Устойчивость периодических движений и нелинейные колебания спутника на круговой орбите тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ЧЕКИН Александр Михайлович

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ И НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СПУТНИКА НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ

Специальность: 01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

003473261

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Московского авиационного института (государственного технического университета).

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, доцент Бардин Борис Сабирович, МАИ Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Институт компьютерных исследований УдГУ

Защита диссертации состоится «26» июня 2009 г. в 10 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д212.125.14 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу:

125993, Москва, Волоколамское ш., д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета).

Автореферат разослан « 2.1» мая _2009 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета

Доктор физико-математических наук, профессор Мухаметзянов Ильдар Абдуллович, РУДН Кандидат физико- математических наук, доцент Кулешов Александр Сергеевич, МГУ

к.ф. - м.н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена качественному исследованию движения спутника - твердого тела относительно центра масс на круговой орбите. Разработана методика исследования поведения траекторий автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия при резонансе четвертого порядка, на основании которой проведен строгий анализ движения динамически-симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии в случае резонанса четвертого порядка. Выполнено полное и строгое исследование орбитальной устойчивости плоских периодических колебаний и вращений спутника, обладающего геометрией масс пластинки.

Актуальность темы.

К настоящему времени для анализа движения спутников относительно центра масс разработано множество аналитических и численных методов. Несмотря на это, данная проблема остается актуальной и привлекает интерес исследователей. Это объясняется усложнением задач, решаемых в процессе функционирования космического аппарата, повышением требований к его надежности и экономичности.

В зависимости от своего назначения, спутники могут различаться размерами, геометрией масс, свойствами материалов, из которых они изготовлены. Это обуславливает ограничения и допущения, которые принимаются при выборе подходящей математической модели. Если спутник моделируется твердым телом, то его движение относительно центра масс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 6-го порядка. В случае круговой орбиты центра масс эта система является автономной. Однако, даже в этом случае не представляется возможным получить ее общее решение. По этой причине немалый интерес вызывает вопрос о существовании и свойствах отдельных частных решений, описывающих характерные режимы движения. К таким частным решениям относятся периодические движения спутника. Важность качественного исследования таких движений объясняется еще и тем, что для большинства искусственных спутников приходится решать сложную проблему обеспечения их ориентации и стабилизации на орбите. Использование периодических режимов движения,

устойчивость которых обеспечивается гравитационными моментами, может оказаться наиболее оптимальным, поскольку не требует дополнительных затрат топлива. К указанным режимам движения относятся плоские движения спутника, при которых одна из его главных центральных осей инерции направлена по нормали к плоскости орбиты во все время движения.

Полное исследование орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника представляет собой достаточно громоздкую задачу, поэтому часто ограничиваются анализом некоторых частных случаев. При различных ограничениях на геометрию масс спутника и начальные условия невозмущенного движения исследование устойчивости плоских периодических движений спутника выполнялось Кейном Т., Меировичем JL, Маркеевым А.П., Сокольским А.Г., Бардиным Б.С., Холостовой О.В. Детальный анализ отдельных частных случаев позволяет обнаружить интересные динамические явления и лучше понять общие закономерности движения космического аппарата.

Если спутник обладает динамической симметрией, то одним из типов плоского движения является стационарное вращение спутника (цилиндрическая прецессия), при котором его ось динамической симметрии перпендикулярна плоскости орбиты центра масс. Устойчивость этого стационарного режима исчерпывающе исследована в работах Черноусько, Ф.Л., Маркеева А.П., Сокольского А.Г. Для приложений, однако, зачастую бывает важно исследовать поведение траекторий в конечной окрестности невозмущенного движения и получить выводы о типах устойчивости и неустойчивости. Такое исследование требует разработки нового математического аппарата, в частности для получения строгих выводов о движении вблизи цилиндрической прецессии необходимо выполнить анализ нелинейных колебаний автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности ее положения равновесия.

Особую актуальность имеет изучение нелинейных колебаний в резонансных случаях. При наличии резонанса в системе структура фазового пространства в окрестности положения равновесия существенно отличается от нерезонансного случая, при этом каждый резонанс имеет свои особенности и требует проведения отдельного анализа и разработки новых аналитиче-

ских методов и подходов.

Цель работы.

Целью работы является разработка аналитических методов исследования нелинейных колебаний спутников в окрестности стационарных режимов при наличии резонанса, а также строгое решение задачи об орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника-пластины на круговой орбите.

Научная новизна.

Проведен полный и строгий нелинейный анализ поведения автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия. Исследование выполнено в предположении, что квадратичная часть функции Гамильтона является знакоопределенной, а частоты линейных колебаний находятся в отношении 3:1. На основании полученных результатов сделаны выводы о движений динамически симметричного спутника в окрестности его цилиндрической прецессии для значений параметров, отвечающих резонансу четвертого порядка.

Проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника-пластины относительно центра масс, движущегося по круговой орбите.

Положения и результаты, выносимые на защиту.

