Условия существования релятивистских ударных волн в средах с общим уравнением состояния тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГ6 од

Кшвсышй ушверситет ¡меш Тараса Шевченка

2 2 :;;:;! ' -

на правах рукопису

Тшпаренко Павло ШталШович

УДК 530.12; 539.12

УМОВИ1СНУВАННЯ ТА СТ1ЙКОСТ1РЕЛЯТИШСТСЬКИХ УДАРНИХ ХВИЛЬ У СЕРЕД ОВИЩАХ 3 ЗАГАЛЬНИМ Р1ВНЯННЯМ СТАНУ

01.04.02- теоретична ф1зика

Автореферат дисертацй' на здобуття наукового ступеня кандидата ф!зико-математичних наук

Кшв 1998

Дисертащею е рукопис.

Роботу виконано на кафедр1 теоретично! ф!зики Кшвського ушверситету ¡м. Тараса Шевченка

Науковий кер!вник: доктор ф{зико-математичних наук Жданов

Валер!й 1вановИч, Астроном1чыа обсерваторш Кишського ушверситету ¡меш Тараса Шевченка, зав. вэддшэм астроф1зики

Офщмш одоненти:

доктор фгзико-м am см am ичних наук, професор Кобушкш Олександр Петрович, 1нститут теоретично! ф1зики iM. М.М. Боголюбова HAH Украши, м. Ки!в, пров. наук. сп1вроб1тник.

кандидат ф1зико-математичних наук Кришталь Олександр Нектаршович, Головна астроношчна обсерваторш HAH Украши, м.Кшв, старший наук, сшвр.,

Пров1дна установа: Днтропетровський державный университет.

зас!данш спещаызовано! вчено! ради Д.26.001.08 при Кшвському yiiiBepcirreTi ¡мет Тараса Шевченка (252022, м.Кшв-22, Нр. Академша Глушкова, 6, ф1зичний факультет, ауд. N 500)

3 дисертащею можна ознайомитись у öiÖAicrreiy Кшвського ушверситету iM. Тараса Шевченка (м.Кшв, вул. Володимирська, 58)

Автореферат розкланий Л 1998 р.

та ф1зики Сонця.

A.B. Поперенко

Загальна характеристика роботи.

Акту ал ьн1сть темп.

Г1дродинамша е одною з найстаршшх та в одночас одною з найпоширешших галузей ф1зично! науки. Це пояспюеться надзвичайно широким розповсюдженням явищ, що можуть описуватись пдродинамшним чином та не абиякою складтстю р1внянь г1дродинам1ки. Одним з тишв розв'язив Г1дродинам1чних piBHHHb е так зват yAapui хвим, яи е розривними розв'язками. Зв1сно, розриви не можуть бути розв'язками диференщйних piBHHHb. Але для piBHHHb гшербомчного тину, якими е р1вняння пдродинамжи, попяття розв'язку можна узагальнити i ввести поняття так званого узагальненого розв'язку. Такий тип мають i yAapui хвиль Саме вони взагал! спричинили розвиток теорп узагальнених розв'язив систем диференщйних piBHHHb, яка е на даний час дуже шидною та розгалуженою галуззю математично'1 науки. Щодо прикладних застосувань теорц ударних хвиль, то вона теж е дуже широкою. Ударю xBHAi виникають при розгляд! задач про обтжання крила лггака, про вибухи, про pyx поршшв, в задачах про атмосферш рухи та у багатьох шших.

Релятивктська пдродинамжа почала розвиватись одразу шсля створення Ейнпггейном спещальноГ теорн в}дносносп. 3 математично! точки зору р1вняння релятттастсько! пдродинамжи е под1бними до аналопчних нерелятивкггських piBimiib (вони rinep6oAi4Hi). Тому тут теж можлив1 yAapui XBHAi, як1 й були вперше розглянуп у 1948 рощ Таубом. Областями застосувань релятивстсько! пдродинамжи е високоенергетичш зггкнення важких ядер та астроф1зика. Heo6xiAHicTb розгляду ударних хвиль постае як в тш, так i в шшш галузь В теорн зтшень вперше застосовувати пдродинамжу було запропоновано Л.Д. Ландау. Тут два ядра розглядаються як ABi piAKi краплини. При 1х 3iTKHeHHi в1дбувасться розпад довольного розриву, складовими частинами якого HeoAMiHHO е ударш хвил!. В астроф1зищ

