Управление линейными системами при наличии задержки возмущения на входе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

РГб од

1 5 ноя воз

СЛНКТ-ПЕТЕРКУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БОРИЧЕВ Андрей Валерьепич

УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ ПРИ НАЛИЧИИ ЗАДЕРЖКИ ВОЗМУЩЕНИЯ НА ВХОДЕ

01.01.00 - математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Сашст-Петербург 1993

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ВОГИЧЕВ Андрей Валерьевич

УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ ПРИ НАЛИЧИИ ЗАДЕРЖКИ ВОЗМУЩЕНИЯ НА ВХОДЕ

01.01.09 - математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1993

Работа выполнена в Государственной морской академии им.адм.С.О.Макарова

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Самсонов Леонид Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Жабко Алексей Петрович

кандидат физико-математических наук Маськин Николай Михайлович

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный электро-технический университет

Защита состоится " £" 1993 г. на заседании

специализированного сопата K-0G3.57.TG по присуждению ученой степени кадидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 19890-1 Санкт-Петребург, Старый Петергоф, Библиотечная пл.,д.2. С диссертациеможно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан " \ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук,

доцент Горьковой В.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. От эксплуатации системы автоматического управления ( САУ ) дизель - генератора ( ДГ ) в значительной мере зависит безопасность мореплавания, погрузочно разгрузочные операции, швартовный режим работы. Оптимальная работа установки позволяет получить значительный экономический эффект за счет повышения надежности работы установки в целом и улучшение как работуы самих ДГ, так и механизмов, имеющих электроприводы и дать значительную экономию топлива.

Цель работы состоит в синтезе оптимального регулятора для линейной модели САУ ДГ с дополнительным введением задержки возмущения на входе, с учетом протекающих в системе процессов.

Метод исследования. В диссертации применяются методы лшшйзю-квадратичной теории с диффэренциальными и алгебраическими уравнениями Риккати, решения линейных алгебраических уравнений и экстремальных задач.

Научная новизна. На защиту выносятся следующие результаты:

- решение линейно-квадратичной задачи при упреждении в сообщении о будущей помехе, действующей на ОУ,

- зависимость минимального функционала качества от времени задержки возмущения как в стандартной лтшйно-квадратичной задаче, так и в случав оптимального линейного регулятора, переключаемого на пропорционально - интегральный ( ПИ ) регулятор постоянной структуры в момент окончания задержки возмущения,

- предложено устройство для реализации вышеуказанной САУ,

- решена задача синтеза оптимального регуляторэ при двух

воздействиях, когда СУ получает полную информацию об очередном воздействии только в момент его возникновения,

- дня СЛУ тепловыми машинами дшга условия, кагда закон управления может считаться удоволетворительшм с точки зрения параметров, определяющие работу тепловых машин: экономичности, токсичности и тепломеханической напряженности ( ТМН ).

Апробация работы. Результаты доложены на конференциях профессорско-предодавательского состава ГМА в 1990 -1992 годах, на 12 Всесоюзном межотраслевом научно-техническом семинаре " Рабочий процесс, теплообмен в ДВС и теплонапряженность их деталей " Ленинград 1991, Всесоюзной конференции " Разработка и внедрение перспективных технологий и устройств для строительства и реконструкции народнохозяйственных объектов в свободной экономической зоне г. Ленинграда и области ".

Публикации. Результаты работы отражены в 4 публикациях.

Структура и объем работы. Дисертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы. Общий объем работы 83 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе дан обзор работ и рассматриваются подходы к описанию математической модели ОУ - ДГ. Показано, что с достаточной точностью он аппроксимируется как линейная система.

В целом, можно выделить два направления - синтез регуляторов, реализующих нетрадиционные законы управления и улучшение существующих САУ с регуляторами постоянной структуры

такими как ПИ и пропорционально- интегрально- дифференциальные ( ПИД ).

Для первого подхода характерно большое число работ, посвященних линэйно-квадратичной задаче управления. Проф. В.Н.Фоминым предлагается метод решения задачи со стационарной помехой, известной матрицей ковариаций и произвольным возмущением в объекте с помощью синтеза оптимального прогноза. Рассмотрены случаи как для полного, так и для неполного дашшх наблюдения, для конечного и бесконечного интервалов времени, показано существование такой оптимальной стратегии управления (СУ). Приводятся винеровские оценки для вектора состояния.

Проф. В.И.Зубовым расмотрена задача синтеза линейных управлений для системы вида:

х - P(t)x t Q(t)u(t) I f ( t ).

