Усиленная сходимость аппроксимативных единиц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах р>копнем

Мозсляко Павел Александрович

Усиленная сходимость аппроксимативных единиц

01 01 01 - математический анпт

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2009

003479235

Работа выполнена на кафедре математического анализа ма1емагико-мечанического факультета Санкт-Пе1ербургского Государи венного Университета

Научный руководитель

доктор фи зико-математическич наук, профессор Хавин Виктор Петрович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Дубцов Евгений Сер1 еевич доктор физико-математических паук, профессор Скопина Мария Александровна

Ведущая организация Санкт-Петербургский Электротехнический Университет

Защита диссертации состоится «Яг » 2009 года в часов на

заседании диссертационного совета Д 00220201 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им В А Стеклова РАН по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб р Фонтанки, д 27, к 311

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИ РАН

Автореферат разослан <0_£>> ОИЛ^^Х 2009 ]

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

А Ю Зайцев

1 Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Аппроксимативные единицы (а е ), иначе говоря, семейства функций, в том пли ином смысле сходящиеся к дельта-функции, образуют важный инструмент математического анализа и его приложений Они широко употребляются в теории приближений, в математической физике, в гармоническом и комплексном анализе И хотя принципиальные задачи теории а е (условия сходимости сверток с а е в различных пространствах, условия их поточечной сходимости и сходимости почти везде) давно решены, повседневная практика анализа выдвигает время от времени новые, порой неожиданные постановки задач, относящихся к а е Диссертация посвящена явлению усиленной сходимости аппроксимативных единиц, которое было открыто Бургейном в 1993 г в [4], где дан неожиданный ответ на один вопрос У Рудина, относящийся к граничному поведению аналитических функций, ограниченных в круге С этим результатом в той пли иной степени связаны, кроме работ [4], [1], работы [7], [9[, [5], [8]

Цель работы Центральное понятие, неявно содержащееся в работах [4], [1], есть понятие В-точки (точки Бургейна) заряда или функции па прямой К Целью диссертации является решение следующих задач

(1) Ввести новое определение В-точкн, по возможности более просто формулируемое и равносильное довольно громоздкому оригинальному определению

(2) Испытать новое определение В-точки, получив на его основе доказательство основных результатов Бургейна

(3) Получить в конкретных ситуациях обозримые условия, достаточные для того, чтобы данная точка была £?-точкой данной функции

(4) Выяснить, для каких классов ае и функций имеет место (или не имеет места) явление усиленной сходимости

Методы исследований В работе применяются общие методы комплексного и гармонического анализа Важную роль играет некоторое развитие вариантов метода Литтлвуда-Пэли, примененных в [4], [1]

Основные результаты. В диссертации получены следующие результаты

(1) Введена величина, названная суммой Бургейна, дано определение точек Бургейна конечного заряда и ограниченной измеримой функции на К

(2) Выведены налагаемые на а е условия, необходимые для се усиленной сходимости в точках Бургейна, получены новые, по сравнению с [1], достаточные условия для такой сходимости

(3) Построены новые примеры ситуаций, когда усиленная сходимость ае нарушается всюду или почти всюду

(4) Дано полное описание в геометрических терминах точек множества канторовского типа на вещественной прямой, в которых наблюдается усиленная сходимость гармонической меры (относительно верхней полуплоскости) этого множества

(5) Исследована связь между конечностью сумм Бургейна и регулярностью функции

(G) Доказано совпадение точек Бургейна функции и ее преобразования Гильберта

(7) Дано описание точек Бургейна в терминах теории всплесков

(8) Даны некоторые многомерные обобщения теорем об усиленной сходимости а с

(9) На примере ядер Валле-Пуссена показано, что явление усиленной сходимости наблюдается и для некоторых "нестандартных" а е

Научная новизна Всс основные результаты диссертации являются новыми

Теоретическая и практическая ценность Диссертация носит теоретический характер Полученные в диссертации результаты могут быть применены в задачах граничного поведения аналитических и гармонических функций в областях пространств Cd и

Апробация работы Результаты диссертации были доложены на семинаре по теории операторов и теории функций ПОМИ РАН (в 2007 г) и на конференции "Journées Complexes du Sud" (CIRM, Marseilles, 2008 г)

Публикации По теме диссертации опубликовано две работы [11], [12]

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на параграфы и пункты, и списка литературы, включающего 22 названия Общий объем диссертации — 145 страниц

2 Содержание работы

21 Введение. Во введении к диссертации дано краткое описание явления усиленной сходимости а с , открытого Бургсйном В общей форме обсуждаются задачи, которым посвящена диссертация Большая часть введения посвящена формулировке и обсуждению основных результатов по главам

2 2 Сравнимость сумм В* и Вц В первой главе мы вводим основное для нас понятие точки Бургейна конечного заряда /х на К (= а-адаптивная борелевская функция множества), неотрицательный заряд мы называем мерой Чтобы сформулировать результаты первой главы, нам потребуются следующие определения

Функцию Ф б ¿'(К) назовем ядром, если /НФ(£)<Й = 1, буквами Р и Р обозначаются ядра Пуассона и Фейера соответственно

Для уф 0 и функции ф, заданной на М, положим ф[у)(1) = уФ{у), £ б ® Для точки х 6 К и конечного борелевского заряда /х на К определим следующие величины

Если Вц(х) < +оо, то точку х мы называем В-точкой (точкой Бургейна) заряда ц (или функции /, если = / с1х)

Результаты работ [4], [1] основывались на ином (на первый взгляд) понятии "хорошей" точки х (для данного заряда /х) Мы назовем здесь эти точки В"-точками заряда д Они характеризуются конечностью суммы

Ь € К

ад = (\Ц * Р\ * Р) (X) + £ * - * Р{2-)) (*).

где

Х} = И? * Е^К,. ь 0}-

=

К = Р * Г, Р,(4) = 2]Р{2Ч), К3{Ь) = 23К{2Ч), ] е t € К, Л£ = (Я, * К3) * (К]+1 * К]+1) * *{Кк*Кк), к,3еЖ+,к>3, К?(х)= кт Ьк.(х), хеЕ,

при ] < 0 полагаем X, = Основной результат главы 1 есть

Теорема 1 (теорема 1 3.1) Для произвольного конечного борелевского заряда д на К

(Муагц)(х) ж В^х) ж В^х), х в К

Мы пишем /(х) ж д(х), х & М, если для некоторой постоянной С > 1 верно < д(х) < С/( х), хе!

