Устойчивость и эволюция нелинейных волновых движений проводящих жидкостей во внешних электрических полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

003479938

Юрченко Станислав Олегович

УСТОЙЧИВОСТЬ И ЭВОЛЮЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ДВИЖЕНИЙ ПРОВОДЯЩИХ ЖИДКОСТЕЙ ВО ВНЕШНИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ

Специальность 01.04.02 - Теоретическая физика

1 5 ОНГ /пля

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2009

Работа выполнена на кафедре «Физика» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Алиев Исмаил Новрузович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Дадиванян Артем Константинович

доктор физико-математических наук, профессор Ерофеев Владимир Иванович

Ведущая организация:

ОАО «Высокотехнологический научно-исследовательский институт неорганических материалов им. академика А. А. Бочвара»

Защита диссертации состоится « Ь » 2009 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 212.155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 105005, Москва, ул. Радио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан «. >>t#1¿p&íjzJk 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ^ ^f^ Барабанова Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из современных задач теоретической физики является развитие теории общих свойств и закономерностей нелинейной динамики сильно неравновесных систем. Как указал классик этого направления И. Пригожин, «...взаимодействие системы с внешним миром, ее погружение в неравновесные условия может стать исходным пунктом в формировании новых динамических состояний...». Именно поэтому вопросы устойчивости границы раздела фаз в электрических полях постоянно находятся в поле интересов современных исследователей.

В переходах типа «беспорядок-порядок» в жидкостях до последнего времени, как правило, рассматривалась конвективная неустойчивость и теория турбулентности. Однако, наличие обнаруженных сравнительно недавно точек бифуркаций в динамике жидкостей в присутствии электрического поля приводит к мысли, что последние могут пополнить класс физических систем, способных к саморегуляции.

Ветвление решений уравнений, исследование которых широко представлено в настоящей работе, можно, по сложившейся традиции, интерпретировать как неединственность путей эволюции динамической системы.

Таким образом, предлагаемый к рассмотрению круг вопросов тесно связан с теорией исследования нелинейной (как обобщение линейной) динамики системы, находящейся в электрическом поле (как сильно неравновесной системы). Именно это положение привело к настоящей структуре диссертации, когда основные вопросы нелинейной теории, изложенные в последней главе, базируются на предварительных оригинальных результатах линейной теории, выведенных в первых двух главах.

Значительный интерес к вопросам устойчивости и временной эволюции поверхности жидкостей, находящихся в сильных электрических полях, связан с реальными запросами практики. Возникновение неустойчивости поверхности проводящей жидкости определяет характер процессов при вакуумных разрядах. Неустойчивость заряженной поверхности жидкости состоит в том, что эмиссионные выступы в некоторых точках этой поверхности приводят к испусканию высокодисперсных сильнозаряженных капель. Это явление используется в жидкометаллических источниках ионов; при создании потоков монодисперсных капель в термоядерном синтезе; в каплеструйной печати; в ускорителях макрочастиц; при распылении жидкости для быстрого рассеяния плотных аэродисперсных систем (облаков грозовых туч); в реактивной космической технике и т.д. На разрушении поверхности жидкости в электрическом поле основана работа электрогидродинамических распылителей жидкости, позволяющих получать монодисперсные аэрозоли, покрытия, пленки.

Реальные геометрии объектов, конфигурации электростатических полей и степени нелинейности процессов в указанных технологиях несопоставимо сложнее, чем возможные для аналитического расчета. К тому же, если в линейной теории уже

существуют стандартные и общепринятые методы вывода и решения уравнений, то последовательной нелинейной теории на сегодня не существует.

Несомненно, будущее развития и внедрения электрогидродинамических технологий связано с численными методиками расчета и проектирования. В этой связи, теоретические результаты являются надежным подспорьем и основой базы модельных задач, на которой отрабатываются алгоритмы численных методик, а теоретические исследования остаются жизненно-важными для развития современных численных технологий расчета.

Цель диссертационной работы - теоретическое описание закономерностей влияния электрического поля на устойчивость, линейную эволюцию и нелинейные волновые движения сильно неравновесной системы, представленной в настоящем исследовании проводящей жидкостью в ортогональном к невозмущенной поверхности электрическом поле.

Научная новизна. В диссертации получила развитие теория общих свойств и закономерностей электрогидродинамических систем, находящихся в сильно неравновесных состояниях.

1. Обнаружено, что совместное действие электрического поля и температурного градиента приводит к снижению порогов конвективной неустойчивости при подогреве снизу и возникновению инверсионной электроконвективной неустойчивости при нагреве сверху.

2. Показано, что описание спектров волн в рассматриваемых системах сводится к ряду модельных случаев, для которых удается построить функции Грина.

3. Рассмотрена линейная эволюция волновых пакетов при околокритическом значении напряженности электрического поля и установлены закономерности пространственно-временного развития сильнонеравновесного начального возмущения типа «ступенька».

4. Выведены квадратично-нелинейные уравнения, описывающие эволюцию возмущения поверхности тяжелой электропроводной жидкости, находящейся в электрическом поле, ортогональном к невозмущенной поверхности.

5. В нелинейной теории введен оператор давления, включающий действие капиллярных, электрических и гравитационных сил; установлена связь введенного оператора давления с дисперсионными соотношениями, получаемыми в линейной теории.

6. Выведено обобщенное уравнение Римана, позволяющее по известному оператору давления строить уравнения простых волн не только плоской, но и цилиндрической симметрии. Настоящий результат справедлив в нелинейной динамике для систем уравнений типа Буссинеска.

7. Установлены закономерности влияния слабого электрического поля на стационарные волны (солитон и кноидальные волны) в теории «мелкой воды»; найден стационарный профиль возмущения в вырожденном случае - электрокапиллярный солитон.

Практическая значимость. Результаты исследований представляют собой развитие теории неравновесных систем в применении к поверхностной электрогидродинамике.

Найденные условия неустойчивости возмущений поверхности жидкости в неравновесном состоянии могут служить теоретическим обоснованием при разработке дисперсных и струйных систем при производстве микро- и нанопорошков, полимерных волокон, для технологий капсулирования и расщепления в медицине и фармацевтике, при получении наноструктурированных материалов с контролируемыми свойствами. Рассчитанные условия электро-конвективной неустойчивости могут служить теоретическим обоснованием при разработке технологий электродиспергирования, связанных с высокоинтенсивным нагревом при производстве порошков тугоплавких соединений.

Разработанный способ вывода нелинейных эволюционных уравнений может быть применен для уравнений типа Буссинеска в теории волновых движений жидкости, газовой динамике, нелинейной теории упругости, методов нелинейной динамики.

Найденные профили нелинейных волн могут использоваться в качестве модельных задач для апробации адекватности численных методик расчета более сложных геометрических и динамических конфигураций электрогидродинамических задач.

Достоверность результатов подтверждается согласованностью с общими положениями электрогидродинамики, теории устойчивости и нелинейной динамики, теории неравновесных систем; в предельных случаях решения согласуются с ранее известными результатами.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Установленные закономерности комбинированного влияния электрического поля, температурного градиента, капиллярных и гравитационных сил на устойчивость равновесия и линейную эволюцию возмущений в исследуемых системах.

2. Установленные закономерности пространственно-временного развития сильнонеравновесной структуры типа «ступенька» при околокритическом значении напряженности электрического поля.

3. Разработанная квадратично-нелинейная теория волновых движений и обобщение способа вывода уравнения стационарных волн.

4. Найденные профили стационарных нелинейных волн в приближении действия слабого электрического поля и в случае вырождения эволюционного уравнения.

Личный вклад автора состоит в решении изложенных задач, построении нелинейной теории, анализе и обобщении полученных результатов, проведении расчетов. Все основные результаты получены автором лично.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Академических чтениях по космонавтике им. С.П. Королева (Москва, 2006, 2007), Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и тех-

нике» (Москва, 2007, 2009), Всероссийской межвузовской научно-технической конференции «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий» (Казань, 2007, 2009), Международной научно-технической конференции «Чкаловские чтения» (Егорьевск, 2007); на научных семинарах МГТУ им. Н.Э. Баумана и Московского государственного областного университета.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 13 научных работах, из которых 6 - научные статьи, в том числе, 4 - в рекомендованных ВАКом изданиях для публикации основных результатов научных работ соискателей ученой степени кандидата и доктора наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения, содержит 130 страниц, 38 рисунков, 1 таблицу. Список литературы включает 132 работ.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ВО ВВЕДЕНИИ показана актуальность темы, проведен критический обзор работ, посвященных современным проблемам и приложениям поверхностной электрогидродинамики. Сформулирована цель и задачи диссертации, выделена научная новизна и ценность, практическая ценность и значимость результатов работы.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ изучаются флуктуации заряженной поверхности раздела двух сред, а также заряженной поверхности вертикально прогреваемого слоя жидкости и комбинированные неустойчивости в описанных системах.

В разделе 1.1 выводится дисперсионное соотношение для флуктуаций заряженной горизонтальной поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей конечной глубины в зазоре между двумя электродами идеально проводящими: верхняя считается идеальной, а нижняя - вязкой; на поверхности раздела сохраняется тангенциальный разрыв скорости.

Полная система уравнений включает уравнение Пуассона для потенциалов скорости и электрического поля в отсутствии объемных зарядов; уравнения Навье-Стокса и непрерывности; граничные условия для поля скоростей и электрического поля; условие неразрывности поверхности раздела, равенства нормальных к границе раздела компонент скорости верхней и нижней жидкостей; условие непрерывности компонент тензора напряжений на границе «идеальная - вязкая жидкость». Дисперсионное уравнение (ДУ) формулируется в виде равенства нулю дисперсионного определителя.

В разделе 1.2 проведен анализ предельных случаев ДУ: бесконечно глубокая вязкая жидкость; случай двух идеальных жидкостей; в случае двух бесконечно глубоких жидкостей получено ДУ

гш 'й?

+ П(к)-К(к,и) = 4.11 ™

у£2

гш

уА;

"уА:2 - 4ист2£ + (1 -

р,У

У

. Рг. Р.

где и, к - комплексная частота и волновое число; у - кинематическая вязкость; р„ р2 - плотности нижней и верхней жидкости; g - ускорение свободного падения; и - скорость невозмущенного течения верхней жидкости; ^ - коэффициент поверхностного натяжения; ст - поверхностная плотность заряда невозмущенной поверхности жидкости.

На рис. 1 приведены численно-рассчитанные зависимости коэффициента затухания (3 и циклической частоты ш от волнового числа к при следующих данных: 1 = 0.062 Дж/м2; у = 5 • 10~4 м2/с; р = 103 кг/м3; и = 1 м/с а = 6-Ю""6 Кл/м2. Проведено разделение действительной и мнимой части уравнения (1).

Раздел 1.3 посвящен анализу влияния поверхностного заряда и фонового движения верхней жидкости на реализацию комбинированной неустойчивости Френке-ля-Тонкса и Кельвина-Гельмгольца. Показано, что множество критических точек в плоскости (и,а) образуют эллипс неустойчивости. Эффективный коэффициент поверхностного натяжения снижается пропорционально и2 при малых 17.

Последнее означает, что фоновое движение и поверхностный заряд могут использоваться для эффективного управления, например, процессами испарения, т.к. снижают эффективное поверхностное натяжение.