Требуется линейную управляемую систем^ с помощью управления и перевести из любого начального состояния в конечное нулевое состояние за время т. Для этого управление должно иметь вид:

ч = M(l )х + N (t ) , t

где

M(t) - - в* (t)А~! (t ,T)Y~1 ,

T T

N = V - B* (t )A_1 (t ,T) (J"BV dt t jY-,f dt), t t

y - фундаментальна» система решений нормальной системы,

т т

в = Y^o, J ïïv dt - О, A ( t,T) = f BB*dt.

о t

Получен ряд результатов об оптимальном выборе матриц м и N для различных линейных систем, задач стабилизации движения и программой) управления.

Практическая задача синтеза такого оптимального регулятора показана кате 1 е. применительно к управлению автомобильным двигателем.

Для второго подхода характерно большое число работ, посвященным методам настройки ПИ и ГШД регуляторов.

В отечественной специализированой литературе, посвященной динамики ДВС, нетрадиционные подходы отсутствуют.

Для улучшения динамики САУ с традиционными регуляторами в основном предлагаются методы настройки. Несколько таких методов приводятся проф. В.Ф.Снромятниковнм и В.И.Круговым. Однако, эти методы являющиеся достаточно простыми в связи с появлением болев точных, рекомендуется использовать лишь для очень грубых систем. Дана критика такого подхода.

Для точной настройки могут быть использован широкий набор методов, описанных у проф. В.И.Зубова, Е.Е.Александрова,

СЪоу 11.11., Иоппд 1.К., Ьзеып.т П., С., Гог1ег В.

Делается предположение о том, что с помощью задержки возмущения можно улучшить динамические свойства С.У.

Вторая глава посвящена решению линейно-квадратичной задачи при временной задержке возмущения.

Обычно считается, что действующие на ОУ неконтролируемые воздействия ( совокупность их называют помехой ) ненаблюдаемн, неизвестны и, как следствие, неизвестны будущие значения выходов ОУ.

Однако существует достаточно широкий класс, объектов, у которых традиционно ненаблюдаемое возмущение может быть

прообразовано в наблюдаемое за счет его задержки на входах. Рассмотрим ОУ, записываемый в пространстве состояний:

х = Ах + Ви + Су. ( I )

Элементы матриц а,в и вектора с являются числовыми. Пара (а,в) стабилизируема, пара (л,о)- наблюдаема. Считается известной помеха V е ь2(0,®). Задан функционал качества:

оо

5 = / х*йх и* Ли (11, ( 2 )

п

О и л симметричные матрицы соответствующей размерности, о неотрицательна, а к положительно определена.

Требуется определить такой закон управлетя ч = и(х), что с начальными условиями х(0) ^ хо значение функционала ( 2 ) достигает минимума.

Теорема 2.1 Оптимальный регулятор для ОУ ( I ) с функционалом качества ( 2 ) имеет вид:

и -- [Г'гГпх - [Г'п*^, ( 3 )

? определяется уравнением:

? = (кглг'в*- а*)? - ЦСу, ( 4 )

с дополнителышим условием ( « ь 10,«>), а м;.тр.;-< : к ел.-П; решение алгебраического урнпнония Рикка^и:

на + а*н + о - нвн 'р/н - о и н* - н >0. ( ¡> )

Пусть помеха у, дойс.тнующпя на О.У, может быть задержана на входе на время д.

Функция у о задер.ч::;< .1 ля время л, и'пгп.лтелыю функции у,

определяется следу мним образом: v(t + л) = v(t) гтри t > 0 и V(t ) - с ттри t щ,л), где с - постоянная.

Требуется синтезировать оптимальный регулятор с функционалом качества ( 2 ).

Теорема 2.2 Оптимальный регулятор для системы ( I ) с функционалом качества ( 2 ) имеет вид (3 ). При наличии временной задержки д > 0 помехи v и v(0) = 0 и х(0) - О минимум Функционала качества ( 2 ) удоволетворет неравенству:

« ?(0). ( G )

Если неравенство ( к ) строгое, то зависимость функционала качества от времени задержки д имеет строго убывающий вид.

Все вышеизложенное относится к случаю, когда действует одна функция помехи v . в противном случае второе изменегае возмущения можно задержать также на время д.

Тогда пусть г = г-д - момент второго изменения возмущения V и д < г < 00 и p(i )- плотность вероятности того, что вто изменение произойдет.

