мат. Сб. 43 (1936), 73-78.

32. W. Menasco, On iterated torus knots and transversal knots, preprint (2000).

33. H. Morton, An irreducible 4i-string braid with unknotted closure, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 93 (1983), 259-261.

34. H. Morton, Threading knot diagrams, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 99 (1986), 247-260.

35. L. Mosher, Classification of pseudo-Anosovs, Low Dimensional Topology and Kleinian Groups, 1986, pp. 13-75.

36. L. Mosher, Mapping class groups are automatic, Ann. of Math. 142 (1995), 303-384.

37. L. Mosher, A user's guide to the mapping class group: Once punctured surfaces, Geometric and computational perspectives on infinite groups, DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci., Vol. 25, 1996, pp. 101-174.

38. С. Ю. Оревков, Сильная положительность в право-инвариантномпорядке на группе кос и квазиположительность, Мат. заметки 681092000), 692-698.

39. L. Paris, D. Rolfsen, Geometric subgroups of mapping class groups, preprint (2001).

40. C. Rourke, B. Wiest, Order automatic mapping class groups, Рас. J. Math. 194 (2000), 209-227.

41. H. Short, B. Wiest, Orderings of mapping class groups after Thurston, preprint http://www.pims.math.ca/~ bertw/ (2000).

42. W. P. Thurston, On the geometry and dynamics of diffeomorfisms of surfaces, Bull. Amer. Math. Soc. 19 (1988), 417-432.

43. B. Wiest, Dehornoy's ordering of the braid groups extends the subword-ordering, Рас. J. Math. 191 (1999), 183-188.Публикации по теме диссертации

44. А. В. Малютин, Упорядочения на группах кос, операции над замкнутыми косами и подтверждение гипотез Менаско, Зап. науч. семин. ПОМИ 267 (2000), 163-169.

45. А. В. Малютин, Быстрые алгоритмы распознавания и сравнения кос, Зап. науч. семин. ПОМИ 279 (2001), 197-217.