Устойчивые к случайным возмущениям решения одного класса обратных задач распространения и дифракции электромагнитных волн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение

Глава I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНШ

НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ ПО ПАРАМЕТРАМ ЭЛЕКТРО-МАГНЙГ-ЮЙ ВОЛНЫ . . . . . . -.

1.1. Постановка задачи восстановления пространственных флуктуаций показателя преломления неоднородной среды

1.2. Представление решения задачи распространения электромагнитной волны для неоднородной падающей волны конечной энергии.

1.3. Алгоритм решения обратной задачи.

1.4. Влияние шумов на решение задачи восстановления пространственных флуктуащ$ неоднородного поля

1.5. Оптимальное решение задачи восстановления спектра реализации пространственных вариаций неоднородной среды

Выводы по главе I.

Глава П. СТОХАСТИЧЕСКАЯ ЛШЕАРИЗАЦШ ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ

РЕШЕНИИ РЯДА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ: ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

2.1. ПЬстановка обратной задачи

2.2. Метод стохастической линеаризации при исследовании устойчивости на шумах решения обратной задачи.

2.3. Оптимальное восстановление коэффициента отражения в задаче нестационарных плоских волн * . • 89 Выводы по главе П

Глава Ш. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПОЛЕЙ, ХАРАКТЕРИЗУЕМЫХ КОНЕЧНЫМ

НАБОРОМ ПАРАМЕТРОВ

3.1. Влияние шумов на измерения параметров дифракционных полей, представимых рядами.

3.2. Оценка параметров полей, дифрагированных на периодических и некоторых одиночных структурах . •

3.3. Учет влияния неоднородной среды на измерение линейных базисов.

Выводы по главе Ш.

ЗАКЛШЕНИЕ

В комплексе проблем, связанных с исследованием природных ресурсов, окружающей среды, созданием прецезионных радиоизмерите-лйных систем и СВЧ-устройств, используемых в радиоастрономии, радиолокации, навигации, антенной и волноводной технике, в физике неразрушающего метода контроля существенное место принадлежит задачам восстановления дифракционных полей и сред распространения волн или их конечномерных аппроксимаций. Специфика рассматриваемого класса задач в том, что информация, по которой происходит восстановление, не может быть измерена без искажений и имеет косвенный характер. ПЬдобные задачи по сложившейся традиции называются обратными. Развитие устойчивых методов решения обратных задач в ситуации, когда искажения исходных данных имеет случайный характер, на современном этапе является, безусловно, актуальным.

Данная работа посвящена разработке методов решения и физическому анализу задач восстановления неоднородной среды распространения электромагнитной (акустической) волны, когда распространение в среде описывается в малоугловом приближении, и дифракционных полей, устойчивых к случайным возмущениям, которые трактуются как измерительные шумы.

Актуальность предпринятого исследования вытекает из необходимости наряду с решением конкретных задач выяснить основные общие закономерности присущие устойчивым к измерительным шумам решениям достаточно широкого круга обратных задач дифракции и распространения электромагнитных волн, которые зачастую имеют нелинейный характер. Привлекаемый в связи с этими обстоятельствами математический аппарат принадлежит теории вероятностей, теории интегральных и Дифференциальных уравнений в частных производных и функциональному анализу.

1Го методам восстановления различных радиофизических полей в настоящее время имеется многочисленная, яурнально-монографичес-кая литература. В приведенном ниже кратком литературном обзоре обсуждается материал, имеющий непосредственное отношение к теме диссертации.

