Упругопластические характеристики состояния материалов для плоских несимметрических задач механики трещин при двухосном нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

ЛКЛДШИЯ НАУК СССР ИНСТИТУТ ЛШШ! ПОСТРОЕНИЯ НУ. Л. Д. Ш1ЛГОПРЛВОВЛ

Па правах рукописи

ДОЛ ГО Р У КО в В адим А^скса ид рович

У Ш' У ГО П,! г л С1 'IV! ЕС К И Е X Л РЛ К Т Е Р И С1' И К И СОСТОЯНИЯ МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ ПЛОСКИХ

И Е С И П А ШТРИ'Ш У X 3 Л Д А • > М Е X АНИК! 1 ТРЕПЛИ И ПРИ ДВУХОСНОМ И Л ГРУ Ж Е !!Н И

Специальнойь OI.U2.Ofi — Дштмниа, прочность мшшш, прибором а «чниарагуры

Л В Т О Р Е Ф Е I» Л Т

диссертации на соискание учезюм степени кандидата технических наук

Москва 1992

• Работа ш'лолнсч'ш и- '-Казанском физико-техническом и питухе п л. Е. К. Заьойского КИЦ ЛИ СССР.

Научны il ру ко водг. гел ь — член-корреспондент АН ССС

Махугоз Н. А.

О J. ; i ц : : а л ы г [е оппоненты — д. т. и., проф. Морозов Е. М.;

к, т. п., доц. J'iïïcmi А. П.

Ведущее предприятие ;— Центральны!"! дзрогндроднн г"!; - Д ' ' ■ '' - ■" ' мичееклп ш;с_ш гут.

Дащпта диссертации состоится « и. » февраля 1992 п ... часов иа заседании специализированного Сове

0u3.o3.02 ¿Московского ашк:цпои«ого технологического и ституц цп. 1\. 3.. Цколкокскош, (!.ЭС:707,. Москга,-- К:31, Пс ровна; 27),.. //. Л ; дуд'' д '•■..,'.;■• :

С дне-:гvrduf¡ей- мояшо ознакомиться'с' библиотеке iniei ■rvra. м '-л "м- ■'"•'■ '

Отз1д: на акюреферат в двух экземпляра;:, заверенш гербовой исчатмо учреждения, прост: направлять с адрес п статута.

Автореферат разослан го. » января 1992 г.

Учены.».¡секретарь .

спец«ял1П!ф02Пш«ого '.совета'

С. А. Солдат

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В несущих элементах изделей новой гики крайне редко реализуется линейное одноосное напряжен-состояние. Характерной для них является эксплуатация в ус-!ях сложного напряженного состояния при наличии различны*! 13ом ориентированных дефектов. Опыт предыдущих исследова-

относящихся к сложному напряженному состоянии, свидетель-гет, что влияние многочисленных факторов, связанных как со ¡стваыи материалов, так и с условиями и характером нагруже-

реализуется в основном через зону пластических деформа-в вершине тревдны, а значит посредством локальны? характе-т!к напряженно-деформированного состояния С НДС). Следовало, наиболее перспективным подходом к решении задач несу-способности материалов и элементов конструкции, содержащих .ентраторы напряжений типа трещин, является анализ локаль-| НДС в физически нелинейной постановке.

Цель работы заключается в разработке метода количествен-оценки локального НДС вблизи вершины трещины с учетом вли-нокинальных напряжений произвольного направления и ств материалов, а также в применении параметрической модерн исследовании статической трещиностойкости сплава Д16АТ смешанных модах нагружения.

Научная новизна. На основе новых модельных представлений, анных с формулировкой, краевыми условиями задачи, гради-ыми характеристиками физических полей разработан метод ки локального НДС в плоских задачах механики трещин с уче-нелинейности физических' свойств конструкционных материа-

Разработан и реализован алгоритм численного решения ос-ого дифференциального уравнения.

Получены количественно - качественные зависимости полей якений, деформаций, перемещений от угла ориентации тренда-соотношения двухосности, уровня приложенных напряжений.

Установлена взаимосвязь между различными классическими

решениями задачи о трещине.

Предложен новый метод интерпретации предельного со< ния материалов на примере сплава Д16АТ, позволяющий полу Солее полную картину процесса разрушения в смешанных задг механики трещин.

