Усиленный закон больших чисел и закон повторного логарифма для последовательностей независимых случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ОДНОСТОРОННИЕ ЗАКОНЫ ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НЕЗАВИСИМЫХ ОДИНАКОВО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

§ I. Некоторые предварительные результаты

§ 2. Условия, обеспечивающие конечность верхнего предела нормированной суммы независимых одинаково распределенных случайных величин

§ 3. Односторонние законы повторного логарифма для последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин, хвост общего распределения которых меняется медленно . Ji

Глава 2. УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИША ДЛЯ ПОЛЕЙ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

§ I. Необходимые и достаточные условия применимости усиленного закона больших чисел к полям независимых случайных величин.

§ 2. Применение результатов параграфа 2.1 к полям независимых одинаково распределенных случайных величин.

§ 3. Необходимые и достаточные условия применимости закона повторного логарифма к полям независимых случайных величин

Глава 3. ЗАКОНЫ ПОВТОРНОГО ЛОГАРИША ТИПА ЧОВЕРА.

§ I. Законы повторного логарифма типа Човера для последовательностей независимых одинаково распределенных величин.

§ 2. Законы повторного логарифма типа Човера для полей независимых одинаково распределенных случайных величин.

Введение содержит обзор результатов, касающихся усиленного закона больших чисел (УЗБЧ) и закона повторного логарифма (ЗПЛ) для последовательностей независимых случайных величин. Краткий обзор результатов об УЗБЧ и ЗПЛ для полей независимых случайных величин содержится в начале параграфов 2.1 и 2.3.

Всюду в этой главе 13СД1 - последовательность независимых слуп чайных величин, & = LL X; > 50 = 0, 1ап} - последовательность положительных чисел. <

В теории суммирования случайных величин изучается поведение величин и их распределений при п —> оо . Особенный интерес вызывают центральная предельная теорема (ЦПТ), УЗБЧ и ЗПЛ. Настоящая работа посвящена УЗБЧ и ЗПЛ.

Будем говорить, что последовательность [X ] удовлетворяет УЗБЧ с нормирующей последовательностью постоянных {ап] , если существует последовательность постоянных {Ьп) такая, что

U a~n1($n-J>n) =0 п. и. (0.1)

Если соотношение (0.1) выполняется, то Ьп = med $п + о (ап) . Поэтому можно ограничиться рассмотрением соотношения

JUm а~пЧ5п-ned $п) = 0 п.н. (0.2) kqe основатели современной теории вероятностей нашли условия применимости УЗБЧ к последовательностям независимых случайных величин. Э.Борель [53] получил следующий результат: если {XJ - последовательность независимых одинаково распределенных случайных х) Список сокращений, обозначений и соглашений см. на последней странице. величин, Р(Х = 0) = Р(Х=1)= j , то имеет место соотношение

М = 0 п.н. (0.3)

Ф.Кантелли [55] доказал УЗБЧ для последовательностей независимых, не обязательно одинаково распределенных случайных величин. Название "УЗБЧ" было введено А.Я.Хинчиным [48] .

Самыми известными результатами в области УЗБЧ являются так на

00 » зываемые УЗБЧ Колмогорова [99] : если ZI л~ * оо , то имеет

П=1 место соотношение (0.3). Если же £Xnj - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, то соотношение (0.3) вытекает из условия EIXH <*> .

Другие важные результаты, касающиеся УЗБЧ, были доказаны в работах Н.А.Володина и др. [I], Дермана, Роббинса [62] , В.А.Егорова [5], [8], Кавата [90], Леви [103], Лоэва [22], Маллера [105] , А.И. Мартикайнена [25] , А.И.Мартикайнена, В.В.Петрова [23], [26] , Марцин-кевича [109], С.В.Нагаева [31], С.В.Нагаева и др. [32], В.В.Петрова [Зб], [39], Ю.В.Прохорова [42], [43], [44], Пруитта [119], [120] , Серф-линга [125] , Тайшера [133], Феллера [69], Хейди [87] , %уна [58], [59], Эббота и Чоу [49], Эриксона [64] .

Особенный интерес вызывают условия, являющиеся необходимыми и достаточными для применимости УЗБЧ к последовательностям независимых случайных величин. Такие критерии были найдены Ю.В.Прохоровым [42] для соотношения (0.3) и Лоэвом [22] для более общих последовательностей нормирующих постоянных. А.И.Мартикайнен и В.В.Петров [23] нашли критерий применимости УЗБЧ к последовательностям независимых случайных величин без каких-либо моментных ограничений и при условии an too .

Теорема А . ( [23], теорема 7). Пусть {ап1 удовлетворяет условию ап t оо . Обозначим через aj наибольшее решение неравенства aj * &п . Для того, чтобы выполнялось соотношение (0.2), необходимо и достаточно, чтобы ряд

1=1 «П ^л-1 ^ V/ сходился для любого £ >0 .