Общие методы решения обратных задач были развиты в последние 20-25 лет усилиями, главным образом, математиков советской школы, возглавляемых А.Н.Тихоновым. Из работ общего характера отметим следующие /24-29, 49/. Учет специфики распространения в случайно-неоднородной среде электромагнитной или акустической волны выделяет из всего многообразия работ по восстановлению ере« ды некоторую их часть, распадающуюся на две группы по характеру информации, по которой определяются характеристики среды. А именно, информация содержится в отраженном сигнале (методы радио и акустозондирования) / 2, 4, 8, 10, 57, 61, 69, 70/ или в сигнале, регистрируемым на выходе неоднородной среды (методы просвечивания) / 1-17, 21, 23/. В указанной литературе разработан ряд методов,позволяющих восстановить электромагнитные и акустические параметры среды по данныи измерений волновых полей. В соответствии со спецификой использованных моделей распространения и применяемых математических средств для решения обратной задачи эти методы можно условно разбить на следующие группы.

I. Методы использующие модель среды, например, высотный профиль диэлектрической проницаемости, который зависит от конечного числа параметров / 1-5, 7 /. В результате, существенно многомерная континуальная задача сводится к оценке неизвестных параметров. & то же время, практически во всех руководствах по теории распространения электромагнитных волн в случайно-неоднородных средах / 1-5, 9, 18-22 / констатируется существенная изменчивость среды в силу чего модельные значения могут в значительной

- б степени не; соответствовать ее действительному состоянию, что значительно ограничивает практическую область применимости полученных результатов.

2* В работах / 1,3-6, 10-17 / предложены методы восстановления регулярного профиля случайно-неоднородной среды по различным радиоданным: углы рефракции и рефракционное ослабление / I, 3-5, 10-12, 16, 17 /, амплитудно-фазовые характеристики распространяющейся волны / 9, 13, 14, 22 /. В. первом случае связь между измеряемыми радиоданными и характеристиками среды установлена из лучевой теории распространяющейся волны, поэтому она не справедлива в областях пересечения лучевых линий и не учитывает дифракционные явления, то есть область применимости результатов ограничена. Во втором случае связь между радиоданными и средой установлена из приближенного метода решения волнового уравнения. Как установлено в / 18-21, 22 /, в этой ситуации, например, дисперсия флуктуаций логарифма уровня амплитуды пропорциональна длине трассы распространения; Экспериментальные данные совпадают с теорией для малых длин трасс (в приближении геомоптики, однократного рассеяния, метода плавных возмущений в / 9, 18-21 / приведены точные выражения), а! для больших трасс: эксперимент показывает более медленное нарастание дисперсии уровня (область сильных фзуктуаций логарифма уровня амплитуды); Иначе говоря, результаты по восстановлению характеристик среды, в рассматриваемых работах," не точны за счет ее значительного изменения в направлении перпендикулярном распространению / 9, 18-21 / и имеют ограничения на длины трасс распространения (область малых флуктуаций).

3. Методами' зондирования и просвечивания, в части работ / 8, 9, 26, 45 /, находится многомерная характеристика, среды, что достигается линеаризацией рассеянного в ней поля по малому параметру (обычно дисперсия флуктуаций среды), когда точное значение распространяющегося поля заменяется первые приближением. Это приводит к приближенному определению характеристик неоднородной среды и ограничению на длины трасс распространения.

Б рассмотренных результатах по восстановлению регулярных характеристик среды отсутствуют оценки точности их определения. Это связано с тем, что не определяются статистические характеристики флуктуаций среды, в которых содержится соответствующая точностная информация / 21 /. При высокоточных измерениях (например, координат и скорости летательных аппаратов, радиодально-метрия) этот вопрос существенен. Требование определения характеристик среды с большой степенью точности приводит к нелинейным уравнениям относительно их.

Таким образом, обсуждаемым результатам свойственны следующие недостатки. Они либо дают недостаточную для цужд практики характеристику среды, либо эта характеристика находится неточно, что объясняется! введением приближенной связи между измеряемым сигналом и искомой характеристикой. Это приводит к тому, что полученные результаты: применимы в области малых флуктуаций.

