Устойчивость вынужденных нелинейных колебаний циклически-симметричных пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЖ НЕЛИНЕЙНЫХ

КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИН.£

1.1. Постановка задач о расчете нелинейных колебаний пластин по методу конечных элементов.В

1.2. Соотношения метода конечных элементов для изгибаемых пластин.г$

1.3. Конечномерная динамическая модель .ы

1.4. Вынужденные колебания циклически-симметричных пластин под действием равномерно распределенной нагрузки.5*

2. ЧИСЛЕННАЯ МЕТОДИКА ОПРВДЕЛЕНШ СОБСТВЕННЫХ

ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИН.5в

2.1. Метод Релея-Ритца в задачах на собственные значения.

2.2. Построение редуцированной задачи.

2.3. Метод итерации подпространства

2.4. Расчет собственных форм колебаний пластин.7в

3. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ВЫНУЖДЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИКЛИЧЕСКИ-СИМГЛЕТРИЧНЬК ПЛАСТИН.

3.1. Построение кривых периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений

3.2. Устойчивость периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений .Ю

3.3. Анализ установившихся вынужденных нелинейных колебаний пластин под действием равномерно распределенной нагрузки .ж

3.4. Исследование устойчивости вынужденных нелинейных колебаний циклически-симметричных пластин.tf

4. ОБЛАСТИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ВЫШЩЕННЬК НЕЛИНЕЙНЫХ

КОЛЕБАНИЙ ЦИКЛИЧЕСКИ-Ст«ТРИЧНЫХ ПЛАСТИН.

4.1.Построение областей неустойчивости периодических колебаний нелинейных механических систем.

4.2.Границы областей неустойчивости вынуаденных нелинейных колебаний циклически-симметричных систем.i$

4.3.Построение границ областей неустойчивости вынужденных нелинейных колебаний циклически-симметричных пластин.Ш

4.4.Структура областей неустойчивости вынувденных нелинейных колебаний циклически-симметричных пластин.

Многие конструктивные элементы современной техники выполнены в виде пластин различной формы. Широкое применение пластин объясняется их высокой прочностью, значительной жесткостью и сравнительно малым весом, что наряду с технологичностью изготовления выгодно отличает их среди других конструктивных элементов. Постоянной тенденцией в развитии техники является увеличение интенсивности динамических воздействий, сопровождающееся ростом уровня вибраций. В сочетании со стремлением к снижению материалоемкости это приводит к рассмотрению проектных решений, допускающих в пластинчатых консгрукшшЕк элементах в процессе их эксплуатации перемещения, сравнимые с толщиной пластины.

Определяющая роль динамических процессов, протекающих в тонкостенных конструкциях, в прогнозировании их долговечности и надежности заставляет постоянно совершенствовать методы динамического расчета, направленные на более полный учет факторов ».оказывающих влияние на цротекание динамического процесса. Создаваемые расчетные схемы должны учитывать сложный характер деформирования, большие перемещения, возможность взаимного влияния различных форм колебаний в процессе вибраций. Это обуславливает применение в ходе исследований многопараметрических нелинейных динамических моделей. Изучение таких моделей сопряжено со значительными трудностями. Одним из возможных методов упрощения расчетных моделей является учет специальных классов рассматриваемых конфигураций конструктивных элементов, действующей на них внешней нагрузки и характера их деформирования. Это позволяет существенно упростить расчетные схемы при сохранении адекватности описания исследуемых явлений.

В настоящей работе исследуется устойчивость вынужденных установившихся нелинейных колебаний циклически-симметричных пластин под действием равномерно распределенной периодической по времени нагрузки.

Циклически-симметричные пластины составляют существенное подмножество семейства пластинчатых конструктивных элементов.В практике строительства и машиностроения пластины цикличе ски-симметри-чного очертания широко применяются в качестве перекрытий зданий и сооружений, резервуаров, сосудов, бункеров и т.д.

Изучаемые в работе проблемы относятся к важному разделу прикладной теории упругости - теории динамической устойчивости упругих систем(12].