Следующим шагом при изучении УЗБЧ является поиск условий применимости УЗБЧ, выраженных через отдельные слагаемые, т.е. без операции свертки. Ю.В.Прохоров [44] доказал, что цри выполнении условия

I Xn\=0((Jf2nf1n) п. и. (0.4) можно охарактеризовать УЗБЧ (0.3) с помощью величин, выраженных через дисперсии величин Хп . Он доказал также, что при нарушении условия (0.4) нельзя выразить критерий для (0.3) через первые четыре момента величин Хп . С.В.Нагаев [31] построил для любого |*>0 две последовательности {Х„}, I Ynj независимых случайных величин, одна из которых удовлетворяет, а другая не удовлетворяет

I а

УЗБЧ (0.3), и ЕХп =EYn для положительных целых i^r . Отсюда вытекает, что в общем случае невозможно найти критерий для УЗБЧ, выраженный через моменты случайных величин Хп любого конечного порядка. С.В.Нагаев [31] получил критерий для УЗБЧ, выраженный через экспоненциальные моменты величин Хп. Подобные результаты были получены А.И.Мартикайненым [25] .

Хорошо изучен УЗБЧ для последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин. Приведем известный результат В.Феллера [69] в обобщенном А.И.Мартикайненым и В.В.Петровым [26] виде.

ТЕОРЕМА 3 . ([26], теорема I). Пусть {Хп} - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, {ап)- последовательность чисел, удовлетворяющих условиям a^toо и f'2n) . (0.5)

И а:г = 0(а"гп) .

Кгп К

Тогда для выполнения соотношения а'1 $п = 0 п. н. необходимо и достаточно выполнение условий f:?(|XI>an) < оо, (0.6) и=1

М а'П1п £XI(IXUan) = 0. (0.7)

Подобный теореме £ результат был получен Хейди [87] при условиях Vfitoo (см. теорему С ). Из теоремы 3 , в частности, вытекают УЗБЧ Колмогорова (при ane п ) и так называе

С Л мые УЗБЧ Марцинкевича-Зигмунда (при аП=п , оС > j ).

Параграфы 2.1 и 2.2 настоящей работы посвящены изучению УЗБЧ для полей независимых случайных величин. В параграфе 2.1 найдены аналоги теоремы А . Будет также доказано, что полный аналог теоремы А не может иметь места для полей. В параграфе 2.2 рассматриваются применения результатов параграфа 2.1 к полям независимых одинаково распределенных случайных величин. Получены аналог теоремы 3 , УЗБЧ для взвешенных сумм, УЗБЧ в секторах и другие результаты. Сравнение найденных результатов с известной литературой будет проведено в соответствующем месте.

УЗБЧ представляют собой относительно грубое описание роста Вп при п->оо . Более полным исследованием поведения 5п является описание множества С всех предельных с вероятностью 1 точек последовательности { a„1(Sn~<bn)J для данных последовательностей (aj, 1«Ь„] чисел. Кестен [91[ доказал, что С - замкнутое и неслучайное множество. При такой постановке задачи можно понимать УЗБЧ как тот частный случай, когда С одноточечно.

В большинстве ниже цитированных работ предполагается условие . В качестве центрирующих постоянных lbn] рассматриваются часто величины Е$п , med Sn или 0 . В отличие от УЗБЧ не существует универсальной последовательности центрирующих"постоянных. За исключением работ Акоста, Куэльбса [51] , Кестена [91] , [92] , Куэльб-са [ЮО], Минхера [112], Шернгольц [74] , Эриксона [65] , [бб] , Эрик-сона, Кестена N большинство авторов изучает только верхний и нижний пределы множества С , т.е. рассматривает Ят ап1 (Sn~ Ьп) и Мгп ап1 (£п - J>„) .

Первые результаты в этой области предельных теорем были тоже получены для последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения 0 и 1 с вероятностью j . А.Я.Хинчин [93] доказал для такой последовательности {Xh] соотношения гъп -ttn) = 1 П.Н. , (0.8)

Mm. U ; -£5„) --1 M.H. J (0.9)

Лт. (Z ita W* 1 sh " E5„l - 1 П.Ч., (0.10) причем = . Соотношения (0.8) - (0.10) называются ЗПЛ. Хартман и Винтнер [82] доказали соотношения (0.8)-(0.10) для общей последовательности независимых одинаково распределенных слу

2i 2» чайных величин при условии I = ЕХ <<* . Штрассен [132] доказал обращение этого ЗПЛ, т.е. он доказал, что соотношение л ( n Jbjf2 п) 2 I 5n I = 0О П. и. влечет условие 32-оо .Он определил множество всех предельных с вероятностью I точек последовательности {(2 Ъгп 2 ($п-Е$п)} как интервал [-1j + l] , если Ъ <оо (см. [130] , [I3l] ). Другие доказательства ЗПЛ Хартмана-Винтнера найдены Хейди [84], [85], [8б1, Келлером [70] и де Акоста [50]. А.И.Мартикайнен [27], Розальский [122] и Пруитт [ll9] показали, что уже соотношение

Jhi (n^znfhn = 1 извлечет условие I2 < оо .