Эти оценки позволяют во всех теоремах работ [4], [1] (в их формулировках и доказательствах) заменить труднообозрим> ю сумму В^(х) на гораздо более простую сумму Вц(х) (или ее интегральный аналог (Муаг ц){х)) Эта замена будет произведена в главе 2

Теорема 1 показывает, что множество В*-точек заряда ¡л совпадает с его множеством В-точек (в нашем смысле) Таким образом, заменяя В*-точки на Б-точки в теоремах об усиленной сходимости а с , мы выигрываем в простоте и обозримости формулировок, ничего не теряя в общности результатов

2 3 Существование В-точек и оценки вертикальных вариаций через суммы Бургейна Вторая глава посвящена, в основном, новому доказательству основных результатов Бургейна об усиленной сходимости а е с использованием наших сумм Ввместо В* Чтобы сформулировать результаты главы 2, дадим следующее

Определение 1. Для ядра Ф и конечного заряда /х на К положим (Ууагф ц){х) = уаг„€(од) х, у), хеЕ,

где

= (ц*Ф{и]){х), хеЖ,у> О,

если dfi = / dx, то вместо и® лш пишем и*

Величину (Vvar$p)(z) мы называем вертикальной Ф-варнацией заряда /х в точке х

Семейство ядер (Ф(у))!/>о образует стандартную ае , порожденную ядром Ф Ее стремление к ¿-функции (в точке х) проявляется в том, что limpio ufix, у) = f(x) (если, например, функция / непрерывна в точке х) Усиленная сходимость а с (Ф(!/))г/>о означает следующее существование и конечность предела hmy[ouJ(x,y) сопровождается конечностью вариации функции двух неременных uj вдоль "вертикального" отрезка {х} х (0,1] Как мы увидим, такая усиленная сходимость имеет место гораздо чаще, чем можно предположить, она, как правило имеет место в В-точках функции /

В параграфе 2 1 главы 2 вводятся обозначения и обсуждается история вопроса

Пусть символ dim А обозначает хаусдорфову размерность множества А Параграф 2 2 посвящен доказательству следующей теоремы

Теорема 2 (теорема 2 2 1) Множество E¡, точек Бургейна меры /¿(те неотрицательного заряда) непусто, и, более того, dim(£'/¡ f") I) = 1 для любого невырожденного промежутка I

Схема доказательства теоремы 2 заимствована из работы [1] Основные изменения связаны с заменой В* на

Полезность сумм В¡¡ (или интегралов Mvar д) состоит в том, что они позволяют оценивать вертикальные Ф-вариацпи зарядов ц сразу для целого класса ядер Ф, т е получать неравенства вида

(1) (Vvar<]> ц)(х) < С(Ф)В„(х), х G М,

где С(Ф) зависит лишь от ядра Ф, но не от fi Однако, общность таких оценок не беспредельна они справедливы для ядер Ф, подчиненных некоторым условиям (и могут нарушаться для некоторых Ф, - например, для ядра Стсклова Ф = X[-i,i]) В параграфе 2.3 главы 2 доказаны две теоремы, описывающие некоторые классы ядер Ф, обладающих свойством (1)

Теорема 3 (теорема 2.3 1) Пусть ядро Ф К н-> К. удовлетворяет следующим условиям Ф € С3 (К) и

Тогда для любого конечного заряда ц на К. верно следующее неравенство

(Ууагфц)(х) < СВ^{х), а; € К где С = С(Ф) > 0 зависит только от Ф

Теорема 4 (теорема 2 3 2) Пусть ядро Ф К и К принадлежит классу С2(М) и удовлетворяет следующим условиям

Тогда для любого конечного заряда ц на К верно следующее неравенство

где С = С(Ф) > 0 зависит только от Ф

Условия гладкости, налагаемые в теоремах 3 и 4 на Ф (соответственно на Ф) можно ослабить, понимая производную Ф" (соответственно Ф'") в обобщенном смысле ср с леммой 6 12

Достаточные условия "допустимости" ядра Ф (те выполнение оценки (1)) в теоремах 3 и 4 носят различный характер в теореме 4 условия убывания на бесконечности и условия гладкости налагаются непосредственно на ядро Ф, тогда как в теореме 3 достаточные условия формулируются в спектральных терминах (тс в терминах относящихся к Ф) Теорема 4 принадлежит Бургейну [1|, и новый элемент состоит лишь в замене В*-сумм на 5-суммы (и в доказательстве, и в неравенстве (1)) Следует отмстить, что ядро б(£) = (функция тоже является ядром) удовлетворяет

условиям теоремы 3, но не теоремы 4, а в свою очередь, удовлетворяет условиям теоремы 4, но не 3 (условия теорем предполагаются ослабленными в вышеуказанном смысле) Заметим, что переход к Ф (вместо Ф) в связи

(Ууагф /г) (я) < СВД х), хё»,

со свойством (1) в каком-то смысле естественен и удобен в главе 4 будет описан класс "плохих" ядер Ф, для которых (1) (и даже конечность Ууаг$ р) может нарушаться всюду на К, причем эти "плохие" ядра удобно и просто характеризуются именно в спектральных терминах

2 4 Оценки В-сумм и описание В-точек в некоторых конкретных случаях В третьей главе мы обращаемся к задачам идентификации В-точек функции / в некоторых конкретных ситуациях (в терминах регулярности функции / вблизи х) Кроме того, будет рассмотрена связь В-точек функции / с В-точками се преобразования Гильберта /, В-точкп характеристических функций множеств канторовского типа, явление вида усиленной сходимости для некоторой "нестандартной" ае , наконец, полная характеризация В-точек в терминах теории всплесков Этим результатам главы 3 мы предпосылаем в п 3 2 техническую подготовку Ее цель — найти сравнимые с суммами В/ суммы, в которых сверточные множители Р(г-1) — Р(2-'-') заменены на другие функции ф3, более удобные для предстоящих оценок Приведем для примера одну из сумм такого рода (мы обозначаем се через В^ф, имея в виду последовательность ф = {ф3} упомянутых сверточных множителей)

Теорема 5 (следствие 3 2 3) Пусть задана последовательность положительных чисел £J,J 6 , таких что

Пусть функция ф, заданная на К, удовлетворяет следующим условиям

е3 е [А 2~3,2~3], 0 < А < 1

ф е ¿'(К),

Ф е С2(М)

ф( 0) = 0.

[ (\Ф(г)\ + \тФ'(г)\ + \т°-Ф"(т)\)с1т Ля

< оо.

\Ф\(т)>С,

Определим функции ф3,] £ Ъ, следующим образом

Ь е К

Положим

В11ф = 22\^*Ф]\* Р\}\

зеХ

Тогда для любого конечного заряда ц на Ш верна оценка

^ (В„ф + \ц*Р\*Р)<В,< С{В^ + |/х * Р\ * Р),

где С — С(А,Ф) > 1 - некоторая константа

Подобные утверждения используются в доказательствах главы 3 -в параграфе 3 3, в параграфе 3.4 при изучении В-точск множеств канторовского типа, в параграфе 3 5

Условие Вц{х) < 4-оо носит локальный характер (если заряд р исчезает вблизи точки х, то оно выполнено) Естественно возникает вопрос об условиях регулярности функции / вблизи точки х, обсспсчивющих конечность суммы В}{х) Некоторый ответ на этот вопрос дает

Теорема 6 (теорема 3.3 1) Пусть функция / € ¿°°(Е) удовлетворяет одному из следующих условий

(a) / удовлетворяет условию Дини в точке х Е Ш ,тп е Г1 иг(х,6) ¿5

где

и}{х, 5) = СЗБЭир\1-х\<6\т-и\<&\Ии) - /(01.

