Управляемость многомерных систем, описываемых уравнениями в частных производных гиперболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Государственный комитет РС1СР ио делам науки и высшей школ и Уральский ордена Трудового Красного знамени го су даре таен ни и университет им. А.МЛЬрысого

¡1а нравах рукописи

Чудинов Ьалерии Валентинович

УДК 517.94

Управляемость многомерных систем, описнваемнх уравнениями в частных производных гипзрАолического типа

01.01.02 - дифференциальные уравнения

А в т о р е ф а р т диссертации на соискание ученей степени кандидата физико-математически* наук

Екатеринбург 1991

Работа выполнена на кафедре математического анализа Ленинградского ордена Трудового Квасного Знамени государстве ного педагогического института им. А.И.Герцена

Научные руководители: доктор физико-математических неук, профессор Н.М.Матвеев

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник С.А.Авдониы

Официальные оппоненты: доктор физико-математических .

наук, ведущий научный сотрудник С.Н.Саыборскай

кандидат физико-математических наук, доцент Ю.ф. Долгий

Ведуыая организация - Киевский государственный университет

г

Защита состоится " М¿Агу&А 1991г. в часов на заседании специализированного совета К 063.78.СЫ да присуждение ученой степени кандидата физико-математических наук в Уральском ордена Трудового Красного внамени государственном университете имени А.М.Горького (&ЮШЗ, г.£катирин<3ург, К-63, Ленина,51, комната'248) ...

С диссертацией молю ознакомиться в научной бийииотеке уральского университета им. А.М.Горького.

Автореферат разослан " " < Т991г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-ыатемамческих наук

В Л'.Пименов

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. ¡математическая теория управления в последнее десятилетия разгивается оч.,-нь интенсивно. Некоторые ё'е р'бЗцалы, например, теория управления динамическими системами, описываемыми о^икногонним дифференциальными уравнениями, включая системы с запаздыванием, представляют собой достаточно полно развитую область исследования. Вопроси управляемости здесь занимают видное иесго.

Вопросы, связанные с упраьляемостьп систем с распределенными параметрами, находятся в стадии разработки. Уравнениями в частных производных гиперболического типа описываются управляете процессы в механике, технике, физике, химико-технологические процессы. Поэтому исследование управляемости для подобных систем является весьма актуальной и важной для практики задачей. С другой стороны, она достаточно трудна и представляет несомненный интерес с математической точки зрения. Изучаемая задача связана с такими областями математики, как теория краевых задач, теория функций, спектральная теория дифференциальных операторов,и ставит в них рад новых проблем. В работе, в основном, рассматривается случай граничного управления, занимающий видное место в теории управления системами с распределенными параметрам!!, поскольку во шогих случаях влиять на течение процесса возможно лишь с границы области.

Вопросы управляемости систем, огисываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, широко обсуждеютгя на страницех советских и зарубежных журналов, на конференциях по теории управления.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ - исследование управляемости систем, списываемых уравнениями гиперболического типа с переменными коэффициентами б многомерных пространственных областях, включая системы с запаздыванием и построение упраачениЯ в виде линейной обратно? связи.

МЕТОДЫ ПСЭД^ОЕАШЯ. Задачи управляемости, рассматриваемые в работе, изучаются методом, основанным на свойстве двой-

с таенное ти между управляемостью и на Оладаемос т ш и шлучении априорных оценок для двойственной начально-краевой задачи. И случав системы с запаздыванием в исследование привлекается метод моментов. Используется также теории дифференциальных уравнений с запаздыванием, теория краевых задач математической физики, методы (функционального анализа и теории функций.

