Установившиеся колебания упругого неоднородного прямоугольника тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 од

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

- к *пр ___

Специализированный совет К 063.73.02 по физико-математическим наукам

На правах рукописи

ЛУЦЕНКО Любовь Ивановна

УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО НЕОДНОРОДНОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КРАСНОДАР 1993

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специплизированный совет К 053.73.02 по физико-математическим наукви.

На прадах рукописи

ЛУЦЕНКО ЛШОВЬ ИВАНОВНА

УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО НЕОДНОРОДНОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА

01.02.04.- механика деформируемого твердого теля

АВТОРЕФЕРАТ диссертации нэ соискание ученой, степени кандидата физнко-мзтематических наук

КРАСНОДАР 1993

Работа выполнена в Ростовском орденв Трудового Красного знамени государственном университете и Горловскоы филиале Донецкого политехнического института

Научный руководитель : доктор физико-математических наук,профессор

БЕЛОКОНЬ А.В.

Официальные оппоненты : член-корресповдент ДН УКРАИНЫ, доктор физико-математических наук,профессор

доктор физико-математических наук

ГРИНЧЕНКО ВЛ

ГЛУШКОВ Е.В.

Ведущее научное учревдение : Донецкий государственный

университет

Защита состоится / 5 А?¿УЯ- в час.на заседании

специализированного совета К 063.73.02 по физико-математический наукам ь Кубанской государственном университете ^по адресу: ул.Карла Либкне:гга,149, вуд.231,

С диссертацисй можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского университета Автореферат разослан

• " Ученый секретарь л „

специализированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

цель работы, в работе исследуется возможность применения обоб-;енного метода суперпозиции для решения задачи об установивших-:я колебвниях упругого поперечно-неоднородного прямоугольника под действием гармонически изменяющейся во времени нагрузки;проводит-;я аналитическое и численное исследование волновых характеристик [впрякенно-деформированного состояния¡изучается влияние на их говедение геометрических параметров прямоугольной области и упру-■их свойств материалов ее составллгацих,выявляются особенности юведения их вблизи угловых точек грвницн.

актуальность работы.Широкий интерес к вопросам распространения юлн в кусочно-неоднородных средах определяется рядом практически 1аяных проблем,возникающих в машиностроении,приборостроении,фун-[вментостроении.при исследовании конструкций из неоднородных [атеривлов.

В исследование распространения волн в поперечно-неоднородных олноводах большой вклад внесли работы Л.М.Бреховских.И.И.Воровг а , В. 4. Бвбешко,Л. А.Молотковя, Г.И. Пе.трашеня,Н.А.Шульги, В. Т.Грин енко .Бабича B.f,'. .Гоиилко A.M. .Гетмана-И.П.,Устинова D.A. и дру-их авторов.

Существование двух типов волн в неограниченной упругой среде ызывает большой интерес к проблемам влияния граничных поверхнос-ей на процесс распространения гармонических волн.

Задачи нормального и наклонного падения волн на границу разила двух, сред изучались в работах Н.А.Шульги.Л.П.Зинчук.В.Г.Сэ-ина и др.

НоЕые данные о роли границы раскрываются при анализе страхе-

тх о г* гтло irrjif тгоитю гт rmnvriv тагч пит ira ni^oaT^YU/^m^r» л оотта по тготгж гтл шг_

1ГШ U < LWItflW J Ш< J UtflUL/tUriA JJS/'Ui 11U UUU^U'IU j 41 liV»tJ

k

пространств из различных материвлов.Анализ таких процессов дин в работах В.Т.Гринченко, В.В.Meлешко,Б.Г.Гогола дзеД.А.Молоткона, Auld В.À. ,Mindliri R.D.U др.

Работы Mathieu Е. ,в которых автор предпринимает попытки научить напряженное состояние прямоугольника при заданных на границе напряжениях,начали серию публикаций,посвященных распространению волн в ограниченных телах.

