Устойчивость периодических гамильтоновых систем при многократном резонансе тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

о*

на правах рукописи УДК 531.36

Джумабаева Алия Амангельдиевна

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ ПРИ МНОГОКРАТНОМ РЕЗОНАНСЕ

Специальность: 01.02.01 «Теоретическая механика»

АВТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1998 г.

Работа выполнена в Московском государственном авиационном институте (Техническом университете) на кафедре «Теоретической механики».

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

д.ф.-м.н., профессор А.Л. Куницын

' д.ф.-м.н., профессор В.Н. Тхай

д.ф.-м.н., профессор С.Г. Журавлев

Государственный астрономический

институт имени П.К. Штернберга

Защита состоится "J1?" 1998 г. на заседании

диссертационного Совета К 053.18.02 в Московском государственном авиационном институте (Техническом университете).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Просьба принять участие в обсуждении диссертации или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью.

Адрес института: 125871, Москва, ГСП, А-80, Волоколамское шоссе 4, отдел ученого секретаря.

Предварительный заказ пропусков по телефону: 158-44-66.

Автореферат разослан 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, к.ф.-м.н.

А.В. Муслаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Развитие аналитической динамики, теории шнсйных колебаний, теории автоматического управления и некоторых ,тих новых направлений в науке и технике существенно расширили круг [ач, которые приводят к необходимости исследования устойчивости шодичсского решения нелинейных систем обыкновенных |)ференциальных уравнений в критических случаях, т.е. когда вопрос об ойчнвости не решается первым приближением.

Среди них особый интерес для приложений представляют шльтоновы периодические системы. Неустойчивость таких систем тикает, как правило, лишь при внутреннем резонансе, требующем введения нелинейного анализа.

Целью работы является: I) исследование задачи устойчивости нюдических гамильтоновых систем при наличии внутренних резонансов -вертого порядка, а именно в получении необходимых и достаточных говий устойчивости; 2) применение полученных результатов к исследованию ойчивости поступательно-вращательного периодического движения читальной станции в системе Земля - Луна стабилизируемого, посредством ггояиного по модулю малого реактивного ускорения.

Методы исследования. В основу исследования положены: второй год A.M. Ляпунова, метод преобразования исходной системы уравнений мущенного движения к нормальной форме, метод малого параметра анкаре.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней 1) получены ниточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости эгомериых периодических систем общего вида при многократном резонансе вертого порядка.

2) Получены достаточные условия устойчивости и неустойчивости шльтоновых периодических систем при одновременном существовании ;колысих резонансов четвертого порядка.

3) Решена задача об устойчивости поступательно - вращательного жодического движения орбитальной станции (ОС) в системе Земля - Луна, сматриваемого как тело переменного состава с твердой оболочкой, в ^положении, что на ней установлен реактивный двигатель, создающий

малое и постоянное по модулю реактивное ускорение. Показано, что в малой окрестности устойчивых стационарных движений существуют устойчивые периодические движения с тем же множеством резонансных режимов.

Практическая ценность. Практическое применение полученных общих результатов по исследованию устойчивости периодических систем могут быть использованы при решении разнообразных задач из области небесной механики, нелинейных колебаний и других разделов теоретической и прикладной механики.

Апробация работы. Основные результаты, отражающие содержание диссертационной работы, докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции «Проблемы небесной механики» (Санкт-Петербург, 1997г.); на Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование физико-механических процессов» (Пермь, 1997г.); на научной конференции «Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики» (Москва, 1997г.); на XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (Москва, 1998г.); на международной конференции «Математика в индустрии» (Таганрог, 1998г); на семинаре по аналитической механике и теории устойчивости движения в МГУ (руководитель - член-корр. АН РФ профессор В.В. Румянцев) в 1998 году; на семинаре кафедры теоретической механики МАИ в 1998 году

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 научных работ, в которых отражены основные результаты.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, списка цитируемой литературы из 59 наименований. Объем работы - 99 страниц, в том числе 9 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается постановка задачи об устойчивости решений периодических систем в критических случаях, обосновывается ее актуальность и кратко описывается содержание работы. Здесь же дается краткий обзор работ, посвященных вопросам стабилизации коллинеарных'тоЧек либрации в системе Земля - Луна.

