Усреднение разностных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ХАРШВСЬКИИ ДЕРЖАВНИИ УНШЕРСИТЕТ

со

оэ На правах рукоппсу

=£

t.Vi

ЕСТ7"

СЧ!

Краснянськш! Мпхайло Борисович

Усереднення ¡лзшщевпх р1внянъ

01.01.02 — дпферешцальш рЬняння

АВТОРЕФЕРАТ доссртацп на здобуття наукового ступеня кандидата физшш-математнчних наук

Xíiukíb — 1996

Дисерхагця е рукописом

Робота виконана у <Кзпко-техшчному шституп низших температур HAH Украши , м.Харюв

Науковий icepiBmiK: доктор ф13.-мат. наук, професор,

член-кор. HAH Украши ХРУСЛОВ бвген Якович,

Офшдйш опонентп: доктор ф13.-мат. наук, професор

ПАНКОВ Олександр Андршович,

доктор ф1з,-мат. наук, професор

ЧУД1Н0ВИЧ Irop Юршович,

Пров1даа оргашзащя: 1нститут прпкладноУ математики i механиси HAH Украши, м.Донецьк

Захпст^щсертацн вщбудеться tQ> 1996р.

о \<ъ" годпш на зааданш спещал1зовано1 вчено! ради Д 02.02.03

Харювського державного ушверситету (310077, Харюв, пл.Свобода, 4, ауд. 6-48).

3 дпсертагцею можна ознаиомптись у Центральшй науковШ б1блютещ

хду.

Автореферат розклашш \ 'S - \v . 1996 р.

Учений секретар спещалЬовансц ^

вчено!" ради у S ^ * брмаков В.Г.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуалыпсть теми. Р1зномаштш задач1 механики, ф1зики та xímí'í приводить до вивчення р1зницевих р1внянь, яш е дискретними моделями npouecin у сильнонеоднор1дних середовхпцах. Такими р1вшшнями опису-ються також випадков1 блукання частпнок на гратах з швидкоосцшюючими imoDipHocTsiMii переходу. Щ р1вняння маютъ швидноосщлюючи на rpaii ко-ефвдентп, тому практично неможливо одержати розв'язки таких р1внянь hí aнaлiтiiчнишi hí чпсельшши методами. Але, яшцо масштаб мшрострук-тури е значно менхшш шж характерний масштаб процесу, що вивчаеться, то можлпво одержати усереднене описания такого процесу з допомогою ди-ференгцальннх р1внянь з частиннимп шшдшшп, коефиценти яких плавно змппоються у npocTopi. Вншд таких р1внянь е tícho зв'язании з вивчан-ням асимптотичного повод ження розв'язмв р1зницевих р1внянь, коли пе-piод грат прямуе до нуля. Аналопчне питания вшпшае в leopii усеред-нення р1внянь з частиннимп noxi/nrmni з швидкоосщлюючими коефщен-тами та крайовпх задач у сильноперфорованих областях. Значний вклад в цю теорно внесли В.О.Марченко, 6'.Я.Хрустов, ¡.В.Скрипник, О.А.Ол1Йник, Н.С.Бахвалов, В.В.Жиков, С.М.Козлов, O.A.Панков, Е. Де Джордло, Ж.-Л.Люнс, Л.Тартар, Ф.Мюра, Дж.Папаюколау, Дж. Даль Maco та imiii.

Задач1 усереднення для pÍ3iiimeBirx р1внянь з швндкоосщлюючпми та ви-падковими коефпиентами вперше вивчались в роботах С.М.Козлова, який показав, що асимптотичне поводження розв'язюв цнх р1внянь описуеться парабол!чним або елштичним р!внянням другого порядку. У подальшому ni питания вивчалися для лш1нннх р!внянь у роботах Р.Кухнемана, P.<í>irapi, Е.Орланда, Дж.Папашколау, М.Вожел1уса та у роботах О.А.Панкова для квазипшинпх р^внянь.