В распределенных механических системах под действием нагрузки, периодически меняющейся по времени,реализуется режим вынужденных установившихся колебаний,характеризуемых определенной пространственной и временной конфигурацией.При плавном изменении частоты или интенсивности внешнего воздействия происходит непрерывная эволюция стационарного динамического состояния.Однако при определенных критических значениях параметров,характеризующих уровень и частоту воздействия,незначительное их варьирование может стать причиной резкого изменения режима вибраций,что интерпретируется как потеря устойчивости вынужденных установившихся колебаний. Важно отметить,что в распределенных механических системах бывают существенно различные типы потери устойчивости.Может резко измениться амплитуда колебаний при сохранении их цространствешой и временной конфигурации.В другом варианте потфя устойчивости может состоять в изменении характера протасания процесса во времени при сскрашвш 1росфшственной кои$игурщш стацюшркго динамического состояния. Примером такой перестройки может служить переход от Т -периодических к 2Т -периодическим колебаниям. Далее »потеря устойчивов-ти стацисгарного динамического состояния может проявиться в измененжи пространственной конфигурации поля вибрации, при сохранении или смене временной конфигурации. Так при колебании о се симметричных пластин и оболочек может произойти переход от осе симметричной к неосе симметричной форме колебаний [з I ] . Все указанное выше разнообразие типов потери устойчивости имеет место при колебаниях циклически-симметричных пластин под действием равномерно распределенной периодической по времени нагрузки.

В общем случае в каждой задаче динамической устойчивости можно выделить основное стационарное динамическое состояние, которое реализуется при всех значениях параметров внешнего воздействия, и дополнительные стационарные динамические состояния, возбуждаемые лишь при определенном соотношении этих параметров. Основное стационарное динамическое состояние представляет собой вынужденные колебания, дополнительные - параметрически возбуждаемые колебания.

При исследовании устойчивости вынужденных колебаний наряду с основным движением рассматриваются возмущенные движения, причем в число последних входят и такие, которые характеризуются качественно новым видом деформации. Возмущенные движения описываются уравнениями в вариациях, которые представляют собой линейные дифференциальные уравнения с периодическими по времени коэффициентами. Реализация различных типов потери устойчивости может быть истолкована как возникновение различных типов параметрических возбуждаемых колебаний в линейных системах.

Динамическая устойчивость распределенных систем впервые исследовалась Н.М.Беляевым [ 7 ] , который изучал параметрическое возбуждение поперечных колебаний в шарнирно-опертом стержне при действии периодической продольной силы. Аналогичная задача цри других граничных условиях рассмотрена Н.М.Крыловым и Н.Н.Боголюбовым [35].

Ряд задач о динамической устойчивости стержней, пластин, круговых колец и оболочек решен в работах Г.В.Бовдаренко [14] , Г.Ю. Джанелидзе, М.А.Радцига [42] , А.И.Маркова [70] , О.Д.Ониашвшш [83] . Во всех перечисленных выше работах вопрос о возникновении параметрически возбуждаемых колебаний сводится к рассмотрению одного уравнения Матье-Хилла. Важные исследования по динамической устойчивости стержней, неразрезных балок и плит были цроведены В.НЛеломеем [l08] . Он впервые показал, что в общем случае вопрос о динамической устойчивости сводится к системе линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Б.З.Брач-ковский, В.В.Болотин ж ГЛО.Джанелидзе описали класс задач, которые могут быть сведены к одному дифференциальному уравнению второго порядка.

В названных работах рассмотрен вопрос об определении области устойчивости заданной формы движения-в рамках линейной постановки. В.В.Болотин [i 2 ] применил нелинейный подход к задаче о динамической устойчивости сжатого стержня.

Параметрически возбувдаемые колебания предварительно изогнутых стержней и стержней с внецентренно приложенной нагрузкой исследовали Е.Маттлер [ill] , В.В.Болотин [ 10J , Ве^ценхаммер[И4].

Большое влияние на развитие исследований по параметрическим колебаниям как в Советском Союзе, так и в других странах оказала фундаментальная монография В. В.Болотина "Динамическая устойчивость упругих систем" [lZ] . Цилиндрические оболочки при параметрическом возбуадении исследовали Федерхофер [из] , А.Н.Марков [70] , А.Й.Блохина [9] , Г.В.Ножак [01] , Р.Е.Гейзенблазен, Г.С.Ш-саренко и А.Н.Чемерис [86] , Р.Ф.Ганиев[28] и другие.

Нелинейные параметрические колебания пологих прямоугольных в плане оболочек изучали В.Ц.Гнуни [23 ] и Г.Ф.Мишенков [76,77] , Г.Шмидт [ПО] .

Нелинейные параметрически возбуждаемые колебания сферических оболочек изучали Р.М.Финкелыптейн [Ю5] и Ю.И.Жарий [43] . в монографии Г.Шмидта [ПО] отражены результаты, полученные после выхода книги В. В. Болотина [12- ] .

