Моделирование течений неньютоновских жидкостей на выходе из экструдера тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Исследование течений неньютоновских жидкостей с учетом явлений на линии контакта.

1.1.1. Линии контакта. Краевые углы.

1.1.2. Подвижная линия контакта.

1.1.3. Исследование явления экструдерного набухания.

1.2. Неньютоновские жидкости.

1.2.1. Нелинейные вязкие жидкости.

1.2.2. Жидкости с памятью.

1.3. Численные методы изучения течения вязких жидкостей с подвижными границами.

1.4. Выводы.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ НА ВЫХОДЕ ИЗ ЭКСТРУДЕРА.

2.1. Метод контрольных объемов.

2.2. Постановка задачи.

2.3. Уравнения движения.

2.4. Численный анализ.

2.4.1. Расположение решетки и контрольных объемов.

2.4.2. Получение дискретных аналогов.

2.4.3. Граничные условия на свободной поверхности.

2.5. Процедура решения.

2.6. Результаты расчетов.

2.6.1. Влияние размеров сетки на процедуру расчета.

2.6.2. Анализ задачи для осесимметричного течения без учета искривления свободной поверхности.

2.6.3. Расширение потока без учета гравитации и поверхностного натяжения.

2.6.4. Влияние гравитации.

2.6.5, Влияние поверхностного натяжения.

2.7. Выводы.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ УПРУГОВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

НА ВЫХОДЕ ИЗ ЭКСТРУДЕРА.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Уравнения движения.

3.3. Численный анализ.

3.4. Процедура решения.

3.5. Результаты расчета.

3.6. Выводы.

Актуальность темы. Течения, имеющие поверхность раздела двух фаз, образуются при взаимодействии двух несмешивающихся жидкостей, или жидкости и газовой фазы (свободная поверхность). Такие течения представляют большой интерес для изучения из-за их широкого применения в различных технологиях.

Многими авторами интенсивно исследуются течения с поверхностью раздела фаз. Эти течения важны в различных технологических приложениях. При численном моделировании в подобных задачах требуется учитывать сложное вязкоупругое поведение полимеров. Сюда входят такие реологические характеристики полимеров, как сдвиговая вязкость, являющаяся функцией скорости сдвига, продольная вязкость, зависящая от продольной скорости, первая разность нормальных напряжений в простом сдвиговом течении, зависящая от скорости сдвига. Не менее важно здесь учитывать влияние температуры на реологические характеристики неньютоновских жидкостей. Недавние исследования показали влияние температуры на форму потока при выходе из экструдера для вязкоупругих жидкостей. Было отмечено воздействие разности температур на стенках насадки на форму струи, а также отклонение струи в сторону более холодной стенки.

Другим направлением изучения течений с поверхностью раздела двух фаз является вытеснение одной жидкостью другой в капилляре. В таких задачах при определении формы подвижной границы раздела между двумя жидкими фазами, то есть мениска, необходимо учитывать влияние линии контакта трех фаз. Условия на линии контакта могут существенно влиять на движение жидкости. В последние годы множество исследований было посвящено изучению динамической линии контакта. Большое количество работ связаны с процессом растекание жидкости по твердой поверхности, с перемещением тонких капель и пленок при наличии градиента поверхностного натяжения, или с движением столба жидкости в капилляре.

Несмотря на исключительную важность проблемы, количество публикаций в этой области недостаточно, а происходящие в окрестности межфазных границ процессы до сих пор недостаточно поняты. Экспериментальные исследования весьма затруднены из-за того, что все межфазные эффекты весьма чувствительны к примесям и физическому состоянию поверхности. Кроме того, исследование межфазной поверхности твердое тело - жидкость существенно сложнее, чем, скажем, твердое тело - вакуум. Что касается теории, то пионерскими можно считать работы Зисмана [1] по определению физико-химических параметров смачиваемости, Хью [2] и Ибнера и Саама [3] о переходе от режима «полного смачивания» к «неполному смачиванию», Хью и Скрайвена [4] о кинетике растекания. Также основополагающими по кинетике растекания являются работы Дуссан [5-7]. В этих работах было предложено несколько математических моделей, содержащих подвижную линию контакта. Выбор той или иной модели зависит от свойств смачивающей жидкости и твердого тела. К сожалению, определение величины краевого угла, исходя из физических свойств твердого тела и жидкостей, до сих пор остается нерешенной задачей. Несмотря на множество работ, остается нерешенным вопрос о механизме вытеснения одной жидкости другой с поверхности твердого тела. Ведутся активные теоретические исследования динамики жидкости в непосредственной близости от подвижной линии контакта.