Авторами этих публикаций являются А.М.Александров,А.В.Лурье, Л.Ф.Папкович, В.К.Прокопов, А.В.Белоконь,В.Т.Гринченко,А.Ы.Гомшг-ко и др.

Важным явлением, характеризующим специфику конечных упругих волноводов,служит краевой резонанс,первое упоминание о котором -можно найти в работе stiaw е.A.G. ,а теоретическое осмысление и дальнейшее исследование в работах Ле Хань Ч8у,Каизе1 Е.,В.Т.Гринченко,В.В.Мелешко в др.

методика исследования .Используемый в работе метод заключается в построении математической модели изучаемых волновых процессов и последующем аналитическом и численном ее исследовании.

Исходным является полная система уравнений теории упругости (уравнения движения и соотношения обобщенного закона Гука). Для облегчения решения поставленной задачи формулируются две вспомогательные с "перекрестными" условиями,что позволяет свести решение исходной задачи к решению бесконечной системы интегральных уравнений относительно функций,заданных на границе области и ииеицих определенный механический смысл.

Проведений асимптотический анализ решения полученной система и ирпмвнеше методе Бубнова-Галеркина позволяет свести ее к конечной ™ построить зСФективный алгоритм ее решения.

научная новизна.Основные результаты диссертации . является новыми и относятся к современному разделу теории упругости - механике деформационных процессов в телах конечных размеров.

Построено решение задача оО установившихся колебаниях поперечно-неоднородной упругой прямоугольной области под действием гармонически изменяющейся во времени нагрузки.

Предложена эффективная численная реализация найденных решений, которая позволила провести исследование напряженно-деформированного состояния поперечно-неоднородного прямоугольника,оценить влияние геометрии его в упругих свойств материалов, составляющих область,на механические характеристики.

На рассматриваемый класс задач обобщен метод суперпозиции; разработан алгоритм сведения краевых задач к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений¡проведенный асимптотический анализ неизвестных, бесконечной системы позволил свести ее к конечной и решить.

Следует отметить,что несмотря на прикладное значение,задачи, сочетащие конечность размеров тела,наличие угловых точек в нем, а также неоднородность,мало изучены'.

•ч

практическая и теоретическая иЕнность.Развитый в диссертации подход применим при анализе волновых характеристик деформирования конструктивных элементов конечных размеров.Полученная на его основе информация может быть использована при создании оптимальных конструкций,расчетов их на прочность и жесткость.

достоверность результатов.Достоверность качественных результатов и количественных данных обеспечивается обоснованностью

разработанных методов численного исследования краевых задач. Правильность полученных результатов подтвервдается сопоставлением их' с результатами,полученными другими авторами в рамках постановки соответствующих задач.

апробация работы,Изложенные в диссертации результата докладывались и обсуждались на заседании кафедры высшей математике Горловского филиала Донецкого поли 'хнического института, на научных семинарах Ростовского и Кубанского государственных университетов.

публикации.по теме диссертации опубликованы 3 печатные работы.

структура и объем работы. Диссертационная работе состоит из введения,3-х глав,заключения,приложений.Текст занимает 92 стр., вкличая 13 рис., 5 таблиц.Список литературы содержит 144 названия.

содержание работы.

Во введении определена цель исследования.Приведен обзор литературы по теме диссертации. Кратко сформулировано содеркание работы.

Первая глава работа посвящена постановке задачи об установившихся колебаниях упругого поперечно-неоднородного прямоугольника под действием гармонически изменяющейся во времен? нагрузки.

Рассматривается тонкая поперечно-неоднородная упругая пластика, занимающая область d = ъ"'и Е,г',где

?

D = ((а, ,а2):- о ¡S at € a , |а21 ib },

D'"= {(а(.а2):- oí а, í о , |аг| ib }, (1)

d'*' = ((а^): ou, ío , |а2| ib},

а - декартовы координаты ; а,ь,о - постоянные величины.