Первая глава носит вспомогательный характер. Рассматривается риодическая система общего вида с нормализованной линейной частью:

- /Лг + Z{z, 1,1), Ш= -/Лг + Z{z, 2, I),

которой и Х(2,2,1) представляют собой комплексно-

пряженные СО -периодические по I вектор-функции, разложение которых в ды по степеням 2, 2 начинаются с форм не ниже второго порядка.

В §1 приводится- алгоритм нелинейной нормализации данной стемы. Кратко изложены появившиеся в последнее время результаты по следованию критического случая N пар чисто мнимых характеристических каза'гелей при существовании резонанса четвертого порядка, необходимые в льнейшем при решении прикладной задачи.

В §2 получены достаточные условия асимптотической устойчивости эльзуясь методом, описанным при исследовании резонансов четвертого рядка для автономных систем).

Доказаны следующие теоремы для систем вида: Г =я 0. (¥ ) + г ЕС .г., (3=1,....п) (1)

•Г V V 5 . , 3/ / \ > > / \ /

;=1 ■>

Гл (¥ ) N Л

V СО^У , ,к у ,/ш , к] I

N

' ^ У ] К > > >

N

= л. + £</../•., ' >1 У ■/

(в (V ) = a cos^ + b sinT (О OF )=0, если p = 0),

vj^jV V7 i V J V V' y

mv p /2 "V

/г = n rPa , ч> = .s p0 , . с . = c .+/</

к . a v — ^ a a si si si

a=myA+l a=mv_^+\ jjj

= a + ihs) при наличии независимых резонансов четвертого порядка, к которым приводятся исходные периодические системы.

Используя функцию Ляпунова в виде

2V = V.r. +... + Y г .+...+г.. (2)

'11 ' п п п+1 N v 7

где первая сумма - интеграл резонансной части модельной системы, и подчиняя постоянные у уравнениям

mv mv

I asys=0, £ bsys= 0 (v = l,...,/i), (3)

i=«v_j+1 i=«v-i+1

можно сформулировать теоремы об устойчивости и неустойчивости на основе леммы (А.Л. Куницын).

Лемма. Чтобы система уравнений (3) имела строго положительное (отрицательное) решение относительно у , необходимо и достаточно

существование для каждого V = \,...,]И хотя бы одной пары векторов

а =(а .,а. ,а.), Ъ = (b.,b,,b.)

у v j' к f v у j' к' t'

jtkj = mv_l+l,...,mv; my> 3

для которой в ряду чисел D,., D. , D.., являющихся ковариантными

Kl ij «7

компонентами векторного произведения а X Ь^, отсутствует перемена знака.

Теорема 1. Если среди резонансов есть хотя бы один сильный, то тривиальное решение модельной системы (1) неустойчиво.

Теорема 2. Пусть в модельной системе (1) коэффициенты нормальной (юрмы удовлетворяют условию леммы. Тогда, если п-2 (п>2) будут

юложительными постоянными из совокупности удовлетворяющей

сравнениям (3), можно распорядиться так, чтобы квадратичная форма троизводной функции (2) была определенно-отрицательной, то тривиальное )ешение системы (1) будет асимптотически устойчиво.

Теорема 3. Тривиальное решение модельной системы (1) при наличии >езонанса четвертого порядка будет неустойчивым, если выполняется одно из условий:

Ч' а) для резонансных коэффициентов не выполняется условие леммы, а юстоянные , удовлетворяющие уравнениям (3), можно выбрать так,

ггобы квадратичная форма производной функции (2) была знакоопределенной;

б) для резонансных коэффициентов выполняется условие леммы и свадратичная форма производной функции (2) выбором п-2 отрицательных юстоянных из совокупности у^,...,уп, удовлетворяющей уравнениям (3),

•южет быть сделана знакоопределенной;

в) для резонансных коэффициентов выполняется условие леммы и свадратичная форма производной функции (2) выбором п-2 положительных

юстоянных из совокупности удовлетворяющей уравнениям (3),

«южет быть сделана определенно-положительной.

В §3 аналогично доказаны теоремы для периодических систем при шимодействии резонансов четвертого порядка.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости периодического )ешения многомерной периодической гамильтоновой системы.

