Управляемость и оптимальное управление системами с цилиндрическим фазовым пространством тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

г\ о ин

г 1 !!!0И 1033

казахский национальный государственный университет ИМ.аль-фараби

На правах рукописи

калдаров Турехан Пайзилович

уда 62-50

УПРАВЛЯЕМОСТЬ П ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СПСТЕНЛИП С ЦПЛПНДРПЧЕСКПИ фАЗОВЫН ПРОСТРАНСТВОМ

Специальность 01. 01. 11 - системный анализ и автоматическое управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алмата - 1993

Работа выполнена на кафедре теории управления Казахского государственного Национального университета имени Аль-Фараби.

Научные руководители: I

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

заслуженный деятель науки РК, доктор технических наук, профессор С.А.Айсагалиев кандидат физико-математических наук, доцент Ш.А.Айпанов доктор физико-математических наук, профессор В-С.Норонов кандидат флзико-математиче ских наук. М.Т.Дгеналнев Казахский ордена Трудового Красного Знамени политехнический институт рм. В.И.Ленина

Защита диссертации состоится " ихСЛ- 1993 г. в Ю часов на заседании специализированного совета К 058.01.19 по защите диссертации на соискание ученой степеш кандидата физико-математических наук в Казахском государственном Национальном университете им.Аль-Фараби по адресу: 480012, г. Алматы, ул. Масанчи, 39/47.

~ С -диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ.

Автореферат разослан « О 4 1993 г.

Ученый секретарь

специализированного совета, i и ____

доцент Ш.А.Айпанов

- з -

ОЕДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работа. Системы с цилиндрическим Фззоеым пространством встречаются в различных областях естественных наук, в частности, это электроэнергетические системы, системы фазовой автоматической подстройки частоты, маятниковое системы в механике и др. Первоначальны;.! исследования!,! по изучению свойств таких систем относятся работа Ф.Трикоми, Л.Лмерио, Г.Зейферта, Г.Сансоне. Новые результаты по качественной теории устойчивости фазовых систем получены в работах Л.Н.Белюстиной, Е.А.Барбазшнз, В.А.Тгбуевой, Ю.Н.Бакаова, А.А.Гуаа и др. Следует отметить также работы Г.А.Леокова по ограниченности и глобальной асплтотичэскоЯ устойчивости решений фазовых систем, полученные на основе априорных оцэнок и частотной теорега Якубовича - Калкана.

Данная диссертационная работа посвящена задаче управляемости и оптимальному управлению системами с цилиндрическим Фззоеым пространством на конечном отрезке времени. Загатим, что в теории глобальной асимтотической устойчивости фазовых систем определяются достаточные условия, при выполнении которых любое решение системы стрег/ится к какому-либо положения равновесия при I—> оо. в отличие от этих задач в диссертации рассмотрено движение систем с цилиндрическим фазовым пространством на конечном отрезке времени*

""Основные результаты теории оптимального управления получены Л.С.Понтрягиным в виде пргащппа максимума путем сведения исходной экстремальной задачи к специальной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а такке Р.Беллмзном путем сведения исходной экстремальной задачи к уравнениям в

частных производных. Во многих случаях точное решение этих задач довольно сложно. Для применения методов динамического программирования или достаточных условий оптимальности надо знать функцию-Беллмана или функцию Кротова. Общих правил построения этих функций не имеется. В связи с этим разработка общих методов решения задачи управляемости и оптимального управления нелинейными сис-темаш с закрепленными концали траекторий является актуальной задачей как для теории управления, так и для ее приложений.

Целью работы является исследование вопросов управляемости и оптимального управления системами с цилиндрическим фазовым пространством на конечном отрезке времени, а также применение полученных теоретических результатов для конкретных фазовых систем.

Методы исследования. Основные результаты диссертационной работы получены на основе теории управляемости, теории оптимального управления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений к функционального анализа.

Научная новизна полученных результатов заключается в следувдем:

1. Предложены методы построения множества управлений в пространстве ) для линеаризованной модели системы с цилиндрическим фазовым пространством, кавдый элемент которого

'переводит траекторию системы из любого начального состояния х0€Еп в желаемое конечное состояние х^е" за заданное время

г0. Выделенное множество управлений содержит управление Р.Калмана и управления с минимальной нормой Н.Н.Красовского и А.Г.Бутковского.

