Уравнение Ляпунова для операторов с нелокальными краевыми условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГБ ОД , й *

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2 7 ФЕВ .1925-

На правах рукописи УДК 517.95

Терсенов Арис Саввич

Уравнение Ляпунова для операторов с нелокальными краевыми условиями

01.01.02. - Дифференциальные уравнения.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1995

Работа выполнена в Институте математики СО РАН, г.Новосибирск.

Научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор В.С.Белоносов.

Официальные оппоненты - д.ф.-м.н., профессор Валицкнй Ю.Н.,

- к.ф.-м.н., доцеит Хаблов В.В.

Ведущая организация — ИГиЛ СО РАН, г.Новосибирск.

Защита состоится" 7 ' " слг&упъс*-- ^дд^ года в

часов

на заседании специализированного совета К 063.98.04 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г.Новосибирск-90, ул.Пирогова 2.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке НГУ. Автореферат разослан " 'У т 1995 года.

Ученый секретарь

специализированного совета /

доктор физико-математических наук ;

В.В. Шелухин

Общая характеристика работы

Пусть А — замкнутый линейный оператор с плотной областью определения 1>(А), действующий в гильбертовом пространстве Н. Рассмотрим задачу:

¿и

— = Аи(1), I > 0; «(0) = «о- (1)

К абстрактному уравнению (1) сводятся шгагие начально-краевые задачи для эволюционных уравнений с частными производными. Пусть оператор А имеет дискретный спектр и удовлетворяет следующему условию (И), которое, в частности, гарантирует однозначную разрешимость задачи (1) (см.[1]):

Я. Для некоторых вещественных /3 и (? < 0 < тг), резольвента Д(А,Л) = (А — \1)~1 оператора А существует, а величина ||АД(Л, Л)|| равномерно ограничена в секторе |агз(А — 0)\ <9.

Нас интересует устойчивость по Ляпунову задачи (1). Она зависит от расположения спектра оператора А. Если все точки спектра лежат в левой полуплоскости, то решение устойчиво, если же часть из них попадает в правую .юлуплоскость, то решение неустойчиво. Индексом неустойчивости оператора А назовем коразмерность подпространства начальных возмущений, для которых задача (1) устойчива. Если А имеет дискретный спектр, то индекс неустойчивости равен сумме лгебраических кратностей собственных значений, расположенных в полуплоскости Яе(\) > 0, минус число линейно независимых собствен' '¿х векторов, отвечающих мнимым собственна-' числам.

Вопрос о подсчете индексов неустойчивости, не связанный с неэффективным вычислением точек спектра является сложной и актуальной задачей даже для несимметричных матриц. В бесконеч.^мерном случае наиболее полно этот вопрос изучен для самосопряженных дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций с одной независимой переменной. Первые результаты в этом направлении были получены Якоби. Затем М. Морс [2]-[3], и пользуя методы вариационного исчисления, сформулировал основные положения теории индексов неустойчивости. Он свел эту проблему к нахождению числа с ряженных точек некоторой краевой задачи. Близкие результаты, но из дру-

гнх соображений, были получены М.Г. Крейном [12]. Т.й. Зелеияк (5) и В.Я. Беле [6] завершили теорию индексов неустойчивости для одно-ме, пых самосопряженных операторов, рассмотрев ранее не изученные критические случаи.

Отметим здесь известный результат, связанный с дифференциальным оператором второго порядка. Пусть А — самосопряженное диффе-. ренциальное выражение типа Штурма-Лиувмлля, а порожденный им в ¿2 самосопряженный дифференциальный оператор с граничными условиями типа Дирихле имеет нулевой индекс неустойчивости, тогда индекс неустойчивости любого самосопряженного оператора, порожденного тем же дифференциальным выражением, но с другими краевыми условиями, не может быть больше двух. Т.И. Зеленяком [13] показано, что для того же дифференциального выражения с нераспадающимися граничными условиями, порождающими иесамосопряжешшй оператор, в правую полуплоскость может понэ чать сколько угодно собственных значений в зависимости от коэффициентов в граничных условиях. Этот результат явился причиной возникновения интереса к исследованию спектра несамосопряженного оператора и определил выбор темы диссертации.