(b) / совпадает с функцией д класса Винера в окрестности П(х) точки х £Ш,т е

/1п(г) = <7|п(х). 9 е Ь1 (К)

Тогда

В{[х) < +оо

Опираясь на описанную выше техническую подготовку, мы в и 3 3 главы 3 обращаемся к В-точкам преобразования Гильберта / функции / е ¿2(М) |"| £°°(К) и устанавливаем следующий факт

Теорема 7 (предложение 3 3 1) Пусть / е £2(К) П £°°(К), £ е 1 Тогда

В Ах) < СВ/(х),

где

If fit) it f(x) =pv-

7Г JR x — t

есть преоб]ю.зование Гильберта функции f, а С > 0 - абсолютная постоянная

Из этого факта следует уже упоминавшаяся теорема Бургейна о функциях класса #°°(R) (тс о граничных значениях функций класса Я°°(С+), аналитических и ограниченных в С+) А именно, из теоремы 7 следует

Теорема 8 (теорема 3 3 2) Множество Ej точек Бургейна функции f € #°°(R) непусто, и, более того, dim(£^|"|/) = 1 для любого невырожденного промежутка I

Заметим, что для / е НЖ(Ж) и г G Е/ функция у >—;► i JR 11мсет

конечную вариацию на промежутке (0,1]

Следующий результат главы 3 показывает, что феномен усиленной сходимости в 5-точках ограниченных функций наблюдается и для некоторых "нестандартных" а е Для примера мы выбрали а е Валле-Пуссеиа 2 2"(пМ2

Vn{x) = ^ cos (x/2)x[-TT,ni(x), хеЖ,ne N (роль параметра у переходит теперь кп = 1,2, )

Теорема 9 (теорема 3 3 3) Для произвольного конечного заряда ц верно

30

I/* * iYv - V2I-I)\(T) < C(B,t + ||,i||i)(a;), i£l,

j=i

где С абсолютная положительная постоянная

В параграфе 3 4 описываются точки Бургейна характеристической функции множества канторовского типа

Пусть Q £ (0,1), S промежуток, a QS концентрический промежуток длины Q|S|, Fq(S) = cl S \ QS Оператор Fq применим к любому дизъюнктному объединению сегментов (компактных промежутков) S = V,=i Si Fq(S) = Vili Fq(Si) Пусть q = ~ такая последовательность

чисел, что

+00

0<%<1,£д,< +00, j=0

(это условие равносильно положительности длины множества Е) Положим Е0 = [0,1], Ек+1 = Рдк{Ек), к 6 Множество £(= £(<?)) =

Пы1 " совершенно, \Е\ > 0 Каждой точке х0 множества Е = Е{ц) можно поставить во взаимно-однозначное соответствие бесконечную последовательность к(хо) — {к,}^, состоящую из нулей и единиц, и определяемую следующим образом хо = П^^С^о), где J^{xо) - один из сегментов, составляющих множество Е„ при этом ^(хо) — один из двух сегментов (правый или левый), получающихся после применения оператора к сегменту ^-1(^0) Если хо) — правый сегмент, то полагаем /с, = 1, если левый, то к, = 0 Положим также 5к = 1 — к ЕЪ+

Определим числа пк как номера тех элементов последовательности к(хо), на которых происходит обрыв идущих подряд одинаковых чисел к3 (те к3 = к]+1,] = щ + 1, ,щ+ь и кПк ф к„к+ь к в N. если к} = к]+1 для всех ] > пк, то мы полагаем пк+\ = пк+2 = = +оо)

Теорема 10 (теорема 3.4.1) Точка хд е Е(д) есть В-точка множества Е{ц) (те функции хе{д)) 6 точности тогда, когда

00

"к+16„к < оо

к=1

При этом Хо - точка плотности множества Е тогда и только тогда, когда 2—> 0 при к —* оо

Отметим характерные случаи расположения точки хо в множестве Е

(1) Точка хо е Е является правым (или левым) концом некоторого сегмента это означает, что последовательность {к,}, начиная с номера состоит только из единиц (или, соответственно, нулей) Тогда, очевидно,

оо

^2^ = 00,

к=1

и точка хо не будет являться точкой Бургейна функции \Е (она не будет являться и точкой плотности множества Е)

(2) Последовательность {кг}, определяющая точку хо, имеет следующий вид — к,+1 = 1 — ас,, г £ N Это означает, что точка хо "глубоко

погружена" в множество Е, при этом Пк±\ = щ + 1, к 6 и мы имеем

ос ОС эо

£ 2"^6Пк = 2"к+16„к < С £ дк < оо к=1 *=1 £ = 1 Таким образом, можно утверждать, что точки Бургснна множества Е находятся "глубоко внутри" Е, в частности глубже точек плотности

Параграф 3 5 посвящен описанию точек Бургсйна на языке теории всплесков, мы придерживаемся терминологии, принятой в [2], [3]

Теорема 11 (теорема 3 5 2) Пусть задана функция / 6 ¿2(К) и точка х е К, пусть также ф - некоторая вещественная всплеск-функция, удовлетворяющая следующим условиям

ф € Ь2{Щ,

ф 6 С2(К),

/

г' ф{и) йи

>с> о, \т\ е

1 3 4'4

[ (\ф\(т) + \тф'\(т) + \т2ф"\(т))с1т< Л

00

Тогда х является точкой Бургейна функции / в том и только том случае, когда

Г\(Т/)(а,Ь)\Р{1а1](Ь-г)М~<^

-1 JR

где

Т/(а,Ь) = \а\-1' I №Ф есть всплеск-преобразование функции /

Теорема 12 (теорема 3 5 3) Пусть ф функция, порождающая орто-нормированный базис всплесков и удовлетворяющая следующим условиям

Ф е Ь2{Ж),

Ф е С3(М), ф'(0) = 0, |^|(т) > С > 0, |т| е

[\тф'(т)\ + |т2| (\ф(т)\ + |0»|)) ¿т < оо

1 3

4'4

Тогда для любой функции / € L2( К) точка i£l является точкой Бургсйна функции / в том и только том случае, когда

Ajjt(x) < оо,

jeN kez

г^е = — k 2~'J'), j,k € Z,x € R, a (/, коэффициенты

всплеск-разложения функции f

Эти теоремы вполне согласуются с известными результатами о поведении всплеск-преобразования (коэффициентов всплеск-разложения) в точке регулярности функции /, см [2], [6], в частности отсюда легко выводится (еще раз) пункт 1 теоремы 6

2 5 Некоторые результаты отрицательного характера. В четвертой главе по заданному ядру Ф строится непрерывная функция, вертикальная Ф-вариация которой бесконечна п в на R Тем самым доказывается обобщение теоремы Рудина (см [10])

В параграфе 4.1 вводятся обозначения, используемые в главе 4 и дается краткая характеристика полученных результатов Множество всех непрерывных 1-периодичсских функций / мы обозначаем символом Ci(R), буквой U мы будем обозначать класс всех вещественных функций из Ci(R), ряд Фурье которых сходится равномерно на R Параграфы 4 2-4 4 посвящены доказательству следующей теоремы

Теорема 13 (теорема 4 11) Пусть Ф - непрерывно дифференцируемое ядро Предположим также, что Ф удовлетворяет следующему условию

/ |тФ'(т)| log |r|dr < оо J E\[-2,2j

Тогда найдется такая функция / G U, что

(Vvar$ f)(x) = оо

для почти всех х € R

Отмстим, что для функций / класса Вннера Ууагф/ конечна в каждой точке i £ К

В параграфе 4 5 главы 4 выводятся условия, налагаемые на ядро Ф, необходимые для существования такой функции /, что (Vvar,¡, f){x) < оо хотя бы для одной точки х € R

Теорема 14 (теорема 4 5 1) Пусть ядро Ф таково, что

varjj Ф = оо

Тогда существует функция f из Ci(K)n^°°№ (а также вещественная функция f из С(М)) , такая что

