Устойчивость и распространение ударных волн в классической газодинамике и в магнитной газодинамике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи.

КАЛИНЧЕНКО Александр Павлович

УСТОЙЧИВОСТЬ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН В КЛАССИЧЕСКОЙ ГАЗОДИНАМИКЕ И В МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКЕ

Специальность 01.04.02 Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук,

профессор Шугаев Ф.В.

доктор физико-математических наук

профессор С.С. Новиков

кандидат физико-математических наук

ОА Азарова

Российская академия наук Объединенный институт высоких температур

Институт теплофизики экстремальных состояний

« /Г

Защита состоится 5е&ълщ 200¥тода в часов на

заседании диссертационного совета К 501.001.17 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд. ъ&РАг

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного Совета доктор физико-математических наук

«Ж_» 200^ г.

П.А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Ударные волны являются одним из интереснейших явлений, которые встречаются в природе. Они возникают при взрывах, электрических разрядах и полетах со сверхзвуковыми скоростями в атмосфере и космосе (взрыв сверхновой).

Современные исследования в области ударных волн имеют большое значение для воздушных и космических полетов. Заслуживают внимания работы, посвященные сильным ударным волнам, структуре ударных волн, использованию ударных волн для кумуляции энергии, ударным волнам в космосе. Новая экспериментальная техника с высоким временным разрешением и численные методы позволяют исследовать очень сложные проблемы.

Исследование ударных волн в магнитной гидродинамике началось в 1950 году с работы Гофмана и Теллера (Hoffman, Teller, 1950), которые получили условия, существующие на поверхности разрыва (соотношения Ренкина-Гюгонио). Интерес к теме поддерживается благодаря проблемам астрофизики и полетам во внешних слоях атмосферы.

В космических условиях при взаимодействии солнечного ветра с магнитосферами планет, при взаимодействии звездного ветра с магнитосферами пульсаров происходит образование бесстолкновительных ударных волн (Verigin et al. 2000).

Магнитосферы планет могут быть трех основных типов: собственная, наведенная, или индуцированная, и комбинированная.

Первый тип возможен в случае, когда планета обладает достаточно сильным магнитным моментом для того, чтобы давление собственного магнитного поля

БИБЛМОТЕ*

м\

дий&мп*ейОДОДЫ№Ние солнечного ветра за ВИВЛМОТЕКА 1

пределами ионосферы. Тогда в межпланетном пространстве образуется область, в первом приближении свободная от солнечного ветра и содержащая линии магнитного поля, выходящие из планеты. Такими магнитосферами обладают Меркурий, Земля, Юпитер, Сатурн и Уран.

В случаях, когда собственное магнитное поле планеты незначительно, а атмосфера достаточно плотная, контакт солнечного ветра с ионосферой вызывает электрические токи. Магнитное поле этих токов и образует наведенную магнитосферу. Такой тип характерен для Венеры и комет.

Если собственное магнитное поле планеты недостаточно велико, чтобы предотвратить контакт солнечного ветра с ионосферой, но соизмеримо по величине с наведенным магнитным полем, то возникает магнитосфера комбинированного типа.

Магнитосферы всех трех типов являются препятствием для сверхзвукового и сверхальвеновского солнечного ветра и перед ними возникает бесстолкновительная ударная волна.

Наиболее изученный в космической плазме объект - ударная волна земной магнитосферы, толщина фронта которой на несколько порядков величины меньше длины свободного пробега (рис.3).

Эксперименты, выполненные в ударных трубах в семидесятых годах, обнаружили интересные свойства ударных волн при больших числах Маха. Было зарегистрировано искажение фронта ударной волны. Было найдено, что распределение плотности, так же как и плотность числа электронов в зоне разрежения, становится немонотонным. Таким образом, возникает проблема устойчивости ударных волн.

Теоретически устойчивость плоской ударной волны была исследована в пятидесятых годах (Дьяков 1954; Конторович 1959; Иорданский 1960). Вышеупомянутые авторы исследовали взаимодействие плоской ударной волны с малыми возмущениями течения за ударным фронтом.