Исследование спектра несамосонряженного оператора осложняется трудностями использования вариационных методов. Эти трудности можно преодолеть, заменив несамосопряженный оператор каким-нибудь самосопряженным, имеющим тот же индекс неустойчивости. Конструктивный подход к отысканию такой замены был предложен Л.М.Ляпуновым при изучении несимметричных матриц. Он заключается в построении решения уравнения Ляпунова:

А*и + ил=У, ' (2)

где А и А' — заданные операторы, V = V, V > 0, а II — искомый самосопряженный оператор. Ляпуновым показано, что в случае, когда А и А* матрицы, из устойчивости А следует устойчивость V, и наоборот. Аналогичная теория развита М.Г. Крейном ¡12] для ограш: тешгых операторов в бесконечномерных пространствах.

В [8] были получены обобщения этих результатов на случай неограниченных операторов. Если С/ является решением уравнения (2), вы-

полнело условие (К), и спектры операторов А* и (—А) не пересекаются, то индексы неустойчивости А и U совпадают. Добавляя к перечисленным условиям ограниченность оператора V, мы получим достаточные условия существования и единственности решения уравнения (2). Там же было получено явное решение уравнения (2) в случае дифференциальных операторов с распадающимися граничными условиями.

Цель диссертации заключается в решении уравнения Ляпунова в случае, когда А и А* — несамосопряженные дифференциальные операторы второго порядка с нераспадающ: цыися регулярными краевыми условиями.

В диссертации получены следующие результаты:

— доказано существование и единственность решения уравнения Ляпунова для несамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка с нераспадающимися регулярными краевыми условиями

— найден явный вид этого решения и указал конструктивный подход к его отысканию.

Результаты носят теоретический характер и могут быть использованы для исследования индекса неустойчивости несамосопряженных дифференциальных операторов.

Диссертация докладывалась на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Институте математики СО РАН под руководством профессора Т.Н. Зеленяка, в Институте гидродинамики на егминаре под руководством член-корреспондента РАН П.И. Плотникова, член-корреспондента РАН В.Н. Мочахова, профессора A.B. Ка-жихов? на семинаре лаборатории волновых процесс"* под руководством'член-корреспондента В.Г. Романова, на семинаре под руководством академика АТН РФ В.Н. Врагова, в Новосибирском госуниверситете на кафедре теории функций комплексного переменного лод руководством академика М.М. Лаврентьева, на семинаре лаборатории обратных задач математической физики под руководством профессора Ю.Е. Аниконова.

Содержание диссертации опубликовано - работах [12], [13].

Диссертация состоит из введения, четырех параграфов, двух приложений и списка литературы, включающего 30 наименований, • изложена на 78 станицах печатного текста.

Содержание работы

Во введении приведен о^юр литературы ко теме диссертации и характеристика полученных ранее результатов. В краткой форме изложено содержание работы. Первый параграф в основном посвящай постановке задачи. Вводятся несамосопряженный дифференциальный оператор А, действующий в £3, порожденный дифференциальным вы-, раженнод

/(и) = и"(г) 4- р(х)и'(х) + д(х)и(х^ и регулярными (см.[9]) краевыми условиями

а,-,«(0) + а;аи'(0) + Д,и(1) + Д-2и'(1) = 0, ¿ = 1,2,

и сопряженный к нему оператор Л*, который порождается дифференциальным выражением

т(у) = »/"(*) - р{хУ(х) + «О) - рХ*))»(х)

и регулярными кр; эвыми условиями такого же вида, но с другими коэффициентами

аа«(0) + айт/(0) + Дц»(1) + /З;3«'(1) = * » 1,2.

Оба оператора имеют дискретный спектр, их резольвенты Я(А, Л), Й(А*, А) являются интегральными операторами с непрерывными ядрами и удовлетворяют следующим оценкам

Исследуется уравнение Ляпунова А*и + иА = 1,с коэффициентами А и Л*, I — единичный оператор, а и — искомый самосопряженный. Решение этого уравнения ищется в виде

ии{х)=]и{х,у)и{у)<1у, (3)

о

где ядро определено в области О = {(ж, у) : 0 < ж < 1, 0 < у < 1} и удовлетворяет следующим условиям .

