Исследование флуктуаций сумм независимых мультииндексированных случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.21

Дильман Степан Валерьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ФЛУКТУАЦИЙ СУММ НЕЗАВИСИМЫХ МУЛЬТИИНДЕКСИРОВАННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Специальность: 01.01.05 — Теория вероятностей и

математическая статистика.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

003067064

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор A.B. Булинский.

доктор физико-математических наук, профессор М.А. Лифшиц, доктор физико-математических наук, профессор Ю.С. Хохлов.

С.-Петербургское отделение Математического Института им В.А. Стеклова РАН (ПОМИ РАН).

Защита диссертации состоится 16 матра 2007 года в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские Горы, МГУ, Главное здание, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 16 февраля 2007 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001 85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Исследования асимптотических свойств частичных сумм, построенных по семейству независимых случайных величин, относится к классическому ядру современной теории вероятностей. В разное время в этом направлении работали Э.Борель, Г.Харди, Д.Литтлвуд, Г.Штейнгауз,

A.Я.Хинчин, С.Н.Бернштейн, А.Н.Колмогоров, Б.В.Гнеденко, П.Леви,

B.Феллер, Ю.В.Прохоров, А.А.Боровков, А.В.Скороход, В.Штрассен, И.А.Ибрагимов, В.М.Золотарев, В.В.Петров и многие другие выдающиеся ученые. Обзор результатов этой области представлен, например, в известных книгах В.В.Петрова1, И.А.Ибрагимова и Ю.В.Линника2, Д.Хошневисана3.

Одним из наиболее ярких результатов, описывающих флуктуации сумм независимых слагаемых, является закон повторного логарифма, установленный А.Я.Хинчиным4 в 1924 году. Можно сказать, что был сделан новый шаг в уточнении усиленного закона больших чисел. Следует также отметить подход к оценке асимптотического поведения частичных сумм, основанный на изучении вероятностей, с которыми эти суммы превышают определенные уровни. Заметную роль здесь играет классическая теорема Баума - Каца5, выявляющая связь между запасом абсолютных моментов слагаемых и скоростью сходимости в законе больших чисел. Эти результаты стали источником различных обобщений, в том числе на случай зависимых слагаемых и схем, более сложных, чем последовательность случайных величин. Достаточно упомянуть работы М.И.Гордина, А.Ю.Зайцева, М.Иосифеску, В.М.Круглова, В.Ю.Королева, Ю.С.Хохлова, М.Талаграна, М.Леду, В.Филиппа, В.Стаута, Й.-Ч.Ки, М.Чёргё и других исследователей. Среди многочисленных резуль-

1 Петров В В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М..Наука, 1987.

3 Ибрагимов И.А., Лвнннк Ю.В. Независимые и стационарно связанные случайные величины М.:1Таука, 1966.

3 Khoshnevisan D. Mult ¡parameter processes. An introduction to Random Fields. Springer, 2002.

4 Khinchine, A. Ueber einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung. // Fond. Math. 1924, vol. 6, pp. 9-12.

5 Baum L.E , Katz M.. Convergence rate in the law of large numbers. // TVans. Amer. Math. Soc. 1965, vol. 120, pp. 108-123.

татов выделим работы А.В.Булинского, М.А.Лифшица, А.И.Мартикайнена, К.Хейде, В.А.Егорова, О.И.Клесова, А.Д.Розальского, А.Бовье, П.Пикко, Л.Чанга, инициировавшие исследования, проведенные в диссертации.

В данной диссертации изучается предельное поведение нормированных сумм (в том числе взвешенных) независимых случайных величин. При этом внимание уделяется как результатам, выполняющимся почти наверное, так и асимптотическим оценкам вероятностей превышения заданных уровней. Описание проводится в терминах сходимости или расходимости рядов, элементами которых являются указанные вероятности, умноженные на некоторые весовые коэффициенты. В последние годы значительные результаты, развивающие этот подход к описанию скорости сходимости в законе больших чисел, были установлены А.Гутом, А.Спатару, Л.В.Розовским, Х.Ланцингером, У.Штадтмюллером, Д.Пио, И.Фазекашем и многими другими математиками.

Новые эффекты возникают при изучении сумм мультииндексированных случайных величин. Именно анализу таких массивов в диссертации уделяется основное внимание.

Таким образом, тема диссертации представляется весьма актуальной.

Цель работы.

Целью работы является описание всех универсальных (не зависящих от распределения слагаемых) нормировок в законах повторного логарифма для последовательностей независимых одинаково распределенных слагаемых и для семейства геометрически взвешенных рядов случайных величин, а также распространение на случай многомерных массивов слагаемых некоторых недавних результатов, обобщающих фундаментальную теорему Баума - Каца о скорости сходимости в законе больших чисел.

Научная новизна.

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

1. Получены аналоги закона повторного логарифма Хартмана - Винтнера для независимых одинаково распределенных случайных величин (вместе с его обращением, установленным В.Штрассеном) и закона повторного логарифма, доказанного А.Бовье и П.Пикко для геометрически взвешенных рядов, вовлекающие нормировки, отличные от корня из удвоенного повторного логарифма.

2. Исследовано асимптотическое поведение должным образом взвешенных вероятностей превышения заданных уровней, зависящих от параметра е > О, модулями частичных сумм многомерного массива случайных величин. Также изучены предельные свойства случайных величин, возникающих при суммировании бесконечного множества независимых одинаково распределенных слагаемых, взвешенных специальным образом.

3. Распространен на случай мультииндексировнных семейств слагаемых результат Д.Пио о связи так называемого свойства Ф - сходимости случайных величин и скорости сходимости нормированных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин к их среднему значению.

Методы исследования.

В работе активно использовались методы теории вероятностей такие как симметризация случайных величин, неравенства для сумм последовательностей случайных величин (Леви, Хоффмана - Йоргенсена), гауссовская аппроксимация, классические предельные теоремы. Для различного рода оценок активно применялся аппарат математического и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть полезны специалистам в области предельных теорем теории вероятностей.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах автора. Их список приведен в конце автореферата ([1] - [6]).

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции, посвященной 90 - летию академика Б.В.Гнеденко, Киев, июнь 2002г., на ХХУ1-Й конференции молодых ученых механико-математического ф-та МГУ, Москва, апрель 2004г., на Х1У-Й Европейской конференции молодых вероят-ностников и статистиков, Будапешт, август 2005г., на Ломоносовских чтениях, Москва, апрель 2006г., на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико - математического факультета МГУ (рук. член-корр. РАН, проф. А.Н.Ширяев) в октябре 2006г. и на С.-Петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике (рук. акад. РАН, проф. И.А.Ибрагимов) в декабре 2006г.

Структура работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка основных обозначений и списка цитируемой литературы, содержащего 79 наименований. Общий объем работы составляет 88 страниц.

2 Краткое содержание диссертации

Диссертация посвящена изучению поведения частичных сумм независимых случайных величин6. Приводятся две группы результатов, относящихся к широко известным областям предельных теорем теории вероятностей. Первая из них связана с законом повторного логарифма для последовательностей (в том числе взвешенных) независимых одинаково распределенных (н.о.р.) слу-

' Ширяев А.н. Вероятность - 1. М.:МЦНМО 2004, стр. 57.

чайных величин. Вторая посвящена изучению скорости сходимости в законе больших чисел для мультииндексированных семейств случайных величин.