В §1 кратко изложены появившиеся в последнее время результаты по 1сследованию критического случая N пар чисто мнимых характеристических гоказателей при существовании резонанса четвертого порядка, необходимые в {альнейшем при решении прикладной задачи.

В §2 рассматриваются случаи независимых внутренних резонансов четвертого порядка вида:

2

(4)

(здесь р„ =

П.. =

¿У

'«4,-1+1»-'®'

; при этом /Ид =0,

Для нормализованного гамильтониана вида

2Н = 1>.г.+2#,

у=1 ] 3

(5)

Н=2^А ЖсоьЧ* + £ А.г.г.,где Я =ПгРа, ^ =Цр в

4 ~ V г // ) / V 1А а ' V а

у=1 .. Л J J

КМ

(здесь в суммах и произведениях индекс а пробегает все значения от +1 до ту, где т„_[ =«[+...-(- ), формулируются следующие теоремы.

Прежде всего отметим, что если в резонансном соотношении (4) в ряду чисел имеется хотя бы одна перемена знака, то при условии отсутствия других резонансов, рассматриваемое положение равновесия будет формально устойчиво. Такой резонанс будем называть слабым в смысле А.

Если функция Гамильтона (5) такова, что при резонансе четвертого порядка (4) выполняется следующее соотношение

щ,

2

'../='",-1+1

то такой резонанс будем называть слабым в смысле Р.

Теорема 4. Пусть в системе отсутствует одночастотный резонанс и все

резонансы слабые в смысле А. Тогда тривиальное решение модельной системы, соответствующей гамильтониану (5), устойчиво.

Теорема 5. Пусть в системе все р резонансов слабые и среди них имеется любое число слабых в смысле Б. Тогда тривиальное решение модельной системы, соответствующей гамильтониану (5), устойчиво, если

среди величин ,--- и <7,/рщ |+1 (/,у'-7,.., т) нет перемены знака.

Рт^+хРт^+Х

Здесь =1 I /Е А р,р

В §3 рассматривается случай взаимодействия резонансов, зацепленных по одной частоте. Пусть имеется ц резонансных соотношений, содержащих п (у=1,...,ц) показателей каждое, так что

* I \ 1тс

(6)

(здесь р„ = = „....Ю^ ; при этом =0,

и,+... + Л =п<Ы,т =и,+... + и , а

1 // V 1 V

Л

+1ЫМ>-

В специально подобранных полярных координатах , 9^

нормализованная (до членов четвертого порядка включительно) часть гамильтониана примет тот же вид, что и (5),

N

2 н= ^(о.г. + гн,

,77 4

(7)

Н,=2ХА Ж сое1? + £ А..г.г., где 7? ^'пг'Ч 4 , V V ... у I г V о 11 а '

г=1 /,/=1

х¥=рв+^Ъв .

V г\> о а а

В этом случае достаточные условия устойчивости даются следующими теоремами.

Теорема 6. Пусть все резонансы слабы в смысле А. Тогда тривиальное решение модельной системы, соответствующей гамильтониану (7), устойчиво.

Теорема 7. Пусть в системе все /лрсзонансов слабые и среди них имеются слабые в смысле Б. Тогда тривиальное решение модельной системы, соответствующей гамильтониану (7), устойчиво, если среди величин,

соответствующих резонансу слабому в смысле Б, -2-, —, А

Ртг_х+1

нет перемены знака, а среди компонент резонансного вектора соответствующего слабому резонансу в смысле А, есть перемена знака.

у

Здесь 5 =Е1 Ар.р и = тг_1+\,...,тг,

( ] ■' и 1 '

г = ту_1 + 1,...,/и„).

Теорема 8. Если одночастотный резонанс слабый и величины А00, - одного знака, а все остальные слабы в смысле А и среди компонент резонансного вектора р^, соответствующего слабому резонансу в смысле А, есть перемена знака, то тривиальное решение модельной системы устойчиво.

В §4 проведен анализ взаимодействия при наличии общей многочастотной компоненты. Запишем резонансные соотношения по аналогии с (6). Пусть имеется /л резонансных соотношений вида:

(здесь р* = />*,,...,р\ ' ^ = Ц) =

"о

х =

при этом т0=п0, п0+... + п =n<N.