ударш хвил1 виникають в першу чергу у славнозвюшй проблем! гранта цшного колапсу та спалах1в наднових. Як в1домо, загальноприйнятою точкою зору на причину спалаху надново! та скидання п оболонки е те, що це явище в1дбуваеться завдяки наявноси так звано! ударно! хвпм гвдскоку, яка з тих чи шших причин утворюеться у центр1 колапсуючо! з1рки та розповсюджуеться у напрямку зовшшшх шар1в. В1домо, що в залишках наднових знаходяться пульсари, яю мають сильш магштш поля. Тому розповсюдження ударно! хвшц в1дскоку фактично треба розглядати в рамках магштно! пдродинамжи. Кр1м того, ударт хвил! виникають у процесах акрецп м!жзоряно! матери на компакта! об'г.кти (де теж е суттевими магштш поля), що спричиняе сплески рентгешвського випромшювання. Гснують теорн, в яких ударним хвиляк приписуеться ведуча роль у мехашзм! гамма-сплесип (барстери).

Таким чином, досллджсшш умов ¡снування та стшкосп ударних хвиль у релятив^стськш пдродинамщ1 та магштнш пдродинам1щ е важливою науковою проблемою. Це дозволяе видшгги ф1знчно припустим! та неприпустим! ударш хвшй (як! формально р. узагальненими розв'язками пдродиналичннх р1внянь), що може суттево впливати на сутшсть ф1зичних тсорш.

Кр^м того, важливу роль в теорп ударних хвиль вщграе р1вняння стану. Як правило, розглядаються так зваш нормальш р1вняння стану (у розумшш Бете та Вейля), для яких теор!я ударних хвиль е трив1альною. Але в останш часи у зв'язку з В1дкриттям нових матер1ал1в, посилився 1нтерес до речовин з аномальними термодинам1чними властивостями (де порушуються постулати Бете-Вейля), для яких теорщ ударних хвиль суттево ускладнюеться. Зокрема, в > ;релятивкто>кш областч аномалып властивост! проявляе ядерна речовина при достатньо високих густинах. Цей факт мае суттево в1дбиватися на властивостях ударних хвиль в!дскоку та в !нших процесах в густих астроф1зичних системах. Тому е важливими

тлю досыдження властивостей ударних хвиль, яш не спираються на аксюматику Бете-Вейля, тобто для речовин з загальним р1внянням стану.

Зв'яэок роботя з науковими програмами, планами, темами.

Результати, що викладеш в дисертацн, було отримано в рамках виконання держбюджетних тем "Клнематика, структура та ф1зичш властивосп позагалактичних об'екпв" 1993-1996р. держреестраци 0195и030528), "Теоретичш достидження проблем релятивютсько! динамши та релятивютських систем в1длжу: розробка метод1в, астрометричш та асгроф1зичя1 ластосування" 1993-1995р. (Ы% держреестраци 019511030518) та "Дослдджешш структури та ф)31гчиих властивостей позагалактичних та рслятив!стських систем у Всесвт" 1997-2000р. (N"0 держреестрацп 197У003013). Останню тему включено до комплексно!' науково! программ Кгавського ушверситету "Фгзичш та метричт властивосп Всесвггу, його походження 1 еволюцщ"

Мета 1 зада'п дослщження,

Метою дисертацп е досллдження умов юнування та стшкосп ударних хвиль для релятив1стсько! мапптно! г1дродинам!ки в рамках методу мало! в'язкосп для загального р1вняння стану (тобто в якому може порушуватись релятивйггський аналог аксюматики Бете-Вейля), а також вивчення взаемозв'язив м1ж р1зними критер1ями нестшкосп та неприпустимосп для звичайно! Г1Дродинам1Ки. Це дозволяе в ид ¡лиги обласп термодинам1чних парамегр!в, де ударш хеши с ф1зичними 1 встановити таким чином можливють чи неможлив1сть ¡снувашш тю! чи шшо! конкретно! ударно! хвил!. Кр1м того, важливою е також розробка надшних чисельних метод1в розрахунку пдродинам!чних течш, чому теж придьлено увагу у дисертацп. В1дпов1дно до цього, в дисертацп були поставлен! так! завдання: •

1. Досллдити вел ¡спуюча умови нестшкосп та неприпустимосп ударних хвиль у релятив1стськш г1дродинамщ1 та одержати сшбв1аношс1шя взаемозв'язку М1Ж ними, тобто з'ясувати, яким чином щ умови перекривають одна одну. Теж саме зробити також х для квазшестшкостей.