НАУЧНАЯ НОН Из НА. Для систем, описываемых многомерными уравнениями гиперболического типа с переменными коэффициентами, в случае смешанны* граничных условии впервые проведено исследование проблем управляемости. Осуществлен синтез управлениями в виде линейной обратной спнз« для задач успокоения двух гиперболических систем за наименьшее время. Для гиперболических систем о запаздыванием доказана относительная ( в случае граничного управления) и полная (в случае распределенного управления) управляемость. Как необходимый и важный этап при исследовании управляемости доказано существование, единственность и определенная гладкость решения неоднородных начально-краевых задач для систем гиперболического типа.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ДОЙНОСТЬ. Основные идеи диссертации могут. быть попользованы для исследования управляемых систем, описываемых уравнениями гиперболического типа. Результаты носят теоретический характер и могут применятся. при решении конкретных прикладных задач, например, при изучении процессов, происходящих в плазме, химическом производстве, и других волновых процессов различной природы.

АПРОЕЩИЯ РАГО1Ы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на городском семинаре по дифференциальным урав нениим и математической физике ( Ленинград, 1990 ) , на "Герцен овских чтениях" (Ленинград, 1990) , на Всесоюзной конференции по моделированию, идентификаций и синтезу систем управления (Алушта, 1у90) .

СТРУКТУРА И ОЬЪЁМ. Диссертация состоит из введения, диух глав ( нумерация параграфов сквозная') и списка литературы, вкчаточего В5 наименований. Работа из*.) же на на 86 страницах.

КРАТКОЕ СОдЬРйАНИЕ РАБОТЫ Во введении дается обзор работ по теме диссертации, ио-агается прогрекма исследования и особенности ее реализации.

Первая глсва циссертации посвящена исследования упрапля-мости систем, описиваемь-х уравнениями гиперболического типа переменными коэффициентами в многомерной пространственной бласти. Управляющее воздействие входит в смешанные гренич-ые условия: на одно? части границы поставлено условие Дирмх-е, на другой - llefli/ьна.

Решение задачи управляемости наиинаетс-я с важного avaria ■ проверки ее корректности, которая заключается в доказательнее теорем существования и единственности решения соответст-|увдей начально-краевой задачи в определенном функциональном [рос.транстве. Полуенние при этом результаты регулярности 1влях>тся точными, т. е. нзулучшаемыми в данном классе |рострэнств.

В § I приводится постановка задачи управления и изучается вопрос о существовании и единственности решения неоцнород-юй начально-краРЕОЙ задачи.

Рассматривается системп, описываемая линейннм гиперболи-гескин уравнением

P(*)LJil (*• *) + fyf* é) = ° (I)

в области Q. =-f2*(О\ Т) , 0<Т<, где - огра-мченная область в с достаточно гладкой границей Г~

/п j

JJy = ^ ^ ^¿ыЦ) * ■

Коэффициенты Cljj,принадлежат пространству £ и удов-

летворяют условию симметричности Qij ~ и эллиптичности:

• т.

¿/¿/^-^^•J^Jf'f; , д,я всех , и

некоторого положительного числа . Функция плотности

такая, что ^-соп*

Начальные условия для (I) заданы следующим образом

у(х, '(у), О)--у '{л) в Л (2)

где

а ((&У) - двойственное к нему пространство относителы

1У-Л) .

Граничные условия имеют вкд ( V = на 2.:=Г.«(о,Т),

(4)

Здесь а , - ед!

• './-4 "V

ничньй вектор внешней нормали к Г .

Функции ^ и м- - управляющие воздействия, причем

Же/Л^о), ие и'-, где (б)

Сначела исследуется возрос о существовании и единственности решения вспомогательного дифференциального уравнения < однородными граш'-щым^ условиями:

( /п/Ь ' Л?" Р в <3 ,

) о)~ у ^ (ас,о) = у*(х) В _/2,

I

Здесь

Получены следушие результаты.

ТЕОРЕМА I. Если выполнены условия (7), то нвчально-кра-вая задача (6) имеет единственное решение, удовлетворяющее ело виям

С ({С, т] ; /фг)) , у, е С ([О, Г]; I. г(л)).

ТЕОРЕМА 2.1 о следах). Пусть хр - решение задачи (б),

де .функция Р , « удовлетворяют условиям (7).Тогда праведливы включения

Г*) , ^ * и4°. Г; г уг,)).