Согласно критерию Дьякова-Конторовича-Иорданского, неустойчивость может возникнуть только благодаря немонотонности формы ударной адиабаты. Интересно заметить, что Аниле и Руссо (Anile et al. 1986; 1993) получили такой же критерий в нелинейном случае, используя лучевой метод.

Цель работы

Целью настоящей диссертации является исследование свойств ударных волн в классической газодинамике и магнитной газодинамике.

Основные научные задачи работы:

1. Исследовать устойчивость плоской ударной волны в неоднородном газе;

2. Исследовать устойчивость плоской МГД ударной волны;

3. Исследовать распределение параметров за головной МГД ударной волной вблизи затупленного тела.

Научная новизна

результатов, полученных в диссертации:

1) Найден критерий устойчивости плоской ударной волны, распространяющейся в неоднородном покоящемся газе.

2) Найдены области неустойчивости плоской МГД ударной волны в зависимости от чисел Маха и Альвена.

3) Выведено соотношение, связывающее изменение скорости МГД ударной волны с формой волны и распределением параметров за ее фронтом.

4) Разработан алгоритм для расчета параметров среды за фронтом стационарной МГД ударной волны произвольной формы.

Научная и практическая ценность

Найденные критерии устойчивости расширяют наши знания о свойствах ударных волн и представляют несомненный научный интерес. Практическая значимость результатов определяется тем, что возникновение неустойчивости существенно меняет величину давления и других параметров потока. Последнее обстоятельство необходимо учитывать в экспериментах с ударными волнами.

Предложенный метод расчета параметров за стационарной МГД ударной волной может быть применен при изучении явлений, возникающих за счет взаимодействия солнечного ветра с магнитосферой Земли и других планет.

Апробация работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7] и докладывались на

- VI Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов 99». Москва (апрель 1999 г.).

- VII Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов 2000». Москва (апрель 2000 г.).

- Симпозиуме по ударным волнам JAPAN'99. Токио (1999 г.).

- Симпозиуме по ударным волнам JAPAN'2001. Канагава (2001 г.).

- IV Международном совещании по магнитоплазменной аэродинамике для аэрокосмических приложений. Москва (апрель 2002 г.).

- V Международном совещании по магнитоплазменной аэродинамике для аэрокосмических приложений. Москва (апрель 2003 г.).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 7-ми работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и приложений и списка литературы. Общий объем работы составляет 106 страниц машинописного текста, включая 9 рисунков. Библиография содержит 88 наименований.

Во введении и кратком обзоре в первой главе дано обоснование актуальности темы, выделен круг вопросов, охваченных диссертацией, рассмотрены близкие к этим вопросам работы и изложено содержание по главам. Также в первой главе приведена постановка задач.

Во второй главе необходимые для дальнейшего изложения соотношения преобразуются к требуемому виду.

Первые три пункта второй главы посвящены условиям совместности, которые должны выполняться на фронте волны. Они вытекают из того факта, что фронт волны существует и остается единственным в течение некоторого промежутка времени, а скорость волны является дифференцируемой функцией.

Четвертый и пятый пункты второй главы отведены для отыскания характеристической формы уравнений газовой динамики и МГД. Для этого использованы переменные Лагранжа. Полная характеристическая система включает в себя уравнение

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

+

здесь магнитное поле, скорость частицы, - давление,

нормаль к фронту волны, компонены метрического тензора на фронте

волны,

уравнение, которое получается из него заменой момент времени, в который рассматриваемая частица пересекает фронт волны), а также уравнений

В третьей главе вводится понятие лучевого метода расчета распространения ударных волн. Этот метод применяется к случаю ударных волн в классической газодинамике в первом пункте главы. Во втором и третьем пунктах лучевой метод распространен на случаи нестационарной и стационарной МГД-ударной волны произвольной формы.

В первом пункте третьей главы показано, как с помощью лучевого метода можно решить задачу о распространении слабых ударных волн.