п =т , +п , а

V v-1 V

+ |PvI=4).

Нормальная форма гамильтониана имеет вид:

N

\н = Е СО г. + 2Н, (9)

М " 4

/' /--\р\\ Ы

/.=2ЪА мг собТ + X А.Т.Г., где К =пЛ "'пн^1, 4 , V V V у , У ' У V 11 Я . 11 а '

у=1 /,/=1

Для гамильтониана (9) справедливы следующие теоремы.

Теорема 9. Пусть все резонансы слабы в смысле А. Тогда тривиальное гшение модельной системы, соответствующей гамильтониану (9) устойчиво.

Теорема 10. Пусть в системе все //резонансов слабые и среди них меется любое число слабых в смысле Б. Тогда тривиальное решение оделыюй системы, соответствующей гамильтониану (9), устойчиво, если )еди величин, соответствующих резонансу слабому в смысле Б,

Syv Чу

А нет перемены знака, а среди компонент

:зонансного вектора р , соответствующего слабому резонансу в смысле А, ;ть перемена знака.

Третья глава посвящена исследованию устойчивости периодических зижений ОС в системе Земля - Луна с малой тягой, которое является ивитием результатов A.JI. Куницына, A.A. Туякбаева, полученных для )уговой орбиты.

В §1 дается постановка задачи и вывод уравнений поступательно -тщательного движения орбитальной станции в поле тяготения Земли и Луны.

В §2 получены положения относительного положения при е= 0.

В §3 проводится исследование устойчивости центра масс ОС на основе линеаризованных уравнений. Построены области устойчивости положений относительного равновесия центра масс ОС в конфигаруционном пространстве (рис.1).

В §4 построены области вековой устойчивости равновесных ориентации станции, когда центра масс ОС находится в области устойчивости положений относительного равновесия в пространстве выполнения указанных в §3 необходимых условий устойчивости (рис.2).

В §5 показано, что область устойчивости периодического движения при достаточно малых значениях е за исключением условий параметрического резонанса практически совпадает с областью устойчивости стационарного движения. В области выполнения необходимых условий устойчивости вблизи классической залунной коллинеарной точки либрации построены всевозможные резонансы четвертого порядка. Проведен нелинейный анализ устойчивости при наличии многократных резонансов четвертого порядка на основе общих результатов исследования, проведенного в первых двух главах

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы (освещенные в разделе реферата «научная новизна работы».

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Джумабаева A.A., Куницын A.JI. Периодические движения орбитальной станции в системе Земля - Луна. - Тез. докл. Всероссийской конф. «Проблемы небесной механики». С.-Петербург, 1997.

2. Джумабаева A.A., Куницын А.Л Об устойчивости квазиавтономных гамильтоновых систем при многократном резонансе. - Тез. докл. VII четаевской конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Казань, 1997.

3. Джумабаева A.A. Об устойчивости поступательного периодического движения орбитальной станции в системе Земля - Луна.- Тез. докл. Всероссийской конф. молодых ученых «Математическое моделирование физико-математических процессов». Пермь, 1997.

Рис.1.Область устойчивое ти центра масс ОС при £=0, С,=0.27.

)

/ <0, / <0, />0, /,>/-> /, ^ •'Я 1 2 3

/у*>>/г0''*>0'

^ ^^ /2>/3>;1

)

/ <0,/ >0, /д>0,

/2>/1>/3

Рис. 2. Области различных сочетаний знаков функций 11 /д ■

Джумабаева A.A., Куницын A.JI. Стабилизация точек либрации в системе Земля - Луна,- Тез. докл. конф. «Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики». Москва, 1997.

Джумабаева A.A., Куницын А.Л Об устойчивости периодических гамильтоновых систем при многократном резонансе четвертого порядка. -ПММ,*1998, т.62, вып.5. с. Куницын А.Л, Джумабаева A.A.. О стабилизации коллинеарных точек либрации в системе Земля - Луна,- Тез. докл. XXXIV науч.конф. факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов, Москва, 1998.