Во введении дается обзор классических результатов, представляющих данную область теории вероятностей, а также приводятся факты, непосредственно послужившие базой для исследований, проведенных в диссертации. Кроме того, вводятся основные обозначения, используемые на протяжении всей работы.

В главе 1 собраны результаты, связанные с законом повторного логарифма. Изучается модель независимых слагаемых, а также случайных величин, являющихся суммой ряда, состоящего из н.о.р. слагаемых, взятых с весами, образующими геометрическую прогрессию.

Последовательность н.о.р. случайных величин {X„}neN назовем стандартной последовательностью, если справедливы соотношения

EXi = 0 и ЕХ? = 1. (1)

Для последовательности {X„}„6n случайных величин будем полагать

Sn = Х\ +... + Хп.

Обозначим также

LLx = loglogz, при х > 3, и LLx = 1 при 0 < х < 3.

В 1941г. П.Хартман и А.Винтнер доказали следующий вариант закона повторного логарифма.

Теорема (П.Хартман и А.Винтнер)7 Пусть {Хп}п€м - стандартная последовательность. Тогда справедливы соотношения

ümsup = (2)

га-» оо V ¿ПЬЬП g

Iiminf-7= " = -1 п.м. (3)

V2nLLn

7 Hartmann P., Wintner A. Oil the law of the iterated algorithm. // Amer. J. Math. 1941, vol 63, pp. 169-176.

S

Можно поставить естественный вопрос: какому необходимому и достаточному условию должна удовлетворять последовательность положительных чисел {ф(п)}„€к, монотонно стремящаяся к бесконечности, чтобы для любой

стандартной последовательности {А"„}п6к выполнялись соотношения

$

lim sup " = 1 п.н., (4)

п—юо л/пф{п)

liminf J?" Л = -1 п.н. (5)

n-юо у/пф{п)

Последовательности, удовлетворяющие (4) и (5), будем называть универсальными нормировками.

В 1977 году А.В.Булинский8 получил исчерпывающее описание класса универсальных нормировок для случая, когда семейство всех стандартных последовательностей заменяется на множество всех последовательностей случайных величин, удовлетворяющих критерию Колмогорова - Петровского -Эрдёша - Феллера.9 Позднее, им же10 были получены результаты, обобщающие и функциональный закон повторного логарифма на случай нормирующих множителей отличных от корня из удвоенного повторного логарифма.

Следующий результат из главы 1 описывает все множество универсальных нормировок для класса стандартных последовательностей.

Теорема 1.1.1. Неубывающая последовательность положительных чисел {ф{п)}пен, стремящаяся к бесконечности, является универсальной нормировкой для класса стандартных последовательностей тогда и только тогда, когда выполняется условие

lim inf = 1 п.н. (6)

n-»oo y/2nLLn

8 Булшкжай А В Замечание о нормировке в законе повторного логарифма. // Теория вероятн. и ее нримен. 1977, том 22, №2, стр. 407-409.

9 Feller, W. The general form of the so-called law of the Iterated logarithm. // Trans. Amer. Math. Soc. 1943, vol. 54, №3, pp. 373-402.

10 Булинскяй A.B. Новый вариант функционального закона повторного логарифма. // Теория вероятн и ее примен. 1980, том 25, Л>3, стр 502-511.

Теорема Хартмана - Винтнера допускает следующее важное обращение, полученное В.Штрассеном в 1966 году.

Теорема (В.Штрассен)11 Пусть {Xn}neN - последовательность н.о.р. случайных величин, удовлетворяющая соотношениям (2) и (3). Тогда у Х\ существует конечный второй момент и имеют место равенства (1).

Справедливо обобщение этого результата.

Теорема 1.1.2. Пусть {ф{п)}пеn ~ некоторая универсальная нормировка. Пусть дана некоторая последовательность н.о.р. случайных величин {-Xn}neN, для которой выполнены условия (4) и (5). Тогда у этих величин существует второй момент и справедливы соотношения (1).

В заключение первой главы устанавливается результат, обобщающий закон повторного логарифма Бовье - Пикко для геометрически взвешенных рядов.

Рассмотрим стандартную последовательность случайных величин {Хп}п6ки{о} и введем следующие обозначения. Для ß G (0,1) положим

i(0) = s~ А, (7)

riß) = Е Ш2) = K=oß2n = YZTß2 • (8)

Теорема (А.Бовье и П.Пикко)12 Пусть {Х„}пеки{о}_ стандартная последовательность случайных величин. Тогда справедливы следующие соотношения:

lim sup —==Ш= = 1 n.M. (9)

ß-i- V2T(ß)LL(r(ß))

lim inf . = = n H (10)

y/2T{ß)LL{T{ß))

Числовую функцию ф(х) (x > 0,0 < ф(х) У оо) назовем универсальной нормировкой для геометрически взвешенных рядов если для всякой стандартной последовательности {-Xn}neNu{o} выполняются соотношения

lim sup -= 1 п.н. (11)

ß^-Vmmß))

11 Strossen, V A converse to the law of the iterated logarithm. // Z. Wahrsch verw. Geb. 1966, vol. 4, №4, pp. 265-268.

15 Bovier A., Picco P. A law of the Iterated logarithm for geometric series. // Ann Probab. 1993, vol. 21, »1, pp. 168-184.

liminf -= -1 п.н. (12)

Следующая теорема описывает все универсальные нормировки для геометрически взвешенных рядов.

Теорема 1.3.2. Функция ф(х) (х > О,0 < ф(х) У сю) является универсальной нормировкой для геометрически взвешенных рядов тогда и только тогда, когда верно равенство

liminf-|M= = l. (13)

V2LLx

В главе 2 содержатся результаты, относящиеся к вопросу о скорости сходимости нормированных сумм н.о.р. мультииндексированных случайных величин к их математическому ожиданию. В основе этой области исследований лежит классическая теорема, носящая название усиленного закона больших чисел (ул.б.ч.).

Для любого d > 1 и любых векторов х = (х\,Xd) и у = (ух,..., yd), принадлежащих множеству Rd, d > 1, (в частности для m, n е Nd) будем писать х > у (х > у), когда х» > (xi > у,) для каждого г. Также будем обозначать

ху = (xiyi,... ,XdVd), х/у = (xi/yi,..., Xd/yd), когда у, ^ 0 при всех i, ху = (а^1,..., ху/) для х и у таких, что xf имеет смысл при всех i, (х) = xi... хd для х € Rd. Сумму векторов и умножение вектора на скаляр, как обычно, определим покомпонентно. Кроме того, для каждого действительного с обозначим с = (с,..., с). Наконец, будем писать log ж, подразумевая логарифм по основанию е, и положим log+ х = max(log х, 0) для х > 0.

Для мультииндексированного семейства случайных величин по-

ложим

Sn = Х^.

k<n

Теорема (Усиленный закон больших чисел)3 Пусть {Хп}пе№( (й > 1)-семейство н.о.р. случайных величин, для которых выполнены условия

ЕХ1 = 0, = 1 и Е|Х1|(1оё+|Х1|)й-1 <оо. (14)

Тогда с вероятностью единица справедливо соотношение

-^у —» 0 при п —» оо, (15)

где п —у оо означает, что п, —» оо, г = 1,...

Можно описывать отклонение нормированных сумм от среднего значения в терминах асимптотического поведения вероятностей

f SB-ESa \

{~W~ >£)>£>0'

при п —> оо. Здесь важную роль играет понятие сходимости вполне, введенное для последовательностей П.Хсу и Х.Роббинсом13 в 1947 году.