Существенным для приложений, например, при проектировании и построении различных прецезионных радиоизмерительных систем, является вопрос о точности полученных результатов, когда информация, на основе которой происходит восстановление, искажена случайными помехами. Этот вопрос эквивалентен устойчивости решения обратной задачи на шумах. В известной литературе / 24, 29, 46, 49, 71, 72 / этот вопрос исследовался, но авторы ограничились линейными задачами, в то время как задачи восстановления многомерных характеристик среды обычно имеют нелинейный характер;

Еще один круг вопросов тесно связанный с задачей восстановления физических свойств объекта возникает в связи с измерением дифракционных полей СВЧ-устройств с учетом статистической природы ошибок измерений. При всей многочисленности литературы по расчету дифракционных полей в настоящее время отсутствует методика оптимальной оценки параметров дифрагированного поля (коэффициентов отражения или прохождения) хотя бы для некоторого класса полей, которые можно было бы проклассифицировать, например, по геометрии препятствия (одиночные структуры, периодические структуры и т.д.). Имеющаяся литература, где учитывается статистика ошибок измерений / 24, 29, 71 / изучает в основном одномерные- процессы, а дифракционные поля - многомерные. Результаты такого исследования имеют существенное значение для аттестации устройств, где основной элемент - дифракционная структура.

Как следует из обзора литературы, задача теоретического исследования процессов восстановления среды распространения электромагнитной волны и дифракционных полей решена далеко не полностью. С точки зрения современных требований, основной пробел заключается в следующем: I) отсутствует метод определения трехмерных характеристик неоднородной среды, имеющей менее жесткие ограничения на длины трасс распространения, то есть применимый в области сильных флуктуаций; 2) не выяснены общие закономерности, присущие устойчивым к измерительным шумам решениям нелинейных обратных задач прикладной электродинамики; 3) отсутствие методики оптимального определения параметров дифрагирующего поля.

Целью диссертационной работы является разработка методов решения и физический анализ задач восстановления дифракционных полей и среды распространения электромагнитных (акустических) волн, устойчивых по среднеквадратичному критерию к случайным искажениям исходных данных.

Научная новизна работы заключается в следующем:

I. Впервые, в- строгой постановке предложен метод определения многомерных характеристик для ряда случайно-неоднородных и регулярных сред.

2. Найдено новое представление решения задачи распространения волн типа ограниченных световых и волновых пучков в параболическом приближении. ПЬлучено интегральное уравнение для функции ослабления спектра рассеянного поля и изучены ее свойства.

3. Разработаны принципы построения устойчивого к измерительным шумам решения обратной задачи и алгоритмы нахождения оптимального и квазиоптимального фильтров для отыскания трехмерного спектра реализаций диэлектрической проницаемости среды.

4. В рамках корреляционной теории реализован новый подход, основанный на методе стохастической линеаризации, при определении устойчивого и оптимального решения ряда нелинейных обратных задач теории: дифракции и распространения электромагнитных волн.

5. Разработаны методики оптимального оценивания параметров дифракционных полей и состояния атмосферы для аттестации соответствующих приборов.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Первая глава посвящена строгому методу решения задачи определения спектра реализации пространственных флуктуаций показателя преломления случайно-неоднородной среды, устойчивому к случайным возмущениям радиоданных, по которым происходит восстановление характеристик среды. Используемый метод восстановления по данным радиопросвечивания отличается от известных в литературе большей общностью, содержащейся в отказе от конкретизации некоторых физических свойств среды, что существенно отражается; на адекватной математической модели, рассматриваемой задачи. Процесс. определения характеристик сведен к обратной задаче для дифференциального оператора относительно комплексной амплитуды поля, описывающего распространение волн в приближении параболического уравнения, и поэтому метод восстановления параметров среды применим в области больших флуктуаций. На основе представления- решения задачи рассеяния для ограниченных световых и волновых пучков получено интегральное уравнение второго рода типа Фредгольма относительно спектра реализации диэлектрической проницаемости восстанавливаемой среды. Приведен алгоритм решения задачи^ Методом стохастической линеаризации, который обоснован в главе 2, исследован вопрос об устойчивости решения к. случайным возмущениям исходных радиоданных, Щэи оптимальном решении задачи восстановления разработаны алгоритмы построения оптимального и квазиоптимального фильтров для определения многомерных характеристик среды. Исследовано качество оптимального решения в зависимости от длин падающей волны, трассы распространения и отношения сигнал-шум. Эффективность метода проиллюстрирована на примере восстановления параметров турбулентной атмосферы.