Другой классический результат принадлежит А.Н.Колмогорову [98] . Он доказал, что условия и

Й.Н. (0.11) вледут соотношения (0.8)-(0.10). Этот результат неулучшаем в том смысле, что при замене о(.) на 0(.) в условии (О,II) соотношение (0.10) перестает быть выполненным. Примеры, доказывающие этот факт, были найдены Марцинкевичем и Зигмундом [НО] , Уэйсс [140] и В.А. Егоровым [7].

Хорошо известно, что для последовательностей 13СП} независимых одинаково распределенных случайных величин условие 1г< оо равносильно ЗПЛ (0.10) и ЦПТ

Ak?(3^(Sa-ESn)<x) (0.12)

В том случае, когда iXnj - последовательность не обязательно одинаково распределенных случайных величин, В.В.Петров [35] , [117], В.А. Егоров [3], [4], [б] и другие авторы исследовали взаимосвязь между ЦПТ и ЗПЛ. В.В.Петров указал на то, что существуют последовательности независимых случайных величин, удовлетворяющие условию (0.12), но не удовлетворяющие условию (0.10). На другие связи между ЦПТ и ЗПЛ будет указано ниже.

Другие важные результаты, касающиеся ЗПЛ, получили Беркеш [52] , В.А.Егоров [4], [b] , [б] , [в] , В.В.Петров [33] , [34] , [37] , [40] , Тайшер [134], Томкинс [137] , [138] , Феллер [68] , [71] , Г72] ,

N .

Предполагаем в дальнейшем, что - последовательность чисел, удовлетворяющая условию antoo , и рассматриваем более общую постановку задачи: при каких условиях имеют место соотношения

0.13) (0.14)

0.15) (0.16) при некотором выборе центрирующих последовательностей 1 Ьп} ? Хотя в этих соотношениях функция io^x* не играет существенной роли, будем их называть обобщенными ЗПЛ или просто ЗПЛ. В частности, называем соотношения (0.13) и (0.15) односторонними ЗПЛ и соотношения (0.14) и (0.16) двусторонними ЗПЛ.

Исследование условий, при которых М™ a~1 5П = 1 п.н. для более общих классов последовательностей [an] , было начато Шеллером [68]. Соотношениям типа (ОЛЗ)-(ОЛб) также посвящены работы Бреймана [54], Виллизмсона [142] , Дермана, Роббинса [62] , В.М.Золотарева [10] , Н.Калинаускайте [12] , Кестена [92], Класса [94] , [95] , [96] . Класса, Тайшера [97] , В.М.Круглова [21] , Куэльбса, Зинна [102] , Липшиц [104], Маллера [Юб] , [107], [108], А.И.Мартикайнена [24], [28] , [29] , А.И.Мартикайнена, В.В.Петрова [23], Миллера [ИЗ] , Минхера [ill] , В.В.Петрова [4l] , Пруитта

М а'п (£п-1>п) = с п.н. , a"1 I £П-Ьп1 = с п.н. для некоторого с £ Г- , + со ] или a~1 (S'n ~bn) <<х> п.н. ,

Ям a"1 l,S'n"bJ< w п.н. [lI9], [l20] , Б.А.Рогозина [45], Розальского [123] , Тайшера fl34] , [135] , [136] , Томкинса [l39] , Феллера [70], [7l] , [72] , Фернгольц, Тайшера [75] , Фристедта, Пруитта [76], Хейди [87] , Чоу, Роббин-са [57] , Эрикеона [б4].

Большинство цитированных работ посвящено изучению соотношений (0.13)-(0.16) для последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин. Среди тех работ, которые исследуют общие последовательности независимых случайных величин, вызывает особый интерес статья А.И.Мартикайнена и В.В.Петрова [23], содержащая критерий для соотношений типа (0.13) и (0.15) при общих условиях относительно распределений .В параграфе 2.3 получены подобные результаты для полей независимых случайных величин. Следствиями этих результатов являются ЗПЛ для полей независимых одинаково распределенных случайных величин, а также ЗПЛ в секторе.

Приведем некоторые характерные результаты, касающиеся обобщенных ЗПЛ, для последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин.

Возникает вопрос, при каких ограничениях на распределение X и последовательность соотношения (0.13)-(0.16) вообще возможны. Б.А.Рогозин [45] доказал, что не существует последовательностей ctntoo, удовлетворяющих условиям (0.5) и (0.14) при С = 4, Ьл = vied 6п , но, как отметил А.И.Мартикайнен [29], вполне возможно соотношение (0.13) при с =Н, bn = med£n Результат Б.А.Рогозина очень близок к теореме 3 . Хейди [87] доказал аналогичный результат при условиях anfoo который содержится в следующей более общей теореме, принадлежащей Кестену [92].