о ол о.2 о.з * о о.1 о.2 о;; к Рис. 1 Зависимость коэффициента затухания и циклической частоты от волнового вектора для случая отсутствующей верхней жидкости (а, Ь), а = 0; и движущейся верхней жидкости (с, ё), а = 0.15

Раздел 1.4 посвящен исследованию комбинированной конвективной и Френ-келя-Тонкса неустойчивости. Вывод дисперсионного уравнения возмущений малой амплитуды проводится для плоского слоя тяжелой тепло- и электропроводной, сла-

-7-

босжимаемой жидкости. Нижняя граница - соприкасается с твердой подложкой с высокой теплопроводностью, а верхняя - свободна и находится в постоянном ортогональном к невозмущенной поверхности электрическом поле. Относительное гидростатическое изменение плотности мало; разность температур на верхней и нижней границах поддерживается постоянной. Температура на границах слоя фиксирована, вертикальный градиент равновесной температуры в невозмущенном состоянии известен.

Движения в системе описываются системой уравнений Навье-Стокса, непрерывности, теплопереноса в приближении Буссинеска - Обербека, уравнения Пуассона для электрического потенциала с соответствующими граничными условиями. Линеаризация исходных уравнений приводит к трансцендентному ДУ в виде определителя 6 порядка.

Раздел 1.5 посвящен обсуждению справедливости граничных условий, допускающих монотонные и колебательные движения, а также анализу свойств амплитудных функций возмущений. Для комбинированной конвективной и Френкеля-Тонкса неустойчивости выведена система разрешающих уравнений и показано, что условие неустойчивости при подогреве снизу определяется равенством нулю дисперсионного определителя системы относительно констант А}:

где Ra=gP^/г4/vX - число Рэлея; Рг = у/х - число Прандтля; = - число

Вебера; А - градиент температуры; (3 - коэффициент термического объемного расширения; И - толщина слоя; х _ температуропроводность. Проведены численные расчеты зависимости критического числа Рэлея В.ас(к) при различных напряженно-стях электрического поля.

Раздел 1.6 посвящен случаю влияния температурного градиента на реализацию неустойчивости Френкеля-Тонкса при нагреве сверху. Благодаря относительному снижению плотности верхних слоев жидкости (Р>0) становится возможным неустойчивость Френкеля-Тонкса при инверсионном нагреве.

Показано, что критический параметр Френкеля-Тонкса F что

меньше, чем в отсутствии нагрева. Проведенные оценки показывают, что снижение

& = к2 - Ка^ к2'\ = к2 +1(1 ± ^Яа*3 к*\ ; = 1...6.

порогового значения напряженности электрического поля может составить до 2.5% для органических жидкостей и ~ 2.5...16% для металлов и сплавов.

Раздел 1.7 содержит выводы по Главе 1.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена исследованию структуры решений ДУ (1), а также эволюции пакетов возмущений на заряженной границе раздела двух сред в различных постановках задачи.

В разделе 2.1 исследуется влияние слабого движения верхней жидкости на решение ДУ (1). Показано (рис. 2), что наличие даже малого фонового движения верхней жидкости всегда приводит к устранению точек бифуркации и образованию «тонкой структуры» решения ДУ.

Рис. 2 Схема расщепления решения дисперсионного уравнения вблизи точки бифуркации (штриховая линия - в отсутствии фонового движения)

В разделе 2.2 для случая V = О проводится параметризация ДУ (1)

ш =4 и

з , 1 — си 1 и Н--и — -

1 + а 1 + а

, Р =

2и — 1 (1 + а)ы'

ГЬ

4(1 + а)2м6+4(1-а2)м4-4ам2-1

ш = 0,

(3

(1 + а) и2 2ц —1 (1 + а)и'

, и > и4,

п=ч

1 + 4ам2 ( 4 )1 —(1 —а)и 1-(1-а)и

>0,

(1 + а)м2 ' (1 + а)и ' и

где ш = Ке^/ук1^, Р = 1т(ш/ук2^ - безразмерные циклическая частота и коэффициент затухания, и, - действительный корень уравнения

(1 + а)м,3+(1-а)м,-1 = 0

Зависимость параметра можно представить в безразмерном виде (здесь Т7 - параметр Френкеля-Тонкса):

п=к=к^ф, Л=Ш" V2 /*

В разделе 2.3 на основе найденного параметрического представления проводится полный анализ структуры решений ДУ для различных спектров волн. Вычислены зависимости бифуркационных значений параметров Г2, (3 от соотношения плотностей а.

В разделе 2.4 обсуждаются общие свойства дисперсионных соотношений. Из самых общих соображений показано, что в пространственно-симметричных системах циклическая частота и коэффициент затухания - нечетная и четная функция волнового числа, соответственно. Таким образом, в степенных разложениях возможны нечетно-продолженные слагаемые четных порядков.

В разделе 2.5 для случая двух идеальных покоящихся жидкостей дисперсионное уравнение, выведенное в разделе 1.2, приведено к безразмерному виду. Показано, что степенные разложения ы(/с) для докритических и критических спектров могут описываться выражениями

шШ = с0*-(ЗР, йШ = с/-бШ-рР

- -11-1 I -1-1 (2)

= \\к — 1, ш = 6Ш

Тильдами обозначены безразмерные переменные.

В разделе 2.6 вычисляются функции Грина для решения задач линейной эволюции возмущений в системах со спектрами (2). Показано, что соответствующие функции Грина выражаются через специальные функции Эйри, синус- и косинус-интегралы Френеля, гипергеометрические функции Гаусса.

В разделе 2.7 устанавливаются закономерности линейной эволюции структуры типа «ступенька» для пороговых спектров на мелкой и глубокой жидкости. Показано, что на «мелкой воде» образуется структура волнового бора, изменяющаяся со временем только масштабно. Начальное возмущение на «глубокой воде» распадается на два профиля, изменяющихся масштабно и движущихся в противоположные стороны, т.е. эволюция не сводится к только масштабному преобразованию. Приводятся результаты расчетов эволюции «ступеньки» на поверхности глубокой жидкости в околокритическом режиме.

В разделе 2.8 приводятся выводы по Главе 2.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена развитию нелинейной теории с учетом результатов дисперсионного анализа и методов эволюции возмущений в линейной теории. Рассматривается горизонтальный слой жидкости, находящийся в ортогональном к невозмущенной поверхности электрическом поле и поле сил тяжести; полупространство над поверхностью жидкости - вакуум. Жидкость предполагается несжимаемой, невязкой, идеально проводящей электрический ток, движение жидкости -потенциально.

В разделе 3.1 приводится система уравнений движения и граничных условий в рассматриваемой системе. Способ вывода нелинейных уравнений состоит в разложении искомых функций в асимптотические ряды по параметру амплитуды волны. Тогда поиск потенциалов электрического поля и поля скоростей сводится к последовательному решению линейных задач. Найдены квадратично-нелинейные уравнения движения в рассматриваемой системе.

В разделе 3.2 найденная система уравнений приводится к длинноволновому приближению Буссинеска (теория «мелкой воды»). Затем вводится линейный оператор давления в виде

и(+(иУ1)и = -У1р[т1]) Т1, + У,(пи) = 0 (3)

---^ Д.п--г-!— _

8тг pgh

где и - «плоский» вектор возмущений скорости; т] - безразмерная полная глубина; [1 - параметр дисперсии; V,, Д, - «плоские» операторы Гамильтона и Лапласа; Е -напряженность невозмущенного электрического поля; р - оператор эффективного давления; индексами *, ? обозначены Фурье-преобразование и производная по времени; интегрирование производится по всем значениям волнового вектора к.

В разделе 3.3 выводятся квадратично-нелинейные уравнений на поверхности глубокой заряженной жидкости (приближение коротких волн):

Здесь - вертикальное отклонение поверхности от равновесного состояния; Ф -потенциал поля скоростей; е - параметр амплитуды волны.

Таким образом, демонстрируется достаточная общность исходной постановки задачи и применимость методики построения нелинейной теории и вывода уравнений.

В разделе 3.4 выводится векторное операторное уравнение простой волны. Систему уравнений типа уравнений Буссинеска (3) можно представить в виде (используется соотношение р[т|] = Рч\)

и(+(иУ1)и = -л"1С У.т], л,+Ч(ли) = 0

где введен векторный оператор С скорости возмущения. Показано, что обобщенное уравнение Римана простой волны имеет вид

и,+(иУ1+С(и)У,)и = 0, С(и)=Ди + и|иГ'Т? (4)

где оператор 4р следует понимать в том смысле, что 4р^1р = Р. Установлено, что Фурье-образ оператора Р. = (и(к)/к) . Таким образом, по известному оператору Р

можно построить уравнение простой волны. Соотношения (4) справедливы в нелинейной газодинамике и теории мелкой воды.

На основе (4) выведено нелинейное эволюционное уравнение

(5)

2жо с„

Рё

рУ

РЯ 6

Показано, что в докритическом электрическом поле возможен случай (3 = 0, т.е. вырождение (5). Стационарная волна описывается уравнением

(6)

где х — бегущая переменная; V + с0 - скорость волны; А - константа интегрирования.

В разделе 3.5 находится слабонелинейное решение уравнения (6). Показано, что в случае ¡3<0 возможны различные профили волн (рис. 3) в зависимости от соотношения между волновым числом к и

Г = (Л/1 + 12|(3|Со/а2-1)а/б|(3| Л . к<к'

Рис. 3 Профили волн для слабонелинейного решения

В разделе 3.6 находится солитонное решение (6) в приближении действия слабого электрического поля, т.е. при а 1. Разложение (6) по малому параметру а приводит к уравнению Кортевега-де Фриза и неоднородному стационарному уравнению Шрёдингера. Найденные профили солитонов могут иметь до 3 «горбов» и приведены на рис. 4.

В разделе 3.7 рассматривается вырожденный случай (3 = 0. Показано, что линейный оператор Ь связан с преобразованием Гильберта (интеграл понимается в смысле главного значения):

Ь[и] = - 2тгН

ди

дх

, , 1 +?и(х',Ас1х' , И 1и =-УР[ [ \ х-х

Таким образом, уравнение (5) обобщает уравнения Кортевега-де Фриза и Бенджамина-Оно:

и,+

с0+-М

и1 + 0и„+аН[и„] = О

Тогда при (3 = 0 существует стационарное решение с рациональным профилем и (г) = 4а/(4 + аа2г2), и скоростью V = 2а/3а.

3>0 4

ч! 3

2

Рис. 4 Профили уединенных волн (1-4): = 0; 0.016; 0.05; 0.1

В разделе 3.8 найдено решение уравнения (6) в виде ряда

оо «5

и(г) = (г) + £>4, (г), < + - + А = 0

П=1 ^

(7)

Функции "ф„ - решения неоднородных стационарных уравнений Шредингера, определяемые рекуррентно

п>2

4=1

Показано, что ряд (7) представляет собой асимптотическое разложение Пуанкаре - каждое слагаемое расходится при г —> оо, но, набирая достаточное число слагаемых, на ограниченном интервале по г можно получать сколь угодно точное решение.

