Устойчивость в пространстве W1p преобразования гомотетии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

I/

/ А 11 А Д К 14 И II НАУК СССР

I

ОЙБйгшй адшанл; ШСГЛГУТ ИАТ&1ДТми

На правах рукописи УДК 517.54

Соколова Татьяна Владимировна

У СТОЙКОСТЬ ¿1 ¡¡РОСЕРАНЩЖ V 11Рд0БРАо0йАНИ* ГОМОШ'ЙЙ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фигико-мьтематических наук

Новосибирск - 19У1

Диссертация выполнена в отделе геометрии и анализа Института математики. СО АН СССР

Научный руководитель

Официальные оппоненты •

академик ¡¿-Г. Рететняк.

доктор фязик.о-ыа1е*4йти-ческих наук, профессор к.В. йиклекоз

кандидат физико-математических над к.,, доцент_ С-К. В-одоиь янов

Ведущее учреждение Московский государст-

венный университет имени ¡4. В* Дошэносова,

Защита состоится. "_"___1991 г.,.

в ■ часов на заседании специализированного совета К 002.23.02 г Институте математики СО АН СССР по, адресу. : 6:30090, г. Новосибирск, 90, Университетский проспект, .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке. Института математики СО АН СССР .

Автореферат разослан "__"__г».

Ученый секретарь совета кандидат физ.-мат. наук -

В.В. Иванов

ОищлН ЛлрЛКТй?/1£1'й:1Д. РАьОХи

Актуальность теми. Ь последние десятилетия рядом ьзторов интенсивно разрабатываются вопросы устойчивости в теоремах единственности анализа и дифференциальной геометрии. Хорошо известна теория устойчивости конформных преобразований пространства в классе отображений с ограниченным искажением, яолучивиая свое развитие в раоотах ¡'¡.А. Лаврентьева, il.ll. ¿елиис;сого, й.Г. Решетняка. Интересные результаты об устойчивости изометрических преобразований были получены Ажонсм. .»--го и с след здания были инициированы работами по математическим проблемам механики сплоиной среда, л.Г. Гуровым били рассмотрены вогфосы устойчивости преобразований лоренца. ¿сдог.ьянов получм з наиболее оочей форме оценки отклонения £ -каазиомбииичОокд!? йсверхности от сфеоы. А. 11. лопылов исследовал устойчивость классов многомерных голоморфных отображений, им била разработан» концепция

-устойчивости классов отобракений. 11.С. даирбековым был сас-

смотрен вопрос о £ -устойчивости классов реаений эллиптических

систем линейных дифференциальных уравнений, й то £3 время остается ряд нерешенных проблем. представляется интересным вопрос об устойчивости преобразований гомотетии.

Цель работы. Диесер.ационкая работа посБШцйна изучение устойчивости преобразований гомотетии в кльс'сз отображении -г-!?

| , определяемом посредством дидеренциадьисго неравенства,

содержащего параметр П X . При П-X отображения /.л а аса

"7" 4 явлР.йтсА гомотетиям и. ¿Задача ой устойчивости состоит в

том, чтобы полазать, что при Я. , близком к I, отображения близки к гомотетлям.

методика исследования. А диссертации используются, методы математического анализа, разработанные и связи с исследованиями устойчивости а теоремах единственности геометрий и ааелизн.

Научная новизна. асе основные результаты диссертации являются ьойл-1й. о н.;й .показано, что отображения месса Хл

пп.1 Ь , а'.'сготочно близком к I, яаляд-еоя отображениями о огра-качыгкьк , .юлучеки оценки устойчивости и ьорМе прост-

раиства \л/ р ^ количественные сценки отклонения отоОракений класса от Гомотетий, показана асимптотическая эквивалент-

ность едассф^ Гп при различных значениях М .

Лра№неека'£ и теоретическая ценность. Работа носит теоре-тичсо^ВД'ХйракЯер. Результата диссертации могут оыть использованы пр_ц из^Яении простоанственных отображений, которые осу-цестялял'ПгяГфункциями, принадлекацими Соболевским функциональным клее сак.

