Усредненная функция Дена и спектр Райдемайстера свободных абелевых и близких к ним групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

0034Э44аа

Кукина Екатерина Георгиевна

Усредненная функция Дена и спектр Райдемайстера свободных абелевых и близких к ним групп

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск-2009

003494439

Работа выполнена в Омском государственном университете им. Ф.М. Достоевского

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Виталий Анатольевич Романьков

Официальные оппоненты: доктор физико-мате,матических наук, профессор, член-корреспондент САН ВШ Тимошенко Евгений Иосифович

кандидат физико-математических наук Храмцов Дмитрий Геннадьевич

Ведущая организация:

Омский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится 25 декабря 2009 года в 15 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 003.015.02 при Институте математики им. С.Л.Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр.Акад.Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 23 ноября 2009г.

Ученый секретать диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

Тематика диссертации

Свободные абелевы группы — достаточно хорошо изученный математический объект. Поэтому при возникновении вового понятия, функции возникает естественное желание в первую очередь исследовать это понятие для свободных абелевых групп, потом пытаться изучать какие-нибудь близкие группы. В данной диссертации рассматриваются два сравнительно новых понятия в теории групп: усредненная функция Дена и спектр Райдемайстера, которые в первую очередь исследуются как раз для свободных абелевых групп.

Усредненная функция Дена. Идея рассмотрения изопериметрической функции для конечно определенных групп восходит к работам Макса Дена 191012 годов. Ден доказывает, что проблема равенства слов для стандартного представления фундаментальной группы замкнутой ориентируемой поверхности второго рода и выше разрешима. Теперь алгоритм ее решения так и называется алгоритмом Дена. Прямым следствием этого факта является то, что функция Дева этих групп удовлетворяет неравенству £>(п) < п. Этот результат был расширен М.Д. Гряндлингером в 1960 году, представившим группы, удовлетворяющие условию С(|) малого сокращения ([14]).

Однако, понятие изопериметрической функции и функции Дена оформилось только в конце 80-х - начале 90-х в связи с возникновением и развитием теории словесно-гиперболических групп. В своей монографии "Гиперболические группы" в 1987 году Громов впервые вводит определение функции Дена ([16]) и показывает, что словесно-гиперболические группы удовлетворяют линейному изопериметрическому неравенству.

Изучение изопериметрических функций (и в особенности функции Дена) быстро стало одной из основных тем геометрической теории групп, поскольку тип роста этих функций — естественный квази-изометрический инвариант конечно определенных групп. Кроме того, рекурсивность функции Дена эквивалентна тому, что в данной группе разрешима проблема равенства слов.

Площадью единичного слова называют площадь минимальной диаграммы

ван Камнена этого слова (или, что эквивалентно, минимальное количество преобразований Дена, необходимое для этого слова). Изопериметрические функции (как и в геометрии) ограничивают сверху рост площади слова в зависимости от его длины. Функция Дена — минимальная из всех изолериметрических функций.

Известно ([16] и [26]), что линейность функции Дена эквивалентна тому, что группа гиперболическая.

А.Ю.Олыпанский [19] (см.также [4] и [20]) доказал теорему о том, что если функция Дена субквадратична, то группа гиперболическая.

Функция Дена автоматных групп (а в частности, и свободных абелевых групп) квадратична ([6]).

В работе ([5]) Брэйди и Бридсон доказали, что множество действительных чисел d, для которых существует конечно-определенная группа с функцией Дена, эквивалентной ni, плотно в интервале [2;+оо).

В статье [13] Герстен, Хольт и Райли полностью доказали известную (с + 1)-гипотезу (а именно: любая конечно порожденная нильпотентная группа ступени с допускает в качестве изопериметрической функцию эквивалентную nc+1).

Бывают группы с экспоненциальной функцией Дена. Такова, например, группа Баумслага-Солитера В(1,2) =< а, b\ab = Ь2а > ((11[).

У группы Баумслага-Герстена G =< o,¿|(í_1e~lí)a(i-1ai) = а2 > функция Дена растет быстрее, чем любая фиксированная башня экспонент (а именно, D(n) ~ ехр{ехр{... (ехр(1)) ...))) ([12]).

V

pog2n] экспонент

В 90-х годах XX века в теории алгоритмов и теории сложности появилась новая тенденция: оценивать сложность алгоритмов не в "худшем" случае, а в среднем. Тут же эта идея была подхвачена и во многих других отраслях математики, в частности, в теории групп стали возникать попытки усреднить функцию Дена.

Первое определение усредненной функции Дена дает М.Громов в работе (15] в 1993 году. В этой же работе он утверждает без доказательства, что усредненная функция Дена свободных абелевых групп субквадратична и задает вопрос: "Верно ли, что для любой группы ее усредненная функция Дена субассимптотична rio отношению к функции Дена? Т.е. верно ли, что lim уШ = 0."

п—юо

Этот вопрос в данное время и определяет основные направления в исследовании

усредненной функции Дена.

В 2003 году в статье Е.Г.Кукиной и В.А.Романькова (30] доказана гипотеза Громова о субквадратичпости усредненной функции Дена для свободных абелевых групп в естественном представлении. Эта работа и составила главу 2 данной диссертации.

Если про функцию Дена известно ([6]), что она не зависит от представления группы, то про усредненную функцию Дена пока такого факта доказать не удалось.

В.А.Романьков ([28]) замечает, что доказательство результата из статьи [30) легко распространить на все абелевы группы в любых конечных представлениях.

В 2008 году оценку на усредненную функцию Дена существенно улучшили О.В.Вогопольский и Э.Вентура ([lj), доказав, что усредненная функция Дена абелевых групп ограничена сверху функцией п log2 п. Это наилучшая полученная оценка сверху на усредненную функцию Дена для свободных абелевых групп.

В работах [28], [27] В.А. Романьков доказывает, что усредненная функция Дена произвольной конечнопорождеввой нильпотентной группы ступена нильпотентности с > 1 субассимптотична по отношению к функции fcc+1. Этот результат в частности дает положительный ответ на вопрос Громова для свободных иильпотентных конечно порожденных групп любой ступени с > 1 в любом конечном представлении.