2. Показано, что задача управляемости для нелинейной модели

систем с цилиндрическим фазовым пространством может быть сведена к решению интегральных уравнений с произвольной функцией из построенного многэства управляемости для линейной модели, что позволяет предлагать различные метода их решения, и в общем случае построить множество управлений для нелинейной модели. Предложены методы построения множества управлений для системы с цилиндрическим фазовым пространством на основе принципа снимающих отображений путем' сведения их к дифференциальным уравнения!« специального вида.

3. Разработан метод репения задачи оптимального управления для системы с закрепленная кончают траектории на основе предложенных методов решензя задачи управляемости. При этом задача оптимального управления с закрепленными концами траектории сведена к задаче оптимального управления со свободным правим концом.

Теоретическая и практическая ценность работы. В дассерта -цпонной работе проведены теоретические исследования по управляемости и оптимальному управлении системами с цилиндрическим фз-30ВЫ1Л пространством. Полученные результаты применены для репе-нпя задачи стабилизации движения маятника Фроуда - Нуковского и задачи управляемости грузоподъемных механизмов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на конференциях молодых ученых и специалистов КазГ/(1937, 1989, 1990 гг.), на IX Республиканском мез -вузовской научной конференции по математике и механике(1989 г.), на научных се.'гптзрах гсгфодры теории управления КазГУ.

Публикация. По тямэ диссертации опубликована 6 работ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит

ея введения, трех глав, заключения, приложения и изложена на 38 страницах. Список использованной литературы содержит 65 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Во введении обосновывается актуальность исследования, дается краткий обзор литературы по теме диссертации и приводится постановка задачи.

В первой главе исследуется задача управляемости для систем с цилиндрическим фазовым пространством. В § 1.1 рассматривается линеаризованная модель системы с цшшндрическигл фазоЕым пространством, которая описывается дифференциальным уравнением следующего вида:

y(t) = A(t)y(t) + B(t)-ô(t) + ц(Ю, t€ft0, t1 ], . (1) y(t0) = У0 . (2)

гдз y(t) - n-вектор состояния системы; A(t), B(t) - заданные матрицы размерности (ГШ1), (Шсг) соответственно; |i(t) - заданная n-вектор-функция; -ô(t) - г-вектор-управленяя; t0,t - фиксированные начальный и конечный моменты времени ; yQ - заданное начальное состояние системы.

Предполагается, что элементы матриц A(t), B(t) и вектора H(t) являются кусочно-непрерывными функциями в интервале времени [t ,t j, а управление «(tJeLllt ,t ]. Здесь через l£[t0,t.,] обозначено пространство измеримых г-вектор-функцкй ^(t), tçttQ.t^J, для которых функция |i3(t)|2 суммируема в интервале [tQ.t1] в смысле Лебега. Тогда система (1) при выбранном управлении -ô(t)eL|[tQ,t1 ] и заданном начальном условии (2) имеет единственное решение.

Для системы (1) поставлена следующая задача: построить мно-

гество программных управлений С-й(t) >сЬ^"[ «113, которые пор-э-водят траекторию системы (1) из любого заданного начального состояния У(1:0) = у0 в любое желаемое конечное состояние

) = У, за конечный интервал времени С^.^З, т.о. построить мнокество

V = { I = у1; уап. ).

Данную задачу решают следущие тооре1ш и следствия.

Теорема 1. Если система (1) управляема в момент

времени t

0, то управлегше •fl(t) =

Г Vt}

Vt}

t€Ctn,tJ

из множества

гГ

V = с -«(tjei^cto.t,] I ^(t) =

:<t>5(°\

<fc=1.r );

!i(t0,t1 )£co> = a }

(3)

переводит систему (1) из любого заданного начального состояния У0еъп в любое желаемое конечное состояние у1еЕп за конечный интервал времени [tQ,t1].

Теорема 2. Если система (1) управляема в момент времени tQ, то управление -0(t), t£[t0,t11 из многества

v = с «(tjcifttg.t,] I -§k(t) = + S

(li=1,r ); Ii(t0,t,)£

a. )

(4)

перэводит траекторию системы (1) из любого заданного начального

состояния УцСЕ11 в любое гелаомое конечное состояние у, еЕ11 за конечный ' интервал времени ].