(Vvar$ f)(t) = оо для всех t 6 R

2 6 Некоторые многомерные обобщения. Пятая глава посвящена распространению результатов главы 2 на R", п > 1, тем самым получено обобщение результатов [9] Следующие теоремы являются многомерными аналогами теорем 2 2 1 и 2 3 1 главы 2 Пусть функция ф, заданная на К такова, что радиальная функция Ф х 0(М), х G К" - ядро в R" (тс /н„ Ф = 1) Напомним, что Фурьс-образ Ф радиальной функции Ф - снова радиальная функция, мы не будем отличать се от функции гн->Ф(г,0, ,0) = ф(г), г е [0, +оо)

Теорема 15 (теорема 5 12) Пусть преобразование Фурье ф функции ф таково, что функция г н-> ф(\г\) лежит в классе C2^'+3(R), и функции г h-v гкф{1+1){г), 0 < к < 2[|] +2, и rl"/2lф'(г) суммируемы в R+ Если х В-точка заряда ц, то

(Vvar$ц){х) < С(Ф)В/1(х), С(Ф) > 0

Теорема 16 (теорема 5 13) Метрическая размерность множества Ef, В-точек заряда ц в любом невырожденном шаре равна п

2 7 Вспомогательные утверждения технического характера В

шестой главе содержатся вспомогательные утверждения технического характера, используемые в предыдущих главах

список литературы

[1] Бургейн Ж Ограниченность вариации сверток мер Матем заметки, 1993, т 54, 4, с 25-34

[2] Добешн И Десять лекций по вейвлетам Москва-Ижевск РХД, 2004

3] Новиков И Я , Протасов В Ю , Скопина М А Теория всплесков Москва Физматлит, 2005

4] Bourgain J On the radial variation of bounded analytic functions on the disc Duke Math J , 1993, v 69, 3, pp 671-682

5] Girela D , del Mar Rodriguez M Sharp estimates of the radial growth of the derivative of bounded analytical functions Complex Var Theory and Appl, 1996, v 28, 3, pp 271-283

6] Holschneider M, Tchanntchian Ph Pointwise analysis of Riemann's "nondifferentiable" function Inventiones Mathematicae, 1991, v 105, 1, pp 159-175

7] Jones P A complete bounded submanifold of C3 Proc Amer Math Soc , 1979, v 76, pp 305-306

8] Jones P W , Muller P F X Radial variation of Bloch functions Math Res Lett, 1997, 4, pp 395-400

9] O'Neill M D Vertical variation of harmonic functions in upper half spaces Colloq Math , 2001, v 87, pp 1-12

10] Rudm W The radial variation of analytic functions Duke Math J , 1955, v 22, pp 235-242

Публикации автора по теме диссертации

И] Мозоляко П А Замечания к определению точек Бургейна Зап науч семин ПОМИ, 2008, т 355, с 219-236

12] Мозоляко П А Усиленная сходимость аппроксимативных единиц и точки Бургейна ограниченных ф>нкцпй Доклады РАН, 2008 т 422, 6, с 738-740

Подписано к печати 15 09 2009 Формат бумаги 60 х 84 1/16 Бумага офсетная Печать ризографическая Уел печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ 4507 Отпечатано в отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Петродворец Университетский пр 26

Введение 2

1 Сравнимость сумм В* иВг 1.1 .16

1.2 Определение величины В*(.т) .16

1.3 Формулировка основного результата. Субпуассоновы функции.20

1.4 Подготовка к доказательству оценок (1.3.1): интервалы Ij и субпуассоновы функции Yj.21

1.5 Доказательство оценки.22

1.6 Доказательство оценки.23

1.7 Доказательство оценки.25

1.8 Доказательство утверждений (а) — (с) и. 1.4.1.26

1.9 Оценки функций Zj,y nTj.27

2 Существование В-точек. 29

2.1 Введение .29

2.2 Существование точек Бургейна для положительной меры на IR.31

2.3 Оценки вертикальной вариации положительной меры /i.42

3 Описание В-точек. 47

3.1 Введение.47

3.2 Эквивалентные определения В-суммы.48

3.3 Достаточные условия конечности В-суммы.60

3.4 В-точки множества канторовского типа.65

3.5 Необходимые и достаточные условия бургейновости точки х в терминах коэффициентов всилеск-разложения .83

ОГЛАВЛЕНИЕ / / V145

4 Некоторые результаты отрицательного характера. 90

4.1 Равномерная сходимость ряда Фурье и бесконечная почти всюду вертикальная вариация.90

4.2 Малая (/-норма при большой (в среднем) вертикальной вариации.98

4.3 Функция класса U, вертикальная вариация которой не суммируема на [0,1]. 103

4.4 Завершение доказательства теоремы 4.1.1.105

4.5 Примеры функций со всюду бесконечной вертикальной вариацией.109

5 Некоторые многомерные обобщения. 116

5.1 Формулировка результатов.116

5.2 Доказательство теоремы 5.1.2.117

5.3 Доказательство теоремы 5.1.1.117

6 Вспомогательные утверждения технического характера. 122

6.1 Главы и 2.122

6.2 Глава 3.125

6.3 Глава 4.131

6.4 Глава .141

Диссертация посвящена явлению усиленной сходимости аппроксимативных единиц, которое было открыто Бургейном в работах [15], [2]. Чтобы описать его, нам понадобятся следующие определения и термины.

Ядром мы называем такую вещественную функцию Ф б L1(M), что jR Ф = 1. Аппроксимативной единицей (а.е.), порожденной ядром Ф, мы называем семейство ядер (фы)у><ь где

Ф(у)(о0 := -Ф(^), х е R, у > 0.

Символ ф * ф будет обозначать свертку функций ф,-ф на К (при предположениях, обеспечивающих ее существование).

Пусть ц — комплексный заряд на R (борелевская ст-аддитивная функция множества). Положим и%{х, у) = (Ф(У) * ц){х), х е К, у > о правую часть мы понимаем как /кФ(у)(ж — t)dfj,(t), подразумевая, что этот интеграл существует и конечен). В частности мы предполагаем, что ядро Ф — борелевская функция; если djj, = f dx, где / € Ь°°(Ж), то Ф можно по-прежнему считать функцией класса L1(R). В этом случае вместо мы будем писать и{,.

Очевидно, Нт^о^фО^у) = /(®) в любой точке непрерывности функции / € Ь°°(Ш). Более того, для широкого класса ядер предел lim^o Пф(х,у) (и Нт,до и<р(х, у)) существует и конечен при п.в. х G R.

Эти факты хорошо известны ([10], [12], [6]), и тематику, относящуюся к предельному поведению величины и%(х,у) при у j 0,х €= К, можно считать исчерпанной. Однако, в 1993 году Бургейн (см. [15], а также [2]) обнаружил новый феномен, который мы называем усиленной сходимостью аппроксимативных единиц. Он доказал, что если заряд ц есть мера (т.е. если он неотрицателен), то для многих ядер (в частности, для ядер Пуассона, Гаусса-Вейерштрасса) во многих точках х G К вариация функции у у > 0 на промежутке (0,1] конечна, что, разумеется, сильнее, чем стремление этой функции к конечному пределу при у [ 0. Из сказанного легко вывести, что такое усиленное стремление к пределу имеет место во многих точках х Е М для любой вещественной функции / е L°°(E) (т.е. var,,G(fU] и{ь(х,у) < +00).

С зарядом //. Бургейн связал (неявно) некоторый класс точек Е/г С IR (мы называем их точками Бургейна заряда р или функции /, если dp = / tlx), зависящий только от р, но не от ядра Ф, таким образом, что величина var,j6(o,i] и%{х, у) конечна для любой точки х € Ец. Замечательный резульат Бургейна состоит в том, что если заряд ц есть мера, то множество Е^ весьма обильно: в любом невырожденном промежутке его хаусдорфова размерность равна единице. Феномен усиленной сходимости наблюдается и для некоторых (не для всех!) комплексных функций / 6 а именно, для / £ Н°°(М).