2. Розробити надшний чисельний метод для розв'язання р!внянь одновим1рно-1 релятивкггсько! г1дродинам1ки для випадкш' плоско'!, цилшдрично! та сферичноУ симетрш. В1дтестувати цей алгоритм на в1домих розв'язках. На його основ! здшенити розрахунок сферичноУ конф1гурацп, що гомолопчно стискаеться, яка е передмоделлю г1дродинам1чного колапсу. Досллдити залежш'сть ударноУ хвил! В1дскоку в(д величини облает фазового переходу у модельному кусково-лшшному р!впянш стану.

3. Одержати умови гснування ударних хвиль у релятив1стськш магштнш пдродинамщ! на основ! методу малоУ в'язкосп. Досл1дити зв'язок з умовами еволюцшность Застосувати одержаний критерш до нерелятив1стського випадку та для випадк1в паралелыюУ та перпендикулярно! ударних хвиль.

Наукоза новизна одержаыих результатов.

1. Дослужено в'заемозв'язок М1Ж р1зпими умовами неприпустимосп та нестшкоси релятив1стських ударних хвиль. Показано, що найб!лып обмежувальним у випадку однозначних ударних ад!абат е критерш ¡снування в'язкого проф!лю. Показано, що во нестшш та неприпустим! ударш хвил1 розпадаються за законами розпаду довольного розриву.

2. Дослужено квазшестшгасть ударно! хв!ш типу трьоххвильового" спонтанного галуження. Одержано умови юнування та спонтанного виникнення трьоххвильовоУ конф1гурац1] "ударна хвиля- проста хвиля- нахилена ударна хвиля" та показано, що вони

ствпадають з умовами квазшестшкосп в ¡двоено спонтанного випромгаювання звуку ударним фронтом.

3. Побудовано р1зницеву схему для р1внянь релятивцп-сько! г^родинамши для виггадшв плоско!, цилшдрично! та сферично! симетрш, яка враховуе принцип повно! консервативность В1дпов1дну програму аттестовано на в^омих анал!тичних та автомодельних прикладах.

4. Розраховано динамшу р1дко! сфери, що гомолопчно стискасться. Показано, що амплггуда ударно! хеши поскоку зростае 13 зб!лыненням величини облает! фазового переходу у р1вняшн стану.

5. Одержано критерий кнування ударних хвиль у релятив1стськш магштшй пдродипамщ! на основ! методу мало! в'язкосп як критерш ¡снування в'язкого профьмо. Дослужено зв'язок цього критерия з умовами еволюцшность Показано, що на В1дмшу в1д нерелятив1стсько! пдродинамжи, насл!дки, що одержуються е б1лын обмежувальними у пор!внянш з наемдками умов еволюцшносп. Зокрема, виникас нова характерна швндкктъ, яка приводить до б1\ьш жорсткого, п ¡ж умови еволюц1йноспг обмеження на ¡снування швидких ударних хвиль.

Наукове та практично значения отриманих результатгв.

Значения робота полягае в тому, що одержан! результата дозволяють проводити анал!з ударних хвиль на предмет можливосп !х кнування як в рамках звичайно!, так ! магштно! релятив)стсько! г!дродинам!ки. Побудована у робот! чисельна р!зницева схема дозволяв обчислювати не т!льки розглянуп у дисертацн задач!, а також ншроке коло шших задач реляпшстсько! пдродинамжи, що виникають в астроф!зиц! та ядерн!й ф!зищ. Запропоновано нову характерну швидк!сть релятив!стсько! магнггно1 г1дродинам1ки, наявп!сть яко! с особлив!стю саме релятив!стсько! теорц. Результата та висновки, отримаш в дисертацшнш робот!, розширюють

можливост1 досл1джень високоенергетичних нроцест, пов язаних з наявшстю ударних хвиль. ' '

Апробацгя роботи та публжаци.

