Уравнения теории цилиндрических оболочек с нерегулярной геометрией срединной поверхности и методы их решения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ргб оа

1 V) САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КАРПЕНКО Алексей Валентинович

УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С НЕРЕГУЛЯРНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1996

. Работа выполнена на кафедре теории упругости матсматико-ме-ханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель —

доцент В.Я. Павилайнен

Официальные оппоненты —

доктор физико-математических наук В.А. Шамина

кандидат физико-математических наук, доцент A.B. Проскура

Ведущая организация — АООТ "Проектный институт N Г'.

Защита состоится 1996 г. в часов на засе-

дании диссертационного совета К 063.57.13 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург. Старый Петергоф, Библиотечная пл.. д.2

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Университетская наб.,д.7/9.

Автореферат разослан -^^^fr^lOOG г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 063.57.13 кандидат физико-математических наук.

доцонт М.А.Нарбут

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Цилиндрические оболочки с нерегулярной геометрией срединной поверхности обладают рядом конструкционных преимуществ и находят широкое применение в различных областях современной техники (складчатые покрытия, некруговые цилиндрические оболочки с разрывами кривизны и угловыми точками контура поперечного сечения и т.д.).

Уравнения классической теории неприменимы для всей области параметризации таких оболочек, поскольку используют предположения о непрерывностп и дифференцируемостп геометрических параметров срединной поверхности оболочкп. Традиционным подходом к решению задач статического расчета является разбиение конструкции на участки с регулярной геометрией, построение решений для них и последующее построение общего решения, удовлетворяющего статическим и геометрическим условиям сопряжения. Этот метод использовался в работах В.В.Новожилова, В.З.Власова. Н.С.Соломенко, И.Е.Мплейковского и других авторов. Особенностью данного подхода является громоздкость расчетного аппарата, возрастающая при увеличении количества лпний разрыва геометрических параметров срединной поверхности, а также невозможность применения эффективных методов расчета, пригодных для всей области параметризации оболочкп.

Другой метод, представленный в основном в работах А.Г.Назарова. Д.В.Вайнберга. Я.Ф.Хлебного, Б. К. Михаилов а заключается в использовании уравнений классической теории, в которые вводятся выражения главных кривизн нерегулярной поверхности, содержащие обобщенные функции. В настоящее время этот подход не получил должного теоретического обоснования, а степень его допустимости п возможности применения для приближенного решения конкретных задач исследованы недостаточно.

При расчете ребристых оболочек как регулярной, так и с нерегулярной геометрией срединной поверхности в работах Е.С.Гребня, Е.И.Михайловского, Б.К.Михайлова и М.Ю.Чунаева используются системы уравнений, охватывающих всю область параметризации оболочкп, причем взаимодействие оболочки и подкрепляющих ребер описывается аппаратом обобщенных функции. Авторы, как правило, используют уравнения равновесия в перемещениях, имеющие высокий

порядок и содержащие производные дельта-функции, что требует построения специальных методов расчета.

Цель работы. Диссертация посвящена построению полной системы уравнений теории цилиндрических оболочек с нерегулярной геометрией срединной поверхности и ее теоретическому обоснованию. Получены также уравнения для оболочек, подкрепленных ребрами жесткости на линиях разрыва геометрических параметров. Для всех уравнений исследованы сходимость и точность приближенных решений. полученных с применением вариационных методов.

На защиту выносятся следующие результаты, представляющие научную новизну работы:

— Полные системы уравнений теории плоских криволинейных стержней и цилиндрических оболочек с нерегулярной геометрией, отличающиеся от всех известных в литературе.

— Установление статико-геометрпческой аналогии для оболочек рассматриваемого типа и построение комплексных уравнений теорип.

— Получение уравнений теорпп цилиндрических оболочек, учитывающих действие нагрузок, а также наличие подкрепляющих ребер на линиях разрыва геометрических параметров срединной поверхности.

— Решение на основе предложенных уравнений ряда конкретных расчетных задач, анализ эффективности применения вариационных методов, оценка точности и сходимости приближенных решений.

Достоверность основных результатов работы обеспечивается использованием вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно для вывода уравнений, строгостью формулировок теоретических и расчетных задач, а также сопоставлением и анализом точных и приближенных решений, полученных применением метода Бубнова-Галеркп-на.

Практическая значимость работы заключается в возможности построения эффективных инженерных методов расчета конструкций, представляющих собой цилиндрические оболочки с нерегулярной геометрией срединной поверхности.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались в СПбГУ на семинарах кафедры теорпп упругости (мат.-мех.

факультет) и кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела (факультет ПМ - ПУ); на конференции "Математические модели в механике деформируемого твердого тела" (Санкт-Петербург, 1994); на Первой международной конференции "Актуальные проблемы прочности" (Новгород, 1994).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [1 - 3].

