Устойчивость оболочек и пластин конструктивно-нелинейной механики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ



На правах рукописи

Тулубснская Елена Владимировна

УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН КОНСТРУКТИВНО-НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тола

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург ; 9 [.;..?

2008

003464563

Работа выполнена на кафедра математического моделирования и кибернетики Сыктывкарского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических паук,

профессор

МИХАЙЛОВСКИЙ Евгений Ильич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук,

профессор

ФИЛИППОВ Сергей Борисович (Санкт-Петербургский государственный университет)

доктор технических наук, профессор ГОСПОДАРИКОВ Александр Петрович (Санкт-Петербургский государствснны й горный институт)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

политехнический университет

Защита состоится " ¿1(<у7РеС./ в /Р часов па. заседании

совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург. Старый Петергоф, Университетский пр.,28, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб. 7/9.

Автореферат разослан " ^ 200-^г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

С. А. Зегжда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема устойчивости стержней, пластин и оболочек с односторонними связями относится к конструктигшо-нели-псйпой механике упругих систем. Инженерная востребованность к решению таких задач была всегда, однако решение, сводилось либо к поиску локального экстремума, достижимость которого требует отдельного доказательства, либо к решению задач, требующих больших затрат машинного времени.

При решении задач па устойчивость и исследования закритического поведения элементов конструкций п условиях конструктивной нелинейности возникают трудности, связанные с изучением точек бифуркации негладких уравнений, обусловлепые тем, что уравнения в окрестности точки равновесия не могут 6i.it!, линеаризованы, обладая нелинейностью как существенным свойством.

Актуальность темы диссертации подтверждена поддержкой проведенных исследований Российским фондом фундаментальных исследований (04-01-90025). Диссертантом получен грант Правительства г. Санкт-Петербурга (М04-2.2К-549) на реализацию кандидатского проекта „Исследование влияния учета трансвсрсальпых деформаций на устойчивость пластин в условиях односторонних связей".

Цели работы. Создание эффективного алгоритма решения задач на устойчивость оболочек и пластин в условиях конструктивной нелинейности.

Достоверность работы. Достоверность результатов работы обеспечивается согласованием с результатами решения задач, полученных локальным методом поиска собственных чисел положительно однородного оператора1. Для ряда задач получено аналитическое решение в случае однородной шшклеровской среды, которое согласовывалось с результатами расчетов при фиксированной жесткости одного основания и плавном стремлении второго к фиксированному.

1 Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. Локальный метод поиска собственных чисел положительно однородного оператора. Тезисы докл. Международной научной конференции, поспящ. 100-лстшо со дня рождения Н.Г. Чеботарепа. Казань: IГнд-р.о Казанского ун-та, 1994. С.88.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Комбинированный алгоритм полпого и локального перебора вариантов решения спектральных задач конструктивно-нелинейной механики.

2. Решения с использованием алгоритма „ППВ—ЛПВ" задач на устойчивость продольно сжимаемой цилиндрической оболочки на границе раз-помодульных винклсровских сред, в том числе

оболочки постоянной толщины по теории Кирхгофа;

- - оболочки переменной толщины по теории Кирхгофа;

оболочки постоянной толщины по теории Маргера-Тимошенко и теории Маргсра-Журавского.

3. Решение задачи на устойчивость осссимметрично деформируемой круглой пластины на границе разиомодульпых винклсровских сред под действием равномерно распределенной по граничному контуру сжимающей радиальной нагрузки.

Научная новизна. Все основные научные результаты диссертации являются новыми. Предложен комбинированный алгоритм поиска части собственного спектра положительно однородного оператора, с помощью которого решен ряд задач, решения которых выносятся на защиту.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть использованы при расчете на устойчивость элементов машин и механизмов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийской научной конференции с международным участием „Математическое моделирование и краевые задачи" (СамГТУ, г.Самара, 2008), на научной конференции-семинаре „Теория управления и математическое моделирование" (ИжГТУ, г.Ижсвск, 2008), на I Всероссийской молодежной научной конференции „Молодежь и наука на Севере" (КНЦ УрО РАН, г.Сыктывкар, 2008), а также на ежегодных научных конференциях „Февральские чтения" (СыктГУ, г.Сыктывкар) в 2005-2008 г.г.

Полностью работа докладывалась на кафедре математического моделирования и кибернетики Сыктывкарского университета (24 октября 2008 г.) и на научном семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета (13 но-

ября 2008 г).

Публикации. По темп диссертации опубликованы работы [1-9]. Статьи [1, 2] опубликованы в изданиях, рекомендопапных ВАК. В работе [1] научным руководителем Е.И.Михайловским дана общая постановка задачи. Соискателю принадлежит алгоритм локального перебора вариантов и его численная реализация. Работы [8, 9| выполнены совместно с учениками соискателя.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 87 наименований. Включает б рисунков. Общий объем работы - 89 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и цели работы, перечислены выносимые на защиту научные результаты диссертации и дан обзор литературы по теме диссертации.