Основн1 результата дисертаци допов1дались на м1жнароднш конференцп "Symmetry in nonlinear mathematical physics" (Кшв, 1995 p.), 9-й Российской гравитационной конференции (Новгород, Россия, 1996 р.), 4-й р«жнародшй конференцп молодих вчених (Кшв, 1997 р.), 6-й Свропейськш конференцп Joint European and National Meeting JENAM-97 (Салошки, Грецш, 1997 p.), 4-му з'1зд4 Укра'шсько! Астроиомишо! Лсощацп (Кшв, 1997 p.), наукових ceMiHapax в^Л'лу acтpoфiзики та физики Сонця Астроном1чно"1 обсерватори Кшвського ун!верситету ¡меш Тараса Шевченка.

По TeMi дисертацп зроблено ппсть po6iT, опублжованих у вигляд1 статей в наукових журналах.

Особистий внесок автора.

В роботах, що виконаш у сшвавторств1 з науковим кср1вником, особистий внесок полягав в обговорсшп постановки задач та BHCHOBKiB, проведенш розрахунив. У роботах, що виконаш особисто, було noBiiicno поставлено та розв'язано в1днову\,ш задача

Структура та обсяг диссртацП.

Дисертацшну роботу викладено на 141 Сторшщ машинописного тексту; вона мютить 37 рисуншв; складаеться ¡з вступу, 3 глав, BHCHOBKiB, списку використано'1 лггератури з 112 найменувань та 6 додатгав.

Зм1ст роботи

У Встуга обгрунтовано актуалыпсть теми дисертацн, проаналгзоано проблематику, якш вона присвячена, та визначено коло задач, що розглядаються у робой.

Першу главу присвячено досидженню р!зних тишв нестшкостей, неприпустимостей та квазшестшкостей ударних хвиль у релятив!стськш г1дродинамщ1.

У роздш 1.1 окреслено актуальность дослдджень, що проведено у перппй глав1, а також основш результати та особливосп розгляду.

У роздш 1.2 переллчено та описано вс1 типи неприпустимостей та нестшкостей: (а) нееволюцшшсть, (Ь) негснування в'язкого профш!, (с) гофрирувальна нестШюсть та (<1) нестшк1сть вдаосно розпаду розриву.

Розд1л 1.3 присвячено дооидженшо взаемозв'язкгв М1'ж введеними у попередньому роздШ неспйкостями та неприпустимостями. Показано, що критерш ¡снування в'язкого профйю

для вс1Х V м1ж У0 та , де рн(^)" ад!абата Гюгоню-Тауба, а р{У)-деяка шаблонна крива, шдексами О та 1 позначено стани перед та за ударним фронтом, е найб!лып обмежувальним для однозначних ударних ад!абат Рн{У)- Загалом, отримано так! сшвв1дношення м1ж перел1ченими несп'йкостями та неприпустимостями: (а)=>(Ь)=> (с!);- (с)=>(с1).

KpiM того, для однозначних адшбат Гюгошо-Тауба справедливе (а)<=>(с)^>(Ь). Показано, що Bei HecrifiKi та неирипустим! ударш хвшй рознадаються за законами розпаду дов1льного розриву. Вказано на те, що для випадку неоднозначних ударних ад1абат можуть розпадатись нав1ть criÜKi та цирком ф1зичш ударш хвшй, i цю неедишсть розв'язку неможливо розв'язати у рамках пдродинампш, так що треба притягувати додаткову шформацно нег1дродинам1чного характеру. Bei можливост! розпаду прошостровано в!дпов1дними рисунками.

У роздЫ 1.4 описуються квазшестшкосп типу спонтанного галуження на двовтпрну трьоххвильову конфпуращю "ударна хвиля- проста хвиля- нахилена ударна хвиля" та спонтанного випромшювання звуку ударним фронтом. Трьоххвильову

х г

о

v

II

III' /

III

контактнии розрив ,,

рис.1

Трьоххвильова розгалужена конф1гуращя. 1- Buxigna ударна хвиля, 2-нахилена ударна хвиля та 3- двовиьирна проста хвиля (в/'яло Прандтля-Мейера)

ксшф)гурац]Ю зображено на рис.1. Тут 1-вшодна ударна хвиля, 2-нахилена ударна хвиля (спотворена вшпдна), 3- двовим1рна проста хвиля (вшло Прандтля-Мейера). Кут у вважаеться малим, а хвиля 3-слабкою (звуковою), що дозволяе розглядати цю конф1гуращю як мале збурення. Точка О рухаеться праворуч з деякою швидкктю У(, яка обчислюеться у дисертацИ. До трудностей розгляду взноситься те, що ця точка може рухатись з надсвггловими швидкостями. В загальному випадку хвиля 3 може як приходити у точку О, так 1 виходити з не!. Звюно, що квазшестшюстю буде лише випадок хвим, що пиходтъ. Якщо хвиля приходить, то це- мале зовшптне збурення.