Куницын А.Л, Джумабаева A.A.. Об устойчивости поступательно-вращательных движений орбитальной станции в системе Земля - Луна.- Тр. Международной конф. «Математика в индустрии», Таганрог, 1998. V I

Джумабаева A.A., Куницын А.Л Об устойчивости периодических гамильтоновых систем при многократном резонансе четвертого порядка. -ПММ, 1998, т.62, вып.5.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

на правах рукописи

Джумабаева Алия Амангельдиевна

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ ПРИ МНОГОКРАТНОМ РЕЗОНАНСЕ

Специальность: 01.02.01 - Теоретическая механика

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата

физико-математических наук

Г.

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, профессор Куницын А.Л.

МОСКВА- 1998 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................4

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ

ОДНОВРЕМЕННОМ СУЩЕСТВОВАНИИ НЕСКОЛЬКИХ

РЕЗОНАНСОВ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА ..............................13

§1.1. Об устойчивости периодической системы при однократном

резонансе четвертого порядка ..................................................13

§ 1.2. Устойчивость периодических систем при наличии нескольких

независимых резонансов четвертого порядка ..........................22

§ 1.3. Устойчивость периодических систем при взаимодействии

резонансов четвертого порядка ................................................27

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ

ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ РЕЗОНАНСОВ

ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА ........................................................31

§ 2.1. Нелинейная нормализация периодических гамильтоновых

резонансных систем ...................................................................31

§ 2.2. Случай независимых резонансов ............................................43

§ 2.3. Взаимодействие резонансов по одной частоте ......................49

§ 2.4 Случай взаимодействия при наличии общей многочастотной

компоненты ................................................................................57

ГЛАВА 3. СТАБИЛИЗАЦИЯ КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В

СИСТЕМЕ ЗЕМЛЯ - ЛУНА ПОСРЕДСТВОМ ПОСТОЯННОГО

ПО МОДУЛЮ МАЛОГО РЕАКТИВНОГО УСКОРЕНИЯ .....63

§ 3.1. Постановка задачи. Уравнения поступательно-вращательного

движения .....................................................................................................63

§ 3.2. Положения относительного равновесия .................................70

§ 3.3. Необходимые условия устойчивости центра масс ОС ..........75

§ 3.4 Достаточные условия устойчивости ориентации спутника ... 81 § 3.5. Нелинейный анализ устойчивости в случае внутренних

резонансов ....................................................................................84

ЗАКЛЮЧЕНИЕ .............................................................................................91

ЛИТЕРАТУРА ...............................................................................................93

ВВЕДЕНИЕ

Поскольку большинство задач механики описывается неинтегрируемыми системами дифференциальных уравнений, то исследование на устойчивость различных частных решений этих систем приобретает особый интерес. Как известно, теория устойчивости, созданная в основном выдающимся русским механиком A.M. Ляпуновым, наиболее полно разработана для установившихся и периодических движений, которые во многих задачах механики и техники представляют особый интерес.

Развитие аналитической динамики, теории нелинейных колебаний, теории автоматического регулирования и оптимального управления и некоторых новых направлений в науке и технике существенно расширили круг задач, которые приводят к необходимости исследования устойчивости периодического решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В данной работе рассматривается критический случай таких систем

x = A(t)x + X(t,x), xeRN (0.1)

где ю-периодическая матрица A(t) такова, что все характеристические показатели линейной части системы - чисто мнимые, а вектор-

функция X(t,x) представляет собой совокупность нелинейных членов

системы, представляющая собой абсолютно сходящийся ряд.

Такие системы представляют особый интерес, поскольку в первом

приближении они описывают некоторый колебательный процесс широко распространенный в природе и технике. В теории устойчивости эти системы соответствуют критическому случаю, в котором задача устойчивости решается структурой нелинейных членов.

Рассмотрим систему (0.1) в вариациях.