Слщ вщзначптп, що у bcíx згадазшх роботах розглядалися pí3inmebí pÍB-кяинл, що ;адовольня:оть, так звшпш, умовам "piuHoiripHo'i елштичгтосэт та с5ге;гс-гсстГ'. Щ у'.ст.п для гтпрдтсорнх б1у:>а~:ь, o:rnr',T,r."o::., ;::

v^.t.t.'.v rccji пет>е: :л> Г C;.*:ii::ct-ii:í. сусЫг: re eiipo'u.ívioi^c::. j re

.' ■ .._".п?.д\'Г" yc:"í c\\,r,:ci . vcii

. ,, ;y, ;;;o : ""'Oí:.. '""■'I'T, Г.-;"Т.1.Г rz '/:

y ciT,c\ ', • :г :.:л el: :

зривами (дефектами!), умова piBHOMipHoi елштнчноси не внконуеться. В цпх В1шадках усереднеш модел! е значно складшшнми i i'x вид ктотньо залежнть вщ геометрп множшш дефектав. Taxi модел! можуть бути багатокомпонент-шши, нелокальными, моделями з пам'яттю. Для крайовнх задач у сильно перфорованих областях так ¡ж усереднеш модс.-ii були одержат в роботах б.Я.Хруслова. Введет Ум пояяття сильно- та слабозв'язаних областей в!лД-граюгь важливу роль у цих пнтаннях. У випадку р1зщщевих р1внянь ана-лопчну роль грають понятая PC та КРС аток ( ciioic, що задовольняють умовам р- та KBa3i р-продовження), що введет в дпсертацп.

Мета роботи полягае в побудов1 усередненнх моделей для р1знлцевих piBHHHb у тому В1шадку, коли коефщентн р1знхщевих р1внянь не задовольняють умовам piBHOMipHo'i елштичносп та обмеженосп.

Теоретична та практична цшшсть результатав полягае в тому, що вони можуть знайти застосування при дослщженш асимптотичного по-водження розв'язмв р1зшщевих р1внянь з ишндкоосщлюючимп коефшден-тами, в1шадасовпх блукань на гратах. Виведеш в дисертаци усереднеш piB-няння можуть бути застосован! у ф1зшц конденсованого стану.

Методша дослщження. У дасертацп 3aciocoBaHi метода р1зшщевих та диференидальних р1внянь з частннннми гкждшшл, leopii усереднення та Bapiani&ii метода досл^дження задач.

Положения дисертаци, що виносяться до захисту:

1. Понятая PC та КРС сшж та пнтання зб1жност1 i компактносй noaii-довноста функцш, що визначсш на таких сутках, до функцп визначешн у обласп неперервного змшення аргументу.

2. Дсимптотичне поводження розв'язшв р1знпцевнх р1внянь на гратах, що задовольняють умов1 PC.

3. Усереднена модель р1зшщевнх р1внянь на гратах з накотгчувачами.

4. Асимптотичне поводження розв'язшв р^зшщевих р^внянь на гратах з слабкимп зв'язками.

5. Усереднена модель внпадковпх блукань та потенщалу липпних сиок на гратах, що задовольняють умов1 PC, на гратах з накоппчувачамп та гратах з слабкнмн зв'язками.

Bei перел1чеш результата! одержан! автором особисто та складають на-укову новизну роботи.

Результат одержат в дисертацн, та розвинеш в ней методи усереднення можуть бути практично застосоваш у ф1зшц конденсованого стану.

Достов1ршсть результатш забезпечуеться вживаниям нових метода дослщжетшя. Одержан! результати узагальнюють результат, що були одержан! С.М.Козловим.

Bei HayKOBi положения та висновкн, приведет в дисертацй' е досить об-грунтоваш та аргументоваш. Вирахування е повт та математичко коректш.

Апробащя роботи. Результати роботи доиовщались на семшарах В1Д-далу математичного моделювання ф!зичних процеав ФТ1НТ HAH Украхш, на об'еднанному ceninapi кафедри диференщальнних р1внянь та кафедри математичноУ ф1зпкп Харшвсыюго держушверситету, на математпчному се-uinapi Ушверситету Париж 7, на засщанш Харюаського математичного то-вариства (1994 р.) та на'шжнародши конференци "EurHomogenization" (Nice, 1995 р).