Функционал качества примет вид:

un

3 = J s p(s)ds, ( 7 )

д

Лемма 2.2 Функционал качества ( 7 ) представим в виде суммы 3 = 3° + ¿3, где

ÜJ (О

3°=х(0)*Н х (0) +2/ * (0)х (0) tj" J"(2i: *Cvf-Ç*BFÎ~1B*ir )dt p(s)ds.

Д f )

00 Ou

д3 = f Jll" + RnB*(í -f. )||2dt p(s)ds.

Обозначим:

и = и + И-'в'Нх t [Г'в'Ч .

со

Теорема 2.3 Оптимальный регулятор для системы ( I ) и функционала качества ( 7 ) имеет вид:

1. Второго изменения возмущения нет ( не наблюдается ) :

00

и (О = -И^в'г Д? Р (э )<}5.

1 г

ЫА

2. При возмущении в момент г ( возмущение стало наблюдаемым ):

й2(0 = -рГ'в«^«:) - ^^(Ь)), где функция <г .= ь Ю,®), определяется уравнением:

< = (нвн_1в*- а*){ - нс*

Третья глава посвящается проблеме поиска оптимального управления на интервале задержки возмущения при работе рех-улятора постоянной структуры за границами этого интервала и кусочно-постоянной функцией возмущения. ОУ имеет вид ( I ).

Предполагается, что скачок функции V происходи? в момент времени 1=0, но искусственно задерживается н нремя т, -задержки возмущения и функция * в уравнении ( I им^пт скачок в момент t = т.

По условию V - кусочно-постояшшя функция, ¡1.!Я'...;,:у система уравнений ( I ) может быть переписана в виде:

х - Ах + ви, при 0 « 1 с ( О )

X = Ах + Пи, при I .> -С ( 0 )

«

где функции (*,и) и (х,й) отклонение от соответствующего установившиеся состояния.

На интервале (-с,®) действует стандартный регулятор постоянной структуры с фиксированными коэффициентами к:

й = й + к^х1 I к2/ х'(з) Йс, ( 10 )

Требуется синтезировать оптимальный регулятор на интервале [0;т]. Выберем квадратичный функционал качества:

л ' -Г ( » ] и ] " + -Г г а г

о т

где г = [5 ),

( II )

о -

Р 3 Б Н

определенная матрица, гс > 0.

- симметричная, вещественная, положительно

Для стабилизируемости ОУ ( I ) предложен численный алгоритм нахождения коэффициентов и к2, при которых ОУ ( I ) с регуляторюм ( ТО ) устойчив ( если такие коэффициенты существуют ). Перепишем систему ( 9 ):

г = гт,

( 12 )

где б =

к е + к е А к ч В

2 1 1 1 о 11

в - базисный вектор, е^е кп. Коэффициенты характеристического полинома системы ( 12 ) линейно зависит от коэффициентов настройки к( и к2:

\е - о ) = ао(х) + ^(х) + к2<ух). ( 13 )

Поставим задачу определения коэффициентов к( и к2 при которых замкнутая система устойчива в общем случае.

Для решения этой задачи предлагается следующий алгоритм:

1. Увеличим вектор к = (к( ,к2) до размерности п+1 - системы ( 12 ). Значения коэфрициентов кз...к^1 определяются при решении задачи на условный минимум функционала:

П + 1

3 = Е к*.

2. К набору полиномов аи(х), а (х) и с1з (х) добавляется набор полиномов а (х), 1 = 3,..п+1, при этом выбор вектора к обеспечивает гурв!тцевость полинома:

д(х) = <зо(х) + £ кД(х),

I -1

ГДе <1ед(сЗ (X)) « п При 1 > 2.

Будем подбирать полином д так, чтобы значение функционала 3 было, по возможности меньшим. Решение исходной задачи будет получено когда ?;= П.

Изменение д(х) будем производить таким образом, чтобы его корни не пересекали мнимую ось. В качестве меры близости к мнимой оси выберем функционал:

V ао

I = .Г I д(2) Г2с12. ' ( 14 )

- V (Л

Задача решается итерациошшм методом. Лемма 3.2 Интеграл ( 14 ) равен отношению коэффициентов при старших членах с^ и дп>1 полиномов с и д, где полином с является решением уравнения:

с(г)д(-г) + д(г)с(-г) « I, dвg(c) « п+1

Пусть существуют коэффициенты к и к2 такие, что замкнутая система ( 12 ) устойчива. Тогда

СО л

Л - Г^у^с^ - Г^. ( 15 )

о

Матрица х - решение уравнения Ляпунова г/х + хо - -о. Оптимальное ио, минимизирующее функционал качества, с ПИ регулятором при известном хо находится из уравнения:

и = -х-'х** . ( 16 )

о 3 2 о * '

Перейдем к' изучению ОУ на интервале (0,т1. С учетом уравнений ( 15 ), ( 16 ) функционал качества ( II ) принимает вид:

Т

Л = х(т)*Х4Цт) + I (-и ) О ( * ) * 2Дх*Х^(т) *

о

+ Лх*Х4йх, ( 17 )

где дх = х(0) - ¿(0), х4 - х1 -

Рассмотрим задачу оптимального управления ОУ ( 3 ) на

конечном временном интервале Ю,т] с функционалом качества: 1 .

