Устойчивость в пространстве Wp1 преобразования гомо... тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

а Л А Д л м А Л Н а У К С С С Р 'I

/

СиоЙГСШ ОТДйШШ ИНСТИТУТ наТЕмАМЫ

На правах рукописи УМ 517.54

Соколова Татьяна ¿ладимировна

УСТОЙЧИВОСТЬ й 11РОСГРАНСЛ'ок. АX/р 1(Рй0£РАо0йАН44 ГСаОГлГИИ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - ¿9У1

Диссертация выполнена в отделе геометрии и анализа .Чнститута математики. СО АН СССР

Научный руководитель

аллдемик И/.Г. Решетшис

Официальные оппоненты

доктор физико-математических ниук, профессор ¡'1. В. ¡»¡иклекоз

кандидат физико-математических наук.,, доцент_ С. К. Водопьянов-

Ведушее учреждение

Московский государственный университет имени и.В> Ломоносова

¿ащита состоится

___"___1991 г.,.

в - часов на заседании специализированного совета К QCZ.u3.Q2. г Институте математики СО АН СССР по. адресу. : 630090, г. Новосибирск, 90, Университетский проспект, .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке. Института математики СО АН СССР .

Автореферат разослан "

11993} г:

Ученый секретарь совета кандидат физ.-мат. наук -

д.Ь. Иванов

ÜcinAh ллр РАБОЫ

t

актуальность тени, ri последние десятилетия рядом авторов интенсивно разрабатываются вопросы устойчивости б теоремах единственности анализа и дифференциальной геометрии. Аоросо известна теория устойчивости конформных преобразований пространства в классе отображения о ограниченным погашением, получившая свое развитие в работах to.A. Лаврентьева, il.ll. ¿елинсяого, й.Г. Решетника, интересные результаты об устойчивости изометрических преобразований были получени t>. Дясонсм. Его исследования были инициированы работами по математическим проблемам мехаяики сплоыной среди, а.Г. Гуровым были рассмотрены вопроси устойчивости преобразования лоренца. ¿сдог.ьянов получил .? наиболее обцек форме оценки отклонения £ -кзазиомбиличёсюо!"-? поверхности от сфеоы. А.11. Копылов исследовал устойчивость классов многомерных голоморфных отображений, им была разработан» концепция

1» -устойчивости классов отображений. И-С. даирЗековым <5ыл рассмотрен вопрос о ^ -устойчивости классов решении оллИгггических

систем линейных дифференциальных уравнений, ä то »е время остается ряд нерешенных проблем. Представляется интересным вопрос об устойчивости преобразований гомотетии.

Цель работы. Лиесер.анионная работа посвяцена изучений устойчивости поеобразеваний гомотетии в классе отображении

-т—k

I , определяемом посредством дифференциального неравенства,

содержащего параметр h? .1 . При h-4- оХОбранения класса

являются гомотетия«и. Задача об устойчивости состоит в

том, чтобы показать, что при h , близком к I, отображения близки к гомотетиям.

методика ¡'.сследовс'.гг/я. .i диссертации используются, методы математического анализа, разработанные в связи с исследованиями устойчивости в теоремах единственности геометрии и анализа.

Научная новизна. и ее основные результаты диссертации являются ьоа^ми. о ней ^оказано, что о г об ранения класса ~["п

п-.л Ь , д^оюточно близком j; 1, являл гея ото.)ра.;лниями с огра-ничьккьк „ос.Ав.ниь.:», ¡юлучеки мцен;сп усто^чллоотп в норме прост-

ранс.тва р ^ количественные сценки отклонения отображений класса I ^ от Гомотетий, показана асимптотическая эквивалентность кла,ссрз ~Т~п при различных значен..лх к

Лрактяческая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический '«фактор. Результаты диссертации могут оыть использованы Прч из;Менци пространственных отображений, которые осу-честядяатоя, функция,/.и, принадлежащими Соболевским функциональным классах.