По xiaiepiaJiaM дисертацн надруковано 5 прань.

Об'ем та структура дисертаци. Дисертащя схладаеться i3 вступу i трьох глав. Загальшш об'ем дисертацй — 124 сторпткн друкованого тексту. Список л1тературп складаеться з 78 наименувань.

3MICT РОБОТИ

У встут окреслено предмет д0сл1джень, сбгопорзоеться актуальность теми досшджеш». Наведено ¡сторпчна справка вушосно предмета до-сыджень. Зформульозаио мета та задатп дос.эджень. Подаеться короткий э;.пст диеертацпшо! роботи.

У першш глав! сведено понятая птск, що задовольняготь yiiosi PC. По-будовано усередпену модель для р1зшщевпх р1внякъ па ciiKax, що задоголъ-няготь умоз1 PC.

У §1.1 введено основш поиятхл, озиачення та зсЬормулъопано оскотг-п результата. Розслянемо сш'ю фуркшй ре(х, у), е > О, п;о задовольн т;оть у;давим для х,у 6 eZd ( Zd — ыножзгяа d-t.ap'.mx гскюрЬ з вдлгст координатами):

1)Рс(^2/)>0;

2) Ре(х,у) =Ре(у,х);

3) Ре{х,у) — 0, коли | х - у |> Се, дз стала С не залелштъ тд £;

4) Е ре(х,у) = 1.

У е еЪА

Для довшыкн шдмножини fi^ cixKii eZd, будемо наз1шатн множнну dÇl£ = {а: 6 Çî£ | Бу g Qc Ре(х, у) > 0} межою fi£, множнну Q£ = Qe\ дП£ — BHyxpiniHicTio Çl£ та множнну F£ = {а; € fie | р£(х, у) = 0 х ф у} —

множ1шою забороненнх Byiiis. Введемо позначення:

dzUe(x) =

dtu£(t,x)=u£(t + £2'xj-u£(t>x) (А£и£)(х) = - J2 Pe{y,x)dyu£(x),

£ у ect£

Нехай Q — область з гладкою межою в Rd(d > 2). Позначимо Q£ — Q П eZd, Пе = Q£ \ F£ i розглянемо задачу для функцп, визначено!" на П£:

dtu£(t,x) = (A£u£)(t,x), xefl°£, t € e2Z+. (1)

з крайовими та початковими умовами:

и£(0,х) = и°£(х), жеПе, u£(t,x) = 0, хедО.£. (2)

Тут Z+ = {0,1,2,...}. Ми вивчаемо аснмтотнчне поводження розв'язку u£(t, х) ujeï задач1 при е —» 0.

Для формулювання основного результату потр1бно ввести деяш означения. Для довитыми cîtkh G£ назвемо величину fi£(G£) = Е £d Mipoio

х S G£

cîtkh G£

Означения 1.1. Будемо казати, що cîtkh Q£ е асимптотпично щгльнг у Q, якщо ¡снуе стала С така, що для кожного шару В/, радиуса h icHye e(/i), що HepiBHicib

^sr\Bh)>Chd,i£(Q£),

виконано для е < e{h).

Якщо також icHye стала Ci, що виконано HepiBHicTb

^(ikr\Bh)<Cihdiie(ile), Vç < e(fc)

хода кажуть, що Çî£ е pienoMipHo асимптотично щыт у Q.

Означення 1.2. Hexan fie — астштопино шзльш в Q i Pe(i^e) > С > 0. Нехай функцн ие(.-г) визначеш на fig, та фушшдя ы(г) визначена на Будемо казати, що и£(х) зб1гаються до и(х) в L^Qr, Q), при е —+ 0, яшцо

lim II üg — u IL --а \= 0,

де Qe = Uzgfip К£(х) П Q , Ке{х) — куб i3 центром у точщ а; та ребрами довжиною е, i ü£(x) е кусково-стала штерполящя функци Ug(x). Для довшьно'1 ciiKii G£ визначемо

da£{ue)= Е Е |df«e(®)|V,

х £ Ge х + еег- б Gg l<t<d

де ¿1 = da; + ее..