Целью данной работы является изучение зависимости формы поверхности раздела двух фаз (жидкость-жидкость и жидкость-газ) вследствие изменяющихся свойств системы (изменение свойств жидкости и изменение поверхностных свойств твердого тела) и сопоставление результатов с имеющимися экспериментальными данными.

При этом рассматриваются следующие задачи.

1. Моделирование течения обобщенной ньютоновской жидкости при выходе из экструдера с расширением потока.

2. Моделирование течения вязкоупругой жидкости при выходе из экструдера с расширением потока.

3. Сопоставление полученных данных с экспериментальными исследованиями и оценка результатов численных экспериментов.

Новизна работы. Был разработан алгоритм для численного моделирования течения неньютоновской жидкости на выходе из насадки экструдера с учетом балансовых условий на границе раздела фаз . В результате численного моделирования получены данные о структуре потока. Показано, что учет неньютоновских свойств жидкости к значительному изменению структуры потока, что, в свою очередь, приводит к изменению технологических параметров процесса экструзии.

Практическая ценность. Результаты проведенного теоретического исследования процесса образования струи на выходе из насадки экструдера являются основой для отработки технологии выдавливания расплавов полимеров и проектирования новых насадок экструдера. Результаты также могут быть применены для выбора режимов течения с целью улучшения качественных характеристик изделий. Результаты исследования внедрены на АО «Казанский институт фотоматериалов», а также на ОАО «Нижнекамскшина».

Содержание работы. В соответствии с поставленными задачами работа включает в себя следующие разделы.

В первой главе представлен краткий обзор основных работ, посвященных влиянию динамической линии контакта на общее течение жидкости.

Вторая глава посвящена моделированию течения Обобщенной ньютоновской жидкости на выходе из формообразующей насадки экструдера.

Третья глава посвящена моделированию течения потока вязкоупругой жидкости на выходе из формообразующей насадки экструдера.

Все основные результаты получены лично автором. Использованные материалы других авторов помечены ссылками.

Основные положения работы докладывались и обсуждались на семинарах и отчетных конференциях КГТУ (КХТИ) 1996-1998 годов, на юбилейной научной конференции КНЦ РАН и АН Татарстана, посвященной 275 годовщине РАН, на Международной конференции КХТП'99.

По теме диссертации имеется 3 публикации. Основное содержание диссертации изложено в работах:

1. Гарифуллин Ф.А., Тазюков Ф.Х., Гадельшина Г.А. Численные методы изучения течения вязкоупругих жидкостей с подвижными границами. // Тезисы докладов и сообщений на 11-м научно-техническом семинаре «Внутрикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика». - Казань, 1999. - с. 29-30.

2. Гарифуллин Ф.А., Тазюков Ф.Х., Гадельшина Г.А. Моделирование течения вязкоупругой жидкости через резкое сужение канала и на выходе из экструдера. // Сборник научно-технических статей. - Казань, 1999. (в печати)

3. Гадельшина Г.А., Гарифуллин Ф.А. Численное моделирование течения неньютоновской жидкости на выходе из экструдера с расширением потока. // Тезисы докладов. У-ая международная научная конференция, посвященная 85-летию со дня рождения академика В.В.Кафарова, «Методы кибернетики химико-технологических процессов».

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность научным руководителям: профессору, доктору технических наук Ф.А.Гарифуллину и докторанту КГТУ, кандидату технических наук Ф.Х.Тазюкову за постоянное внимание и помощь в работе.

3.6. Выводы т

1. Рассмотрено течение вязкоупругой жидкости на выходе из экструдера. Упругие свойства жидкости учитывалась с помощью контравариантной модели Максвелла. Построена математическая г модель. Разработан алгоритм решения задачи.

2. Получены поля скоростей, давления и напряжений для течения вязкоупругой жидкости на выходе из экструдера при различных временах релаксации. Результаты представлены в виде контурных графиков.