Пусть на сторонах шшсгина а4= а , а4= -о Задана нагрузка, гармонически изменяющаяся во времени с частотой ш.

Здесь и далее верхний индекс определяет принадлежность соот-ветствупцей характеристики к области о'" или d'2>.Кроме того, греческие индексы пробегают значения I и 2.

Для описания поведения пластины используем уравнения движения сплошной среды,которые после перехода к безразмерным координатам х = at/а ,у = аг/а и деления на модуль сдвига с'2"'= о!а) приводят к следующим системам уравнений (общий для всех характеристик волновых полей мнокитель exp(-iü)t) опускаем).

(2)

!«, <«> «а» <«. ««> 0«а». <со 11 1.11 12 2,21 2,22 1 '

\u> . ч i^i i , t , « i i

2 ,11 , 21 12 ,12 11 2,22

при следующих граничных условиях

с= СС + = г при х = т .1?Г « ч ■

С=С + С=0' при z = 7 ,|у| €11 ;

+ с [у»: = о при - 6 í i í 1 , |у| € tj ;

^íií i г i il¿ í 2> íl> ('21 ( i> , (2) _ ).. i

°11 = а11 ' 12 = 12 U2 = U2 ' U1 = U1 ПРЯ * = °'1У1 ^ 7Î ;

(3)

где 7

-б , а = 1 р'а>ш2 а - 0,а- = --

1 , а = 2 „т

с

2 2

1 Г 1 2(1- V"" ) 2 и1"'

Р<® - _ г"*1 + о'0" • г""- ' - с(С"- ——

и0дуЛЬ сдвщ-в й коэффициент Пуассона для областей 1У°"; р'а> - плотность материала областей ю!а\

При атом - б < х 5 1, |у| < 11 , где Т) = Ь/а ; О = с/а ;

(со < о* / „1011 „(о1 ._<<*> (а) <о> /п1С»

/3 = ип /а > апз= ; Ч = Ч /С2г ;

где компоненты амплитудного вектора перемещений й ; о^1-компоненты амплитудного тензора напряжений а интенсивность

нагрузки.

При решении, поставленной звдвчи был использован метод,предложенный А. В.Белоконеи,заменяющий исходную краевую задачу двумя вспомогательными, характеризующимися сдедущшяа граничшми условиями :

для области б'1'

и".'(-в,у) = /¡"(у) , о^'(-С.у) = о ;

и;4' и.± 11) = К1' (х) , а^1 1]) = О ; (3)

и1'(0,у) = /в(у) . О,у) = для области и'г>

(1,У) = /\г' (у) , 0^'(1.У> = о ;

и!2' и.* 11) = /;г> (х) , о'*' и,1 11) = о ; (4)

(!-',у) = /5(у) (О,у) = /4(у).,

Введенные вспомо1'8тельные задачи существенно проще исходной. На ходи с помело метода НейыэнзЧИварца их решения и учитывая

неиспользованные граничные условия С (7,у) = ч'а\

.п) =0, <1'(0,у) = и^Чо.у)

а применяя соответствуйте рязловения в ряд Фурье,сводам поставленную задачу (г) - (з) к решению системы интегральных уравнений относительно неизвестных функций /^(у), г'"'М. /4(у)./5(у)

с

(6)

где,например,

[2 2.2

111 1 п I > О « 1 1

Ргк + «к ] 2 Ргк

т ..< 4 1 1 1 >

ооаа^. (у-т})+

(7)

'^ 1 »Х-1 <1

< * 1 г , о < «. 1 г"1 Г <1)г, Я11)г,| . <*>„

- 2ч

2 J

1 1 *

у

(») . (I >

<*Ч К

_<»> < 1) (11_ . + 0„ Хс оозь1 у ;

«йм^'О

где

<1> IZ)

а^ = %к/ц , ^ = itj/ö, pj = (к=1,2,...;3=1,г,.,.); (а)

2 2 2 г г г

iou _ .<а> <ou 0tai -ia>

Pftk = ~ kfl • IfiV. ~ Pj ~ h(i

(9)

2 2 2 2

.<00 fJOU , „(CO t(OÜ

= " 1 Cil ■ *2 = " '

KV геГ^Г

<ii___Ii) '_'

Vy - г r Sj - 2 '

С

2 2 q^ = q1C", q, = О ( j t 1,2 ).