Р.Янг ([24]) доказывает субассимптотичность для большинства иильпотентных групп. В частности, если нильпотентная группа удовлетворяет изопериметрическому неравенству D{k) ■< ка для а > 2 тогда усредненная функция Дена а(к) ;< fet, причем в случае неабелевых свободных иильпотентных групп эта оценка точна. Однако, определение Янга отличается от классического определения, введенного Громовым. Янг добавляет единичный элемент в систему порождающих. От шара (множества всех единичных элементов дайны < п) переходит к сфере (множеству всех единичных элементов длины ровно п), что может существенно уменьшить площади единичных слов в среднем, поскольку короткие слова с небольшой площадью теперь учитываются много раз (в единичное слово можно в любое место вставить этот новый порождающий и снова получить единичное слово).

В работе [33J (и в главе 3 данной диссертации) разобран пример группы с сублинейной усредненной функией Дена.

Была предпринята попытка ([31|) по-другому усреднить функцию Дена. Классическое определение усредняет функцию Дена равномерно; а новое — относительно любого вероятностного распределения. Идея введения на группах вероятностного распределения восходит к работам Боровика. Мясникова, Шпильрайна и Ремесленникова [3] и |2). Кроме того, естественные распределения вероятности на группе возникают и в других случаях (например, в случае рассмотрения случайного блуждания по графу Кэли группы).

Доказано, что в этом случае при некоторых ограничениях на распределение и функцию Дена группы, новая усредненная функция Дена не превосходит константы. Этот результат составляет главу 4 дайной диссертации.

Спектр Райдемайстера. Изучение свойства скрученной сопряженности мотивировано топологической теорией фиксированных точек отображений, также именуемой теорией Нильсена. В 1927-1932гг цикле статей [18] Нильсен вводит классы фиксированных точек гомеоморфизмов поверхностей. Впоследствии Райдемайстер разработал алгебраические основания для теории Нильсена для любого образа любого компактного многогранника (см. |21]). В этой работе Райдемайстера появляются классы скрученной сопряженности групп гомеоморфизмов. Оказалось, что классы фиксированных точек образов могут быть легко отождествленны с классами сопряженности лифтинга образа универсального замощения компактного многогранника; и классы сопряженности лифтинга могут быть отождествленны с классами скрученной сопряженности гомоморфизма, индуцированного на фундаментальную группу многогранника.

Пусть X — связный компактный многогранник и / : X —> X его непрерывное отображение. Число Райдемайстера R(f) (то есть количество (¿-сопряженных классов, где ф = — индуцированный гомоморфизм фундаментальной группы) очень значимо для изучения неподвижных точек /. В частности, конечность числа Райдемайстера играет очень важную роль.

В настоящее время важна проблема получения аналога известной теоремы Бернсайда-Фробениуса для скрученной сопряженности. С этой целью важно описать класс групп Roo (класс тех групп, для которых R{<¡>) = оо для любого автоморфизма ф) (см.[10}). Ддя следующих групп показана их принадлежность к классу Rao'.

• неэлементарные гиперболичные по Громову группы [29],[17];

• группы Ваумслага-Солитера за исключением В(1,1) [8];

• относительно гиперболичные группы [9];

• группы Григорчука и Гуиты-Сидки [10|;

• свободные нилыютентные группы ранга 2 ступени с > 4, ранга 3 класса с > 12, ранга г > 4 ютсса с > 2г [22, 34]..

Довольно естественно возникает понятие спектра Райдемайстера группы (т.е. множества всех чисел Райдемайстера автоморфизмов этой группы). Оно впервые введено в работах [32] и [34].

В работе [25] доказано, что спектр группы Гейзенберга N¡2 содержит кроме бесконечности любое четное число, но не изучен вопрос о принадлежности спектру нечетных чисел. В работе диссертанта [32) получено, что нечетные числа не принадлежат спектру группы Гейзенберга Л/щ. В этой же работе показано, что спектр свободной абелевой группы ранга г > 2 содержит все натуральные числа и бесконечность, а спектр свободной нильпотентной группы Д^з ранга 3 ступени 2 содержат все нечетные числа, все числа, делящиеся на 4 и бесконечность. Эти результаты составляют главу 5 данной диссертации. Кроме того, в части 5.3 полностью закрыт вопрос о спектре конечно порожденных абелевых групп.

В работе [34] В.А.Романьковым вычислен спектр свободной нильпотентной группы ранга 2 ступени 3 3(]У2з) = {2к2\к € К} и {оо}.

Совсем недавно появилась новая работа [7], в которой изучен спектр Райдемайстера метабелевых групп вида О" я Ъ и ЩХ/р)" я Ъ.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Основные результаты диссертации.

1. Доказана субквадратичность усредненной функции Дена для'абелевых грунп.

2. Найден пример группы с сублинейной функцией Дена.

3. Изучен неклассический способ усреднения функции Дена — усредненная функция Дена относительно заданной вероятности.

4, Вычислен спектр Райдемайстера конечно порожденных абелевых групп и свободных нилыюнентных групп ступени 2 рангов 2 и 3.

Апробация работы. Результаты докладывались на международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 17-19 ноября 2003); неоднократно на Омском алгебраическом семинаре (в 2002 и 2003 годах); в рамках международной школы-семинара «Новые алгебро- логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах» (Омск, 16-22 августа 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы [30], ¡31], [33], [32], [34]. Работы [30] и ]34[ выполнены совместно с В.А.Романьковым в неразделимом соавсторстве.

Структура работы. Диссертационная работа изложена на 54 страницах и состоит из введения, пяти глав, разделенных на 17 частей, и списка литературы. Библиографический список содержит 48 наименований.

Обзор содержания диссертации

В первой главе диссертации собраны необходимые предварительные сведения: основные определения и известные результаты.

Вторая глава диссертации посвящена доказательству гипотезы Громова о том, что усредненная функция Дена свободных абелевых групп субквадратична. Доказано даже более сильное утверждение.