Практическая ценность Разработан метод адекванной от влияния двухосности' нагружения и угла ориентации трещин! локальное НДС.

Получены характеристики предельного состояния сш Д16АТ, новая интерпретация которых позволила прогнозиро] условия деформирования при которых имеет место случай н; лее опасного с точки зрения локального НДС состояния мате ла Д16АТ.

Установлена расчетно-экспериментальная зависимость тической трединостойкости имитационных элементов констру] планера ЛА от угла ориентации трещины и двухосности наг] ния в терминах локального НДС.

Автор защищает:

Метод анализа местного НДС в рамках плоских задач ме: ки трещин.

Введенную предельную характеристику материалов.

Модель краевых условий задачи при несимметричном наг;

нии.

Анализ полей напряжений, деформаций, перемещений для симметричного нагружения в условиях плоского напряженного тояния.

Расчетно-эксперименгальные зависимости влияния вида ружения и свойств на предельное состояние материала Д16. области вершины трещины.

Апробация работы

Основные результаты работы доложены на 2 Всесоюзной ференции "Численная реализация физико-механических задач ности" С 1987г. ,г. ГорькиЮ, 5 Всесоюзном симпозиуме "Малоц вая усталость - критерии разрушения и структуры матери С 1987г. г. Волгоград!), 3 Всесоюзной конференции "Совреме проблемы строительной механики и прочности летательных ап тов"С1988 г. г.Казань), 3 Всесоюзном семинаре молодых уч

«

гуалыше проблемы механики оболочек"С1Э88 г. г .'Казань'}, 7 зпейской конференции по механике разрушения С1988г. ,г. Буда-г), 3 Международной конференции по двухосной/многоосной ус-)сти С1989.г, г.Штутгарт^, 8 Европейской конференции по менее разрушения (1990г., г. Турин), 3 Всесоюзном симпозиуме гщиностойхость материалов и элементов конструкции" С1990г. , ггомирЗ, Международной конференции по смешанным модам раз-?ния и усталости (1991г.,г. Вена), итоговых конференциях какого физико-технического института за период 1988-1991г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Структура'и обьем работы. Диссертация состоит из введе-четырех глав, выводов, списка литературы, включающего наименование. Содержит 153 страницы машинописного текс-в том числе, 2 таблицы, 46 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В первой главе рассмотрены вопросы, связанные с аналитизм, численным, и экспериментальным анализом состояния ма-[ала в вершине прямолинейной наклонной трещииы. На основа-анализа отечественной и зарубежной литературы показано, в рамках упругого подхода к исследование локального НДС слоеном напряженном состоянии разработано несколько моде-Наиболее предпочтительной является модель двучленного [ста'вления сингулярных полей напряжений. Такие соотношения юляют в явном Биде учесть влияние на исследуе.чые параметры двухосности нагружения, так и угла ориентации трещины. Од-| сингулярный характер полей напряжений с одной стороны, а :е существенные пластические свойства с другой стороны, юлили установить, что наиболее адекватную оценку парамет-НДС можно получить только на основе физически нелинейных ¡ставлений механических свойств.

Из литературных данных следует, что в нелинейной механи->азрушения отсутствуют замкнутые решения задачи о наклон-трещине, более того, существующие модели решения частного гая симметричного одноосного нагружения отракапт прямопро-шоложные взгляды исследователей на характер деформирова-локальной зоны вблизи трешны.

Численные подходы к решению рассматриваемого класса за-

дач на основе метода конечных элементов и физические экспе менты с использованием различных методов, позволили иссле вать отдельные особенности процесса локального деформирован. В результате установлено, что решение Хатчинсона - Райса зенгрена СХРРЗ имеет большую обоснованность при значительк упрочнения материала.

Сингулярный характер соотношений для параметров НДС об; лавливает существование важной характеристики локального , формирования, известной как структурно-чуствительного парам> ра гс. В настоядее время существуют различные мнения отно тельно физической сущности и величины гс.

На основании анализа отечественной и зарубежной лите туры сформулированы задачи исследования.

Вторая глара посвящена разработке основных гипотез, д пудений и соотношений, позволяющих решить поставленные в р боте задачи.