Апробация, работы. Результата диссертации докладывались на Бсзсойзной конференции по геометрии и анализу (г. Новосибирск, 1969 г>),,на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики С& АН СиСР, на семинаре по теории пространственных оусбракеш-ш род руководством академика ¿1.Г. Реиетняка в Нов оси-бирско!'" государственном университете.

Основные, результаты диссертации опубликованы в работах /I/ -. УЗ/.

Диссертация изложена на 132 страницах машинописного текста,, состоит из введения, трех глав и списдш литература, вкдкчаюэдго 27 наименований.

ОВЖ СОДаРл£АНШ РАБОТЫ

Известно, Что стобрекзнкя с ограниченным искажением удовлетворяя? неравенству

|!/(х)1Г^К!Лх,р| ш

где К 5= 1 , J ( X . ^ ) - определитель ыдорж« йкоби отображения- в точке Х- . ^

3 работе фй^вматриЪается класс отображений простран-

ства К , 1« к < гг , удовлетворявших неравенству

ЦыИ** Щг*./»/ со

где к. > 1 , Т^ , - сумма главных миноров поряд-

ке. к натрии« отобоакения X в точке X , деленная

на

Определенна. Пусть ^ - область в К „ ■ [7 ~* ¡К отобраменне класса ^^^ ' г,5е ~ * ^ < ,г'

Будем говорить, что X принадлежит класс;/ ~Т"П , если

1) ^ непрерывна;

2) функция. XI—» Х^Х,^) ке меняет знака а области Х7 и существует число такое, что для почти всех х€ С/ выполняется нераьснсдао (?.)■

Наименьшее ¡1 , при которой неравенство (-) выполняется почтя всюду в области Ъг , обозначается Ь(^)

В главе 1 устанавливаются предварительные оценки устойчивости. 3 § 1.1 доказывается, что при отображение -рк

класса /п является гомотетией. Устанавливается неравенство

для Т^ ("З-• £) ' . являющегося аналогом неравенства для яко-бпйьов.

Т Т ..П-.

Лемма £.¿.1. 11ус:ть V/ - открытое множество л 1К ' J ' С[ - отображения класса (Т./) . Тогда для всякой

Функции € С0 ("[/) зыпи кявтся неразенсгаа

к

(Iь\)/г ' ' . ¡>-1

У и'] «^-^тИ^Ч^^и)

¿то чзравенство является ключевкм ь ^ 1.2. С его помощью усташв-ллкаатоя свойстве. семзйота отображений класса I п . Доказывается, что если ( т : V -г* К ) , 1, 2 ; - последоза-

-т-к

те ль н ость отобрадеиий класса I ^ , сходящаяся г.ри гп —•• »о

в £ос (X/) к некоторому отображению

^■о € Ь ^ £осСи) , и существует постоянная

Ь0 < 0-0 такая, что Ь () ^ На для всех т , то предельное отображение также принадлежит классу

Т ^ ^ в^т ^ ^т) • На основании этого

утверждения доказывается теорема о локальной устойчивости преобразований гомотетии в классе Т* , не давдая точной информации об отклонении отображений от гомотетий.

Теореми 1.2.1. Для любых , О < < 1 , к ,

г <- к < И существует функция ^ : [О , I? //п-Ь)]К

такая, что ¡и ) —* О ' при О и для всякого ото-

п. 1 Ь

браизния , ^(ВСа.г)) класса Тп , длй1 кото-

рого Ь ) й. п/(п - к) . '¡окно указать гомотетию ф' такую,

, т ^ * ш.1 II ) 1С "

I

что

Г ^

В (а,'¿У

для всех ХёВ(а.С|г)

Следствием локальной устойчивости являются оценйк ¿ля областей .» деонв.

?.о второй главе устанавливается связь нейду отображениями с

-г-к

ограниченным искажением к классом I п . доказывается, что при

Ь (^) . достаточно близком к X, отображение класса Тп

удозлз?зор,:зт так;::е и неравенству (I), определяющему отображения с ограниченным искажением. При этом коэффициент К (£) стремится к I, если' Ь (£ ) стремится к I.