ТЕОРЕМА С, . ( [92], теорема 6; [119] , теорема 5.1). Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Существует последовательность antco такая, что соотношение (0.14) имеет место при с = 1 , bn = md£n тогда и только тогда, когда ЗСе

Если X £DPA (£} , то для любой последовательности antc» либо оо

ZZ ?(IXI>an)<0° , Лмч a"1 (gn-ned$n)=0 ft. и., (0.17) либо оо

П ?(1X1 >ам) = w Хт anH| $n-neiL\=oo п.н. (0.18)

П И п п

Пруитт [И9] и А.И.Мартикайнен [28] отметили, что аналогичный результат справедлив для соотношения (0.14) при с=/1 , bn=0 .

ТЕОРЕМА D . ( [119], теорема 5.2). Пусть 1ХП} - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Существует последовательность a^tco такая, что соотношение (0.14) имеет место при c = i , \ = 0 тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из условий X б ])РА (£) или

U (lEXKIXU^ir^niYI»^) =0. (0.19)

Если Х^ЭРА (I) и условие (0.19) не выполняется, то для любой последовательности ctntoo либо 00

И ?( 1X1 >an) < 00 , Мак а„ £„ = 0 п. И. , (0.20) либо

00

Щ ?(IXl>ci ) = оо , Лш а"115nI = оо п.н. (0.21) пи

Из этих результатов следует, что в общем случае не существуют последовательности antw и положительного числа с таких, что условие (O.I4) выполняется при классической центрировке Ьп=0; Е $п или rned ^ . Поэтому изучение условий, при которых имеют место односторонние ЗПЛ, является актуальной проблематикой. Пруиттом [П9] был получен критерий для существования последовательности antw такой, что соотношение (0.13) выполняется при С=И, Ьп = тес1^п . Соответствующая проблема при Ьп=0 пока не решена. Один пример Пруитта [119] указывает на сложность этого вопроса. Он построил последовательность независимых одинаково распределенных отрицательных случайных величин, хвост распределения которых меняется медленно, и для любой последовательности ldn) положительных чисел имеет место либо соотношение Лн dn1$n= = 0 п.н, , либо соотношение Jm --оо п. и.

Изучению односторонних ЗПЛ для последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин посвящена глава I настоящей работы. В параграфе 1.2 рассматриваются условия, обеспечивающие существование последовательности anf«> такой, что имеет место соотношение (0.13) при С€ {-13 09 1}, Ьп=0 , Параграф 1.3 полностью посвящен изучению односторонних ЗПЛ для распределений X , хвост которых меняется медленно. Этот вопрос представляет интерес в связи с указанным выше примером Пруитта.

Большинство цитированных выше авторов изучает соотношения (0ДЗ)-(0.1б) для конкретных последовательностей {ап},!Ьп1 и распределений случайной величины X . Часто предполагаются усло-вияХ^Х>РА(^) или даже X eDA М для некоторого <с е (03£) (см. работы [10] , [12] , [54] , [87] , [104] , [in] , [ИЗ] ).

Если первый момент случайной величины X не существует, то часто предполагается, что X является либо неотрицательной, либо

- 13 .неположительной. Фристедт и Пруитт [7б] получили общие односторонние ЗПЛ цри условиях Е1Х| = с*> и неположительности X .

ТЕОРЕМ Е . ( [76] , теорема 4, см. также [lI9] , теорема 8.5) Пусть £ХП1 - последовательность независимых одинаково распределенных неположительных случайных величин. Полагаем е-Э-ы= С eU!td?(X<x) ,«>0 .

Если ЕХ^-оо, Е 1X1с * 00 для некоторого е>0 , то имеет место соотношение

Jibi п. и. для некоторого положительного с = с С у-) , любого ^ > 1 . Здесь - обратная к функция.

Условие неположительности случайной величины X может быть ослаблено с помощью так называемого теста Эриксона [64] . Приведем этот результат в обобщенном Пруиттом [119] виде.

ТЕОРЕМА F . ( [119], Лемма 8.1). Пусть 1ХП} последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Полагаем (*) = *-' S* niXl>g)dy ,*>0.

Если EIXI=w5 5м (^ЫГ" el?(X< у) < оо , то

Гх; = oifiХ-) п.и, in 1 ;=<!

В том случае, когда EIXU 00 , Класс [94], [95] , [96] получил общие односторонние ЗПЛ. Приведем его главный результат.

ТЕОРЕМА G ( [94] - [96] ). Пусть [Хп] - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин , ЕIX \< 00 ,

Для vpO определим ) как единственное решение равенства Я у)1 г Щ 3

Полагаем ап = Ьу^ fi и) . Если ЕХ = 0 и

OQ . /

ZZ?[X>a„) <ео , то Л* а* 1,$ гш

П = 1

Из теоремы D вытекает, что для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин с общим устойчивым симметричным распределением и характеристическим показателем с£< L не существует последовательности antt>o такой, что J(m a|J1,5>n = 1 п. И. .В этом случае Човер [56] описал поведение |£'п | при п->оо неклассическим образом,

ТЕОРЕМА. И . Пусть (Хп1 - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с общим устойчивым симметричным распределением и характеристическим показателем оС^ "L . Тогда имеет место соотношение ± , 1 ±

А*. I * I п = п-и•

Исходя из этого результата, в главе 3 приведены утверждения, подобные теореме Н , для более общих классов распределений и нормирующих последовательностей. В начале параграфа 3.1 будет приведен краткий обзор результатов, касающихся 31Ш "типа Човера".