Характер проблем, рассматриваемых при исследовании устойчивости вынужденных колебаний циклически-симметричных пластин, может быть показан на цримере задачи о динамической устойчивости симметричной формы колебаний двухшарнирной круговой арки под действием приложенной в замке сосредоточенной силы, состоящей из статической и гармонической составляющих. Впервые эта задача рассматривалась В.В.Болотиным [12]'

Низшей собственной частоте подобных арок соответствует кососимметричная форма свободных колебаний. Второй собственной частоте отвечает симметричная форма свободных колебаний. Пусть частота внешнего воздействия оО лежит в окрестности Я.2 , тогда под действием вибрационной нагрузки в арке возникают симметричные вынужденные колебания с частотой СО . Когда частота и) совпадает с Я-2 , наступает резонанс. Однако, наряду с обычным режимом в ок-рестнооти Й2 мояет проявляться и гараметрический резошно, связанный с возникновением кососимметричной деформации, которая возбуждается основной симметричной формой движения арки. Теоретические построения, описывающие указанный выше характер колебаний, подтверждаются экспериментально [12]

Перейдем к изложению постановки задачи настоящего исследования. В циклически-симметричных пластинах низшей собственной частоте й соответствует циклически-симметричная форма свободных колебаний. В работе под циклически-симметричной формой деформирования будем понимать такую форму, оси симметрии которой совпадают с осями симметрии самой пластины. Под действием поперечной равномерно распределенной периодической по времени нагрузки, частота СО которой лежит в окрестности частоты , в пластине возникают вынужденные циклически-симметричные колебания. Эта форма движения называется основной. При изменении параметров внешнего воздействия основная форма движения будет эволюционировать, сохраняя при этом свою пространственно-временную конфигурацию. При некоторых критических значениях параметров в рамках основной формы движения может мягко или жестко произойти смена временной конфигурации, имеется в виду срыв амплитуды колебаний, наступление основного, субгармонического или супергармонического резонансов.

Кроме основной формы движения при определенных соотношениях параметров внешнего воздействия выделяются дополнительные движения, которые соответствуют нециклически-симметричной форме колебаний. Эти движения относятся к разряду параметрически возбуждаемых колебаний.

В работе задача динамической устойчивости рассматривается в смысле нахождения границы области в плоскости изменения параметров возбуждающей нагрузки, в пределах которой основное движение остается устойчивым. Определяется форма потери устойчивости основного движения, однако эволюция дополнительных движений не прослеживается

Цель работы состоит:

- в создании эффективной методики построения расчетных динамических моделей для исследования вынужденных изгибных колебаний циклически-симметричных пластин;

- в разработке алгоритма численного исследования динамической устойчивости механических систем;

- в применении разработанной методики к исследованию динамической устойчивости циклически-симметричных пластин.

Новизна полученных научных результатов состоит в разработке новой методики численного исследования устойчивости вынужденных колебаний циклически-симметричных пластин при действии равномерно распределенной периодической по времени нагрузки. На основе построения многопараметрических динамических моделей предложен новый метод численного построения диаграмм устойчивости. Получены новые данные об устойчивости вынузденных колебаний циклически-симметричных пластин.

Практическая ценность. Разработанная методика и комплекс программ исследования устойчивости вынуаденных колебаний циклически-симметричных пластин при действии равномерно распределенной периодической по времени нагрузки могут быть использованы в инженерно-конструкторской практике в процессе проектирования объектов строительства и машиносчроення.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с общим планом исследований, проводимых на кафедре строительной механики и в Проблемной лаборатории тонкостенных пространственных конструкций Киевского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института под руководством кандидата физико-математических наук, старшего научного сотрудника Е.С.Дехтярюка.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы ( 114 наименований), изложена на 154 страницах машинописного текста, содержит 80 рисунков и 4 таблицы.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Разработана методика построения многопараметрических динамических моделей изгибных колебаний циклически-симметричных пластин в геометрически нелинейной постановке.

2. Разработана методика численного решения задачи динамической устойчивости циклически-симметричных пластин, позволяющая находить на кривых стационарных состояний предельные бифуркационные точки, соответствующие критическим значениям параметров внешнего воздействия.

3. Разработана численная методика построения границ областей неустойчивости колебаний циклически-симметричных пластин.