G помовд>ю этого факта доказывается утворииек;« о том, что гомотетию у , приближающую от об ранение -f , мояно выбрать таким образом, чтобы производные также были близки к

соответствующим производном £ . При этом расстояния меклу производными измеряются, в норме пространства L р оценивается. через норму производной отображения у>

Лемма 2.1.3. Для любых Cfr , 0 < ^ < 1 , k t существует неубывающая функция juz [ О , 6 J —* 1R , где

сГ = к к) у такая, что jU2(±)-*0 при

t -* О и выполнено следующее условие. ^

Для любого отоб paste ник •'U ~* ^ класса Т^ ,ддя которого Ь (j-Л ir i-г о ;; аира В = S С XT такого, что

В (ОС. ,2 Ъ ) С X/ t мо,«но указать отображение гомотетии tp таким образом, что

Г I к Л1R ^i^^M.c^Lhip-iliJIfix)! doc)

ь

для всех ОС 6 В , где С - постоянная, не зависящая от JU^ - Функция, определенная в теореме 1.2.1 ;

ju4[h(f)-l] l|y'ULi % kv

где

Следствием этой леммы является утверждение о том, что отображения класса Ти принадлежат „ (\]\ • Кроме того, * * 'V n,ioc К £

доказывается, что якобиан отображения класса Т^ при К- , достаточно близком к I, не меняет знака в области типа Джона. Таким образом, существует £0 такое, что если K(-f) +

г

то $ является отображением с ограниченным искажением. крестом К (И) стремится к I при К , стремящемся к I. Следствием этого утвергадения являются теоремы, о топологических

Тк

свойствах отооракении класса 1п и равностепенной непрерывности секейстл отображения.

й главе 5 уточняется порядок отклонения отображений от гомотетий. При отом используются интегральные представления функции. 3 § 3.1 вводится дифференциальный оператор , который

обращается в 0 на множестве гомотетии Н^ . Доказывается, что если X/ - область, звездная относительно шара, р> 1 , П проектор пространства на Ни , то существует число-

С<со такое, что для любого ^ ^АК/* (\] ) справедлива оценка

III - л-И! ' ^ с II а I и

Пусть 0-0((1,1.)- куб в К . й § 3.2 вводится проектор ' Р пространства \гУр(0) на множество преобразований гомотетий Н^ . При стон Н^ рассматривается как замкнутое подпространство гильбертова пространства (0) , доказывается, что го-(¡огеткз у , близкую к отображению у класса I ^ , можно выбрать таким образом, чт^Са она удовлетворяла дополнительному уо~ лог.ий. Отклонение отображения £ от гомотетии у , не яеляю-

•декся тождественной техоякной, измеряется здесь посредством разности Ф ~ X £ , где 2'с - тождественное преобра-

зование.

Лемма 3,2.4. Существуют число сГ>0 ц неубывающие Функции Я , /К такие, "что

2L.ni ) - €ит и выполнено следующее

условие. Для любых кубов О - С} , ^

О = С> ( а 1 2 Ъ) и от обр а кения /' • класса

Т * , ь < 1г ,

можно указать ото-

сражение гомотетии КР , не являющееся тождественное постоянной, такое, что если О = о ^ , то

I) Р(о-Хс) = 0

2) г ^ [11

для всех " ^

1« а

3) 5|д'(ос)-ЕГс/я: * г[Ь(Я-1])

б "

В § 3,2 устанавливаются оценки для оператора ЧЛ . доказывается, что если £ принадлежит классу Т^ ,

и (ос) = (-х) - ос , то выполняется неравенство

±!к

|Ои(х-)) «с (Ь-1) и^х.р) + £ (Ии'(*)И) , где , р (и-)=0 (ипъ/г) при

О-— О „ о р Си-) й 1 ^ I при всех 1Г .

Пси помощи этого нешвенства определяется порядок интегрирова-ниа произзодних отображений класса . Гп и уточняется поведение

функции, изнеряицей отклонение отображений от гомотетий. Доказываются следующие теоремы.