л = |(и)°(и)111+ *(Т)*Х4х(Т), ( 13 )

о

при фиксированном значении х(0).

Теорема 3.1 Оптимальный регулятор для ОУ ( 3 ) на промежутке времени (0,т) с функционалом качества ( 18 ) при любых начальных дашшх имоет вид:

и + 1Г'(Б*Н + 3)х иГ1!)"« - Н, ( 19 )

где

н - решение дифГеренциалыгаго уравнения Риккати:

ii = (нв + з*)п^,(в*н + з) - на - д*н - р. ( 20 )

г начальным условием н(т)= х^.

Величина ? выбирается из решения дифференциального уравнения:

?, - ((нв + э'^'в - д*) г, при ?(т)= 0, ( 21 )

Теорема 3.2. Для системы ( 8 ) - ( 9 ) при наличии времешюй задержки т > 0 и х(0) = 0 с функционалом качества ( ТТ ) оптимальный регулятор удоволетворяет уравнению (19 ). Минимум функционала качества ( II ) удоволетворяет неравенству:

л ( с) • .'(П),

и является монотонно убывающей фушсцией относительно времени задержки г.

Рассмотрим линейную систему, описывающую ДГ, и состоящую из уравнений динамики собственно двигателя, турбокомпрессора и ресивера продувочного воздуха. Приведем систему к стандартному виду ( I ).

Коэффициенты матриц л, в, с, найденные по результатам эксперимента проф. Л.А.Самсонова и при помощи метода идентификации, изложенного проф. Л.Льюнгом:

-0.0437 1.8413 -2.8298 а = -П.3998 -О. 2Г)7 0.1619 , -0.1578 0.1973 -0.337

0.0073 -0.06365

в - 0.0343 с = -0.003

0.0273 -0.0166

Сравнение результатов по данным идентификации и эксперимента показывает близость траекторий и может считаться приемлимнм. Матрица о для квадратичного критерия качества у ДВС О = спад (10,0,0,0.001).

Величина функционала качества о ■= 0.1465; с дополнительным регулятором при г = 2 с. л = 0.1153 или величина выигрыша функционала качества составил 21%.

График функции л^) представлен на рис. I.

Для реализации предложенной стратегии спроектировано устройство, разработашшое совместно с Козловим Д.10.

Четвертая глава посвящена исследованию влияния :яконя управления на экономичность, токсичность и ТМИ теплоны.машин в динамических режимах.

Работа тепловых машин ( таких как ДНО ) може; быть охарактеризована но только качеством переходного пр.*!'- оса, влияющим на потребителей электроэнергии, но вышеук.. • ,;ыми показателями двигателя.

Существует необходимость учета влияния СУ 1 ,;ти показатели. Рассмотрим каждый из них.

ТМ11 характеризуется давлениями, напряжетмми, деформациями в элементах остова, движения и в узлах сопряжений код действием механических и тепловых нагрузок. Однако ати напряжения и деформаций практически невозможно контролировать. Вместо них используются косвенные показатели, такие как максимальное давление цикла р_ и скорость нарастания давления.

4 6 Р 10 12 14 16 18 20

Рис.1

Изменение функционала качества от времени задеркки

температуры деталей, соприкасающихся с горячими газами ( например, поршень, крышка, втулка ). Для расчета показателей ТМН используются простые формулы, полученные апроксимацией нелинейных зависимостей в модели проф. Л.А.Самсонова.

Экономичность может быть охарактеризована удельным индикаторным расходом топлива д^. Для оценки экономичности переходного процесса может быть использован критерий: 00

Л = X - <П, ( 22 )

о ш

где д^ - текущее значение удельного индикаторного расхода топлива во время переходного процесса,

д - значение удельного расхода топлива на новом режиме.

Количество вредных выделений характеризуется прежде всего ы>(0у, со^ и бо^, количеством носгоревших углеводородов с„'>у, сажи и несгоревшего топлива. Образование вредных веществ происходит по принципиально различным механизмам, поэтому но представляется возможном снизить вредное действие выпускных газов каким-нибудь одним универсальным средством.