В своей работе A.M. Ляпунов [30] показал, что с помощью линейного преобразования, задаваемого матрицей

Bt

- нормированная фундаментальная матрица) систему можно привести к линейной системе с постоянными коэффициентами. При этом корни характеристического уравнения приведенной системы будут являться характеристическими показателями исходной системы. Перейдем к новой переменной по формуле

х = Ф(0£

Тогда система (0.1) примет вид

£ = zA£+S(£,0, S (£,/ + а>) = 3(£0,

где Щ^эО " совокупность нелинейных членов,

г К — idiag(Z1,..., Я^ Я^ ) . Переменные ,..., S,2N разобьем на 2N

комплексно-сопряженных переменных z = N) и z = , тогда

получим следующую систему с нормализованной линейной частью:

z — iAz + Z(z, z, t), z = -iAz + Z(z,z,t), (0.2)

в которой Z(z,z,t) и Z(z,z,t) представляют собой комплексно-сопряженные

О) -периодические по t вектор-функции, разложения которых в ряды по степеням z, z начинаются с форм не ниже второго порядка.

Начиная с работ A.M. Ляпунова [30], стало ясно, что решение задачи

устойчивости для систем (0.2) зависит от арифметических свойств ±Я , а

s

именно от того, удовлетворяет ли они соотношению 2 л

рД) = — q, g = 0+1+2,..., (0.3)

а

где р — - вектор, компоненты которого взаимно-простые целые

числа, Х = (Лг...РЯп) (n<N).

При выполнении (0.3) говорят, что в системе имеет место внутренний

резонанс порядка к, где к

Р,

+ ...+

Р

г п

>1.

В сложных многопараметрических системах могут одновременно возникать несколько резонансных соотношений вида (0.3). Тогда говорят, что в системе имеет место многократный резонанс.

Изучению нерезонансного случая были посвящены работы Г.В.Каменкова [16], И.Г. Малкина [32], Ь. 8а1уаёоп[59], В.Г. Веретенникова [6] и др. В этих работах нерезонансный случай был изучен практически полностью. В появившихся многочисленных исследованиях А.Л. Куницына [19], А.П. Маркеева [33], В.Н. Тхая [46], Л.Г. Хазина [48] и других удалось

установить ряд интересных свойств резонансных систем связанных с порядком и кратностью резонансов. Это связано с тем, что порядок и кратность резонансов влияют на структуру нормальной формы, правые части, которой до членов заданного порядка проще, чем в исходной системе.

Идея указанного преобразования восходит еще к работам А.Пуанкаре [38] и A.M. Ляпунова [30]. Более детально его свойства применительно к нерезонансному случаю изучались Дж. Биркгофом [4] и Дюлаком [54]. В последнее время ряд важных результатов по нормализации был получен в работах А.Д. Брюно [5]. Для гамильтоновых систем, в работах Депри [52] и Хори [56], разработан метод, основывающейся на каноничности преобразования фазового пространства.

В работах А.Л. Куницына [20], А.П. Маркеева [33], Л.Г. Хазина [50], В.Э. Жавнерчик [13,14] подробного исследованы однократные и многократные резонансы третьего порядка. Обстоятельный обзор результатов по исследованию устойчивости в резонансных случаях дан А.Л.Куницыным и А.П. Маркеевым [23]. Проведенный в этих работах анализ показывает, что результаты по устойчивости гамильтоновых систем могут вытекать как частный случай из результатов, получаемых для систем общего вида (0.1), если в системе имеет место однократный или многократные, но независимые резонансы третьего порядка. Иначе обстоит дело когда в системе имеет место взаимодействие резонансов третьего порядка (А.П.Маркеева [33], В.Н. Тхая [47], Л.Г. Хазина [48,49]). Для многократного

резонанса четвертого порядка ситуация становится еще более сложной.

В настоящей работе рассматриваются вопросы устойчивости периодических систем при наличии нескольких резонансов четвертого порядка.

Глава первая посвящена исследованию устойчивости периодических систем общего вида. В §1.1 изложены некоторые вопросы устойчивости периодических систем при однократном резонансе четвертого порядка, рассмотренные в работах А.Л. Куницына и Л.Т. Ташимова [27], и используемые в следующих параграфах главы.

В §1.2 и §1.3 рассматриваются неизученные случаи многократного резонанса четвертого порядка для периодических систем общего вида. При этом, здесь и далее неустойчивость доказывается при помощи существования неустойчивого частного решения в виде инвариантного луча.

Во второй главе рассматривается задача устойчивости периодических гамильтоновых систем при многократном резонансе четвертого порядка. В §2.1 представлены некоторые результаты, полученные ранее для гамильтоновых систем при резонансе четвертого порядка в работах В.И.Арнольда [1], А.П. Маркеева [33], Ю. Мозера [35], Л.Г. Хазина [49].