4. Построены кривые стационарных решений нелинейных уравнений колебаний круглых, квадратных и треугольных пластин. Определены особые точки этих кривых, установлена связь с устойчивыми и неустойчивыми состояниями движения, построены границы областей неустойчивости, исследованы формы возможных ответвляющихся решений.

5. Выполнено исследование влияния статической составляющей интенсивности периодического по времени внешнего воздействия на динамическую устойчивость циклически-симметричных пластин.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абовский H.H., Андреев H.H., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек.- М.: Наука, 1978.- 287 с.

2. Андронов A.A., Витт.А.А., Хайтин С.Э. Теория колебаний.- М.: Физматгиз, 1959. 905 с.

3. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М.: Стройиздат, 1968. - 241 с.

4. Бабаков Й.М. Теория колебаний. М.: Наука,1968. - 559с.

5. Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гуляев В.И., Дехтярюк Е.С. Устойчивость периодических процессов в нелинейных механических системах. В кн.: Динамика пространственных конструкций. - К.: 1978. с. 61-64.

6. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и МКЭ. -М.: Стройиздат, 1982. 447 с.

7. Беляев Н.М. Устойчивость призматических стержней под действием переменных продольных сил. Сб. Инженерные сооружения и строительная механика. Л., 1924, с. 149-167.

8. Елох В.И. Теория упругости X.: ХГУ, 1964. - 483 с.

9. Бл охина А.И. Динамическая устойчивость цилиндрической оболочки с начальным изгибом при заданной скорости сближения торцов. В кн.: Инж.сборник, 1961, № 31, с. 196-201.

10. Болотин В.В. Определение амплитуд поперечных колебаний, вызываемых предельными силами. Сб. Поперечные колебания и критические скорости, 1953, № 2, с. 45-64.

11. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М., Наука, 1979. - 335 с.

12. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем.- М.: Гостехиздат, 1956. 600 с.

13. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965. - 278 с.216 —

14. Бондаренко Г.В. Уравнение Хилла и его применение в области технических колебаний. АН СССР, М., 1936. - 271 с.

15. Борисенко В.Г. Устойчивость вынужденных колебаний нелинейных механических систем. В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев: Буд1вельник, 1980, вып.36, с. 12-17.

16. Борисенко В.Г., 1>ляев В.И., Дехтярюк Е.С. Исследование нелинейных колебаний механических систем в частотной области. -В кн.: Прикладная механика, 1980, $ 3, с. 123-127.

17. Брачковский Б.З. 0 динамической устойчивости упругих систем. В кн.: Прикладная математика и механика, 1942, $ 6, с. 87-88.

18. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластины, диски, балки-стенки. К. :Госстройиздат. 1959. - 1049 с.

19. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Расчет пластин. К.: Будильник, 1970. - 435 с.

20. Вайнберг Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. К.: БудГвельник, 1973. - 488 с.

21. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 527 с.

22. Вибрации в технике. Том I, под ред. Болотина В.В. М., Машиностроение, 1978. - 351 с.

23. Воеводин В.В. Численные методы алгебрн. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1966. - 248 с.

24. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры.-М.: Наука, 1977. 304 с.

25. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физшг-гиз, 1963. - 879 с.

26. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых сред. М.: Наука, 1967. - 984 с.

27. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек.1. М.: Наука, 1982 432 с.

28. Ганиев Р.Ф. Нелинейные пространственные колебания упругих цилиндрических оболочек. Сб.Теория пластин и оболочек. -М., 197I, с. 48-54.

29. Гнуни В.Ц. О границах динамической неустойчивости оболочек. Труды конф. по теории пластин и оболочек. - Казань, I960, с. 117-123.

30. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластин и оболочек.- К.: Наукова думка, 1964. 287 с.

31. Гоцуляк Е.А., Гуляев В.И., Дехтярюк Е.С., Киричук A.A. Устойчивости нелинейных вы ну аде иных колебаний оболочек вращения.- Нелинейная теория оболочек и пластин, Тезисы докладов Казань, 1980, с. 106-107.

32. Гуляев В.И., Дехтярюк Е.С. Построение периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений. В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев: Буд1вельник, 1978, вып. 32, с. I06-II0.

33. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Дехтярюк Е.С., Лизунов П.П. Устойчивость периодических процессов в нелинейных механических системах. Львов. Выща школа, 1983. - 287 с.

34. Демидович Б.П. Лекции по математической теории упругости. М.: Наука, 1967. - 472 с.