üepepWaraH функции, входящие в выражения для Jy ,и используя граничные условия (5),получили бесконечную систему уравнений для определения коэффициентов Фурье , fl2"' , ¡^ , /5fc.

Во второй главе приведено исследование поведения решения системы интегральных уравнений в угловых точках области в,которое позволило определить асимптотику коэффициентов Фурье , , /4|е , /5к при больших значениях индексов ( j - m", k -< « ) и удачно подобрать координатные функции в методе Бубнова-Галеркина при решении упомянутой системы интегральных уравнений.

Предполагая,что функции /f (у) , flza'{x) , /„(у) ,

/с(у) .где /^"+(-1 , непрерывны в области в,но их

производные терпят разрыв в углогых точках,т.е.

° /I11' (5) = ±'ct(ij * Л - t ?? ;

/;*'Ц) = ± D.OI i £)"—* ,Е - ' ± т) ;

С ш = , {- - о;

../¿"'(6) = ^(М)"-1 ,Е -1 ;

(6) = , £ - О ;

/Г (6) - . £ - .о ;

(10)

/„ (Е) = ± в * , Е - ± ч ; /9'«) = * А, (Л ? Е)Х'\ I - ± Л,

где а, , в4 , с,, в,,

постоянные ,

Д. -параметр,характернзухщий особенности функций /5 (5) /¿"ЧЕК--./^1 (£),/4 (Е).и произведя интегрирование в формулах (Ю), получили

ПЛ.

^«51г -----^ *

А = А4Г(?.) в 1л -5-,

тЛ

В = В,Г(Х) аш -5- ,

ор;"

, е =в4г(м з!л

НА

(11)

ХТГ

В =ВТ(Л) зш

1А

ТГ '

"(2) ' 2:

г

? = г4га) аш

л

.2.

В

В

? „ ТЛ ТгГ- - , У = ? Г(Л) зш-

К" " - ' с = в1п

К;'1

•Л

■а

К" "-• 11 = а1п

Здесь Г(х) - гвммв-функцая.

Проведенный асимптотический аивлаз левых частей системы ин-тегрвлышх уравнений при подходе к угловым точкам области Б к следующей системе линейных уравнений для определения

коэффициентов а,в,с,п,к,к,р,у.

1&

-С si.ii + ЕА, = О ПХ

-СЛ. + Е з!п — = о

тЛ ' (12)

V згл + УХ. = О

■ЛА

та. + г1 ей -т,— = о

Б гии - 1 АЛ.--¡г- (г-Л.)(1-,\) + --- Б{1 —Л) +

* г(с;; -1)

с ( 20'''- 1 )

ТА

+ К-- ,-••-г 31Л - = О,

( с;;'- 1 )

в -1 в „2С II'- 1

ллед -(х-1)зе--—----(?-к){\-1)32 + у т-тгг-у- =0,

■л

+ 1

+ 1

с;'

+ эг

в

тЛ а

с;;1-я с^-мс^'-п

* +- к -—---у -~- = о,

1] с! 11 с;'1

'|л в 2а 81п ---

2 г

1 зе "1 тл

+ —гг;- зщ - + 2ЯЕ - 2Л? = О.

С- 1 с;;'- .1 ) г

Эта система имеет нетривиальное решение,если параметр Л. удов-ютворяет уравнению

г ТЛ

К2- аш--- О. (13)

2

Ограничились рассмотрением только веществесгвешгого корня ъ = 1 .тогда очевидно ,С = Е; У=-11;А. = В = В = 5 = 0.