В §2.2 рассматривается неизученный случай независимых резонансов четвертого порядка. Здесь и далее устойчивость доказывается при помощи интегралов системы, из которых строится знакоопределенная функция Ляпунова. В отличие от результатов, полученных для резонансов третьего

порядка, устойчивость гамильтоновых систем при резонансе четвертого порядка возможна в двух случаях, в связи с чем вводится понятие слабого резонанса в смысле Айв смысле Б. Получены достаточные условия устойчивости и достаточные условия неустойчивости модельной системы при различных сочетаниях сильных и слабых резонансов.

В §2.3 и §2.4 рассматривается задача устойчивости при взаимодействии резонансов, т.е. когда резонансные соотношения содержат общие частоты. Как известно [50], в этом случае задача значительно усложняется. Среди разнообразных случаев взаимодействия резонансов рассмотрен один из наиболее типичных, когда в каждое резонансное соотношение входят одни и те же общие частоты.

В §2.3 исследуется взаимодействие резонансов по одной частоте. В отличие от независимых резонансов, условие устойчивости модельной системы зависит от вида взаимодействующих резонансов, а также от величин и знаков величин, представляющих компоненты резонансного вектора для общих частот.

Взаимодействие резонансов более общего вида, когда общей компонентой является вектор, рассматривается в §2.4. Получены достаточное условие неустойчивости, когда один из резонансов сильный, и достаточное условие устойчивости, когда каждый из взаимодействующих резонансов слабый в смысле А.

Третья глава посвящена исследованию устойчивости поступательно-

вращательного движения орбитальной станции (ОС) в системе Земля-Луна.

Создание долговременных орбитальных станций в окрестностях точек либрации системы Земля-Луна занимает важное место в программе освоения околоземного космического пространства [18,33,56,58]; при этом вопрос об устойчивости положений относительного равновесия ОС становится одним из главных. В проводимых ранее исследованиях задача эта, как правило, решалась в ограниченной постановке: ОС либо считалась материальной точкой [59,33,57], либо предполагалось, что нахождение центра масс ОС (рассматриваемой как твердое тело или гиростат) в точке либрации априори обеспечивается специальными управляющими силами [40], природа которых и законы управления не обсуждались. В данной работе показывается возможность одновременной стабилизации, как самих точек либрации, так и положений относительного равновесия ОС посредством сообщаемого ей постоянного по модулю малого реактивного ускорения. Возможны две схемы реализации стабилизирующего ускорения. В первой реактивный двигатель жестко связан с корпусом ОС, и, следовательно, его ориентация вследствие вращательного движения ОС относительно центра масс не остается постоянной. Поступательное и вращательное движения ОС в этом случае тесно связаны между собой, что существенно осложняет математическое исследование задачи. В такой постановке задача рассматривалась в диссертационной работе Д.А Бименова. Вторая же схема, когда двигатель малой тяги установлен на корпусе ОС, например, с помощью карданова подвеса и имеет автономную систему стабилизации, следовательно не участвует во вращательном движении ОС. В этом случае оказывается вся система уравнений поступательно-вращательного движения допускает запись в гамильтоновой форме. В такой постановке задача решалась для автономных систем в диссертационной работе A.A. Туякбаевым. Рассмотрена вторая схема стабилизации реактивного ускорения для эллиптической задачи.

В §3.2 из условия стационарности измененной потенциальной энергии получены уравнения относительного равновесия ОС в круговой задаче и найдены их решения. Показано, что для любой точки пространства однозначно определяются величина и ориентация реактивного ускорения, обеспечивающие относительное равновесие центра масс ОС, независящие от ориентации ее корпуса. При этом каждой фиксированной величине реактивного ускорения, соответствует целое семейство точек либрации, окружающих классическую коллинеарную точку, и множество равных ускорений будут представлять трехосные эллипсоиды с центрами в указанных точках. Найдена зависимость ориентации корпуса от координат центра масс станции, когда она расположена в плоскости орбит основных тел.

В §3.3 исследуется область выполнения необходимых условий устойчивости центра масс. Эта область ограничена двусвязанной поверхностью.