В первом разделе приведет.! известные сведения, на которые в дальнейшем делаются ссылки при изложении основного материала.

В подразделе 1.1 изложены основные сведения из нелинейной теории жесткогибких оболочек, учитывающей трансверсальпыс деформации, в том числе одноименные сдвиги как по модели С.П.Тимошенко, так и по модели Д.И.Журавского. Сформулирован основанный на этой теории 9Л-алгоритм2 учета трансверсальньгх деформаций в различных кирхго-фовских вариантах теории оболочек. ЭДТ-алгоритм иллюстрирован уточнением нелинспой теории пологих оболочек Маргера. Приводится полудеформационный вариант граничных величин, с использованием которого уточненная система уравнений Маргера является замкнутой. В дальнейшем используются следующие3 основные уравнения названной системы для цилиндрической оболочки:

д2 Щ, кк1

¿аА2т + Я—(Ф - -^ДФ) = / + (/- Ф)

2Михайловский Е.И. Математические модели механики упругих тел. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского уи-та, 2007. 516 с.

3Михайловский Е.И. Нелинейная теория жесткогибких оболочек типа Журавского // Вести. Сыктывкарского ун-та. Сер.1. Мат.Мсх.Инф. Вып. 7. 2007. С. 77-100.

Й-

-EhR-^ + A4 = -±EhA(w,w), (1)

где

{О - теория Маргсра 1 - теория Маргсра-Тимошснко 15/g теория Маргера-Журапского;

khl д2() д2()

ЛК - + (1)

В подразделе 1.2 приводятся иллюстрации постановки задач на устойчивость в условиях конструктивной нелинейности, обусловленной наличием односторонних связей в виде разномодульных пинклеровских сред.

Пусть шарнирпо опертая цилиндрическая оболочка длиной I нагружена продольной силой Р и находится па границе раздела двух упругих сред с жесткостями q и сг, реагирующих на прогибы оболочки как простые винклеровские основания. В случае осесиммстричного выпучивания рассматриваемой оболочки приходим к проблеме определения (собственных) таких значений нагрузки Р, при которых краевая задача (см. уравнение (1) при к = 0)

wIV + 4b4w - = ~Pw"

d0 d0

w(0) = w{£o) = 0, w"(0) = w'%) = 0 (2)

(4b4 = 12(1 - v2)R2/li2)

имеет нетривиальное решение.

В уравнении (2)i штрихом обозначена производная по £ = х\/R\ qa = = — с\ — CoW-, w+ = max {0, w} , iu_ = min {0, w} -• срезки функции w(£) (прогиба); = l/R, d0 цилиндрическая жесткость оболочки, R -радиус, h - толщина стенки, v - коэффициент Пуассона.

Особенностью задачи (2) является то, что она обладает существенной (неустранимой) нелинейностью, обусловленной срезками функции

Если Су = С2 = с, то Cyw+ + c2w_ = c(w+ + wJ) = cw и (2) переходит в известное уравнение осесиммстричного выпучивания цилиндрической оболочки в однородной винклеровской среде.

Полная потенциальная энергия рассматриваемой системы имеет вид

n(w) = l-J^F(w,w\w")d^ (3)

где

^ da „•> Eh Р ,, («г, w >0 Го, w > 0

Г = TTj-WJ + "TTTiü" - + СМ + Q2S

Я4 Я2 Я2 '[о, ш<0 [tu2, tu< О

Приняв по внимание, что

dF 2Eh (2w, w > 0 [о, tu > 0

= TPTW + ci \ + C2 < =

dw R2 1^0, w < 0 w < 0

= -, W + 2ciW+ + 2C2ll)_

R~

и разделив, полученное выражение нас/0/Я4 приходим к уравнению (2), которое является уравнением Эйлера-Пуассона для интеграла (3).

Таким образом, спектральную краевую задачу (2) можно переформулировать так: найти такие значения параметра Р, при которых вариационная проблема

П(-ш) —> min, (4)

W

Ц0) = ги(Со) = о, ш"(0) = w"{Q = 0.

имеет нетривиальное решение.

С помошью конечио-разностых отношений приходим в (3) к конечномерному случаю, определяем соответствующие операторы в конечномерном пространстве и получаем выражение для полной энергии

П(и>) = V2W°Aw + l/2w°Cü - У2Лw°Qib, (5)

Испол1>зуя необходимое условие минимума функционала (5)

V,7,n = Aib + Cw - XQw = 0.