Теорема 1. Усредненная функция Дена конечно порожденной абелевой группы в любом конечном представлении субквадратична.

Кроме того, в части 2.6 доказывается

Предложение 1. Для плоских кристаллографических групп с графом Кэли, соответствующим регулярному замощению плоскости, усредненная функция Дена субквадратична.

Сформулируем основные определения для понимания сути теоремы.

Пусть ХГ = {хь ... ,хг) — конечный алфавит. Обозначим через Е(ХГ) свободный моноид на множестве ХТ и Х~\ где X'1 = {х^1,..., х^ } — множество формально обратных элементов. Элементы моноида £(ХГ) будем называть словами. Обозначим

через |u>) длину слова w.

Пусть G = FT/R — конечно определенная группа, представленная как фактор группа свободной группы FT конечного ранга г от множества свободных порождающих Хт по нормальной подгруппе R — ncl(Ti,... ,rm). Обозначим как ip(G) =<: г,,...,гг|г],..., rm > соответствующее представление группы G через порождающие элементы и определяющие соотношения. Любое (не обязательно редуцированное) слово w моноида ЩХГ) определяет элемент группы Fr. Естественный гомоморфизм <р : FT -> G позволяет говорить о значении слова w в группе G. В частности, запись w —a v означает, что значения слов w,v в группе G совпадают.

Очевидно, что равенство а) =<; 1 и включение tи € R равносильны. Они эквивалентны тому, что в группе Fr существует запись вида:

w = glg2.-.gP, (1)

где gi = для некоторого fr € Fr, ef е ±1, ij € {1,...m}, ¿e {l,...p}. Как

обычно, заинсь д? означает сопряжение J~lgf.

Определение 1. Площадью Sw слова ш 1 относительно представления ф(О) называется наименьшее значение р, для которого существует запись вида (1).

Определим П^ = =g l|ju)| < — множество слов алфавита ХГ, значения которых в группе G равны 1, а длина не превосходит фиксированного числа к.

Определение 2. Функцией Дена группы G относительно представления называется функция

D(k) = max Sw. (2)

Определение 3. Будем писать / ■< д, если для функций fug существуют константы а, Ь, с, d (а, Ь ф 0J, такие, что для любого п > 0 верно

f(n) < ag(bn) + cn + d

Определение 4. Если одновременно f Ч g и g ■< f, функции fug называют эквивалентными. Обозначение: / ~ д.

Определение 5. Усредненной функцией Де на группы С относительно представления ф((7) называется функция

В третьей главе используется немного другое определение эквивалентности функций.

Определение 6. Мы пишем, что f ■<' д, если существуют константы а, Ъ, с, й (а, Ь^О), такие что для всех п выполнено неравенство

Функции I й^ называются эквивалентными, если / -<' д и одновременно д ;<' /. Обозначение: / д

Это определение удобно тем, что позволяет (в отличие от классического определения 3) выделять функции, меньшие линейных, чего ке позволяет классическое определение. Заметим, что функция Дена £>(£) меньше линейной только в одном случае: в случае свободной группы в ее естественном представлении (здесь £>(£) = 0). Усредненная же функция Дена может быть сублинейной, поэтому нам и потребовалось новое определение эквивалентности функций.

В третьей главе найден пример группы с сублинейной усредвенной функцией Дена. Доказана теорема:

Теорема 2. Усреденная функция Дена группы в естественном представлении < о|о2 > эквивалентна */к (т.е. а(к) у/к.

Кроме того, из теоремы 2 получено следствие. Оно отвечает на вопрос В.Н.Ремесленникова, заданный автору: "Какова средняя длина слов в свободной абелевой группе после сокращения?"

Рассмотрим свободную абелеву группу ранга г в ее стандартном представлении Введем — множество слов длины к в алфавите Хг. Определим функцию

Е Я

(з)

/(п) < ад(Ьп + с) +

Е Иг'

Сг(А) =

Сг(' ' ' саг<№Т,к '

т.е. средняя длина слов длины к после сокращения.

Следствие Х.Для любого натурального г функция Cr{k) эквивалентна у/к. Усреднение при определении функции а(к) происходит в соответствии с равномерной вероятностью на множестве fit. Существует другая возможность определения усредненной функции.

Например, как в четвертой главе, усредненная функция Дена может быть определена в соответствии со сложностью 7 и распределением {pt}-

Покажем, как в соответствии с идеями статей [3) и [2] можно ввести на моноиде Е(Л"Г) вероятностную меру.

Определение 7. Функцию 7 : S^r) —> N будем называть сложностью, если она имеет конечное слоение, т.е. для всех к выполнено условие cardr^ < со, где Гц, =

Пусть на множестве N определена некоторая вероятность pt = P{f = к). Это позволяет определить вероятность на моноиде Е(ХГ) следующим образом:

Vto € Г4 p(w) = Р{£ = t»} = пк = (4)

т.е. Р{£ е Г*} = рь, а все элементы одинаковой сложности равновероятны. Теперь усредним функцию Дена по-другому.

В этом случае определим множество П'к — {го =д l|7(w) < А:} слов из моноида Т.(ХГ), значения которых в группе G равны 1, а сложность не превосходит фиксированного числа к.

Определение 8. Относительной усредненной функцией Дена группы G, отвечающей представлению ip(G), сложности 'y(w) и вероятности {pit}, назовем функцию

Е P{v)Sw

= = (5)

Корректпость определения 8 обеспечивается следующим свойством распределения {pt}-

Определение 9. Распределение {р*} назовем хорошим, если Ркф 0 для всех к.

Только для хороших распределений вероятность любого непустого подмножества Е(Л') не равна нулю. Это одно из естественных требований, накладываемых на распределение в работе [3].

Мы рассматриваем только функцию 7(ъо) = |iu[, которая является одним из основных примеров сложности. Заметим, что тогда =

В четвертой главе диссертации доказано, что относительная усредненная функция Дена ((к) группы G ограничена сверху ненулевой константой при некоторых (не слишком жестких) ограничениях на распределение {р*} и саму группу G.