Во второй главе обобщается развитый в главе I метод определения устойчивых к случайным возмущениям решений одного класса нелинейных обратных задач теории распространения и дифракции электромагнигных волн* Выяснены основные общие закономерности присущие устойчивым решениям рассматриваемых задач. При этом методологически сохраняются принципы использованные при изучении задачи восстановления среды. Обобщение состоит в том, что исследованы свойства решения обратной задачи для нелинейного операторного уравнения. Вопрос об устойчивости решения на шумах изучен, обоснованным в главе методом стохастической линеаризации. Исследован вопрос о построении фильтра дающего оптимальные решения задачи. На; примере задачи восстановления коэффициента отражения при распространении упругих волн показано, что предлагаемая методика исследования на устойчивость имеет более широкую область применимости;

Третья глава посвящена восстановлению некоторых радиофизических полей, а именно дифракционных и интегрального показателя преломления атмосферы, при наличии статистически неопределенной информации. Задача восстановления дифракционного шля при наличии тепловых и измерительных шумов при определенных условиях, которые по сути закодированы в геометрии препятствия, сводится к оптимальной оценке дифракционных гармоник. Метод расчета оценок применим для широкого класса дифракционных полей. Например, для полей дифрагирующих на периодической структуре и на некоторых одиночных структурах (шар, два шара, циливдр, два цилиндра и т.д.). Эффективность методики состоит в том, что получены удобные для инженерного расчета и физического анализа соотношения, что проиллюстрировано на примерах дифракции плоской волны на плоской металлической решетке и волны ТЕ|д в прямоугольном волноводе с:; индуктивной диафрагмой.

При высокоточном измерении длин светодальномером ошибки за счет атмосферы имеют преобладающий характер. Приведен анализ статистических характеристик существующей методики, введения поправок на текущее состояние атмосферы и показана удовлетворительность рассчитанных характеристик экспериментальным данным. Разработан алгоритм оптимальной обработки для учета текущего состояния атмосферы.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе, а также даны рекомендации относительно перспектив дальнейших исследований.

В приложении приведены два примера вывода уравнения восстановления спектра реализации диэлектрической проницаемости случайно -неоднородной среды, расширяющие границы метода, изложенного в главе I.

В работе защищаются следующие научные положения и результаты:

I. Задача восстановления спектра реализации пространственных флуктуаций показателя преломления; случайно-неоднородной или регулярной среды формулируется как обратная задача для дифференциального оператора в частных производных, описывающего процесс распространения электромагнитной волны в изучаемой среде. Впервые в общей постановке реализован строгий метод решения задачи и исследована его устойчивость % случайным возмущениям радиоданных.

1.1. Определение спектра реализации вариаций пространственных характеристик среды на семействе неоднородных падающих волн конечной энергии сведено к анализу нелинейного интегрального уравнения. Решение задачи в линейной постановке.

Выводы по главе 3

I. Применение методов теории оценки параметров сигнала к измерению параметров дифракционных полей, когда рассеянное поле представимо рядом по ортогональной системе функций, в реальной помеховой обстановке позволило впервые разработать методику оптимального их измерения, которая заключается в формировании оптимальной оценки дифракционных гармоник (коэффициентов прохождения, отражения, высшие гармоники). Результат применения методики - оптимальные оценки дифракционных гармоник и дисперсии их отклонения от истинного значения. Вычисления этих величин основаны на установленном в главе следующее физическом факте: высшие гармоники практически не влияют на оценку низших,что привело к определению числа членов ряда для оптимального определения соответствующей гармоники. Показано, что число зависит от отношения сигнал-шум (степень не зашумленности измеряемого поля), геометрии препятствия и параметров падающей волны.