Теорема 3.2.2. Существует постоянная С^>>0 такая, что Г .77 -

всякое отсбглао«:«? у • >-/ класса I

' ^ и I / сп

2. £ К < П- • к^т.рогс т + ) ^ 1 + 00 , принадлежит классу *№/а »пс1^7) для всякого р ,

к <р < С0/('Ь-'.1) , где С о , 0 < С0 < - постоянная, зависящая только от Пик.

Теорема 3.2.3. Существует постоянная сГ^ > О такал,

что если • >3 - отображение класоа ~Тп ,

для которого 1 + сГ^ , то аля всякого куба

й- и(а, г)

, для которого куб

0 = 0(а, 2г) содержится в \7 , можно указать отображение гомотетии такое, что

у'(зс) £ О и для любого р , < Со где

Со - постоянная теоремы выполняются неравенства

Устанавливается, что аналогичные оценки справедливы и для областей типа дяона. Таким образом, получаем, что для любого

отображения класса "Т"п . для которого Ь (£ ^ ^ 4. + сГ^

ьайдется гомотетия у такая, что отображение ^ -1р представпмо в виде

д(х)= X + е и(эс) , (з)

где - 1) , а и(Х) ограничена в норме прост-

ранства константой, не зависящей от £ .За 3.3

уточняется строение функции и> . Доказывается, что И- допускает представление

исзс)= и.0(ъ) + р (ъ: • 00

•где II |

—О при £ О , а для

и.0 является ограниченным дидл^ренцпильный. оператор О : С • При этом для константы С ука-

зывается ее конкретное значение.

При помои,и представлений (3.) и (*0 устанавливается коля-честзенныз оценки отклонения отображен'.::; от гомотех..,:. ¿ели {/сДЗГ . п*3 - область, ььогдла:: . — зегге.^ю -ирс а внуЕронк::^ с1 и зиенши: О рсдауссл;,:,

то

£«р -1рН _.тп

Ьф^Н+б

о £ ^к 1- 1 А-В

(А-В)с1 А 1 7

Д=Д(п>) , В--В(п>)

В § 3.4 рассматривается -устойчивость преобразований гомотетии. ^ ^

Пусть

5П (£ ) - семейство отображений класса Тр ,

для которых ^ ^ 4+ £ • Доказывается, что семейства

отображений 5П (£), 2йк<П, при £ —> О асимптотически эквивалентны семейству отображений, (£,^ ) -близких к гомотетиям. Таким образом, отображения, (£ , г ) -близкие к гомо-

Тк

- - ± - - Р , при этом

Ь(р£ I ! гд; (£■)—■>0 при £-»0 .

Сяедовате ль г о. еачеПстпа эхобидовиий З^4 (£•) при различных

значениях Р. , £ Р. < ^ является асимптотически эк-

вивалентными.

3 заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю академику 3.Г. Решетняку за постановку задачи, постоянное внимание и пометь в работе.

И

РАБОТЫ АВТОРА ПО Т£мд ДИССЕРТАЦИЙ

1. Соколова Т.З. О поведении отображений с ограниченным искажением, близких к конформным // Сиб. мат. журн.- 1968.Т. 29, 3.- С. 213-215.

2. Соколова Т.В. К вопросу об устойчивости некоторого класса отображений // Всесоюз. конф. по геометрии и анализу, Новосибирск, ноябрь 1969 г,: Тез. докл.- Новосибирск, 1969.-С. 61. '

3. 1-,р -интегрируемость производных отображений, близких

к гомотетиям / Ред. "Сиб. мат. ¡курн." - Новосибирск, 1991.16 с.-деп. в ЗШЙГЙ.

Подписано к печати 17.04.91

Форааг бумаги 60«£А 1/16. Объем 0,7 п.л.; О,? л.

Заказ ЦБ Тирак 100 экз.

Отпечатано на ротапринте Института математики СО АН СССР, 630090, Новосибирск, Университетский проспект, 4