Заметим, что длина |Etl| множества Е;1 может быть нулевой — даже если dp = / dx, где / 6 С(К). Случай ограниченной вещественной функции / мгновенно выводится из результата, относящегося к мерам, так как заряд dp, = (||/||оо — /) dx есть мера, а 4"1- = II/IIоо- Здесь следует отметить, что при / G Ь°°(Ш) соответствующий заряд не обязан быть конечным. Учитывая, однако, что принадлежность точки х множеству Ец зависит только от поведения р, в окрестности х (см. и. 4.1.3), можно ограничиться рассмотрением ограниченных функций с компактным носителем, а тогда, мера dp будет конечной. С этими результатами и связано все содержание нашей диссертации.

История вопроса

Вопрос об усиленной сходимости а.е. в неявной форме появился в работе Рудина [22], посвященной граничному поведению функций, аналитических и ограниченных в единичном круге D = {|г| < 1} (т.е. функций класса Н°°(Щ). По теореме Фату каждая такая функция при почти всех С ^ ^ = {М = 1} имеет конечный радиальный предел lim,.]] J'(rQ. Рудин поставил вопрос о спрямляемости кривой /([0, С]), т.е. /-образа радиуса, соединяющего 0 и (. Он построил примеры функций / € i/°°(D), для которых эти длины бесконечны при и.в. С £ Т ([22]). Более того, это возможно и для / из диск-алгебры (т.е. для / € 11°°(Ш>), равномерно непрерывных в D). Конечность длины кривой /([0,£]) равносильна конечности вариации функции г 1—> /(rQ на [0,1), т.е. усиленной сходимости величин /(гС) к своему пределу при г j 1.

Вопрос о возможном отсутствии усиленной сходимости величин /(/'С) ПРИ всех ( g Т (т.е. о бесконечности длин /-образов всех радиусов) для / 6 //°°(D) остался открытым.

Неожиданный отрицательный ответ на этот вопрос в 1993 году дал Бургейн [15],[2], доказавший, что упомянутые выше длины обязаны быть конечными для многих ( € Т, какова бы ни была функция / 6 7/°°(D). Бургейн заметил, кроме того, что аналогичное явление наблюдается и для ограниченных вещественных функций и, гармонических в D : varre[o,i) ад(гС) < +00 для точек £ из (зависящего от и) плотного подмножества окружности Т метрической размерности 1 на любой невырожденной дуге.

С.А. Виноградов и В.П. Хавин восприняли этот результат как утверждение об усиленной сходимости конкретной а.е. (ядро Пуассона для круга) и поставили вопрос о его применимости к другим а.е. На этот вопрос ответил Бургейн, распространив свой результат на широкий класс а.е. в [2], где вместо Т и Р рассматриваются 1R и верхняя полуплоскость С+. Там же показано, что бывают а.е. (например, ядро Стеклова), для которых явление обязательной усиленной сходимости места не имеет.

Впоследствии результат Бургейна для ядра Пуассона был обобщен на многомерный случай в работе [21]. Заметим, что отказ от предположения об ограниченности или вещественности функции / здесь невозможен ([18], [22]), но результат сохраняет силу, если комплексная / принадлежит Н°°{Ж).

В статье [2] Бургейн рассмотрел свертки Ф^) * //, где /г - мера на IR, и показал, что (при некоторых предположениях о Ф и /i) существует множество Е^ с К, плотное в К, метрической размерности 1 в любом невырожденном промежутке, и такое, что при любом х € Ер "вертикальная вариация" (Vvar,j> ц){х) меры // (т.е. вариация вдоль "вертикального" промежутка {ж} х (0,1] функции и'ф) конечна. Выше мы уже объяснили, как из этого результата вытекает аналогичное утверждение о множестве Ef для вещественной / G L°°(E). Заметим, что оно весьма содержательно даже для (вещественных) / € C(R) f] L°°(IR). Кроме того, существование множества Ej с указанными свойствами доказано в [2] и для комплексных / 6 Ь°°(Ж) при условии, что спектр функции / неотрицателен, т.е. для / G //°°(К) (= множество граничных значений функций, ограниченных и аналитических в верхней полуплоскости С+).

Отметим, что вещественность функции / Е Ь°°(Ш) является существенным условием — в работах [22], [18] были приведены примеры функций / класса НР(Ш) (и даже класса ВМО), для которых Ej = 0.

В части, касающейся пуассоновых а.е. (т.е. функций, гармонических в верхней полуплоскости С+) наша работа примыкает к исследованию граничного поведения интегралов Пуассона. Эти исследования, начатые в работах классиков ([12], [6], [10]) получили дальнейшее развитие в работах [5], [13]. Продолжаются они и сейчас (см., например, работы [16], [21], [19]). Тема работы [16] (оценки роста градиента гармонической функции) родственна нашей.

Содержание диссертации (общая характеристика)

В работах [15], [2] точки Бургейна х заряда р, (или функции /) характеризуются с помощью некоторой величины B*t(x) (соответственно Bj(x)), определяемых довольно сложным способом через посредство весьма специальных а.е., в которых присутствует бесконечное сверточное произведение (о величинах B*L{x), Bj(x) подробнее написано ниже, см. также п. 1.2.4). Нашей первоочередной задачей было упростить определение В-точек. Такое упрощение дано в главе 1, где мы вводим функции Вм (соответственно Bf), определение которых короче определений функций B*t, BJ. Оно не требует никакой предварительной подготовки, оставаясь с точки зрения основных задач — задач установления усиленной сходимости а.с. — равносильным определению функций ибо, как показано в теореме 1.3.1 ~ (2) последнее означает, что cBfL < В* < С Вгде с, С — абсолютные положительные постоянные). Кроме того, в главе 3 мы введем функции Bfl^, где ф — некоторое семейство функций. По форме функции В^ф не сложнее, чем упомянутые выше функции Вц, а свобода в выборе семейства ф бывает технически удобной при решении конкретных задач. Подчеркнем, что функции В^^ф часто сравнимы с функцией BjL (с константой, зависящей от ф)

Вернемся к вариации vary6(0ii] «ф(ж, у) (см. выше н.1), которые мы впредь будем обозначать символом (Ууагф р)(х) и называть вертикальной Ф-вариацией заряда р (или функции /, если dp = f dx) в точке х 6 Ж, имея в виду вариацию вдоль "вертикального"отрезка {ж} х (0,1] функции двух переменных и'ф. Один из главных результатов Бургейна в [15], [2] состоит в том, что для многих ядер Ф вертикальная Ф-вариация оценивается сверху через его функцию В*:

Vvar<j> р){х) < С(Ф)В*^(х), х е К.

Из сказанного выше следует, что в этом неравенстве В* можно заменить на Вр. В главе 2 мы покажем, что не только этот результат, но и его доказательство можно получить, не обращаясь к /?*, а действуя исключительно с Bfl. То же самое можно сказать о главном результате Бургейна, гарантирующем существование (и обилие) В-точек: его доказательство также не нуждается в громоздкой функции В* (см. главу 2).