3. В области выхода из экструдера возникают градиенты давления и напряжений, которые увеличиваются с ростом числа Деборы и значительно превосходят характерные их значения для ньютоновской жидкости. В связи с этим увеличивается вероятность образования каверн и пузырьков в изделиях, что приводит к ухудшению их качественных характеристик.

4. Представлена зависимость профиля свободной поверхности от числа Деборы. С увеличением времени релаксации расширение струи увеличивается и существенно превосходит расширение потока ньютоновской жидкости. Дополнительное расширение возникает из-за присутствия «упругой» составляющей в тензоре напряжений. С увеличением времени релаксации увеличивается сила растяжения, возникающая в области выхода из насадки экструдера, а , значит, и общее расширение потока.

5. Получена зависимость профиля свободной поверхности от скорости сдвига. С увеличением скорости сдвига кривизна свободной поверхности вблизи выхода из насадки экструдера уменьшается, а область перестройки потока увеличивается. Итоговое расширение потока при малых числах Рейнольдса не зависит от скорости сдвига.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе проводилось математическое моделирование установившегося течения неньютоновской жидкости на выходе из насадки экструдера. При этом вблизи свободной поверхности в точках выхода из экструдера возникает область трехфазного контакта газ-жидкость-твердое тело, то есть контактная линия.

Явления, происходящие вблизи контактной линии, влияют на процесс формирования струи после выходе жидкости из насадки экструдера. Расширение потока и изменение структуры течения являются следствием процессов, происходящих вблизи контактной линии. Поэтому учет этих процессов необходим при проектировании новых формообразующих насадок экструдеров.

Другим аспектом данной работы являлось исследование влияния неньютоновских свойств жидкости на форму свободной поверхности, образующейся при выходе из насадки экструдера, и на структуру потока вблизи контактной линии. Это особенно важно, так как растворы и расплавы полимеров редко проявляют свойства ньютоновских жидкостей. На практике чаще всего встречаются жидкости с псевдопластическими, либо вязкоупругими свойствами. Поэтому именно такие жидкости были выбраны для численных экспериментов. Для учета псевдопластического поведения использовалась модель обобщенной ньютоновской жидкости. Вязкоупругие свойства жидкости учитывались с помощью контравариантной модели Максвелла.

В ходе решения задачи необходимо было рассчитать форму свободной поверхности. Особенность задачи расширяющегося потока заключается в том, что положение свободной поверхности заранее неизвестно, его требуется определить в процессе решения задачи. Для этого был использован модифицированный алгоритм SIMPLER. Он позволяет итеративным путем рассчитать положение свободной поверхности с заданной точностью. Данный алгоритм основан на Эйлеровом подходе и использует метод преобразования координат.

В ходе решения задачи свободная поверхность сильно деформируется, что приводит к трудностям в численном решении. Особенно это проявляется при расчете течения вязкоупругой жидкости, так как учет упругих свойств жидкости приводит к дополнительному расширению потока, а, значит, к большей деформации свободной поверхности. Для повышения численной устойчивости был предложен метод, позволяющий получать сходящееся решение для сильно деформированной свободной поверхности.

По результатам проделанной работы можно сделать следующие выводы.

1. Проведено моделирование установившегося течения обобщенной ньютоновской и вязкоупругой жидкостей на выходе из экструдера. Записаны основные уравнения и соответствующие им граничные условия. Решение задач проведено для ползущего течения. В результате решения задач получена форма свободной поверхности, а также поля скоростей, давления и напряжений. Результаты представлены в виде графиков и схем потока с изолиниями давления и напряжений.

2. Разработана математическая модель течения обобщенной ньютоновской жидкости для цилиндрического и плоского течений, а также математическая модель течения вязкоупругой жидкости для плоского течения. Для учета упругих свойств жидкости применена контравариантная модель Максвелла. Задачи решались численно методом контрольных объемов с использованием модифицированного алгоритма SIMPLER.

3. Проведен анализ зависимости формы свободной поверхности обобщенной ньютоновской жидкости от показателя неньютоновости, коэффициента поверхностного натяжения и коэффициента гравитации. Показано, что для степенной жидкости с увеличением неньютоновских свойств расширение струи уменьшается. Учет поверхностного натяжения и коэффициента гравитации также ведет к уменьшению расширения потока.