Говорят, что последовательность случайных величин сходится

вполне к случайной величине У, если для любого е > 0 выполнено соотношение

оо

£Р(|Г«-У|>£)<оо.

п=1

С помощью этого понятия П.Хсу и Х.Роббинсом13 и П.Эрдёшем14 была описана скорость сходимости в усиленном законе больших чисел для последовательностей н.о.р. случайных величин.

Для произвольного числового семейства {ап}пе№'> имеющего при п —> оо конечный предел а, можно описывать скорость сходимости On к пределу, подбирая подходящие функции / : Nd —> R+, для которых выполняется условие /(п)|а„-а| < оо. Очень часто в роли /(п) выступает (п)г, для какого-либо действительного г.

Приведем теперь известный результат Л.Баума и М.Каца, давший импульс многим последующим исследованиям.

13 Hsu P.L., Robbiufl H. Complete convergence and the law of the large numbers. // Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A. 1947, voL 33, pp. 25-31.

" Erdös P. On a theorem of Hsu and Robbins. // Ann. Math. Statist. 1949, vol. 20, pp. 286-291.

Теорема (Л.Баум и М.Кад)5 Пусть дана последовательность {X„}„6n н.о.р. случайных величин и Sn = Х\ + •■■ + Хп. Пусть также заданы действительные числа а > 1/2 и q > 1/а. Тогда следующие три соотношения эквивалентны:

Е|Х[|? < оо и, кроме того, E-Xi = 0 при q > 1, (16)

п«а_2Р(|5„| > епа) < оо для любого е > О, (17)

П>1

]Г)п?а~2P(max |Sfc| > en") < оо для любого е > 0. (18)

п>1 к-п

В случае q > 1/а эти условия также эквивалентны следующему:

У*kqa~2P (supЩ > е) < оо для любого е > 0. (19)

¿>1 ^k п° '

Переходя от последовательностей к мультииндексированным семействам случайных величин, следует привести две теоремы, являющиеся существенными обобщениями теоремы Баума - Каца, приведенной выше.

Теорема (А.Гут)15 Пусть {Xn}ngN,i - н.о.р. случайные величины и заданы действительные числа а > 1/2 и q > 1/а. Тогда следующие три соотношения эквивалентны:

Epfi|9(log+ IXiI)*-1 < оо и, кроме того, EXi = 0 при q > 1, (20) <n)9e-2P(JS,n) > е(п)°) < оо для любого е > 0, (21)

neNd

^ (п)?а_2Р (max |Я! > e{n)°) < оо для любого е > О, В случае q> 1/а эти условия также эквивалентны следующему:

(22)

V kga~2P I sup >£] < оо для любого s > 0. (23)

^ \{n)>k (п)а )

15 Gut. A Marcinldewicz laws and convergence rates in the law of laige numbers for random variables with multidimensional indices. // Ann. Probab. 1978, vol. 6, X«3, pp 469-482.

В 1996 году, Д.Денг распространил этот результат на более общий случай нормирующих множителей.

Теорема (Д.Денг)16 Пусть наборы чисел {a»}f=i и {<?i}f=i таковы, что

1/2 < а, < 1 и qx > 1/а», г = l,...,d. (24)

Положим

q = max д,- и г = #{г е N, 1 < i < d: q% = q}. (25)

l<t<d

Тогда условия

E|Xi\9(log+ |Xi 1Г1 < oo, ЕХг = 0 (26)

и

V (nqa-2)P(max l^kj > e(na)) < oo, Ve > 0, (27)

—' k<n

n€N

эквивалентны. Здесь q = (gi,...,(fa) tia = (ai,...,а<г).

Из теоремы Д.Дента немедленно следует, что при условиях (26) для любого е > 0 сходится и ряд

53<n4a-2)P(|Sn| > е(па». (28)

Рассмотрим соотношение (21), описывающее скорость сходимости в усиленном законе больших чисел. Можно поставить вопрос о том, как ведет себя сумма ряда в (21) при е —» 0 + . В 2003 году А.Гут и А.Спатару17 ответили на этот вопрос, показав, что в случае q > 2

| 6 1 neNJ

__E\N\^_

~ (d — 1)!(да — 1)(а — 1/2)<г—1 *

16 Deng. D.y Complete convergence and convergence rates in Mardnkiewicz law of large numbers for random variables

indexed by Z+. // Math. Appl. 1996, vol 9, №4, pp. 441-448. ir A. Gut, A. Spatatu. Precise asymptotics in some strong limit theorems for multidimensionally indexed random

variables. // Journal of Multivariate Analysis 2003, vol. 86, pp. 398-422.

(29)

Первая из теорем главы 2 диссертации отвечает на аналогичный вопрос об асимптотике ряда (28) при е —» 0 + .

Теорема 2.1.1. Пусть наборы чисел {as}iLi и {g,}f=1 таковы, что

1/2 < Of < 1 и qt > 2, i = 1,... ,d, (30)

а величины q иг фигурируют в формуле (25). Для г = 1,..., d положим

Ь{ = qi<U~}, b = max(k) и fc - #{г e N, 1 < i < d: bt = b} - 1. (31) a, — 1/2 i<i<d

Без ограничения общности можно считать, что

bi < ■ ■ ■ < bd-k-1 < bd-fc = • • • = bd, (32)

где k>0. Пусть семейство {Xn}n6^j, состоящее из н.о.р. случайных величин, таково, что выполнены условия (26) и Е= 1. Тогда

А ти* £ <пЧа"2> p(|5nl > е(па)) = ^ (33)

1 neNd

где

d-k-1 / оо

П (£ n^'-V^^-M-i

Da" = k\bd(ad~k — 1/2)... (a,i — 1/2) ' Всюду произведение по пустому множеству полагаем равным единице.

Обратимся теперь к результату, аналогичному теореме Баума - Каца, в котором конечные суммы случайных величин заменяются на суммы бесконечного числа слагаемых с некоторыми весами.

Рассмотрим класс Ф всех функций ф : R —» [0, оо), непрерывных на R, симметричных, невозрастающих на [0, оо) и принадлежащих ¿г(К). Всюду в работе, если рассматривается пространство 1/2 на R и явно не указывается мера, то мера предполагается лебеговой. Для любой функции ф(.) из класса Ф будем обозначать \\ф\\ ее норму в L2(К).

Теорема (Х.Ланцингер и У.Штадтмюллер)18 Пусть последовательность н.о.р. случайных величин {Xn}nez такова, что для некоторого q > 2 вы-

18 H. Lanzrnger, U.Stadtmuller. Refined Baum-Katz laws for weighted snms of ii.d. random variables. // Statistics and Probability Letters 2004, vol. 69, pp. 357-368.

полнены соотношения Е|Х0|? < оо, EXfi = 1, ЕХо = 0 и задана некоторая функция ф G Ф. Пусть также заданы действительные числа rus, удовлетворяющие условиям 0 < s < 1 и г > — s/2. Тогда для

Тп = -3У\Ф{к/п*)Хк, n € N,

п.3 * J

П' , ~ fcez

справедливо соотношение

оо

Ä (м)> ^ = ^ (34)

где

q(r+a)-a

D

q,r'S q(r + s) - s'

Наш следующий результат обобщает эту теорему на случай мультииндек-сированных сумм.