Обзоры результатов об УЗБЧ и ЗПЛ содержатся в книгах Ревеса [121],

В.В.Петрова [38], Стаута [128] и в статьях Кестена [92] и Пруитта [119].

Из предыдущего обзора вытекает, что УЗБЧ и ЗПЛ исследовались на протяжении последних пятидесяти лет очень интенсивно. В настоящее время рассматриваются, прежде всего, одно- и двусторонние • ЗПЛ, функциональные ЗПЛ, УЗБЧ и ЗПЛ для случайных полей и для банаховозначных случайных элементов.

Диссертация содержит обобщенные ЗПЛ для последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величин и УЗБЧ, ЗПЛ для полей независимых случайных величин. Методы доказательств являются известными при изучении УЗБЧ и ЗПЛ. Пользуемся, прежде всего, оценками для вероятностей больших уклонений и в ЦПТ, максимальными неравенствами, свойствами регулярно меняющихся функций и методом усечения случайных величин.

Результаты диссертации опубликованы в [145] , [146].

1. Володин Н.А. Законы больших чисел для банаховозначных случайных величин. - 3 междунар.Вильнюс.конф.по теор.вероятн. мат.стат., 1981, Тез-.докл., с. 103-104.

2. Володин Н.А., Нагаев С.В. Замечание к усиленному закону больших чисел. Теор.вероятн. и ее примен., 1977, т.22, й, с.829-831.

3. Егоров В.А. О законе повторного логарифма. Теор.вероятн. и ее примен., 1969, т.14, М, с.722-729.

4. Егоров В.А. Некоторые достаточные условия для закона повторного логарифма. Теор.вероятн.мат.стат., 1970, т.З,с.62-68.

5. Егоров В.А. Об усиленном законе больших чисел и законе повторного логарифма для последовательностей независимых случайных величин. Теор.вероятн. и ее примен., 1970, т.15, КЗ, с.520-528.

6. Егоров В.А. Обобщение теоремы Хартмана-Винтнера о законе повторного логарифма. Вестник ЛГУ, 1971, }£7, с.22-28.

7. Егоров В.А. К теореме Кломогорова о законе повторного логарифма. Вестник ЛГУ, 1972.

8. Егоров В.А. Несколько теорем об усиленном законе больших чисел и законе повторного логарифма. Теор.вероятн. и ее примен., 1972, т.17, !Я, с.84-98.

9. Зинченко Н.М. Выборочные свойства случайных полей с независимыми приращениями.-Теор.вероятн.мат.стат., 1981, т.24,с.35-39.

10. Золотарев В.М. Аналог закона повторного логарифма для полунепрерывных устойчивых процессов. теор.вероятн. и ее примен., 1964, т.9, № 3, с. 566 567.

11. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М., Наука, 1965.

12. Калинаускайте Н. О скорости роста нормирующего множителяи верхних и нижних функциях для сумм независимых случайных величин. Лит.мат.сб., 1970, т.10, }Ь I, с. 61 - 68.

13. Клесов О.И. Об усиленном законе больших чисел. ДАН УССР, Сер. А, 1979, $ 12, с. 990 - 991.

14. Клесов О.И. Об усиленном законе больших чисел.для случай-, ных полей с независимыми приращениями. Теор.вероятн.мат.стат., 1979, т.21, с. 65 68.

15. Клесов О.И. Неравенство Хаека-Реньи для случайных.полей и усиленный закон больших чисел. Теор.вероятн.мат.стат.,1980, т.22, с. 58 66.

16. Клесов О.И. Усиленный закон больших чисел для кратных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. -3 междунар. Вильнюс, конф. по теор. вероятн. мат. стат., 1981, Тез.докл., т.1, с. 233 234.

17. Клесов О.И. О законе повторного логарифмадля устойчивых слагаемых. Теор.вероятн.мат.стат., 1981, т.24, с. 60 - 63.

18. Клесов О.И. Усиленный закон больших чисел для случайных полей с ортогональными значениями. ДАН УССР, Сер. А, 1982, № 7, с. 9 - 12.

19. Клесов О.И. Закон повторного логарифма для кратных сумм. -Теор.вероятн.мат.стат., 1982, т.27, с. 60 66.

20. Клесов О.И. Об определяющих усиленный закон больших чисел множествах. Теор.случ.проц., 1983, $ II, с. 48 - 51.

21. Круглов В.М. Поведение сумм независимых случайных величин.- Теор.вероятн. и ее примен., 1974, т.19, № 2, с. 387 392.

22. Лоев М. Теория вероятностей. М., Изд-во иностр.литер.Д962.

23. Мартикайнен А.И., Петров В.В. О необходимых и достаточных условиях для закона повторного логарифма. Теор.вероятн. и ее примен., 1977, т.22, )Ь I, с. 18 - 26; № 2, с. 442.