4. Проведен анализ зависимости формы свободной поверхности вязкоупругой жидкости от времени релаксации и скорости сдвига. Показано, что в режиме ползущего течения итоговое расширение потока не зависит от скорости сдвига, а кривизна поверхности вблизи выхода из насадки экструдера уменьшается с увеличением сдвиговой скорости. С увеличением неньютоновских свойств вязкоупругой жидкости расширение струи увеличивается.

5. Расчеты показали, что в результате перехода течения из режима полного смачивания внутри насадки экструдера к течению со свободной поверхностью в области выхода из экструдера возникают большие градиенты давления и напряжений, влияющие на процесс формирования струи жидкости. Для полимеров, обладающих упругими свойствами, скачки давления и возникающие при этом напряжения значительно больше, чем для ньютоновских жидкостей. На практике из-за резкого падения давления нередко происходит вскипание расплава полимера на выходе из экструдера, что ведет к образованию каверн и пузырьков в изделиях.

Результаты проведенного теоретического исследования процесса образования струи на выходе из насадки экструдера являются основой для отработки технологии выдавливания расплавов полимеров и проектирования новых насадок экструдера. Результаты работы использовались при модернизации эксплуатируемых плоскощелевых насадок экструдера для отлива полиэтилен-тетрофтолановой (ПЭТФ) основы в АО «КИФ» (Казанский институт фотоматериалов) и в ОАО «Нижнекамсшина».

Результаты также могут быть применены для выбора режимов течения с целью улучшения качественных характеристик изделий.

Таким образом, результаты проведенного научного исследования позволяют обобщить и систематизировать сведения по исследованию расширения потока жидкости на выходе из экструдера и показать характер влияния неньютоновских свойств жидкости на структуру потока и форму образующейся свободной поверхности.

1. Zisman W. Contact angle, wettability and adhesion. // Ed. F.M.Fowkes. -Washington, D.C.: Americal Chemical Society. P.I. - Advances in Chemistry Series. -1964. -v.43. - p. 1-51.

2. Huh C., Mason S.G. Effect of surface roughness on wetting (theoretical). // J. Colloid Interface. Sci. -1977.-v.60. p.11-38.

3. Ebner C.W., Saam W.F., Sen A.K. The spreading of liquid on solid surface. // Phys. Rev. Lett. -1985. -v.31.- p.6134.

4. Huh C., Scriven L.E. Hydrodynamic model of steady movement of a solid/liquid/fluid contact line. // J. Colloid Interface Sci. -1970,- v.35. p.85-102.

5. Dussan V.E., Davis S. On the motion of a fluid-fluid interface along a solid surface. //J. Fluid Mech. -1974,- v.65. p.71-95.

6. Dussan V.E. On the spreading of liquids on solid surface: static and dynamic contact lines.//Ann. Rev. Fluid Mech. -1979,-v.11.- p.371-400,

7. Dussan V.E., Ngan C. On the nature of the dynamic contact angle: an experimental study. //J. Fluid Mech. -1982. -v.118.- p.27-40.

8. Young T. An essay on the cohesion of fluids. // Phil. Trans.-1805. -v.95.-p.65-87.

9. Адам H.K. Физика и химия поверхностей. // Гостехтеориздат, 1947. -552с.

10. Де Жен П.Ж. Смачивание: статика и динамика. // Успехи жизических наук апрель 1987.- т. 151,- вып.4. - с.619-681.

11. H.Sikkenk J.H., Indeken J.О., van Leeuwen J.M.J, et al. A study of the advancing interface. //J. Statist. Phys. -1988. v.52.- № 1-2.- p.23.

12. Nijmeijer M.J.P. Molecular dynamics of Lennard-Jons flow and contact angle. II Physica A.- 1989.- v. 160,- №2,- p. 166.

13. Bruin С. The numerical simulation of the steady movement of a fluid meniscus in a capillary tube. // Phys. Rev. A. -1990,- v.42.- №10.- p.6052.

14. Bakker A.F. Molecular dynamics of a fluid flow at solid surface. // J. Phys.: Condens. Matter.- 1992.- v.4.- №1,- p.15.