= Е Pe(x,z) | dzu£(x) |2 x,z GG£

Ми будемо прппускатп, що функщя и£(х), визначена на fig, е стала, якщо pa£(v.s(x)) = 0.

Означения 1.3. Сдм'я ciioic fig задовольняе yMoei PC (yMoei р-продовжепня), якщо для ycix функиди и£(х), визначених на fig, icHye про-довження й£(х) на Q£, що внконано нер1вшсть: dq£(u£) < D pci£(u£), де стала D не залежпть в1д е, и£(х).

Нехай I — довшьний вектор в Rd, — куб з центром в точхзд х та

ребром довжиною h. Розглянемо функцюнал

Gi{z,£,h) = rmn~ Е { Е .Ps(x,y)\dyu£(x)\2 +

х е fig f)Kh(z) У G fig n^W

+h-T|Ue(x)-(x-2,0|2} е", ' (3)

де шшмум береться по класу функцш и£(.г), що визначеш на П£Г\К>,(г). Цей функщонал е квадратичним по I i може бути зображешш у впгляд1

d

Gi(y,e,h)= Е aij(y,£,h)hlj- (4)

Uj = 1

Система величин {а^(у, е, h)}f j — \ формуе тензор в R^, який мн впбира-емо за локальну характеристику ciioic fig. Основнпй результат nepuio'f главн полягае у наступному твердженш.

Теорема l.l.Hexair fie задовольняють умов1 PC, е асимптотачно щиьш" у Q та ц£(П£) >,С> 0.

Hexan початков1 дан\ и£(х) зб1гаються до м°(ж) в та iснують

грашиц для деякого т > 2 та у £ Q

lim ' lim шj{y,e,h) = lim lim о¡Ау,е, h) = щАу) (LI) h—* 0£ —► ü J n—>0s—+0

lim lim = b(y) (L2)

/i —♦ 0 £ —> 0 hd W V У

де грашч!п функци — неперевт.

Тод1 коеф1Ц1бнтп а^-(х) задовольняють умовам piBHOMipHOi елттпчносп та u£(t, х) зб1гаються в Q) р1вном1рно по t 6 [0, T]f\e2Z+ до функщ'1

u(t, x), де u(t,x) —розв'язок наступноУ задач]':

duit.x) 1 Д (9 . , .du(t,x), _ . /к.

^эг1 = щ1 f.^^-kr^ XGQ' 4 6 в00* (5)

М J — *

м(0, ж) = и°(ж), ISQ, u(i,ж) = 0 xedQ, t>0. (6)

Зворотньо, якщо для довшьноп фунцИ' и°(х) та сш'У початковпх умов iir(x), що зб^гаються до и°(х) в Lz(il£,Q), функщ! u£(t,x) зб^гаються до розв'язку задачi (5),(6) в Li{$1£,Q) р1вношрно по t, том умовп (L1,L2) ви-конало для yeix т > 2.

Доведения теореми наведено у §§ 1.2-1.3 на ochobI перетворення Лапласа та в1тчення асимптотичного поводження розв'язшв стацюнарно'Г задачи при е —> 0: •

(A£u£)(x) - c£(x)u£(x) = f£(x), х € Q°e

u£(x) = 0, х 6 dd£,

дослщження якоТ проведено BapiauiihniM методом у TeopeMi 1.2. Деяш при-клади у перюдичнш ciiyanii розглянуто у §1.4, де коефшденти усередненого р1вняння в1фажено через розв'язки ком1ркових задач.

У §1.5 щ результат застосовано до вивчення асимптотичного поводження випадкових блукаиь на гратах з ймов1рностями переходу р£(х, у). Нехай £e(t) — кусково-стала штерполящя шляха випадкового блукання з початковим розподшом u£(x), i £(<) — дифузйшии процес, що пордожуе-ться (5),(6). Припустимо, що и£(х) збЬаються к и°(х) в L-^ile, Q), тода ми маемо наступшш результат.

