Устойчивость поверхности раздела при движении двух вязкоупругих жидкостей в вертикальном цилиндрическом канале тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Российская Академия Наук с<=г-, Уральское отделение

Институт механики сплошных сред

На правах рукописи

«I. ^ УДК 532. 542: 532.135

Казаченко Татьяна Анатольевна

УСТОЙЧИВОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ПРИ ДВИЖЕНИИ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В ВЕРТИКАЛЬНОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь 1998

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и механики Пермского государственного технического университета.

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор Н. А. Труфанов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Е.Л. Тарунин доктор технических наук, профессор Н.А. Шевелев

Ведущая организация - Институт технической химии Уральского

отделения Российской Академии наук.

Защита диссертации состоится ' 18 ' июня 1998 года в 11 часов на заседании специализированного совета Д 003.60.01 в Институте механики сплошных сред УрО РАН по адресу: 614061, Пермь, ул. Ак. Королева, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред.

Автореферат разослан '_1_ 1998 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук

Л Ъ°Г/ БерезинИК.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема устойчивости плоскопараллельных течений остается одной из актуальных задач механики и физики сплошных сред.

Линейная теория является наиболее распространенным методом исследования гидродинамической стабильности. Однако большинство работ связано о изучением устойчивости жидкости о постоянными свойствами. В целом ряде случаев это предположение оказывается несправедливым, приходится учитывать зависимость реологических свойств от тех или иных параметров среды. Так, в некоторых технологических процессах химической промышленности реализуются двухслойные течения вязкоупру-гих жидкостей. Примером тому может служить создание биком-поненгных оптических волокон о использованием соэкструзии расплавов полимеров. В этих условиях пренебрежение нелинейностью реологичеоких свойств среды и зависимостью их от температуры приводит к существенной погрешности в определении границ существования режимов стабильного течения.

Потребность, возникшая на практике, в поддержании ламинарной формы течения приводит к необходимости анализа гидродинамической устойчивости сдвиговых течений.

Тематика работы была включена в комплеко перспективных фундаментальных исследований, утвержденных постановлением Совета Министров СССР от 30.12.89 № 1474 « О государственных научно-технических программах», с 1990 г по 1994 г работа финансировалась из оредств федерального бюджета по единому заказ наряду « Разработка фундаментальных основ новых технологий производства полимерных материалов.»

Пелыо работы является разработка математической модели и изучение на ее основе влияния переменных физико-механических свойств вязкоупругих жидкостей и температуры на линейную гидродинамическую устойчивость двухфазного сдвигового течения по отношению к волновым возмущениям, а также получение критерия устойчивости.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем: разработана математическая модель исследования устойчивости двухслойного течения в длинных цилиндрических ка-

налах реологически сложных жидкостей, для которых вязкость и время релаксации являются переменными величинами.

Разработана и реализована в виде комплекса вычислительных программ методика численного решения задачи.

Численно исследованы закономерности развития малых возмущений характеристик потока и их зависимость от геометрических и физико-механических параметров.

Впервые рассчитаны нейтральные кривые для движения жидкостей с существенно нелинейными характеристиками, в том числе в неизотермических условиях.

Достоверность полученных результатов обеспечена строгой математической постановкой и подтверждена численными экспериментами по оценке сходимости алгоритмов, а также сопоставлением с существующими решениями других авторов.

Практическая ценность. Сформулирован критерий устойчивости плоскопараллельного сдвигового неизотермического двухфазного течения жидкостей с учетом переменных физических свойств. Он позволяет для заданного конкретного течения определять области устойчивости в пространстве геометрических и реологических характеристик течения. Это может быть использо вано для рекомендаций в подборе компонентов по реологическим соотношениям и выборе расходного и температурного, режимов при производстве оптических волокон для получения качественного продукта

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско-преподавательского оостава Пермского государственного технического университета и семинарах кафедры вычислительной математики и механики ПГТУ ( 1989-1998 гг.), на П Всесоюзной конференции "Математические методы в процессе производства и переработки полимерных материалов" (Пермь, 1990 г), на I Всесоюзной конференции молодых ученых по математическому моделированию в машиностроении ( Куйбышев, 1990г.), на IX, X, зимних школах по механике сплошных сред(Пермь, 1991, 1995 гг.), Росоийокой научной конференции ' Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах' ( Тверь, 1994 г.), на семинаре кафедры Математического моделирования систем и процессов ПГТУ( Пермь, 1998 г.), на семинаре в Институте ме-

ханики сплошных сред УрО РАН ( Пермь, 1998г.), на Пермском городском гидродинамическом семинаре (ПГУ, Пермь, 1998 г.)