Во втором пункте для нахождения физических величин за волной рассматривается разложение траектории частицы в ряд Тейлора с центром разложения в произвольной точке фронта:

входящие в него производные определяются из граничных условии и уравнений движения. Давление в частице газа в момент I = г+Дт определяется следующим образом

Производные, входящие в это разложения определяются из условий совместности второй главы. Аналогичные соотношения можно написать и для других параметров.

В последнем пункте третьей главы с помощью лучевого метода находится наспределение параметров за стационарной МГД ударной волной перед затупленным препятствием. Находятся линии тока за волной, общий вид которых согласуется с данными, имеющимися в литературе.

Траектория частицы найдена с точностью до малых третьего порядка

по (.

Рис. 4Линии тока за стационарной ударной вОЛНОй(М = 2,Ма =5,0 = 45').

В четвертой главе исследуется неустойчивость ударных волн в классической и магнитной газодинамике. При этом используется понятие гофрировочной неустойчивости (по отношению к малым возмущениям) фронта волны.

В первом пункте главы на основе уравнения для изменения скорости ударной волны в газе

найден критерий неустойчивости для случая экспоненциального распределения плотности перед волной

(здесь приведен частный случай, когда радиус кривизны в данной точке фронта постоянен, # =

по которому можно найти области неустойчивости. Из приведенного неравенства видно, что сильные изменения величины плотности среды перед фронтом (большие к ) увеличивают неустойчивость ударной волны.

2 $ 4 5

Рис. 6.Зависимость от Мдля разных у: верхней кривой

соответствует значение 1,4, средней -1,55, нижней-1, 7.

Область неустойчивости находится над кривой.

Таким образом, показано, что ударная волна может быть неустойчивой и в газе с постоянным значением показателя адиабаты.

Во втором пункте главы на основе характеристических уравнений из предыдущих разделов работы получается уравнение для изменения скорости волны в случае магнитной газодинамики.

ар ~ ~ . С, айй дС

А~ с?А2Н + А^^Ь^Ъа В„+Аа

ж

ади'

+

1-

ев (I

дч' ¿;ВМ

4хрСсг

ч ' 8тс 4яр(}2сг ц

* ди' Зг„

дх, Ы 1

др

" 8ие 8те рСгс дтс \г

2 = 1-

в.

Д =А1(М,Ма,Г,д),

1

Ь В а В а =-В1

На основе этого уравнения найдены области неустойчивости в зависимости от чисел Маха и чисел Альвена для разных направлений магнитного поля по отношению к фронту волны.

К

О 20 10 60 «> М 1® 0 Ю 40 60 Ю М МО

О 20 40 60 80 м 100 0 20 40 60 80 100 д/ 120

Рис. 7. Области неустойчивости при у = 2, 0-10°; 25°; 50"; 70' нарисункаха),

Ь), с) и ф соответственно.

Черным цветом отмечены области неустойчивости. Физический смысл имеют области графика, закрашенные черным и белым цветом и находящиеся выше пунктирной линии. По горизонтальной оси отложены числа Маха, по вертикальной числа Альвена.

Итак показано, что быстрые МГД ударные волны могут быть неустойчивыми при

Полученные результаты подтверждают и дополняют данные, имеющиеся в литературе.

В последнем пункте главы получена связь между параметрами падающей на искривленный фронт МГД ударной волны магнитозвуковой волны конечной амплитуды и параметрами соответствующей отраженнной волны. В частном случае полученное соотношение позволяет определить коэффициент отражения возмущений от фронта МГД ударной волны.

В пятой главе кратко сформулированы основные результаты диссертации.

Значения некоторых коэффициентов и производных величин были вынесены в приложение для упрощения восприятия основных соотношений диссертации.

1. Получен критерий неустойчивости плоской ударной волны, распространяющейся по неоднородному покоящемуся газу. При экспоненциальном законе распределения плотности в невозмущенном газе р, (х) = р„е* условие неустойчивости таково:

где I - амплитуда возмущения, Н - максимальное значение средней кривизны фронта ударной волны, Ф(М) - монотонно возрастающая функция. Если радиус кривизны Т волны не зависит от направления, то условие неустойчивости принимает вид:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

ку1\Щ>Ф(м).