У роздш 1.5 розглянуто загальну трьоххвильову конф1гуращю, зображену на рис.1 незалежно В1д того, приходить чи виходить з точки О хвиля 3. Задовольняючи умов!, що потш мае повертатись хвилею 2 та системою хвиль 1+3 на однаковий кут, одержано умову ¡снування конф1гурацц, зображенок' на рис.1, що мае такий вигляд

-> ск яг^Н ор

в 2М25(1 + А2] * ~~ А2 + ~ А(1 + 52)

V

~2 . (1-е2)

де М - —Г7-гт, С5- швидюсть звуку, V- швидюсть газу за

е + р

фронтом вих1дно! ударно'! хвои в1дносно самого фронту, X = 2 "

п

узагальнений питомий об ем, ш - квадрат потоку речовини через

ударний фронт, 0=—- коефщент стиснення, А — —¡=~-—,

Х Ул1

5 = 1д{у'—(х), ígгa = А, штрих при У означае, що цей кут береться у систем! координат, що пов'язана з точкою О, пох!дна береться вздовж ад!абати Гюгоню-Тауба. 1ндекс "О" взноситься до стану перед

вгоодною ударною хвилею 1, а во величини без ¡ндекса беруться за фронтом щс! хвшй.

У роздии 1.6 одержано умови ¡снування трьоххвильово! конф1гурацп з хвилею 3, що виходить з точки О, тобто умови квазшестшкость Ц1 умови записуються у такому виглядк

1 + 2М + &У2

1-М2-9М2+6у2

1-м2+ем2-еу2 ~т"др

н

< • -1-е^2

,, V-

де Л1 = —-. число Маха за фронтом. Тим самим доводиться, що, як 1 св

в нерелятив!стському випадку, умови квазшестшкосп в^дносно галуження сшвпадають з умовами квазшестшкосп В1Дносно спонтанного випромшювання звуку ударним фронтом.

Другу главу присвячено чисельним досл1дженням р!внянь релятив1стсько1 пдродинамши.

У розд!л1_2Л проведено огляд основних чисельних методш для р1внннь гшербол1чного типу (якими е р1вняння пдродинамши). Кр1м того проведено огляд лггератури з питань гравггацшного колапсу та спс1лах1в наднових, необх^дшсть якого пов'язана з питаниями, що розглянуто в останньому роздий ще! глави.

У роздш_2.2 наведено базов1 р1вняння одновим1рно!

релятив1стсько1 г1дродинамжи для випадюв плоско!, цнмндрично! та сферично! симетрш. Р1вняння записано у зручнш для подальшого, компактшй формк

Л

д Ы1

■ V-

п J

д_ дг

\n-J\-v2,

^1 = 0.

де V- швидюсть, П- густина барюнного числа, р- тиск, 8- густина

координата, Л = 0,1,2 в1дпов1дно для плоско!, цшиндрично! та сферично! симетрш.

У розд1л1 2.3 проведено чисельну апроксимаццо системи р1внянь (1) за допомогою принципу повно! консервативност1 р1зницевоУ схеми. Цей принцип полягас в тому, що кр1м закошв збереження (1) повинш чисельно виконуватись також !х диференцшш насл1дки, зокрема баланс внутршшьо! енергп

Виявляеться, що для р1вшшь релятивкггсько! г1дродинам!ки абсолютно повшстю консервативну схему, яка б мала добр! стшюстт властивосп, побудувати не можна. Але певним побором параметр1в В1дпов1дт нев'язки можна мШ1м!зувати. В результат! одержуеться р!зн1щева схема, яку можна назвати максимально консервативною, яка мае такий вигляд:

енерш, включаючи

енерпю спокою, — лагранжева

Г

9

г, = У

(0.5)

Де

А, =

А - А

1,

АС+1) - А

А(а) = аА 4- (1 - а)А, R = irm)

J-0

А(-1) -А

{{r2 + r2+rr)/3, J = 2

J = 1, А = А/

j+i

А—А/, А(+.1) = А/+1, А(-1)=А/_!, Т- крок по часу, Л- крок по лагранжевш координат!. Тут швидщсть та ейлерова координата мають братись у цьлих точках, а термодинам1ЧШ змшш- у иашвщлих.