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в б печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 81 наименования. Работа содержит 103 страницы, включая 20 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность темы работы, описана структура диссертации и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена критическому анализу общего состояния проблемы и содержит обзор литературных источников.

В первом разделе рассмотрена актуальность линейной теории как метода исследования гидродинамической устойчивости. Линейная теория в настоящее время получила значительное развитие, методы и результаты ее достаточно подробно изложены в работах Ц.Ц. Линь, Р. Бетчова и В. Криминале, Г.З. Гершуни . и Е.М. Жуховицкого, М.А. Гольдпггика и В.Н. Штерна, В.А. Шкадова и З.Д. Запрянова, Д. Джозефа, В.И. Юдовича и других.

Отмечено, что хотя линейный анализ является лишь аппроксимацией истинной проблемы устойчивости, линейная теория правильно описывает возникновение и начальную эволюцию бесконечно малых возмущений, дает качественно верное представление об относительной устойчивости плоскопараллельных течений. Классическая линейная теория сейчас занимает важное место в исследовании устойчивости течений.

Во втором разделе обсуждаются особенности уравнения Орра-Зоммерфельда, являющегося центральным пунктом в проблеме гидродинамической устойчивости течений. Методам решения этого уравнения посвящены работы таких авторов, как И. Шенстед, Ю.П. Иванилов, Т.Б. Бенджамин, И.-П1 Йи и других.

Задача Орра-Зоммерфельда для рассматриваемой в диссертации проблемы представляется задачей на собственные значения с обыкновенным дифференциальным уравнением высокого порядка с переменными коэффициентами, являющимся несамосопряженным, что не позволяет применить классические методы

решения. По этой причине использован метод разложения собственной функции в ряд по волновому числу, предложенный Ц.-П1 Йи.

В третьем разделе приведен обзор исследований гидромеханики неньютоновских жидкостей и гидродинамической устойчивости. Исследованию течения неньютоновских жидкостей посвящены работы У.Л. Уилкинсона, Дж. Аотаритта и Дж. Маруччи, 3. Тадмора и К. Гогоса, В.Г. Литвинова, З.П. Щульмана и Б.П. Ху-сида, С. Мвдлмана и других авторов. ,,.,

■ Монографии ЦЦ Линь и С. Чандрасекара, посвященные изучению гидродинамической устойчив ости параллельных течений, содержат обобщение исследований течений ньютоновских слабо вязких жидкостей в плоских каналах. Одним из важных результатов этих работ является утверждение, что с помощью линейного анализа можно определить зарождение и начальное развитие неустойчивости, предшествующее переходу к турбулентности. Далее в работах Ц.-П1 Йи, С. Хикокса., С.Г. Янтсона и Б.Г. Хштин-са, а также А.П. Хуперта рассматривалась устойчивость двухфазных потоков ньютоновских жидкостей в плоских и цилиндрических каналах. В результате обнаружили, что не вязкость сама по себе, а дифференциация вязкости может служить причиной гидродинамической неустойчивости. В работах A.A. Кана и ЦД. Хана, И. Ренарди, Н.Т. Антуркара, П.Ч. Кана изучена стабильность двухслойных потоков вязкоупругих жидкостей. Результатом исследований стало утверждение, что и отношения вязкостей, и отношение времен релаксации влияют на устойчивость потока.

Отмечено, что отсутствуют работы по устойчивости, в которых бы рассматривались жидкости с переменными реологическими характеристиками, в том числе, зависящими от температуры.

Во второй главе приведена математическая постановка проблемы устойчивости двухслойного течения вязкоупругих жидкостей в цилиндрическом канале в изотермических условиях, включающая формулировку задач о стационарном и возмущенном течении.

Рассматривается осесимметричный поток двух несмеши-вающихся несжимаемых вязкоупругих жидкостей в вертикальном цилиндрическом канале.

Уравнения неразрывности и движения имеют вид:

div V=0, p[|^+(V-V)v]=-VP+divT; (1)

где р - плотность жидкости, V=erVr + e0 V0 + ezVz и тензор напряжений, задаваемый как S=-PI+T, где Т- тензор экстра напряжений, Р - изотропное давление, I - метрический тензор.

Течение предполагается осесимметричным, простым сдвиговым с вектором скорости У={0,0, Vj (г)}. Здесь и далее используется индекс i=a (или 1) и i=b (или 2) для характеристик внутренней и внешней жидкостей, соответственно.