2. Определены области неустойчивости плоской МГД ударной волны в широкой области чисел Маха, чисел Альвена и углов между вектором магнитной индукции и нормалью к фронту волны. Эти результаты дополняют данные, имеющиеся в литературе.

3. Разработан метод расчета физических величин за стационарной МГД ударной волной, основанный на разложении параметров в степенные ряды в окрестности произвольной точки на фронте волны. Результаты расчета согласуются с имеющимися в литературе данными и могут быть использованы для определения параметров за волной, образующейся при взаимодействии солнечного ветра с магнитосферой Земли и других планет.

4. Получено точное аналитическое выражение, связывающее изменение скорости быстрой МГД ударной волны при ее распространении с кривизной волны, распределением скорости вдоль фронта и градиентами параметров за фронтом.

5. Найдена связь между параметрами падающей и отраженной магнитозвуковыми волнами при взаимодействии первой с быстрой МГД ударной волной произвольной формы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шугаев Ф.В., Калинченко А.П. Гофрировочная неустойчивость ударной волны в неоднородном газе// 2001, Вестник Московского университета, сер.З, физика, астрономия, № 1, с.62.

2. Шугаев Ф.В., Калинченко А.П., Гофрировочная неустойчивость плоской ударной МГД волны// 2003, Вестник Московского университета, сер.З, Физика. Астрономия, № 1, с. 14-16.

3. Shugaev F.V., Kalinchenko A.P. Corrugation instability of a shock wave in non uniform gas// Symposium on shock waves JAPAN'99 P.643-644, Tokyo 1999.

4. Shugaev F.V., Kalinchenko A.P. The variation of the intensity of a MHD shock wave during its propagation// Symposium on shock wave JAPAN'2001, P.217-218, ISAS Sagamihara, Kanagawa 2001.

5. Shugaev F.V., Kalinchenko A.P. Domains of instability for plane MHD shock wave// Proc. of the 5th Workshop on magnetoplasma aerodynamics for aerospace applications. Ed. V.A. Bityurin, IVTAN, pp.224-227, 2003.

6. M. Verigin, G. Kotova, A. Szabo, J. Slavin, T. Gombosi, K. Kabin, F. Shugaev, and A. Kalinchenko. Wind observations of the terrestrial bow shock: 3-D shape and motion// 2001, Earth Planets Space, v.53, pplOOl-1009.

7. M.I.Verigin, GAKotova, J.Slavin, A.Szabo, M.Kessel, J.Safrankova, Z.Nemecek, T.I.Gombosi, K.Kabin, F.Shugaev, and A.Kalinchenko, Analysis of the 3-D shape of the terrestrial bow shock by interball/magion 4 observa-tions// 2001, Adv.Space Res., v.28, №.6, pp.857-862.

ООП Фиэ.ф-та МГУ. Заказ 150. Тираж 100

»25695

Основные понятия газодинамики. Разрывы.6

Виды разрывов. Ударные волны.8

Свойства ударных волн.9

Ударные волны в магнитной газодинамике.12

1. Альвен X., Фельтхаммар К.-Г. Космическая электродинамика// пер. с англ., М., 1967.

2. Андерсон Э. Ударные волны в магнитной гидродинамике//М.: Атомиздат, 1968.

3. Ахиезер А.И., Любарский Г.Я., Половин Р.В. Устойчивость ударных волн в магнитной гидродинамике// 1958, ЖЭТФ, Т.35, с.731-737.

4. Блохин A.M., Трахинин Ю.Л. Устойчивость сильных разрыово в магнитной гидродинамике и электрогидродинамике// Москва-Ижевск, 2004.

5. Великович А.Л., Либерман М.А. Физика ударных волн в газах и плазме// М.: Наука, 1987.