15. Фрумкин A.H. Об явлениях смачивания и прилипания пузырьков. // Журн. физич. химии.-1938,- т. 12.- №4,- с.337-345.

16. Good R.J., Girifalco L.A. A theory for the estimation of surface and interfacial energies. I. Derivation and application to interfacial tension. // J. Phys. Chem. -1957.- v.61.- p.904-909.

17. Li D., Neumann A.W. Wetting autophobisity. // J. Colloid Interface Sci -1992.- v.148. №1,- p. 190.

18. Li D., Xie M., Neumann A.W. Microspreading studies on rough surfaces by scanning electron microscopy. // J. Colloid Interface Sci 1993.- v.271. -№6,- p.573.

19. Hoffman R. A study of the advancing interface. I. Interface shape in liquidgas system. // J. Colloid Interface Sci. 1975.- v.50. -p.228-241.

20. Hardy W. The spreading of fluids on glass. // Phil. Mag. -1919,- v.38.-p.49,-55.

21. Hocking M. A moving fluid interface on a rough surface. // J. Fluid Mech. -1976. -v.76.- par.4.- p.801-817.

22. Shihmurzaev Y. Dynamic contact angles and flow in vicinity of moving contact line. //AlChE Journal March 1996.- v.42.- №3. - p.601-612.

23. Shihmurzaev Y. Moving contact lines in liquid/liquid/solid systems. // J. Fluid Mech. -1997,- v.334.-p.211-249.

24. Воинов О.В. Краевые условия на движущейся контактной линии трех фаз в задачах для уравнения Навье-Стокса при смачивании твердого тела. //Докл. АН 1995. - т.343. - №5. - с.627-629.

25. Воинов О.В. К асимптотической теории динамики смачивания при малых числах капиллярности. // Ин-т мех. Многофазн. Систем СО РАН Тюмень. - 1995.

26. Воинов О.В. Нестационарный краевой угол при ползущем движении смачивающей жидкости. //Докл. РАН -1997. т.357. - №6. - с.768-771.

27. Katoh К., Fujita Н., Sasaki Н. Macroscopic wetting behavior of a two-dimensional meniscus under a horizontal plate. // Trans. ASME J. Fluids Eng. 1995. - v. 117. - №2. - p. 303-308.

28. Bazhlekov I.В., Shopov P.J. Numerical simulation of dynamic contact line problems. И J. Fluid Mech. 1997.-v.352.-p.113-133.

29. Filow D.E., Kota P.R., Bose A. Investigation of wetting hydrodynamics using numerical simulations. // Phys. Fluids -1996,- v.8. №2.- p.302-309.

30. Кулаго A.E., Шкадова В.П., Шкадов В.Я. К задаче о вытекании вязкой жидкости из капилляра. II Вестн. МГУ сер.1. - 1997.- №4,- с.42-46.

31. Chen Q., Rame Е., Garoff S. The velocity field near moving contact lines. // J. Fluid Mech. 1997.- v.337.-p.49-66.

32. Cox R.G. The dynamics of the spreading of liquids an a solid surface. Part 1. Viscous flow. //J. Fluid Mech. 1986.-v.168.-p.169.

33. Blake T.D., Clarke A., Puschak K.J. Hydrodynamic assist of dynamic wetting. //Amer. Inst. Chem. Eng. Sping Nat. Meet. // New Orleans Apr.2.-1992.- p.72.

34. Гасилов B.C., Гришин Д.Н., Поникаров С.И. Влияние двухслойности жидкости на развитие течения вблизи вращающейся полости при разгоне. // Известия АН СССР, МЖГ. -1997. №3. - с.67-73.г

35. Путиловский Ф.Р., Тазюков Ф.Х., Силуянов В.А., Норден П.Н. Исследование поверхностной миграции в вакуумных системах.// Вопросы атомной науки и техники. Серия: общая и ядерная физика. -1988.-вып.4 (44). С.45-48.

36. Tazioukov F.H., Garifoullin F.A., Norden P.N., Ossipov P.A., Karibullina F.R. Surface migration of oil in vacuum systems. // Vacuum in forschung and praxis. 1996. - №2. - p. 105-108.

37. Tazioukov F.H., Norden P.N., Garifoullin F.A. Coating flow of oil films taking into account the interaction of three phases. // Proc. 2nd Int. Conf. on Multiphase Flow. Kyoto. -1995.