Теорема 2.1.3. Пусть зафиксировано натуральное d > 1. Пусть последовательность н.о.р. случайных величин {Xn}nez такова, что для некоторого q > 2 выполнены условия E|Xo[?(log+ |Xo|)d_1 < сю, ЕХ$ = 1, ЕХо = О и задана некоторая функция ф е Ф. Пусть также заданы векторы s иг из Rd, причем 0 < s < 1, г > —s/2. Обозначим

Ъ = + Ь = тах(6.) и к = #{г е N, 1 < г < d: h = b} - 1,

Г + s/2 l<t<d

причем без ограничения общности считаем, что имеет место (32). Тогда для

kez

справедливо соотношение Ъ*

Ä (ш) ' IESF E^-'-1)^! > • W> - (Я)

где

d-k-l / оо \

E|iV[b^ П ( £ n^+^^-W-i )

г) __ _1=1 \п=1_У

9;r,s Wb^* + sd-kl2)... (rd + sa/2) '

Заключительный раздел диссертации посвящен обобщению теоремы Бау-ма - Каца для мультииндексированных слагаемых на случай неполиномиальных весов. Рассматривается еще один из способов, которым можно охарактеризовать сходимость нормированных сумм случайных величин к их математическому ожиданию.

Введем необходимые определения и обозначения.

Пусть функция Ф, определенная на [0,+оо), неотрицательная и неубывающая на всей области определения, удовлетворяет условиям:

1) 1ш1г^+00 Ф(ж) = +оо,

2) 3 С > 0 такое, что для любого х > О справедливо неравенство

Ф(2ж) < СФ(х).

Такую функцию Ф назовем умеренно возрастающей.

Зафиксируем любое натуральное d и произвольное семейство случайных величин Введем случайную величину

A^TOneN'; х) = sup ({0} U {(n) : n е Nd, \Yn -х\> е}) .

Следующее определение было использовано Д.Пио19 для последовательности случайных величин.

Пусть d G N и — произвольное семейство случайных величин.

Пусть также Ф - умеренно возрастающая функция, а х - действительное число. Будем говорить, что семейство {Уп}пе№ Ф - сходится к х, если

ЕФ {Ldte({Ya}nGHr,x)) < оо.

19 Piau D Maximal generalization of Baum-Katz theonn and optimahty sequential teste // Prépubiication du Laboratiore de Probabilité Statistique et Combina.tolre, 2000, Université Claude Bernard, Lyon - 1. (http://arxiv org/abs/math/0510043)

Приведем теперь результат, вовлекающий понятие Ф - сходимости, и являющийся естественным обобщением теоремы Баума - Каца.

Теорема (Д.Пио)19 Пусть последовательность {Хп}пен н.о.р. случайных величин такова, что Е|Хх| < оо и Е-Хх = 0. Пусть также Ф - умеренно возрастающая функция. Тогда следующие условия эквивалентны:

Е|Х1|Ф(|Х1|)<оо, (36)

5П

П>1

П

П

> £ ) < оо для любого е > 0,

ЕФ(^11е({5„/п}„ек;0)) < оо для любого е>0.

(37)

(38)

Последняя теорема главы 2 диссертации дает обобщение предыдущего результата на тот случай, когда вместо последовательности случайных величин рассматривается мультииндексированное семейство.

Теорема 2.4.2. Пусть задано ё € N и семейство {Хп}пб№г н.о.р. случайных величин таково, что

Е|Х1|(1о6+ ^х!)^1 <ооиЕХг = 0. (39)

Пусть Ф - умеренно возрастающая функция. Тогда следующие условия эквивалентны:

Е1Х1|(1о6+(Х1|))£'-1Ф(|Х1|)<оо,

Е

Ф((п)). <п>

3 е > 0 такое, что

¿¡. (-> V <«*> )

(40)

>0, (41)

< оо, (42)

>0, (43)

< оо. (44)

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю - профессору А.В.Булинскому за большую помощь в подготовке работы и постоянное внимание.

Работы автора по теме диссертации

[1] Дильман C.B. Асимптотика в формуле Баума-Каца для случайных полей. // Математические заметки 2006, том 72, №5, стр. 674-680.

[2] Дильман C.B. Обращение обобщенной теоремы Хартмана-Винтнера. // Вестн. Моск. ун-та. сер.1, математика, механика. 2003, №6, стр. 56-58.

[3] Булинский A.B., Дильман C.B. Универсальная нормировка в законе повторного логарифма. // Успехи матем. наук. 2002, том 57, №2, стр. 193-194. А.В.Булинскому принадлежит постановка задачи об универсальных нормировках и схема использования в доказательстве нормальной аппроксимации. С.В.Дильману принадлежит построение и анализ свойств различных вспомогательных последовательностей случайных величин и выбор соответствующих им нормировок.

[4] Dilman S.V. The asymptotics in the Baum-Katz formula for multidimensionally indexed random variables. // Abstracts of 14-th European Young Statisticians Meeting, Budapest, 2005, p. 11.

[5] Дильман C.B. Уточнение закона повторного логарифма для геометрически взвешенных рядов. // Тезисы XXVI-й конференции молодых ученых механико-математического ф-та МГУ, Москва, 2004, стр. 26.

[6] Bulinski A.V., Dilman S.V. Some generalizations of the Hartmann-Wintner theorem. Abstracts of the International Gnedenko 90-th Anniversary Conference, Kiev, 2002, p. 11.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете

МГУ им. М.В. Ломоносова.

Подписано в печать 43- 02. О У

Формат 60 х 90 I / 16 . Усл. печ. л.

Тираж 100 экз. Заказ 0$

Введение

1 Универсальные нормировки в законах повторного логарифма

1.1 Универсальные нормировки в законе повторного логарифма Хартмана - Виптнера. Формулировка результатов

1.2 Универсальные нормировки в законе повторного логарифма Хартмана - Виптнера. Доказательства

1.3 Универсальные нормировки в законе повторного логарифма для сумм геометрически взвешенных рядов.

2 Некоторые обобщения теоремы Баума-Каца

2.1 Асимптотики в формулах Баума - Каца для мультиин-дексированпых случайных величии. Введение и формулировки результатов.

2.2 Вспомогательные утверждения.

2.3 Асимптотики в формулах Баума - Каца для мультиин-дексированных случайных величин. Доказательства

2.4 Обобщение теоремы Баума - Каца для мультииидексиро-ванных случайных величин па случай неполиномиальных весов.

Основные обозначения

Исследования асимптотических свойств частичных сумм, построенных ио семейству независимых случайных величин, относятся к классическому ядру современной теории вероятностей. В разное время в этом направлении работали Э.Борель, Г.Харди, Д.Литтлвуд, Г.Штейнгауз,

A.Я.Хинчин, С.Н.Бернштейн, А.Н.Колмогоров, Б.В.Гнеденко, П.Леви,

B.Феллер, Ю.В.Прохоров, А.А.Боровков, А.В.Скороход, В.Штрассен, И.А.Ибрагимов, В.М.Золотарев, В.В.Петров и многие другие выдающиеся ученые. Обзор результатов этой области представлен, например, в известных книгах В.В.Петрова ([20]), И.А.Ибрагимова и Ю.В.Лишшка ([16]), Д.Хошневисана ([60]).