приходим к задаче, которая сводится к отысканию чисел Л, при которых система уравнений

Aw + Ciw+ + C2w- = XQw (G)

имеет нетривиальное решение. В данном случае Л, <3 симметричные, строго положительно определенные матриц!.!; Сь С-2 диагональные матрицы с неотрицательными элементами с^, сп,и ¿61 : т — 1;

■ш + = [и)1+,и)2+, ■ ■ ■ ,шт+]0, го,+ = тах{0,

\Ь- = [гУ1_,Ш2_, • ■ •, гот_]°, = тт{0, го,-},

где ф знак транспонирования.

В подразделе 1.3 рассматривается локальный метод поиска собственных чисел положительно однородного оператора. Названный метод сводится к решению последовательности задач минимизации выпуклого функционала при линейных ограничениях и даст какое либо, не обязательно минимальное собственное число. К минимальному собственному числу алгоритм будет сходится при наличии достаточно хорошего начального приближения.

В подразделе 1.4 изложена сущность комбинированного алгоритма перебора вариантов, составляющего основу данной работы.

Для построения части собственного спектра уравнения (0) можно применить алгоритм полного перебора вариантов (ППВ) возможных форм изгиба в соответствии с принятой сеткой, который (алгоритм) заключается в следующем:

перебираются все 2т~1 возможных представлений вектора формы

10

где

Ъп-и

Ь = < " > 0 ; (7)

- для каждого варианта вектора формы решается задача па собственные значения детерминированного (все компоненты вектора формы извести!,1) уравнения (6);

— запоминается собственная пара (число и форма), для которой форма изгиба или — ги^ согласуется с выбранным вектором формы.

Применяем алгоритм ППВ увеличивая число узлов сетки, до тех пор, пока качественная конфигурация собственной формы искомого собственного числа не стабилизируется. Собственную форму, имеющую устойчивый с ростом т вид графика, будем называть качественно адекватной.

Поело определения качественно адекватной собственной формы, применяем алгоритм локального перебора вариантов (ЛПВ) [1|, взяв за начальное приближение, полученную качественно адекватную собственную форму.

1) Последовательно удваиваем число узлов сетки путем деления интервалов пополам и выполняем перебор вариантов лишь вблизи корней последнего приближения к искомой собственной форме; если же график приближенной собственной формг.т не пересекает ось то выполняем дробление сетки без перебора вариантов.

При этом могут быть использованы две схемы ЛПВ.

Первая схема ЛПВ основана на предположении, что при удвоении числа узлов сетки точка пересечения графиком приближенной собственной формы оси £ не выйдет за пределы интервала, в котором она располагалась до удвоения числа узлов сетки. По этой схеме для каждого корня собственной формы реализуются два варианта вычислений:

l)b2iH = 1, 2)6и+1 =0.

Остальные компоненты вектора формы не варьируются, т.е.

bj = 1, bJ + i = 1 => boj = 1, hj+l = 1, 2 = 1, /q\

bk = 0, bk+l = 0 =» b2k = 0, b2k+l = 0, b2k+2 = 0. 1 j

Вторая схема ЛПВ основана на предположении, что при удвоении числа узлов сетки точка пересечения графиком собственной формы оси £ может выйти за пределы интервала, в котором она располагалась до удвоения числа узлов сетки. Вторая схема сводится к перебору четырех вариантов для каждого корня предыдущего приближения к соответствующей собственной форме. Если b¡ = l,bl+i = 0, где >i) интервал, содержащий точку пересечения графиком качественно аддекватной собственной формы оси то реализуются следующие варианты вычислений:

1)b2i = 0, Ьц+1=0, b2i+2 = 0;

2) b2, = 1, 62¿+1 = 0, b2i+2 = 0;

3) b2¡ = 1, b2i+y = 1, b2i+2 = 0;

4) b2, = 1, 6-2Í+1 = 1, ¿2i+2 = 1,

иначе 0 ^ 1. Остальные компоненты вектора формы не варьируются (см. (8)).

2) Процесс продолжается до тех пор, пока соответствующее собственное значение не стабилизируется с требуемой (и достижимой) точностью.

Второй раздел посвящен рассмотрению задач на устойчивость одномерных элементов конструкций па границе разномодульных винкле-ровских сред. Учитывая, что задачи на продольную устойчивость стержня, цилиндрически изгибаемой пластины и осесимметричпо изгибаемой цилиндрической оболочки таковы, что зная решение одной можно получить решения остальных, в данном разделе ограничились рассмотрением шарпирно опертой цилиндрической оболочки.