2; Развитая методика формирования оптимальной оценки применяется к внешним и внутренним задачам дифракции на периодических структурах, а также для некоторых одиночных препятствий (один-два круглых цилиндра, один-два шара). С учетом специфики1 указанных полей приведены расчеты оптимальных оценок коэффициентов прохождения, отражения и высших гармоник. Эффективность разработанной методики заключается в том, что получаются удобные для физического анализа соотношения. Это иллюстрируется на двух задачах: дифракция плоской волны на металлической решетке - и дифракция волны ТЕ^ в прямоугольном волноводе, сечение которого - одноэлементная индуктивная диафрагма. Из физического анализа этих задач следует вывод, что при измерении коэффициента прохождения (отражения) с учетом реальных шумов измерительных приборов существует большая вероятность неправильного истолкования результатов эксперимента.

3. Методами теории линейного оценивания проведен анализ статистических характеристик существующей методики учета погрешности, обусловленной случайным характером среды распространения, при светодальномерных измерениях полевых линейных базисов. Выяснен характер поведения погрешности в зависимости от состояния атмосферы, времени измерения, длины трассы и расстояния между датчиками, измеряющими в дискретных точках поле показателя преломления атмосферы. Сделанный анализ поведения погрешности хорошо согласуется о физикой светодальномерных измерений. Показано, что существующая методика учета погрешности не является оптимальной и приведен алгоритм оптимального учета погрешности и введения поправок на текущее состояние атмосферы. Дана оценка качества оптимальной обработки.

Разработанную методику по оптимальному оцениванию дифракционных полей следует использовать для аттестации СВЧ-уст-ройств, где основной элемент дифракционная структура (фазовращатели, лампы бегущей волны, интерферометры §абри-Перо , генераторы дифракционного излучения, волноводы, антенные решетки и т.д.). Методика по учету погрешности, за счет неоднородности среды распространения, при светодально мерных измерениях длин используется в НПО "Метрология" г. Харьков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные в диссертации результаты приводят к следующим выводам, существенным с точки зрения дальнейшего развития методов исследования характеристик неоднородной среды распространения электромагнитных волн и восстановления параметров дифракционных полей.

I. Впервые в достаточно общей гостановке реализован строгий метод решения задачи восстановления спектра реализации флук-туаций случайно-неоднородной среды прохождения электромагнитной волны, устойчивый в среднеквадратичном смысле к случайным искажениям радиоданных;

Метод основан на решении обратной задачи для дифференциального оператора в частных производных, который описывает распространение падающей волны в приближении параболического уравнения, и поэтому применим для более длинных трасс по сравнению с другими методами (область больших флуктуаций логарифма уровня амплитуды).

Использование в качестве падающей волны ограниченных световых и волновых пучков позволило выяснить структуру радиоданных, иначе решения задачи распространения. Установленная связь пространственного спектра распространяющейся волны со спектром поля, которое обусловлено наличием неоднородноотей, лежит в основе алгоритма решения обратной задачи.

Предлагаемый подход к исследованию задач распространения применим и к волновому уравнению. Этот вывод верен и, для векторных задач распространения.

Исследование' устойчивости решения обратной задачи к случайному возмущению исходных раддоданных привело к задаче ога-тимального восстановления реализации* характеристик среды. В ре~ зультате найдены оптимальные и квазиоптимальные операторы обработки физического поля, обобщающие фильтры Винера. При обосновании устойчивости решения задачи восстановления использован общий прием, учитывающий только структуру (нелинейность определенного ввда) соответствующих уравнений. Поэтому можно утверждать, что предлагаемый метод исследования на устойчивость применим к широкому кругу задач, характеризуемых нелинейностью рассмотренного ввда!.

Дифференциальный оператор, изучающийся в задаче восстановления многомерных характеристик среды, встречается в различных разделах физики (гидроакустика, ассимптотическая теория дифракции, квантовая физика). Переосмысление полученных результатов в терминах соответствующих физических явлений поможет решению других прикладных задач.