Аппроксимация нелинэйного участка диаграмма деформир вакия выбрана в виде степенной функции или модели Рамберга -Осгуда. На основе эквивалентности управляющих уравнений дл линейно упругого и упрочнявшегося материалов принято, чт структура искомого решения имеет вид:

где Кг- амплитуда упругопластической сингулярности Скачеств ная сторона решения), ст^СЭ) -распределение компонент тензо .напряжений (качественная составляющая задачи), г3-вид упру пластической сингулярности. Количественно-качественное пре тавление резения и его особенности предопределили дифферен рованный выбор аппарата исследования. Для количественного. а лиза сложных механотермодинамических процессов использое подход Кейбера-Махутова. При этом для смешанных задач физич кий смысл имеет один коэффициент интенсивности напряжен

В тоже время консервативный характер принципа совместг

СКИН) Кг.

деформаций позволил применить к анализу безразмерной час-решения классические подходи, использованные в решении ХРР. :ле выбора й обоснования основных соотношения получена вза->связь взаимообусловленных при отсутствии свойства суперпо-,ии составляющих С1}.- Для решения этой задачи разработаны ;ые модельные представления о граничных условиях местного :ряженно-деформированного состояния. Эти представления осно-ы на том, что автономность качественно- количественных сопроцесса деформирования обуславливает дифференцированное елирование граничных условий. Так, при исследовании качест-ных характеристик НДС необходимо увязать их безразмерные я с параметрами, определяющими качественную сторону крае-условйй задачи, которыми по определению является .соотнсше-двухосности 7) и угол ориентации треаины а. Взаимосвязь ду функцией напряжений Эри <р, относительно которой сформу-овано определяющее дифференциальное уравнение и качествен-и характеристиками краевых условий задачи- т) и а осуществле-посредством угла в*. Таким образом, задавшись моделью распадения компонент физических параметров НДС, Еыраженных посевом функции напряжений Эри, в известном направлении в*, эрое в свою очередь обусловлено видом нагружения с характе-гиками 7) и о , имеем решение проблемы краевых условий в ее эазмерном аспекте. Далее предположено, что во фронте трети-реализуется простое нагружение. _Это позволило определить метрический- угол <?* ка основе линейно упругого решения с )льзованием сг^ -критерия. Анализ литературных данных по-1Л, что это предположение имеет под собой эксперименталь-обоснование и вполне допустимо. Отсюда следует определе-особенностей, которые _необходимо учитывать при решении ¡лемы в ее размерной части. Поскольку приближенные соотно-:я для оценки локального НДС справедливы при простом про-.иональном нагружении, принято необходимым их использовать 'чках с координатой 0*. В этом контексте модель Нейбера-Ма-ва выступает как феноменологическое решение проблемы гра-ых условий. Таким образом, упругопластическое решение зао трещине определяют К е-амплитуда сингулярности и пара-б* на основе Од,^ - модели взаимосвязи параметров НДС, ходимый для численного решения уравнения совместности де-

б

формаций. ' •

Известно, что в кинематических и классических алпрокс циях местного НДС из-за недостаточной обусловленности и) место разрывы полей перемещений и напряжений. Поэтому реш< Хатчинсона в части полей напряжений не обосновано и носит чайный, зависящий от шага численных процедур интегриров; характер. Для преодоления этого разработаны и реализованы дущие модельные представления. При рассмотрении, градие; напряжений вблизи вершины'трещины предположено, что В -г енг С Cq 2 напряжений не может быть больше г- градиента ( исходя из чего введена безразмерная градиентная характер ка материала:

1

G = --СЗЗ

Г Сп*1Эгс

где п -показатель деформационного упрочнения; гс - структ чуствительный параметр материала. Численное интегрирован!: равляюиегс уравнения совместности деформаций с учетом пар ра (33 и соответствусаих условий на берегах треоины осус лено на основе метода Рунге-Кутта.