Апробаиия работы^ Результата диссертации докладывались Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (г. Новосибирск, 1&о9 г.), па семинаре отдела геометрии и анализа Института математики 00 ЛИ СССР, на семинаре по теории пространственных отображений под руководством академика ¿).Г. Решетняка в Новосибирском государственном университете.

публикации^ Оснозные результата диссертации опубликованы в роботах /I/ -. /3/.

Объем работы, диссертация изложена на 132 страницах машинописного. текста, состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 27 наименований.

ОБЗОР СОдаРдАНШ РАБОТЫ

Известно, что отображ2пня с ограниченным искажением удов-л е тв о р я. .а г н е ра ве к с тву

¡¡7'(х)1!а^ КШх.р! со

где К 1 , 'S{'X.,j■J - определитель матрицы Якоб и отображения. ^ в тс^ие X ^

3 работе класс ~Т~п отображений яростран-

пп

ств д /К , 2.к < п. , удовлетворявших неравенству

где Ь. > 1 f Т^ J) - сумма главных миноров порядка к матрицы Якоби отображения з точке X , деленная

Г*

на U

п

п л г _ _]V

Определенна. Пусть - область в IR. , -f ■ (J IR отобракенте класса ^^ь Р >• гДе 2- * k <

. - к Будем говорить, что X принадлежит классу ~Т ^ , если

1) ^ непрерывно;

2) функция X 1—*■ ке меняет знака б области и существует число Ь?А такое, что для почти всех х€ С/ выполняется неравенство (2).

Наименьсее Н , при котором неравенство (2; выполняется П0 1ТИ асюду л области I/ , обозначается

Б главе I устанавливаются предварительные оценки устойчивости. д § 1.1 доказывается, что при отображение

класса I п является гомотетией. Устанавливается неравенство

для • Т^ ■ , являющегося аналогом неравенства для яко-

бианов. '

Лемма £.¿.1. 11усть 17" - открытое множество а ' $' '

- отображения класса ^^ • Тогда для всякой

функции б выполняются неравенства

т/ , . 17

¿то чзрааенстдо является ключевым ь $ 1.2. С его помочью устьнав-

-рЬ

л ¡таятся ецогютиг. семзйота отображений класса I п . Доказывается,. что если ( -^-'17 —> К' ) , т-- 1,2;.. - посяедоза-

-г-к

те ль ность отображений класса I п , сходящаяся при т —* оо в ¿ос ) к некоторому отображению

С )_ ^ £ос (Х7) , и существует постоянная

^ оо такал, что Ь () ^ Ь0 для всех т , то предельное отображение также принадлежит классу

Т Ь ^с т ^ ^/т) • На основании этого

п 1 гл -»оо

утверждения доказывается теоосма о локальной vcт.-mчuнnr^.ти ппр-

' тЬ " ' "

образований гомотетии в классе I , ке данная точной информации об отклонении отображений от гомотетий.

Теорема 1.2.1. Для лаоих , О < 1 , к ,

2 « к < И существует функция : [О , к /Сп - К

такая, что ¡и —* О при 'Ь О и для всякого ото-

0 »VI

б раке кия ^В^-Л)"^ , ^(В(а,г)) класса Тп , для1 кото-

í-t) —О при t-0

к;

poro Ь ÍJ) á. n/(ri - к) , нокно указать гомотетию такую

/ Г t

IJ. te)-<f(*Uif>[h(f)-t](\ lj Ы)^(х)

В ICL.iy

для всех ЗСбВ^О-.С^г)

Следствием локальной устойчивости является оцечпкй для областей тип.. д..;она.

Зо второй главе устанаалигается езязь ¡'¿иду отображениями с

-г-Ь

ограниченным искажением и классом I п . Доказывается, что при

Ь (£) ' . достаточно близком к I, отображение класса 7~п

удовлетворяет чак:::е и неравенству (.1), определяющему отображения с ограниченным и слоением. При ьтом коэффициент К { ) стре-кптся к I, если Ь (£ ) стремятся к I.

С помощью этого факта доказывается утверждение с то», что гомотет/.fl у , пркблиш»»1^«> отоэра«сениз -f , кожа о забрать таким образом, чтобы производные у такле были близки г.