Сделаны строгие качественные выводы о нелинейных колебаниях автономной гамильтоновой системы в окрестности положения равновесия при резонансе четвертого порядка в случае, когда квадратичная часть функции Гамильтона положительно определена. В частности, подробно описана структура фазового пространства в окрестности положения равновесия. Показано, что для большинства начальных условий движение системы является условно-периодическим.

На основании общетеоретических результатов, полученных в диссертации, решена задача о поведении динамически-симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии при резонансе четвертого порядка.

Получено строгое решение задачи об орбитальной устойчивости плоских периодических колебаний и вращений спутника-пластинки, при которых плоскость пластинки перпендикулярна плоскости орбиты. Исследование проведено для всех значений параметров. Результаты представлены в

виде диаграмм устойчивости.

Теоретическая и практическая ценность.

Подробно изучена структура фазового пространства и получены строгие выводы о характере нелинейных колебаний автономной гамильтоновой системы в окрестности положения равновесия при резонансе четвертого порядка. Результаты данного исследования позволяют проводить строгий анализ и получать качественные выводы о движении динамических систем достаточно широкого класса вблизи их стационарных режимов при наличии резонанса.

Анализ орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника-пластины выполнен в нелинейной постановке. Выводы об орбитальной устойчивости являются строгими и получены для всех возможных значений инерционного параметра задачи и начальных условий, определяющих невозмущенное движение. Результаты данного исследования могут быть полезны на этапе проектирования и создания спутников при выборе геометрии масс, отвечающей устойчивым режимам движения.

Теоретические результаты, полученные в диссертации, могут быть также использованы при подготовке спецкурсов по теории нелинейных колебаний гамильтоновых систем.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы представлены на следующих всероссийских и международных конференциях:

• Международная научная конференция по механике "Четвертые Поля-ховские чтения" (Санкт-Петербург, 2006)

• ХЫ1 всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2006)

• XXXI Академические чтения по космонавтике, посвященные 100-летию академика С.П.Королёва (Москва, 2007).

• Доклад на семинаре кафедры теоретической механики МАИ (Москва, 2009)

Публикации.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [1-3].

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 71 наименования и приложений. Работа содержит 21 иллюстрацию. Общий объем диссертации составляет 133 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе рассматривается движение автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности ее положения равновесия. Предполагается, что квадратичная часть функции Гамильтона является знакоопределенной, а частоты линейных колебаний удовлетворяют отношению 3:1. В этом случае нормализованная до членов четвертой степени функция Гамильтона имеет вид

Я = ^1(912+Р12) + ^2(522+Р22)+

+ \ с20 (912 + рг2)2 + ^ сц (912 + й2) (д22 + Р22) + ^ с02 (д22 + р22)2-

- ^ [?22 (?1 ?2 + 3 Р2Р1) - Р2 (Р2Р1 + 3 91 й)] + Об ,

При сделанном предположении о знакоопределенности квадратичной части гамильтониана наличие в системе резонанса не может привести к неустойчивости положения равновесия д^ = р^ — = 1,2). Однако, в случае резонанса структура фазового пространства в окрестности положения равновесия существенно отличается от общего нерезонансного случая.

В работе проведен подробный анализ укороченной системы, отвечающей нормализованному гамильтониану, в котором отброшены члены выше четвертой степени. Для всех возможных значений параметров к = (си-6с02)/6, 7 = (с2о— Зсп+Эсог)/^, укороченной системы изучена структура ее фазового пространства. С этой целью выполнена редукция укороченной системы к системе с одной степенью свободы и проведен полный анализ фазовых портретов, описывающих поведение траекторий редуцированной системы. Подробно исследован вопрос о существовании и бифуркации семейств периодических решений, рождающихся из положения равновесия полной системы.

Показано, что укороченная система может быть проинтегрирована в эллиптических функциях Якоби, а ее решения описывают либо периодические движения, либо движения асимптотические к периодическим, либо условно-периодические движения.

Строгий качественный анализ движения в окрестности положения равновесия полной системы выполнен на основании KAM теории по следующей схеме. В областях условно-периодического движения фазового пространства укороченной системы введены переменные действие-угол. Для всех значений параметров проверены условия невырожденности и установлено, что для большинства начальных условий движения полной системы являются также условно-периодическими. Кроме того, показано, что при всех начальных условиях переменные действие остаются бесконечно долго вблизи своих начальных значений. Установлено, что неустойчивость периодических орбит, может иметь лишь локальный характер. Это означает, что траектории начинающиеся вблизи неустойчивой периодической орбиты остаются в некоторой ее ограниченной окрестности сколь угодно долго.

Во второй главе исследована задача о движении динамически-симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии. Уравнения движения спутника относительно центра масс можно записать в канонической форме с функцией Гамильтона

тт Рф Pr _ , _ cos 0 . , .costó

Н = о • 2 а + о ~ РФС^ cos ф - аррф^—^— - pe sin ф + а/3-—-+ 2 sin в 2 sin 0 sin0

a2ß2 3, 2n

2 sin a ¿

которая зависит от двух параметров: а - отношение главных центральных моментов инерции спутника, ß - отношение угловой скорости радиуса-вектора центра масс и проекции абсолютной угловой скорости спутника на ось его динамической симметрии. Уравнения движения с данной функцией Гамильтона допускают частное решение

7Г

Ф = л, в = рф = 0, рв = 0, (1)

которое описывает цилиндрическую прецессию спутника, представляющую собой стационарное вращение относительно оси динамической симметрии, расположенной перпендикулярно плоскости орбиты.