Следствие 1. Пусть выполнены все условия теорем 1. Тогда управление ■0(1; где множество V определяется по

формуле (3), мокет быть представлено в виде

«(t) = B'ttWito.tJW-^tQ.t^a + iu(t), teCt0,t1 ], (5) где r-вактор-функция w(t)€V0 = { eittelftto.t,! I a»k(t) = t£(t)i£°> ( кйТг);

M(t„,tf )т](0) = о }. Следствие 2. Пусть выполнены все условия теоремы 2. Тогда управление -û(t)çV, где мнозсэство V определяется по формуле (4), может быть представлено в виде (5), где г-вектор-функция

®(t)€V0 = { »(tîdÇtto.t^ I Wk(t) = +J h^ltjT]^,

(k=TTr); M(tQIt1 )т) = о }. (7)

В { 1.2 рассматривается задача управляемости для систем с цилиндрическим фазовым пространствомi

î(t) = A(t)x + B(t)u + C(t)r(a,u,t)

(8)

a = c*x, x(tQ) = x0,

где C(t), B(t), tçftQ.t^ - матрицы с кусочно-непрерывными элементами порядков (n*n), (Пхг) соответственно; C(t) - n-мерный вектор с кусочно-непрерывными элементами, функция r(o,u,t) = = i(c*x,u,t) = <p(x,u,t) - непрерывная и непрерывно дифференцир-уемапо переме1шымй o,t в области xçË11, ueE1" .tettQ.t^, и является периодической функцией по переменной о с периодом 2%, T.e.<p(o,u,t) = <р(о + 2ick,u,t); t0, t - фиксированные моменты , времени; х0еЕ". Тогда при кавдом фиксированном u(t)eL|[tQ,t1] уравнение (8) имеет единственное решение x(t) = x(t;tQ, х0, и), tett0,t ], исходящее из точки х0€Е".

Ставится задача: найти множество программных управлений Cu(t)} с i|tt ,t ], для которых решения системы (8) x(t)= =x(t;t0,xQ,u), te[tQ,tt] в момент времени tt проходят через заданную точку х1 = х(^;1;0,х0,и). Введем следующие обозначения

St(t) = -B*(t)®*(t0,t)îT1(t0,t1)e(t0).

S2(t) = ^(t.toWtQ.tjr^tQ.t^eHtg). telt0,t1 ],

где ®(t, x) = 8(t)S~1 (t) - матрща Коал размерности (rwi); 6(t) - фундаментальная (пгп)-матрица репений линейной однородной системы s = A(t)z.

Теорема 3. Пусть система (1) управляема в момент времени tQ и функция -e(t)€V. Тогда управление

U(t) = -Oit) + S1(t)q(t1). (9)

переводит систему (8) из любого начального состояния XqÇE" в любое желаемое конечное состояние х^Е". Здесь

x(t) = y(t)+ Sgttjqtt,) + 0(t)q(t), tilt^t,], (10)

rfce t

q(t) = Г e~1 (т)ф(х(т),и(г),т)с1т, (11)

i

t

y(t) = <P(t,t0)x0 + Г ®(t,T)B(t)^(T)dT. <

Как следует лз теоремы 3, управление u(t), tç[t0,t.,], монет быть определено в результате совместного ресепия

интегральных уравнений (9), (10).

В 5 1.3 рассматриваются метода решения интегральных уравнений (9),(Ю). Один из методов решения интегральных

уравнений (9),(Ю) может Сыть получен на основе принципа сжимающих отображений.