Теорема 3. Пусть G — конечно-определенная группа с условием 5(к) -< для некоторого 0 > 0, и пусть {pij — хорошая вероятность на N с условием = М < оо. Тогда относительная усредненная фукнция Дена ({к) группы G, отвечающая сложности 7 (uj) = и вероятности {рь}, не превосходит некоторой положительной константы.

Кроме того, доказано, что относительная усредненная функция Дена £(к) ограничена снизу положительной константой для любого хорошего распределения и любой конечно-определенной группы G, кроме свободной группы в естественном представлении.

В исключительном случае свободной группы F(X) в естественном представлении ty{F(X)) = относительная усредненная функция Дена тождественно

равна нулю.

Предложение 2. ПустъЩС) = (xit..., zr|ri,..., rm) — произвольное конечное представление, кроме единственной исключения - естественного представления свободной группы. Пусть 7(1«) = |го| и распределение {р^} хорошее. Тогда усредненная функция Дена Ci,{pt}(n) ограничена снизу положительной константой начиная с некоторого номера щ.

В частности, получено

Следствие 2. Если {pt} - произвольная вероятность, имеющая дисперсию, то относительно него функция свободной абелевой группы е любом представлении ограничена положительными константами сверху и снизу.

В пятой главе вводится и изучается новое понятие — спектр Райдемайстера. Определение 10. Пусть ф — эндоморфизм группы G. Два элемента fug группы G назовел1 ф-сопряжениыми (или скрученно-сопряжепными), если существует такой х £ G, что ф(х)/ = дх. Будем писать /~фд

Определение 11. Количество классов ф-сопряженности называется числом Райдемайстера Щф) эндоморфизма ф.

Определение 12. Множество S(G) = {Н(ф)\ф £ Aut(G)} всех чисел Райдемайстера автоморфизмов назовем спектром Райдемайстера группы G.

Теорема 4. Спектр Райдемайстера группы N22 состоит из всех четных чисел и бесконечности.

Теорема 5. Спектр Райдемайстера группы TV23 состоит из всех нечетных чисел, всех чисел, делящихся на 4, и бесконечности.

Теорема 6. Пусть G — произвольная конечно порожденная абелева группа, разложенная о прямое произведение циклических

G = zn°(g)z21 0 z;i

Pi€Pj4>2

1. Если по — 0, щ ф 1, спектр Райдемайстера состоит из всех делителей поряЗка группы.

2. Если п0 > 2, «I ф 1, спектр Райдемайстера состоит из всех натуральных чисел и бесконечности.

3. Если щ = 1, «1 ф 1, спектр Райдемайстера состоит из всех удвоенных делителей числа Щ=1р"' и бесконечности.

4- Если п0 = 0, «1 = 1, спектр Райдемайстера состоит из всех четных делителей порядка группы.

5. Если щ = 0, щ = 1, спектр Райдемайстера состоитг из всех четных натуральных чисел и бесконечности.

6. Если по = 0, п\ = 1, спектр Райдемайстера состоит из всех учетверенных делителей числа П[_2р"' и бесконечности.

Автор выражает огромную благодарность и сердечную признательность своему научному руководителю, Виталию Анатольевичу Романькову, за понимание и долготерпение.

Литература

[lj O.Bogopolski, B.Ventura The mean Dehn function of abelian groups//J. of Group Theory, 2008, v.ll, 569-586.

|2] A.V. Borovik, A.G. Myasnikov, V.N. Remeslennikov Multiplicative measures on free groups Ц Internat. J. Algebra Comput., 13 №6, 2003, 705-731.

[3] A.V.Borovik, A.G .Myasnikov, V.Shpilrain Measuring sets in infinite groups// Con-temp.Math, 2002, v.298, 21-42.

|4] B.Bouditch, A short proof that a subquadratic isoperimetric inequality implies a linear one// Michigan J. Math., 1995,v.42, 103-107.

[5j N.Brady, and M.R.Bridson, There is only one gap in the isoperimetric spectrum// Geometric and Functional Analysis, v.10, 2000, 1053-1070.

[6] J.W.Cannon, D.B.A.Epstein, D.F.Holt, S.V.F.Levy, M.S.Paterson, W.P.Thurston Word Processing in Groups, Jones and Bartlett, Boston M.A.,1992

[7] A.L.Fel'shtyn, L.Daciberg, D.Goncjalves Reidemeister spectrum for metabelian groups of the form Q" x\Ъ and Z[1 /р}" x Ъ,р pnme//arXiv:math.GR/0909.3128, 2009.

[8] A.L.Fel'shtyn, D.Gon^alves Reidemeister number of any automorphism of Boumslag-Soliter group is infinite// Geometry and Dynamics of Groups and Spaces, Progress in Math., Birkhauser, 265, 2008, 286-306.

[9] A.L.Fel'shtyn, D.Gongalves Twisted conjugacy classes in symplectic groups, Mapping class groups amd Braid groups// arXiv:math.GR/0708.2628, 2007.

(lOj A.L.Fel'shtyn, Y.Leonov, E.Troitsky Twisted conjugacy classes in saturated weakly branch groups, Geom.Dedicata 134, 2008, 61-73.

[11] S.M.Gersten, Dehn functions and l\-norms of finite presentations. Algorithms and classification in combinatorial group theory.// Math. Sei. Res. Inst. Publ., 23, Springer, New York, 1992, 195-224.

[12] S.M.Gersten, Isoperimetric and isodiametric functions of finite presentations in Geometric group theory. London Math.-Soc. Lecture Note Ser., Cambridge Univ. Press, 1993, v.l, 1991, 79-96,

[13J S.M.Gersten, D.F.Holt.,T.R.Riley Isoperimetric inequalities for nilpotent groups// Geom.Funct.Anal. 2003, v.13, 795-814.

[14] M.Greendlinger Dehn's algorithm for the word problem// Communications in Pure and Applied Math., 13, 1960, 67-83.

[15] M.Gromov, Asymptotic invariants of infinite groups, in Geometric Group Theory. LMS Lecture Notes, 182 eds. G.A.Niblo and M.A.Roller, Cambridge Univ. Press, 1993.