В подразделе 2.1 рассмотрена круговая цилиндрическая оболочка постоянной толщины, которая находится на границе раздела двух винкле-ровских сред. Выполнив замену переменных по формулам

- тгД х Р12 , /4 4ЬЧ4 . , о

вместо функционала (4) будем рассматривать следующий: П1Н " ¿ПН = ^ _ ^ + ^^ +

Для случая шарнирного огтираиия результаты расчетов первого собственного числа и отвечающей ему собственной формы с применением локального метода при т = 34 и алгоритма „ППВ(т = 8)+ЛПВ(т = 16,32)" (при приведенных параметрах - задачи идентичпы)прсдставлены в табл.1. При этом безразмерный параметр к\ фиксировался {к\ = 16), а — /сг увеличивался от кч = 18 до к2 = 810. Из табл.1 видно, что полуволна ю < 0 с ростом ко как бы вытесняется в сторону среды меньшей жесткости. Учитывая, что оба реализованные метода оценивают собственные числа сверху, из табл.1 усматривается также, что комбинированный алгоритм даст более точную оценку для первого собственного числа, так как А[(/с2) < Р/{к2) (для первого собственного числа, вычисленного локальным методом, сохранено обозначение - Р/, принятое в книге4).

Тарасов Б. Н.. Холмогоров Д. В. Некоторые задачи и .методы нонстрз'ктивно-келинейной механики упругих систем/Под ред. проф. Е.И. Михайловского. Сыктывкар: Ихд-по Сыктывкарского ун-та, 2001. 189 с.

кг Локальный метод (т = 34) Алгоритм "ППВ+ЛПВ"(т - 32)

Р, А1 Собственная форма

18 8.338 8.309

^«•=-(1.1 '

90 9.842 9.797

150 9.956 9.909

270 10.033 9.985

450 10.075 10.025

810 10.105 10.055

10-■

А ^9.023(9.000) ^7.768 (7.730) ^6.514 (6.500) у 5.261 (5.250) ----------- ---1

/

/

/

/

-1-,-,-,-

*,=з о ¿3 = 20 к) =15 к] =10

= 4 ^ = 3

Ь=0

10

20

Рис.1.

На рис.1 представлены графики функции А^/с!), вычисленной с использованием алгоритма "ППВ+ЛПВ" на сетке т = 64 при фиксированных значениях (0 < кг < 30). Тот факт, что названные графики

плавно переходят в точки, достаточно хорошо согласующиеся с формулой для аналитического решения в случае однородной упругой среды при кх = /с2 = 5,10,15,20, косвенно подтверждает правильность выполненных расчетов (на рис.1 в скобках указаны точные значения Л^к)).

В подразделе 2.2 приведены расчеты для круговой цилиндрической оболочки переменной толщины (/г(0 = Ь0я(0) иа границе, раздела двух вшгклеровских сред выполним замену переменных в функционале (3) по формулам

I

будем иметь: :П(ш)

* _ , Е1г°<с\ / _

1,2,

1 Г

2 У«

- Аш" + + Ш(у>-У

где

8(0= 2 вт

После перехода к конечномерной апроксимации приходим к задаче (6). Применим комбинированный алгоритм „ППВ-гЛПВ" при е = 0.2, I = 7г, I/Я = 5 и фиксируя значение к-2 — 20. Значение параметра ку изменяем от 10 до 20. Результаты расчетов представлены в таблице 2.

Таблица 2.

т А1

кЛ = 10 к2 = 20 кЛ = 15 к2 = 20 кЛ = 17 к2 = 20 Да = 19 к2 = 20 А;, = к2 = 20

8 8.723 9.921 10.319 10.673 10.833

16 7.638 8.652 9.002 9.319 9.459

32 7.391 8.358 8.697 9.011 9.152

64 7.330 8.286 8.621 8.933 9.077

128 7.314 8.269 8.606 8.917 9.062

256 7.311 8.264 8.602 8.911 9.060

Разрешающее уравнение задачи об устойчивости круглой жестко защемленной пластины под действием равномерной радиальной нагрузки на границе двух винклеровских сред, рассматриваемой в подразделе 2.3,

имеет вид

IV ^ /// ^ // 1 / I 1

И) + —IV — + -^ги + К11и+ + К2Ю- =

= _А(и," + ^'), £е[0,тг],

£

где £ = Л = А* = ^,¿ = 1,2.

Значения первых трех собственных чисел при жесткой заделке иА^ = 0. = 0 приведены в таблице 3.

Таблица 3.

т а: а2 а.1 Алгоритм

10 1.762 6.135 14.498 ППВ

20 1.640 5.386 11.579 ЛПВ

40 1.594 5.162 10.886 ЛПВ

80 1.573 5.076 10.656 ЛПВ

100 1.571 5.034 10.523 ЛПВ

Собственная форма первого собственного числа не имеет точек пересечения с осг>ю поэтому расчет для А1 производился последовательным удвоением числа узлов сетки.