соответствующим проязаодним / . При этом расстояния иекду производными измеряются в норме пространства Lр и оцепинается через норму производной отображения у

Лемма <¿.1.3. для лооах С^ , 0 < <\ < 1 , k , 2<>к<П.,

существует неубываюцая функция , ^ J —* , где

такая, что JU2(±)~fO при

■fc -» О и выполнено следующее условие. ^

Аля любого отображения ;f •' 17—* R класса Т^ , для которого Ь (j-) < £ и -ара В = В ) С V такого, что 0> (ОС ,2 t ) С ~{J t полно указать отображение гомотетии таким образом, что

г k aIR

t) I j(oc)-f(0C)\ ё С ^[Ьф-iJiJ lf(*M ¿к)

в

для всех ОС 6 В f где С - постоянная, не зависящая от JU^ - функция, определенная а теореме 1.2.1 ;

jUjhffM] ilf'llL

%

где

Следствием этой ленки является утверждение о том, что ото-орааеппя класса Ти принадлежа? ^ (XJ) . Кроме того,

дои.азпв?.ется, что якобиан отображения класса Тп при К- , достаточно близком к I, не «сняет знака в области типа Джона. Таким ¿разом, существует £0 такое, что если h(-f ) £ i + £а

о

то £ является отображением с ограниченным искажением. ир;г отом К(/)= К (Ь) стремится к I при Ь- , стремящемся к I. Следствием этого утверждения являются теоремы о топологических

Т12

свойствах отооражений класса 1п и равностепенной непрерывности семейств отображений-

В главе 3 уточняется порядок отклонения отображений от гомотетий. При отом используются, интегральные представления функций. 3 § 3.1 вводится дифференциальный оператор О , который

обращается в 0 на множестве гомотетий Н^ . Доказывается, что если X/ - область, звездная относительно шара, р>1 , ¡1 проектор пространства на Ни . то существует число-

С<осз такое, -¿то для любого (ХТ) справздлива оценка

Пусть 0-0(а,'г-)- цуб ъ . б § 3.2 вводится проектор '

Р пространства на 'множество преобразований гомоте-

тий И^ . При сто» Н^ рассматривается как замкнутое подпространство гильбертова пространства . доказывается, что гомотетия , близкуы к отображению ^ класса Т^ , можно выбрать таким образом, чг~Сы она удовлетворяла дополнительному условий. Отклонений отображения £ от гомотетии , не являа-

ае?,ся тоздествениой постоянной, измеряется здесь посредством

разности Ф «>■£ - 1С , гдз ХР - тождественное преобра-

о у с &

зевание.

Лемма 3.2.4. Существуют число £>0 и неубывающие функции 3-> К , ^-'ГО.сГЛ-. /Я таки6( что

£ст (-6 ) = ¿¿т =■ О и выполнено следующее

t -*о о ~

условие. Для льбых кубов Ы=0

О = а(а)2/г.) и отобракения £ '■ \7~— класса

& и л

Т^ , 2. Щ к < Ь. , 0 можно указать ото-

Сражение гомотетии Ф , не являющееся тоздественнок постоян-

3 ~ -1 г ной, такое, что если О = а у. , то

1) Р(д-1Е) = 0

2) г/чГЬС^)-й]

для всех ~

^ а

3) Гс/х * Ю^ДЬф-Ц)

а

Б § 3.2 устанавливаются оценки для оператора О . Доказывается, что если принадлекит классу Т^ , Ь

и (ос ) = ос , то выполняется неравенство

- 1//1 ' , !0и(^ис(Н-1)1Тк(х,р1 + / (Пи.(эс)|)) >

где С=^Л0;П)/к , р(0-)= О (ИГ?'2-) ПРИ

О"— О '„ 0 11Г| при всех 1Г .

При помощи этого неравенства определяется порядок интегрирования производных отображений класса . Т^ и уточняется поведение

функции, измеряющей отклонение отображений от гомотетий. Доказываются следующие теоремы..