В разделе 3.9 решается задача исследования влияния электрического поля на кноидальные волны. Расходимость ряда (7) устраняется методом Линдштедта-

Пуанкаре при помощи «растяжения» масштаба по горизонтальной переменной, откуда

^0(г) = ас1п2М + г,, = ^Дf^О^ск + А)^)-2 сЬ

2 = т(1 + аш1 + 0(а2)], ш1=К(5)/8тт где а, я - амплитуда и модуль кноидальной волны; К(я) — полный эллиптический интеграл 1 рода; константа А определяется из условия _ = 0:

На рис. 5 представлены безразмерные функции возмущений, вычисленные согласно приведенным формулам. Результаты прекрасно согласуются с расчетами для соли-тонного решения.

кривые (1-5): 0.05; 0.5; 0.7; 0.8; 0.85

Пространственный эффект влияния слабого электрического поля состоит в «расплывании» возмущений по горизонтали.

Электрическое поле приводит к заострению профиля нелинейной волны в случае (3>0. Нелинейная волна с модулем 5 = 0.8 подвергается такому влиянию слабее, чем волна с модулем 5 = 0.5. В случае (3 < 0 слабое электрическое поле оказывает наоборот, сглаживающее воздействие на нелинейные волны. Так, при 5 = 0.5 с увеличением параметра поля на месте минимумов исходного профиля может появиться максимум возмущенного профиля. Нелинейные волны с модулем 5 = 0.8 подвержены влиянию электрического поля слабее, но характер влияния поля остается прежним — профиль волны сглаживается, минимумы поднимаются, а максимумы опускаются.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В качестве основных результатов диссертационной работы в рамках развития

теории общих свойств и закономерностей нелинейной динамики сильнонеравновесных систем можно выделить следующие положения:

1. Выведено дисперсионное уравнение для флуктуаций заряженной границы раздела двух сред конечной толщины, нижняя жидкость - вязкая, проводник; верхняя — идеальная, диэлектрик; верхняя жидкость имеет фоновое движение относительно нижней. Проанализированы предельные случаи; дисперсионное уравнение малых возмущений заряженной границы раздела двух бесконечно глубоких сред разделено на действительную и мнимую части, проведен численный анализ решений.

2. Показано, что электрическое поле эффективно снижает пороговые условия конвективной неустойчивости при подогреве снизу. В зависимости критического числа Рэлея от волнового числа синусоидального возмущения появляется минимум. При околокритических значениях напряженности электрического поля достаточно даже слабого подогрева снизу для наступления конвективной неустойчивости. Последнее обстоятельство говорит о глубокой связи и взаимном влиянии тепловых потоков и электрических полей на неравновесность системы.

3. Определено, что нагрев сверху приводит к комбинированной инверсионной элек-тро-конвективной неустойчивости (ИЭКН). Физически такая неустойчивость связана с тем, что неустойчивость Френкеля-Тонкса в стратифицированной среде определяется плотностью на поверхности, которая при нагреве сверху - уменьшается. Эффективные значения параметра электрического поля и волнового числа неустойчивого возмущения оказываются пропорциональны квадратному корню из отношения плотностей жидкости на поверхности и на дне. Проведенные оценки указывают необходимость учета ИЭКН при разработке технологий электродиспергирования металлов и сплавов, а саму ИЭКН следует рассматривать как обусловленную сильной неравновесностью системы.

4. Установлено, что даже малое фоновое относительное движение жидкостей приводит к устранению точек бифуркации дисперсионных соотношений. При малых значениях скорости относительного движения дисперсионные зависимости для флуктуаций, распространяющихся вправо и влево, различаются на малую величину первого порядка по параметру скорости. Дисперсионные кривые расщепляются, образуя «тонкую» структуру спектра линейных волн.

5. Найдено новое параметрическое представление дисперсионного соотношения для флуктуаций заряженной поверхности раздела двух покоящихся жидкостей, нижняя из которых - вязкая, проводник; верхняя - идеальная, диэлектрик. При помощи параметрического представления показано, что наличие верхней жидкости приводит к изменению бифуркационных значений волновых чисел, отвечающих переходу двух затухающих периодических мод в две апериодические. Влияние поверхностного натяжения, электрического поля и силы тяжести может быть описано при помощи одного безразмерного комплекса , который в за-

висимости от соотношения параметров определяет капиллярный, гравитационный, электрокапиллярный и электрокапиллярно-гравитационный спектры.

6. Выведены при помощи найденного дисперсионного соотношения характерные спектры волн малой амплитуды, содержащие знак модуля. Последний появляется в связи с нечетным продолжением зависимости найден приближенный спектр вблизи критических значений электрического поля.

7. Вычислены для характерных разложений дисперсионной зависимости ш(&) функции Грина, определяющие линейную эволюцию волновых пакетов. В случае «мелкой» жидкости сильнонеравновесное возмущение типа «ступенька» видоизменяется масштабным преобразованием и параллельным сдвигом. В случае глубокой жидкости, находящейся в околокритическом электрическом поле, начальное возмущение распадается на две части, движущиеся навстречу друг другу: в различные моменты времени профиль волны, описывающий линейную эволюцию сильнонеравновесного возмущения типа «ступенька» на поверхности глубокой жидкости в критическом электрическом поле, изменяется преобразованием, не сводящимся только масштабному изменению.

8. Выведены квадратично-нелинейные по амплитуде уравнения, длинноволновое и коротковолновое приближения, а также уравнения простых волн для возмущений тяжелой проводящей жидкости в электрическом поле. Для этого предложен эффективный способ использования разложения в ряд по малому амплитудному параметру всех искомых функций, кроме плоского потенциала поля скоростей функции отклонения точек поверхности от невозмущенного состояния. Развита методика вывода уравнений любого наперед заданного порядка нелинейности с учетом влияния электрического поля.

9. Показано, что в рамках квадратично-нелинейной теории капиллярные, электрические и гравитационные эффекты могут быть описаны при помощи линейного интегрально-дифференциального оператора давления. Установлено, что фурье-образ введенного оператора давления однозначно связан с дисперсионным соотношением, найденным в линейном приближении. Отрицательные значения Фурье-образа оператора давления приводят к неустойчивостям, а сам оператор играет важную роль при выводе уравнений простых волн.

Ю.Разработан для теории «мелкой воды» новый способ вывода уравнений простых волн, обобщающий известное уравнение Римана. Обобщенное уравнение простых волн Римана представляет собой нелинейное векторное уравнение, в котором вместо скорости (классическое уравнение Римана) фигурирует векторный оператор скорости. Последний определяется описанным выше оператором давления.

11 .Установлено, что уравнение эволюции длинноволновых возмущений на поверхности тяжелой проводящей жидкости в электрическом поле (теория «мелкой воды») обобщает собой уравнения Кортевега-де Фриза и Бенджамина-Оно. С увеличением напряженности электрического поля эволюционное уравнение вырождается в уравнение Бенджамина - Оно. Найденное вырождение обнаружено

впервые и связано с взаимодействием электрических, капиллярных и гравитационных сил; оказывается возможным существование электро-капиллярного соли-тона - стационарного решения уравнения Бенджамина-Оно, как стационарной нелинейной волны, в системе с квадратичной дисперсией.

12.Обнаружено, что даже слабое электрическое поле существенно влияет на вид стационарных решений эволюционного уравнения. При разложении по параметру электрического поля поиск профиля стационарной волны сводится к решению уравнений Кортевега-де Фриза и Шрёдингера. Учет слабого электрического поля приводит к появлению дополнительных максимумов в профиле солитона. Найдены соответствующие функции поправки.

13.Определено, что электрическое поле приводит к сглаживанию кноидальных волн. Особенно чувствительны к действию электрического поля слабонелинейные волны. Причина обнаруженных эффектов влияния электрического поля кроется в качественном изменении дисперсионной зависимости для линейных волн: в снижении значения параметра кубической дисперсии и появлении квадратичного по волновому числу слагаемого, пропорционального квадрату напряженности электрического поля.

Основные результаты диссертации отражены в работах автора:

1. Юрченко С.О., Алиев И.Н. Особенности комбинированной неустойчивости заряженной границы раздела движущихся сред // Актуальные проблемы российской космонавтики: Труды XXX Академических чтений по космонавтике. (Москва, январь 2006 г.) / Под ред. А.К. Медведевой. - М.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства, 2006. — С. 316-318.

2. И.Н. Алиев, A.B. Косогоров, С.О. Юрченко. О постановке нелинейной задачи в электродинамике поверхности жидкости // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Четвертой Всероссийской конференции. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, ФИАН, 2007. - С. 209-211.

3. Юрченко С.О. Учет нелинейных эффектов в динамке движения топлива в двигателях малой тяги // Актуальные проблемы российской космонавтики: Труды XXXI Академических чтений по космонавтике. (Москва, январь 2007 г.) / Под ред. А.К. Медведевой. - М.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства, 2007. - С. 364.

4. И.Н. Алиев, В.П. Карасева, С.О. Юрченко. Некоторые вопросы динамики движения топлива в реактивных двигателях малой тяги // Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий. Сб. материалов XIX Всероссийской межвузовской научно-технической конференции. - Казань: Изд-во «Отечество», 2007. - С. 125-127.

5. И.Н. Алиев, В.П. Карасева, С.О. Юрченко. Учет нелинейных эффектов в динамике движения топлива в реактивных двигателях малой тяги // Шестая международная научно-техническая конференция. Чкаловские чтения. Посвящается 70-летию перелета экипажа Чкалова и 60-летию ЕАТК ГА им. В.П. Чкалова. Сборник материалов. - Егорьевск: ЕАТК ГА им. В.П. Чкалова, 2007. - С. 79-80.

6. И.Н. Алиев, С.О. Юрченко, Е.В. Назарова. Особенности комбинированной неустойчивости заряженной границы раздела движущихся сред // Инженерно-физический журнал. - 2007. - Т.80, №5. - С. 64-69.

7. И.Н. Алиев, С.О. Юрченко, Е.В. Назарова. К вопросу о неустойчивости границы раздела двух сред конечной толщины // Инженерно-физический журнал. - 2007. -Т. 80,№6.-С. 127-133.

8. Алиев И.Н., Юрченко С.О. О нелинейных волнах на заряженной границе раздела двух движущихся сред // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Серия «Естественные науки». - 2008. - №1. - С. 56-69.

9. И.Н. Алиев, Е.В. Назарова, С.О. Юрченко. Исследование комбинированной Френкеля-Тонкса и конвективной неустойчивости // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Серия «Естественные науки». - 2008. - №3. - С. 16-28.

Ю.С.О. Юрченко, И.Н. Алиев, В.А. Павлов. О расщеплении решений дисперсионного уравнения волн малой амплитуды на поверхности раздела несмешивающих-ся жидкостей // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Четвертой Всероссийской конференции. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, ФИАН, 2009. - С. 142-145.

11.С.О. Юрченко, И.Н. Алиев, C.JI. Гайдашов. О влиянии электрического поля на вид нелинейных волн на поверхности проводящей жидкости // Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий. Сб. материалов XX Всероссийской межвузовской научно-технической конференции. - Казань: Изд-во «Отечество», 2009. - С. 5-6

12.Юрченко С.О., Алиев И.Н. О расщеплении и бифуркациях решений дисперсионного уравнения волн малой амплитуды на заряженной поверхности раздела двух сред // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки». -2009. - №5. - С.38-45

13.Алиев И.Н., Юрченко С.О. О нелинейных волнах, распространяющихся на поверхности идеальной проводящей жидкости в электрическом поле // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2009. - №5. - С.137-148.

