Устойчивость в пространстве W1p преобразований гомотетии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

А Л á A ti U й (i НАУК G G G P

Gw5rfrCK0i¿ OTAÜJUiHílí УЙСГЛГУТ нАТЕмА'ШЛ

На правах рукописи УДК 517.54

Соколова Татьяна Владимировна

ГЛ'ОЙЧуйОСТЬ à ¡IP OürPAHGlöt. Wp ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГОйОШ'йИ

Ol.Gl.OI - математический анализ

Автореферат диссертации на соисканж ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - ÍS'JÍ

Диссертация выполнена в отделе геометрии и анализа .Института математики. СО АН СССР

Научный руководитель

академик ¿¿.Г. Решеташс

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, процессор

к.В. ЙИКЛЕКОЗ

Ведущее учрекдение

кандидат физико-математических наук.,, доценг_ С. К. Водопьянов-

Московский, государственный университет- имени М.В* Ломоносова,

Защита состоится "_"___1991 г.,,

в - часоЕ на заседании специализированного совета К 0С2.£3.0Н г Институте математики СО АН СССР по. адресу. : 630090, г. Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4, ,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке. Института математики СО АН СССР .

Автореферат разослан

1095. Р.

Ученый секретарь совета кандидат физ.-мат. наук -

В.В. Иванов

Ùcutfiri ллрАКТаР /К!' ¡¿iâ. РАБЦШ

Актуальность тени, à последние десятилетий рядом авторов интенсивно ръ.зрабатизаются вопросы устойчивости б теоремах единственности анализа и дифференциальной Г!;оме*рпи. Хорошо известна теория устойчивости конформных преобразований пространства в классе отображений с ограниченным ие.гсаккшйм, получккшак свое развитие в работах 1а.А. Лаврентьева, il.11. ¿елиисяого, й.Г. Реаетнйка. йнтерсониз результаты об устойчивости изометрических пре образований были получеми ■->. Джоном. Б г о исследования были инициированы работами, по математическим проблемам механики оплоаной среди., л.Г. Гуровым были рассмотрены вопроси .уступчивости преобразований лоренца. U.ri. ¿сдог.ьннсв падучий з наиболее ooysfi форме оценки отклонения £. -кэазиомбиличйоадй? Зойерхности от сферы. A.il. лопыдов исследовал устойчивость класоов многонер-HUJ. голоморфных отображений, им была разработан» концепция

^ -устойчивости классов отображений, il.G. даирбековым бил рассмотрен вопрос о 1 -устойчивости классов решений эллиптических

систем линейных дифференциальных уравнений, й то НА время остается ряд нерешенных проблем. Представляется интересным вопрос об устойчивости преобразований гомотетии.

Цель работы. Диисср.йционная работа посвящане изучений устойчивости преобразования гомотетии в классе отображении Tk

, определяемом посредством дифференциального нзразенства,

содержащего параметр b^jL '. При h-й. отображения класса

"Т является гомотетиями. ¡Задача об устойчивости сюбтоит в

L

том, чтобы показать, что при П. , близком к X, отображения блиаки к гем отстала.

к s'год и к су I : о с л е д о в а а., я ■■ Л диссертации попользуются методы математического анализа, разработанные в связи с исследованиями устойчивости в теоремах единственности геометрий и анализа.

Научная новизна, изе основные результаты диссертации является ьо¿»ми. à н.ги ^оказано, что отображения класса Тп

прл h , достаточно близком к I, является отобращениями о огра-KH4sHr:i.K .jCiiCiif.sHH'oM, лолучьки оценки устойчивости в ьор4е проот-

ракства р ) количественные сценки отклонения отображений -г-6

класса от гомотетии, показана асимптотическая эквивалент-

ность кла.сС(?в ~Гп при различных значениях . к

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический '«»рак^ер. Результаты диссертации могут оыть использована Лри из^гкии пространственных отображений, которые осуществляются- функциями, принадлежащими Соболевским функциональным класса*.:.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (г. Новосибирск, 19дЭ г.), на сзминаре отдела геометрии и анализа Института математики СО ЛИ СССР, на семинаре по теории пространственных отображений под руководством академика У. Г. Решетника в Новосибирском государственном университете.

Публикации* Основные результаты- диссертации опубликованы в работах /I/ - /3/.

Объем рр.ббти. Диссертация изложена на 132 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав и списка лите-ратурь, включающего 2-1 наименований.

0Б<ЮР СОДлРЛАНИа РАБОТЫ

Известно, что отобракзкпя с ограниченным искажением удовлетворяет неравенству

КШх.р) а)

где К ^ й. , 3 ( ОС., £ ) - определитель матрицы йкоби

отображения з точке X . ^

3 работе рассматривается класс Т отобракенйй лростран-п

отвз 1г\ , % * к < П. , удовлетворяющих неравенству

1а)

ч

где Я?-! , У^ , - сумма главных миноров поряд-

ка к матрица Яксбй отобтакения -( з точке X , деленьая

г*

на " '

Определение. Пусть ^ - область в ¡К , X 17 1К отобракенке класса ^^¡з • глэ 2- - Ь <

Будем говорить, что -С принадлежит классу "Т п , если

1) £ непрерывно;

2) функция ОС <—► Ке меняет знака в области X/ и существует число Ь?1 такое, что для почти всех I/ выполняется неравенство (?.).