Наряду с уравнением (I) рассматривается уравнение с ке«-|днородной правой частью

'Де

(8)

1<{О.Г; ¿'{Л)). (9)

ТЕОРЕМА 3. Пусть данные задачи (8), (2), (4) удовлетворяют гсловияы (3),(5),(9). Тогда существует единственное решение »той начально-краевой задачи - функция у такая, что

уе С([О.Т]; ¿*{Л)) , ^ € С (Гол]; (Н*п №)').

Доказательство теоремы I основывается на результатах донографии Я.-Л.Лнонса и Э, Мадяенеса. Заключение теоремы 2 :ледует из полученное в доказательстве оценки

где у - решение системы (6), С. - положительное число. Бмвод теоремы 3 получен из теорем I и 2 с использованием метода транспозиции.

5 2 посвяшен исследован;ш управляемости системы (1)-(5) Получены условия наблюдаемости системы (6). Введем обозначения:

ТЕОРЕМА 4 ( наблюдаемость). Пусть у - решение систем!

(6) при а,- О И О , начальные данные удовлетворяют

включениям (7). Если = -^¡¡^ ~ ^^ • т0 справедливо неравенство

¡(^ с (т-т.уш,

г, 2:

где • 2К

(Т-Т,)+^таз;}0,(Т-То)}, Тс = , с - положительное

число.

• ОПРЕДЕШШ I. Система называется Е-управляемой < точнс управляемой) относительно пространства V/ за время Т , если множество достижимости И (Т) содержит \\Г .

ТЕОРЕМА 5 ( Точная управляемость). Пусть у - решение системы (1),(2),(4) и выполнены условия теоремы 4 и 7*.

Тогда для любых пар функций /. !и3 пространства /. %&)существуют управления ¿У^-». и и е I/' такие, что решение системы (1),(2),(4) удовлет-

- 8 -

воряет условию ,Т)~, (•, Т) = у*, , т. е. система точно упрагаяема относительно пространства

№-)<«(И{г/.а))' .

ОПРЗДЕШМЕ 2. Система называется В-упраЕЛяемой относительно пространства за время Т , если множество достижимости %(Т) совпадает с .

ТЕОРЕМА б ( В-упрявляемосгь). Если выполнены условия теоремы 5, то система (1),(2),(4) В-управляема относительно

пространства /.© (Н^ /Л))' за время Т .

5 3 посвящен построения управления в виде линейной обратной связи. Рассматриваются две управляемые гиперболические системы.

Первая описывается уравнением

(10)

с граничными условиями

Начальные условия имеют вид (2), причем

£ ¿ ¿) и у*м е И- ~7о,

Основным используемым методом является метод характеристик. Показывается, что искомое представление управления име-

Здесь числа ¿¡у и функции зависят от параметров />

и £■ системы (1С) и вычисляются с помощью функции г~у * Эта функция есть решение сопряженной задачи, а именно, она удовлетворяет уравнению (10) я граничным условием»'заданным специальным образом.

Рассмотрена также гиперболическая система, описыв&емал уравнением первого порядка.

в области 0< ¿< 7/ с условиями на

границе

, тг(г^) -¡Л).

Начальные данные имеют вид

где ил, 1Г4 е/ г'(о,1).

'Аналогично предыдущей задаче построено явное ьыраяение

*

для управлений и :

(Ш\ Л о\!и(о,щ (/^(р ирУШ)\

\т/ 1о -Ли/ау^Льф

где функции /|) определяются через решение сопряженной задачи.

Вторая глава посвяшеиа исследовании управляемости систе« описываемых уравнениями гиперболического типа с запаздывание1 в многомерных пространственных областях,

Рассматривается система, описываемая уравнением

(И)

+ Т).

Здесь функция и дифференциальное выражение

Л такие же* -как в главе I, , Т>0 - запаздывание.