Подписано к печати 22.09.09. Заказ № 570 Объем 1,25 печ.л. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5 (499) 263-62-01

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ЛИНЕЙНЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПОВЕРХНОСТИ ПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ.

1.1 Дисперсия линейных волн на заряженной границе раздела движущихся сред.

1.2 Анализ предельных случаев.

1.3 Об эффективных коэффициентах поверхностного натяжения.

1.4 Комбинированная конвективная неустойчивость и неустойчивость Френкеля-Тонкса.

1.5 Граничные условия и амплитудные функции различных возмущений.

1.6 Инверсионная электро-конвективная неустойчивость.

1.7 Выводы.

Глава 2. СВОЙСТВА ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ И ЛИНЕЙНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ.

2.1 Расщепление спектра волн малой амплитуды на поверхности раздела двух сред.

2.2 Параметрическая форма дисперсионного уравнения.

2.3 Бифуркационный анализ для различных спектров возмущений поверхности раздела.

2.4 Общие свойства дисперсионных соотношений.

2.5 Дисперсионные разложения и пороговые спектры.

2.6 Вычисление функций Грина для дисперсионных разложений.

2.7 Структура бора в пороговом состоянии.

2.8 Выводы.

Глава 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ПРОВОДЯЩЕЙ

ЖИДКОСТИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ.

3.1 Постановка задачи и способ вывода нелинейных уравнений.

3.2 Длинноволновые нелинейные возмущения заряженной поверхности жидкости.

3.3 Уравнения коротковолновых нелинейных возмущений.

3.4 Векторное операторное уравнение простой волны.

3.5 Слабонелинейные волны на поверхности заряженной жидкости.

3.6 Солитонное решение в приближении слабого электрического поля.

3.7 Вырожденный электрокапиллярный солитон.

3.8 Асимптотическое разложение Пуанкаре.

3.9 Влияние слабого электрического поля на кноидальные волны.

3.10 Выводы.

Актуальность. Одной из краеугольных проблем теоретической физики является развитие теории общих свойств и закономерностей нелинейной динамики сильно неравновесных систем. Как указал классик этого направления И. Пригожин [1], «.взаимодействие системы с внешним миром, ее погружение в неравновесные условия может стать исходным пунктом в формировании новых динамических состояний.».

Именно поэтому вопросы устойчивости границы раздела фаз в электрических полях постоянно находятся в поле интересов современных исследователей.

В переходах типа «беспорядок-порядок» в жидкостях до последнего времени, как правило, рассматривалась конвективная неустойчивость и теория турбулентности. Однако, наличие обнаруженных сравнительно недавно точек бифуркаций в динамике жидкостей в присутствии электрического поля приводит к мысли, что последние могут пополнить класс физических систем, способных к саморегуляции.

Ветвление решений уравнений, исследование которых широко представлено в настоящей работе, можно, по сложившейся традиции, интерпретировать как неединственность путей эволюции динамической системы.

Таким образом, предлагаемый к рассмотрению круг вопросов тесно связан с теорией исследования нелинейной (как обобщение линейной) динамики системы, находящейся в электрическом поле (как сильно неравновесной системы). Именно это положение привело к настоящей структуре диссертации, когда основные вопросы нелинейной теории, изложенные в последней главе, базируются на предварительных оригинальных результатах линейной теории, выведенных в первых двух главах.

Заметим также, что значительный интерес к вопросам устойчивости и временной эволюции поверхности жидкостей, находящихся в сильных электрических полях, связан с реальными запросами практики. Возникновение неустойчивости поверхности проводящей жидкости определяет характер процессов при вакуумных разрядах. Неустойчивость заряженной поверхности жидкости со стоит в том, что эмиссионные выступы в некоторых точках этой поверхности приводят к испусканию высокодисперсных сильнозаряженных капель. Это явление используется в жидкометаллических источниках ионов; при создании потоков монодисперсных капель в термоядерном синтезе; в каплеструйной печати; в ускорителях макрочастиц; при распылении жидкости для быстрого рассеяния плотных аэродисперсных систем (облаков грозовых туч); в реактивной космической технике и т.д. На разрушении поверхности жидкости в электрическом поле основана работа электрогидродинамических распылителей жидкости, позволяющих получать монодисперсные аэрозоли, покрытия, пленки.

Неустойчивость поверхности жидкости во внешних полях связана также и с некоторыми природными явлениями, такими как радиоизлучение предгрозовых облаков, свечение области вблизи металлического острия. Различные виды диспергирования заряженных капель во внешних электрических полях используются для объяснения свечения воронок смерчей и появления огней св. Эльма, инициирования разряда молнии и поглощения ею разрядов с отдельных облачных капель для поддержания существования. С неустойчивостью заряженной поверхности жидкости связано распыление оплавляющегося вещества электродов при электрических разрядах.

Взаимодействие между электрическими полями и жидкостями в гидромеханике может выступить в качестве нежелательного фактора. В качестве примера уместно привести проблемы статической электризации аэродинамических аппаратов и топливных систем, а также электрохимические проблемы в гидравлических системах космических аппаратов.

Вязкость жидкости, поверхностное натяжение, действие сил тяжести и электрического поля влияют на закономерности реализации электрогидродинамических неустойчивостей. Установление последних представляет собой значительный интерес в связи с необходимостью управления процессами на поверхности жидкостей.

Современные проблемы и приложения поверхностной электродинамики. Первые исследования устойчивости поверхности раздела движущихся жидкостей с учетом поверхностного натяжения между ними связаны с работами Кельвина и Гельмгольца. Именами последних позже была названа неустойчивость поверхности раздела, выступающая, например, причиной возбуждения мелкой ряби на поверхности водоемов в ветреную погоду.

Суть неустойчивости Кельвина-Гельмгольца состоит в том, что если тангенциальный скачок скорости между двумя идеальными несжимаемыми жидкостями превышает некоторое критическое значение, поверхность становится неустойчивой по отношению к малым возмущениям. Параметры, влияющие на классическую неустойчивость Кельвина-Гельмгольца - плотности жидкостей и поверхностное натяжение между ними (предполагается, что более легкая жидкость находится снизу).

В ситуации, когда верхняя покоящаяся жидкость - более тяжелая, возможна другая неустойчивость, носящая имя Рэлея-Тейлора. Достаточно короткие волны на поверхности раздела устойчивы в силу действия капиллярных сил, поэтому прорыв тяжелой верхней жидкости вниз начинается с некоторой характерной длины неустойчивой волны. В случае двух вязких жидкостей образуется структура течения типа «пальцы Хеле-Шоу». Если горизонтальные размеры области возмущения меньше критической ширины возмущения, неустойчивость Рэлея-Тейлора не реализуется.

Исторически первыми исследование движения жидкости, подверженной действию электростатических полей начали Рэлей и Бассет [2]. В первых работах анализировались общие тенденции действия электрического поля как дестабилизирующего фактора. Позднее Тонкс [3] и Френкель [4] установили, что при действии электрического поля, напряженность которого превышает критическое значение, на поверхности проводящей жидкости возбуждаются возмущения, выступы конической формы, названные конусами Тэйлopa [5]; наблюдаемая неустойчивость заряженной поверхности жидкости была названа неустойчивостью Френкеля-Тонкса.

По-всей видимости, Мельхер [б] впервые описал наиболее общие подходы к неустойчивостям и волнам в электрогидродинамике, сформулировал основные уравнения, граничные условия и типы задач. Несколько лет спустя Тейлор опубликовал работу [6], посвященную разрушению жидкой капли в сильном электрическом поле - феномену, который имел оче;нь широкие перспективы технического и технологического применения.

Таким образом, в 60-х гг. 20 века практически сформировался раздел механики и электродинамики сплошной среды, несколько неудачно названный «поверхностной электрогидродинамикой» - область электро- и гидродинамики, изучающая закономерности движения поверхностей раздела жидкостей, в том числе проводящих, в электрических полях.

Дальнейшее развитие электрогидродинамики поверхности связано с попытками сформулировать общие методы описания линейных систем [8-10], осмыслением взаимосвязи между электро- и магнитогидродинамическими эффектами [11-13]. Влиянию тангенциального постоянного и переменного электрического поля посвящены работы [14-16].

Впрочем, о том, что поверхность проводящей жидкости подвержена параметрическим неустойчивостям в переменных электрических полях уже было известно задолго до [14], о чем свидетельствует работа [17], авторы которой рассматривали раскачку жидкостей малой вязкости переменным электрическим полем. Параметрическая раскачка проводящей жидкости в приближении произвольной вязкости впервые была описана в работе [18].

Несколько позднее в [19] И.Н. Алиевым й.А.В. Филлиповым был проведен полный анализ структуры решений дисперсионного уравнения возмущений тяжелой проводящей жидкости, находящейся в ортогональном к невозмущенной поверхности электрическом поле. Метод, примененный в [19], представлял собой параметризацию дисперсионного уравнения и обобщал результаты работы П.Н. Антонюка [20]. Главным результатом работ [19-20] стал тот факт, что в даже линейной постановке задачи по мере увеличения частот возмущений (капиллярный спектр) некоторые волны меняют свой тип с осциллирующего на монотонный, т.е. происходит бифуркация решения уравнений возмущений. Влияние электрического поля приводит к тому, что бифуркация решения может происходить до 3 раз!

Направления дальнейшего развития поверхностной электрогидродинамики были продиктованы необходимостью описания процессов, все более приближенных к реальным условиям. Так получила развитие область, связанная с анализом комбинированного влияния многих факторов на развитие устойчивых и неустойчивых возмущений, закономерности реализации комбинированных не-устойчивостей Рэлея-Тейлора и Френкеля-Тонкса [21, 22], анализ влияния вяз-коупругих свойств [22-28], параметрическую раскачку Кельвина-Гельмгольца [29].

Перспективы применения жидкостей в комбинации с электрическими полями в различных системах охлаждения привели к необходимости исследования процессов неустойчивости [30, 31], течения и разрушения пленок в электрических полях [32-35], в том числе, в продольных полях [36].

Технологические применения комбинированных неустойчивостей зачастую подразумевают непостоянство температурного состояния. Актуальны вопросы неустойчивости равновесия, сочетающего тепловой и различные электрогидродинамические факторы, как распределенные заряды [37], омический нагрев [38], влияние магнитных полей [39], а также особенности течений вблизи твердых границ [40], параметрические неустойчивости в переменных температурных полях [41], возникновение пространственных зарядовых структур [42, 43], эффекты кратковременного действия электрических полей [44, 45] и т.д. По-видимому, сочетание переменных тепловых и электрических факторов, представляет собой эффективный инструмент управления неустойчивостями и направлением различных процессов на поверхности, однако эта область остается малоразвитой как в теории, так и в практическом отношении.

Нелинейные стадии развития классических неустойчивостей до сих пор находятся на стадии активного изучения, в том числе, и экспериментального. В последние годы по-прежнему значительное внимание уделяется неустойчивости

Рэлея-Тейлора: эксперименту в классической постановке [46], теории с учетом влияния магнитных полей [47] и заряженной поверхности раздела [48, 49].