Для описания вязкоупругих свойств жидкостей выбрана модифицированная модель Уайта-Метцнера:

т+я-зфт-глзф ЦП (2)

где

T=|^+(V-V)T-LT-TLt, L=VV; DfV]=i(L+l7),

где

п - Ло у _ ^о ич

^_[I+A2|I2]c' ф~[1+в2|121п ' (3)

12 второй инвариант тензора скоростей деформации DfV]; г|0, Яо, А, В, с, п - константы, определяемые из эксперимента.

Граничные условия отражают: прилипание жидкости к стенке канала, непрерывность скорости и касательных напряжений на границе раздела, симметричность течения на оси:

V,(Ri)=0; ^-(0)=0, V.G^VfciR!); Tf(R1)=Tbtz(R1);

накладывается также условие постоянства раоходов:

Ri r2 2я JrVadr=Qa; 2я JrVbdr=Qb.

о Rr

Сформулированная задача сводится к начальной по координате г и решается методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

Для формулировки возмущенной задачи на стационарное решение Vz (г) , Vf (г) , Тч(г) , Р(г) накладываются бесконечно малые возмущения. tt(r,z,t), v(r,z,t), ^^(r^t), ?(r,z,t). Они под-

отавляются в двумерные уравнения движения, состояния и краевые условия, которые затем линеаризуются.

Линеаризованные уравнения выглядят следующим образом:

div v =0;

е, V/ v)=-VP+ divx, V2~—+(v-V)t,-J(Vv)i+Vz' exer xj- (4)

-[(■Vv)t+ Vz' exer t]T}+ т=Цу],

где v= eru+eev+ezw и p - возмущенные скорость и давление,

соответственно, t - возмущенный тензор экстра напряжений, штрих означает производную по координате г. Уравнения неразрывности позволяет ввести функцию тока у в следующем виде:

~ Idу _ ldy r or тог

Обезразмеривание величин вводится следующим образом:

V

vrjo

R-Щ k-fil 6=Щ К.-Е2& шЖ

Xq)

ri ' R>

Краевые условия предполагают: прилипание жидкости к стенке канала: Иь (1,2,0=0;

нопроницание через стенку канала: Уь(1,г,1)=0;

симметрия течения на оси канала:

непрерывность радиальной составляющей скорости на границе раздела жидкостей:

непрерывность осевой составляющей скорости на границе разде-

ау® <г/ь

ла жидкостей:

непрерывность касательных напряжений на границе раздела жидкостей:

ffjf (R> z, 0 - a{f (R,z,t)=(t^R)- Т^2 (R)j(ia)^+~ ^

баланс нормальных напряжений на границе раздела жидкостей:

Возмущенная задача рассматривается относительно бесконечно малых возмущений вида:

{щр, а", а22, о1т}={Ф, £ Р„ Р3, Р4}ехр ра(г-с1)1 (7)

где а - волновое число, с=сге + 1с;т - собственное значение, с;т-декремент затухания. Течение при с!ш< 0 устойчиво,, лри с|ш > О

(- - -г

дестабилизируется.

В виде (7) возмущения подставляются в линеаризованные уравнения (4-5) и краевые условия (6). Получаем задачу на собственные значения с уравнением типа Орра-Зоммерфельда:

^ +—-4

г г2

= а

И3 -Р4 —2-+

г г

+0а)Яе(У-с)

(

Ф

г

V У

{ ,ч V

V г /

~(1а2-а3Ш.е( V- с)—,

( Л Ф

г

ч У

<1г г

- (1'а)8А,ШеТгг - а2 --- - аг6АЛУеТ к ^ кг *"

Г";

Р2(1 + (ш)5Л\Уе(У - с))= (1<х)-2-{~-^-;

К г

(8)

Р3(1+(1<х)5\Жс(У - с))- 25ЛЛУ е = -26АЛУеТГг (1а)25т еТ 22 - (1а)б?, Ш е

Краевые условия имеют вид:

( 'V

а) я>'ь(1)«0; б) фь(1)=0; в) lim^-=0;r) lim ^ = 0;

г->о г г->0у г

д) 9„(R )= 9b(R )

е) [Va - J, (R )- ф ä (R Ф а (R (R )- V^ (R )j= 0.