6. Веригин М.И., Котова Г.А., Ремизов А.П., Стяжкин В.А., Шютте Н.М., Жанг Т.-Л., Ридлер У., Розенбауэр X., Сеге К., Тартальяи М., Швингеншу К. Форма и положение околопланетных ударных волн// 1999, Космические исследования, Т.37, №1, с.38-43.

7. Гринфельд М.А. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов в нелинейно-упругом материале// 1978, Т.42, Прикл. мат. и мех., с.883-898.

8. Гурса Э. Курс математического анализа// т. III, ч. I. М.: ГТТИ, 1933.

9. Зельдович Я.Б. Теория ударных волн и введение в газодинамику// М., Л.: изд. АН СССР, с.94, 1946.

10. Иорданский C.B. Об устойчивости плоской стационарной ударной волны// 1957, Прикл. матем. и мех., Т.21, с.465-472.Н.Калинченко А.П. Гофрировочная неустойчивость ударной волны в неоднородном газе// Докл. конф. "Ломоносов 99", МГУ, с.210-212.

11. Калинченко А.П. Усиление и затухание МГД ударных волн// Докл. конф. "Ломоносов 2000", МГУ, с.253-254.

12. Коган М.Н. Ударные волны в магнитной газоднамике // 1959, Т.23, №3.

13. Конторович В.М. Отражение и преломление звука на ударных волнах// 1959, Акуст. журн., Т.5, №3, с.314-323.

14. Коробейников В.П., Рязанов Е.В. Некоторые решения уравнений магнитной гидродинамики и их приложения к задачам о распространении ударных волн // 1960, ПММ, Т.24, №1.

15. Кочин Н.Е. К теории разрывов в жидкости// Собр. сочинений, т.2, с.5-42,1949.

16. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика// М.: Гос. издат. физ.-мат. литературы, 1962.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред // Гостехиздат, 1953.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред// М.: Наука, 1992.

19. Любимов А.Н., Тюмнев Н.М., Хут Г.И. Методы исследования течений газа и определения аэродинамических характеристик осесимметричных тел//М.: Наука, 1995.

20. Маслов В.П. Распространение слабых ударных волн в изэнтропическом невязком газе// Современные проблемы математики, под ред. Гамкрелидзе Р.В., М.: ВИНИТИ, т.8, 1977.

21. Овсянников JT.В. Лекции по основам газовой динамики// М.: Наука, 1981.

22. Пискарева М.В., Шугаев Ф.В. Прохождение ударной волны через неоднородную область газа с распределением температуры и концентрации компонентов// 1978, Вестник Моск. ун-та, сер.физ.,астрон., Т.19, №3, с.11-18.

23. Половин Р.В. Ударные волны в магнитной гидродинамике // i960, УФН, Т.72, №1.

24. Риман Б. О распространении плоских волн конечной амплитуды// Сочинения, Гостехиздат, 1948.

25. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач//М.: Мир, 1972.

26. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений// М.: Наука, 1978.

27. Рязин А.П. Ионизационная неустойчивость ударной волны в ксеноне// 1980, Письма в ЖТФ Т.6 с.516-520.

28. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики// М.: Наука, 1975.

29. Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в ударных волнах// М.: Наука, 1965.

30. Сыроватский С.И. Об устойчивости ударных волн в магнитной гидродинамике// 1958, ЖЭТФ, Т.35, №6.

31. Тверской Б.А. Основы теоретической космофизики// Избранные труды, изд. УРСС, 2004.

32. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны// М.: Мир, 1977.

33. Филиппова О.Л. Устойчивость плоских МГД ударных волн в идеальном газе// 1991, Изв. АН СССР, сер. Механика жидкости и газа, №6, с.128-136.

34. Численное решение многомерных задач газовой динамики// Под ред. С.К. Годунова, М.: Наука, 1976.

35. Шугаев Ф.В. Взаимодействие ударных волн с возмущениями// М.: Изд-во МГУ, 1983.

36. Шугаев Ф.В., Калинченко А.П. Гофрировочная неустойчивость ударной волны в неоднородном газе// 2001, Вестник Московского университета, сер.З, физика, астрономия №1, с.62.