Недостатки приведенных в главе исследований заключаются в ограниченности физической модели изучаемой среды, а именно в том, что распространение происходит в малоугловом приближении, когда рассеяние назад мало. В то же время имеется немало неоднородных сред, где эти условия нарушаются. Например в /34/ (Татарский В*И.,Осташев В.Е.) изучается задача распространения, когда углы рассеяния близки к /г/2 и рассеяние назад мало. В /23* 34/ приведены уравнения для случая, когда рассеяние назад велико. Для этих неоднородных сред задача их восстановления по радиоданным может быть сформулирована в том же ввде, как и в главе I. В связи с изложенным методом решения можно ожидать положительных результатов при решении этих задач. Дело в том, что оператор малоуглового рассеяния является аддитивной частью операторов из /23, 34/, и следовательно, обратная задача в малоугловой постановке является "слагаемым" обратных задач для -этих уравнений. Это дает основание утвервдать, что,проведя решение общей задачи на данных малоуглового рассеяния, получим уравнение второго рода относительно характеристик интересующей среды. Методы исследования уравнений второго рода достаточно хорошо разработаны. Таким образом, изученная, задача восстановления имеет естественное продолжение: и обобщения.

2. Обобщен и реализован новый подход для исследования на устойчивость к случайным возмущениям решения нелинейного операторного уравнения, обобщающего различные обратные задачи прикладной электродинамики, основанный на методе стохастической линеаризации, который обоснован в рамках корреляционной теории. С помощью предлагаемого метода выявлены основные общие закономерности, присущие устойчивым решениям рассматриваемой задачи.

Нелинейность уравнения затрудняет его исследования.Тем не менее, при достаточно общих предположениях установлено существование, единственность и непрерывная зависимость от начальных данных в детерминированной метрике решения уравнения.

Изучение вопроса об устойчивости решения обратной задачи осложнена из-за ее нелинейного характера. Разработанные к настоящему времени методы применимы в основном к линейным ситуациям. Исследования приведенные во второй главе показывают эффективность предложенного метода. Причем результаты дают не только исчерпывающий ответ по вопросу устойчивости решения, а и предлагают конструкцию оптимального по среднеквадратичному критерию решения, А именно, исследован вопрос о построении фильтра, определяющего оптимальное решение. К сожалению,результат по фильтрации в общем случае не является законченным, так как возникающие здесь вопросы выходят за рамки радиофизики и принадлежат функциональному анализу. В этом смысле по полученным в работе результатам возможно дальнейшее продолжение исследований;

Методика изучения вопроса об устойчивости применима не только к задачам электродинамики. Это проиллюстрировано на примере восстановления коэффициента отражения при распространении упругих волн в Земле, В этом случае находится оптимальное реше^-ние, хотя задача о построении соответствующего фильтра отличается от соответствующей задачи восстановления среды. Построение импульсной характеристики фильтра сводится к задаче нелинейного программирования. Здесь так же возможны обобщения и продолжение исследований,

3, Разработаны методики по оптимальной оценке параметров дифракционных полей и учету текущего состояния атмосферы при измерении полевых линейных базисов с помощью методов теории оценки параметров сигнала.

Задача восстановления дифракционного поля на фоне шума,которую можно рассматривать как модель аттестации прибора, где основной элемент - дифракционная структура, сводится к определению оптимальных оценок дифракционных гармоник в том случае, если поле представимо в виде ряда по ортогональной системе функций, Широкий класс таких полей дают задачи дифракции на периодических структурах. Эффективность предложенного подхода заключается в том, что получаются соотношения, удобные для физического анализа и вычислений на ЭВМ, что существенно с точки зрения создания систем автоматизированной математической обработки результатов эксперимента и это проиллюстрировано на двух примерах, Полученные результаты имеют законченный характер, так как дальнейшее развитие методики зависит от результатов по теории дифракции на ограниченных структурах. То, что это действительно так, показано в диссертации обобщением предлагаемой методики на некоторые ограниченные препятствия.