0,5

1

1,5

а 2

Рис. 1: Диаграмма устойчивости цилиндрической прецессии.

Анализ движения спутника в окрестности цилиндрической прецессии при резонансе четвертого порядка, проводился согласно методике, разработанной в главе 1. С этой целью для всех значений параметров а и /3, соответствующих кривой резонанса четвертого порядка, лежащей в области устойчивости цилиндрической прецессии (Рис. 1), выполнена нелинейная нормализация функции Гамильтона до членов четвертой степени. По коэффициентам нормальной формы на основании методики, разработанной в главе 1, найдены участки резонансной кривой (см. Рис. 1), на которых движение спутника в окрестности его цилиндрической прецессии имеет качественно различный характер. На каждом из указанных участков установлено число семейств периодических движений, рождающихся из стационарного вращения спутника, и сделаны выводы о типах нелинейных колебаний спутника в их окрестности. Результаты глав 1,2 опубликованы в работе [3].

В третьей главе формулируется постановка задачи и описывается методика исследования орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника-пластинки относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле.

Спутник моделируется твердым телом, обладающим геометрией масс пластинки, то есть его главные центральные моменты инерции удовлетворяют равенству С = А+В. Предполагается, что линейные размеры пластины малы по сравнению с размерами орбиты центра масс, поэтому можно считать, что ее движение относительно центра масс не влияет на движение самого центра масс. Принято, что орбита центра масс - круговая. Функция Гамильтона уравнений движения спутника-пластинки записывается в следующей явной форме

ч

- (эт21р + в А сое2 <р)сЬё2'д + - 1

вА" г л а ■ вА + 1

(эт21р + вА сое2 <р){рф - 2рфру соб г?)

сое2 (р + в л вт2 {р 2

2ТА

—^—

+ ,„А + (2)

(8а — 1) 8\п2<р . . . 3 г, , , „ 21

+ —Ча—^—соэ V - Рф)-РФ + г - 1)0-1! + 0Аа13 ¿ид вт V &

где - углы Эйлера, задающие положение спутника относительно

орбитальной системы координат, оси которой направлены вдоль радиуса-

вектора центра масс, вектора скорости и нормали к плоскости орбиты;

ртр,р$,р<р - безразмерные импульсы, соответствующие углам Эйлера.

Уравнения движения допускают частное решение,

0 = V = 0, рв = Рч> = 0, (3)

описывающее плоские движения спутника, при которых плоскость спутника-пластины перпендикулярна плоскости орбиты (см. Рис. 2).

Для исследования орбитальной устойчивости вместо пары канонических переменных "ф,Рф вводятся переменные которые на невозмущенном движении являются переменными действие-угол. Плоские периодические движения представляют собой маятниковые колебания или вращения и в новых переменных <£>, $,^,£>1?, I, "ш описываются следующими соотношениями

7Г

ц> = 0,1? = -,рф =ра = 0,1 = 10 = сопвг, «7 = ^(70)^ + ^0, (4)

где величина ш - частота колебаний или средняя угловая скорость вращения спутника. Задача об орбитальной устойчивости сводится к исследованию устойчивости по отношению к переменным ги, 1р,

В работе подробно излагается алгоритм исследования линейной системы и приводятся условия, определяющие в плоскости параметров области неустойчивости и устойчивости в линейном приближении. Далее описывается методика нелинейного исследования орбитальной устойчивости периодических движений. В частности приводится алгоритм нормализации гамильтониана, основанный на методе точечных отображений, разработанный в работах Маркеева А.П. Приведены известные условия формальной устойчивости, устойчивости для большинства начальных условий, а также критерий устойчивости в третьем приближении для резонансного случая.

В четвертой главе проводится исследование орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника-пластины. Параметрами задачи являются амплитуда колебаний < фо < ""/2) и инерционный параметр вд. Для всех возможных значений параметров задачи путем численного интегрирования получена матрица монодромии Х(27г). Затем на основании анализа корней характеристического уравнения были построены области неустойчивости и области устойчивости в линейном приближении.

Для получения более строгих выводов об устойчивости при значениях параметров из областей устойчивости в линейном приближении потребовался нелинейный анализ, который был выполнен как для резонансного, так и нерезонансного случаев. Отдельного исследования устойчивости при резоиансах третьего порядка не потребовалось, так как функция Гамильтона возмущенного движения не содержит членов третьей степени. Численно были получены кривые, отвечающие резонансам четвертого порядка.

Применяя методику, изложенную в главе 3, внутри областей устойчивости в первом приближении проведена нелинейная нормализация функции Гамильтона до членов четвертой степени включительно. Нахождение коэффициентов нормальной формы потребовало интегрирования системы дифференциальных уравнений 54—го порядка. По значениям коэффициентов нормальной формы сделаны выводы о формальной устойчивости и устойчивости для большинства начальных условий. На резонансных кривых сделаны выводы об устойчивости в третьем приближении.