Рассматривается случай, когда управление u(t)€C[t0,t1]. В этом случае для системы (8) выполнены все условия классической теоремы существования и единственности решения, т.е. система (8) для любого фиксированного управления u(t)€Ctt0,t11 имеет единственное решение x(t) = x(t;t0,x0,u), tettQ.t^. Пусть вектор-функции z(t) = (u(t),x(t)). p(t) = (g(t).h(t)), где

г'1 -1 •

g(t) = -e(t) + S,(t) в (т)ф(2(т:),т)(П, i

h(t) = y(t) + S2(t) f 6~1(г)ф(г(т;),г)(П: + t

+ 6(t) Г в~1(т)ф(г(т),т)йх, tcttQ.t,]. <

Тогда можно сказать, что оператор А каздому элементу z(t), teit0,t13 ставит в соответствие элемент p(t), teltg,^], т.е.

p(t) = Az(t). (12)

Так как управление uftkCttg.t.,], то для решения x(t) дп$н ференциального уравнения (8) имеем x(t)eC[t0,t1"], следовательно z(t)€Ctt0,t1 ]. Поскольку функции •«(t), y(t) eCttQ.t^,

матрицы S1(t), S2(t), 9(t), 6~1(t) имеют непрерывные элементы и функция <p(z(t),t) непрерывна по t , то функция p(t)€CttQ,t1 ]. Поэтому оператор А отображает пространство C[t0,t1J в себя.

Теорема 4. Пусть маняща W(tQ,t1) - положительно определенная, и пусть функция. ф1 (z.t) = в~1 (t)<p(z,t) удовлетворяет условию Лишшца по переменной z, т.е.

I9t(z.t) - < L(t)|z - 2|, (13)

где. B,Z €En+r, L1(t)€C[t0,t1l, L,(t)>0. t€Ct0,tt3. Тогда оператор А является снимающим, если

' f1 1 J Li < isl(t)jo + iS2(t)!o + \ттг0 (14)

■ о

Из теоремы (4) следует, что интегральное уравнение (12)

имеет единственное решение. Это решение моста определить следующим образом:

« u(t) = Ilm u<n)(t), x(t) = lim x(n,(t),

n-XO n-x»

где

Л

u(n+1)(t) = Tj(t) + S^t) I ф1 (x(n)(x),uin)(T),t)dx, (15)

t

r i

x(n+1 )(t)=y(t) +S2(t) I ф, (x(n)(t),utn)(T),T;)üi:+

(16)

Л

+ 0(t) I ф, (x(n)(x),u(n)Ct),i;)dx .

о

В качестве начального приближения mosho взять функции

и(0,(1;) = «(1), х{0)(г> = у (£), ^[^.г,].

Далее рассматривается еще один метод решения интегральных уравнений (9),(10), основанный на сведении их к дифференциальному уравнению специального вида. Вводя обозначения

г

т)(1;) = [ е-1(т)ф(х(1), и(т), юаг, (17)

интегральные уравнения (9), (10) запишем в виде

и(г) = «(Ю + з/Ютк^). 1;€[г0,1;1] (18)

хт = у(г> + 83(1)11(1,) + еттхю, ш^Л,], (19)

где

уш « а(*> + кг(г) + ы2(г)г(г), шг^д,]. (20) тки в макь^д,! | -ей) = гт + +

+ н1(г)2(г1)>с1^[г0д1], (21) у(Ю€Ь|иод, 1 - произвольная функция, функция z(t), 1;е[1;0д13-решение дифференциального уравнения

¿(1;) = А(1:)г; + В(Щу<1;), 2(1:0) = О, ^С^Д,]. (22) Дифференцируя по 1: левую и правую части (17), с учетом выражений (18) - (22) имеем

. т|(1;) = о(ч(г).т}(г1),в(г),га1),у(г).г). (23)

тц-с0> = о, 1*[1;0д,],

где функция й = е_1(1)ф(г(г) + хгП) + еш-ци) + б^ют)^) +

Решение исходной задачи сводится к решению следующей . оптимизационной задачи: минимизировать функционал -

Л, (т,Ь) = |т)(1: - Ь|2—>- 1пГ (24)

при условиях

T|(t) = QWtj.b.zttJ.Btt^.vttJ.t). T)(t0) = О (25)

z(t) = A(t)z + B(t)v(t), z(tQ) = 0, tettQ.t,J, (26) vttJelfttQ.t,]. beE", (27)

где T)(t;b,v), t€[t0,t1 ]. - решение системы (2.12) при выбранном управлении v(t)€l|lt0,t1), ЬеЕ". Заметим, что уравнение (25) получено из (23) путем замены 'n(t1) на вектор ЬеЕ*1.