ж) F* (R )-Fxb(R ) =

(Tzz T zz \ I dTbZ dTa

Vя _1ь Г ~di dF

г = R

У a(R ) R (V -c)'

^а )~ ^ь )+ ^ )~ ) = ~ Д^у +

(9)

Это задача на собственные значения с обыкновенным дифференциальным уравнением четвертого порядка относительно функции ф с переменными коэффициентами, не являющимся самосопряженным. Для решения задачи использовался метод разложения собственной функции и собственного значения в ряды по степеням а, где а« 1:

Ф=Ф0 +афх +а2ф2+..., с=с0 +асх +а2с2+. Нулевое приближение является решением задачи:

« е' Е л

г г*

(10)

Фо

(11)

Краевые условия

а)ф'оь 0) = 0; б)Фоь(1)= 0; в)Нш 0; г)Нт Ри = 0;

Г->0 Г г-> о

д)Фоа(к )= Фоь(^);

е а - Со )(фоЬ - ф'оа)+ Фоа^а ~ V;)|Г=R = 0;

) = ь ()» з)р;,(а )= Р/ьСК. )

(12)

Из краевого условия (12е) можно записать нулевое приближение собственного значения о:

со^СБО-ФоЛЮ

Уа (Я)-Уь (Ю

(13)

Фоь (К)-Фоа (К-) Оно оказалооь действительным, поэтому ищем первое приближение.

Для первого приближения задача имеет вид:

г г2

/

Фо V гУ

( / "

+4б\УеА %

Г

\ /

ъ

С 'Л Фи

Г

V У

+Ф;Р3:=-4ШЛТГ

С

% г

ч у

+28\УеАЛЛФ+Ь;

г г аг г

Фо

„ .Г2

+ 48^е2Я2ТГ2'Фо

[V-с0 ]•_.,.

(14)

-Краевые условия:

а) Фнь'(1)=0; б)ф11Ь(1)=0; ' в)Нт 0;

г-> О Г

г)Нш Е1и = 0; Д)Фпа(Б )= Фиь(к

г—► О

г / ' '

\ К\Т „ тфнь -Фи» , „ Уа - Уь I

ж)р1>а-рШ>

з)Ри,'-Р1Н>

Фоь -Фоа Фоь -фоа

Фоа

Я(У-с0)

I и'

^Фо

Из краевого условия (15е) можно выделить первое приближение собственного значения. Теперь оно комплексное, и знак его мнимой части является критерием устойчивости.

Третья глава содержит описание численного решения сформулированных краевых задач. В главе приведены результаты проверки корректности выше предложенного алгоритма на тестовой задаче. При помощи изложенного алгоритма решения задачи об устойчивости течения вязкоупругих жидкостей исследовано влияние сдвигового характера реологических параметров жидкостей на вид нейтральных кривых.

На каждом этапе решения сформулированных краевых задач можно выделить задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Поэтому используется редукция двухточечной краевой задачи к задаче Коши, выполняемая традиционным способом: решение записывают в виде линейной комбинации ненулевого решения соответствующего однородного и частного решения неоднородного уравнений. В таком виде решение подставляется в краевые условия. Получают систему линейных уравнений относительно значений обоих решений и их производных в граничных точках. Таким образом краевая задача сводится к двум начальным задачам относительно упомянутых решений однородного и неоднородного уравнений, которые решаются методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

По изложенному выше алгоритму решения задачи об устойчивости рассчитана тестовая задача для течения двух ньютоновских жидкостей в вертикальном цилиндрическом канале. Полученные результаты и данные С. Хикокса для этой задачи дали хорошее совпадение: координата Я, в которой с^, меняет знак, вычисляется достаточно точно( рис.1). На рис. 2, 3 показана зависимость вида нейтральных кривых от сдвигового характера вязкости и времени релаксации. Переменная вязкость приводит к сокращению области неустойчивости, а переменное время релаксации, наоборот^ увеличивает область неустойчивости.

В четвертой главе сформулирована задача о неустойчивости течения двух вязкоупругих жидкостей в неизотермической постановке. Показана зависимость нейтральных кривых от температурных условий.

Рис.1 Сравнение рассчитанных нейтральных кривых с результатом

Хикокса С.:_- из статьи,-----рассчитанные, 1 - при 2 - при

к=20.

Для неизотермических течений в модели применяется принцип температурной суперпозиции и, реологические характеристики задаются уравнениями типа Аррениуса:

^эфЧРп(Т-То)1' ^Ч^ИЛ1-1«)]' (1б)

где Т - температура, Р^, Р^ - температурные коэффициенты, Т„-характерная температура.