Одним из наиболее ярких результатов, описывающих флуктуации сумм независимых слагаемых, является закон повторного логарифма, установленный А.Я.Хинчиным в 1924 году ([59]). Можно сказать, что был сделан новый шаг в уточнении усиленного закона больших чисел. Следует также отметить подход к оценке асимптотического поведения частичных сумм, основанный на изучении вероятностей, с которыми эти суммы превышают определенные уровни. Заметную роль здесь играет классическая теорема Баума - Каца ([31]), выявляющая связь между запасом абсолютных моментов слагаемых и скоростью сходимости в законе больших чисел. Эти результаты стали источником различных обобщений, в том числе на случай зависимых слагаемых и схем, более сложных, чем последовательность случайных величин. Достаточно упомянуть работы М.И.Гордина, А.Ю.Зайцева, М.Иосифеску, В.М.Круглова, В.Ю.Королева, Ю.С.Хохлова, М.Талаграна, М.Леду,

В.Филиппа, В.Стаута, Й.-Ч.Ки, М.Чёргё и других исследователей. Среди многочисленных результатов выделим работы А.В.Булинского, М.А.Лифшица, А.И.Мартикайиена, К.Хсйде, В.А.Егорова, О.И.Клесова, А.Д.Розальского, А.Бовьера, П.Пикко, Л.Чанга, инициировавшие исследования, проведенные в диссертации.

Обратимся к истории вопроса. В 1913 году, исследуя разложение чисел в промежутке от нуля до единицы в бесконечную двоичную дробь, Хаусдорф доказал, что для любого положительного е > 0 для почти всех чисел из этого промежутка

Sn - п/2 = о(п1/2+Е) при п —» оо, где Sn обозначает сумму первых п знаков после запятой в двоичном разложении числа. Позднее, в 1914 году, эта оценка была улучшена Харди и Литтлвудом, а именно, им удалось доказать, что для почти всех действительных чисел от нуля до единицы

Sn — п/2 = 0((n log п)1/2) при п —» оо (всюду в работе log означает логарифм по основанию е). Затем, в 1922 году, исследуя уже последовательности независимых слагаемых, принимающих каждое из значений — 1 и 1 с вероятностью 1/2, Штейнгауз установил, что lirnsup—; < 1/2 II.н., п—>00 V2n loS п где Sn обозначает сумму первых п случайных величин последовательности, а "п.и." здесь и всюду в дальнейшем означает "почти наверное", то есть с вероятностью единица. После этого А.Я.Хинчин, в 1923 году, впервые получил оценку скорости роста таких частичных сумм, использующую повторный логарифм. А именно, им было установлено, что с вероятностью единица последовательность независимых слагаемых, принимающих каждое из значений —1 и 1 с вероятностью 1/2, подчиняется соотношению

5n = 0((n log log п)1/2).

И, наконец, в 1924 году им же был получен следующий закон повторного логарифма.

Теорема 1. ([59]) С вероятностью единица последовательность независимых случайных величин} принимающих значения 1 и —1 с вероятностью 1/2, удовлетворяет соотношению lim sup — ^п — = 1, n-юо у2п log log п где Sn— сумма первых п элементов последовательности.

Результаты, подобные этой теореме, для различных классов случайных последовательностей получили название законов повторного логарифма.

Этот результат Хинчина многократно обобщался, в том числе па случай последовательностей независимых случайных величин с разными законами распределения. В этой связи необходимо отметить работы А.Н.Колмогорова ([62]), Хартмана и Винтпера ([51]), В.А.Егорова ([15]), В.В.Петрова (см. ссылки в [20]).

Остановимся более подробно на работе Хартмана и Винтнера [51]. В частном случае одинаково распределенных слагаемых их результат превращается в следующую теорему, получившую название закона повторного логарифма Хартмаиа-Вннтнера. Здесь и далее полагаем для любого t > 0 :

LLt = log log t, при t > 3 и LLt = 1, при 0 < t < 3.

Теорема 2. (см. напр. [20], стр. 263) Пусть {Хп}пен последовательность независимых одинаково распределенных (далее и.о.р.) случайных величин, удовлетворяющая условиям

EXi = 0 и EXf = l. (1)

Тогда справедливы следующие соотношения: $ lim sup . п — 1 п.н., (2) п->оо V2nLLn liminf—j. n = —1 n.?t., (3) n-^oo y/2nLLn где Sn = X\ + . + Xn.

Эта теорема допускает следующее важное обращение, полученное Штрассеном в 1966 году.

Теорема 3. ([75]) Пусть {Хп}пек ~ последовательность н.о.р. случайных величии, для которой справедливы соотношения (2) и (3). Тогда у Х\ существует конечный второй момент и имеют место равенства (1).

Позднее были найдены другие доказательства этой теоремы ([44], [52], [72]) и, кроме того, А.И.Мартикайпен ([19]) усилил этот результат, установив, что при условии выполнения только одного (любого) из условий (2) и (3) математическое ожидание этих случайных величин по - прежнему обязано быть равным нулю, а дисперсия - единице.

В 1977 году А.В.Булинский ([4]) предложил описывать флуктуации частичных сумм случайных величин с помощью некоторых функций, отличных от корня из удвоенного повторного логарифма. Им были рассмотрены последовательности случайных величин, для которых справедлив критерий Колмогорова - Петровского - Эрдёша - Феллера, о верхних и нижних функциях (см., напр., [43], [57]), и для этого класса последовательностей было установлено, что неотрицательная монотонно стремящихся к бесконечности функция (р удовлетворяет условию lim sup —. ^п-- = 1 п.и. п-00 \/DSrMDSn) тогда и только тогда, когда справедливо соотношение liminf-^L = l. (4) у/Шл

Тем самым, для этого класса послсдовтельностей было получено обобщение закона повторного логарифма. Заметим также, что класс случайных последовательностей, удовлетворяющих условиям критерия Колмогорова - Петровского - Эрдеша - Феллера включает в себя некоторые ис все) последовательности и.о.р. случайных величин. В то же время этот критерий не предполагает одинаковой распределенности слагаемых.

Необходимо также отметить, что закон повторного логарифма был распространен с последовательностей независимых случайных величии на мультиплексированные семейства. В этой связи отметим монографию [GO], в которой приведены соответствующие результаты и подробно изложена история вопроса.

Среди предельных теорем для случайных процессов центральное место также занимает закон повторного логарифма (функциональный), установленный Штрассеном 19G4 году в работе [76]. В ней Штрассеп для с?-мерного винеровского процесса Wd(t), t > 0 (см., напр., [3], стр. 50) рассмотрел последовательность случайных процессов г €[0,1], пе N (5) и показал, что с вероятностью единица семейство его траекторий образует предкомпакт в (С[0, l])rf (см., напр., [1], гл. 2). Множество предельных точек последовательностей функций из этого предкомпакта также было полностью описано и получило название "шар Штрассе-на". В той же работе был установлен функциональный закон повторного логарифма для последовательности случайных ломанных в С[0,1], построенных по частичным суммам Si = Х\+. ,+Xi (So = 0) последовательности н.о.р. случайных величин Случайные ломаные hn(t), t G [0,1], п G N строились следующим образом: п{ ) ~ ^ылГп ' (6) где {ж} и [х\ обозначают дробную и целую части соответственно для любого действительного числа х. Переход от винеровского процесса к случайным ломаным был выполнен с использованием сильного принципа инвариантности, установленного в той же работе. Позднее появились другие доказательства функционального закона повторного логарифма для случайных ломаных, а также аналогичные теоремы для зависимых случайных величин (см., напр., [30], [34], [36], [63], [67], [68] и [74]).