На Рис.3 и Рис.4 представлены диаграммы устойчивости в плоскости параметров. В подобластях отмеченных двойной штриховкой плоские колебания орбитально устойчивы для большинства начальных условий, а в неза-штрихованных подобластях (за исключением резонансных кривых) имеет место формальная устойчивость. Результаты исследования, изложенные в четвертой главе, опубликованы в [2].

В пятой главе исследована орбитальная устойчивость плоских вращений. Анализ орбитальной устойчивости здесь также проводится согласно методике, изложенной в главе 3. При этом случай прямых вращений (когда направление вращения спутника относительно центра масс совпадает с направлением вращения центра масс по орбите) и случай обратных вращений (когда направления вращения спутника относительно центра масс и центра масс по орбите противоположны) потребовали отдельного исследования. В качестве параметров задачи здесь используются частота плоских вращений и и инерционный параметр ва- Как и в случае колебаний, сначала проводится линейный анализ. Для всех возможных значений параметров задачи путем численного интегрирования линейной системы получена матрица монодромии. На основании анализа корней характеристического уравнения получены области орбитальной неустойчивости и области, где плос-

Рис. 3: Диаграмма орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника-пластинки в нелинейном случае при малых значениях амплитуд.

Рис. 4: Диаграмма орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника-пластинки в нелинейном случае при больших значениях амплитуд.

кие вращения орбитально устойчивы в линейном приближении. Выписаны соотношения для отыскания кривых, отвечающих резонансам четвертого порядка. Затем, в областях устойчивости в линейном приближении проведен нелинейный анализ и получены выводы о формальной устойчивости и устойчивости для большинства начальных условий. На Рис.5, Рис.6, Рис.7 представлены диаграммы устойчивости в плоскости параметров задачи.

В подобластях отмеченных двойной штриховкой плоские колебания орбитально устойчивы для большинства начальных условий, а в незаштри-хованных подобластях (за исключением резонансных кривых) имеет место формальная устойчивость. Результаты исследования, полученные в рамках пятой главы, опубликованы в [1].

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Рис. 5: Диаграмма орбитальной устойчивости в нелинейном приближении для прямых вращений спутника-пластинки {ва > 1)

Рис. 7: Диаграмма орбитальной устойчивости в нелинейном приближении для обратных вращений слутника-пластинки

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Проведен полный нелинейный анализ поведения автономной гамиль-тоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия. Исследование выполнено в предположении, что квадратичная часть функции Гамильтона является знакоопределенной, а частоты линейных колебаний находятся в отношении 3:1, т.е. имеет место резонанс четвертого порядка. Подробно исследована структура фазового пространства в окрестности положения равновесия. Показано, что укороченная система может быть проинтегрирована в эллиптических функциях Якоби, а ее решения описывают либо периодические движения, либо движения асимптотические к периодическим, либо условно-периодические движения. На основании методов теории KAM установлено, что основные свойства укороченной системы сохраняются и в малой окрестности положения равновесия полной системы, в частности, установлено, что большинство условно-периодических движений сохраняются в полной системе.

2. На основании результатов, полученных в диссертации, проведен нелинейный анализ движений спутника в окрестности его цилиндрической прецессии для значений параметров принадлежащих резонансной кривой. На резонансной кривой найдены точки, разделяющие ее на участки, для которых движение спутника в окрестности его цилиндрической прецессии имеет качественно различный характер.

3. Проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника-пластины относительно центра масс, движущегося по круговой орбите.

• Получен гамильтониан возмущенного движения и описана методика анализа орбитальной устойчивости.

• На основании линейного анализа устойчивости в плоскости параметров задачи построены области неустойчивости и орбитальной устойчивости в линейном приближении.

• В областях устойчивости в первом приближении проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости. С этой целью методом то-

чечных отображений выполнена нормализация функции Гамильтона. Коэффициенты нормальной формы получены численно. По коэффициентам нормальной формы на основании известных критериев сделаны выводы о формальной устойчивости, устойчивости для большинства начальных условий или неустойчивости. Также в указанных областях найдены кривые, отвечающие резонансам четвертого порядка. На данных кривых отдельно проведено исследование устойчивости, учитывающее резонансные члены гамильтониана. Результаты проведенного исследования представлены в плоскостях параметров задачи в виде диаграмм устойчивости.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В ЖУРНАЛАХ, ВХОДЯЩИХ В ПЕРЕЧЕНЬ ВАК

1. Бардин Б.С., Чекин A.M. Об орбитальной устойчивости плоских вращений спутника-пластинки на круговой орбите // Вестник МАИ. 2007. Т. 14. № 2. С. 23-36.

2. Бардин Б. С., Чекин A.M. Об орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 2008. Т. 46. Вып. 3. С. 278-288.

3. Бардин Б. С., Чекин A.M. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы при резонансе 3:1 // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 353-367.

Введение.