25 20 15 10 5 0

1 4

3 Р "

' *

р 5 / Н

| 1

С \

0,0

0,5

Рис.2 : 1, 2 -г^Ло» Рис 3: 1, 2 -т]=Г|0, Х=?ь0;

3, 4 - г\-г\^Я=Л0 . 3,4-Т1=Т10

В стационарной задаче к уравнениям движения и состояния

ОТ

(1-3) добавляется уравнение энергии:рСу-=(У-КУТ)-(т:УУ),

где Су- коэффициент теплоемкости, К - коэффициент теплопроводности жидкостей. В краевые условия добавляются условия на температуру:

ТСОпМ

Температурная задача сводилась к начальной и решалась методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Возмущение температуры не рассматривается, поокольку это инертная характеристика, а задача сформулирована для бесконечно малых возмущений. Возмущенная задача в этом случае формулируется аналогично задаче для изотермического случая.

На рисунке 4 показано, каким образом температура влияет на вид нейтральных кривых. С увеличением температуры на стенке канала область устойчивости смещается к ней. Изменение температуры ведет к увеличению излома эпюры скорости на границе раздела, что в свою очередь, приводит к увеличению разности нормальных напряжений на границе, входящей в граничные условия задачи для первого приближения. Для компенсации увеличения разности нормальных напряжений необходимо увеличить координату границы раздела. Поэтому если объем внешнего потока будет невелик, даже при существенном увеличении температуры на стенке канала, можно ожидать стабильного течения жидкостей.

20 18 16 14 12 10 8 б 4 2 0

•

\ с

«

н 1

*

--

0,0

0.5

1,0

Рис. 4: Т(1)=60°;

Т(1 )=230°.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана математическая модель течения реологически сложных жидкостей в длинных цилиндрических каналах в условиях постоянства расходов с использованием модифицированного РУС Уайта-Метцнера, позволяющего хорошо описать эффекты вязкоупругих сред в широком диапазоне скоростей сдвига.

Разработана численная методика решения задачи.

2. Методами линейного анализа исследована асимптотическая устойчивость поверхности раздела жидкостей к осесимметрическим возмущениям, периодическим по времени. Получены необходимые условия стабильности поверхности раздела в виде критерия устойчивости. Предложен численный метод решения возмущенной задачи, позволяющий определять области устойчивости в пространстве реологических и геометрических параметров. Исследована устойчивость поверхности раздела при некоторых конкретных значениях реологических и геометрических характеристик. Сравнительный анализ полученных результатов и опубликованных данных для задач такого типа показал, что для корректного описания области устойчивости течения вязкоупругих жидкостей необходимо учитывать нелинейность их реологических свойств .

3. Рассмотрена задача об устойчивости поверхности раздела вязкоупругих сред в неизотермичеоких условиях.

Исследовано влияние зависимости реологических характеристик от температуры на устойчивость потока.

4. По разработанному алгоритму решена тестовая задача об устойчивости границы раздела о использованием более простого РУС. Сравнение полученных результатов с уже известными показало корректность предложенного метода решения.

5. Полученный критерий устойчивости может быть использован для рекомендаций в подборе компонентов по реологическим соотношениям и выборе расходного режима при производстве оптических волокон для получения качественного продукта.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1..Первадчук В.П, Лялькина Г.Б., .Казаченко Т.А Стационарное двухслойное течение вязкоупругих расплавов полимеров в ци-

линдрическом канале // Инженерно-физ. Журнал. 1989. Том 56. N1.0.135-136.

2.Казаченко Т.А. Неустойчивость поверхности раздела двух вяз-коупругих жидкостей в вертикальном цилиндрическом канале. //Жур.физической химии. 1995. Том 69. N 10. С.191ОЛ 915. .

3.Казаченко Т.А. Неустойчивость поверхности раздела двух вяз-коупругих жидкостей при концентрической соэкотрузии И Тез. докл. I Российской научной конференции « Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах», июнь 1994, Тверь, с.57. Тверской ГТУ.

4.Казаченко Т.А. Неустойчивость двухслойной экструзии вязко-упругих жидкостей.// 10 Зимняя Школа по механике сплошных сред. Тез. докл. Пермь, 1995. С.114.

З.Казаченко Т.А. Неустойчивость поверхности раздела двух вяз-коупругих жидкостей в вертикальном цилиндрическом канале. // Девятая Зимняя Школа по механике сплошных сред. Тез.докл. Пермь-1991. С.77. б.Казаченко Т.А. Устойчивость неизотермического течения двух ' вязкоупругих жидкостей в цилиндрическом канале. // Вестник ПГТУ: Полимерные материалы, № 3,1997, с.103-108.

Сдано в печать 12.05.98 г. Формат 60x84/16. Объем 1,0 п.л. Тираж 100. Заказ 1042. Ротапринт ПГТУ.