Еще одна проблема, возникающая в связи с понятием Б-точки заряда (или функции) — это проблема их распознавания. Общая теорема гарантирует существование (и известное изобилие) В-точек вещественной функции / £ L°°(R), но не дает прямых средств узнать, будет ли данная точка х € М точкой Бургейна данной функции /. Дело в том, что объект, который более или менее непосредственно строится в теореме существования Бургейна — это не индивидуальная вещественная точка, а некоторая вероятностная мера и = i>j на М, для которой причем ее носитель всюду плотен и имеет размерность, сколь угодно близкую к единице в любом невырожденном промежутке.

Второй нашей целью служит поиск достаточно явных условий, обеспечивающих бургейповость точки в той или иной конкретной ситуации. Естественно ожидать, что обычные локальные условия гладкости (типа известного в теории тригонометрических рядов условия Дини) влекут бургейповость (п. 3.3). С другими популярными в анализе характеристиками локальной правильности дело обстоит не так просто. Например, мы покажем, что что винеровость функции / (разложимость в абсолютно сходящийся ряд Фурье) вблизи точки х обеспечивает бургейповость точки х для / (п. 3.3 гл. 3), но заменить требование абсолютной сходимости ряда Фурье на требование его равномерной сходилюсти здесь невозможно (см. гл. 4).

Еще один эксперимент по распознаванию точек Бургейна произведен в главе 3 и относится к граничному поведению гармонической меры множества Е cl канторовского типа (имеется в виду гармоническая мера относительно верхней полуплоскости С+, т.е. интеграл Пуассона itpE(x,y) = JE Нам удалось получить полное описание

В-точек характеристической функции Хв- Оно дано в чисто геометрических терминах. Бургейповость точки х G Е означает некоторую "глубину залегания" точки х в Е.

Бургейповость точки, несмотря на упрощение, доставленное заменой B*L на В ц, остается не слишком прозрачным свойством. Не исключено, что дальнейшее прояснение этого понятия может быть достигнуто в терминах теории всплесков. Во всяком случае, как показано в и. 3.5 гл. 3, свойство быть В-точкой функции адекватно и обозримо выражается па языке вснлеск-разложения функции /.

Таково, в общих чертах, основное содержание диссертации. Теперь мы переходим к более подробному ее описанию но главам и параграфам, в котором будут упомянуты и некоторые другие результаты, не нашедшие места в беглом изложении этого пункта (характеристики ядер Ф, для которых вертикальная вариация Vvai-ф // поддается оценке через Bfl, связь с преобразованием Гильберта и классом Н°°(Ш), сведения о ядрах, для которых возможно тождество Vvar.[, / = оо, некоторые многомерные обобщения, а также один пример, в котором явление усиленной сходимости наблюдается для "нестандартной

Содержание работы

В первой главе мы вводим основное для нас понятие точки Бургейна конечною заряда р на R.

Чтобы сформулировать результаты первой главы, нам потребуются следующие определения.

Как уже говорилось ранее, функцию Ф G £Х(М) мы называем ядром, если JR Ф(£) dt = 1; буквами Р и F обозначаются ядра Пуассона и Фейера соответственно. т = 1 тг(1 + г2)' (sin7rA 2 ^

Для уф 0 и функции ф, заданной на R, положим ф(у){t) = -ф(^).

Для точки х G R и конечного борелевского заряда р, на М. определим следующие величины

Вц(х) = (\р * Р\ * Р) (х) + ^ * (Р(2-*-1) - Р(2-*))| * Г{2-Ь)) 0*0; keN

Mvar/7.)(ж) = (\р * Р\ * Р) (х) + 2 £ ^(р * Р(у)) р{у) ) (х) dy.

Если Вц{х) < оо, то точку х мы называем В-точкой (точкой Бургейна) заряда р (или функции /, если dp — / dx).

Результаты работ [15], [2] основывались на ином (на первый взгляд) понятии "хорошей" точки х (для данного заряда р). Мы назовем здесь эти точки #*-точками заряда р. Они характеризуются конечностью суммы где

Xd = h? * E^Kj-!, j G Z+ \ {0}; =

Ej(x) = e2nijx, хеш, j G Z+;

К — P * F, Pj(t) = 2jP(24), Kj(t) = 2jK(24), j G Z,, t G R; hkj = (Kj * Kj) * (Kj+l * Kj+i) *•■•*(#** A'fc); k, j G Z+, k> j; /if(ж) = lim h%(x),

J k-*+oo J при j < 0 полагаем X, = Х-j. Основной результат главы 1 есть Теорема. Для произвольного конечного борелевского заряда /л на R

Mvar/у,)(■'/;) ж В,,(х) х В*(х),х е R. теорема 1.3.1)

Мы пишем /(ж) х g(x), х G М, если для некоторой постоянной С > 1 верно ^f(x) < д{х) < С/(х), х е К.

Эти оценки позволяют во всех теоремах работ [15], [2] (в их формулировках и доказательствах) заменить труднообозримую сумму В*(х) на гораздо более простую сумму Вц(х) (или ее интегральный аналог (Mvarfi)(x)). Эта замена будет произведена в главе 2.

Теорема показывает, что множество 7^*-точек заряда jj, совпадает с его множеством Б-точек (в нашем смысле). Таким образом, заменяя В*-точки на Б-точки в теоремах об усиленной сходимости а.е., мы выигрываем в простоте и обозримости формулировок, ничего не теряя в общности результатов.

Глава 2 посвящена, в основном, новому доказательству основных результатов Бургейна об усиленной сходимости а.е. с использованием наших сумм Вц вместо В* . Чтобы сформулировать результаты главы 2, напомним

Определение. Для ядра Ф и конечного заряда (г на Ш полоэ/сим

Vvai-ф fi)(x) = varye(0ii) и'Цх, у), х е К, где

У) = (И * Ф(у)Хж), хеШ,у> 0.

В параграфе 2.1 главы 2 вводятся обозначения и обсуждается история вопроса. Параграф 2.2 посвящен доказательству следующей теоремы:

Теорема. Множество Ец точек Бургейна меры ц (т.е. неотрицательного заряда) непусто, и, более того, dim(/^t Р] I) = 1 для любого невырожденного промежутка I. (теорема 2.2.1)

Символ dim А обозначает хаусдорфову размерность множества А.

Схема доказательства теоремы 2.2.1 заимствована из работы [2]. Основные изменения связаны с заменой В* на Bfl.

Полезность сумм BfL (или интегралов Mvar /i) состоит в том, что они позволяют оценивать вертикальные Ф-вариации зарядов /1 сразу для целого класса ядер Ф, т.е. получать неравенства вида

Vvar$ц)(х) < С(Ф)Вц(х), х е К (1) где С(Ф) зависит лишь от ядра Ф, но не от /г. Однако, общность таких оценок не беспредельна: они справедливы для ядер Ф, подчиненных некоторым условиям (и могут нарушаться для некоторых Ф, — например, для ядра Стеклова Ф = ij). В параграфе 2.3 главы 2 доказаны две теоремы, описывающие некоторые классы ядер Ф, обладающих свойством (1):

Теорема. Пусть ядро Ф : М н-> R удовлетворяет следующим условиям: Ф £ C3(R) и т2|Ф'|2(т)йт < оо; J R (|гФ"|(г) + т2|Ф"'|(т)) dr < оо.