[16] M. Gromov, Hyperbolic groups. Essays in Group Theory.-Springer, 1987, 75-263.

[17| G.Levitt, M.Lustig Most automorphisms of a hyperbolic group have simple dynamics// Ann. Sei. Ecole Norm. Sup., 33, 2000, 507-517.

[18] J.Nielsen Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen I, II, III// Acta Math. 50, 1927, 189-358; 53, 1929, 1-76; 58, 1932, 87-167.

[19] A.Yu.Ol'shanskii, Hyperbolicity of groups with subquadratic isoperimetric inequality// Int. J. Alg. and Comput., v.l, 1991, 281-290.

[20] P.Papasoglou, On the subquadratic isoperimetric inequality, in Geometric Group Theory. Walter de Gruyter, Berlin - New-York, 1995, 149-158.

[21] K.Reidemeister Automorohismen von Homotopiekettenringen// Math. Ann., 112, 1936, 586-593.

[22] V.Roman'kov Twisted conjugacy classes in nilpolent groups// arXiv:math.GR/0903.3455, 2009.

|23] V.Roman'kov, B.Ventura On the twisted conjugacy problem on the endomorphisms of nilpotent groups// to be published.

[24j R.Young Averaged Dehn function for nilpotent groups// Topology, v.47, 2008, 351— 367.

[25] Ф.К.Индукаев Скрученная теория Бернсайда для дискретной группы Гейзенберга и сплетений некоторых гр2/пп//Вестн.Моск.ун-та, сер.1, Математика. Механика. 2007, №6, 9-17.

¡26] И.Г.Лысенок. О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических группЦ Изв. АН СССР, сер. мат. Т.53, №4, 1989г. 814-832.

[27] В.А.Романьков Об асимптотическом росте усредненной функции Дена для нилъпотентных групп//Алгебра и логика, 2007, т.46.1, 37-45

[28] В.А.Романьков Субкубичностъ усредненной функции Дена нилъпонетной группы ступени 2 //Сиб.мат.журн., 2005, т.46 №3, 663-672

[29[ А.Л.Фелыптыв Число Райдемайстера любого автоморфизма гиперболической по Громову группы бескг>мечно//Зап.науч.семинаров ПОМИ РАН (Геом. и топол.), 2001, 229-241.

Работы автора по теме диссертации

(30j Е.Г.Кукива, В.А.Романьков В.А. Субквадратичность усредненной функции Дена для свободных абелевых групп// Сиб.мат.журн., 2004, 44, №4, 772-778.

[31] Е.Г.Кукина Усредненная функция Дена относительно заданной вероятности/ /Сиб.мат.журн., 2006, 47, №2, 361-364.

|32] Е.Г.Кукина Спектры Райдемайстера свободных абелевых групп и свободных нильпотентных групп ступени 2 рангов 2 и 3// В сб. «Математика и информатика: наука и образование : Межвузовский сборник научных трудов. Ежегодник» Вып. 8. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 2009, 10-13.

[33] Е.Г.Кукина Усредненная функция Дена для группы //Вестник Омского университета, 2003, Выпуск 3 (29), 18-21.

[34] E.G.Kukina, V.Roman'kov On the Reidemeister spectrum and the Roc property for some free nilpotent groups// arXiv:math.GR/0903.4533, 2009.

[35] Е.Г.Кукина Усредненная функция Дена для группы Z2 //Молодежь III тысячелетия. Региональная научная студенческая конференция. Тезисы докладов., - Омск: Омск.гос.ун-т, 2003, 262.

[36] Е.Г.Кукина Усредненная функция Дена относительно заданной вероятности//Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах: Международная школа-семинар (16-22 августа): тезисы докладов. - Омск: Изд-во Ом.гос.ун-та, 2009, 40.

Подписано в печать 18 ноября 2009 года. Формат бумаги 60x84 1/16. Печ.л. 1,25. Уч.-изд.л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 993.

Отпечатано в «Полиграфическом центре КАН» тел. (3812)65-47-31 644050, г. Омск, пр. Мира, 34 Лицензия ПЛД № 58-47 от 21.04.97

Введение

Усредненная функция Дена.

Спектр Райдемайстера.

1 Предварительные сведения

1.1 Усредненная функция Дена .•.

1.2 Относительная усредненная функция Дена

1.3 Спектр Райдемайстера.

2 Усредненная функция Дена для свободных абелевых групп

2.1 Идея доказательства

2.2 Ограничение площади.

2.3 Ограничение вероятности выхода за куб.

2.4 Окончание доказательства теоремы.

2.5 О произвольных абелевых группах.

2.6 О некоторых плоских кристаллографических группах.

3 Усредненная функция Дена для группы Z

3.1 Вычисление усредненной функции Дена для группы Z2.

3.2 Сокращения в свободной абелевой группе.

3.3 Распределение единичных слов в группе Zp.

3.3.1 Количество единичных слов для группы Ър.

3.3.2 Точная усредненная функция Дена для Ър.

3.3.3 Некоторые предельные замечания.

4 Относительная усредненная функция Дена

4.1 Ограничение сверху.

4.2 Ограничение снизу.

5 Спектр Райдемайстера

5.1 Спектры Райдемайстера свободных абелевых групп

5.2 Свободные нильпотентные группы ступени 2 рангов 2 и 3.

5.3 Спектры Райдемайстера конечно порожденных абелевых групп . . 45 Заключение.

Свободные абелевы группы — достаточно хорошо изученный математический объект. Поэтому при возникновении нового понятия, функции возникает естественное желание в первую очередь исследовать это понятие для свободных абелевых групп, потом пытаться изучать какие-нибудь близкие группы. В данной диссертации рассматриваются два сравнительно новых понятия в теории групп: усредненная функция Дена и спектр Райдемайстера, которые в первую очередь исследованы как раз для свободных абелевых групп.