Для иллюстрации возможностей разработанного подхода шению поставленной задачи использован наиболее исследов; случай нормального отрыва, т. е. нагружения при котором размерные поля напряжений характеризуются б*=0°. На рис.: ведены характеристики амплитуды сингулярности для этого тическк важного случая, откуда видно, что модель Нейбера тога с использованием двучленного линейно упругого разло; дает достаточно гибкую оценку влияния- двухосности нагру Из рис. 1 видно, что 7? может противоположным образом сказ ся на величину локального НДС в зависимости от механич характеристик материала и уровня приложенных напряжений, ние структурно-чуствительного параметра гс на характер интенсивности напряжений приведено на рис. 2. На рис. 3 л на кинетика формы изолиний интенсивности напряжений. ¿ направлений наибольшей величины зоны пластичности для дает следующие оценки:

-Упругая модель при т> = 0 етах=

Т)

Рис.1. Зависимость КИН от соотношения двухосности нагружения

О

Рис. 2. Распределение интенсивности напряжений для различных гс

- п = 1 \

/ - г •= 0.0001 / --г - 0.04

/ П=3

I п=оо п= 13 /

/ \ /? / \ г / 1 \ Г // \ /

х/а

Рис.3. Форма зоны пластичности в зависимости от свойств материала

-Решение ХРР 33°

-Предложенная модель втах = (33%.0°) в завк

мости от величины г_. Тем самым установлена взаимосвязь меа существующими моделями анализа состояния неупрочняющегося териала вблизи вершины трещины (модель Хатчинсона, 6К~моде;

В третьей главе приведены результаты численного анал! сингулярного НДС в вершине наклонной трещины при плоском I ряженном состоянии в терминах напряжений, деформаций, пер( щений. Значения входных параметров-проведенного исследова] выбраны исходя из необходимости более полной иллюстрации 5 можного состояния материала вблизи трещины.

Из приведенных данных, типовые примеры которых привед на рис. 4,5 следует, что с уменьшением соотношения двухос: ти от 7) =1 до -1 увеличивается абсолютное значение 0*. приводит к смене локального НДС в наибольшей степени под женного влиянию механических характеристик материала и, (нормальный отрыв, б*=0*), инвариантным относительно пи полем физических параметров (чистый сдвиг,й*=70*).

А

/ б. \ б -V г- \

^ ( У

-г*^-..,............ ■¿Г Х[ У • - п.,...........и................. ■ .Г-..........им ;.................i

-в (град)

Рис.4. Упругопластические в - распределения аЗнапряжений <53деформаций вЗперемещений; б*=15°; п=3; гс=0.04.

-6 (град)

и»

Ог - /Г

■ ■■ г. .............. .................. .....■ ■■■........1 1........1........

-но -во О 90 1В0

-в (град)

Рис.5. Упрутопластические в -.распределения а)напряж (^деформаций в)перемещений; 0*=35°; п=13; гс=

8.1

\

13 со

I I I I I I I '| I I > I I I I I I 1 I I Ы I I I I I I1) М I I I1! I I I I ) I Ч I I

20 30 40 50 СО

' ч 1 ' ' | | | |

70

-© (град)

Рис.6. Области существования полей квазиотрыва и квазисдвига

; Т \ Г

л : кг /у _________

' ' т"' 1 1 1 1 1 УА/ \ п^-----* 1 1 1 1 1 1 II 1 ' | 1 1 г^^ГЛ-ГТ-^ГГ7! 1 т ) | ) |

1.0 0.8 0 6 0.4 0 2 ^у^ОР

Рис.7. Влияние свойств и модели полей НДС на расчетные значения характеристик состояния материала

В условиях одноосного нагрухения уровень локальной наг] ценности убывает с возрастанием абсолютного значения 8* от до 70, или с изменением угла ориентации трещины а по отно! нию к наибольшей действующей нагрузке от 90* до 0°. При рас кении - сжатии наблюдается прямопротивоположная взаимосвязь существенно более высоким уровнем нагружения материала.

Поля сингулярных упругопласгачесхих параметров НДС п; смешанном нагружении по своим характерным признакам делят на два класса. Их предложено классифицировать как поля ква отрыва и квазисдвига. Область существования этих типов .пол в зависимости от свойств материала, определенная в результа исследования, приведена на рис.6. Кривые, соответствующие рицатильным значениям 1/оуСл) иллюстрируют диапазон изменен 8* при котором реализуются поля квазиотрыва. Положительн ветви кривых связаны с областью реализации квазисдвигового рактера локального НДС.