С неустойчивостью Кельвина—Гельмгольца ситуация обстоит сложнее. Компьютерные численные эксперименты показывают, что нелинейные стадии развития неустойчивости Кельвина—Гельмгольца протекают по самоподобному механизму [50], вывод эволюционных уравнений в линейной постановке сталкивается с рядом трудностей [51], равно как и попытки подробного описания неодномерных течений [52]. Таким образом, если механика развития неустойчивости Кельвина-Гельмгольца носит самоподобный, т.е. фрактальный характер, то и аппарат описания этого феномена должен опираться на характерную для фракталов технику дробного исчисления [53]. Методически-законченного аппарата, описывающего наблюдаемые процессы поздних стадий неустойчивости Кельвина-Гельмгольца, на сегодня не существует.

В теории неустойчивости Френкеля-Тонкса по-прежнему ведутся теоретические исследования устойчивости жидкостей в электрических полях [54], в каналах под действием касательных и нормальных к поверхности постоянных [55] и переменных [56] электрических полей. По-прежнему большое внимание уделяется эволюции [57] и устойчивости жидких капель в электрических полях [28, 58-60], а также струй и волокон [61-66].

В отношении нелинейной теории следует заметить, что попытки прогно1 зировать сценарий нелинейного развития неустойчивостей предпринимались достаточно часто. Вопрос о влиянии нелинейности на эволюцию возмущений в электрогидродинамических системах поднимался в самых разнообразных фундаментальных приложениях, например, [67-68]. Впервые вывод эволюционных уравнений в длинноволновом приближении проводился в работах А.И. Жакина [69, 70]. Вместе с тем, развитая в них теория при линеаризации не приводит к известным результатам условий неустойчивости Френкеля—Тонкса, что говорит о некорректности теоретических результатов [69]. Впрочем, в нелинейной теории в силу отсутствия последовательной методики вывода уравнений часто выводились уравнения по типу Кортевега-де Фриза, которые в линейном приближении не приводят к классическим спектрам волн.

По изложенным соображениям можно считать некорректными результаты работ [71-74]. При детальном рассмотрении, оказывается, что эволюционные уравнения [73, 74] описывают линейные спектры, не совпадающие с известными классическими результатами. Нелинейная теория разрушения пленок привела к ряду интересных результатов [73-76], главный'из которых в создании почвы для последовательной методики построения нелинейной теории и вывода нелинейных эволюционных уравнений. Линейные спектры, получаемые в работах [7476], не находятся в противоречии с линейной теорией, чего нельзя сказать об очередной попытке вывода нелинейных эволюционных уравнений [76]. В [76] сделан справедливый вывод о том, что эволюция возмущений в длинноволновом приближении описывается уравнением Кортевега-де Фриза-Бенджамина-Оно, но найденные коэффициенты - неверны, а нелинейная теория оказывается противоречащей линейной.

Другое направление развития нелинейной теории — асимптотический анализ нелинейных волновых движений, проводимый А.И. Григорьевым и его соавторами [77-80]. Впрочем, такой подход наряду с разработанной методичностью обладает существенным недостатком: с его помощью нельзя обнаружить принципиально новых нелинейных явлений, как, например, уединенные волны.

Возможно, наибольшая общность вывода уравнений и построения теории может быть обеспечена вариационными методами [81] с учетом особенностей расчета энергии электрогидродинамических систем (аналогично [82]), однако эти вопросы остаются открытыми.

Одним из первых применений электрогидродинамических (ЭГД) неустой-чивостей, можно считать ЭГД ионизацию в масс-спектроскопии, а также ЭГД эмиттеры ионов [83-85]. Естественно, что внедрение ЭГД технологий неразрывно связано не только с успехами теории, но и с экспериментальными достижениями, связанными с установлением закономерностей движения [86] и распада капель в ЭГД движениях [87].

При ЭГД дисперсировании или вытяжке образуются структуры микронной, а при некоторых обстоятельствах и субмикронных размеров. В связи с отмеченным, ЭГД технологии сегодня становятся одним из мощных инструментов производства в промышленных масштабах наноструктурированных материалов с управляемыми свойствами.

Так, ЭГД вытяжка полимерных волокон имеет перспективы применения [88] в фильтрации; в качестве основы при выращивании искусственных биологических объектов; в каталитических технологиях; в качестве датчиков; в энергосберегающих устройствах и т.д.

Электростатическое распыление наноструктурированных суспензий [89, 90], изготовление нанопорошков [91, 92], нанокомпозитов с использованием на-нотрубок [93], структурированная высокоразрешающая печать в наноэдектрони-ке с использованием самых различных материалов [94-98], производство наноструктурированных пленок и покрытий с использованием металлических частиц [99, 100] - вот далеко не полный перечень применения ЭГД неустойчивостей в I нанотехнологиях.

Развитие приведенных направлений позволит создавать новые высокоэффективные солнечные батареи, системы температурного контроля космических аппаратов, поляризаторы света, интерференционные фильтры, фотопроводники, фототермические солнечные покрытия, магнитные и сверхпроводящие пленки, материалы с уникальными оптическими, электромагнитными, тепловыми и механическими характеристиками [99], систем нетрадиционной энергетики [100102].

Начиная с 2003 года, ЭГД технологии начали находить применения в биологии, медицине и фармацевтике. Так, помимо уже упомянутого прядения волокон [103], ЭГД неустойчивости используются для расщепления протеинов [104], насыщения веществ газами в фармацевтике [105], приготовления тонкодисперсных эмульсий несмешивающихся жидкостей [106], микровспенивания в биофизике [107], для производства микродиспергированных лекарственных и каталитических препаратов, капсулированных в защитные оболочки [108, 109] и т.д.

К преимуществам ЭГД-технологий в описанных приложениях относятся непрерывность процесса, контролируемость и возможность массового производства. К недостаткам следует отнести сложность процессов, комплексный характер задач проектирования процессов и технологий производства.

Реальные геометрии объектов, конфигурации электростатических полей и степени нелинейности процессов в указанных технологиях несопоставимо сложнее, чем это возможно для аналитического расчета. К тому же, если в линейной теории на сегодня существуют стандартные и общепринятые методы вывода и решения уравнений, то законченной нелинейной теории на сегодня не существует.

Несомненно, развитие и внедрение ЭГД технологий связано с численными методиками расчета и проектирования. В этой связи, теоретические результаты являются надежным подспорьем и основой базы модельных задач, на которой отрабатываются алгоритмы численных методик, а теоретические исследования остаются жизненно-важными для развития современных численных технологий расчета.

Цель диссертационной работы - теоретическое описание закономерностей влияния электрического поля на устойчивость, линейную эволюцию и нелинейные волновые движения сильно неравновесной системы, представленной в настоящем исследовании проводящей жидкостью в ортогональном к невозмущенной поверхности электрическом поле.

Задачи диссертационной работы:

1. Вывод и анализ дисперсионного соотношения для задачи об эволюции флуктуаций заряженной поверхности раздела двух несмеши-вающихся сред; анализ устойчивости возникающих при этом малых возмущений;

2. Анализ комбинированного влияния нагрева и электрического поля на закономерности реализации неустойчивости проводящей жидкости;

3. Описание структуры решения дисперсионного уравнения для возмущений заряженной поверхности двух сред при различных значениях определяющих параметров;

4. Построение функций Грина, определяющих линейную эволюцию пакетов возмущений; анализ эволюции сильнонеравновесной структуры типа «ступенька» в условиях, близких к неустойчивым состояниям заряженной жидкости;

5. Разработка квадратично-нелинейной теории возмущений тяжелой электропроводящей идеальной жидкости в электрическом поле: построение последовательной методики и вывод основных уравнений;

6. Описание закономерностей влияния слабого электрического поля на стационарные нелинейные волны в приближении теории «мелкой воды».

Основу решения перечисленных задач представляют современный аппарат гидродинамики и электродинамики сплошной среды, теории возмущений, нелинейной волновой динамики и сильно неравновесных систем.

Научная новизна диссертационной работы. В диссертации получен ряд новых результатов:

1. Обнаружено, что совместное действие, электрического поля и температурного градиента приводит к снижению порогов конвективной неустойчивости при подогреве снизу и возникновению инверсионной элек-тро-конвективной неустойчивости при нагреве сверху.

2. Показано, что описание спектров волн в рассматриваемых системах сводится к ряду модельных случаев, для которых удается построить функции Грина.

3. Рассмотрена линейная эволюция волновых пакетов при околокритическом значении напряженности электрического поля и установлены закономерности пространственно-временного развития сильнонеравновесного начального возмущения типа «ступенька».

4. Выведены квадратично-нелинейные уравнения, описывающие эволюцию возмущения поверхности тяжелой электропроводной жидкости, находящейся в электрическом поле, ортогональном к невозмущенной поверхности;

5. В нелинейной теории введен оператор давления, включающий действие капиллярных, электрических и гравитационных сил; установлена связь введенного оператора давления с дисперсионными соотношениями, получаемыми в линейной теории;

6. Выведено обобщенное уравнение Римана, позволяющее по известному оператору давления строить уравнения простых волн не только плоской, но и цилиндрической симметрии. Настоящий результат справедлив в нелинейной динамике для систем уравнений типа Буссинеска.

7. Установлены закономерности влияния слабого электрического поля на стационарные волны (солитон и кноидальные волны) в теории «мелкой воды»; найден стационарный профиль возмущения в вырожденном случае - электро-капиллярный солитон.

Практическая значимость. Результаты исследований представляют собой развитие теории неравновесных систем в применении к поверхностной электрогидродинамике.

Найденные условия неустойчивости возмущений поверхности жидкости в неравновесном состоянии могут служить теоретическим обоснованием при разработке дисперсных и струйных систем при производстве микро- и нанопорош-ков, полимерных волокон, для технологий капсулирования и расщепления в медицине и фармацевтике, при получении наноструктурированных материалов с контролируемыми свойствами. Рассчитанные условия электро-конвективной неустойчивости могут служить теоретическим обоснованием при разработке технологий электродиспергирования, связанных с высокоинтенсивным нагревом при производстве порошков тугоплавких соединений.

Разработанный способ вывода нелинейных эволюционных уравнений может быть применен для уравнений типа Буссинеска в теории волновых движений жидкости, газовой динамике, нелинейной теории упругости, методов нелинейной динамики.

Найденные профили нелинейных волн могут использоваться в качестве модельных задач для апробации адекватности численных методик расчета более сложных геометрических и динамических конфигураций электрогидродинамических задач.

Результат настоящей работы представляет собой новое решение актуальной задачи теоретической физики, существенной для теории общих свойств и закономерностей нелинейной динамики систем в сильно неравновесных состояниях - построена нелинейная теория эволюции1 волновых возмущений проводящих жидкостей во внешнем электрическом поле, установлены новые закономерности эволюции возмущений и возникновения неустойчивостей в рассматриваемой системе.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Установленные закономерности комбинированного влияния электрического поля, температурного градиента, капиллярных и гравитационных сил на устойчивость равновесия и линейную эволюцию возмущений в исследуемых системах.

2. Найденные оценки снижения пороговых значений электрического поля при инверсионной электро-конвективной неустойчивости.

3. Установленные закономерности пространственно-временного развития сильнонеравновесной структуры типа «ступенька» при околокритическом значении напряженности электрического поля.