Позднее, А.В.Булинский ([5] и [6]) получил обобщения законов повторного логарифма Штрассена для винеровского процесса и случайных ломаных. Опишем эти результаты.

Рассмотрим класс С всех неубывающих функций /, определенных на (0, +оо) и удовлетворяющих условиям f(t) > 0 (t > 0) и f(t) у +оо при t +оо. Для любой функции / G г > 0 и с > 1 положим причем если /(/, г, с) = оо для любого конечного г, будем считать, что R(f) = +оо. Необходимо отметить, что в действительности величина R(f) не зависит от с, которое использовалось в (7).

Пусть Со [0,1] - пространство всех функций x(t) из С[0,1] таких, что х(0) = 0. Для 0 < г < +оо обозначим Кг множество таких абсолютно непрерывных функций у(£) = {yi(t),., yd{t)) из (Со[0, l])d, что

Положим также Kq = {0}, а К^ = (Со[0, l])f/.

А.В.Булинский установил, что если в определениях gn(t) в (5) и hn(t) в (6) заменить корень из удвоенного повторного логарифма па любую функцию / из С, то множество предельных точек получившихся последовательностей случайных функций с вероятностью единица совпадет с Kr(j)

Рассмотрим, теперь, еще один способ описать поведение флуктуаций нормированных сумм независимых случайных величин. Усиленный закон больших чисел Колмогорова (см., напр., [28], стр 544) гласит, что любая последовательность н.о.р. случайных величин {Хп}п6н, удовлеи

R2(f) = inf{r > 0 : /(/, г, с) < оо}

8) творяющая условию E|Xi| < оо, подчиняется соотношению

Sn ~

--> 0 п.н. п при п —» со. Здесь, как обычно, Sn = X1 + . + Хп. Можно описывать отклонение нормированных сумм от среднего значения с помощью поведения вероятностей

Sn ~ E'S'n £ ] , £ > О П при п —> оо. В этой связи напомним понятие сходимости вполне, введенное Хсу и Роббиисом ([55]) в 1947 году.

Говорят, что последовательность случайных величин {V^}neN сходится внолие к случайной величине Y, если для любого £ > 0 выполнено соотношение

00

Р(|Уп-У|>£)<00. п= 1

В той же самой работе было установлено, что для последовательности {Хп}пек н.о.р. случайных величин, таких, что ЕХ± < оо имеет место сходимость вполне последовательности

I Sn EiS'-n

I n к нулю. Затем Эрдёш, в работе [41], получил обратную теорему, которая гласит, что для последовательности интегрируемых н.о.р. случайных величин сходимость вполне последовательности Sn — Еб'д

I п J пеN к нулю влечет существование конечного второго момента у этих случайных величин. Таким образом при помощи понятия "сходимость вполне" была получена оценка скорости сходимости в закон больших чисел.

Для произвольной числовой последовательности {ап}пе^, имеющей конечный предел а, можно описывать скорость сходимости ап к пределу, подбирая подходящие функции / : N —> IR+, для которых выполняется условие X^i f(n)\an — а\ < 00• Очень часто в роли f(n) выступает пг, для какого-либо действительного г. Теорема Хсу и Роб-бинса обобщалась в этом направлении многими авторами. Достаточно упомянуть работы [11], [21], [22], [23], [29], [37], [38], [58], [64], [71]. Здесь же приведем результат Баума и Каца, полученный ими в статье [31].

Теорема 4. ([31]) Пусть дана последовательность {Хп}пе^ и.о.р. случайных величии и Sn = Х\ + . + Хп. Пусть также заданы действительные числа а > 1/2 и q > 1/а. Тогда следующие три соотношения эквивалентны:

El^i!9 < оо и, дополнительно, ЕХ\ = 0 в случае если q > 1, (9) nqa~2P{\Sn\ > sna) < оо для любого £ > О, (10) п> 1

У^n9a"2P(max \Sk\> £па) < оо для любого £ > 0, (11) «>1 к~п

В случае когда q > 1/а, эти условия также эквивалентны следующему: kqa~2p (SUP > £) < оо d/u любого £>0. (12) k> 1 ^к п'1 '

Теорема Баума - Каца была распространена и на случай мульти-ннднксировапиых семейств случайных величин ([39], [46], [47], [48], [70]). Чтобы привести результаты необходимые нам в дальнейшем, введем следующие обозначения.

Для любых векторов х = (х\,., rrj) и у = (i/i,., г/Д принадлежащих множеству M.d, d > 1, (в частности для m, n G будем писать х > у (х > у), когда х\ > у{ (х{ > yi) для каждого г. Также будем обозначать ху = {xiyi,.,xdyd), х/у = (xi/yu Xd/Vd), когда у{ ф 0 при всех г, ху = (х\1,., xydd) для х и у таких, что xf имеет смысл при всех г, х) = х\. x<i для х G

Сумму векторов н умножение вектора на скаляр, как обычно, определим покомпонентно. Кроме того, для каждого действительного с обозначим с = (с,.,с) и положим log+£ = max(log:r,0) для х > 0. Эти обозначения мы будем использовать па протяжении всей работы. В 1978 году Гут доказал следующую теорему.

Теорема 5. ([46]) Пусть {ATnjneN''- н.о.р. случайные величины и Sn = X]k<n^k* Пусть такэюе заданы действительные числа а > 1/2 и q > 1 /а. Тогда следующие три соотношения эквивалентны:

E|Xi|(/(log+ \Xi\y1"1 <оо и, дополнительно, ЕХ\ — 0 при q> 1, (13)

J2 (n)'ya2P(|5n| > £(п)а) < 00 для любого £ > О, (14) п)г/я2Р (max |5k| > £(п)й j < оо для любого £ > 0, (15) ne№* \ -п /

В случае когда q > 1/а, эти условия такэюе эквивалентны следующему:

V kqa~2p I sup -гт^ > А < оо для любого £ > 0. (16)

В 1996 году Денг распространил этот результат на более общий случай нормирующих множителей.

Теорема 6. ([39]) Пусть наборы чисел {tii}f=i и таковы, что

1/2 < а{ < 1 и q{ > 1/а,-, i = l,.,d. (17)

Пололсим q — max qi иг = G N, 1 < г < d : qi = q}. (18)

1 <i<d

Тогда условия

E|Xi|9(log+ |Xi|)r1 < оо, E*i = 0 (19) и

Y, "Г1"2 • • • пГ'"2р(тах N > en?1. г#) < оо, Ve > 0. (20) neNd k<n эквивалентны.

Взглянем еще раз на соотношение (10), описывающее скорость сходимости нормированных сумм случайных величин к пулю. Легко видеть, что сумма этого ряда стремится к бесконечности, когда е убывает к пулю. Представляется интересной задачей найти асимптотику по е с которой происходит это возрастание. Частично ответ на этот вопрос дается в статьях [35] и [49]. Для наборов и.о.р. случайных величин с законом распределения, принадлежащим области притяжения некоторого устойчивого закона распределения, необходимо отмстить результаты полученные в [24] и [25].