У роздШ 2.4 одержану у попередньому роздШ р1зницеву схему тестуеться на двох прикладах. Перший- це ударш хвим стиснення та розр^джелня у речовиш з модельним кусково-лшшним р1внянням стану, як1 не мають в'язкого профит, 1 тому повииш розпадатись на деяку шшу конф1гуращю, що складасться з ударних хвиль меншо!

10 00 - .

stedc ' ] anrttucte

El

• е

рис.2

Модельне кусково-лштне

piBwumx стану з фазовим переходом

Де

0.00 4.00 too 1200 16.00 2000

рис.3

Залежшсть амплгтуди ударно/ хвилг в1дскоку Big величины област1 фазового переходу у р[внянт стану, зображеному на рис.2

400

амплпуди та простих хвиль. Ця задача мае плоску симетрпо та аналтиний розв'язок. Другий приклад- це автомодельний сферично симетричний релятив!стський розв'язок "краплина, що випаровуеться" з наявшстю ударно'! xbhaî розр1дження, що прямуе до центра. Тут результата схеми пор1внювалось 3i зшитим у точщ Чепмена-Жуге з ударною хвилею розв'язком системи звичайних диференщйних р1внянь, що розв'язувалась методом Рунге-Кутти. В обох випадках розрахунки дали гарне ствпадшня з анал1тичними та автомодельними результатами.

Роздал 2.5 присвячено чисельному моделюванню задач1 про пдродинам1чне сгиснення р1дко! сфери з гомолопчними початковими даними, тобто v(0,r) = —(XI, де ми взяли а = 0.5. Такий виб1р початкових даних пов'язаний з тим, що саме за таким законом починае свою еволющю зоряне ядро шсля втрати ним спйкосп, тобто на початку колапсу. Хоча в нашш модети не враховуеться гравггац!я, с yci П1дстави вважати, що процеси, як1 проходять всередин4 сфери, поки до не! не днпла хвиля випаровування у вакуум, багато в чому под1бш до процеов, що в!дбуваються п1д час справжнього колапсу. Початковий розпод1л густини енерги брався як

stO.r) = 1/(2 +Г2), на границ! моделювалось примикання до вакууму. Pîbhhhhh стану бралося у вигляд1, зображеному на рис.2 з Sj = 1. Досл1джувалась залежгпсть величини ударно! xbhaî в1дскоку, що утворюеться по досягненш речовиною точки В1Д величини фазового переходу As=£2~ 4ю залежшсть зображено на рис.3. Видно, що амшшуда ударно! хвил1 зростае ¡з збшыпенням величини Ае. Даний факт може вщграти важливу роль у проблем! спалаху наднових, бо при достатньо великому Дб вш може суттево допомогги у скиданш оболонки.

Третю главу присвячено умовам ¡снування ударних хвиль у релятивкл-ськш магштшй пдродинамщь

У роздцц 3.1 наведено основш р1вняння та сшвв!дношення релятивкггсько! магштогздродинамжи.

У роздШ 3.2 пояснюеться постановка задачу в яко! будуть шукатисв умови ¿снування ударно! хвити. Ця постановка включае в себе введения до вих!дних р!внянь мало! в'язкосп та перех!д до одновим!рно! стацюнарно! течи з граничними умовами на ±оо, що в!дпов!дають станам по обидв! боки в1д ударно! хвил1. Шуканий критерш уявляе собою умову !снування розв'язку ще! крайово! задач! у границ! неск!нченно мало! вязкость

У розд1л! 3.3 виходячи ¡з сформульовано"! у попередньому роздЫ постановки задач! одержуеться критер!й кгнування релятив!стських ударних хвиль у магштнш г!дродинам!ц!, який мае вигляд:

{У-У0){рн(У)-р(У))>0, (2)