4. Разработанная квадратично-нелинейная теория волновых движений и обобщение способа вывода уравнения стационарных волн.

5. Найденные профили стационарных нелинейных волн в приближении слабого электрического поля и в случае вырождения эволюционного уравнения.

Личный вклад автора состоит в решении изложенных задач, построении нелинейной теории, анализе и обобщении полученных результатов, проведении расчетов. Все основные результаты получены автором лично.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Академических чтениях по космонавтике им. С.П. Королева (Москва, 2006, 2007), Всероссийских конференциях «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2007, 2009), Всероссийских межвузовских научно-технических конференцях «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий» (Казань, 2007, 2009), Международной научно-технической конференции «Чкаловские чтения» (Егорьевск, 2007); а также на научных семинарах МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 13 научных работах, из которых 6 — научные статьи, в том числе, 4 — в рекомендованных ВАКом изданиях для публикации основных результатов научных работ соискателей ученой степени кандидата и доктора физико-математических наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения, содержит 130 страниц, 36 рисунков, 1 таблицу. Список литературы включает 132 работы.

3.10 Выводы

Выведены квадратично-нелинейные по амплитуде уравнения (3.10), длинноволновое и коротковолновое приближения (3.12) и (3.14), а также уравнения простых волн (3.19) для волновых возмущений тяжелой, проводящей жидкости в электрическом поле. Для этого предложен эффективный способ использования разложения в ряд по малому амплитудному параметру всех искомых функций, кроме функции отклонения точек поверхности от невозмущенного состояния и плоского потенциала поля скоростей. Капиллярные, электрические и гравитационные эффекты описаны при помощи линейного интегрально-дифференциального оператора давления. Предложен способ вывода уравнений простых волн, обобщающий уравнение Римана.

Профили слабонелинейных волн в случае, когда параметр, характеризующий дисперсию (3 < 0 качественно различаются для разных соотношений между длиной волны X и ее критическим значением X* = 2тс/к*, определяемым электрическим полем согласно (3.28).

Показано, что даже слабое электрическое поле существенно влияет на вид солитонного решения. При разложении по параметру электрического поля поиск профиля стационарной волны сводится к решению уравнений Кортевега-де Фриза и Шрёдингера. Учет слабого электрического поля приводит к появлению дополнительных максимумов в профиле солитона.

Показано, что разложение стационарных решений эволюционного уравнения в ряд по параметру поля а представляет собой асимптотическое разложение Пуанкаре. Выведенное разложение расходится на удаленном расстоянии от начала координат, но позволяет оценить характер влияния электрического поля с наперед заданной степенью точности.

Для кноидальных волн показано, что электрическое поле приводит к сглаживанию нелинейной волны. Особенно чувствительны к действию слабого электрического поля слабонелинейные волны, что подтверждает выводы раздела 3.5.

Причина обнаруженных эффектов влияния электрического поля на нелинейные волны кроется в качественном изменении дисперсионной зависимости для линейных волн: в снижении значения параметра дисперсии (3 и появлении квадратичного по волновому числу слагаемого, пропорционального квадрату напряженности поля.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В качестве основных результатов диссертационной работы в рамках развития теории общих свойств и закономерностей нелинейной динамики сильнонеравновесных систем можно выделить следующие положения:

1. Выведено дисперсионное уравнение для флуктуаций заряженной границы раздела двух сред конечной толщины, нижняя жидкость — вязкая, проводник; верхняя - идеальная, диэлектрик; верхняя жидкость имеет фоновое движение относительно нижней. Проанализированы предельные случаи; дисперсионное уравнение малых возмущений заряженной границы раздела двух бесконечно глубоких сред разделено на действительную и мнимую части, проведен численный анализ решений.

2. Показано, что электрическое поле эффективно снижает пороговые условия конвективной неустойчивости при подогреве снизу. В зависимости критического числа Рэлея от волнового числа .синусоидального возмущения появляется минимум. При околокритических значениях напряженности электрического поля достаточно даже слабого подогрева снизу для наступления конвективной неустойчивости. Последнее обстоятельство говорит о глубокой связи и взаимном влиянии тепловых потоков и электрических полей на неравновесность системы.

3. Определено, что нагрев сверху приводит к комбинированной инверсионной электро-конвективной неустойчивости (ИЭКН). Физически такая неустойчивость связана с тем, что неустойчивость Френкеля-Тонкса в стратифицированной среде определяется плотностью на поверхности, которая при нагреве сверху — уменьшается. Эффективные значения параметра электрического поля и волнового числа неустойчивого возмущения оказываются пропорциональны квадратному корню из отношения плотностей жидкости на поверхности и на дне. Проведенные оценки указывают необходимость учета ИЭКН при разработке технологий электродиспергирования металлов и сплавов, а саму ИЭКН следует рассматривать как обусловленную сильной неравновесностью системы.

4. Установлено, что даже малое фоновое относительное движение жидкостей приводит к устранению точек бифуркации дисперсионных соотношений. При малых значениях скорости относительного движения дисперсионные зависимости для флуктуаций, распространяющихся вправо и влево, различаются на малую величину первого порядка по параметру скорости. Дисперсионные кривые расщепляются, образуя «тонкую» структуру спектра линейных волн.

5. Найдено новое параметрическое представление дисперсионного соотношения для флуктуаций заряженной поверхности раздела двух покоящихся жидкостей, нижняя из которых - вязкая, проводник; верхняя - идеальная, диэлектрик. При помощи параметрического представления показано, что наличие верхней жидкости приводит к изменению бифуркационных значений волновых чисел, отвечающих переходу двух затухающих периодических мод в две апериодические. Влияние поверхностного натяжения, электрического поля и силы тяжести может быть описано при помощи одного безразмерного комплекса который в зависимости от соотношения параметров определяет капиллярный, гравитационный, электрокапиллярный и электрокапиллярно-гравитационный спектры.

6. Выведены при помощи найденного дисперсионного соотношения характерные спектры волн малой амплитуды, содержащие знак модуля. Последний появляется в связи с нечетным продолжением зависимости ; найден приближенный спектр вблизи критических значений электрического поля.

7. Вычислены для характерных разложений дисперсионной зависимости и (/с) функции Грина, определяющие линейную эволюцию волновых пакетов. В случае «мелкой» жидкости сильнонеравновесное возмущение типа «ступенька» видоизменяется масштабным преобразованием и параллельным сдвигом. В случае глубокой жидкости, находящейся в околокритическом электрическом поле, начальное возмущение распадается на две части, движущиеся навстречу друг другу: в различные моменты времени профиль волны, описывающий линейную эволюцию сильнонеравновесного возмущения типа «ступенька» на поверхности глубокой жидкости в критическом электрическом поле, изменяется преобразованием, не сводящимся только масштабному изменению.

8. Выведены квадратично-нелинейные по амплитуде уравнения, длинноволновое и коротковолновое приближения, а также уравнения простых волн для возмущений тяжелой проводящей жидкости в электрическом поле. Для этого предложен эффективный способ использования разложения в ряд по малому амплитудному параметру всех искомых функций, кроме плоского потенциала поля скоростей функции отклонения точек поверхности от невозмущенного состояния. Развита методика вывода уравнений любого наперед заданного порядка нелинейности с учетом влияния электрического поля.

9. Показано, что в рамках квадратично-нелинейной теории капиллярные, электрические и гравитационные эффекты могут быть описаны при помощи линейного интегрально-дифференциального оператора давления. Установлено, что Фурье-образ введенного оператора давления однозначно связан с дисперсионным соотношением, найденным в линейном приближении. Отрицательные значения Фурье-образа оператора давления приводят к неустойчивостям, а сам оператор играет важную роль при выводе уравнений простых волн.

Ю.Разработан для теории «мелкой воды» новый способ вывода уравнений простых волн, обобщающий известное уравнение Римана. Обобщенное уравнение простых волн Римана представляет собой нелинейное векторное уравнение, в котором вместо скорости (классическое уравнение Римана) фигурирует векторный оператор скорости. Последний определяется описанным выше оператором давления.

11 .Установлено, что уравнение эволюции длинноволновых возмущений на поверхности тяжелой проводящей жидкости в электрическом поле (теория «мелкой воды») обобщает собой уравнения Кортевега—де Фриза и Бенд-жамина-Оно. С увеличением напряженности электрического поля эволюционное уравнение вырождается в уравнение Бенджамина - Оно. Найден/ ное вырождение обнаружено впервые и связано с взаимодействием электрических, капиллярных и гравитационных сил; оказывается возможным существование электро-капиллярного солитона — стационарного решения уравнения Бенджамина-Оно, как стационарной нелинейной волны, в системе с квадратичной дисперсией.

12. Обнаружено, что даже слабое электрическое поле существенно влияет на вид стационарных решений эволюционного уравнения. При разложении по параметру электрического поля поиск профиля стационарной волны сводится к решению уравнений Кортевега-де Фриза и Шрёдингера. Учет слабого электрического поля приводит к появлению дополнительных максимумов в профиле солитона. Найдены соответствующие функции поправки.

13.Определено, что электрическое поле приводит к сглаживанию кноидаль-ных волн. Особенно чувствительны к действию электрического поля слабонелинейные волны.

Причина обнаруженных эффектов влияния электрического поля кроется в качественном изменении дисперсионной зависимости для линейных волн: в снижении значения параметра кубической дисперсии и появлении квадратичного по волновому числу слагаемого, пропорционального квадрату напряженности электрического поля.

1. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой: Пер. с англ. / Общ. ред. В.И. Аршинова, Ю.Л. Климонтовича, Ю.В. Сачкова. М.: Прогресс, 1986. - 432 с.

2. Raylegh J.W.S. Scientific Papers. 1879, Vol. I. - P. 377.

3. Basset A.B. Waves and jets in a viscous liquid // Amer. Jour. Math. 1894, Vol. 16.-93.

4. Tonks L. A theory of liquid surface rupture by a uniform electric field // Phys. Rev. 1935, Vol. 48. -P.562-671.

5. Френкель Я.И. К теории Тонкса о разрыве поверхности жидкости постоянным электрическим полем в вакууме // ЖЭТФ. — 1936, Т.6. — №4. — С.348-350.

6. Taylor G.I., McEwan A.D. The stability of a horizontal fuid interface in a vertical electric field // J. Fluid Mech. 1965, Vol. 22. - P.l-15.

7. Melcher J. Electrohydrodynamic and magnetohydrodynamic surface waves and instabilities // Phys. Fluids. 1961, Vol. 4. - No. 11. - P. 1348-1354.

8. Taylor G. Disintegration of water drops in an electric field // Proc. Roy. Soc. A. 1964.- No. 1382.-280.

9. Debnath L. On transient development of surface waves due to two dimen-tional sources // Acta Mechanica. 1971. - No. 11.- P. 185-202.

10. Debnath L. Propagation of Electrohydrodynamic surface wave in a conducting fluid//Acta Mechanica. 1973. -No. 16. -P.l-11.

11. L. Debnath, K. Bagchi, S. Mukherjee. Capillary-gravity waves in a viscous fluid//Acta Mechanica. 1977.-No. 28.-P.313-319.