Для полученной области в §3.4 рассматривается вопрос об устойчивости ориентации корпуса ОС. Найдена область вековой устойчивости ориентации

ОС.'

В §3.5 показывается, что при учете эллиптичности орбиты Луны построенная область устойчивости стационарного движения будет при малых значения эксцентриситета практически совпадать с областью устойчивости периодического движения за исключением множества точек приводящих к параметрическому резонансу. В области близкой к классической залу иной точке либрации построены кривые параметрических резонансов. Кроме того, проведен нелинейный анализ устойчивости при наличии внутренних резонансов. Для исследования устойчивости используются результаты второй главы настоящей работы и ранние результаты диссертационной работы А.А.Туякбаева.

Основные результаты работы отражены в публикациях автора [812,21,22].

Результаты, полученные в диссертации, докладывались: на всероссийской конференции «Проблемы небесной механики» (Санкт-Петербург, 1997г.); на всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование физико-механических процессов» (Пермь, 1997г.); на научной конференции «Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики» (Москва, 1997г.); на XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (Москва, 1998г.); на семинаре по аналитической механике и теории устойчивости движения в МГУ (руководитель - член-корр. АН РФ профессор В.В. Румянцев) в 1998 году; на семинаре кафедры теоретической механики МАИ в 1998 году.

Пользуясь возможностью автор выражает свою искреннюю признательность своему научному руководителю профессору А.Л. Куницыну за всестороннюю помощь и советы.

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ СУЩЕСТВОВАНИИ НЕСКОЛЬКИХ РЕЗОНАНСОВ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

§ 1.1. Об устойчивости периодической системы при однократном резонансе четвертого порядка.

Изложим некоторые вопросы об устойчивости, которые будут использоваться в дальнейшем.

Рассмотрим систему уравнений возмущенного движения для заданного периодического решения периода со в виде (0.2), предположив, что характеристические показатели А, различны и удовлетворяют следующему

условию внутреннего резонанса четвертого порядка:

О 77-

Р А) = —д, д = 0,±1,±2, со

(1.1)

Здесь р

Р\--Рп

целочисленный вектор с взаимно-простыми

компонентами, А =

Хлд

\ п

- векторная компонента характеристических

показателей, входящих в резонансное соотношение, при этом, п <Д

Р

+ ...+

Р

п

= 4.

Разложим нелинейные члены Z(z,z5í) и {) системы (0.2) в ряд

по степеням

-т

+

г % к I

(0* 5 г 5

оо

(=т

+

--1

г' .

Здесь К^(О — Л- со) - периодические по времени комплексные коэффициенты периода со; звездочкой обозначен индекс к ^, где

целочисленные векторы с

неотрицательными

коэффициентами

такие,

что

51

+ ...+

к

¿Ж

+

VI

+ ...+

'sN

N

I; г * = , 2 5 = П7

7=1

7

7-1

Первым этапом решения задачи устойчивости как в резонансном, так и в нерезонансном случае является приведение системы к нормальной форме, структура правых частей которой до членов заданного (сколь угодно высокого) порядка проще, чем в исходной системе. Такое приведение достигается с помощью нелинейного полиномиального преобразования [4].

м

1=т "

/

к _/ М

1=т 11 5

+ /

=1и&)и'ик'

где С/ДО» У * (0 " периодические по времени комплексно-сопряженные коэффициенты периода со ; М - сколь угодно большое натуральное число.

Подставим новые комплексно-сопряженные переменные

/

и й = (¿^,...,¿7^) в систему (0.2) и потребуем , чтобы

преобразованные уравнения имели вид

М

ц

1=т 11 5

к _/

й = 1Аи+ £ ]Г|* +/ =/СД 1)и +

м I _к

и=ЧАи + X Ъ\к +1 =/С#(0и*и 5 +...,

!=т 11 5 5

где С* (?), С* (?) - пока неизвестные комплексно-сопряженные коэффициенты,

периодические по времени с периодом со .

После подстановки в полученной системе приравняем коэффициенты при одинаковых степенях /-го порядка, придем к следующим дифференциальным уравнениям

сШ.

— + =Ф,-С, ={к5-15,А)~Я5, (1.2)

Рассматривая эти уравнения как дифференциальные от