38. Karibullina F.R., Garifoullin F.A., Tazioukov F.H. Non-Newtonian fluid film creeping due to thermocapillary force in transport phenomena in two-phase flow. // ed. Chr. Boyadjiev. Bulgaria. - 1997.

39. Tanner R.I. A new inelastic theory of exstrudate swell. //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1980.- v.6.- p.289.

40. Nickell R.E., Tanner R.I., Caswell B. The solution of viscous incompressible jet and free surface flows using finite-element methods. // J. Fluid Mech. -1974,- v.65.- p. 189.

41. Georgios G., Lorraine 0., William S. A singular finite element for Stoces flow: the stick-slip problem. // Int. J. For Num. Meth. In Fluids. -1989,- v.9.-p. 1353-1367.

42. Georgios G., Lorraine O., William S. The integrated singular basis function method for the stick-slip and the die-swell problems. // Int. J. For Num. Meth. In Fluids. -1991,-v.13.- p.1251-1265.

43. Liu Т., Cheng T. Finite difference solution of a newtonian jet swell problem. 74//Int. J. For Num. Meth. In Fluids. -1991.-v. 12,-p. 125-142.

44. Allain С., Cloitre M., Perrot P. Die swell in semi-rigid polymer solutions. II

45. Eur. J. Mech., B/Fluids 1993.- v.12.- №2,- p.175-186.

46. Beraudo C., Fortin A., Coupez T. A finite element method for computing the flow of multi-mode viscoelastic fluids: comparison with experiments. // J. Non-newtonian Fluid Mech. -1998.- v.75.- p. 1-23.

47. Silliman W.J., Scriven L.E. Separating flow near a static contact line: slip at the wall and shape of the free surface. // J. Comput. Phys. 1980.- v.34.-p.287-313.

48. Wesson R.D., Papanastasiou T.C. Flow singularity and slip velocity in plane extrudate swell computations. // J. Non-newtonian Fluid Mech. -1988,-v.26.- p.277.

49. Phan-Thien N. Influence of wall slip on extrudate swell: a boundary element investigation. // J. Non-newtonian Fluid Mech. 1988.- v.26.- p.327.

50. Ramamurthy A.V. Wall slip in viscous fluids and influence of materials of constructions. //J. Rheology 1986,- v.30.- p.337.

51. Luo X.-L., Tanner R.I. A singular finite element for Non-isothermal viscoelastic simulations of extrusion through dies. // Rheol. Acta 1987,-v.26.~ p.499-507.

52. Barakos G., Mitsoulis E. Non-isothermal viscoelastic simulations of extrusion through dies and prediction of the bending phenomenon. // J. Non-newtonian Fluid Mech. 1996,- v.62.- p.55-79.

53. Астарита Дж.б Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М. «Мир»- 1978,- 311с.

54. Гарифуллин Ф.А. Возникновение конвекции и теплообмена в плоских слоях неньютоновских жидкостей. Казань, «Фен» 1994.- 388с.

55. Гарифуллин Ф.А. Механика неньютоновских жидкостей. Казань, «Фен» 1998.-416с.

56. Bohme G. Non-Newtonian Fluid Mechanics. // N.Y.: Elsevier. Sci. Publ.-1987.

57. Tanner R.I. Extrudate swell. // Comp. Analysis of polymer processing. JRA Pearson and SM Richardson, Eds., Applied Science. London. - 1983,-p.63-91.

58. Kheshgi H.S., Scriven L.E. Disturbed film flow on a vertical plate// Phys. Fluids. -1987.- v.30.- p.990-997. f 63.Ryskin G., Leal L.G. Numerical solution of free-boundary problems in fluidmechanics. //J. Fluid Mech. 1984,- v. 148.- p. 1-43.

59. Crochet M.J., Keunings R. On numerical die swell calculations. // J. Non-newtonian Fluid Mech. -1982.- v. 10.- p.85-94.

60. Becker E.B., Carey G.F., Oden J.T. A finite element methods. // Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ -1981.- v.1.