Теорема 5. Пусть функция Q(T),b,z,z,v,t) непрерывна по совокупности своих аргументов вместе со своими частными производными по переменным (T),b,z,z,v) в области TjeE^.beE^.zeE11, Z€En,veEr, и пусть функции Q, вО/&ц, вО/вЪ, 00/dz, QQ/dz, QQ/dv удовлетворяют условиям Липшица по переменным (T],b,z,z,vkEnxEnx ЕпхЕпхЕг с постоянной Липшица Ъ = const > 0. Тогда функционал (24) при условиях (25) - (27) непрерывен и дифференцируем по (b.v) в норме Е11 + , причем его градиент в точке (b, v(t))elP + представим виде

Г

Ztb-Tjtt^b.vbjf-т-2-] ^(t)dt

SQdKtJ.b.zCtJ.ztt^.vi'tJ.tK»

^(b.v)»

»0

B*(t)(|)2(t) - (-m-3-J <!»,(*)

J'(b,v) € Ё11 + I^ItQ.t^. (23)

Где функции z(t), T](t), t e ct0.t1i - решение системы (26), (25), а вектор-функции (^(t), <j>2(t), teCt^i.,] - решение следующейх сопряженной системы:

f eQ(Tj(t),b.z(t),z(t1),v(t),t) ,*

4,i(t)=-( -gg-3- ) ^(t).

«W = -2fn(t1 ;b,v) - b];

- f ÖQWthb.zm.zit^.vttht) c|>2(t)=-A*(t)(J)2(t)+[--ш-ï-J (^(t).

t, (30)

г \ ÔQtTKtJ.b.zitJ.ztt.J.vitJ.t)

<I>2<V=-J(--)

0

Далее, по известному градиенту функционала ( 28 ) и решению сопряженной системы ( 29 ), ( 30 ) могут быть построены минимизирующие последовательности { b(k)>, { v(k)}. Пусть

lim b(k)= b\ v(k)(t)—> v (t) при k—>• oo и ijit-;b*,v ).

k—>• со '

Тогда искомое управление u^(t) = «^(t) + S1(t)b*, t€[t0,t1].

Во второй главе рассматривается задача оптимального управления системами с цилиндрическим фазовым пространством.

Рассматривается следуицая оптимизационная задача: минимизировать функционал •

V

J(u)= Г r0(x,u,t)üt (31)

i

при условиях

1 = A(t)x + B(t)u + <p(x,u,t).

(32 ^

x(t0)=x0, xft,^. tgCto.t^.

u(t) € I^ItQ.t,], (33)

где функции I0(x,u,t), cp(x,u,t) - непрерывны по совокупности своих аргументов вместе со своими частными производными по 'переменным (х,и) в области ' х £ Е", ,u е f, t €' CtQ.t13; A(t), B(t) - матрицы с кусочно-непрерывными елементами соот-

вэтственно порядков im, пхг, xQix1 е Е" - заданные векторы. Вводятся следующие обозначения

\,<t) = C(t)a. H,<t) = -C(t)®(t0,t1), X2(t)=®(t.t0)W(t,t1)W-1(t0,t1)x0+ ®(t.t0)W(t0.t) X • X W'ttQ.t^etto.t^x,.

N2(t)=-a>(t.t0)w(t0,t)w-1(t0,t1)®(t0,t1), t

где

C(t) - B'dXD'tto.tJtT^to.t,) а = ( Фlt0.t,)xr xQ); В 5 2.1 исходная экстремальная задача (31) - (33) сво -дится к задаче со свободным правым концом.

Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда, подставляя значения функций x(t),u(t), t€CtQ,t1], из соотношений (9), (10) приходим к следующей оптимизационной задаче:

Л

J(v) = PoCnttJ.TKt^.zttJ.zit^.vitJ.Ddt — > Inf (34)

. i при условиях

Т) = Q(Ti(t).T}(t1).a(t).z(t1),v(t).t).ri(t0) = 0. (35)

z = A(t)z + b(t)v, z(tQ) = 0, vttja^ttQ.t,] ' (36)

где F0 = i0(z(t) + \z(t) + 9(t)T}(t) + S2(t)rj(t) + N2(t)z(t,)), •ö(t) + S^tJiKt,) + ^(t) + N1(t)z(t1 ),t). В общем случае оптимизационные задачи (31)-(33) и (34)-(3б) не являются равносильными.