Аналогичный вопрос можно ставить и в случае мультиипдекстрован-ных слагаемых. Для суммы ряда в формуле (14) асимптотика возрастания но е установлена в работе [50]. А именно, доказано, что в случае q> 2 qg-l

Et=m

I <=> I ne№ да/2

21) d — l)\(qa — l)(a — l/2)d1'

Одна из теорем диссертации обобщает этот результат. А именно, получена асимптотика возрастания по £ суммы ряда пГ~2. • n'r-2P(\Sn\ > en? . n?) < 00. (22) nSNd

Как уже было отмечено, скорость сходимости нормированных сумм случайных величии к их математическому ожиданию может быть описана и в терминах пеполиномиальиых весовых коэффициентов. Для случая "умеренно возрастающих" коэффициентов аналог теоремы Баума-Каца о скорости сходимости был приведен Пио в работе [69].

Необходимо отметить, что многие из перечисленных результатов о сходимости вполне получили свое развитие в работах, посвященных предельным теоремам для случайных величин со значениями в произвольных банаховых пространствах. Следует упомянуть работы [29], [42], [56].

В данной диссертации изучается предельное поведение нормированных сумм (в том числе взвешенных) независимых случайных величии. При этом внимание уделяется как результатам, выполняющимся почти наверное, так и асимптотическим оценкам вероятностей превышения заданных уровней. Описание проводится в терминах сходимости или расходимости рядов, элементами которых являются указанные вероятности, умноженные на некоторые весовые коэффициенты. В последние годы значительные результаты, развивающие этот подход к описанию скорости сходимости в законе больших чисел, были установлены А.Гутом, А.Спатару, Л.В.Розовским, Х.Ланцингером, У.Штадтмюллером, Д.Пио, И.Фазекашем и многими другими математиками.

Новые эффекты возникают при изучешш сумм мультииидексирован-ных случайных величин. Именно анализу таких массивов в диссертации уделяется основное внимание.

В основе диссертации лежат работы автора [10], [12], [13], [14], [33] и [40]. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции, посвященной 90 - летию академика Б.В.Гнеденко, Киев, июнь 2002г., на XXVI-й конференции молодых ученых механико-математического ф-та МГУ, Москва, апрель 2004г., на XIV-й Европейской конференции молодых вероятностников и статистиков, Будапешт, август 2005г., на Ломоносовских чтениях, Москва, апрель 2006г., на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико - математического факультета МГУ (рук. член-корр. РАН, проф. А.Н.Ширяев) в октябре 2006г. и па С.-Петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике (рук. акад. РАН, проф. И.А.Ибрагимов) в декабре 2006г.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, насчитывающего 79 наименований.

1. Биллннгсли П. Сходимость вероятностных мер. М.:Наука 1977.

2. Болдин М.В., Симонова Г.И., Тюрин Ю.Н. Знаковый статистический анализ линейных моделей. М.гНаука. Физматлит 1997.

3. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.-.Физматлит 2003.

4. Булинский А.В. Замечание о нормировке в законе повторного логарифма. // Теория вероятн. и ее примен. 1977, том 22, №2, стр. 407-409.

5. Булинский А.В. О функциональном законе повторного логарифма. // ДАН СССР, 1978, том 235, №5, стр. 1025-1027.

6. Булинский А.В. Новый вариант функционального закона повторного логарифма. // Теория вероятн. и ее примен. 1980, том 25, №3, стр. 502-511.

7. Булинский А.В., Лифшиц М.А. Наилучшая скорость сходимости в законе Штрассена для случайных ломаных. // Вестник Моск. ун-та. сер.1, математика, механика. 1995, №5, стр. 37-42.

8. Булинский А.В., Лифшиц М.А. Скорость сходимости в функциональном законе повторного логарифма при нестандартных нормирующих множителях. // Успехи матем. наук. 1995, том 50, №5, стр. 83-102.

9. Булинский А.В., Лифншц М.А. Rates of clustering in Strassen's law for random polygons. // Записки семинаров ПОМИ. 1996, том 228, стр. 57-66.

10. Булинский А.В., Дильман С.В. Универсальная нормировка в законе повторного логарифма. // Успехи матем. наук. 2002, том 57, №2, стр. 193-194.

11. Гафуров М.У., Ротарь В.И. О выходе случайного блуждания за криволинейную границу. // Теория вероятн. и ее примен. 1983, том 28, №1, стр. 169-175.

12. Дильман С.В. Обращение обобщенной теоремы Хартмана-Виитнера. // Вестн. Моск. ун-та. сер.1, математика, механика.2003, №6, стр. 56-58.

13. Дильман С.В. Уточнение закона повторного логарифма для геометрически взвешенных рядов. // Тезисы XXVI-й конференции молодых ученых механико-математического ф-та МГУ, Москва,2004, стр. 26.

14. Дильман С.В. Асимптотика в формуле Баума-Каца для случайных полей. // Математические заметки 2006, том 72, №5, стр. 674680.

15. В.А.Егоров. О законе повторного логарифма. // Теория вероятн. и ее примен. 1969, том 14, №4, стр. 722-729.

16. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные случайные величины М.:Наука, 1965.

17. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и фу-екционального анализа. М.:Наука 1976.

18. Ламперти Дж. Вероятность. М.:Наука 1973.

19. Мартикайнен А.И. Обращение закона повторного логарифма для случайного блуждания. // Теория вероятн. и ее примен. 1980, том 25, №2, стр. 364-366.

20. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.:Наука 1987.

21. Розовский JI.B. Оценки скорости сходимости в усиленном законе больших чисел. // Математические заметки 1983, том 34, №6, стр. 883-895.

22. Розовский JI.B. Некоторые оценки для вероятностей одногсторон-них больших уклонений. // Теория вероятн. и ее примен. 1984, №4, стр. 800-804.

23. Розовский JI.B. Нормальная аппроксимация при вычислении скорости сходимости в слабом законе больших чисел. // Математические заметки 1986, том 40, №2, стр. 252-268.

24. Розовский JI.B. О точной асимптотике в слабом законе больших чисел для сумм независимых случайных величин с общей функцией распределения из области притяжения устойчивого закона. // Теория вероятн. и ее примен. 2003, том 48, №3, стр. 585-595.

25. Розовский JI.B. О точной асимптотике в слабом законе больших чисел для сумм независимых случайных величин с общей функцией распределения из области притяжения устойчивого закона II. // Теория вероятн. и ее примен. 2004, том 49, ДМ.

26. Хохлов Ю.С. Закон повторного логарифма для случайных векторов с оперативно устойчивым предельным законом // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. вычислит, мат. и кибернетика, 1995, №3, стр. 62-68.

27. Ширяев А.Н. Вероятность 1. М.гМЦНМО 2004.

28. Ширяев А.Н. Вероятность 2. М.:МЦНМО 2004.

29. Adler A., Volodin A. On compltet convergence of the sum of a random number of stable type p random elements. // Internat. J. Math, к Math. Sci. 1995, vol. 18, №1, pp. 33-36.

30. Basu K. A note on Strassen's version of the law of the iterated logarithm. // Proc. Amer. Math. Soc. 1973, vol. 41, №2, pp. 596-601.

31. Baum L.E., Katz M. Convergence rate in the law of large numbers. // Trans. Amer. Math. Soc. 1965, vol. 120, pp. 108-123.

32. Bovier A., Picco P. A law of the iterated logarithm for geometric series. // Ann. Probab. 1993, vol. 21, №1, pp. 168-184.

33. Bulinski A.V., Dilman S.V. Some generalizations of the Hartmann-Wintner theorem. Abstracts of the International Gnedenko 90-th Anniversary Conference, Kiev, 2002, p. 11.