37. Шугаев Ф.В., Калинченко А.П. Гофрировочная неустойчивость плоской ударной МГД волны// 2003, Вестник Московского университета, сер.З, Физика. Астрономия, №1, с. 14-16.

38. Anile A.M., Russo G. Corrugation stability for plane relativistic shock waves// Phys. Fluids, 1986, v.29, №9, p.2847-2852.

39. Anile A.M., Russo G. Generalized wavefront expansion II: the propagation of step shocks// Wave Motion, 1988, v. 10, №3.

40. Anile A.M., Hunter J.K., Pantano P., Russo G. Ray methods for nonlinear waves in fluids and plasmas// New York, John Wiley & Sons, Inc., 1993.

41. Bazer J., Ericson W. Hydromagnettic shocks// Asrtophys.Journ., 1959, №3, p. 129.

42. Cabannes H. Theoretical magnetofluiddynamics// New York, AP, 1970.

43. Earnshow S. On the mathematical theory of sound// Phil. Trans., 1858, v. 150, p. 133-148.

44. Erpenbeck J:J. Reply to Comments by Gardner// 1963, Phys Fluids v.6, №9, p.1368.

45. Freistuhler H. Some remarks on the structure of intermediate magnetohydrodynamic shocks//1991, J.Geophys.Res., v.96, pp.38253827.

46. Freistuhler H., Rohde C. The bifurcation analysis of the MHD Rankine-Hugoniot equations for a perfect gas// 2003, Physica D, v. 185, p.78-96.

47. Friedrichs K.O. Nonlinear wave motion in magneto-hydrodynamics// Los Alamos Report № LAMS-2105 (Physics); written Sept. 1954, distributed Mar. 8, 1957.

48. Gardner C.S. Comment on "Stability of Step Shocks"// 1963, Phys Fluids v.6, №9, p.1366-1367.

49. Gardner C.S., Kruskal M.D. Stability of plane magnetohydrodynamic shocks// 1964, Phys.Fluids, v.l, №5, pp.700-706.

50. Glass I.I. and Liu W.S., J. // 1978, Fluid Mech. v.84, p.55.

51. Griffiths R.W., Sandeman R.J., Hornung H.G. The stability of shock waves in ionizing and dissociating gases//1976, J. Phys. D. Appl. Phys, v.9, p. 1681.

52. Hadamard J, Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'hydrodunamique// Paris, Hermann, p.121, 1903.

53. Hoffman F., Teller E. Magneto-Hydrodynamic shocks//1950, Phys. Rev., v.80, №4, p.692-703.

54. Honma H., Henderson L.F. Irregular reflections of weak shock waves in polyatomic gases//1989, Phys. Fluids A, v.l, №3, p.597-599.

55. Hugoniot H. Sur la la propagation du mouvement dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits// 1889, J. de l'ecole polytechn. v.58, p.1-125.

56. Kabin K. A note on the compression ratio in MHD shock//2001, J. Plasma Phys., v.66, pt.4, p.259-274.

57. Kennel C.F., Blanford R.D. and Coppi P. MHD intermediate shock discontinuities. Part I. Rankine-Hugoniots conditions// 1989, J.Plasma Phys., v.42, pp.299-319.

58. Kennel C.F., Blanford R.D. and Wu C.C. Structure and evolution of small-amplitude intermediate shock waves// 1990, Phys.Fluids B2, pp253-269.

59. Lessen M., Deshpande M.V. Stability of magnetohydrodynamic shock waves// 1967, J.Plasma Phys., v.l, №4, pp.463-472.

60. Mach E., Sitzungsb. // 1877, Akad. Wiss. in Wien v.2, №77, p.819.

61. Maekawa H., Iimura M., Usui T., Honma H., Kawamura S. Dispersed irregular reflections of weak shock waves in carbon dioxide// 1989, Photogaphic journal of flow visualization №6, p.8-13, (in Japanese).

62. Mond M., Rutkevich I.M. Spontaneous acoustic emission from strong ionizing shocks// 1994, J. Fluid Mech. v.275, p. 121-146.