. В 5 2.2 рассматривается решение задачи со свободным

1

правым концом. Предполагается, что для системы (32), (33) решена задача управляемости, т. е. найдена пара (b*,v (t))€Y. следовательно, t](t1 ;b*,vt) = Ъ*. Вычислим градиент функционала

(34) при (35),(36) в точке

Теорема 6. Пусть. выполнены все условия, теоремы 5 и пусть, кроме того, функция Р0 непрерывна по совокупности своих аргументов (т), т), г, г, V, г)€Е° хЕпх^1*ЁпхВГх [1;0. 1;,] Еместе • со сцрими частными производными по переменным (т), т),г,2,у) и функции д?0/вг, д?0/вг, д?0/&т\, вР0/ат}, 0?о/др удовлетворяют условиям Липшица та переменным ( т), ту, г, г,г>). Тогда функционал (34) при условиях (35),, (36) непрерывен и дифференцируем по (Ь, и причем его градиент в точке (Ь*,;» )сУ равен

j'(b\ v) =

г 1f ««•>■,•" • -] (—ЭБ-) V**"

УГ-S- -B*(t)<i.2(t) - [—^-fy^J

(37)

где (.) = (T)(t; b*,vt), b*, z(t, vj, zit^v^.t); (••) = (T)(t; b*, vj.'iiit^b'.vj, z(t, vj, zit,^). v^.t)*; 'функции ф, (t)^2(t), t ettg.t, ] - решения следувдей сопряженной системы

flPQ(..) ,д<2(ш) *

*1<*>--ТЩ— ~ Ыг )*,<*>' V

г \ ар (..к» «MV--J Ыщт)йХ-

(38)

, raFn(.ik* г аа(»)

^(t) = - A*(t)<l)2(t) + (-g§— ) - [—gg— )

t.

t.

> = - J (-дату ] « + J (wtt] %(t)dt-

(39)

Вводятся обозначения:

Д аа(.) .. . в*0(.о . , «но.,

Тогда градиент функционала «ГСЬ*. у^) = (.Т'Ш, Определял пару (Ь<1vе15 )€¥ по формуле

ь(1) = ъ* - v(1)(t) = - в0^(г> (40) где А0 = ИавСа«1'.....а<я))>0. В0 = '.....р£г)>0.

Вводя диагональные матрицы И0= й1ав(«Г*(1', ... . ,7*(п)),

М0(г) = ¿ИаеМ^'ш.....) п векторы а0= (а£п, ... ,

а£п'), ро= (Рд1'.....1), соотношения (40) заплясав виде

ьт= ь* - и0а0, = у^х) - ы0Шр0. ге^о,^]. (,41)

Коэффициенты а0, ро находятся из решения следующей оптимз -зационной задачи: минимизировать функционал

«Уао' Р0) = |АтКг,) + Я0а0| -> 1Щ (42)

при условиях

д-п(г) = а^Аткг), с^, дг(г), дг(г1), р0,г). А-п<г0> = о, (43) ¿¿(г) = - В(г)ы0(г)р0, Дг(г0) = о, ге[г0. г,], (44)

в $ а*1*« I-1- е, е « р^Ч 1~1- е, 1 = Т7"п, 3 = "ПГг, (45) где е > 0 - сколь угодно малое число, функция а1 = асп(г,ь*^) + д^ш. ь*- н0а0,й(г, vJ + дай), з<г1+ + Д2(г1), - М0(г)р0,г) - СЦО- Задача (42) - (45)

может Сыть решена методом проекции градиента.

Пусть пара (а*, р*)еЕ"х Ег - решение оптимизационной задачи (42) - (45), причем ^(а^, рд) = 0. Тогда ксксчзя пара (Ь<1\ согласно соотношении (41) определяется

- la

формулами

b<1)= Ъ* - н0с£. v<1}<t) = v„(t) - M0(t)ß*. t€tt0. t,J.

Управление

u'n(t) = v<1,(t) + ^(t) + N1(t)z(t1,v^1)) + S,(t)bll\ t€tt0, t,l.