Исследования ЮДИЦКОГО Ф.Л., 1 , Л.А.ТепиапС

показывают, что для некоторых типов двигателей концентрация Ых0у резко возрастает при максимальной экономичности, но при ее незначительном снижении так же резко падает до допустимой концентрации, поэтому для модельного сравнения и поскольку двигатель даже на длительных эксплуатационных режимах не работает с максимальной экономичностью, можно ограничиться сравнением по экономическим показателям работы двигателя. Эмпирическая зависимость для у1 так же приводится у проф. Л.А.Самсонова.

Таким же критерием, как ( 22 ), может бить оценено количество вредных выделений.

Оправдано использование экономического критерия, учитывающего вред, наносимый окружающей среде, но применение которого в настоящее время не представляется возможным, хотя бы из-за того, что нот стоимостного выражения влияния составляющих выхлопных газов тепловых машин на окружающую среду и влияния закона управления на надежность двигателей.

В настоящее время наиболее целесобразным оказывается сравнение с базовым вариантом ( т.е. с используемым законом управления ). Закон управления не может быть использован если 1Ю зкоипмичноси-или токсичности он хуже существующего или выше придельных значений вышеуказанных показателей, а по тепломеханическим показателям выше придельного.

Сравнение законов управления из третьей главы по критерию ( 22 ) говорит о примерном равенстве качества, хотя у нового экономичность несколько выше - 12.0611 и 12.1475 соответственно.

Из предположений, сделанных выше, можно считать, что уровень токсичности для предлагаемого закона управления так же оказывается ниже базового.

Уровень механической напряженности по максимальному давлению цикла оказывается значительно ниже базового, а по тепловой ( скорость изменения температуры ) - выше, за счет резкого изменения управления в момент окончания задержки возмущения т, но однако но превосходит допустимой величины.

Следовательно, предлагаемый закон управления может быть использован.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ( основные выводы по работе )

1. Синтезирован оптимальный регулятор в линейно-квадратичной задаче при известном возмущении.

2. Решена оптимизационная задача при наличии упреждения в сообщении о будущей помехе, действующей на ОУ.

3. Расчитана зависимость минимального функционала качества от величины упреждения. При нулевых начальных данных эта зависимость монотонно убывающая и показывает размер выигрыша в функцинале качества за счет задержки помехи.

4. Решена задача при двух воздействиях для случая, когда система управления получает полную информацию об очередном воздействии только в момент его возникновения. Синтезирован оптимальный регулятор, который имеет стандартный вид с преключением в момент изменения каждой функции помехи.

5. Предложен численный метод проверки существования стабилизирующих коэффициентов ПИ регулятора.

6. Установлен вид оптимального регулятора на интервале задержки возмущения для системы, все остальное время управляемой регулятором заданной постоянной структуры.

7. Дана зависимость функционала качества от времешюй задержки возмущения, которая при нулевых начальных данных имеет строго убывающий вид.

8. Рассмотрена САУ частотой вращения дизельным двигателем, на которой этот подход может быть реализован.

9. Предложено устройство для реализации вышеуказанной

САУ.

10. Рассмотрены три основныо группы показателей.

определящий работу тепловых машин в динамических режимах: экономичности, токсичности и тепломеханической напряженности.

II. Закон управлетя САУ дизельным двигателем, описанный в n.G, является удоволетворительным с точки зрения изменения его параметров, поскольку выполняются два условия:

- общеэкономический критерий ( или экономичность и токсичность ) меньне чем на базовой системе.

- придельные значения величин в каждой группе показателей не превыше™.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРИТАЦИИ

1. Еоричев A.B. Микропроцессорное управление дизельным двигателем. // Разработка и внедрение перспективных технологий и устройств для строительства и реконструкции народнохозяйственных объектов в свободной экономической зоне г. Ленинграда и области. Л., Тезисы докл., 1991, с. 91 - 97.

2. Боричев A.B. Козлов Д.Ю. Устройство управления частотой автономной системы энергоснабжения, н 02 н 7/093, я.с. 1737609.

3. Каракаеп А.Б. Рябияин Г.А. Кузьмин В.В. Боричев A.B. Устройство для регулирования параметров потока, о 05 d 23/10, 7/06, F 16 к 47/14. а.с. 1674084.

4. Каракаев A.B. Рябипин Г.Л. Кузьмин В.В. Боричев A.B. Устройство для регулирования параметров потока, с 05 о 23/10, 7/06, г 16 к 47/14, а.с. T67586I.