J к

Тогда для любого конечного заряда ц на Ш верно следующее неравенство

Vvar$ ц)(х) < СВц{х), х е К где С — С(Ф) > 0 зависит только от Ф. (теорема 2.3.1)

Теорема. Пусть ядро Ф : М ь-> R принадлежит классу (72(М) и удовлетворяет следующим условиям

I №(t)d,t,<ooм ((1 + |^|)|Ф^)| + (1 + /2)|Ф^)|) dt < оо. J к

Тогда для любого конечного заряда (л на Ш верно следующее неравенство Ууйгф //) (х) < С В,, (х), х в Ж, где С = С(Ф) > 0 зависит только от Ф. (теорема 2.3.2)

Условия гладкости, налагаемые в теоремах 2.3.1 и 2.3.2 на Ф (соответственно на Ф) можно ослабить, понимая производную Ф" (соответственно Ф"') в обобщенном смысле — ср. с леммой 6.1.2.

Достаточные условия "допустимости" ядра Ф (т.е. выполнение оценки (1)) в теоремах 2.3.1 и 2.3.2 носят различный характер: в теореме 2.3.2 условия убывания на бесконечности и условия гладкости налагаются непосредственно на ядро Ф, тогда как в теореме 2.3.1 достаточные условия формулируются в спектральных терминах (т.е. в терминах относящихся к Ф). Теорема 2.3.2 принадлежит Бургейну [2], и новый элемент состоит лишь в замене £?*-сумм на В-суммы (и в доказательстве, и в неравенстве (1)). Следует отметить, что ядро Ф(£) = (функция |Ф тоже является ядром) удовлетворяет условиям теоремы 2.3.1, но не теоремы 2.3.2, а |Ф, в свою очередь, удовлетворяет условиям теоремы 2.3.2, но не 2.3.1 (условия теорем предполагаются ослабленными в вышеуказанном смысле). Заметим, что переход к Ф (вместо Ф) в связи со свойством (1) в каком-то смысле естественен и удобен: в главе 4 будет описан класс "плохих" ядер Ф, для которых (1) (и даже конечность Vvai-ф р) может нарушаться всюду на R, причем эти "плохие" ядра удобно и просто характеризуются именно в спектральных терминах.

В главе 3 мы обращаемся к задачам идентификации 5-точек функции / в некоторых конкретных ситуациях (в терминах регулярности функции / вблизи х). Кроме того, будет рассмотрена связь 5-точек функции / с В-точками се преобразования Гильберта /; /i-точки характеристических функций множеств канторовского тина; явление вида усиленной сходимости для некоторой "нестандартной" а.е.; наконец, полная характеризация /i-точек в терминах теории всплесков. Этим результатам главы 3 мы предпосылаем в п. 3.2 техническую подготовку. Ее цель — найти сравнимые с суммами Bj суммы, в которых сверточные множители /j(2 -j) — Р(2-з-1) заменены на другие функции ф), более удобные для предстоящих оценок.

Подобные суммы используются в доказательствах главы 3 — в параграфе 3.3; в параграфе 3.4 при изучении В-точек множеств канторовского типа; параграфе 3.5.

Условие Вц{х) < оо носит локальный характер (если заряд р исчезает вблизи точки х, то оно выполнено). Естественно возникает вопрос об условиях регулярности функции / вблизи точки х, обеспечивющих конечность суммы Bj(x). Некоторый ответ на этот вопрос дает

Теорема. Пусть функция / € L°°(R) удовлетворяет одному из следующих условий a) / удовлетворяет условию Дини в точке х Е R . т.е. Г1 шг(х,8) dS где uf(x,6) = ess8ир,/я.|<в>|!Г„|<л|/(м) - /(01; b) / совпадает с функцией g класса Винера в окрест,ности Q(x-) точки х Е К, т.е.

J'Wx) = g б Ь\Ж)

Тогда

Bf(x) < оо. теорема 3.3.1)

Опираясь на описанную выше техническую подготовку, мы в п. 3.3 обращаемся к ^-точкам преобразования Гильберта / функции / Е Ь2(Ж) f) L°°(R) и устанавливаем следующий факт

Теорема. Пусть / Е L2(R)f)L°°(R), x E R.Тогда

Bj(x) < CBf(x), где

7, n 1 f /(*)dt

7Г Jm x - t есть преобразование Гильберта функции f, а С > 0 - абсолютная постоянная. (предложение 3.3.3)

Из этого факта следует уже упоминавшаяся теорема Бургейна о функциях класса Н°°(Ш) (т.е. о граничных значениях функций класса Н°°(С+), аналитических и ограниченных в С (). А именно, из теоремы 3.3.3 следует

Теорема. Множество Ej точек Бургейна функции f Е Н°°(R) tienycmo, и, более того, dim(/^/p) /) = 1 для любого невырожденного промежутка 1. (теорема 3.3.4)

Заметим, что для / Е //°°(R) и х Е Ef функция у ни► ^ jR ^^^ имеет конечную вариацию на промежутке (0,1].

Следующий результат главы 3 показывает, что феномен усиленной сходимости в В-точках ограниченных функций наблюдается и для некоторых "нестандартных" а.е. Для примера мы выбрали а.е. Валле-Пуссена

Vn(x) = cos2n(x/2)Xhrr,n](x), х G R, n G N роль параметра у переходит теперь к п — 1,2,.). Теорема. Для произвольного конечного заряда р верно оо

Y, * (У* - ^-ОК*) < 0(Вц(х) + X G R, j=i где С - абсолютная положительная постоянная. (теорема 3.3.5)

В параграфе 3.4 описываются точки Бургейна характеристической функции множества канторовского типа.

Пусть Q G (0,1), S — промежуток, a QS — концентрический промежуток длины Q151. Fq(S) = clS\QS. Оператор Fq применим к любому дизъюнктному объединению сегментов (компактных промежутков) S = \jf=1 Si : Fq(S) = V^i eq{Si). Пусть q = {(Ji}'jLu — такая последовательность чисел, что

-l-oo

0 < Qi < 1; qi <

J=0 это условие равносильно положительности длины множества Е). Положим Ео = [0,1], Ek+i = F4k(Ek), k G Z+. Множество E(= E(q)) — f|fcLi Ek ~ совершенно, \E\ > 0. Каждой точке Жо множества Е = E(q) можно поставить во взаимно-однозначное соответствие бесконечную последовательность к(з;а) = {к,}^,, состоящую из нулей и единиц, и определяемую следующим образом: х0 = где Ji(x0) — один из сегментов, составляющих множество Ef, при этом Jj(so) — один из двух сегментов (правый или левый), получающихся после применения оператора Fr]ii к сегменту (я-Ч))■ Если Ji(%о) — правый сегмент, то полагаем к,- = 1, если левый, то к,- = 0. Положим также

Определим числа как номера тех элементов последовательности к(х()), на которых происходит обрыв идущих подряд одинаковых чисел Kj (т.е. Kj = Kj+i , j = +1,., 1, и K„fc ф 1) k G N; если Kj = Kj+i для всех j > щ, то мы полагаем = пк+2 = ••■=. +оо).

Теорема. Точка хд G Е(д) есть В-точка множества E(q) (т.е. функции хе(q)) в точности тогда, когда оо

J22nk+isnk < +00. k=1

При этом Хо точка плотности множества Е тогда и только тогда, когда 2nk+1Srik —> О при к —> +оо. (теорема 3.4.1)

Отметим характерные случаи расположения точки xq в множестве Е.

1. Точка xq Е Е является правым (или левым) концом некоторого сегмента Jj — это означает, что последовательность {к*}, начиная с номера j, состоит только из единиц; (или, соответственно, нулей). Тогда, очевидно, оо к= 1 и точка то не будет являться точкой Бургейна функции хв (она не будет являться и точкой плотности множества Е).