При к1 = к-2 = 0 задача (жесткая заделка) была репгена Дж. Брайаном и получены формулы для критических сил

(И 14.684 (2) 49Л54 о) 103.174

бр Д2 ' бр д2 ' бр д2

Так как Р® = имеем

А1 = 14.68/тг2, А2 = 49.15/тг2, А3 = 103.17/тг2. (9)

Полученные значения при т = 160 (табл.3) согласуются с аналитическими (9).

В третьем разделе излагается полученное соискателем решение задачи на устойчивость продольно сжатой цилиндрической оболочки на границе разномодульных винклеровских сред, при учете в ней (оболочке) поперечных сдвигов по моделям Тимошенко и Журавского.

Основное уравнение теории Маргера-Тимопгенко (к = 1) и теории Маргера-Журавского (к = 15/8) для осесимметричпой деформации с учетом того, что Тц = —Р = const принимает вид

wIV - 2(1 + v)kw" + 4b4w = R\ Щ PR? „ Щ,

(Штрихом помечены производные по £ £ [О,//Я]). Вариант граничных условий шарнирно опертого края можно записывать в том же виде, что и в классической теории оболочек:

и>(0) = w{тг) = 0, w"{0) = ш"(тг) = 0. (11)

Уравнению (10) можно придать вид:

-,itwlv = LoW, (12)

где

ft. = = IV" - w = q- Xw\

kl-a0 ттг

-Д ß/l 2 12 \ ■Ртг2

9 = ?»-^,* = (12)

На основании соотнотений (11) и (12') функция VF(£) удовлетворяет условиям W(0) = IV(7г) = 0.

С тем, чтобы уйти от дифференцирования нагрузки q„, обратим оператор ¿о- Для этого ггайдем функцию Грина из краевой задачи

d2G аз2 d^ тг2< (7(0) = G(tt) = 0.

В окончательном виде преобразованное уравнение (12) можно представить так (см. форм. (12')):

L0G = --—G = - а);

ae'V* ,sli #

К

(——— / sh — (7г — a)w(a)da—

7Г Sil Ж /п 7Г

Г ж

— / sh — (£ — a)w[a)da + /j,*w") + kiw+ + k2iv~ = —Aw", (14) Jo *

где к, = (с, +

Для нахождения наименьшего собственного числа уравнения (14) используем алгоритм при I = 7Г, к = 0.05, к = 1 (в скобках значение А1 при к = 15/8). Соответствующие расчеты приведем в табл. 4.

Таблица 4.

1П А1

Ь =3 к2 = 4 ^ = 3.5 ь кг = 4 ¿4 = 3.95 ¿•2 = 4 = к2 = А

8 9.045 (9.032) 9.547 (9.533) 9.954 (9.936) 10.009 (9.998)

16 7.930 (7.918) 8.345 (8.331) 8.822 (8.808) 8.898 (8.880)

32 6.732 (6.721) 7.240 (7.228) 7.732 (7.719) 7.80-3 (7.792)

64 5.956 (5.943) 6.461 (6.450) 6.959 (6.944) 6.145 (6.134)

128 5.471 (5.460) 5.986 (5.977) 6.533 (6.515) 6.589 (6.578)

256 5.454 (5.443) 5.944 (5.923) 6.486 (6.475) 0.544 (6.533)

Как видно из табл.4 при изменении коэффициента к\ от 3 до 4 (ко = 4) значение критической силы плавно изменяется, стремясь к значению при к\ = ¿2 = 4. Это обстоятельство является косвенным подтверждением сходимости комбинированного алгоритма „ППВ+ЛПВ".

В заключении формулируются основные результаты работы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1| Михайловский Е. И., Тулувенская Е. В. Алгоритм локального перебора вариантов в задаче об устойчивости круглой пластины па границе випклеровских сред // Механика и процессы управления: Тр. XXXVII Уральского семинара, посвященного 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С.П. Королева и 00-летию Государственного ракетного центра „КБ им. академика В.П. Макеева". Екатеринбург: УрО РАН, 2007. С. 109-110.

[2] Тулубенская Е.В. Об устойчивости одномерных элементов конструкций на границе випклеровских сред /,/ Вестник Удмуртского университета. Матсматика.Мсханика.Компьютерные науки. Вып.2, 2008. С. 183-184.

[3] Тулубенская Е.В. Устойчивость продольно сжатой цилиндрической оболочки на границе випклеровских сред // Труды пятой Вссрос-

спйской научной конференции с международным участием „Математическое моделирование и краевые задачи". 4.1. Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара: СамГТУ, 2008. С. 330-332.

[4| Тулубенская Е.В. Метод перебора вариантов в задаче об устойчивости пластины Тимошенко на границе упругих сред. Материалы V юбилейной международной молодежной научной конференции "Се-вергеоэкотех - 2004". Ухта: 2004.