1. U{x,y) € Wftft).

2. Пусть

= еП>у<х,х-у<1-6,6< —^ <1-5},

«i = {(*, у) <= П, r < ,j, у - x < 1 - 8,6 < < 1 -

Обозначим через U+(x, у).и ГЛ. (а, у) сужение ядра U(х,у) на П+ и соответственно. Предполагается, что U± 6 Для любого S > 0.

3.Положим DgDyU — £/(*>') н пусть совпадает с соответственно в Q-t-, тогда

/(/|г,(*Л!Лг) ¿2/ + /|/|ü(M)Kyj dx < оо

для fc и / таких, что к+1 — 2. После подстановки оператора U в уравнение Ляпунова мы получаем, что U будет его решением, если выполнены следующие условия.

I. U(х, у),удовлетворяет граничным условиям

Ba(D,)U + Bi2(Dx)U = &.ч«/(0,У) + <№(0,у)-

+ßiiV(l,y) + ßaU,(l,y)=0, C^{Dy)U + Cj3{Dy)U = öj\U (x, 0) + ä;2i/j,(ar, 0)

II. Функции U+(x,y) и V-(x,y) являются решениями дифференциального уравнения

öxM®, I/) + Ä^y, Dv)t/(x, y) = 0

j

в областях П+ и Q_ соответственно.

III. Для скачка первой производной функции U(x,y) на диагонали 7 = {(г, у): х = у} выполняется равенство

аи.(*, У) 9U+(x,y) = s/2 дп дп 2 '

где n — вектор нормали к линии 7, направленный внутрь области П® . Таким образом, мы получаем краевую задачу эллиптического типа относительно ядра С/(г, у).

Дальнейшее изложение, кроме четвертого параграфа, посвящено модификации задачи I-III. Мы хотим свести ее к однородной краевой задаче, освободившись от нестандартного условия III. В конце первого параграфа формулируется лемма о продолжении функции с границы области П = {(г, у) : х > 0,у > 0}внутрь, которая доказывается в случае гельдеровских классов в приложении 1, а в случае пространств Соболева в приложении 2. С помощью этой леммы осуществляется построение функции W(x,y), которая принадлежит С2+,(^±) П C'(Q) и удовлетворяет условию III. Тогда для разности Н{х,у) — U(x,y) — И^х.у) выполняются условия 1.-3., она принадлежит пространству в области = {(ж, у) 6 Ü : - ¡/| < 1 — 6, 6 < ^ < 1 — <5, ¿> > 0} и является решением краевой задачи

+ = (х,у)€П, (4)

Bn(D,)ff+Ba(D,)e = <P((V), г = 1,2, (5).

Cß(D„)H + Cj2(Dy)H = j = 1,2. (б)

Функции F{х,у), <fti{y), Ф)(х) очевидным образом определяются через W{x, у) и коэффициенты оператора А.

Заметим, что особенность в задаче I-III, которая содержалась в условии III, перешла в правые части граничных условий задачи (4)~(6), так как они являются линейными комбинациями следов V/(x,y) и ее производных. Для того чтобы решить задачу (4)~(б), построим функцию V(x,y), которая удовлетворяет краевым условиям (5)-(6). Тогда для разности Н(х,у) - V(x,y) получим однородную краевую задачу.

Предположим, что V(x,y) принадлежит одному из классов С(Г2), С'(£1) или C'2(ii), тогда в силу перестановочности дифференциальных операторов получим, что для функций tpi и rpj выполняются равенства:

(B;i( А) + Ва{0,Щг) = \C}l{Dt) + Cj^D^iy), i,j - 1,2. (7)

Причем, если V(x, у) e С(Я), то выполняются только те равенства, в которых суммарный порядок граничных условий в левой и правой

частях (7) равен нулю; если У(х,у) 6 С1 (О.) то выполняются те равенства, в которых этот порядок не превосходит единицы; если же У(х,у) 6 С2(Г2), то должны выполняться все равенства. В дальнейшем условия (7) будем называть условиями согласования нулевого, первого или второго порядков соответственно.