34. Berkes I. The functional law of the iterated logarithm for dependent random variables. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1973, vol. 26, №3, pp. 245-258.

35. Chen R. A remark on the tail probability of a distribution. //J. Multivariate Anal. 1978, vol. 8, pp. 328-333.

36. Chover J. On Strassen's version of the loglog law. // Z. Wahrsch. verv. Geb. 1967, vol. 8, №1, pp. 83-90.

37. Chow Y.S. Delayed sums and Borel sumrnability of independent, identically distributed random variables. // Bull. Inst. Math. Acad. Sinica 1973, vol. 1, pp. 207-220.

38. Chow Y.S., Lai T.L. Some one-sided theorems on the tail distribution of sample sums with application to the last time and largest excess of boundary crossing. // Trans. Amer. Math. Soc. 1975, vol. 208, pp. 51-72.

39. Deng D. Complete convergence and convergence rates in Marcinkiewicz law of large numbers for random variables indexed by Ъ%. // Math. Appl. 1996, vol. 9, M, pp. 441-448.

40. Dilman S.V. The asymptotics in the Baum-Katz formula for multidimensionally indexed random variables. // Abstracts of 14-th European Young Statisticians Meeting, Budapest, 2005, p. 11.

41. Erdos P. On a theorem of Hsu and Robbins. // Ann. Math. Statist. 1949, vol. 20, pp. 286-291.

42. Feller W. The general form of the so-called law of the iterated logarithm. // Trans. Amer. Math. Soc. 1943, vol. 54, №3, pp. 373402.

43. Feller W. An extension of the law of the iterated logarithm to variables without variance. // J. Math. Mech. 1968, vol. 18, №4, pp. 343-355.

44. Feller W. One sided analogue of Karamata's regular variation. // Enseignement Math. 1969, vol. 15, pp. 107-121.

45. Gut A. Marcinkiewicz laws and convergence rates in the law of large numbers for random variables with multidimensional indices. // Ann. Probab. 1978, vol. 6, №3, pp. 469-482.

46. Gut A. Convergence rates for probabilities of moderate deviations for sums of random variables with multidimensional indices. // Ann. Probab. 1980, vol. 8, №2, pp. 289-313.

47. Gut A. Strong laws for independent identically distributed random variables indexed by a sector. // Ann. Probab. 1983, vol. 11, №3, pp. 569-577.

48. Gut A., Spataru A. Precise asymptotics in the Baum-Katz and Davis law of large numbers. // J. Math. Anal. Appl. 2000, vol. 248, pp. 233-246.

49. Gut A., Spataru A. Precise asymptotics in some strong limit theorems for multidimensionally indexed random variables. // Journal of Multivariate Analysis 2003, vol. 86, pp. 398-422.

50. Hartmann P., Wintner A. On the law of the iterated algorithm. // Amer. J. Math. 1941, vol. 63, pp. 169-176.

51. Heyde C.C. On the converse to the iterated logarithm law. //J. Appl. Probab. 1968, vol. 5, №1, pp. 210-215.

52. Heyde C.C. Some properties of metrics in a study on convergence to normality. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1969, vol. 11, pp. 181-192.

53. Hoffrnann-Jorgensen J. Sums of independent Banach space valued random variables. // Studia Math. 1974, vol.52, pp. 159-186.

54. Hsu P.L., Robbins H. Complete convergence and the law of the large numbers. // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1947, vol. 33, pp. 25-31.

55. Jain N.C. Tail probabilities for sums of independent Banach space valued random variables. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1975, vol. 33, pp. 155-166.

56. Jain N.C., Jogdeo K., Stout W.F. Upper and lower functions for martingales and mixing processes. // Ann. Probab. 1975, vol. 3, №1, pp. 119-145.

57. Katz M. The probability in the tail of a distribution. // Ann. Math. Statist. 1963, vol. 34, pp. 312-318.

58. Khinchine A. Ueber einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung. // Fund. Math. 1924, vol. 6, pp. 9-12.

59. Khoshnevisan D. Multiparameter processes. An introduction to Random Fields. Springer, 2002.

60. Klesov О., Rosalsky A. A nonclassical law of the iterated logarithm for i.i.d. square integrable random variables. // Stochastic Anal. Appl. 2001, vol. 19, M, pp. 627-641.

61. Kolmogoroff A. Ueber das Gesetz des iterierten Logarithmus. // Math. Ann. 1929, vol. 101, pp. 126-135.

62. Lai T.L. Reproducing kernel Hilbert spaces and the law of the iterated logarithm for Gaussian processes. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1974, vol. 29, №1, pp. 7-19.

63. Lai T.L. Limit theorems for delayed sums. // Ann. Probab. 1974, vol. 2, pp. 432-440.

64. Lanzinger H. A Baum-Katz theorm for random variables under exponential moment conditions. // Statist. Probab. Lett. 1998, vol. 39, pp. 89-95.

65. Lanzinger H., Stadtmuller U. Refined Baum-Katz laws for weighted sums of i.i.d. random variables. // Statistics and Probability Letters 2004, vol. 69, pp. 357-368.

66. Oodiara H., Yoshihara K. The law of the iterated logarithm for stationary processes satisfying mixing conditions. // Kodai Math. Sernin. Rep. 1971, vol. 23, №3, pp. 335-342.

67. Oodiara H. On Strassen's version of the law of the iterated logarithm for Gaussian processes. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1972, vol. 21, №4, pp. 289-299.

68. Piau D. Maximal generalization of Baum-Katz theorm and optimality sequential tests. // Prepublication du Laboratiore de Probability Statistique et Combinatoire, 2000, Universite Claude Bernard, Lyon 1. (http://arxiv.org/abs/math/0510043)

69. Smythe R. Sums of independent random variables on partially ordered sets. // Ann. Probab. 1974, vol. 2, pp. 906-917.

70. Spitzer F.L. A combinatorial lemma and its application to probability-theory. // Trans. Amer. Math. Soc. 1956, vol. 82, pp. 323-339.

71. Steiger W.L., Zaremba S.K. The converse of the Hartmann Wintner theorem. // Z. Wahrsch. Verw. Geb. 1972, vol. 22, №1, pp. 193-194.

72. Stoica G. Functional local law of the iterated logarithm for geometrically weighted series. // Statistics and Probability Letters. 2003, vol. 62, №2, pp. 71-77.

73. Strassen V. Almost sure behaviour of sums of independent random variables and martingales. // Proc. 5-th Berkeley Symp. Math. Statist. Prob. 1965, vol. 2, №3, pp. 315-343.

74. Strassen V. A converse to the law of the iterated logarithm. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1966, vol. 4, AM, pp. 265-268.

75. Strassen V. An invariance principle for the law of the iterated logarithm. // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1964, vol. 3, №3, pp. 211-226.

76. Strassen V. Almost sure behavior of sums of independent random vriables and martingales. // Proc. 5-th Berkeley Symp. Math. Statist. Prob. 1967, vol. 2, pp. 315-343.

77. Wichura M.J. Some Strassen-type laws of the iterated logarithm for multiparameter stochastic processes with independent increments. // Ann. Probab. 1973, vol. 1, pp. 272-296.

78. Zhang L.-X. Strong approximation theorems for geometrically weighted random series and their applications. // Ann. Probab. 1997, vol. 25, №4, pp. 1621-1635.