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 78 наименований источников. Работа содержит 125 страниц основного текста и 46 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертационного исследования, освещается современное состояние проблемы, представлен обзор научной литературы, посвященной ее решению. Формулируются основные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации содержится вывод уравнений статики тонких плоских криволинейных стержней с разрывными геометрическими параметрами. Глава написана с методической целью, чтобы на примере простейших задач отработать методику вывода уравнений и исследовать возможности применения вариационных методов для построения приближенных решений.

В §1 дана постановка задачи. Рассматривается тонкий плоский криволинейный стержень длины I. В точке б0 Е (О, Г) радиус кривизны осевой лпн1Ш и вектор касательной имеют скачок. Величина угла излома равна у 6 (— тг, тг). В остальных точках стержня сохраняется непрерывность и дпфференцпруемость геометрических параметров (рис. 1). Для гладких участков стержня справедливы соотношения теории Кпрхгофа-Клебша. В точке в,, выполняются статические и геометрические условия сопряжения, представляющие собой условия

равновесия II условия сохранения формы деформированного стержня в точке а0.

В §2 на основе вариационного принципа Лагранжа проводится вывод уравнений равновесия рассматриваемого стержня. Потенциальная энергия деформации представлена суммой энергий гладких участков, для которых выполняются классические теоремы. Первая вариация функционала полной энергии стержня на геометрически-возможных перемещениях равна нулю:

би= ¿(Щ +П2 - А) =0.

Применение формулы Остроградского-Гаусса к слагаемым данного равенства и последующее объединение интегралов по всему промежутку [0./] позволяет получить вариационные уравнения для всей области параметризации стержня. Они совпадают с классическими уравнениями теорпп Кирхгофа-Клебша на гладких участках и содержат только регулярные части производных разрывных функций. Величины скачков усилий п момента в точке входящие в качестве коэффициентов при б-функции в сингулярные части производных, выражаются с помощью статических условий сопряжения. Переход к самим производным, осуществленный с использование свойств ¿-функции и правил дифференцирования в рамках теорпп обобщенных функций позволяет преобразовать полученную систему к окончательному виду:

<? + (; +2*„))* = -./„ . л/' + д = о

Особенностью данных уравнений является наличие обобщенных функций в их коэффициентах, равных ^ + 2 • ¿>(а- — *0). Коэффициенты системы (1) отличаются от формулы для кривизны осевой линии стержня = £ + -у • Ь{.ч — .50) сомножителем при /»-функции. Подстановка в классические уравнения выражения для кривизны нерегулярной осевой линии справедлива лишь для случая гладкого сопряжения участков (-;. = 0) и приближенно выполняется при малых углах излома оси (2 Ц £ к ">).

В §3 рассмотрено действие сосредоточенных нагрузок в точке а». Показано, что в правых частях системы (1) появляются дополнительные сингулярные слагаемые, равные:

X Y

S(.s - s0),--у ■ <5(s - «о), -Ми ■ 6(s - so).

COS ij cos

где X, Y — проекции сосредоточенной силы на биссектрпссы углов, образованных предельными векторами нормалей и касательных в точке s0, М0 - сосредоточенный момент.

В §4 содержится вывод соотношений связп .между перемещениями и деформациями для стержня с разрывными геометрическими параметрами. Они имеют вид:

tf = ^+(3 + 2tg|-6(s-s0))r (2)

- ^

ds

В §5 на основе полученной выше полной системы уравнений решены задачи статического расчета различных стержневых конструкции с нерегулярной геометрией оси (рис. 2-4). Для интегрирования уравнений (1-2) использовался метод Бубнова-Галеркпна. Исследовалась сходимость метода путем сравнения приближенных решений с точными, построенными методом стыковки. Для ряда задач показано, что коэффициенты разложений, определяемые методом Бубнова-Галеркпна, сходятся к значениям коэффициентов Фурье для точных решении. Показано, что использование выражения для кривизны нерегулярной оси k(s) = - +7 ■ S(s — So) в уравнениях равновесия приводит в случае больших углов излома к значительным погрешностям, в то время, как погрешность приближенных решений, полученных при интегрировании систем (1 - 2), не зависит от величины угла излома осп и объясняется эффектом Гпббса для разрывных функций. Отмечается высокая эффективность вариационного метода для решения расчетных задач.

Во второй главе содержится вывод полной системы уравнений теории цилиндрических оболочек с нерегулярной геометрией срединной поверхности. Рассмотрен вопрос о действии нагрузок, сосредоточенных на линии сопряжения гладких участков оболочки. Приведена комплексная форма полученных уравнений.