24. Мартикайнен А.И., Петров В.В. Об одной теореме Феллера. -Теор.вероятн. и ее примен., 1980, т.25, № 1,с*194 197.

25. Мартикайнен А.И. Обращение закона повторного логарифма для случайных блужданий, Теор.вероятн. и ее примен., 1980, т.25, № 2, с. 364 - 366.

26. Мартикайнен А.И. Критерий сильной относительной устойчивости случайных блужданий на прямой. Мат.зам., 1980, т.28, I 4, с. 619 - 622.

27. Мартикайнен А.И. Односторонние варианты предельных теорем. -Теор.вероятн. и ее примен., 1983, т.28, }Ь I, с. 45 61.

28. Нагаев С.В. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений. -Теор.вероятн. и ее примен., 1965, т.10, № 2,с. 231- 254.

29. Нагаев С.В. О необходимых и достаточных условиях для усиленного закона больших чисел. Теор.вероятн. и ее примен., 1972, т.17, }Ь 4, с. 609 - 618.

30. Нагаев С.В., Володин Н.А. Об усиленном законе больших чисел.- Теор.вероятн. и ее примен., 1975, т.20, ).? 3, с. 637 641.

31. Петров В.В. О законе повторного логарифма. УМН, I960, т.15,f. 2, с. 189 194.

32. Петров В.В. К закону повторного логарифма. Вестник ЛГУ, 1966, № 7, с. 63 - 67.

33. Петров В.В. О связи между оценкой остаточного члена в центральной предельной теореме и законом повторного логарифма. Теор.вероятн. и ее примен., 1966, т.П, № 3, с. 514 -518.

34. Петров В.В. Об усиленном законе больших чисел. Теор. ве-роятн. и ее примен., 1969, т.14, }Ь 2, с. 193 - 202.

35. Петров В.В. Одна теорема о законе повторного логарифма. -Теор.вероятн. и ее примен., 1971, т.16, № 4, с. 715 -718.

36. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М., Наука, 1972.

37. Петров В.В. О росте сумм независимых случайных величин. -ДАН СССР, 1972, т.205, № 6, с. 1296 1299.

38. Петров В.В. Некоторые теоремы типа закона повторного логарифма. Зап.науч.сем. ЛОМИ, 1974, т.41, с. 129 - 132.

39. Петров В,В. Оверхнем пределе последовательности.случайных . величин. Вестник ЛГУ, 1981, )Ь I, с. 115 - 116.

40. Прохоров Ю.В. Об усиленном законе больших чисел. Изв. АН СССР, сер. мат., 1950, т.14, № 6, с. 523 - 536.

41. Прохоров Ю.В. Усиленная устойчивость сумм и неограниченно делимые распределения. Теор.вероятн. и ее примен., 1958, т.З, }Ь 2, с. 153 - 165.

42. Прохоров Ю.В. Несколько замечаний к усиленному закону больших чисел. Теор.вероятн. и ее примен., 1959, т.4, К 2,с. 215 220.

43. Рогозин Б.А. К вопросу о существовании точных верхних последовательностей. Теор.вероятн. и ее примен., 1968, т.13, № 4, с. 701 706.

44. Сковорода Б.§. Скорость сходимости в законах больших чисел. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, Ленинград, ЛГУ, 1983.47. ®еллер В. Введение в теорию вероятностей и ее применения. М., Мир, 1967,

45. Хинчин А.Я. Основные законы теории вероятностей. М., 1927.

46. Berkes I. A remark to the law of the iterated logarithm. -Stud.Sci.Math.Hung., 1972, v. 7, No. 1 2, p. 189 - 19755» Cantelli P.P. Sulla probabilita come limite della frequen-ze. Rend,Accad.Lineei, 1917, v. 26, p. 39 - 45.

47. Chover J. A law of the iterated logarithm for stable sum-mands. Proc.Amer.Math.Soc,, 1967, v. 17, No. 2,p.441-443.

48. Chung K.L., Fuchs W.H.J. On the distribution of values of suma of random variables. Memoires of the Amer.Math.Soc., 1951, Ho. 6.

49. Darling D. The influence of the maximum term in the addition of independent random variables. Trans.Amer.Math. Soc., 1952, v. 73, No. 1, p. 95 - 107.

50. Derman C., Robbins H. The strong law of large numbers when the 1st moment does not exist. Proc.Nat.Acad.Sci., U.S.A., 1955, v. 41, No. 8, p. 586 - 587.

51. Doeblin D. Sur les sommes d'un grand nombre de variables al^atoires independandes. Bull.Sci.Math., 1939, v. 63, No. 1 - 2, p. 23 - 32.

52. Erickson K.B. The strong law of large numbers when the mean is undefined. Trans.Amer.Math.Soc., 1973, v. 185, No.458, p. 371 - 381.

53. Erickson K.B. Recurrence sets of normed random walk in R . Ann.Prob., 1976, v. 4, p. 802 - 828.

54. Erickson K.B. Gaps in the range of nearly increasing processes with stationary independent increaments. Z.Wahrsch. verw.Geb., 1983, B. 62, H. 4, S. 449 - 463.