Теорема 1.3 .Якщо вшюнано втюги Теорема 1.1, то сюнченношрт роз-под1лп процесу зб1га.ються до ск1нчетюм1рннх розпод!Л1в £(().

Розглянемо куб Ке, що вмщае точки х = (xl,..,x¿), де х^ = ке, для к = 0, ..,1/ета 7 = 1 ,..,й. Система {Кс,р£(х, у)} формуе лнпйну атку. У §1.7 В1шчаеться аснмптотичне поводження потеншалу ие(х) лтишсп аткн при е —* 0, який задовольняе р1вняшпо:

=0, х € Ке \ {а; | = 1 або XI = 0} щ(х) = 0, XI = 0, ие{х) = 11, хх = 1

Основний результат полягае в наступному:

Теорема 1.5. Нехай Ор задовольняють улюш' РС та е асимптотично шльш у С}. Якщо вюсонана умова (£1) Терремп 1.1, то ие(х) зб'ггаються в (}) до розв'язку проблема ч

и(х) = 0, г[ = 0, и(х) = 11, х\ = 1, о я =о,ц= 1, г" = 2, ..,(*.

ои

Матрхщя а^(х) називаеться матр1щею ефективноУ пров1Дшст1.

Таким чином, основний висновок першоГ глави полягае у тому, що усеред-нена модель на стсах, що задовольняють умов! РС, е простою скалярного моделлю.

У друг!й глав! вивчаеться аснмптотичне поводження розв'язшв р1знице-вих р1внянь, на атках Пе, що не задовольняють умов! РС. А саме, на стсах, що мають вигляд:

Пе = ГеиПеои5е, Т£ = и «е (7)

г = 1

де сггки (7ео задовольняють умов! РС, м1ра шдмножини 5«; та ддаметри П| прямують до нуля, а IX юлыисть до нескщчентст!, коли е —► 0. Ми будемо називати множини Г2| накопичувачами, 1 прппустимо, що вони задовольняють умов! РС у такому розушнш.

Означения 2.1. Сшш П'£ задовольняють умовг РС по вгдношенню до С С <?£, якщо для дов!льно1 фушощ и£{х) на ¿с-

нуе продовження й£(х) фукнцп и£(х) на V£ таке, що виконана нер1вн1сть dv,£(ü£) < Dpn¡£(u£), де стала D не залежить В1Д e,u£(x),V¿.

Введено локальш характеристики cítok Пр. Множнни Q£o характеризу-ються тензором a¡j(y, £, /г), який вводиться аналопчно (4). Для описания зв'язку Mim figo та накопичувачами розглянуто функцюнал для t £

Wt{y, е, h) = mini £ Pe(x, \ dzu£(x) |2 ed+

¿x,zeíl£f]Kh(y)

£ K(i)-tf|2 + £ IMOlV 1 x 6 Kh(v) x e ПKh(y)

де гидсумуванна проведено для г таких, що ÜÍ С Кн(у), та мшмум береться по функщям на Q£ Л Kh{y)- Основний результат друго'1 глави полягае у наступит теореьп.

Теорема 2.1. Hexan ílg- мае вид (7) та прппуспто, що вшонано тлю умови:

1)ПсО)^£ е астттошчно щшьт в q,ü£o задовольняють умовi pc, ftl задовольняють yMoai pc по вхддошенню до ev6íb шншального д1аА1етру, що шстять у co6i Í2|. Диаметра куб!в збтються до нуля, a ix юльюсть до нескшчешпст1, коли е —» 0. liin^ p£(S£) = 0,

2)и£(х) зб1гаються до и^х) в L2(ft£o,Q), и%{х) зб!гаються до и® в L2(T£,Q),KOJ¡Il£ ->0.