[5| Тулубенская Е.В. Алгоритм перебора вариантов в задаче об устойчивости круглой пластины на границе двух випклсровских сред. Материалы VI международной молодежной научной конференции "Севергсоэкотех - 2005". Ухта: УГТУ, 2006. С.189-191.

[6| Тулубенская Е.В. Учет трансверсальпьгх сдвигов в задаче об устойчивости пластины при односторонних ограничениях. Тез. докл. XV Коми республиканской молодежной конференции. Том I. Сыктывкар: Изд-во Коми научного центра УрО РАН, 2004. С. 17-19.

[7| Тулубенская Е.В. Проблема устойчивости круглой пластины на границе упругих сред. ,// Труды I Всероссийской молодежной научной конференции "Молодежь и наука па Севере". Сыктывкар, 2008. Том 1. С. 10-17.

[8) Тулубенская Е.В., Кархин Р.В. Устойчивость стержня переменной жесткости при односторонних ограничениях па перемещения. ,// Вестник Сыктывкарского ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. Инф. Вып.8. 2008. С.141-148.

[9| Тулубенская Е.В., Логинов Д.В. Устойчивость круглой пластины на границе двух випклсровских сред // В сб.: Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела/Тр. научи, школы акад. В.В. Новожилова. СПб: СПбГУ, 2004. Вып. 8.

Подписано к печати 19.12.08. Формат 60 х 84 'Лб. Бумага офсетная. Гарнитура Octava. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4362.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

Введение.

1. Модели и методы решения спектральных задач конструктивно-нелинейной механики.

1.1. Нелинейная теория жесткогибких оболочек, учитывающая трансверсальные деформации

1.1.1. Ш1-алгоритм учета трансверсальных деформаций в уравнениях кирхгофовской теории.

1.1.2. Теория пологих оболочек типа Маргера-Тимошенко-Нагди (М-Т-1Ч).

1.1.3. Полудеформационный вариант граничных величин для теории типа М-Т-И.

1.1.4. Теория цилиндрических оболочек типа М-Т-И.

1.1.5. Теория типа К-Т-М в полярных координатах для круглой пластины.

1.2. Спектральные задачи конструктивно-нелинейной механики.

1.3. Локальный метод поиска собственного числа положтельно однородного оператора.

1.4. Комбинированный алгоритм „ППВ+ЛПВ".

2. Устойчивость одномерных элементов конструкций на границе раздела разномодульных винклеровских сред.

2.1. Цилиндрическая оболочка постоянной толщины

2.2. Цилиндрическая оболочка переменной толщины

2.3. Круглая осесимметричная пластина.

3. Учет поперечных сдвигов в задаче об устойчивости цилиндрической оболочки

3.1. Подготовка полевых и граничных уравнений

3.2. Постановка спектральной задачи

3.2.1. Случай разномодульных винклеровских сред.

3.3.2. Решение задачи в случае однородной винклеровской среды.

Задача устойчивости является одной из важнейших задач механики деформируемых твердых тел. Теоретические предпосылки к рассмотрению вопросов устойчивости заложены еще в работах Л.Эйлера, Ж. Лагранжа, A.M. Ляпунова. Лагранж [23] говорил об устойчивом равновесии в том смысле, „. что если система находилась в состоянии равновесия, а затем была немного из него выведена, то она сама собою стремится вернуться к этому состоянию, совершая около него бесконечно малые колебания".

Устойчивое состояние упругой системы характеризуется тем, что малые возмущения приводят к незначительным изменениям их основных характеристик (перемещений, деформаций, напряжений и т.д). Однако возможны такие нагрузки, что даже незначительные возмущения приводят к большим изменениям основных характеристик упругой системы и в этом случае, как правило, система теряет свою несущую способность. Одной из первых задач такого рода была задача Эйлера об устойчивости стержня, сжатого продольными силами. Развитие проблемы устойчивости нашло отражение в работах Е.Л. Николаи [42], С.П. Тимошенко [55-57], В.В. Болотина [2], Г. Циглсра [74, 75], В.И. Феодосьева [69], Я.Г. Пановко и И.И Губановой [46].

Особое внимание уделялось исследованию вопросов устойчивости тонких оболочек [5-7, 12, 43, 55, 58, 59, 71, 87], т.к. они обладают замечательным свойством выдерживать значительные нагрузки при малой толщине. Это свойство тонких оболочек позволяет создавать из них легкие конструкции с хорошими жесткостными и прочностными характеристиками, что способствует широкому применению оболочек в судостроении, самолетостроении, строительстве крупных сооружений.