Функции ф](х) являются линейными комбинациями соответствующих следов W{x, у) с коэффициентами из граничных условий (5)-(6). Так как функция \У(х, у) имеет разрывы первых производных, то рЖу) и ф]{х) удовлетворяют условиям согласования нулевого порядка, а условиям согласования первого порядка — уже нет. Поэтому модифицируем краевую задачу (4)-(6) так, чтобы <а(у) и 4>;{х) удовлетворяли по крайней мере условиям согласования первого порядка.

Преодоление трудностей, связанных с условиями согласования и построением функции, убирающей неоднородность в краевых условиях, нос в я сданы второй и третий параграфы. Во втором и первой половине третьего параграфа мы строим вспомогательную функцию, которая обеспечит нам выполнение условий (7). С этой целью решается краевая задача для системы уравнений следующего вида

^¡{х,у)-0, ж > 0, у > О,

ап1>ц,О,0) ~ Лз"ч»(а;»0) = 0и

0) + 021Щ{Х, 0) = 02хл й12«2У(«,0) - - 9з,

й21«2(х, 0) + Д0) = 94х, (8)

- А2"2г(0,у) = <гь + 021#2(О,у) = а-хУч «12«<г(0, у) - у) = оа,

где «г,-, I = 1,..., 4, произвольные.постоянные, а у) — искомые функции.

Для того чтобы решить эту задачу перейдем к полярным координатам. Несмотря на то, что нуль является точкой спектра, удается

построить решение этой задачи в виде (см.[11))

Mrt v) = r(v<>i(<p) + vu(v) la r)

для любых правых частей в граничных условиях, где t>0i, va являются бесконечно дифференцируемыми функциями. После перехода к декартовым координатам совершим следующие преобразовали»

Мх,у) = v2{x,y) - t>2(l - х,у),

Заметим, что после такого преобразования каждая из функций щ(х,у) снова будет удовлетворять уравнению Лапласа. Далее, домножнм i>i{x,y), i = 1,...,4 на срезывающие функции так, ч~обы каждая из них была отлична от нуля в соот* тгствующей е — окрестности одной из угловых точек, а именно: t^ — в е-окрестности точки (0,0), и2 —

точки (1,0), t>3 — точки (1,1), — точки (0,1). Положим

<

¡=1

Рассмотрим задачу (4)-(6) для разности Я — v.

Теорема 1 . Пусть v = £ щ(х,у). Тогда 9i и Oi в задаче (8) можно

i=s 1

подобрать так, чтобы правые части в граничных условиях задачи (4)-(6) для функции Я — v удовлетворяют условиям (7) первого порядка.

Итак, если положить К — H—v, то получим, что Н является решением краевой задачи

А'{х, Dx)H(x, у) + 7SF(tи D„)S(x, у) = F(z, у), (х, у) 6 П, (9)

Bn{Dx)K+Ba{Da)R**$fa), ¿ = 1,2, • (10)

Cjx{Dy)H + Cj2{Dy)H=h{z), j — 1,2. (И)

Система (9)—(11) отличается от системы (4)-(6) тем, что правгэ части в граничных условиях удовлетворяют условиям согласования (7). В силу специального подбора v(jc, у), в окрестности всех угловых точек

Дv{x,y) = 0, следовательно, в F(x,y) войдут лишь первые производные от v[x,у) и сама функция. Отсюда вытекает, что F(z,у) E з < 5. Также из системы {8) мы имеем, что ф,{у), tj)j(x) 6 С'(0,1].

Вторая половнпа параграфа З.посвящгиа построению функции . V{x, у) € которая удовлетворяет краевым условиям (10)-(11).

Теорема 2 . Если краевые усльвиж (10), (ll) первого порядка, то .; V(x, у) всегда существует. В п»отцаиол1 случае, дли существования функции V{x,y} необходимо н достаточно выполнение условий согласования (8).