35. Дехтярюк Е.С., Лизунов П.П., Попов С.Л. Реализация численного метода построения периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений. В кн.: Сопротивление материалов и теория сооруженйй. - Киев: Буд1вельник, 1979, вып. 35, с. 15-20.

36. Дехтярюк Е.С., Лумельский Е.Д., Минькович В.И. Исследование вынужденных и параметрических колебаний стержневых и пластинчатых систем. В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений, Киев: Буд1вельник, 1980, вып. 36, с. 34-38.218—

37. Дехтярюк Е.С., Лумельский Е.Д. Алгоритм построения решений уравнений нелинейных колебаний упругих тел. В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев: БудГвельник, 1982, вып. 40, с. 12-16.

38. Дехтярюк Е.С., Лумельский Е.Д., Мельник-Мельников П.Г., Миныович В.И. Пакет программ решения обобщенной проблемы собственных значений. В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев: БудГвельник, 1981, вып. 38, с. 21-25.

39. Дехтярюк Е.С., Лумельский Е.Д. Численное построение нелинейных динамических моделей пологих оболочек и пластин. В кн. Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев: Буд1вель-ник, 1984, вып. 45, с. 5-9.

40. Джанелидзе Г.Ю., Радциг М.А. Динамическая устойчивость кольца под действием нормальных периодических сил. В кн.: Прикладная математика и механика, 1940, № 4, с. 56-60.

41. Жарий Ю.Й. О динамической потере устойчивости сферической оболочки. Труды семинара по матем.физ. и нелинейным колебаниям. Киев. 1968, с. 108-117 .

42. Зенкевич 0., Чанг И. Метод конечных элементов в теории£ 19—сооружений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974.-238 с.

43. Зенкевич 0.Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 541 е.

44. Калманок A.C. Расчет пластинок. М.:Госстройиздат,1959, - 212 с.

45. Калманок A.C. Строительная механика пластинок. М.: Машстройиздат, 1950.- 304 с.

46. Каудерер Г. Нелинейная механика. М. :ИЛ,1961. - 777 с.

47. Келлер Дж., Антман С. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир, 1974, - 564 с.

48. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек АН УССР, 1967. 984 с.

49. Кислоокий В.Н., Легостаев А.Д. Реализация метода конечных элементов в задачах исследования свободных колебаний оболочек и пластин. В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений Киев: Буд1вельник, 1974, вып. 24, с. 25-32.

50. Кислоокий В.Н., Сахаров A.C., Соловей H.A. Моментная схема метода конечных элементов в геометрически нелинейных задачах прочности и устойчивости оболочек. Проблемы прочности,1977, J6 7, с. 25-32.

51. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Строй-издат, 1979. - 320 с.

52. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. - 474 с.

53. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Исследование явлений резо-220—нанса при поперечных колебаниях под воздействием периодических нормальных сил, приложенных к одному из концов стержня. Сб. Исследование колебаний конструкций, ОНТИ, Харьков-Киев, 1935, с. 25-42.

54. Ланкастер П. Теория матриц.- М.: Наука, 1978. 280 с.

55. Лебедев В.Н., Соколов А.П. Введение в систему программирования ОС,ЕС. М.: Статистика, 1978. - 144 с.

56. Ливели Р. Матричные методы строительной механики. М.: Стройиздат, 1980. - 224 с.

57. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. -М.: Стройиздат, 1978. 204 с.

58. Лумельский Е.Д., Минькович В.И. Исследование колебаний тонкостенных подкрепленных конструкций методом конечных элементов- В кн.: Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов. Тезисы докладов. М.: 1983, с.49-50.

59. Лумельский Е.Д., Минькович В.И. Решение задач о свободных колебаниях конструкций с использованием фронтального метода.- В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Бу-д1вельник, 1979, вып. 35, с. 30-33.

60. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - 512 с.

61. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -М.: Гостехиздат, 1950. 472 с.

62. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. М.: Мир, 1977. - 584 с.

63. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. - 532 с.

64. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1949. - 530 с.

65. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колеба221—ний. М.: Гостехиздат, 1956. - 491 с.

66. Мандельштам А.И., Папалекси Н.Д. Об обосновании одного метода приближенного решения дифференциальных уравнений. -ЖЭТФИ, 1934, № 117, с. 25-30.

67. Марков А.Н. Динамическая устойчивость анизотропных цилиндрических оболочек В кн.: Прикладная математика и механика, 1949, й 13, с. 145-150.