-10 -

Граничьые уелобия имеют вцц

( у- V на 2.', -=/; *{о,Т), (12)

где функция V - управляющее, воздействие из пространства

Ь У2<) . Отметим, что в 5-6 изучается случай управления типа Дирихле с части границы . Причем /у ={ Г/

(з?-яи) УъО} ( Гдй ¿г» _ произвольная точка в Д*"1 Начальные условия задвются следующий образом

у, о) -ув л

1.13)

/у»о для хел, о^'т, где

0*)е1г(л),у4(х)еЯ~Т-*)г ¿г(л*(~т,д))ч (и)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Начально-краевая задача (ИМ13) имеет единственное решение та?юе, что

у* С([0,Т1; 1*(Л)), ^ б'С ([О, Г]; Я*(Л)).

Доказательство предложения проводится методом шагов с использованием результатов о гладкости решения, полученньрс в первой главе диссертации.

В пятом параграфе изучается управляемость-гиперболической системы, описываемой неоднородной задачей Дирихле.

о+ 0=О в л.*(о,т).

ф, о)=& (я. о)-. в л,

у = о на ^- о,

У

= V лаг;

ТЕОРЕМА 7 ( наблюдаемость). Пусть функция ^ - решение

системы (6) при Р-О % <2.» О § , Если коаффици-

енты системы таковы, то / - _ .ёЛ. , то спра-

го ^ л

ведяиво неравенство

Л» //'УМ*-,,, -г.гк

(Т-ФР)'<к>

ТЕОРЕМА 8 ( »очная управляемость). Если Т>Т0 , то .для любых пар и из пространства

существует управление ^€ такое,

что решение системы удовлетворяет условиям Т) = ,

Т) - ^' . Иными словами, система точно управляема

относительно пространства Н /-&) за время Т

Доказательство теорем 7, 8 проводится теми же методами, ото и доказательство теорем 4 и 5 главы I. В теореме 8 дается алгоритм вычисления управления У .

ТЕОРЕМА 9. Если выполнены условия теоремы 8, то система

(15) В-управдяема относительно пространства ^ У-^) ф Н-за время Т ..

Теоремы 7-9 справедливы для времен, больших То . Причем время Тв - является "минимальным". Так для случая

р(сс.)~ { к Д- -Л мы получаем минимальное время управляв мост и ( наблюдаемости) системы: Т0= 2Я . Если область

Л является шаром радиуса &. , то Та есть удвоенное время заполнения области волнами, распространяющимися с границы и не может быть уменьшено.

В § 6 доказывается относительная управляемость системы с запаздыванием. Здесь мы используем метод моментов.

Сначала система (Н)-(13) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обозначим через Л*, и ^ч(л) , л с // , соответственно

собственные гначенда и собственные функции краевой задачи. Яф)- Ap(:r)vf{r) , <Г/г - О .

Пусть Сп ,. Г\ и (О - коэффициенты -Ьурье в

разложении функций у/*, 'I) , ¡f* и rj/\ соответственно, по системе / , п ( А/ . Из систьмы fII)-(I3) путем несложна преобразований получаем систему обыкновенных дифференциальных уряпнрниИ нейтрального типа.

а(о)=с:, с„ (с) = с/ , (Г7)

где

Г,

Ш

- функция Хевисайда. Далее, наряду с этой системой рассматривается соответствующая система без запаздывания

(16)

¿jo)-с:,

где

Полнены формулы для определения коэффициентов С. (4) и C-Jt) . Используя эти формулы, стандартным обр&зом получаем соответствующие проблемы моментов.

Для системы без запаздывания имеем

¿-{гМ.Ч^е.юЬъ, . «

где & выра*еется через начальные денные задачи, функци -управление, (1)= СХ.р (IМГК {) > игк ■=

л. _

Введем семейство функций ^ ~ / 9^ <-*(*/[.