Исследованию задач на устойчивость, когда оболочка, пластина или балка связаны с упругой средой, посвящены работы [17, 55, 56].

В последнее время все большее внимание уделяется т.н. конструктивно-нелинейным задачам механики упругих систем. Особенность этих задач в том, что, в отличие от задач классической нелинейной теории упругости, они обладают нелинейностью как существенным (неустранимым) свойством. Природа такой нелинейности кроется в наличии односторонних связей в конструкции или материале, что формально описывается с использованием положительных и отрицательных срезок функций. Другая особенность конструктивно-нелинейных задач связана с тем, что к ним непосредственно, как правило, неприменимы методы традиционной нелинейной механики упругих тел.

Широким классом конструктивно-нелинейных задач являются задачи на устойчивость упругих элементов конструкций на границе раз-номодульных (т.е. области с различными жесткостями) винклеровских сред. Многие из таких задач сводятся к исследованию операторного уравнения вида

Ли ее Au + Ciu+ + С2и = А Qu, (0.1) где A, Q - операторы, действующие в некотором гильбертовом пространстве; С\, С2 - операторы умножения; и+ = max {0,ii}, и = min {0, и} - срезки функции и.

Оператор А является положительно однородным, т.е. таким, что А (аи) = аАи, если а > 0. Следовательно, задачи на устойчивость элементов конструкций при односторонних связях в виде винклеров-ских сред сводятся к проблеме собственных значений положительно однородного оператора. Для решения задач вида (0.1) был предложен т.н. локальный метод поиска собственных чисел положительно однородного оператора [33](ниже - локальный метод). Доказательство сходимости метода и примеры его применения приведены в работах [33, 52, 72]. Метод назван "локальным", потому что он позволяет находить какой-нибудь (локальный) минимум функционала, соответствующего уравнению (0.1). Сходимость метода доказана при весьма жестких требованиях к операторам А и С] [52]. Поиск глобального минимума может быть сведен к задаче сепарабельного программирования, для решения которой применима расчетная схема локального метода в сочетании с методом ветвей и границ [51].

Алгоритм полного перебора вариантов (ППВ) для решения одномерной спектральной задачи вида (0.1) впервые использовался в работе [52]. Он заключается в конечномерной аппроксимации уравнения (0.1) и в нахождении путем перебора вариантов непротиворечивой собственной формы, которой отвечает минимальное собственное число. В общем случае этот алгоритм позволяет находить не только первое собственное число, но и часть (в зависимости от размерности сетки) дискретного собственного спектра. Однако практическая реализация алгоритма ППВ наталкивается на т.н. "проклятие размерности": при применении этого алгоритма на сетке размерностью т приходится, установив правило перебора вариантов, решать 2т~1 линейных спектральных задач.

В данной работе предлагается комбинированный алгоритм перебора вариантов. Сначала на редкой сетке (т.е. такой, чтобы 2т~1 было не слишком большим числом) реализуется алгоритм ППВ и выбирается качественно адекватная собственная форма, т.е. имеющая устойчивый с ростом т вид графика (например, собственная форма с двумя полуволнами). Затем применяется алгоритм локального перебора вариантов (ЛПВ), который заключается в том, что число узлов сетки последовательно удваивается делением пополам, а перебор вариантов производится лишь вблизи корней собственной формы.

Целью работы является создание эффективного алгоритма решения задач на устойчивость оболочек и пластин в условиях конструктивной нелинейности.

В разделе 1 приведены известные сведения, на которые в дальнейшем делаются ссылки при изложении основного материала.

В подразделе 1.1 изложены основные сведения из нелинейной теории жесткогибких оболочек, учитывающей трансверсальные деформации, в том числе одноименные сдвиги как по модели С.П.Тимошенко, так п по модели Д.И.Журавского. Сформулирован основанный на этой теории Ш1-алгоритм учета трансверсальных деформаций в различных кирхгофовских вариантах теории оболочек. Ш1-алгоритм иллюстрирован уточнениемнелиненой теории пологие оболонек Маргера. Приво^ дится полудеформационный вариант граничных величин, при использовании которого система уравнений Маргера-Тимошенко-Нагди является замкнутой. Приведены все необходимые соотношения для случая цилиндрической оболочки, которые найдут применение при изложении раздела 3.

В подразделе 1.2 приводятся иллюстрации постановки задач на устойчивость в условиях конструктивной нелинейности, обусловленной наличием односторонних связей в виде разномодульных винклеров-ских сред.

В подразделе 1.3 рассматривается локальный метод поиска собственных чисел положительно однородного оператора. Названный метод сводится к решению последовательности задач минимизации выпуклого функционала при линейных ограничениях и дает какое-либо, не обязательно минимальное собственное число. К минимальному собственному числу алгоритм будет сходится при наличии достаточно хорошего начального приближения.