61. Fletcher C.A. Computational Galerkin methods. // Springer-Verlag, New-York-1984.

62. Schulz W.D. Two-dimensional Lagrangian hydrodynamics differencehequations methods. 11 Comp. Physics -1964,- p. 1-45.

63. Hirt C.W., Amsden A.A., Cooc J.L. An arbitrary Lagrangian-Eulerian computing method for all speeds. // J. Comput. Phys. 1974,- v. 14,- p.227-253.

64. Amsden A.A., Ruppel H.M., Hirt C.W. SALE: A simplified ALE computer program for fluid flow at all speeds. II Los Alamos National Laboratory Report LA-8095. 1980.

65. Margolin L.G., Nichols B.D. Movementum control volumes for finite difference codes. II Numerical methods in laminar and turbulent flows. 3rdfint. Conf., Seattle, C. Taylor, J.A. Johnstone, and W.R. Smith, Eds, Pineridge, Swansea, UK-1983,- p.411-421.

66. Huh K.Y., Goiay M.W., Manno V.P. A method for reduction of numerical diffusion in the donor cell treatment of convection. // J. Comput. Phys. -1986.-v.63,- p.201-221.

67. Richardson S. A stick-slip problem related to the motion of a free jet at low Reynolds number. // Proc. Camb. Phil. Soc. -1970.- v.67.- p.477.

68. Richardson S. A. The die swell phenomenon. // Rheol. Acta. 1970.- v.9.-p.193.

69. Trogdon S.A., Joseph D.D. The stick-slip problem for a round jet: I. Large surface tension. // Rheol. Acta. 1980,- v. 19,- p.404.

70. Michael D.H. The separation of a viscous liquid of a straight edge. // Mathematics. 1958. - v.5. - p.82-89.

71. Moffatt H.K. Viscous and resistive eddies near a sharp corner. // J. Fluid Mech. -1964. -v.18. -p. 1-12.

72. Chang P.W., Patten T.W., Finlaycon B.A. Collocation and Galerkin finite-element methods for viscoelastic fluid flow. I. // Comput. Fluids. 1979. -v.7. - p.267-284.

73. Dutta A. A theoretical analysis and experimental study of extrusion flow molding. // Ph. D. Thesis, State University of New York. -1981.

74. Dutta A., Ryan M.E. Dynamics of a creeping Newtonian jet with gravity and surface tension: a finite difference technique for solving steady free-surface flows using orthogonal curvilinear coordinates. // AlChE J. 1982. - v.28. -p.220-238.

75. Batchelor J.J., Berry P., Horsfall F. Die swell in elastic and viscous fluids. // Polymer 1973,- v.14.- p.297.

76. Crochet M.J., Keunings R. Die swell of a Maxwell fluid: numerical prediction. // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1980. - v.7. - p.199-223.

77. Omodei B.J. On the die swell of an axisymmetric Newtonian jet. // Comput. Fluids. 1980. - v.8. - p.275-291.

78. Whipple B.A., Hill C.T. Velocity distribution in die swell. //AlChE. 1978. -v.24. - p.664-679.

79. Chang P.W., Patten T.W., Finlaycon B.A. Collocation and Galerkin finite-element methods for viscoelastic fluid flow. II. // Comput. Fluids. 1979. -v.7. - p.285-303.

80. Omodei B.J. Computer solution of a plane Newtonian jet with surface tension. // Comput. Fluids. 1979. - v.7. - p.79-99.

81. Mitsoulis E., Vlachopoulos J., Mirza F.A. Numerical simulation of entry and exit flows in slit dies. // Polym. Eng. Sci. -1984. v.24. - p.707-726.

82. Adachi K., Yoshioka N. Tube exit flows and laminar Newtonian jets in the atmosphere. // Proc. IX Int. Congr. On Rheology. Mexico. - 1984. - p.329-335.

83. Kennings R. An algorithm for the simulation of transient viscoelastic flows with free surfaces. // J. Comp. Phys. -1986. v.62. - №1. - p. 199-220.

84. Missirlis K.A., Assimacopoulos D., Mitsoulis E. A finite volume approach in the simulation of viscoelastic expansion flows. // J. Non-Newtonian Fluid Mech.- 1998.-v.78.-p.91-118.

85. Dussan E.B., Davis S.U. Stability in systems with moving contact lines. //J. Fluid Mech. 1986. - v.173. - p.115-130.