12. V. Shrinivasan, P. Kandaswamy, L. Debnath. Hydromagnetic stability of rotating stratified compressible fluid flows // Journal of Applied Mathematics and Physics. 1984, Vol. 35. - 005728. - 10 p.

13. Eldabe N.T. Electrohydrodynamic stability of two stratified power law liquids in coutte flow // И nuovo cimento. 1988, Vol. 101B. - No. 2. - P.221-235.

14. Алиев И.Н., Полуэктов П.П. Магнитогидродинамическая неустойчивость поверхности токопроводящей жидкости // Магнитная гидродинамика. 1988. - №3. - С. 114-115.

15. Е. Shehawey, Y. Dib, A. Mohamed. Electrohydrodynamic stability of a fluid layer. I. Effect of a tangentional field // II nuovo cimento. - 1985, Vol. 6D.-N0. 4.-P.291-308.

16. A. Mohamed, E. Shehawey, Y. Dib. Electrohydrodynamic stability of a fluid layer. Effect of a tangentional periodic field // II nuovo cimento. 1986, Vol. 8D.-N0. 2.-P. 177-192.

17. X.-L. Chu, M. G. Velarde, A. Castellanos. Dissipative hydrodynamic oscillators. III. Electrohydrodynamic Interfacial waves // II nuovo cimento. -1988, Vol. 11D. - No. 5. - P.727-73 7. .

18. Брискман В.А., Шайдуров Г.Ф. Параметрическая неустойчивость поверхности жидкости в переменном электрическом поле // ДАН СССР, 1968.-Т. 180, №6.-С. 1315-1318.

19. Алиев И.Н. Параметрическая неустойчивость поверхности проводящей жидкости в переменном электрическом поле // Магнитная гидродинамика, 1987. №2. - С. 78 - 82.

20. Алиев И.Н., Филлипов А.В. О волнах, распространяющихся по плоской поверхности вязкой проводящей жидкости в электрическом поле // Магнитная гидродинамика. 1989. - №4. - С.94-98.

21. Антонюк П.Н. Дисперсионные уравнения для плоской капиллярно-гравитационной волны на свободной поверхности вязкой несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1986, Т. 286. - №6. - С. 1324-1328.

22. Elshehawey Е. Intervals of electrohydrodynamic Rayleigh-Taylor instability: A normal periodic field producing surface charge // Czech. J. Phys. — 1990. -No. 40. P.727-736.

23. E1-Sayed M. Electrohydrodynamic instability of two superposed waiters В viscoelastic fluids in relative motion trough porous medium // Arch. Appl. Mech.- 2001. —No. 71. — P.717-732.

24. Спектр колебаний поверхности жидкости с учетом релаксационныэф-фектов / Ю.А. Быковский, Э.А. Маныкин, П.П. Полуэктов и др. // ЖТФ.- 1985, Т. 55. №2. - С.415-417.

25. Алиев И.Н., Полуэктов П.П. О модификации поверхности твердого тела в электрическом поле // Письма в ЖТФ. 1992,Т. 18. - №7. - С.7-8.

26. Алиев И.Н., Полуэктов П.П. К вопросу о неустойчивости структурно-модифицированной поверхности твердого тела // Поверхность. — 1994. — №3. С.104-108.

27. Ширяева С.О. Релаксационные и дисперсионные явления в капиллярных электростатических неустойчивостях и электродиспергирование жидкости. Дисс.д-ра физ.-мат. Наукю Ярославль, 1996. — 341 с.

28. Наумов И.А. Исследование поверхностной неустойчивости жидких и твердых тел во внешних полях: Дисс.к-та физ.-мат.наук. Москва, 2004.-110 с.

29. Григорьев А.И., Голованов А.С., Ширяева С.О. Параметрическая раскачка неустойчивости заряженной плоской поверхности жидкости на фоне неустойчивости Кельвина-Гельмгольца // Журнал технической физики, 2002. Т. 72, №11. - С. 28 - 34.

30. The investigation of capillary on separatin nets in microgravity / I.N. Aliev, V.A. Briskman, P.P. Poluektov et al. // Int. work-shop on short time experiments: Rev. Proc. ZARM. - Bremen, 1992. - P. 18.

31. Алиев И.Н. Возмущения и неустойчивости поверхности проводящей среды в электрическом поле: Дисс. .д-ра физ.-мат.наук. Москва, 1996.- 202 с.

32. The effect of electric fields on the rupture of thin viscous films by van der Waals forces / K. Savettaseranee, D. T. Papageorgiou, P. G. Petropoulos et al. // Phys. Fluids. 2003, Vol. 15. - No. 3. - P.641-652.

33. E1-Sayed M. Three-dimensional electrohydrodynamic temporal instability of a moving dielectric liquid sheet emanated into a gas medium // Eur. Phys. J. E.-2004.-No. 15. — P.443-455.

34. Papageorgiou D.T., Petropoulos P.G. generation of interfacial instabilities in charged electrified viscous liquid films // J. Eng. Math. 2004. — No. 50. — P.223-240.

35. E1-Sayed M. Electrohydrodynamic wave-packet collapse and soliton instability for dielectric fluids in (2+l)-dimensions // Eur. Phys. J. В 2004. -No. 37. -P.241-255.

36. Зб.О. Ozen, D.T. Papageorgiou, P.G. Petropoulos. Nonlinear stability of a charged electrified viscous liquid sheet under the action of a horizontal electric field // Phys. Fluids. 2006. - Vol. 18. - 042102. - 10 p.

37. Golovin A., Volpert V. Photo-Marangoni convection in a thin liquid film// Phys. Fluids. 2007. - Vol. 19. - 122104. - 8 p.

38. Smorodin B.L., Velarde M.G. Convective instability of an Ohmic liquid layer in an unsteady thermal field // Phys. Fluids. — 2008. — Vol. 20. — 044101.-9 p.

39. Suslov S. Thermomagnetic convection in a vertical layer of ferromagnetic fluid // Phys. Fluids. 2008. - Vol. 20. - 074103. - 14 p.

40. Busse F.H. Asymptotic theory of wall-attached convection in a horizontal fluid layer with a vertical magnetic field // Phys. Fluids. 2008. - Vol. 20. -024102.-4 p.

41. Смородин Б.JT. Возникновение конвекции слабопроводящей жидкости в модулированном тепловом поле // ЖЭТФ. 2001, Т. 120. - №6. — С.1421-1429.

42. Гросу Ф.П., Болога М.К. О биполярных пространственно-заряженных структурах слабопроводящих жидкостей во внешнем электростатическом поле // Электронная обработка материалов. 2007, Т. 43. - №1. -С.47-51.

43. Формирование заряда в жидких диэлектриках под действием электростатического поля / Ф.П. Гросу, М.К. Болога, Б.Б. Блошицын и др. // Электронная обработка материалов. 2007, Т. 43. - №5. - С.318-335.

44. Алиев И.Н., Мильвидский А.Р. Деформация поверхности электропроводной жидкости под действием импульса сильного поля// ИФЖ. — 2004, Т. 77. — №1. С.133-134.

45. A. Uguz, О. Ozen, N. Aubry. Electric field effect on a two-fluid interface instability in channel flow for fast electric times // Phys. Fluids. 2008. — Vol. 20.-031702.-4 p.

46. Wilkinson J., Jacobs J. Experimental study of the single-mode three-dimensional Rayleigh-Taylor instability // Phys. Fluids. 2007. — Vol. 19. -124102.-11 p.

47. Stone J., Gardiner T. Nonlinear evolution of the magnetohydrodynamic Rayleigh-Taylor instability // Phys. Fluids. 2007. - Vol. 19. - 094104. - 15 p.

48. E1-Magd A., El-Sayed F. Nonlinear electrohydrodynamic Rayleigh-Taylor instability. II. A perpendicular field producing surface charge // Phys. Fluids. 1983, Vol. 26. - No. 7. -P.1724-1730.

49. Григорьев А.И., Пожарицкий Д.М. Нелинейный анализ закономерностей реализации неустойчивости Рэлея-Тейлора на заряженной границе раздела сред // ЖТФ. 2008, Т. 78. - №4. - С. 35-42.

50. An asymptotic model for the Kelvin-Helmholtz and Miles mechanisms of water wave generation by wind // Phys. Fluids. — 2008. Vol. 20. -094106.-11 p.

51. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы: Пер. с англ. А.Р Логунова М.: Институт компьютерных исследований, 2002. -656 с.

52. Петрин А.Б. О неустойчивости конических выступов на поверхности жидкости в электрическом поле // ЖЭТФ. — 2007, Т. 132. — №6. — С.1409-1414.

53. Uguz A., Aubry N. Quantifying the linear stability of a flowing electrified two-fluid layer in a channel for fast electric times for normal and parallel electric fields // Phys. Fluids. 2008. - Vol. 20. - 092103. - 10 p.

54. E1-Sayed M. Instability of two streaming conducting and dielectric bounded fluids in porous medium under time-varying electric field // Arch. Appl. Mech.-2009.-No. 79.-P.19-39.

55. M.A. Fontelos, U. Kindelan, O. Vantzos. Evolution of neutral and charged droplets in an electric field // Phys. Fluids. 2008. - Vol. 20. - 092110. -12 p.

56. C.O. Ширяева, А.И. Григорьев, П.В. Мокшеев. Нелинейный анализ равновесной формы капли, вращающейся вокруг оси симметрии // ЖТФ. -2007, Т. 77. №4. - С. 32-40.

57. А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, И.Г. Жарова. Нелинейные капиллярные колебания заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости // ЖТФ. 2006, Т. 76. - №10. - С.41-50.

58. С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, О.С. Крючков. Об осцилляциях заряженной капли вязкой жидкости с конечной проводимостью // ЖТФ. — 2007, Т. 77. -№6.-С. 13-21.

59. Dayal P., Kyu Т. Dynamics and morphology development in electrospun fibers driven by concentration sweeps // Phys. Fluids. 2007. - Vol. 19. — 107106.-9 p.

60. Шутов A.A. Получение ультратонких волокон методом электропрядения // Изв. РАН МЖГ. 2008. - №4. - С.38-52.

61. Шутов А.А., Шкадов В.Я. Деформация капель и пузырьков в электрическом поле // Изв. РАН МЖГ. 2002. - №5. - С.54-66.

62. И.Н. Алиев, П.П. Полуэктов, А.Ф. Наумов. Спонтанное вращение аэрозольной частицы в слабоионизированном газе при действии постоянного электрического поля // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки». 2005. — №4. — С.106-108.

63. Шутов А.А. Формирование и устойчивость заряженной струи в сильном электрическом поле // Изв. РАН МЖГ. 2006. - №6. -С.52-67.

64. А.И. Григорьев, Н.В. Воронина, С.О. Ширяева. Неосесимметричные осцилляции заряженной струи вязкой жидкости конечной проводимости // ЖТФ. 2008, Т. 78. - №2. - С.33-41.

65. Bhimsen К. Nonlinear stability of surface waves in electrohydrodynamics // Quart. Appl. Math. 1979, Vol. 35. - P.423-427.

66. Kant R., Malik S. On KdV solitions in electrohydrodynamics // Astrophysics and Space Science. 1983. - No. 95. - P.205-208.