Глава 1. Нелинейные колебания гамильтоновой системы при резонансе 3:

1.1. Постановка задачи.

1.2. Исследование укороченной системы.

1.3. О движениях полной системы

Глава 2. О движениях спутника вблизи его регулярной прецессии

2.1. Постановка задачи.

2.2. Нелинейные колебания спутника вблизи его цилиндрической прецессии

Глава 3. Методика исследования устойчивости плоских периодических движений спутника-пластины на круговой орбите

3.1. Постановка задачи.

3.2. Системы координат. Уравнения движения.

3.3. Гамильтониан возмущенного движения.

3.4. Анализ линейной системы

3.5. Приведение гамильтониана к нормальной форме.

3.6. Нелинейный анализ устойчивости.

Глава 4. Анализ орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника-пластины.

4.1. Анализ орбитальной устойчивости в линейном приближении

4.2. Линейная нормализация. Резонансные кривые.

4.3. Нелинейный анализ орбитальной устойчивости

Глава 5. Анализ орбитальной устойчивости плоских вращений спутника-пластины.

5.1. Анализ орбитальной устойчивости в линейном приближении

5.2. Линейная нормализация. Резонансные кривые.

5.3. Нелинейный анализ орбитальной устойчивости

С момента запуска первого искусственного спутника Земли в середине прошлого века освоение космоса шло бурными темпами. К настоящему моменту спутники широко используются для научных исследований и прикладных задач. Но перед запуском каждого спутника возникает вопрос о его возможном поведении на орбите, для ответа на который применяются различные методы и алгоритмы, предназначенные для моделирования движения. За все время исследований разработано большое количество новых методов, предназначенных для приближенного и высокоточного моделирования. Такое многообразие обусловлено тем, что в зависимости от своего назначения, спутники могут различаться размерами, свойствами материалов, из которых они изготовлены, ограничениями и допущениями, которые были приняты при постановке задачи.

Важнейшая проблема, которую приходится решать при полете большинства искусственных спутников - обеспечение их ориентации и стабилизации на орбите. В зависимости от того, каким является управляющее воздействие, различают активные, пассивные и комбинированные системы ориентации [40]. Пассивные системы ориентации используют взаимодействие с внешними полями естественного происхождения и не потребляют энергию, запасенную на борту спутника. Возможно, только в начальный момент времени потребуется ее кратковременный расход для приведения системы ориентации в рабочее положение. Более подробно вопросы пассивной стабилизации, а также их виды, рассмотрены в работах [11, 42]. Особенностью пассивных систем на этапе разработки появляется необходимость особо тщательного математического моделирования.

Часто при рассмотрении движения спутника относительно центра масс в качестве модели выбирают твердое тело и исследуют движения в центральном ньютоновском гравитационном поле па круговой орбите. Линейные размеры спутника предполагаются малыми по сравнению с размерами орбиты центра масс, что позволяет рассматривать задачу в ограниченной постановке, т.е считать, что движение спутника относительно центра масс не влияет на движение самого центра масс [12].

Движение спутника относительно центра масс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений б-го порядка. Если орбита центра масс круговая, то эта система является автономной. Однако, даже в этом случае не представляется возможным получить общее решение данной системы. По этой причине немалый интерес вызывает вопрос о существовании и свойствах отдельных частных решений, описывающих характерные режимы движения.

Важным частным случаем движения спутников являются их стационарные вращения, представляющие собой регулярные прецессии. В зависимости от расположения спутника в пространстве, рассматривают цилиндрическую, гипербо-лоидальную или коническую прецессию [12, 17, 18]. Задача устойчивости таких движений подробно исследована в работах [12, 25, 33, 35, 44, 49, 50].

Анализ устойчивости движения позволяет сделать выводы о поведении системы в бесконечно малой окрестности исследуемого невозмущенного движения. Для приложений, однако, зачастую бывает важно исследовать поведение траекторий в конечной окрестности невозмущенного движения и получить выводы о типах устойчивости и неустойчивости. Такое исследование требует разработки нового математического аппарата, в частности для получения строгих выводов о движении вблизи регулярной прецессии необходимо выполнить анализ нелинейных колебаний автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Особую актуальность имеет изучение нелинейных колебаний в резонансных случаях.

При наличии резонансов в системе структура фазового пространства в окрестности положения равновесия существенно отличается от нерезонансного случая и представляет немалый интерес для исследования. Резонансный случай неоднократно рассматривался с различных точек зрения. Движения приближенной системы, гамильтонианом которой является резонансная нормальная форма, содержащая члены не выше четвертой степени, рассматривались в [25, 54, 59, 63]. Фазовые портреты приближенной системы изучались в [2, 55]. В работе [56] был предложен геометрический подход для описания фазового потока канонической системы с двумя степенями свободы, гамильтонианом которой является резонансная нормальная форма. В работах [9, 59, 60, 66, 69, 70] исследовалась задача о существовании и орбитальной устойчивости в линейном приближении периодических решений системы, рождающихся из положения равновесия. В работе [10] было проведено исследование резонансного случая для знакопеременной функции Гамильтона при наличии резонанса четвертого порядка.