3) 1снують настути граншц для кожного у £ Q : для деякого т > 2

lim lim сЧл{у,е,К) = lim lim a¿-•(«/, ¡r, fc) = а^{у) (LI) h—+0£—>0 J /¡->Ü£-tO J J

для детого у > 2 pÍBHOMÍpHO по t £ Itn£

wt(y,£,h) Щу'£?\=р{у)>ро>о m

Ä-Oe-OE ißs{ül£)t\ h - 0£ - 0 E¿/ie(n|)íj

та

lim lim ^МШ) ± ъ{ ) {Щ

/г —i- Ое —»0 hd У > К '

lim lim = r( } {м)

/г —»0£ —♦ 0 hd КУ' V У

Припусттю, що гратгпп футсци неперервт в <5, та функци' р(х) е неяо-репно мИференцшована.

Тод1 коефШентн задовольняють умов1 р1ВнокпрноУ елштнчност1,

зб1гаються до и(£, х) в Ьг{£1ей,С}), ие{1-,х) зб'1гаються до у

■^2(Те, £}) р1вном!рно по в1Дношенню к t. Функци н(£, х), х) € розв'язок задачI (8),(9)

= ~ Р(*Н*)Ы*> *) ~ »('. *)) (8)

* е (о, оо)

м(*,х) = о,х е ад, * > о

«(О,х)=и°ь(х), хеЯ; v(0,x) = и°г(х), х £ <5; (9)

для кожного Т.

У §2.2—§2.4 наведено доведения Теоремп 2.1. Явш формулн для кое-фвдентов усередненого р1вняння одержано в §2.5 для деяких перюдшпшх структур. Ц1 результата застосовано у §2.6 для вивчення асимптотичного поводження в1шадкових блукань, систем з неперервним часом та лпшпшх атей.

Задача (8),(9) зводиться до

ь{х)ЩеА_ £ ^ {х)9]р11)+рШх)иМ_р2{х)г{х)х

91 дхз

(

х I ехр(р(х)({ - = р(х)г(х)иг(х)ехр(-р(х}^, хе<3, t> О

о

и(о,х) = и°ь(х), хед;

Тому основной висновок друго'1 глави полягае у тому, що усереднена модель на атках з накошгчувачами е моделлю з пам'яттю. Зауважнмо, шо ефек-тивна пров1ДШСть а ток з накопичувачами е така ж сама, що 1 ефекппзна протдтсть а ток Пео-

Третя глада присвячена внвченню асимптотичного поводження р!знн-цевих piBiuiHb, на стсах з слабкимп зв'язками. А саме, припустимо, що fig мають внгляд

ile = neoUneiU5e, (9)

Функцп ре(х,у) задовольняють умовам 1),2),4) та yMOBi 3')ре(х, у) = 0, коли | а; - у |> С£, де С£ -* 0, коли е —» 0. Припустимо також, що виконаш умови:

I //(figо) > С > 0, n(S£) = о(р(Пе1)) е — 0

Q

II. sup £ Ре{х,х + еу)\у\*< ■

xen£k{js£yeZd

Розглядаеться задача

dtu£(t,x) = (A£u£){t,x), zGfig, t e's2Z+ (10)

u£(0, x) — u£(x), x £ fig

Вивчаеться аавштотшше поводження розв'язшв задач! (10) при £ —» 0. Щоби зформулюватп основнни результат, введемо означения

Означения 3.1. Нехай cixicn 'fig задовольняють умовам piBiioMipHo'i астштотичнЫ' ццльноеи. Функнд и£(х), що впзначещ на fig, зб1гаються до ' фушсцп и{х) G L-iiQ) в L;>(fig,Q), яыцо кнуютъ фушсцп иц(х) G Lip(Q) TaKi, що

лДпоо^0{ж)11 й£~Щ! 11ый£) + И "*»>} = 0

дс й£(х) € кусково-стала штерполящя фуикцп и£(х). Позначтю

Ml? ,P£,G£=PCe(us)+ е, Gg-'

Де

1Г„_1|2 1

х G Gg

Означения 3.2. Cinai fig задовольняють умовг KPC (yMooi коаз1 р-продовження), якщо для довмыгоГ сш'У фушацй и£(х), то впэначсм ка

для яких |[m£]|j С, виконана умова: для будь-якоУ стало! М

кнують сгасп S£{ С fig Taxi, що для ycix £ < е(М)

де ip(M) е монотонна функщя, f(M) = 0(мг), пРГ1 М —► оо, та функци и£(х) задовольняють yMOBi

I «е(г) - и£(у) |< М | х - у | x,yeÖe\S?