В подразделе 1.4 изложена сущность комбинированного алгоритма перебора вариантов, составляющего основу данной работы.

В разделе 2 рассматриваются задачи на устойчивость одномерных элементов конструкций на границе разномодульных винклеровских сред. Приводится постановка задачи в конечномерном пространстве, аналитическое решение в случае однородной упругой среды, численное решение поставленной задачи и анализ полученных результатов.

В разделе 3 излагается полученное соискателем решение задачи на устойчивость продольно сжатой цилиндрической оболочки на границе разномодульных винклеровских сред, при учете в ней (оболочке) поперечных сдвигов по моделям Тимошенко и Журавского.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Комбинированный алгоритм „ППВ+ЛПВ" решения спектральных задач конструктивно-нелинейной механики.

2. Решения с использованием алгоритма „ППВ+ЛПВ" задач на устойчивость продольно сжимаемой цилиндрической оболочки на границе разномодульных винклеровских сред, в том числе оболочки постоянной толщины по теории Кирхгофа; оболочки переменной толщины по теории Кирхгофа; оболочки постоянной толщины по теории Маргера-Тимошенко и теории Маргера-Журавского.

3. Решение задачи на устойчивость осесимметрично деформируемой круглой пластины на границе разномодульных винклеровских сред под действием равномерно распределенной по граничному контуру сжимающей радиальной нагрузки.

Материалы диссертации опубликованы в работах [38, 60-67], докладывались и обсуждались на:

Всероссийской научной конференции с международным участием „Математическое моделирование и краевые задачи" (СамГТУ, г.Самара, 2008); научной конференции-семинаре „Теория управления и математическое моделирование" (ИжГТУ, г. Ижевск, 2008);

I Всероссийской молодежной научной конференции „Молодежь и наука на Севере" (КНЦ УрО РАН, г.Сыктывкар, 2008); . международных научных конференциях "СЕВЕРГЕОЭКОТЕХ -2004", "СЕВЕРГЕОЭКОТЕХ - 2005" (УГТУ, г.Ухта) в 2004, 2005 г.г.; ежегодных научных коференциях „Февральские чтения" (Сыкт-ГУ, г.Сыктывкар) в 2005-2008 г.г.

По теме диссертации выполнен проект „Исследование влияния учета трансверсальных деформаций на устойчивость пластин в условиях односторонних связей" при поддержке гранта Правительства С.Петербурга М04-2.2К-549.

Полностью работа докладывалась на кафедре математического моделирования и кибернетики Сыктывкарского университета (24 октября 2008 г.) и на семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета (13 ноября 2008 г).

В работе [38] научным руководителем Е.И.Михайловским дана общая постановка задачи. Соискателю принадлежит алгоритм локального перебора вариантов и его численная реализация. Работы [66, 67] выполнены совместно с учениками соискателя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Алгоритм ППВ теоретически имеет ряд преимуществ перед локальным методом, так как:

- сходимость последнего доказана при весьма жестких требованиях к операторам А, С} (А - положительно определенный оператор, О, - положительный и компактный оператор, действующие из пространства ТУз к\о.) в пространство 1/2(0));

- при одной и той же размерности сетки он является более точным, потому что его погрешность связана лишь с конечно-разностной аппроксимацией, а локальный метод кроме этого обладает погрешностью, обусловленной приближенной достижимостью точки минимума;

- он позволяет определенно находить первую собственную пару (число и форму), в то время как локальный метод требует дополнительного применения сложно программируемого метода ветвей и границ.

В связи с этим была предложена такая модификация алгоритма ППВ, которая позволила бы избежать "проклятия размерности", делающего алгоритм ППВ в исходном виде несостоятельным. В работе на примере конкретных задач показано, что комбинированный алгоритм "ППВ+ЛПВ", обладая всеми (теоретическими) преимуществами алгоритма ППВ, удовлетворяет искомым требованиям, во всяком случае для решения одномерных спектральных задач.

Таким образом, в диссертации были получены следующие основные результаты:

1. Разработан комбинированный алгоритм „ППВ+ЛПВ" решения спектральных задач конструктивно-нелинейной механики.

2. С использованием комбинированного алгоритма „ППВ+ЛПВ" решена задача на устойчивость продольно сжимаемой цилиндрической оболочки на границе разномодульных винклеровских сред, в том числе оболочки постоянной толщины по теории Кирхгофа; оболочки переменной толщины по теории Кирхгофа; оболочки постоянной толщины по теории Маргера-Тимошенко и теории Маргера-Журавского.

3. Решена задача на устойчивость осесимметрично деформируемой круглой пластины на границе разномодульных винклеровских сред под действием равномерно распределенной по граничному контуру сжимающей радиальной нагрузки.