Наименьшее К , при котором неравенство (2) выполняется почти всюду в области I/ , обозначается

Б главе I устанавливаются предварительные оценки устойчивости. й § 1.1 доказывается, что при 1 отображение

-г-Ь

класса 'п является гомотетией. Устанавливается неравенство

для Т^ ("Х-.^) ■ , являющегося аналогом неравенства для вко-пианов.

Лемма ¿.¿.1. Пусть X/ - открытое множество ь Ж. , , - отображения класса . Тогда для всякой

функции € (X/) . . выпи»кпАтся неравенства

¿то '¡¿равенства ебдяйтоя ключсвкм к § ¿.¿- С его помощью устьнав-

. -г к

лнвайтся озоиствй семгйотв отображений класса 'п . Доказывается, что'если' >КП) , т- 1,2;... - последова-

5 в ' • '

тельность отстранении класса ! , сходящаяся при т —* со

в ^^^ (17) к некоторому от об рамен ид

^о € (?ос (\7) , и существует постоянная

Ь0 ^ 0-0 такая, что Ь (£т) ^ Ь0 ДЛЯ асех т , то предельное отображение такие принадлежит классу

Ь ^"/"о^ ^с т ^ , На основании этого

утверадения доказывается теорема о локальной устойчивости пре-соразовании гомотетии в классе I , не дающая точной информация об отклонении отображений от гомотетий.

Теорема 1.2.1. Для ллюих С^- , О < с^ < 1 ( к ,

г <- К < П существует функция ^ : [ О , к /( К - Ь)] — К

такая, что ¡и(-1)-—0 при "ЬО и для всякого ото--

М- / ^

браленмя , оасса Тп , для' кото-

рого Ь (р - п/(п~к) . «окно указать гомотетии такую,

что

/I ■ Г*' # 1й]( ] ! | к о:)

В

для всех

X 6 В Сси. о, ъ)

Следствием локальной устойчивости являотся ¿цепки для областей диона.

Зо второй глава устанавливается связь мекду отображениями с

-гк

ограниченним искажением и классом ! п . доказывается, что при

~ к п

'¿¿оэхв?вор,:ет такое и неравенству (I;, определялцему отображения с ограниченным искажением. При &том коэффициент К (^) стре-кнтся к I, если Ь ) стремится к I.

Ь ( £ ) , достаточно близком к I, отображение класса (

С помощью этого факта доказывается утвер«;лек/.з о том, что гомотетию у , приближающую отобраяениз £ , можно ва-

брать таким образом, чтобы производные у? такяе были близки г.

соответствуэним пролзаоднии / . При отом расстояния иекду производными измеряются, в норме пространства Ц р и оцениваются через норму производной отображения и?

Лемма 2.1.3. Для лабнх , 0 í , )? , 2 -4 к < ¡а,

существует неубывающая функция , 6 ] —• ¡Я , где

& - к /(»*- Ь) г такая, что при

-Ь —> О и выполнено следующее условие. ^

Для любого отображения ^ • X/—? ^ класса Т"п , для которого Ь (■§•) £ сГ и -ара 2> = 6) (й.Ъ ) С У такого, что В (^,2 С {/ > можно указать отображение гомотетии у таким образом, что

1 / I г' &

для всех ОС 6 В , где С - постоянная, не зависящая от -

^ " Функция, определенная в теореме 1.2.1 ;

% . к

где

Следствием этой леммы является утверждение о том, что ото-

бракепия класса Ти принадлежат \Х/ , (\7) . Кроме того, и " Л.Сос ^ £

долазивается, что якобиан отображения класса "Т~п при К- , достаточно близком к I, не меняет знака в области типа Джона. Таким образом, существует £0 такое, что если + £ .

г

то ? является отображением с ограниченным искажением.

&том К (И) стремится к I при И- , стремящемся к 1.

Следствием этого утверждения являются теоремы. о топологических

■ук

свойствах отображений класса 1п и равностепенной непрерывности семейств отображений.

В главе 3 уточняется порядок отклонения отображений от гомотетий. При отом используются интегральные представления функций. В § 3.1 вводится дифференциальный оператор 0> , который

обращается в 0 на множестве гомотетии НЛ. Доказывается, что если X/ - область, звездная относительно шара, р>1 , П проектор пространства на п„ , то существует число-

С<со такое, что для либого ^^Х^ (Т/) справедлива оценка

Пусть

куб в /<Ч . В § 3.2 вводится проектор ' р пространства У\/р(0) на иночество преобразований гомотетий Н^ . При ото» Н(ъ рассматривается как замкнутое подпространство гильбертова пространства ^¿(О) . доказывается, что гомотетия у , близкую к отсбр&кенкв £ класса Т"^ , мокно выбрать так,А1 образом, чт"Сы она удовлетворяла дополнительному условий. Отклонение отображения ^ от гомотетии у , не являющейся тождественной постоянной, измеряется здесь посредством разности у> - Л. с . , где Х£ - тождественное преобразование.