В данной работе проводится исследование качественного характера поведения траекторий системы в окрестности положения равновесия при резонансе четвертого порядка, для случая когда квадратичная часть функции Гамильтона является знакоопределенной. На основании результатов теоретического исследования решена задача о поведении динамически-симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии.

Другим видом частных решений являются периодические движения спутника. Особый интерес с прикладной точки зрения представляют орбитально устойчивые движения, в частности плоские периодические движения, исследованию которых посвящено немало работ [1, 5, 24, 28, 43, 46, 48, 61, 62, 64, 65].

В линейном приближении задача об устойчивости плоских периодических движений была рассмотрена в работах [43, 46, 61, 62, 65]. В [43, 61, 62, 65] были получены области устойчивости и неустойчивости в первом приближении и выписаны асимптотические формулы, характеризующие свойства плоских движений. Для спутника, обладающего геометрией масс пластины, в работе [46] был проведен линейный анализ устойчивости плоских колебаний, исследование проводилось численно и аналитически, а его результаты были представлены в виде диаграмм устойчивости.

Впервые задача об орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника в строгой нелинейной постановке была рассмотрена Маркее-вым А.П. в работе [28], где был предложен метод исследования и проведен анализ орбитальной устойчивости для случая сплюснутого симметричного спутника. В работах [1, 64] диаграммы устойчивости, полученные в [28] были уточнены, кроме того, в [64] был рассмотрен также случай вытянутого симметричного спутника. В работах [5, 48] для симметричного спутника проведено исследование орбитальной устойчивости на границах областей параметрического резонанса. В случае несимметричного спутника исследование орбитальной устойчивости значительно усложняется. Это связано с тем, что число степеней свободы системы уравнений возмущенного движения равно трем (в случае симметричного спутника имеем две степени свободы). Методика исследования орбитальной устойчивости несимметричного спутиика в строгой нелинейной постановке была разработана в работе [24]. Полное исследование орбитальной устойчивости в этом случае представляет собой достаточно громоздкую задачу (количество параметров в общем случае достигает трех), поэтому часто ограничиваются анализом некоторых частных случаев геометрии масс спутника. Исследование орбитальной устойчивости плоских движений спутника, имеющего геометрию масс пластинки, проводилось в работах [38, 46]. В работе [46] был проведен линейный анализ устойчивости плоских колебаний, а в работе [38] нелинейный анализ плоских вращений спутника-пластинки. При этом предполагалось, что в невозмущепном движении пластинка лежит в плоскости орбиты.

В данной диссертационной работе выполнено строгое исследование орбитальной устойчивости плоских периодических колебаний и вращений спутника-пластинки в предположении, что в невозмущенном движении плоскость пластинки перпендикулярна плоскости орбиты.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Проведен полный нелинейный анализ поведения автономной гамильтоно-вой системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия. Исследование выполнено в предположении, что квадратичная часть функции Гамильтона является знакоопределенной, а частоты линейных колебаний находятся в отношении 3:1, т.е. имеет место резонанс четвертого порядка. Подробно исследована структура фазового пространства в окрестности положения равновесия. Показано, что укороченная система может быть проинтегрирована в эллиптических функциях Якоби, а ее решения описывают либо периодические движения, либо движения асимптотические к периодическим, либо условно-периодические движения. На основании методов теории КАМ установлено, что основные свойства укороченной системы сохраняются и в малой окрестности положения равновесия полной системы, в частности, установлено, что большинство условно-периодических движений сохраняются в полной системе.

2. На основании результатов, полученных в диссертации, проведен нелинейный анализ движений спутника в окрестности его цилиндрической прецессии для значений параметров принадлежащих резонансной кривой. На резонансной кривой найдены точки, разделяющие ее на участки, для которых движение спутника в окрестности его цилиндрической прецессии имеет качественно различный характер.

3. Проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника-пластины относительно центра масс, движущегося по круговой орбите.

Получен гамильтониан возмущенного движения и описана методика анализа орбитальной устойчивости.

На основании линейного анализа устойчивости в плоскости параметров задачи построены области неустойчивости и орбитальной устойчивости в линейном приближении.

В областях устойчивости в первом приближении проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости. С этой целью методом точечных отображений выполнена нормализация функции Гамильтона. Коэффициенты нормальной формы получены численно при помощи разработанной для этой цели программы на языке Visual С4--К По коэффициентам нормальной формы на основании известных критериев сделаны выводы о формальной устойчивости и устойчивости для большинства начальных условий. Также в указанных областях найдены кривые, отвечающие резонансам четвертого порядка. На данных кривых отдельно проведено исследование устойчивости, учитывающее резонансные члены гамильтониана.

По результатам проведенных исследований в плоскостях параметров построены диаграммы устойчивости.

1. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В., Шматков A.M. Обобщенные параметрические колебания механических систем // ПММ. 1999. Т. 63, Вып. 5. С. 746-756.

2. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М: Эдиториал УРСС, 2002. 414 с.

3. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, Вып. 6 (114). С. 91-192.