В конечном итоге приходам к системе алгебраических уравнений шда

А[Ь;1\*;2,,6,7}] Г = Б (а) , (14)

порядок которой зависит от количества координатных функций в

методе Бубнова-Галеркина и числа учитываемых комплексных корней уравнения (13).

Ограничиваясь только вещественным корнем Кй = 1 уравнения (13), пришли к известному закону асимптотических выражений дяя неизвестных системы (14),который использовали в своих работах ВЛ.Гринченко,А.Ф.Улитко,В.В.Мелешко,А.В.Белоконь и др.

Собственные частоты Х0 определялись при численном анализе определителя матрицы } .

В третьей главе приведены результаты численного анализа исследования., задачи (г) -(3) об установившихся колебаниях упругого поперечно-неоднородного прямоугольника.

Основное внимание при численном анализе уделялось вопросам сходимости и проверке достоверности полученных результатов.

Были рассмотрены случаи симметричной области 13 ( б = 1 ) и антисимметричной (5^1 ).

Исследовались три группы различных пар материалов,составляющих область и,а именно: две пары одинаковых материалов (медь-медь, свинец-свинец);две пары материалов (меДь-свинец,цинк-свинец), на границе раздела которых волны Стоунли не наблюдались; четыре пары материалов (медь-магний,цинк-магний,вольфрам-алюминий, ко-бальт-алшиний ), принадлежащие тем парам,на границе' раздела которых появляются волны Стоунли.

Следует отметить тот факт,что горизонтальные участки на спек-■¡фе чвстот просматриваются при исследовании пер одинаковых материалов, что является подтверждением результатов(полученных другими авторами в рамках постановки соответствующих задач.Для тех пар

материалов,на границе раздела которых появляются волны Стоунли, спектр резонансных частот характерен наличием горизонтальных участков (плато),хотя и не так ярко выраженном,как в чисто однородном случае.И,наконец,горизонтальные участки полностью отсутствуют для пар материалов,на границе раздела которых волны Стоунли обнаружены не были.

В заключении дана сводка основных результатов работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

- обобщен метод суперпозиции для поперечно-неоднородного прямоугольника ;

- проведено асимптотическое исследование поведения искомых функций в угловых точках области,что позволило построить эффективный алгоритм решения задачи ;

- проанализировано напряженно-деформированное состояние поперечно-неоднородного прямоугольника,находящегося под действием гармонически изменяющейся во времени нагрузки ;

- проведен численный анализ спектра собственных частот колебаний рассматриваемого волновода ;

- проанализированы различные группы пар материалов,в том числе и те ,на границе раздела которых появляются волны Стоунли;

- проанализировано явление краевого резонанса для данного случая неоднородности.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1.Луценко Л.й.,Бовк Л. П.Гармонические колебания поперечно-неоднородной прлмоуголыюй области //Горловский филиал Донлюлитехн, ин-та.-Горловке,1988.-23 с.-Ден.в УкрНШПЙ 16.07.87.,Я 2365-Укя;

2.Луцепко Л.И.,Вовк Л.П.Краевая задача об установившихся колебаниях поперечно-неоднородного прямоугольника // Горловский фил. Дон.политех.ин-та.-Горловка,1991.-14 с.-Деп.в УкрНШГТИ од.од.91, Я 1268-УК91.

3.Луценко Л.И.Асимптотический знализ реиешя падача об установившихся колебаниях поперечно-неоднородного прямоугольника /V Горловский фил.Дон.политеж.ин-та. -Горловка, 1992.-и е.- Деп.в УздЖИНТИ 5.09.199г,*42б1-Ук92.

Полп.в печать 10.03.93 г. Формат 60х84116. Бумага тип. № 2.

Офсетная печать. Усл.печ.л. 0,93. Усл.кр.-отт. 1,05.

Уч.-изд.л. 1,3. Тираж 100 экз. Заказ № 4-57

Кубанский государственный университет, Краснодар, ул. Карпа Либкнехта, 149

° ДМ/ШП, 3400&0; Донецк, ул. Артема, 96