Аналогичным путем строятся и другие элементы последовательности { (t) } для задачи (31) - (33). Закатим, что управлениэ uj;1' (t)eL2[t0, t11 переводит траекторию системы (2.2) изначального состояния xQ€Er* в состояние х^Е13,причем J(uj;1).) < <J(U>

В третьей главе рассматриваются задачи управления движением конкретных маятниковых систем. В 5 3.1 и § 3.2 рассматривается задача управления движением маятника Фроуда - Жуковского

= Х2 (45)

х£ = - ß Xg-S 1 n Х^ U(t), 0 < t < t r

Задача. Пусть заданы начальное и конечное состояния система ( 46), т.е. х,(0) = х10 , х2(0) = *20, xt(tt) = 2ick, Xgd^ = О, где к - фиксированное целое число. Найти управление u(t) <• C[Q,t1], которое переводит траекторию системы (48) из любого начального состояния (х10 ,х20 ) в любое желаемое коночное состояние (t1) = 2iüt, Xg<tt > = 0 за заданное время t1. Для данной системы построены интегральные уравнения ir приведены метода их решения. Построены графики переходных процессов.

В § 3.3 рассматривается задача управляемости для грузо -подъемного механизма, описываемого дифференциальными уравнениями вида

X1 - Хг,

x. = - ßx_ - alnx^t) + u(t),

.2 _ 2 1 (47)

хз = Xi' = u.

Для датой системы ставится задача выбора управления u(t), обеспечивающего перевод системы (47) из заданного начального состояния х( (О) = хг(0) = х3(0) = хд(0) = О в конечное. состояние x^t,) = а, x2(t1) =x3(t1) = xA(t.,) = 0 (т.е. требуется переместить груз на расстояние а при условии, что в начале и в конце движения груз долган находиться в состоянии покоя).

Для данной системы построено множество управлений, которые решают поставленную задачу. Построены графики переходных процессов.

Основные результаты диссертации выносимые на защиту:

1. Предложены методы построения множества управлений в пространстве L^Et^t^] для линеаризованной модели системы с цилиндрическим фазовым пространством.

2. Показано, что задача управляемости для нелинейной модели систем с цилиндрическим фазовым пространством может быть сгедена к решению интегральных уравнений. Предложены методы построения множества управлений для систем с цилиндрическим фазовым пространством на основе принципа сжимающих отображений, путем сведения интегральных уравнений к дифференциальным уравнениям специального вида.

3. Предложен и математически обоснован метод решения задачи оптимального управления для систем с закрепленными концам! траекторий.

4. Полученные результаты применены для ревенил задачи

стабилизации движения маятника <£роуда - Жуковского и задачи управляемости грузоподъемных механизмов.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО THE ДИССЕРТАЦИИ

1. Айсагалидв С.А..Айпанов Ш.А., Калдаров Т.П. Управление дви-

жением математического маятника. - Каз.ун.-т.- Алма-Ата, 1987. - 22 с. - Деп.в КазНИИНТЙ. 25.06.87, J6 1704 - Ка87.

2. Айпанов Ш.А.,Калдаров Т.П. Об одном методе решения задачи

управляемости для линейных стационарных систем // Управляемость и стабилизация данамичесхих систем. ~ Алма-Ата: КазГУ, 19Э0. - с. 21 - 27.3. Калдаров Т.П. Об управляе?дости динамической системы второго порядка // Стабилизация и оттаальное управление динамических систем. - Алма-Ата: КазГУ, 1938. - с. 41 - 47.

4. Айпанов Ш.А., Калдаров Т.П. Численные решения задачи

управляемости для грузоподъемных механизмов // Математика■ и механика: Тезисы докладов IX Республиканской межвузовской научной конференции по математике и механике. - ч.И.Вычис-лительная математика,информатика. - Алма-Ата: КазГУ, - 1939. - с. 104.

5. Калдаров Т.П. Управляемость нелинейной системы второго по-

рядка // Тезисы конференции молодых учеши и специалистов^ КазГУ. - Алма-Ата: КазГУ, - 1988. - с. 260.

6. Айсагалиев С.А.,Айпанов Ш.А., Калдаров Т.П. Управляемость

фазовых систем // "Деп.научн.работы",М., 1990, J6 7(225), с. 122.