для вс!х V М1ж Уд та У^, де V- об'с.м, рц(У)- магн!тна ударна ад!абата (ад!абата Гюгоп!о-Тауба-А!хнеровича), р( V)- шаблонна крива, явний вигляд яко! наведено у текст! дисертацн. Даеться формулировка цього критер!ю для випадку неоднозначних ударних адтбат, коли;не ¿с^ус однозначно"! функци

У роздЫ 3.4 анотизуеться р!вняння для и2(и'), тобто для залежност! тангенщально! до ударного фронту компонента 4-швидкост! в!д нормально! компоненти. На основ! цього аналлзу встановлюються певн1 обмеження на можлив!сть зм!н швидкостей та шших параметр!в впродовж ударного переходу. Зокрема встановлюеться, що нормальна компонента гавидкост! не може всередин! переходу перетинати значения аЛьвешвсько! швидкост! та ново! характерно! швидкост! и^, що виражаеться р!вн!стю

(Л1 )2 - 47Ш^(1 + и%])(г + р) = О,

де Л1- компонента 4-вектора магштного поля = ——Е

¿л

Р тензор електромагштного поля, Цу- 4-вектор швидкосп р]дини,

£7Ц°фу_ символ Дев1-Ч1в1ти.

У роздш 3.5 проведено пор1вняшш одержаного критер!я з умовами еволющйносп. Для цього здшснено розклад нергвносп (2) в ряд в околах початково! та кшцево! точок ударного переходу, В результат! одержано, що по краях ударного переходу мають справджуватись нер!вносп

^х(О) > ^/(0) та Ущц < Ух(1) < УД1) (3)

для швидких ударних хвиль або

^А(О) > ух(0) > У3(0) та Ух(1, < У5(1) (4)

для повиьних ударних хвиль. Тут Уд, У/, У5 в1дпов1дно альветвська, швидка магштозвукова та пов1льна магнггозвукова швидкосп, Ух-нормальна до поверхш ударного фро!ггу компонента швидкосп. Умова (3) е бъ\ыц обмежувалыгою, шж в1дпов]дна умова еволюцшпосп, де зам1сть нашо! ново! характерно! швидкосп мае стояти альвен!вська швидк!сть. В той же час умова (4) повшстю сшвпадае з умовою еволюцшносп для повЬльно! ударно! хвши. В1дзначимо, що у нерелятив!стськ!й границ! нова характерна швидк!сть зливаеться з альвешвською, ! в!дпов1дт особливосп зникають.

У роздш 3.6 для одержаних результата здшснено перех!д до нерелятив!стсько! границ!. Тут вдаеться у явному вигляд! досидите шаблонну функщю.

Роздал 3.7 присвячено досл!дженню частинних випадив паралельно! та перпендикулярно! ударних хвиль.

У Висновках сформульовано основн! результати дисертацШно! роботи.

У Додатках наведено найб1льш важлив1 матсматичш обчислення.

Основш результати роботи, що виносяться на захист.

1. Показано, що nec-rifiKi та неприпустилп ударш хвшц розпадаються за законами розпаду довь\ьного розриву, а для однозначних ударних ад1абат нееволюцшш та гофрирувально HecrifiKi ударш хвилл не мають в'язкого проф1лю.

2. Розраховаио трьоххвильову конф1гуращю "ударна хвиля-проста хвиля- нахилена ударна хвиля" та одержано умови Г! 'сйонтанного виникнення. :

3. Занропоновано максимально консервативну р1зш1цепу схему для piBHHiib релятив1стсько! г1дродинамжи на основ! методу штучно!' в'язкосп.

4. Чисельно показано, що амплпуда ударно! хвил1 в1Дскоку гид час динампш р1дко! краплини з гомолопчними початковими даними зростае i3 зб1лыпенням области фазового переходу у р!внянш стану.

5. Одержано критерш ¡снування ударних хвиль у релятивютськш магштшй г1дродинам1Ц1 та на його основ! знайдено НОВу Хар<1КГерНу ШВИДК1СТЬ, ЯКа ПРИВОДИТЬ ДО 01ЛЬШ силышх

обмежень на [снування швидких ударних хвиль, шж умови еволюцшность

Матер1али лисертаци опубМковано в таких роботах:

1. Zhdanov V.I., Titarenko P.V. One-dimensional discontinuous flows in relativistic magnetohydrodynamics // Nonl.Math.Phys.-1997.-4 Nl-2.-p.214-217,

2. Титаренко П.В. Квазшестшкють типу спонтанного галужешш ударно! хвши в релятивкггському випадку // УФЖ.-1997.-.42 N7.-с.883-888, ......