55. Erickson K.B., Kesten H. On strong and weak limit pointsof a normalized random walk. Ann.Prob., 1974, v. 2, No. 4S p. 553 - 580.

56. Peller W. The general form of the so-called law of the ite- 122 rated logarithm, Trans. Amer.Math.Soc., 1943» v. 54, No. 3, p. 373 - 402.

57. Feller V/. A limit theorem for random variables with infinite moments. Amer. J.Math., 1946, v. 68, No. 2, p. 257 -262.

58. Feller W. The law of the iterated logarithm for identically distributed random variables. Ann.Math., 1946, v. 47, No. 4, p. 631 - 638.

59. Feller W. An extension of the law of the iterated logarithm to variables without variance. J.Math.Mech., 1968, v. 18, No. 4, p. 343 - 355.

60. Feller W. General analogues to the law of the iterated logarithm. Z.Wahrsch.verw.Geb., 1969, B. 14, H. 1, p.21-26.

61. Feller W. On the oscillations of sums of independent random variables. Ann.Math., 1970, v. 91 No. 2, p. 402 -418.

62. Fernholz L.T. Limit points associated with generalized iterated logarithm laws. Ann.Prob., 1980, v. 8, No. 2, p. 390 - 392.

63. Fernholz L.T., Teicher H. Stability of random variables and laws of the iterated logarithm for martingales and quadratic forms. Ann.Prob., 1980, v. 8, No. 4, p.765-774.

64. Fristedt B.E., Pruitt W.E. Lower functions for increasing random walk and subordinators. Z.Wahrsch.verw.Geb., 1971, B. 18, H. 3, p. 167 - 182.

65. Gabriel J.-P. Loi des grands nombres, series et martingales a deux indices. C.R.Acad.Sc. Paris, Ser. A., 1974, v. 279, p. 169 - 171.

66. Gabriel J*-P. Martingales with a countable filtering index set. Ann.Prob., 1977, v. 5, No. 6, p. 888 - 898.- 123

67. Gut, A. Marcinkiewicz laws and convergence rates in the lav? of large numbers for random variables with multidimensional indices. Ann.Prob., 1978, v. 6, No. 3»p. 469-482.

68. Gut A. Speeds of convergence and moderate deviations for sums of random variables with multidimensional indices. -Ann.Prob., 1980, v. 8, No. 2, p. 298 313.

69. Gut. A. Strong laws of large numbers for independent identically distributed random variables indexed by a sector. -Ann.Prob., 1983, v. 11, No. 3, p. 569 577.

70. Hartman P., Wintner A. On the law of the iterated logarithm. Amer.J.Math., 1941, v. 63, p. 169 176.

71. Heyde C.C. On large deviation problems for sums of random variables which are not attracted to the normal law.-Ann. Math.Stat., 1967, v. 38, No. 5, p. 1575 1578.

72. Heyde C.C. On the converse to the iterated logarithm law. -J.Appl.Prob., 1968, v. 5, No. 1, p. 210 215.

73. Heyde C.C. On almost sure convergence for sums of independent random variables. Sankhya, Ser. A, 1968, v. 30, No.3, p. 253 - 258.

74. Heyde C.C. Some properties of metrics in a study on convergence to normality. Z.Wahrsch.verw.Geb., 1969, B. 11, H.3, p. 181 - 192.

75. Heyde C.C. A note concerning behavior of iterated logarithm type. -'Proc.Amer.Math.Soc., 1969, v. 23, No. 1, p.85-93.

76. Howell J., Taylor R.L., Woyczynski W.A. Stability of linear forms in independent random variables in Banach spaces. -Lect.Notes Math., 1980, v. 860, p. 231 245.

77. Jamison В., Orey S., Pruitt W. Convergence of weighted averages of independent random variables. Z.Wahrsch.verw. Geb- 124 -Geb., 1965, Б. 4, S. 40 44.

78. Kawata Т. On the strong law of large numbers. Proc. Imper.Acad. Tokyo, 1940, v. 16, No.3,p109 - 112.

79. Kesten H. The limit points of a normalized random walk. -Ann.Math.Stat., 1970, v. 41, Ho. 4, p. 1179 1205.

80. Kesten H« Sums of independent random variables -without moment conditions. Ann.Math.Stat., 1972, v. 43, No. 3, p. 701 - 732.93» Khintchine A. tlber einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrech-nung. Fund.Math., 1924, v. 6, p. 9 - 20.

81. Klass. M.J. Toward a universal law of the iterated logarithm I . Z.Wahrsch.verw.Geb., 1976, B. 36, H. 2, p. 165 - 178.

82. Klass M.J. Toward a universal law of the iterated logarithm II. Z.Wahrsch.verw.Geb., 1977, B. 39, H. 2, p. 151 - 165.