Лемма 3.2.4. Существуют число

сГ >0

и неубывающие функции ^¿Ло.Л-у /Д _ ^[О.М— (П такие> что

£ст (±) ~ ¿¿т ~ О и ВЫПолнано следующее

±~* о О ^

условие. Для любых кубов (О., 1) >

О & ( , £ Ъ) и отображения ¿' '■ (Я класса

, 2 ^ Ь < 11. , Ь (^ ) 1 + (Г можно указать ото-

бражение гомотетии , не являющееся тождественной постоян-

ной, такое

, что если ^ = у 1 о £ , то

х) р(9-1Е) = о .

2) I

для всех

а

3) * 101^ ДЬф-1])

а

В § 3.2 устанавливаются оценки для оператора С? . Доказывается, что если £ принадлежит классу

и (тс } = -С ('тс ) - ос , то выполняется неравенство

4Л , ч

где С^УпТп^/Й , р (0-)= О (ип3/г) при

Г— О и О ^ ^ (0-) =; I ^ I при всех Iг .

При псмозд этого неравенства определяется порядок интегрирования производных отображений класса . Т£ и уточняется поведение

Функции, измеряющей отклонение отображений от гомотетий. Доказываются следующие теоремы..

Теорзма Э.2.2. Существует'постоянная &0>0 такая, что Г Т7 Т?^

всякое отображение ^ «\ класса | ,

2. ^ К < П. , ДЛЯ КСТОрОГС Ь= Ь(-С) ^ 1 + , пря-

1 г \ •

надлежит класс-у , (О для всякого п ,

Р ,сос г '

к < р < С0/{Ь-й) , где С0 , 0 * < оо - постоянная, зависящая только от П и к .

Теорема 3.2.3. Существует постоянная сР^ > О та;сап,

что если ■'|1\ . 3 - отображение класса Т"п ,

для которого Ь. = ¡1 (£) 1 + , то для всякого куба

СИ-ОС

л, г) , для которого куб О г О (а, 2.г) содержится в \7 , мо.яно указать отображение гомотетии ^р такое, что и для любого р , & ^ р <С0/Ь-1). где Со ~ постоянная теоремы выполняются неравенства

Устанавливается, что аналогичные оценки справедливы и для областей т>:ла дйона. Таким образом, получаем, что для любого

отображения класса ~ГП , для которого 4.

' " л

найдется гомотетия ^ такая, что отображение ^ ~ ^ °3" представпмо в виде

д(х)= х+еи(эо) , о)

где - 1) , а иСХ.) ограничена в корме прост-

ранства константой, не заапсядег; от | . В з 3.3

уточняется строение функции Ц- . Доказывается, что и- допускает представление

иСх) = ио(0С)+ р(эс,£) . Сч)

•где ¡1 р ( ^^^'^(и)-^0 ПРИ О . а для

(и-0 является ограниченным дифференциальный оператор О : | Оц0(х)|^ С • Яри ЗТ0М аля константы С ука-

зывается ее конкретное значение.

При помоги представлений (3; и устанавливается количественные оценки отклонения от об раке ни:"; от гомотетии. Если

« П2>3 - область, ыигяааг. ¿а^ с

вкугроккии с^ к О радиусс^,:,

1о

Рп

то

£-*£> £ к 1- 1 А-В '

/\=Д(п>) , В - В (п,к)

В § Э.ч рассматривается ^ -устойчивость преобразований гомотетии. ц ^

Пусть (£) - семейство отображений класса Т^ ,

для которых ^ ¡^ £ • Доказывается, что семейства

отображений 5П (£), 2 й , при В О асимптотически эквивалентны семейству отображений, -близких к гомотетиям. Та;::-.м образом, отобракения., {£,■£) -близкие к гомо-

-т-и

тегиям, являв?сч.Овексгчями класса 1 ^ , при этом-

1 Дь/О-^0, при £->0 .

Следовательно, ЛлСйотез отображений (&-) при различных

значениях к , -3- .4 < П. г являются асимптотически эквивалентными.

Д заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю академику О.Г'. Рекетняку за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕЙЕ ДИССЕРТАЦИЙ

1. Соколова Т.В. О поведении отображений с ограниченным искажением, близких к конформным // Сиб. мат. журн.- 1968,Т. 29, ¡й 3.- С. 213-215.

2. Соколова 'Г.В. К вопросу об устойчивости некоторого класса отображений // Всесоюз. конф. по геометрии и анализу, Новосибирск, ноябрь 19Ь9 г.: Тез. докл.- Новосибирск, 1969.-С. 61.

3. Ьр -интегрируемость производных отображений, близких

к гомотетиям / Ред. "Сиб. мат. курн." - Новосибирск, 1991.16 с.- деп. в ЩША.

—

Подписано к печати 17.04.91

Фораат бумаги 60*£А 1/16. Объем 0,7 п.л.; 0,7 уч.-яяд. л. Заказ ив Тирак 100 экз.

Отпечатано на ротапринте Института математики 00 АН ССОР, 630090, Новосибирск, Университетский лроспекг, Ч