2. Последовательность {к,;}, определяющая точку Хо, имеет следующий вид — = 1 — Ki, г е N. Это означает, что точка х0 "глубоко погружена" в множество Е, при этом Пк+1 = Пк + 1, к € N, и мы имеем оо оо оо

Y,ink+i5nk = J22nk+l5nk < < k=l к=1

Таким образом, можно утверждать, что точки Бургейна множества Е находятся "глубоко внутри" Е, в частности глубже точек плотности.

Параграф 3.5 посвящен описанию точек Бургейна на языке теории всплесков; мы придерживаемся терминологии, принятой в [4], [11].

Теорема. Пусть задана функция / G Ь2(Ш) и точка iGl, пусть также ф — некоторая вещественная всплеск-функция, удовлетворяющая следующим условиям

Ф е L2'

Ф е С L

Т ф(и) du и С > 0, |т| G

1 3

4' 4 (|^|(т) + \т\\ф'\(т) + |r|2|Vi"|(r)) dr < ОО. Jr

Тогда х является точкой Бургейна функции f в том и только т.ом случае, когда

Г [ \(Tf)(a,b)\P{]a]](b-x)db~ J -1 ./>; а 2 оо. где dt, а^0,ьеш. есть всплеск-преобразование функции /. (теорема 3.5.6)

Теорема. Пусть ф — функция, порождающая ортонормированный базис всплесков и удовлетворяющая следующим условиям ф G L2(lR), ф G С3(Ш), ф\ ф" G L2(R);

1 3" ф'(0) = 0; М(т)>С>0, |r| G / (\т2Ф(Т)\ + \Т*Ф'(Т)\ + \Т2Ф"(Т)\)

J м

4'4 dr < оо.

Тогда для любой функции / G Ь2(Ш) точка х € К. является точкой Бургейна функции / в том и только том случае, когда

ХХг^К/.тЫ I • Aj,fc(x) < оо, j€N fcez где = Pj(а; — /с • 2™'J'), j,k G Ъ,х G R, a (/, V^Jb) ~~ коэффициенты всплеск-разложения функции /. (теорема 3.5.2)

Эти теоремы вполне согласуются с известными результатами о поведении вснлеск-нреобразования (коэффициентов всплеск-разложения) в точке регулярности функции /, см. |4], [17]; в частности отсюда легко выводится (еще раз) пункт 1 теоремы 3.3.1.

В четвертой главе по заданному ядру Ф строится непрерывная функция, вертикальная Ф-вариация которой бесконечна п.в. на 1R. Тем самым доказывается обобщение теоремы Рудина (см. [22]).

В параграфе 4.1 вводятся обозначения, используемые в главе 4 и дается краткая характеристика полученных результатов. Множество всех непрерывных 1-периодических функций /, заданных на R мы обозначаем символом Ci(K); буквой U мы будем обозначать класс всех вещественных функций из С\ (М), ряд Фурье которых сходится равномерно на R.

Параграфы 4.2-4.4 посвящены доказательству следующей теоремы:

Теорема. Пусть Ф - непрерывно дифференцируемое ядро. Предположим также, что Ф удовлетворяет следующему условию |тФ'(т)| log \r\dr < оо.

J R\[-2,2]

Тогда найдется такая функция f Е U, что

Vvar$ /)(х-) = оо для почти всех ж £ К. (теорема 4.1.1).

В параграфе 4.5 главы 4 выводятся условия, налагаемые на ядро Ф, необходимые для существования такой функции /, что (Vvar$ f)(x) < оо хотя бы для одной точки х е М.

Теорема. Пусть ядро Ф таково, что var® Ф = +оо.

Тогда существует функция f из С\(М) р| i/°°(]R) (а также вещественная функция f из С (Ж)) , такая что

Ууагф f)(t) = оо для всех t € М. теорема 4.5.1).

Пятая глава посвящена распространению результатов главы 2 на М", п > 1, тем самым получено обобщение результатов [21]. Следующие теоремы являются многомерными аналогами теорем 2.2.1 и 2.3.1 главы 2. Пусть функция ф, заданная на Е такова, что радиальная функция Ф : х i-> ф(\х\),х е 1" - ядро в R" (т.е. /Rn Ф = 1). Напомним, что Фурье-образ Ф радиальной функции Ф — снова радиальная функция; мы не будем отличать ее от функции г > О,., 0) := ф(г), г Е [0, +оо).

Теорема. Пусть преобразование Фурье ф функции ф таково, что функция г ь-> <^(|г|) лежит в классе C2[?]+3(1R), и функции г ь-> rkftk+1)(r), 0 < к < 2Щ] + 2, гпф'(г) и г"10(г) суммируемы в Ш+. Если х — В-точка заряда то

Vvar$/х)(х) < С{Ф)В„(х), С{Ф) > 0. теорема 5.1.1).

Теорема. Метрическая размерность множества E)L В-точек заряда ц в любом невырожденном шаре равна п. (теорема 5.1.2).

В шестой главе содержатся вспомогательные утверждения технического характера, используемые в предыдущих главах.

1. Бургейн Ж. Ограниченность вариации свёрток мер. Матем. заметки, 1993, т. 54, 4, с. 25-34.

2. Виноградов С.А. Свободная интерполяция в пространствах аналитических функций. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ .- чат. наук. Ленинград, 1982.

3. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Москва-Ижевск: РХД, 2004.

4. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Москва: Мир, 1965.

5. Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств. Москва: Мир, 1971.

6. Мергелян С.Н. Об одном интеграле, связанном с аналитическими функциями. Изв. АН СССР, серия матем., 1951, 4, с. 395-400.

7. Мозоляко П.А. Замечания к определению точек Бургейна. Зап. науч. семин. ПОМИ, 2008, т. 355, с. 219-236.

8. Мозоляко П.А. Усиленная сходимость аппроксимативных единиц и точки Бургейна ограниченных функций. Доклады РАН, 2008. т. 422, 6, с. 738-740.

9. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. Москва: Наука, 1974.

10. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. Москва: Физматлит, 2005.

11. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. Москва: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1950.

12. Рудин У. Функциональный анализ. СПб: Лань, 2005.

13. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. Москва: Мир, 1974.

14. Bourgain J. On the radial variation of bounded analytic functions on the disc. Duke Math. J., 1993, v. 69, 3, pp. 671-682.

15. Girela D., del Mar Rodriguez M. Sharp estimates of the radial growth of the derivative of bounded analytical functions. Complex Var. Theory and Appl., 1996, v. 28, 3, pp. 271-283.

16. Holschneidcr M., Tchamitchian Ph. Pointwise analysis of Riemann's "nondifferentiable" function. Tnventiones Mathematicae, 1991, v. 105, 1, pp. 159-175.

17. Jones P. A complete bounded submanifold of C3. Proc. Amer. Math. Soc., 1979, v. 76, pp. 305-306.

18. Jones P.W., Muller P.F.X. Radial variation of Bloch functions. Math. Res. Lett., 1997, 4, pp. 395-400.

19. Kahane, J.P., Salem R. Ensembles parfaits et series trigonomctriques. Paris: Hermann, 1963.

20. O'Neill M.D. Vertical variation of harmonic functions in upper half spaces. Colloq. Math., 2001, v. 87, pp. 1-12.

21. Rudin W. The radial variation of analytic functions. Duke Math. J., 1955, v. 22, pp. 235242.