83. Kolmogoroff A. tiber das Gesetz des iterierten Logarithmus. Math.Ann., 1929, B. 101, p. 126 - 135.

84. Kolmogoroff A. Sur la loi forte des grand nombres. C.R. Acad.Sci., 1930, v. 191, No. 20, p. 910 - 912.

85. Kuelbs J. When is the cluster set of S^/a^ empty ? — Ann. Prob., 1981, v. 9, No. 3, p. 377 394.

86. KCielbs J., Kurtz T. Berry-Esseen estimates in H space and an application to the law of the iterated logarithm. -Ann.Prob., 1974, v. 2, No. 3, p. 387 407.- 125

87. Kuelbs J., Zinn J. Some results on Lib behavior, Ann, Prob., 1983, v. 11, No. 3, p. 506 - 557.

88. Levy P. Loi faible et loi forte des grand nombres. -Bull.Sci.math., 1953, v. 77, p. 9 40.

89. Lipschutz M, On strong bounds for sums of independent random variables which tend to a stable distribution, -Trans.Amer.Math.Soc., 1956, v. 81, No. 1, p. 135 154.

90. Mailer R.A. Relative stability and the strong law of large numbers. Z.Wahrsch.verw.Geb., 1978, B. 43, H. 2, p. 141148.

91. Mailer R.A. On one-sided boundedness of normed partial sums. Bull.Austr.Math.Soc., 1980, v. 21, p. 373 -.391.107» Mailer R.A. An extension of Kesten's generalized law of the iterated logarithm. Bull.Austr.Math.Soc., 1980, v. 21,p393 - 406.

92. Mailer R.A. On the law of the iterated logarithm in the infinite variance case. J.Austr.Math.Soc*, Ser. A, 1980, v. 30, part 1, p. 5 - 14.

93. Marcinkiewicz J. Sur les fonctions independantes I,II, -Fund.Math., 1930, v. 30, p. 202 214, 349 - 364.

94. Marcinkiewicz J#, Zygmund A. Remarque sur la loi du loga-rithme itere. Fund.Math., 1937, v. 29, p. 215 - 222.

95. Mijnheer J. A law of the iterated logarithm for the asymmetric stable law with characteristic exponent 1. Ann. Math.Stat., 1972, v. 43, No. 1,p358 -362.

96. Mijnheer J. Limit points of (n"1//a Sn). Ann.Prob,, 1982, v. 10, No. 2, p. 382 - 395.

97. Pakshirajan R.P., Vasudeva R. A functional lav; of the iterated logarithm for a class of subordinators. Ann.Prob., 1981, Y. 9, No. 6, p. 1012 - 1018.

98. Paulauskas V. The rates of convergence to stable laws and the lav; of the iterated logarithm in Hilbert spaces. -Goteborg Univ.preprint, 1977, No. 5.

99. Petrov V.V. On the law of the iterated logarithm without assumptions about the existence of moments.- Proc.Nat. Acad.Sci., U.S.A., 1968,v, 59, No. 4, p. 1068 1072.

100. Pruitt. W.E. Summability of independent random variables. -J.Math.Mech., 1966, v. 15, p. 769 776.

101. Pruitt W.E. General one-sided laws of the iterated logarithm. Ann.Prob., 1981, v. 9, No. 1, p. 1 - 48.

102. Pruitt W.E. The growth of random walks and Levy processes. Ann.Prob., 1981, v. 9, No. 4, p. 948 - 956.

103. Revesz. P. The Laws of Large Numbers. Ak. Kiadko, Budapest, 1967.

104. Rosalsky A. On the converse to the law of the iterated logarithm. Sankhya, Ser. A, 1980, v. 42.

105. Rosalsky A. On the growth of a random walk centered at a median. Sankhya, Ser. A, 1981, v. 43, no. 1, p. 111-115.

106. Seneta E. Regularly varying functions. Lect. Notes Math., 1976, v. 508.

107. Tomkins R.J. A generalization of Kolmogorov's law of the iterated logarithm. Proc.Amer.Math.Soc., 1972, v. 32, p. 268 - 274.

108. Tomkins R.J. Limit theorems without moment hypotheses for sums of independent random variables. Ann.Prob., 1980, v. 8, No. 2, p. 314 - 324.

109. Weiss M. On the law of the iterated logarithm. J.Math. Mech., 1959, v. 8, No. 1, p. 121 - 132.

110. Wichura M.J. Some Strassen-type laws of the iterated logarithm for multiparameter stochastic processes with independent increaments. Ann.Prob., 1973, v. 1, No. 2, p. 272. - 296.

111. Williamson J.A. Fluctuation when E/K^/ =00 . Ann.LIath. Stat., 1970, v. 41, No. 3, p. 865 - 875.

112. Woyczynski W.A. Asymptotic behavior of martingales in В spaces. Lect. Notes Math., 1976, v. 526, p. 273 - 284.

113. Zygmund A. An individual ergodic theorem for non-commutative transformations. Acta Sci.Math. (Szeged), 1951,v. 14, p. 103 110.

114. Mikosch T. Uber das Gesetz des iterierten Logarithmus fur Pelder mit unabhangigen Zuwachsen. Zentr.Wiss.Stud.konf. Math., 1983, Leipzig, Thesen, S. 105 - 106.