4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М: Эдиториал УРСС, 2003. 416 с.

5. Бардин B.C., Пунтус А.А., Чекин A.M., Чекина Е.А. Исследование устойчивости плоских движений динамически симметричного спутника на границах областей параметрического резонанса. // Создание перспективной авиационной техники. 2004. С. 50-55.

6. Бардин Б. С., Чекин A.M. Об орбитальной устойчивости плоских вращений спутника-пластинки на круговой орбите // Вестник МАИ. 2007. Т. 14, № 2. С. 23-36.

7. Бардин Б. С., Чекин A.M. Об орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 2008. Т. 46, Вып. 3. С. 278-288.

8. Бардин Б.С., Чекин A.M. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы при резонансе 3:1 // ПММ. 2009. Т. 73, Вып. 3. С. 353-367.

9. Бардин Б. С. Об орбитальной устойчивости периодических движений га-мильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае резонанса 3:1 // ПММ. 2007. Т. 71, Вып. 6. С. 976-988.

10. Бардин Б. С. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы в случае резонанса четвертого порядка // Нелинейная динамика. 2007. Т. 3, № 1. С. 57-74.

11. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.:Наука, 1965. 416 с.

12. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М: Изд-во МГУ, 1975. 308 с.

13. Брюно А. Д. О формальной устойчивости систем Гамильтона // Матем. заметки. 1967. Т. 1, № 3. С. 325-330.

14. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М: Наука, 1979. 253 с.

15. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математика для научных работников и инженеров. Москва: Наука, 1974.

16. Градштейн И.С., Рыо/сик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва: Изд-во Физико-математической литературы, 1963. 1100 с.

17. Дубошин Г.Н. О вращательном движении искусственных небесных тел // Бюлл. Ин-та теорет. астрон. 1960. Т. 7, № 7. С. 511-520.

18. Кондураръ В. Т. Частные решения общей задачи о поступательно-вращательном движении сфероида под действием притяжения шара // Астрон. ж. 1959. Т. 36, № 5. С. 890-901.

19. Ляпунов A.M. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах // Собр. соч. Т.1. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1954. С. 327 401.

20. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения // Собр. соч. Т. 2. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 7-263.

21. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

22. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Исследование периодических движений, близких к лагранжевым решениям ограниченной задачи трех тел // Препринт ИПМАН СССР. 1975. № 110.

23. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. К задаче об устойивости относительного равновесия спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 1975. Т. 13, Вып. 2. С. 139-146.

24. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Исследование устойчивости плоских периодических движений спутника на круговой орбите // Изв. РАН. МТТ. 1977. № 4. С. 46 57.

25. Маркеев А.П. Резонансные эффекты и устойчивость стационарных вращений спутника // Космич. исслед. 1967. Т. 5, Вып. 3. С. 365-375.

26. Маркеев А.П. Об устойчивости канонической системы с двумя степенями свободы при наличии резонанса // ПММ. 1968. Т. 32, Вып. 4. С. 738-744.

27. Маркеев А.П. К задаче об устойчивости положений равновесия гамильто-новых систем // ПММ. 1970. Т. 34, Вып. 6. С. 997-1004.

28. Маркеев А.П. Устойчивость плоских колебаний и вращений спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 1975. Т. 13, Вып. 3. С. 322-336.

29. Маркеев АИ. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М: Наука, 1978. 312 с.

30. Маркеев А. П. Об устойчивости и нелинейных колебаниях гамильтоновой системы в одном резонансном случае // Изв. РАН. МТТ. 1998. N2 4. С. 38 -49.

31. Маркеев А.П. О критическом случае пары нулевых корней в гамильтоновой системе с двумя степенями свободы // ПММ. 1998. Т. 62, Вып. 3. С. 372-382.

32. Маркеев А.П. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы при резонансе 2:1 // ПММ. 1999. Т. 63, Вып. 5. С. 757-769.

33. Маркеев А.П. Исследование устойчивости периодических движений автономной гамильтоновой системы в одном критическом случае // ПММ. 2000. Т. 64, Вып. 5. С. 833 847.

34. Маркеев А.П. К задаче об устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы при резонансе 3:1 // ПММ. 2001. Т. 65, Вып. 4. С. 653-660.

35. Маркеев А.П. Об устойчивости плоских движений твердого тела в случае Ковалевской // ПММ. 2001. Т. 65, Вып. 1. С. 51-58.

36. Маркеев А.П. Теоретическая механика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 592 с.

37. Маркеев А.П. Конструктивный алгоритм нормализации периодического гамильтониана // ПММ. 2005. Т. 69, Вып. 3. С. 355 371.

38. Маркеев А.П. Об устойчивости плоских вращений спутника на круговой орбите // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 4. С. 63 85.

39. Нейштадт А.И. Оценки в теореме Колмогорова о сохранении условно-периодических движений // ПММ. 1981. Т. 45, Вып. 6. С. 1016 1025.

40. Овчинников М.Ю. Системы ориентации спутников: от лагранжа до королева // Соросовский образовательный журнал. 1999. Вып. 12. С. 91-96.