Анализ результатов показал, что улругопластическое с тояние материала вблизи трещины имеет однозначное описа! только при двухпараметрическоы Сколичество - качество) ( представлении. На рис. 7 представлены расхождения в расчет! оценках стандартных характеристик состояния при однопара] ческом подходе к анализу местного НДС. Установлено, что 1 менение неадекватной модели только в безразмерной части ан; за приводит к отклонениям "результатов при п=13 в 2.5 р Влияние градиентных свойств материала в рамках нелинейн анализа так же увеличивается с уменьшением упрочнения и п=13 достигает 305«.

В четвертой главе проведено экспериментальное исслед ние основных механических свойств- ряда алюминиевых спла Показано, что диапазон изменения показателя деформацион* упрочнения, принятый в рамках теоретического анализа вклю*-в себя значения п всех приведенных материалов. Для сш Д16АТ экспериментально получены характеристики статичес треаиносгойкости в условиях смешанного нагрухения Срис. 8). личественно-качественное моделирование сингулярных полей I метров НДС в соответствие с разработанным подходом позво; получить новую интерпретацию предельного состояния матер]

кчс

0.20 - -

к

* : А - Рс - Рч

- тггтпттт -ГГГТТХТТХ- тггггггтт- -ГТТГГГГГГ -ГТ-ГГГГГГЙ ........

О.О 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Кх/ К1с

Рис.8. Диаграмма предельного состояния сплава Д16АТ при смешанном нагруаении

1.2 ■ 0.8 ■

0.4 •

| 1 1 2' ' [ 1 : гл

р--— 1

з * - Рс

т ь ^ т-тт Т Т1 т т-т»■ "'"'Т гпт ТГТТТГТГГ [мм...... V 1 1 1 1 ] 1 > т. п. п т|м М М 1 >1 м ■ ... 1 || N .........

-6»' (град)

Рис.9.Интерпретация предельного состояния в количественно-качественных терминах НДС и критериальные модели' (.Од (.и , Ь С2)).

Срис.93. Сопоставление этой критериальной зависимости и кри вой, отражающей кинетику характера полей НДС сплава Д16АТ Сп= 8.1) рис.6, позволило установить, что наиболее опасным с точки зрения локального состояния видом нагружения материала Д16АТ является нагружение, при котором реализуется упругоплас-тическое поле переходного от квазиогрыва к квазисдвигу характера, т.е. при смене механизма разрушения.

Разработанные теоретические подходы использованы для расчета предельной несущей способности панели крыла летатель ного аппарата (ЛАЗ из сплава Д16АТ, содержащей трещину. Пос кольку в данной работе не ставилась задача разработки новой модели критериального состояния материала на основе двухкомпо нентного представления НДС, использовалась с^,.-модель, несмот ря на обнаруженные особенности ее применения к смешанным зада чам механики трещин С рис. 9).

Анализ влияния утла ориентации трещины 0°< а<90°и соотнс тения двухосностк 0<т)<1 показал, что расчет на основе привс денного нелинейного подхода дает более низкие значения разр: тающих нагрузок по сравнению с линейным решением задачи. Пр: этом установлено, что уменьшение утла ориентации трещины пр) водит к увеличению предельного номинального напряжения и 61 лее значительной разнице между решениями на основе различны модельных представлений физического состояния материала в ве шине трещины. Двухосность номинального НДС приводит к некот рому увеличению несущей способности панелей крыла, в отличи от линейного расчета, приводящего к противоположному выводу.

Полученные результаты необходимы при анализе несущей сп собности планера ЛА.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

Разработан и обоснован метод оценки параметрически и критериального состояния материала за пределом упругое: вблизи вершины наклонной прямолинейной трещины при плоек! напряженном состоянии. Для этого выполнено следующее.

1. Сформулирован метод решения несимметричных нелинейн: плоских задач для анализа НДС в области вершины трещины.

2. Обоснован выбор аппарата решения поставленной задач

3. Предложена новая механическая характеристика матер

игов - безразмерный предельный градиент напряжений, который юзволяет более обоснованно решать задачу в условиях плоского ¡апряженного состояния.

4. Получены поля напряжений, деформаций, перемещений для смешанных мод яагружения с учетом вариации входных параметров три плоском напряженном состоянии.

5. Определено влияние двухосности нагружения, угла ори-»нтации трещины, уровня приложенных напряжений, свойств мате-шалов на локальное НДС конструкционных материалов.