67. Жакин А.И. О нелинейных равновесных формах и нелинейных волнах на поверхности феррожидкости (идеального проводника) в поперечном магнитном (электрическом) поле // Магнитная гидродинамика. — 1983. -№4. С.41-48.

68. Жакин А.И. Нелинейные волны на поверхности заряженной жидкости. Неустойчивость, ветвление и нелинейные равновесные формы заряженной поверхности // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. - №3. - С.94-102.

69. Easwaran С. Solitary waves on a conducting fluid layer // Phys. Fluids. — 1988, Vol. 31. No.11. - P.3442-3443.

70. Gonzales A., Castellanos A. Kortweg-de Vries-Burgers equation for surface waves in nonideal conducting liquids // Phys. Rev. E. — 1994, Vol. 49. — No. 4. P.2935-2940.

71. Gonzales A., Castellanos A. Nonlinear electrohydrodynamic waves on films falling down an inclined plane // Phys. Rev. E. 1996, Vol. 53. - No. 4. -P.3573-3578.

72. В. Tilley, P. Petropoulos, D. Papageorgiou. Dynamics and rupture of planar electrified liquid sheets // Phys. Fluids. 2001, Vol.13. - No. 12. - P.3547-3563.

73. Effect of an electric field on film flow down a corrugated wall at zero Reynolds number / D. Tseluiko, M. Blyth, D. Papageorgiou et al. // Phys. of Fluids. 2008, Vol. 20. -No. 4, 042103. - 19 p.

74. E1-Sayed M. Nonlinear analysis and solitary waves for two superposed streaming electrified fluids of uniform depths with rigid boundaries // Arch. Appl. Mech. 2008. - No. 78. - P.663-685.

75. A new aplication of the Korteweg-de Vries Benjamin-Ono equation in interfacial electrohydrodynamics / H. Gleeson, P. Hammerton, D. Papageorgiou et al. // Phys. Fluids. 2007, Vol. 19. - No. 3. - 031703. - 3 p.

76. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные движения вязкой жидкости со свободной поверхностью // Изв. РАН МЖГ. — 2003. — №2. -С. 184-192.

77. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О нелинейных капиллярно-гравитационных волнах на заряженной поверхности идеальной жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2003. - №6. - С. 103-110.

78. Hirota M., Fukumoto Y. Energy of hydrodynamic and magnetohydrodynam-ic waves with point and continuous spectra // J. Math. Phys. 2008. — No. 49.-083101.-28 p.

79. C.JI. Добычин, Б.JI. Мильман, М.Я. Туркина. Электрогидродинамическая ионизация: новый метод ' производства ионов в масс-спектроскопии // Теоретическая и экспериментальная химия. — 1979, Т. 15. — №4. — С.429-433.

80. Дудников В.Г., Шабалин А.Л. Электрогидродинамические эмиттеры ионов // ЖПМТФ. 1989. - №2. - С.3-10.

81. Габович М.Д. Жидкометаллические эмиттеры ионов // УФН. — 1983, Т. 140. №1. — С. 137-151.

82. Grace J., Dunn P. Speed measurements in the developing region of an elec-tridynamic spray using laser diagnostics // Exp. Fluids. — 1992. — No. 12. -P.261-269.

83. Grace J., Dunn P. Droplet in electrodynamic fine spray // Exp. Fluids. -1996.-No. 20. P.153-164.

84. Aspects of Electrohydrodynamic Instabilities at Polymer Interfaces / T. Russell, Z. Lin, E. Schaffer et al. // Fibers and Polymers. 2003, Vol. 4. -No.l - P. 1-7.

85. Electrospraying of a nano-hydroxyapatite suspension / J. Huang, S.V. Jayasinghe, S.M. Best et al. // J. Mater. Sei. 2004. - No. 39. - P. 10291032.

86. Jayasinghe S., Edirisinghe M. Electrostatic atomization of a ceramic suspension at pico-flow rates // Appl. Phys. A. 2005. - No. 80. - P.399-404.

87. Preparation of lead zirconate titanate nano-powder by electrohydrodynamic atomization / S. Jayasinghe, R. Dorey, M. Edirisinghe et al. // Appl. Phys. A. 2005. - No. 80. - P.723-725.

88. D. Wang, S. Jayasingheand, M. Edirisinghe. High resolution print-patterning of a nano-suspension // J. Nanoparticle Res. 2005. - No. 7. -P.301-306.

89. J. Yu, S. Kim, J. Hwang. Effect of viscosity of silver nanoparticle suspension on conductive line patterned by electrohydrodynamic jet printing // Appl. Phys. A.-2007.-No. 89.-P.157-159.

90. Direct writing of lead zirconate titanate piezoelectric structures by electrohy-drodynamic atomisation / S. Rocks, D.Wang, D.Sun et al. // J. Electroceram. 2007. - No. 19. - P.287-293.

91. Coaxial electrohydrodynamic direct writing of nano-suspensions / D. Wang, S. Jayasinghe, M. Edirisinghe et al. // J. Nanoparticle Res. — 2007. No. 9. -P.825-831.

92. K. Wang, M. Paine, J. Stark. Freeform fabrication of metallic patterns by unforced electrohydrodynamic jet printing of organic silver ink // J. Mater. Sei.: Mater. Electron. — DOI10.1007/s 10854-008-9843-6.

93. Fabrication of nano-structured gold films by electrohydrodynamic atomisation / S. Samarasinghe, I. Pastoriza-Santos, M. Edirisinghe et al. // Appl. Phys. A.-2008.-No. 91. P.141-147.

94. Feng Y., Seyed-Yagoobi J. Electrical charge transport and energy conversion with fluid flow during electrohydrodynamic conduction pumping// Phys. Fluids. 2007. - Vol. 19.-057102.- 11 p.

95. A. Gonzalez, A. Ramos, A. Castellanos. Pumping of electrolytes using travelling-wave electro-osmosis: a weakly nonlinear analysis // Microfluid Nanofluid.-2008.-No. 5.-P.507-515. ,

96. B. Iverson,L. Cremaschi, S. Garimella. Effects of discrete-electrode configuration on traveling-wave electrohydrodynamic pumping // Microfluid Nanofluid. 2009. - No. 6. -P.221-230.

97. Deposition of nano-hydroxyapatite particles utilising direct and transitional electrohydrodynamic processes / Z. Ahmad, E. Thian, J. Huang et al. // J. Mater. Sei.: Mater. Med. 2008. - No. 19. - P.3093-3104.

98. Electrohydrodynamic atomization of protein (bovine serum albumin) / R. Pareta, A. Brindley, M. Edirisinghe // J. Mat. Sei.: Mater. Med. 2005. -No. 16.-P.919-925.

99. Electrohydrodynamic Comminution: A Novel Technique for the Aeroso-lisation of Plasmid DNA / L. Davies, K. Hannavy, N. Davies et al. // Pharmaceutical Research. 2005, Vol. 22. - No. 8 - P.1294-1304.

100. Zahn J., Reddy V. Two phase micromixing and analysis using electrohy-drodynamic instabilities // Microfluid Nanofluid. 2006. - No. 2. - P.399-415.

101. Microbubbling by co-axial electrohydrodynamic atomization / U. Farook, E. Stride, M. Edirisinghe et al. // Med. Bio. Eng. Comput. 2007. - No. 45. - P.781-789.

102. Novel methods for preparing phospholipid coated microbubbles / K.P. Pancholi, U. Farook, R. Moaleji et al. // Eur. Biophys. J. 2008. - No. 37. -P.515-520.

103. S. Samarasinghe, K. Balasubramanian, M. Edirisinghe. Encapsulation of silver particles using co-axial jetting // J. Mater. Sci.: Mater. Electron. — 2008.-No. 19. -P.33-38.

104. Белоножко Д.Ф. Нелинейные движения заряженной поверхности жидкости: Дисс.д-ра физ.-мат. наук. Ярославль, 2004. 278 с.

105. Курочкина С.А. Нелинейные периодические волны в тонких поверхностно заряженных слоях жидкости. Роль испарения и диссипации: Дисс.к-та физ.-мат. наук. Ярославль, 2004. 184 с.

106. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 731 с.

107. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 651 с.

108. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Наука, 1959. -699 с.

109. И.Н. Алиев, А.Р. Мильвидский, И.А. Наумов. Капиллярные волны на поверхности тонкого слоя заряженной проводящей жидкости // ИФЖ. -2002, Т. 75. №5. - С.86-87.

110. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная неустойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. — 392 с.

111. Ингель Л.Х. Механизм конвективной неустойчивости бинарной смеси // ЖЭТФ. 2005, Т. 128. - №1. - С.179-182.

112. H. Poincare. Sur l'équilibré d'une masse fluid animee d'un movement de rotation // Acta math. 1885. - №7. - P. 259-380.

113. Korteweg D.J., G. de Vries. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag. 1895, Vol. 39. - P.442.

114. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Adv. Appl. Mech. 1948, Vol. 1. - P. 171.

115. Horf E. The partial differential equation ut + uux = \шхх II Comm. Pure

116. Appl. Math. 1950, Vol. 3. - P.201.

117. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах. -М.: Наука, 1978. 132 с.

118. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 622 с.

119. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973.- 175 с.

120. Benjamin Т.В., Lighthill M.J. On cnoidal waves and bores // Proc. Roy. Soc. 1954, Vol. A224. — P.448

121. Табор M. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике (Пер. с англ.). М.: УРСС, 2001. 320 с.

122. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Физматлит, 2004. — 800 с.

123. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970.-328 с.

124. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 479 с.

125. Е. Янке, Ф. Эмде, Э. Лёш. Специальные функции (формулы, графики, таблицы). М.: Наука, 1964. - 344 с.

126. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 452 с.

127. Основные результаты диссертации отражены в работах автора:

128. И.Н. Алиев, A.B. Косогоров, С.О. Юрченко. О постановке нелинейной задачи в электродинамике поверхности жидкости // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Четвертой Всероссийской конференции. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, ФИАН, 2007. - С. 209-211.

129. B.П. Чкалова, 2007. С. 79-80.

130. И.Н. Алиев, С.О. Юрченко, Е.В. Назарова. Особенности комбинированной неустойчивости заряженной границы раздела движущихся сред // Инженерно-физический журнал. 2007. — Т.80, №5. - С. 64-69.

131. И.Н. Алиев, С.О. Юрченко, Е.В. Назарова. К вопросу о неустойчивости границы раздела двух сред конечной толщины // Инженерно-физический журнал. 2007. - Т. 80, №6. - С. 127-133.

132. Алиев И.Н., Юрченко С.О. О нелинейных волнах на заряженной границе раздела двух движущихся сред // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Серия «Естественные науки». 2008. - №1. — 56-69.

133. И.Н. Алиев, Е.В. Назарова, С.О. Юрченко. Исследование комбинированной Френкеля-Тонкса и конвективной неустойчивости // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Серия «Естественные науки». — 2008. №3.1. C. 16-28.

134. Юрченко С.О., Алиев И.Н. О расщеплении и бифуркациях решений дисперсионного уравнения волн малой амплитуды на заряженной поверхности раздела двух сред // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки». 2009. — №5. - С.28-35.

135. Алиев И.Н., Юрченко С.О. О нелинейных волнах, распространяющихся на поверхности идеальной проводящей жидкости в электрическом поле // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2009. - №5. - С. 137-148.