Разрешимость проблемы моментов (19) эквивалентна управ ляемости системы без запаздывания (1В) и, следовательно, с» темы (15). В пятом параграфе показано, что система (15) В-у1 равляема за время Т> 71 ( тзорема 9). Используя атот факт и результаты работ С.А.Авдонина и С.А.Иванова, зккдячас что проблема моментов (19) разрешима и семейство функций & образует базис Рисса в замыкании своей линейной оболочки в пространстве ¿ г(21) . ,

Для системы с запаздыванием получаем следующую проблему моментов

, (20)

где выражается через начальные данные, ~ ^ ,

ы»= ¿'^¿(-ф-^&агг) при ^^ .

а уР-о

¡м (О =

Введем семейство функций - /—^^•

10Л1А. Семейство функций //*/ изоморфно семейству ¡£к] в пространстве 1*г(0,Т) И| следовательно, семейство 22, изоморфно семейству & в пространстве с.

- 14 -

Эта лемма позволяет исследовать разрешимость проблемы оментоп (10) и, следовательно, ответить на вопрос об управ-яемости системы (П)-(13).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Система СII)—(13) называется относительно правляедай за время Т , если для любых начальных данных

13) начнется такое управление V , что , 'Т")~ ^■

ТЕОРЕЛА 10. Если выполнены условия теоремы 8, то система II)—(13) относительно управляема за время Т> Та , где К предел ено в (16).

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Из теоремы 9 следует, что система из счет-ого числа обыкновенных дифференциальных уравнений (18) В-уп-авляема за время Т? Та . Из теоремы 10 следует, что счет-ая систем. (17) обыкновенных дифференциальных уравнений ней-рального типа относительно управляема за время Т*> Та .

В седьмом параграфе доказывается полная управляемость истеми гиперболического типа с запаздыванием под воэдейст-ием распределенного управления. Рассматривается уравнение 'с еоднородной правой частью

0,(21)

условием на границе

= О . (22)

Л2Г

ачальные условия инеют вид (13) и удовлетворяют включениям

Функция ¿ЧО,Т; ЬЧл)) - управляющее воз-

.ействие.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Система (21),(13),(22) называется вполне ■правляемой, если для любых начальных данных , ,^ [айдутся Т?0 и управление ^е / 2(0, Т+Т; I такое,

- 15 -

что y(-.i)~!ft(-A)zO При ¿e[T,T+r] . йсли число можно выбрать независимо от начальных данных задачи, то система называется вполне управляемой за время .

Доказана TEOräMA II. Система (21) ,(13) .('¿¿) втлне управляема за любое время / > 7Г .

В заключении диссертации сформулированы основные результаты: Т) для многомерных гиперболических систем со смешанными граничными условиями доказаны теоремы о существовании и единственности решения, теорема о следах, сформулированы уело вия наблюдаемости, точной и В-уцравляемости многомерных г и дар болических систем с переменными коэффициентами за минимальное промя; 2) для многомерных ги дер болических систем с запаздывая ем сформулированы условия относительной управляемоста, докаг-зана полная управляемость гиперболической системы нейтрально? типа под воздействием распределенного управления;^) для зада полного успокоения, для двух гиперболических систем, получено конструктивное представление граничного уцравления в виде линейной обратной связи.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ЛИССЕКГАДИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СВДШИХ РАБОТАХ.

1. Авдонин С.А., Нуди нов В.В. Наблюдаемость и точная управляемость для волнового уравнения с управлением в граничном условия типа Неймана / Ленингр. гос.шд.ин-т. Л., 1%&. 9с. Деп. в ВИНИМ 06.ÜI.90, * 125.

2. Авдонин С.А., Чуди нов В.В. Синтез управлениями системой гиперболического типа // Дифференциальные уравнении с частными производными. А., 19Ь9. С. 115—Iül.

3. Авдонин С.А., Чудинов В.В. Синтез управления колебаниями неоднородной■струны // дифференциальные уравнения с частными производными. Л., 1990. С. 17-22.

Подписано в печать ю 1991г Формат 60 64 1/16. Бумага для множительных егшаратэп. Печать офсетная. Объем 0,94 уч.-изд. л. Тираж 100 акз, 1,'аказ 53 0 Бесплатно Урал. ун-т. 620083, г. Екатеринбург, К-03, пр. Леллна, ;я.