Так как. функция V(x, у) принадлежит W22"t"'(ii), то. она, в силу теорем вложения, также принадлежат пространству Сг(П). Это приводит к тому, что в вершинах квадрата опа должна удовлетворять стандартным условиям согласования. Вместе с тем V(x,y) удовлетворяет егш п краевым условиям. В итоге мы получаем систему алгебраических уравнений относительно значений следов функции V(x, у) и ее производных в вершинах квадрата. Теорема 2, устанавливает связь между условиями согласования (7) и разрешимостью этой системы. Разрешив полученную алгебраическую систему, мы можем определить следы функции V(x, у) и ее производных на границе квадрата. Зная эти следы, с помощью леммы, упомянутой о первом параграф мы можем восстановить' V(x,y). Отсюда вытекает, что Т — Н —V удовлетворяет следующей краевой задаче.

АЧ*,0.)Г(x>y) + 7F(v,Dv)T(x,y)= F'(x,y), (х,у) 6 (П),

(12)

Вл(Ох)Т + Bi2{Dx)T = О, Cn(Dv)T + C^D^T = 0,

где F'(x,y) = F(x,y) - (A'(x,Dx)V(x,y) -f 3F(y, 2/))- ..

В четвертом параграфе изучается разрешимость задачи (12). Доказывается, что решение дается контурным интегралом (см.[10])

Т(х,у) = --L /(A4*, Ас) - urwiv» + А/)"1^А. (13)

Здесь

(А'(х, Dx) - \I)~lF'= J G(x,X)F'a, ri)dt,

о

(&{v,Dt)+ XI)-1 F*= J о

где G(x,(, A) — функция Грина оператора A*(x,Dc) — XI, a J(y,rj, X) — функция Грина оператора Dv) + А'. Контур Г — сложный контур (см.[8]), состоящий из контуров Го, Г[, Гг- Напомним его определение. В силу свойств операторов А, Л*, обеспечивающих разрешимость уравнения Ляпунова, мы можем утверждать, что спектр оператора A*(x,Dx) лежит в секторе |org(A — 7i)| < а спектр оператора i,Dv)) в секторе |агр(Л - 72)| < 9j, где 71, 73 > 0, § < 9i < яг, О < $2 < Окружим ту часть спектра оператора А*(х, Dx), которая попала в правую полуплоскость, контуром так, чтобы туда не попали точки спектра оператора (—А*(у, Dy)). Аналогично поступим с той частью спектра оператора (—А'(у, Dy)), которая попала в левую полуплоскость. L качестве Fi возьмем первый контур, в качестве Г2 —. второй. Очевидно, что такие контура построить можно, так как спектры o(A*(x,Dx)) и <т(—A*(j/,DV)) дискрета, .е и не пересекаются. В качестве Го возьмем мнимую ось в комплексной области А. Так как cr{A'(x,Dx))nff(—A'(y, Dy)) = U, то на мнимой оси отсутствуют точки спектров обоих операторов. Интеграл по Го будем понимать в смысле главного значения.

Ниже под обозначением || • || мы будем понимать норму в L3. Пусть

А*(х, Dx) — А°+ А\,

где До — главная часть, а А} — младшие члены оператора А*(х, Dx).

Теорема 3 . Пусть F\x,y) £ тогда интеграл (13) является

решением задачи (1 £).

Из того, что F'(x, у) € W^'(fi) и оценки

¡¡ft(A'(r,Dx),A)H < ||Й(А?,Л)||(1 + 0(|А|*)),

вытекающей из подчиненности оператора А[ оператору мы получаем, что

/CF(y,l>,) + XI)~lA\x,D,)( A/)"lFSA (14)

г

сходится в пространстве ij. Используя ограниченность контуров Гх н Г2, а также свойства резольвент R(A'(xy Dz), R(A?(y,Dy)) мы, опираясь на замкнутость оператора A'(x,Dx), доказываем, что