41. Парс Л. Аналитическая динамика. М: Наука, 1971. 635 с.

42. Сарычев В. А. Вопросы ориентации искусственных спутников. Итоги науки и техники. Серия: Исследование космического пространства. М.: ВИНИТИ, 1978. Т. 11. 223 с.

43. Сидоре?ько В.В., Нейштадт А.И. Исследование устойчивости долгоперио-дических движений спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 2000. Т. 38, Вып. 3. С. 307-321.

44. Сокольский А.Г. К задаче об устойчивости регулярных прецессий симметричного спутника // Космич. исслед. 1980. Т. 18, Вып. 5. С. 698-706.

45. Уиттекер Э. Т. Аналитическая динамика. Ижевск: Удмуртский университет, 1999.

46. Холостова О.В. Линейный анализ плоских колебаний спутника-пластинки на круговой орбите // Нелинейная Динамика. 2005. Т. 1. С. 181-190.

47. Холостова О.В. Об устойчивости плоских колебаний спутника на круговой орбите // МТТ. 2008. Т. 2. С. 27-42.

48. Чекин A.M. Дипломная работа. МАИ, 2004.

49. Черноусько Ф.Л. Резонансные явления при движении спутника относительно центра масс // Журнал вычисл. математики и матем. физики. 1963. Т. 3, № 3. С. 528-538.

50. Черноусько Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // ПММ. 1964. Т. 28, Вып. 1. С. 155-157.

51. Якубович В.Я., Старэюинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.:Наука, 1987. 328 с.

52. Bardin В. S. On motions near the Lagrange equilibrium point L4 in the case of Routh's critical mass ratio // Celest. Mech. 2002. V. 82, no. 2. P. 163-177.

53. Bardin B. S. On nonlinear motions of Hamiltonian system in case of fourth order resonance // Regul. Chaotic Dyn. 2007. V. 12, no. 1. P. 86-100.

54. Beth, H.J.E. The oscillations about a position of equilibrium where a simple linear relation exists between the frequencies of the principal vibrations // Phil. Mag. 1913. V. 26, series 6. P. 268-324.

55. Duistermaat J. J. Bifurcation of periodic solutions near equilibrium points of Hamiltonian systems // Bifurcation theory and applications (Montecatini, 1983). Berlin: Springer, 1984. Y. 1057 of Lecture Notes in Math. P. 57-105.

56. Elipe A. Complete reduction of oscillators in resonance p:q // Phys. Rev. E. 2000. V. 61, no. 6. P. 6477-6484.

57. Glimm J. Formal stability of Hamiltonian sysetms // Communs. Pure Appl. Math. 1964. V. 17, no. 4. P. 509-526.

58. Hairer ENorsett S. P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. Springer, 2008.

59. Henrard J. Periodic orbits emanating from a resonant equilibrium // Celestial Mech. 1970. V. 1. P. 437-466.

60. Henrard J. Lyapunov's center theorem for resonant equilibrium // J. Differential Equations. 1973. V. 14, no. 3. P. 431-441.

61. Kane T. Attitude stability of earth pointing satellites // AIAA Journal. 1965. V. 3, no. 4. P. 726 - 731.

62. Капе Т., Shippy D. Attitude stability of a spinning unsymmetrical satellite in a circular orbit // J. Astrounaut. Sci. 1963. V. 10, no. 4. P. 114 119.

63. Korteweg D. Sur certaines vibrations d'orde superieur et d'intensite anomale, vibrations de relation, dans les mechanismes'a plusieurs degres de liberte // Archives Neerlandaises des Sci. Exactes et de Nature. 1897. V. 1, series 2. P. 229-260.

64. Markeev A. P., Bardin B. S. On the stability of planar oscillations and rotations of a satellite in a circular orbit // Celestial Mech. Dynam. Astronom. 2003. V. 85, no. 1. P. 51-66.

65. Meirovitch L., Wallace F. Attitude instability regions of a spinning unsymmetrical satellite in a circular orbit // J. Astrounaut. Sci. 1967. V. 14, no. 3. P. 123 133.

66. Meyer K. R., Palmore J. I. A new class of periodic solutions in the restricted three body problem 11 J. Differential Equations. 1970. V. 8, no. 2. P. 264-276.

67. Moser J. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian systems // Communs. Pure Appl. Math. 1958. V. 11, no. 1. P. 81-114.

68. Roels J. An extension to resonant cases of Liapunov's theorem concerning the periodic solutions near a Hamiltonian equilibrium // J. Differential Equations. 1971. V. 9. P. 300-324.

69. Roels J. Families of periodic solutions near a Hamiltonian equilibrium when the ratio of two eigenvalues is 3 // J. Differential Equations. 1971. V. 10. P. 431-447.

70. Schmidt D. Periodic solutions near a resonant equilibrium of a Hamiltonian system j j Celestial Mech. 1974. V. 9. P. 81-103.

71. Schmidt D. Versal normal form of the Hamiltonian function of the restricted problem of three bodies near L4 // J. Comput. Appl. Math. 1994. V. 52, no. 1-3. P. 155-176.