68. Мартышок А.А. Устойчивость движения:сложных систем. • Киев.: Наукова думка, 1975. 351 с.

69. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения -М.: Наука, 1971. 312 с.

70. Минькович В.И., Кравец В.И. Комплекс црограмм "ФРОНТ" для расчета по МКЭ тонкостенных пространственных конструкций на ЕС ЭВМ В кн.: Комплексный расчет зданий и сооружений с применением ЭВМ. - К.: КИСИ, 1978, с. 73-76.

71. Митропольский 10.А. Метод усреднения в нелинейной механике. К.: Наукова думка, 1976. - 339 с.

72. Мищенко Е.Ф., Розов И.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.- 376 с.

73. Мишенков Г.В. О динамической устойчивости пологой цилиндрической оболочки. Труды конф.по теории пластин и оболочек- Казань, 1960, с. 239-245.

74. Мишенков Г.В. 0 динамической устойчивости пологих упругих оболочек. Инж. журнал, 1961, й I, с. 112-118.

75. Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 455 с.

76. Новацкий В. Динамика сооружений. М.: Стройиздат,1963.- 375 с.

77. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

78. Ножак Г.В. Параметрические колебания цилиндрической2 г 2—оболочки, сжатой пульсирующей нагрузкой. В кн.: Прикладная мех аника. - К., 1965, Я 7, с. 135-138.

79. Оден Ж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

80. Ониашвили О.Д. О динамической устойчивости пологих oöd-лочек. Сообщ. АН ГрузССР, 1950, т. 9, с. 169-175.

81. Пановко Я.И. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1980. 270 с.

82. Пановко Я.И., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем, М.: Наука, 1979. - 384 с.

83. Писаренко Г.С., Чемерис А.Н. К вопросу о динамической устойчивости цилиндрической оболочки. Сб. Рассеяние энергии дри колебаниях механических систем. - Киев, 1968, с. I07-II4.

84. Попов Е.П. Прикладная теория процессов уравнения в нелинейных системах М.: Наука, 1973. - 583 с.

85. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение,1977. - 279 с.

86. Прочность, устойчивость, колебания. Под ред. И.А.Бирге-ра и Я.Г.Пановко. М.: Машиностроение, 1968, т. 3, - 567 с.

87. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука, I97I-I974. Т. 1-3. - 584 с.

88. Розенвассер E.H. Колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1969. - 576 с.

89. Розин JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам: М.: Строииздат, 1977. 128 с.

90. Розин Л.А. Вариационные постановки задачи для упругих систем. Ленинград: ЛГУ, 1978. - 224 с.

91. Сахаров A.C. и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Вища школа, 1982. 478 с.

92. Седов Л.Н. Механика сплошной среды.М.:Наука,1970.-492с.- 2 23 —

93. Справочник по динамике сооружений. Под ред. Б.Г.Коренева и И.М.Рабиновича. М.: Стройиздат, 1972. - 510 с.

94. Справочник проектировщика. Под ред. Б.Г.Коренева, И.М. Рабиновича. М.: Стройиздат, 1984. - 303 с.

95. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ, 1952. - 264 с.

96. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. -М.: Наука, 1967. 444 с.

97. Тимошенко С.П., Войновски^ЬКригер С. Пластинки и оболочки. М.: Госфизматиздат, 1963. - 635 с.

98. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. - 560 с.

99. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. - 564 с.

100. Уилкинсон Дж.Х., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. - 390 с.

101. Фаддеев Д.К., Фадцеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, I960. - 635 с.

102. Финкелынтейн P.M. Об устойчивости тонкой сферической оболочки. Сб. Теория пластин и оболочек, I96I,№ I, с. 36-45.

103. Юб.Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. -М.: Мир, 1968. 384 с.

104. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. -М.: Мир, 1966. 230 с.

105. Челомей В.Н. Динамическая устойчивость элементов авиационных конструкций. М.: Изд. Аэрофлота, 1939. 312 с.

106. Четаев Н.Г. Устойчивость движения.-М.:Наука,1965.-207с.

107. Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: Мир, 1978. - 330 с.

108. Шемиъ ТсггЫшпшьи^- ; ем&'нЯШгЖ, n^fcä^ntt^ълг^ ri. et. 4taAe£vue^ t-Jô, Шyh^u^t B, ZUl Hfit^e^U -ùcteu^Ue^, Жа^, 4г>с, £7У.4З у р.№-<Г/9.tlU&tù , friten, Wfo.,