63. Puckett E.G., Henderson L.F. and Colella P. A general theory of anomalous shock refraction// Shock Waves at Marseille IV, eds. Brun R., Dumitrescu L.Z. (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York), p.139-144, 1995.

64. Prasad P. Kinematics of a multi-dimensional shock of arbitrary strength in an ideal gas// 1982, Acta Mech. v.45, p.136.

65. Rankine W.J. On the thermodynamic theoiy of waves of finite longitudinal disturbance// 1870, Transactions of the Royal Soc. of London, v.160, p.277-288.

66. Sharma V.D. and Radha Ch. Int. // 1995, J. Non-Linear Mechanics v.30, №3, p.302.

67. Sherkliff J.A. One-dimensional magnetogasdynamics in oblique fields// 1960, J. Fluid Mech., v.9, pt.4, pp.481-505.

68. Shugaev F.V., Kalinchenko A.P. Corrugation instability of a shock wave in non uniform gas// 1999, Symposium on shock waves JAPAN'99, Tokyo, p.643-644.

69. Shugaev F.V., Kalinchenko A.P. Domains of instability for plane MHD shock wave// 2003, Proc. of the 5th Workshop on magnetoplasma aerodynamics for aerospace applications. Ed. V.A. Bityurin, IVTAN, pp.224-227.

70. Shugaev F.V., Shtemenko L.S. Propagation and Reflection of Shock Waves// Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific, 1998.

71. Spreiter J.R. and Stahara S.S. Magnetohydrodynamic and gasdynamic theories for planetary bow waves// 1985, Collisionless shocks in theheliosphere: reviews of current research, Geophys. Monogr. Ser., Washington, AGU, pp.85-107.

72. Spreiter J.R. and Stahara S.S. The location of planetary bow shocks: A critical overview of theory and observations// 1995, Adv. Space. Res., v. 15(8/9), p.433.

73. Spreiter J.R., Summers A.L. and Rizzi A.W. Solar wind flow past nonmagnetic planets Venus and Mars// 1970, Planet. Space Sei:, v. 18, pp. 1281-1299.

74. Spreiter J.R., Summers A.L. and Alksne A.Y. Hydromagnetic flow around the magnetosphere// 1966, Planet. Space Sei., v.14, pp.223-253.

75. Stahara S.S., Rachiele R.R., Spreiter J.R. and Slavin J.A. A 3-dimensional gasdynamic model for solar-wind flow past nonaxisymmetric magnetospheres: Application to Jupiter and Saturn// 1989, j.Geophys. Res., v.94, pp.13,353-13,365.

76. Thomas T.Y. Plastic flow and fracture in solids// New York, AP, 1961.

77. Thomas T.Y. Concepts from tensor analysis and differential geometry// New York, AP, p.77,1966.

78. Torrilhon M. Uniqueness conditions for Riemann problems of ideal magnetohydrodynamics// 2003, J. Plasma Phys., v.69, pt.3, pp.253-276.

79. Verigin M.I., et al. Studies of the Martian bow shock response to the variation of the magnetosphere dimensions according to TAUS and MAGMA measurements aboard the PHOBOS 2 orbiter// 1997, Adv. Space. Res., v.20(2), pp.155-158.

80. Verigin M.I., et al. Shape and location of planetary bow shocks// 1999, Cosmic Res., v.37(l), pp.34-39.

81. Verigin M., Kotova G., Shugaev F., Kalinchenko A. et al. On the location and asymmetry of the terrestrial bow shock// 2000, Proceedings of International Symposium from solar corona through interplanetary space, Kyiv, Ukraine, pp.289-293.

82. Verigin M., Kotova G., Shugaev F., Kalinchenko A. et al. WIND observations of the Terrestrial bow shock: 3-D shape and motion// 2000, EOS Transactions AGU, v. 19, №81, p.404.

83. Wu C.C. Formation, structure and stability of MHD intermediate shocks// 1990, J.Geophys.Res., v.95, pp.8149-8175.