Теорема 3.2.2. Существует постоянная &0>0 такая, что

р ту ,г?п —к

всякое отобрав.;!гл ■ - " ч класса I ^ ,

2 ~ к < П. * Д ' "-'ТОрОГО Ь = Ь } + , при-

надлежит классу . (£/) для всякого р

р,кпс Г '

Ь < р < Со/ГЬ-1) , гдз С0 , о < Со <<=*> - постоянная, зависящая только от П и к

Теорсна 3.2.3. Существует постоянная с/^ > О та:сся,

что если

- отображение класса .

для которого к -- А ) < 1 + сГй , то для всякого куба

О - О %■) , ¿ля которого куб ОгО (й , ^ъ) содержится в I/ , мо-йко указать отобракснне гомотетии такое, что

О и для любого р , к $ р < С0 (^-1) , где Со _ постоянная теоремы з.с.с, выполняются неравенства

4/п (

»^-/»^(а)4^01-1'10! ""/'и)

I Г

Устанавливается, что аналогичные оценки справедливы и для областей, типа д«она. Таким образом, получаем, что для любого

отображения класса ~]~п > Л-"* которого Ь (£ ) ^ 4. +

" ~ -4 г

найдется гомотетия у _ такая, что отображение ^ =

представпмо в виде

д(х)= X + £ и(х> . (з)

где - А.) , а и.(Х) ограничена в норме прост-

ранства константой, не зависящей от £ . В а 3.3

уточняется строение функции и- . Доказывается, что и. допускает представление

и(ос)= и0(х)+ р(ос, а) . 00

•где II Р ^ ^ 0 ПРИ £ О , а для

и0 является ограниченным дифференциальный оператор О : | О и0 (X; 1 ^ С • 1_1РИ этом ^ля константы С ука-

зывается ее конкретное значение.

При помоги представлений (3; и ("О устанавливается количественные оценки отклонения от обращении от гомотег.!,:. Если {/с^" . пъ3 - облаогь, ььигдааг. лре с

вкугрошиха с1 к ине^ни^: П ради;; сел;::,

и

то

П. ГТГОг , А V

¿^0 £ чт к 1- 1 А-В

А--А(п.к) , В--В(п>)

В § Э.ч рассматривается ^ -устойчивость преобразовании гомотетии. ц ,

О / г » -г- &

Пусть \£-> - семейство отображений класса I п ,

для которых ^ ^ 4 + £ • Доказывается, что семейства

отображений 5П (£)5 2 $ к<П, при & —> О асимптотически эквивалентны семейству отображений, -близких к гомотетиям. Та-аи образом, отображения, ( £ , ^ ) -слизкие к г скоте гикм, яз,;-;-у;-с-: г.">сога.'','еч:иям]'. <сдпсса "Т^ , при этом Ь(|):< -1 ^ при £-»0 . 'кедоглтогьнп, а,':от?я, огс-бр«гсвн;1й «Ь^4 (£) при различных

значениях , X. < !' < Гь яэляатся асимптотически зк-

зиголентпкми.

3 заключение автор внрааает благодарность своему научному руководителю академику А.Г. Репетняку за постановку задачи, постоянное внимание и помсщь в работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО Тйт ДИССЕРТАЦИЙ

Г. Соколова Т.В. О поведении отображений с ограниченным искажением, близких к конформным // Сиб. мат. кури.- 1968,Т. 29, й 3,- С. 213-215.

2. Соколова Т.В. К вопросу об устойчивости некоторого класса отображений // Всесоюз. конф. по геометрии и анализу, Новосибирск, ноябрь 1969 г,: Тез. докл.- Новосибирск, 1969,-С. 61. ' '

3. -интегрируемость производных отображений, близких

к гомотетиям / гед. ::Сиб. мат. журн." - Новосибирск, 1991,16 е.- дел. в ВШИГи.

Подписано к печати 17.04.91

Форааг бумаги 60*£А 1/16. Ооьеи 0,7 г..л.; С,7 уч.-у.^д. л. Заказ ив Тираа 100 экз.

Отечатанс на ротапринте Института матеиатики СО АН СССР, 630090, Новосибирск, Универсктезскш; проспект, 4