Усредненная функция Дена

Идея рассмотрения изопериметрической функции для конечно определенных групп восходит к работам Макса Дена 1910-12 годов. Ден доказывает, что проблема равенства слов для стандартного представления фундаментальной группы замкнутой ориентируемой поверхности второго рода и выше разрешима. Теперь алгоритм ее решения так и называется алгоритмом Дена. Прямым следствием этого факта является то, что функция Дена этих групп удовлетворяет неравенству D{n) < п. Этот результат был расширен М.Д. Гриндлингером в 1960 году, представившим группы, удовлетворяющие условию С(|) малого сокращения ([15]).

Однако, понятие изопериметрической функции и функции Дена оформилось только в конце 80-х - начале 90-х в связи с возникновением и развитием теории словесно-гиперболических групп. В своей монографии "Гиперболические группы" в 1987 году Громов впервые вводит определение функции Дена ([19]) и показывает, что словесно-гиперболические группы удовлетворяют линейному изопериметрическому неравенству.

Изучение изопериметрических функций (и в особенности функции Депа) быстро стало одной из основных тем геометрической теории групп, поскольку тип роста этих функций — естественный квази-изометрический инвариант конечно определенных групп. Кроме того, рекурсивность функции Дена эквивалентна тому, что в данной группе разрешима проблема равенства слов.

Площадью единичного слова называют площадь минимальной диаграммы ван Кампена этого слова (или, что эквивалентно, минимальное количество преобразований Дена, необходимое для этого слова). Изопериметрические функции (как и в геометрии) ограничивают сверху рост площади слова в зависимости от его длины. Функция Дена — минимальная из всех изопериметрических функций.

Известно ([19] и [37]), что линейность функции Дена эквивалентна тому, что группа гиперболическая.

А.Ю.Ольшанский [22] (см.также [4] и [23]) доказал теорему о том, что если функция Дена субквадратична, то группа гиперболическая.

Функция Дена автоматных групп (а в частности, и свободных абелевых групп) квадратична ([6]).

В работе ([5]) Брэйди и Бридсон доказали, что множество действительных чисел d, для которых существует конечно-определенная группа с функцией Дена, эквивалентной nd, плотно в интервале [2; Ч-оо).

В статье [14] Герстен, Хольт и Райли полностью доказали известную (с + 1)-гипотезу (а именно: любая конечно порожденная нилыютентная группа ступени с допускает в качестве изопериметрической функцию эквивалентную nc+1).

Бывают группы с экспоненциальной функцией Дена. Такова, например, группа Баумслага-Солитера В{1, 2) =< a, b\ab = b2a > ([12]).

У группы Баумслага-Герстена G =< a,t\(t~la~lt)a(t~lat) = а2 > функция Дена растет быстрее, чем любая фиксированная башня экспонент (а именно, D(n) ~ ехр(ехр{. (ехр( 1)).))) ([13]).

4 V ' iog2n] экспонент

В 90-х годах XX века в теории алгоритмов и теории сложности появилась новая тенденция: оценивать сложность алгоритмов не в "худшем" случае, а в среднем.

Тут же эта идея была подхвачена и во многих других отраслях математики, в частности, в теории групп стали возникать попытки усреднить функцию Дена.

Первое определение усредненной функции Дена дает М.Громов в работе [18] в 1993 году. В этой же работе он утверждает без доказательства, что усредненная функция Дена свободных абелевых групп субквадратична и задает вопрос: "Верно ли, что для любой группы ее усредненная функция Дена субассимптотична по отношению к функции Дена? Т.е. верно ли, что lim = 0."

Этот вопрос в данное время и определяет основные направления в исследовании усредненной функции Дена.

В 2003 году в статье Е.Г.Кукиной и В.А.Романькова [42] доказана гипотеза Громова о субквадратичности усредненной функции Дена для свободных абелевых групп в естественном представлении. Эта работа и составила главу 2 данной диссертации.

Если про функцию Дена известно ([6]), что она не зависит от представления группы, то про усредненную функцию Дена пока такого факта доказать не удалось.

В.А.Романьков ([39]) замечает, что доказательство результата из статьи [42] легко распространить на все абелевы группы в любых конечных представлениях.

В 2008 году оценку на усредненную функцию Дена существенно улучшили О.В.Богопольский и Э.Вентура ([1]), доказав, что усредненная функция Дена абелевых групп ограничена сверху функцией п log2 п. Это наилучшая полученная оценка сверху на усредненную функцию Дена для свободных абелевых групп.

В работах [39], [38] В.А. Романьков доказывает, что усредненная функция Дена произвольной конечноиорождеиной нильпотентной группы ступени нильпотентности с > 1 субассимптотична по отношению к функции кс+1. Этот результат в частности даст положительный ответ на вопрос Громова для свободных нильпотентных конечно порожденных групп любой ступени с > 1 в любом конечном представлении.

Р.Янг ([30]) доказывает субассимптотичность для большинства нильпотентных групп. В частности, если нильпотентная группа удовлетворяет изопериметрическому неравенству D(k) ^ ка для а > 2 тогда усредненная функция Дена а(к) , причем в случае неабелевых свободных нильпотентных групп эта оценка точна. Однако, определение Янга отличается от классического определения, введенного Громовым. Янг добавляет единичный элемент в систему порождающих. От шара (множества всех единичных элементов длины < п) переходит к сфере (множеству всех единичных элементов длины ровно п), что может существенно уменьшить площади единичных слов в среднем, поскольку короткие слова с небольшой площадью теперь учитываются много раз (в единичное слово можно в любое место вставить этот новый порождающий и снова получить единичное слово).

В работе [45] (и в главе 3 данной диссертации) разобран пример группы с сублинейной усредненной функией Дена.

Была предпринята попытка ([43]) по-другому усреднить функцию Дена. Классическое определение усредняет функцию Дена равномерно; а новое — относительно любого вероятностного распределения. Идея введения на группах вероятностного распределения восходит к работам Боровика, Мясникова, Шпильрайна и Ремесленникова [3] и [2]. Кроме того, естественные распределения вероятности на группе возникают и в других случаях (например, в случае рассмотрения случайного блуждания по графу Кэли группы).