3. Zhdanov V.I., Tytarenko P.V. Criterion for existence of shock waves in relativistic magnetohydrodynamics with a general equation of state // Phys.Letters A.-1997.-235.-p.71-75,

4. Zhdanov V.I., Tytarenko P.V., Existence of shock waves and stationary viscous flows in relativistic magnetohydrodynamics with general equation of state // BicH. Кшвськ. У-ту.-1997.-вип.34.-с.5-10,

5. Титаренко П.В., Класифшацш та iepapxin дмянок нестшкосп та неприпустимосп ударно! аддабати // Bicn. Кшвськ. У-ту.-1997.-вип.34.-с.11-24,

6. Tytarenko P.V., Zhdanov V.I., Existence and stability of shock waves in relativistic hydrodynamics with general equation of stste // Phys.Letters A.- 1998.-240.-p.295-300.

Титаренко П.В. Умови iснування ma cmiiiKocmi релятив1стських ударних хвиль у середовищах з загалышм р^внямням стану.— Рукопис.

Дисертацш на здобуття паукового ступени кандидата фгзико-математичних наук за спещальшстю 01.04.02— теоретична ф1зика.— Ктвський утверситет ineni Тараса Шевченка, Ки!в, 1998.

Диссртацпо присвячено вивченню релятивктських ударних хвиль у середовищах, де може порушуватись аксюматика Бете-Вейля. Вивчено нестшкосп, неприпустимосп та квазшестшкосгп ударних хвиль та взаемозв'язки м1ж ними. Розроблено чисельну схему розв'язанпя р1впянь пдродинамши, що враховуе принцип повно! консервативност1. На н ochoei розраховано сферично симетричну теч1ю з гомолопчними початковими умовами. В рамках релятивктсько! магштно! пдродинамжи одержано критерш ¡снування ударних хвиль на ocnobi методу мало! в'язкосп (умови ¡снування в'язкого профиля). На ochoei цього знайдено нову характерну швидюсть, наявшсть яко! приводить до бшып жорстких обмежень, н1ж умови еволющйность

Ключов! слова: ударю хвилд, пдродинамша, магштна, в'язшсть, нестшкклъ, HcnptinycTHMicTL, квазшестшклсть. .

Титаренко П.В. Условия существования релятивистских ударных волн в средах с общим уравнением состояния.— Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02— теоретическая физика.— Киевский университет имени Тараса Шевченко, киев, 1998.

Диссертация посвящена изучению релятивистских ударных волн в средах, где может нарушаться аксиоматика Бете-Вейля. Изучены неустойчивости, недопустимости и квазинеустойчивости ударных волн и взаимосвязь между ними. Разработана численная схема решения уравнений гидродинамики, учитывающая принцип полной консервативности. На ее основе рассчитано сферически симметричное течение с гомологическими начальными данными. В рамках релятивистской магнитной гидродинамики получен критерий существования, ударных волн на основе метода малой вязкости (условия существования вязкого профиля). На его основе найдена новая характерная скорость, наличие которой приводит к более жестким ограничениям, чем условия эволюционности.

Ключевые слова: ударные волны, гидродинамика, магнитная, вязкость, неустойчивость, недопустимость, квазинеустойчивость.

Tytarenko P.V. Conditions, for existence and stability of relativistic shock waves in media with arbitrary equation of stste.— Manuscript. ,

. Theses for a candidate's degree by speciality. 01.04.02— theoretical physics.:- Kyiv Shevchenko University, Kyiv, 1998.

The dissertation is devoted to the investigation of relativistic shock waves in media where Bethe-Weil conditions may break. Instabilities, inadmissibilities, quasiinstabilities and it's relationship are studied. Numerical code for relativistic hydrodynamic equations is developed

taking into account the principle of ultimate conservativness. Making use of it the spherically symmetric flow with homologous initial conditions is calculated. In the framework of relativistic magnetohydrodynamics the criterion of shock wave existence is obtained using the small viscosity method (conditions of viscous profile existence). On this basis a new characteristic velocity is found. It's existence leads to more stringent restrictions than evolutionary conditions.

Key words: shock waves, hydrodynamics, magnetic, viscosity, instability, inadmissibility, quasiinstability.