В §1 дана постановка задачи. Рассматривается цилиндрическая оболочка, линия контура поперечного сечения срединной поверхности которой имеет одну точку геометрической нерегулярности 5о (рис. 1). В ней терпит разрыв радиус кривизны п скачкообразно меняются векторы касательной ¿2 и нормали еп. Величина угла излома срединной поверхности оболочки равна 7. Наряду с классическими уравнениями теории тонких оболочек, справедливых для гладких участков поверхности, в параграфе формулируются статические и геометрические условия сопряжения на линии 2 € [0, с?], в — воВ §2 представлен вывод уравнений равновесия для всей области параметризации оболочки. Потенциальная энергия деформации рассматривается как сумма энергий регулярных участков оболочки, для которых выполняются классические теоремы. Минимизация функционала полной энергии оболочки на геометрически- возможном поле перемещений приводит к равенству:

би = <5(П, + П2 - А) = 0.

Применение методики, использованной в предыдущей главе, позволяет получить уравнения равновесия цилиндрической оболочки с нерегулярной геометрией срединной поверхности в виде:

<9Г, дБ

дТ2 дБ / 1 п 1 с, Л (дМ2 дН\

/1 „ 7 г/ л (д2мх д\мЛ

Система (3) отличается от классических уравнений теорпп цилиндрических оболочек только своими коэффициентами, которые4 представляют собой обобщенные функции. Их регулярные части, определенные на гладких участках, являются главными кривизнами по-

ворхностн а сингулярные имеют вид:

2 tg \ ■ ¿(5 - So) или £ 2 tg | • 6(.s - .Si)

для случая нескольких точек излома поверхности.

В §3 рассматривается действие нагрузок, сосредоточенных на линии разрыва геометрических параметров оболочки. Система уравнений равновесия в этом случае имеет вид:

&T,dS X

oz as cos *

где Л ,У, Z — проекции нагрузки P(z), распределенной на линии s = So- на вектор ej и бпссектрпссы углов, образованных предельными значениями векторов е-2 и е„, а M0(z) — величина распределенного на лпнпп s = s0 момента, вектор которого направлен вдоль нее.

В §4 содержится вывод соотношений неразрывности деформаций цилиндрической оболочки с учетом особенностей дифференциальной геометрии нерегулярных поверхностей. В процессе вывода получены выражения для деформаций цилиндрической оболочки с нерегулярной геометрией срединной поверхности:

<>и дг / 1 „ 1 с/ Л

. dw , dw /1 у г, Л

' = v =+ + 2tg2.«(—„))«. (о)

да дг Од дс Ol-

^ — ТГ + я-' к' — я-' = т —

да д: о: о* д:

Соотношения неразрывности деформаций имеют вид:

= 0

Система (6) обладает теми же свойствами, что и система уравнений равновесия (3). Таким образом показана статико-геометрпческая аналогия для цилиндрических оболочек с нерегулярной геометрией срединной поверхности.

В §5 показано, что соотношения (б) могут быть получены на основе вариационного принципа Кастпльяно, что подтверждает правильность пх вывода.

В §6 проводится комплексное преобразование полученных уравнений. Прп выводе комплексных уравнений используются комплексные условия сопряжения на лпнпп разрыва геометрических параметров оболочки. Уравнения отличаются от классических только свопмп коэффициентами:

В третьей главе представлен статический расчет нескольких типов цилиндрических оболочек с нерегулярной геометрией срединной поверхности для различных вариантов граничных условий на торцах. Полученные в предыдущей главе уравнения интегрируются вариационным методом Бубнова-Галеркпна. Искомые функции усилий, моментов и перемещений представляются в виде двойных тригонометрических рядов.

дТх дБ

-д7 + Ж = ~Я1

В §1 приведен статический расчет на внутреннее давление цилиндрической оболочки с овальным контуром поперечного сечения (рис. 2), торцы которой опираются на диафрагмы, абсолютно жесткие в своей плоскости и абсолютно гибкие из нее. Решение данной задачи методом стыковки изложено в монографии В.В. Новожилова. Результаты расчетов показывают, что построенное вариационным методом решение хорошо согласуется в рамках теории тонких оболочек с решением, полученным традиционным методом.

В §2 содержится расчет на внутреннее давление цилиндрической оболочки с кусочно-постоянным, меняющим знак, радиусом кривизны контура поперечного сечения срединной поверхности (рис. 3) прп условии шарнирного опиранпя на жесткие диафрагмы. Проводится анализ напряженно-деформированного состояния оболочки, устанавливается согласованность решении прп определении перемещений.