Доказано, что в этом случае при некоторых ограничениях на распределение и функцию Дена группы, новая усредненная функция Дена не превосходит константы. Этот результат составляет главу 4 данной диссертации.

Спектр Райдемайстера

Изучение свойства скрученной сопряженности мотивировано топологической теорией фиксированных точек отображений, также именуемой теорией Нильсена. В 1927-1932гг цикле статей [21] Нильсен вводит классы фиксированных точек гомеоморфизмов поверхностей. Впоследствии Райдемайстер разработал алгебраические основания для теории Нильсена для любого образа любого компактного многогранника (см. [24]). В этой работе Райдемайстера появляются классы скрученной сопряженности групп гомеоморфизмов. Оказалось, что классы фиксированных точек образов могут быть легко отождествленны с классами сопряженности лифтинга образа универсального замощения компактного многогранника; и классы сопряженности лифтинга могут быть отождествленны с классами скрученной сопряженности гомоморфизма, индуцированного на фундаментальную группу многогранника.

Пусть X — связный компактный многогранник и / : X —> X его непрерывное отображение. Число Райдемайстера R(f) (то есть количество «/(-сопряженных классов, где ф = — индуцированный гомоморфизм фундаментальной группы) очень значимо для изучения неподвижных точек /. В частности, конечность числа Райдемайстера играет очень важную роль.

В настоящее время важна проблема получения аналога известной теоремы Бернсайда-Фробениуса для скрученной сопряженности. С этой целыо важно описать класс групп R^ (класс тех групп, для которых й(</>) = оо для любого автоморфизма ф) (см.[11]). Для следующих групп показана их принадлежность классу R00:

• неэлементарные гиперболичные по Громову группы [41],[20];

• группы Баумслага-Солитера за исключением В(1,1) [8];

• относительно гиперболичные группы [9];

• группы Григорчука и Гупты-Сидки [11];

• свободные нильпотентные группы ранга 2 ступени с > 4, ранга 3 ступени с > 12, ранга г > 4 ступени с > 2г [25, 46].

Довольно естественно возникает понятие спектра Райдемайстера группы (т.е. множества всех чисел Райдемайстера автоморфизмов этой группы). Оно впервые введено в работах [44] и [46].

В работе [34] доказано, что спектр группы Гейзенберга N22 содержит кроме бесконечности любое четное число, но не изучен вопрос о принадлежности спектру нечетных чисел. В работе диссертанта [44] получено, что нечетные числа не принадлежат спектру группы Гейзенберга N22- В этой же работе показано, что спектр свободной абелевой группы ранга г > 2 содержит все натуральные числа и бесконечность, а спектр свободной нильпотентной группы N32 ранга 3 ступени 2 содержит все нечетные числа, все числа, делящиеся на 4 и бесконечность. Эти результаты составляют главу 5 данной диссертации. Кроме того, в части 5.3 полностью закрыт вопрос о спектре конечно порожденных абелевых групп.

В работе [46] В.А.Романьковым вычислен спектр свободной нильпотентной группы ранга 2 ступени 3 ^(А^з) = {2к2\к G N} U {оо}.

Основные результаты диссертации опубликованы ([42], [43], [45], [44], [46]), докладывались на международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 17-19 ноября 2003); неоднократно на Омском алгебраическом семинаре (в 2002 и 2003 годах); в рамках международной школы-семинара «Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах» (Омск, 16-22 августа 2009).

Заключение

Определение усредненной функции Дена дал М.Громов в работе [18] в 1993 году. До сих пор усредненная функция Дена остается мало изученным объектом. Ясно, что у усредненной функции Дена есть много свойств, неприсущих функции Дена. Например, функция Дена монотонно возрастает, а усредненная функция Дена бывает немонотонна (например, для группы Z3 =< а > а{ 3) = ±,<х(4) = 5) = §).

Оказывается, трудно вычислить усредненную функцию Дена с точностью до эквивалентности функций. Почти все публикации дают только верхнюю оценку на усредненную функцию Дена (см. [39],[38],[1], [30]).

До сих пор неизвестно, зависит ли усредненная функция Дена от представления группы или нет. Если зависит, то как?

Возможно ли доказать еубквадратичность усредненной функции Дена для произвольных автоматных групп?

Возможно ли доказать сублинейность усредненной функции Дена для гиперболических или хотя бы для конечных групп? (Как это удалось сделать для группы Z2.)

Можно ли доказать свойство субассимптотичности для всех групп? Или обрисовать класс групп, для которых это свойство выполнено.

Ответы на эти вопросы неизвестны.

1. O.Bogopolski, E.Ventura The mean Dehn function of abelian groups//J. of Group Theory, 2008, v.ll, 569-586.

2. A.V. Borovik, A.G. Myasnikov, V.N. Remeslennikov Multiplicative measures on free groups // Internat. J. Algebra Comput., 13 №6, 2003, 705-731.

3. A.V.Borovik, A.G.Myasnikov, V.Shpilrain Measuring sets in infinite groups// Contemp.Math, 2002, v.298, 21-42.

4. B.Bouditch, A short proof that a subquadratic isoperimetric inequality implies a linear one// Michigan J. Math., 1995,v.42, 103-107.

5. N.Brady, and M.R.Bridson, There is only one gap in the isoperimetric spectrum// Geometric and Functional Analysis, v.10, 2000, 1053-1070.

6. J.W.Cannon, D.B.A.Epstein, D.F.Holt, S.V.F.Levy, M.S.Paterson, W.P.Thurston Word Processing in Groups, Jones and Bartlett, Boston M.A.,1992

7. A.L.Fel'shtyn, L.Daciberg, D.Gongalves Reidemeister spectrum for metabelian groups of the form Qn xi Z and Z1 /p]n xi Z,p pn'me//arXiv:math.GR/0909.3128, 2009.

8. A.L.Fel'shtyn, D.Gon§alves Reidemeister number of any automorphism of Boumslag-Soliter group is infinite// Geometry and Dynamics of Groups and Spaces, Progress in Math., Birkhauser, 265, 2008, 286-306.