6. Установлено, что форма зоны пластичности может меняться от круговой до клиновидной в зависимости от длины трещи-щ и свойств материала. Тем самки получена взаимосвязь между гавестнымн классическими моделями механики трешш.

7. Показано,что упругопластическое локальное НДС не мо-гет быть представлено однопараметрически. Для адекватной оцен-:и состояния материала необходимо знание полей напряжений,де-юрмаций,перемещений.

8. Дана интерпретация влияния условий смгсанных мод нарушения и свойств материала на величину статической трешгао-тойкости сплава Д16АТ.

9. Установлена корреляция между численны!и экспери-:ентальныма результатами исследования параметрического и кри-■ериального состояния материала Д16АТ.

10. Приведены примеры использования разработанных подхо-ов к оценке предельного состояния плоских элементов конст-укции планера ЛА.

Основные результаты выполненной работы нашли отражение следующих публикациях:

1. Шлянников В.Н., Долгоруков В.А. Трещиностойкость эле-ентов обшивки планера ЛА при циклическом двухосном нагрухе-ии произвольного направления // II Всесоюзная конференция Современные проблемы строительной мехеники и прочности лета-ельных аппаратов" Тез. докл. -Куйбышев: КуАИ. -1986. -С. 116.

2. Долгоруков В. А. , Шлянников В. Н. Численное решение и ппроксимация задач механики трещин при сложном напряженном остоянии // II Всесоюзная конференция "Численная реализация

физико-механических задач прочности" Тез. докл.-Горький: НИИ ГГУ. -1987. -С. 85-87.

3. Долгоруков В. А., Шлянников В. Н. Упругопластические функции напряжений для трещин нормального отрыва и поперечнс го сдвига // Прикладные проблемы прочности и пластичности.-Ms тоды решения: Всесоюзный межвузовский сб. // Горьк. ун-т.

1988.-С. 49-55.

4. Шлянников В.Н. .Долгоруков В. А. Упругопластический ан; лиз развития наклонных трещин в алюминиевых сплавах при дву: осном нагружении произвольного напрявления // Всесоюзный сш позиум "Малоцикловая усталость -критерии разрушения и структ; ры материалов" Тез. докл. и сообщ.-Волгоград: ВПИ.-1987.-Ч. 2 С. 121-123.

5. Долгоруков В. А. Упругопластическая задача определени, сингулярного НДС в вершине наклонной трещины при плоском на ряженном состоянии // Казань.-1988.-21. с. Деп. в ВИНИТИ 01.0 88 4340-В88.

6. Shlyannikov V.N. .Dolgorukov V.A. Analysis of the era prapagation under biaxial cyclic load talcing into accoun their orientation // Failure analysis - theory and practic

Vol.11, Hungary, EMAS.- 1988. P. 1095-1103.

7.- Долгоруков В. А. Упругопластические поля напряжений деформаций вблизи вершины трещины при плоском напряженном со тоянии // 3 Всесоюзный семинар молодых ученых "Актуальны проблемы механики оболочек" Тез.докл.-Казань: КИСИ. -1988. -С.

8. Shlyannikov V.N. , Dolgorukov V.A. Mixed modes of fra ture under biaxial tension: meshods and results// Proc. "Intern.Conf.Biaxial / Multiaxial Fatigue, Stuttgart, vol.с

1989. -P. 40.1-40.20.

9. Shlyannikov V.N. Dolgorukov V.A. Elastoplastic inter retation of results of the fracture mixed modes under cycli biaxial load.// Fracture behaviour and design of materia] and stractures. Vol.1, Italy, EMAS. - 1990. P.

10. Махутов H. A., Долгоруков В. A., Шлянников В. H. Hobi подходы к решению несимметричных задач нелинейной механш трещин // III Всесоюзный симпозиум по механике разрушен: "Трещиностойкость материалов и элементов конструкций" Т< докл. -Киев: ИПП. -1090. -Ч. 1. -С. 38.

11. Долгоруков В.А., Махутов H.A., Шлянников В.Н. Особен-эсти решения задач нелинейной механики трецин при двухосном 1груг.ении произвольного направления // Доклады АН СССР.-1090. Т. 315, 5.-С. 1073-1076.

iß-^