В §3 рассматривается задача расчета на внутреннее давление цилиндрической оболочкп с овальным контуром поперечного сечения, имеющей подвижные абсолютно жесткие днища, в которых защемлены края оболочки. Для ее решения используются уравнения равновесия в деформациях и деформационные граничные условия. Проводится сравнение решения с результатами расчетов задачи §1.

В §4 рассмотрены задачи статического расчета резервуаров кан-нелюрного типа как в условиях шарнирного оппрания на торцах, так и прп защемлении в абсолютно жестких днищах. Контур поперечного сечения срединной поверхности резервуаров показан на рпс. 4. Показана высокая точность вариационного метода. Отмечается согласованность решений, проводится анализ напряженно-деформированного состояния оболочек.

В четвертой главе представлен метод расчета цилиндрических оболочек, подкрепленных ребрами на линиях разрыва геометрических параметров.

В §1 дана постановка задачи. Цилиндрическая оболочка подкреплена на линии разрыва геометрических параметров тонкостенным ребром, представляющим собой прямолинейный стержень (балку), шириной которого можно пренебречь. Формулируются кинематические условия сопряжения оболочки и ребра. Перемещения и углы поворота в точках осп ребра выражаются через перемещения ц углы поворота в точках срединной поверхности оболочки.

В §2 приведены соотношения связи между деформациями и обобщенными усилиями ребра и оболочки. Показано, что усилия и моменты, возникающие в ребре, можно выразить через краевые обобщенные усилия оболочки, действующие на линии сопряжения с ребром.

В §3 содержится вывод уравнений равновесия ребристой цилиндрической оболочки, проведенный на основе вариационного принципа Лагранжа. Полученная система разрешима относительно усилий и моментов, возникающих в оболочке, поскольку влияние ребра выражается через обобщенные усилия оболочки на линии сопряжения гладких участков.

В §4 приведен пример статического расчета на внутреннее давление ребристого резервуара каннелюрного типа при условии шарнирного опирания торцов на жесткие диафрагмы. Искомые функции усилий и моментов представлялись в виде двойных тригонометрических рядов. Построенная в предыдущем параграфе система интегрировалась методом Бубнова-Галеркина. Результаты расчета сравнивались с решением данной задачи, построенным традиционным методом стыковки в работе В.Я. Павплапнена. Показана высокая точность п эффективность вариационного метода в применении к полученным уравнениям.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. На основе вариационного принципа Лагранжа получена система уравнений равновесия теории плоских криволинейных стержней с нерегулярными геометрией оси (задаваемой функциями класса С0). Особенностью этих уравнений является наличие членов, содержащих ¿-функцию с коэффициентами, представляющими собой скачок искомого кусочно-гладкого решения и обеспечивающих выполнение условий сопряжения в точках нерегулярности.

2. Аналогичные результаты получены для уравнении статики цилиндрических оболочек, контур поперечного сечения срединной поверхности которых имеет угловые точки и точки разрыва кривизны.

3. Построены соотношения неразрывности деформаций теории цилиндрических оболочек с нерегулярной геометрией срединной поверхности, полученные как обычным путем, так и с использованием вариационного принципа Кастильяно.

4. Установлена статпко-геометрпческая аналогия в уравнениях теории цилиндрических оболочек с нерегулярной геометрией срединной поверхности, что позволило провести комплексное преобразование этих уравнений.

5. Получены системы уравнений, учитывающих действие сосредоточенных нагрузок п влияние ребер жесткости на линиях разрыва геометрических параметров оболочки.

6. На основе предложенных уравнений решен ряд расчетных задач, как известных ранее, так и новых. Проведен анализ точности и сходимости приближенных решений, построенных методом Бубнова-Галеркпна, путем сравнения их с точными решениями, а также с приближенными решениями, полученными традиционным методам стыковки на линиях сопряжения гладких участков.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Карпенко A.B., Павплайнен В.Я. Уравнения теории тонких плоских криволинейных стержней с нерегулярными геометрическими параметрами. //В сб. "Актуальные проблемы прочности". Новгород, 1994. Часть 1, с. 2G.

2. Карпенко A.B. Соотношения неразрывности деформаций в теории цилиндрических оболочек с нерегулярной геометрией срединной поверхности. // Вестник СПбГУ. Сер. 1, 1995. Выпуск 4 (X 22).

с. 101-103.

3. Карпенко A.B., Павплайнен В..Я. Уравнения теории тонких плоских криволинейных стержней с разрывными параметрами. //Материалы конференции "Математические модели в механике деформируемого твердого тела" (Санкт-Петербург. 1994). М.. 1995.

Подписано к печатпГО .04.96 Заказ 89 Тпраж 100 Объем 1 п.л. ПМЛ СПГУ 199034, Санкт-Петербург, наб.Макарова.6.