\и£(х)\<М x€Q£\S¥

та

lim lim —T—r II ue II2 „м= 0 -

Доведена лема про компактшсть функщи, що визначет на eine ах, mi задовольняють yMOBi КРС.

Лемма 3.1. Нехай il£ задовольняють умов1 КРС та е pisHOMipHO асим-птотнчно ацльт в Q, тод1 ам'я и£(х) така, що |[«e]|J <-> < С е компактна, в1дносно зб1жност1 в ¿'¿(üe, Q).

Для характеристики ciioK О.st, аналогично (4), введено функци afAy, £, h). Для характеристики зв'язку м1ж П^, k = 1, 2 розглянемо вели-шшу:

c(y,e,h) = imn Е { £ p£(x,z)\dzu£(x)\2 +

6 ztl хе(1еГ\1Ш zeü£f]Kh(y)

+4т i I -к I2 ^т-}

9(h) к=о

де гу(/г) = max(\f<p(j;)h, Ю). МЫмум береться на функщях, визначених на £1еГ\Кь(у)- Якщо для достатньо малих г ми маемо, що c(y,£,h) = 0(h ), коли /г —* 0, то cItkii П£к е слабозв'язанимн.

Основшш результ третього роздцлу зформульвано у настуиному твер-дженш.

Теорема 3.1. Hexan fi£ мають впгляд (9), тжонаш умовп 1,11, einen il£k задовольняють умов1 КРС та е pimicmipiio аспмптотпчно ийлып в Q. Прппусттю, що

1)u£(:r) зйгаються в L^Slek, Q) до функщп Uq(x), коли £ —* 0.

2) Для кожного у £ Q ¡снують грашгщ: для деякого т > 2

lim Ilm a\Ay, е, ft) = lim lim of -(у, e, /г) = а* -(у) (LI) n —» U£ —» и ^ n-»U£->0

для деякого j > 2

lim lim ф, e, ft) = lim lim c(y,e,h) = c(y) (L2) ft —>0e-+0 h—yO£->Q

та

lim lk = , Л=01 (L3)

/г^Ое-0 ftd V '

Припущено, що граннчш функци — неперевт, то коефщентп о}—(х) задовольняють умовам piBHouipiioi елйпичносп.

Тод1 1) якщо Ь\(х) > Ъ > 0, то функци u£(t,x) збпаються до uh(t,x) в' Lillet, Q) piBHOMipHO по t £ t2Z+ р|[0, Г]. Функци и'(х, t) ерозв'язок задач}:

Ь0{х)дг^х) = ^ + с(ж)(м1(,>ж) _ и0(м))

[ > 8t dXj j+ +c(x){u°{t,x) - ul{t,x)), x £ Q, < > 0 Ь*(а:У(0, ж) = bk(x)uk(x), xeQ; dul(t,x) „ ___

¿j =o, * 6 ар, t > о

для кожного Т.

2) Зворотньо, якщо bi(x) = 0, то функци u£(t,x) збпаються до функци' u(t,x) в L-iC^-EtQ) piniioitipHO по t, де u(t,x) е розв'язок задач!:

•,0/ süu{t,x) d ö , 0 / fry, -Mi. \ v;

i{Q,x) =-и°{х), х £ С;

0u(t,x) „ , _

———— = 0. а: £ а О, i > и,

де Д(х,у) = с(а:)С(х,у)с(у), а функщ'я С(х,у) е функщвю Грша:

- . £ ^тЦ? + <х№х'у) = - ж е ^

¿^(х, у) „

Доведения теореми 3.1 наведено у §§3.2--3.4. Прикладн ршю.маштннх

реал!защй слабких зв'язюв розглянуто в §3.5. Дедаи внкорнстання цих ре-зультапв наведено у §3.6. Таким чином, усереднена модель на атках з слабкими зв'язками е або векторна, або нелокальна.