9. A.L.Fel'shtyn, D.Gongalves Twisted conjugacy classes in symplectic groups, Mapping class groups amd Braid groups// arXiv:math.GR/0708.2628, 2007.

10. A.L.Fel'shtyn, D.Gongalves, P.Wong Twisted conjugacy classes for polyfree groups// arXiv:math.GR/0802.2937, 2008.

11. A.L.Fel'shtyn, Y.Leonov, E.Troitsky Twisted conjugacy classes in saturated weakly branch groups, Geom.Dedicata 134, 2008, 61-73.

12. S.M.Gersten, Dehn functions and l\-norms of finite presentations. Algorithms and classification in combinatorial group theory.// Math. Sci. Res. Inst. Publ., 23, Springer, New York, 1992, 195-224.

13. S.M.Gersten, Isoperimetric and isodiametric functions of finite presentations in Geometric group theory. London Math. Soc. Lecture Note Ser., Cambridge Univ. Press, 1993, v.l, 1991, 79-96,

14. S.M.Gersten, D.F.Holt.,T.R.Riley Isoperimetric inequalities for nilpotent groups/ j Geom.Funct.Anal. 2003, v. 13, 795-814.

15. M.Greendlinger Dehn's algorithm for the word problem// Communications in Pure and Applied Math., 13, 1960, 67-83.

16. D.Gongalves, P.Wong Twisted conjugacy classes in nilpotent groups// arXiv:math.GR/0706.3425, 2007.

17. D.Gongalves, P.Wong Twisted conjugacy classes in wreath products// Inter-nat.J.Algebra Comput., v.16, 2006, 875-886.

18. M.Gromov, Asymptotic invariants of infinite groups, in Geometric Group Theory. LMS Lecture Notes, 182 eds. G.A.Niblo and M.A.Roller, Cambridge Univ. Press, 1993.

19. M. Gromov, Hyperbolic groups. Essays in Group Theory.-Springer, 1987, 75-263.

20. G.Levitt, M.Lustig Most automorphisms of a hyperbolic group have simple dynamics// Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 33, 2000, 507-517.

21. J.Nielsen Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flachen I, II, III// Acta Math. 50, 1927, 189-358; 53, 1929, 1-76; 58, 1932, 87-167.

22. A.Yu.Ol'shanskii, Hyperbolicity of groups with subquadratic isoperimetric inequality// Int. J. Alg. and Comput., v.l, 1991, 281-290.

23. P.Papasoglou, On the subquadratic isoperimetric inequality, in Geometric Group Theory. Walter de Gruyter, Berlin New-York, 1995, 149-158.

24. K.Reidemeister Automorohismen von Homotopiekettenringen// Math. Ann., 112, 1936, 586-593.

25. V.Roman'kov Twisted conjugacy classes in nilpotent groups// arXiv:math.GR/0903.3455, 2009.

26. V.Roman'kov, E.Ventura On the twisted conjugacy problem on the endomorphisms of nilpotent groups// to be published.

27. J.Taback, P.Wong A note on twisted conjugacy and generalized Boumslag-Solitar groups// arXiv:math.GR/0606.284, 2006.

28. J.Taback, P.Wong, The geometry of twisted conjugacy classes in wreath products// arXiv:math.GR/0805.1371, 2008.

29. J.Taback, P.Wong, Twisted conjugacy and quasi-isometry invariance for gen-eralezed solvable Boumslag-Soliter groups// J.London Math. Soc., 75 (2), 2007, 705-717.

30. R.Young Averaged Dehn function for nilpotent groups// Topology, v.47, 2008, 351-367.

31. Ж.Т.Беленкова, В.А.Романьков Регулярные графы Кэли// Сиб. мат. ж., деп. в ВИНИТИ, 1997, Т.802-В97, 37.

32. Н.Я.Виленкин, Комбинаторика, М.: Наука, 1969.

33. М.Громов Гиперболические группы, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

34. Ф.К.Индукаев Скрученная теория Бернсайда для дискретной группы Гейзенберга и сплетений некоторых групп//Вестн. Моск.ун-та, сер.1, Математика. Механика. 2007, №6, 9-17.

35. Г.С.М.Коксетер, У.О.Дж.Мозер Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп: Пер. с англ./Под ред. Ю.И.Мерзлякова, М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980.

36. Дж.Ламперти, Вероятность, М.: Наука, 1973.

37. И.Г.Лысенок, О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических групп// Изв. АН СССР, сер. мат. Т.53, №4, 1989г. 814-832.

38. В.А.Романьков Об асимптотическом росте усредненной функции Дена для нилъпотентных групп//Алгебра и логика, 2007, т.46.1, 37-45

39. В.А.Романьков Субкубичность усредненной функции Дена нилъпонетной группы ступени 2 //Сиб.мат.журн., 2005, т.46 №3, 663-672

40. В.Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложение, T.l, М.: Мир, 1984.

41. А.Л.Фелынтын Число Райдемайстера любого автоморфизма гиперболической по Громову группы бесконечне>//Зап.науч.семинаров ПОМИ РАН (Геом. и тонол.), 2001, 229-241.

42. Работы автора по теме диссертации

43. Е.Г.Кукина, В.А.Романьков В.А. Субквадратичность усредненной функции Дена для свободных абелевых групп// Сиб.мат.журн., 2004, 44, №4, 772-778.

44. Е.Г.Кукина Усредненная функция Дена относительно заданной вероятности//Сиб.мат.журн., 2006, 47, №2, 361-364.

45. Е.Г.Кукина Усредненная функция Дена для группы Ъ2 //Вестник Омского университета, 2003, Выпуск 3 (29), 18-21.

46. E.G.Kukina, V.Roman'kov On the Reidemeister spectrum and the Roo property for some free nilpotent groups// arXiv:math.GR/0903.4533, 2009.

47. Е.Г.Кукина Усредненная функция Дена для группы Ъ2 //Молодежь III тысячелетия. Региональная научная студенческая конференция. Тезисы докладов., Омск: Омск.гос.ун-т, 2003, 262.