A*{x,Da) J(&(y,Ds) + Аiy^A'faD,) - XI)~lF'd\ г

= j(А*(у, Dy) + \I)~lA*(x, D,)(A*(x, D,) - XT^F'dX. г

Аналогично можно получить, что

f(F(v,D,)+ \I)-l(A'(x,Dx) - XI)~lF*dX г

= J Л7(у, D,)(F(y, D„) + \J)-l(A'(x, Dr) - XI)~lF*dX г

После этого уже непосредственно получаем, что интеграл (13) дает решение системы (12). Следовательно, если F*E W', то (13) дает решение задачи (12), причем Т(х,у) 6 Но функция fr(x, у), как известно

(см.§2.), принадлежит W2\ Таким образом, ядро U(x,y) интегрального оператора U прецставимо в виде суммы

U(x,y)= W(x, у) + , у) + V(x, у) + Г(®, у).

Сформулируем окончательный результат. Нами доказана следующая

Теорема 4 .-Пусть спектры операторов A'(x,Dx) u (у,Dy) не пересекаются, и резольвенты R(A*(x,Dx),X), R(A*(y,Ds),X) удовлетворяют условию (R), тогда существует решение задачи I - III и ядро U(x,y) интегрального оператора

Uu(x) = Jü(x, y)u(y)dy (15)

о

удовлетворяет условиям 1.—3.

Таким образом, мы получили, что (15) дает единственное решение уравнения Ляпунова

A*U+VA = I

в классе интегральных операторов, где А и А* — несамосопряженные дифференциальные операторы второго порядка с нераспадающимися краевыми условиями, удовлетворяющие указанным выше ограничениям, а I — единичный оператор.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору B.C. Белоносову за постоянное внимание и гёэддержку в работе.

Список литературы

|1) Крейм С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.-М.-:Наука,1969.

[2] Morse М. A generalization of Sturm separation and comparison theorems i" n-space//Math. Ann.-1930.-Bd.103.-P.52 - 69.

[3] Morse M. Variational analysis: critical extremals and sturmian extensions//N.Y., London, Sydney, Toronto: John Wiley & Sons Inc,1973.

[4] Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифферен циалышх уравнений в банаховых пространствах.-М.-:Наука,1970.

[5] Белоносов B.C., Вишневский М.П., Зеленяк Т.И., Лаврентьев М.М-ма. О качественных свойствах решений параболических уравнений.-Новосибирск,1983,-с.20-(Препринт/АН СССР.Сиб. отд-ние. Bll;N466).

[б1 Белов В.Я. Об одной формуле Морса в критическом случае// Динамика сплошной среды.-Новосибирск, 1983.-Выл.60.-С 139 - 150.

{7] Зеленяк Т. И. О локализации собственных чисел одной спектральной задач..//Сиб. мат. ixypn.-1989.-T.30,N4;-C.53 - 62. ♦

[8] Белоносов B.C. Об индексах неустойчивости неограниченных операторов, 1//Тр.Ин-та математики/АН СССР.Сиб.отд-ние.-1984.-Вып.2: Некоторые приложения фу чциональнош анализа к задачам матема-тичесхой физики.-С.25 - 52.

[9] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. -М.-:Наука,1969. операторов//Мат.сб.-1986.-Т.129(171).Вып.4.-С.194 -514.

[10] Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками//Тр. Моск. мат. о-ва.-1967.-Т.16-С.209 - 292.

[11] Grisvard P. Equations différentielles abstraites//Ann. scient. Ее. Norm. Sup.-1969.T.2,-4 serie.P.311 - 395. и теоремы вложения.-М.-:11аука,1977.

[12] Терсенов A.C. Уравнение Ляпунова для операторов с нелокальными краевыми условиями.-Новосибирск, 1991гс.26-(Препринт/СО РАН. Сиб.отд-ние.Институт математики,Nol5).

[13] Терсенов A.C. Уравнение Ляпунова для операторов с нелокальными граничными условиями./-Сиб. отд. РАН.-Новоснбнрск,-62с., решением Ученого совета ИМ СО РАН от 3 ноября 1994 г. направлена на депонирование в ВИНИТИ.