Висновки

В дпсертаци продовжею досдддження, пов'язаш з теор1ей усереднення р^зницевих р1внянь. Дослщжено асимптотичне поводження р1зшщевих р1в-иянь, коефщенти яких не зодоволъняютпъ умовам "ргвномгрно'г елгптич-ностг та обмеженост(". Одержат там результати:

1. Введет поняття РС та КРС спок та вивчено питания зб^жносп1 компактное« поаидовносп функщй, що визначеш на таких ситках до функци визначеноУ у обласп неперервного змшення аргументу.

2. Дослщжено асимптотичне поводження розв'язюв р1зницевих р1внянь на гратах, що задовольняють умов! РС.

3. Дослщжено асимптотичне поводження розв'язюв р1зницевих р!внянь на гратах з накопичувачами.

4. Дослщжено асимптотичне поводження розв'язюв рЬшщевнх р1внянь на гратах з слабкими зв'язками.

5. Дослщжено асимптотичне поводження внпадкових блукань та потен-щалу лшйши аток на гратах, що задовольняють умов! РС, на гратах з накопичувачами та- гратах з слабкими зв'язками.

Публжаци, надруковаш за темою дисертаци

1) Краснянский М.Б. Усреднение случайного блуждания на решетках с запретами.// Доповш АН УкраУни, 1994. N 8, С.36-39.

2) Краснянский М.Б. Усреднение случайного блуждания на решетках с ловушками.// Доповуц АН УкраУни, 1994. N 9, С.15-19.

3) Краснянский М.Б. Усреднение случайного блуждания на решетках со слабыми связями.// Математическая физика, анализ,геометрия. 1995. т.2, N 1, С.51-67.

4) Краснянский М.Б. Усреднение случайного блуждания на решетках со слабыми связями.// Допову» АН УкраТни, 1995. N 8, С.8-10.

5) Krasniansky М. Vector homogenized model for micrononhomogeneous finite-difference equations.// EurHomogenization. Abstracts. P.20.

Abstarct

Krasniansky M.B. Homogenization of finite-difference equations. Manuscript. The defence of the thesis of scientist degree of candidate of physics and mathematics sciences on speciality 01.01.02 - differential equations. The Kharkov State University. Kharkov. 1995.

The problem of homogenization of finite-difference equation is considered. The homogenized models for these equations are constructed. It is proved that they can be scalar, vector, nonlocal models or the model with memory. The examples in periodic case are considered. In periodic case the coefficients of homogenized equation are expressed either by the solution of certain cell problem or explicitly. The results of homogenization are applied to calculation of effective conductivity for linear networks and asymptotic behavior of random walks on lattices.

Аннотация

Краснянский М.Б. Усреднение разностных уравнений. Рукопись. Дисертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 -дифференциальные уравнения. Харьковский Государственный Университет. Харьков. 1995.

Рассмотрена задача усреднения для разностных уравнений. Построены усредненные модели для разностных уравнений. Доказано, что усредненная модель может быть скалярной, векторной, нелокальной или моделью с памятью. Рассмотрены примеры для периодических ситуаций. Рассмотрены приложения полученных результатов к исследованию асимптотического поведения случайных блужданий на решетках и вычислению эффективной проводимости линейных сетей.

Ключов! слова: р1зницев1 р1вняння, р1вняння у частинних похадшх, усереднення, асимптотика, BapiaHmni методи, випадков) блукання.

ЕЛдповщолыпш за випуск !.О.Андерс

ГПдгшсано до друку 11.11.1996 г. <Кз. друк. арк. 1 Обл.-друк. арк. 1 Замовлення N 23-96. Тираж 100 пр.

Надруковано у ФТ1НТ НАН Украшы, Харыав-164, пр. Лешна, 47.