Предложенная оптимальная методика по компенсации погрешности за счет случайного характера среды распространения при све-" тодальномерных измерениях длин может найти дальнейшее развитие только при условии принципиально другого подхода к этой задаче (например, оценивать не интегральный показатель преломления среды, а непосредственно сам показатель преломления) ив этом смысле полученный результат имеет законченный характер,

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность как руководителю работы В.Ф.Кравченко, так и В.И.Пономареву за многочисленные консультации на всех стадиях работы, а также сотрудникам кафедры 502 ХАИ за полезные замечания и плодотворные дискуссии.

1. Колосов М.А., Арманд H.A., Яковлев О.И. Распространение радиоволн при космической связи, - М.: Связь, 1969. - 155 с.

2. Бин Б.Р., Датон Дж. Радио метрология. Л.: Гидрометеоиз-дат, 1971. - 362 с.

3. Яковлев О.И. Распространение радиоволн в солнечной системе. М.: Сов.радио, 1974. - 192 с.

4. Арманд H.A., Колосов М.А., Савичев H.A., Яковлев О.И. -Изучение распространения радиоволн в дальнем космосе. Вестник АН СССР, 1976, № II, с.62-69.

5. Колосов М,А., Шабельников A.B. Рефракция электромагнитных волн в атмосферах Земли, Венеры и Марса. М.: Сов.радио, 1976. - 219 с.

6. Андрианов В.А., Ракитин Б.В. Радиотехника и электроника, 1978, т. XXIII, в.10, с.2031-2038.

7. Малкевич М.С. Оптическое зондирование атмосферы со спутников. М.: Наука, 1973. - 303 с.

8. Блейстейн Н., Коэн Дж.К. Обратные методы (Восстановление изображений и профилей скорости звука). В кн. Акустика океана. М., 1982, с.251-271.

9. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. Т.2. М.: Мир, 1981. - 317 с.

10. Прокофьева Т.Н. 0 восстановлении профиля показателя преломления и плотности при помощи измерений рефракции и с использованием метода статистических ортогональных разложений.-Изв. АН СССР. ФА0, 1981, т.17, № 12, с.1274-1280.

11. Калашников И.З., Яковлев О.И. Об определении метеопараметров атмосферы Земли методом радиопросвечивания. В кн.Труды Пятого Всесоюзного совещания по радиометеорологии. М., 1981, с.184-187.

12. Иванов В.М., Лукин Д.С. О методе решения обратной задачи радиопросвечивания с регуляризацией по А.Н.Тихонову. В кн. XII Всесоюзная конференция по распространению радиоволн. Тезисы докладов. Москва-Томск, 1978, с.254-257.

13. Пономарев В.И., Безлюдько Г.Н. О восстановлении регулярного профиля показателя преломления среды по радиоданным. В кн. Радиоэлектроника летательных аппаратов. Харьков, 1976, с. 9-14.

14. Пономарев В.И. Оптимальные алгоритмы восстановления случайных полей при нелинейных и стохастических преобразованиях. -В кн. УП Всесоюзная конференция по теории кодирования и передачи информации. Тезисы докладов. М., 1981,с.

15. Пономарев В.И., Фалькович С.Е. Радиотехника и электроника, 1975, т.XX, вып.7, с.1532-1535.

16. Павельев А.Г. Решение обратной задачи рефракции. Радиотехника и электроника, 1982, т. ХХУП, в.5, с.1037-1049.

17. Колосов М.А., Павельев Л.Г. Радиопросвечивание атмосферы при помощи источников искусственного и естественного происхождения. Радиотехн. и электроника, 1982, т. ХХУП, в.12,с. 2310-2325.

18. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1967. - 548 с.

19. Чернов I.A. Волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1975. - 171 с.

20. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Часть П. М.: Наука, 1978. - 463 с.

21. Кравцов Ю.А., Фейзулин З.Й., Виноградов А.Г. Прохождение радиоволн через атмосферу Земли. М.: Радио и связь. 1983. - 223 с.

22. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. М.: Наука, 1975. - 239 с.

23. Бабкин Г.И., Кляцкин В.И. Решение волновых задач методом инвариантного погружения. В кн. Акустика океана. Современное состояние. М., 1982, с.52-71.

24. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. - 224 с.

25. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики. М.: Наука, 1980. - 286 с.

26. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972. - 162 с.

27. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978. - 118 с.

28. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Наука, 1982. - 237 с.

29. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов. М.:Сов. радио, 1979. - 271 с.

30. Функциональный анализ. СМБ /М,Ш.Бирман, Н.Я.Виленкин, Е.А.Горин и др. М.: Наука, 1972. - 554 с.

31. Интегральные уравнения. СМБ. / П.П.Забрейко, А.И.Кошелев, М.А.Красносельский и др. М.: Наука, 1968. - 448 с.

32. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. - 527 с.

33. Шилов Г.Е. Математический анализ. М.: Физ.-мат.лит. 1961. - 436 с.

34. Гончаренко A.A., Кравченко В.Ф., Пономарев В.И. Об одном методе восстановления характеристик среды. В кн. УП симпозиум по дифракции и распространению электромагнитных волн. Тезисы докладов. Львов, 1981, с.

35. Гончаренко A.A. О восстановлении показателя преломления неоднородной среды. Доклады АН УССР, серия "А", в.1, 1984, с.62-64.

36. Пономарев В.И. Гончаренко A.A. Стохастическая устойчивость решений одного класса нелинейных обратных задач. В кн. Математические методы кибернетики. Киев, 1978, с.18-26.

37. Кравченко В.Ф., Гончаренко A.A., Пономарев В.И. Стохастическая устойчивость обратной задачи нестационарных плоских волн. Дифференц.уравнения, 1980, Т.ХУ1, № б, с.1130-1131.

38. Рытов С.М. Введение в статистическую радиотехнику. М.: Наука, 1966. - 404 с.

39. Караваев В,В., Сазонов В.В. Основы теории синтезированных антенн. М.: Сов.радио, 1974. - 168 с.

40. Фрэнке Л. Теория сигналов. М.: Сов.радио, 1974. - 343с.

41. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга вторая. М.: Сов.радио, 1968. - 503 с.

42. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. - 694 с.

43. Морозов В.А., Линейные и нелинейные некорректные задачи. Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1973, т.2 II. - 131 с.

44. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969. - 67 с.

45. Лаврентьев М.М., Васильев В«Г. О постановке некоторых некорректных задач математической физики. СМЖ, I9S6, 7, № 3, с.55 9*576.

46. Лаврентьев М*М., Резницкая К>.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982. - 89 с.

47. Романов В.Г. Абстрактная обратная; задача и вопросы ее корректности. Функц.анализ и его прил., 1973, 7, вып. 3,с. 67-74.

48. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками и данных. Новосибирск: Наука, 1982. - 189 с;.

49. Иванов В.П. Об одной обратной задаче дифракции на периодической и двоякопериодической решетке. Ж. вычисл.матем. и матем.физики, 1971, т. II, № 6, с. 266-271.

50. Приближенное решение операторных уравнений. / М.А.Красносельский, Г.М.Вайнико, П.М.Забрейко и др. М.: Наука, 1969.- 456 с. .

51. Роберт.сон А., РобертсонВ. Топологические векторные пространства; М.: Мир, 1967. - 257 с.

52. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов;- М.: Наука, 1971, т; I. 664 с.

53. Невё I. Математические основы теории вероятностей, -М.: Мир, 1979. -.176 с.

54. Хенл X.", Мауэ А., Вестпфаль Кг. Теория дифракции; М.: Мир, 1964. - 428 с.56* Вайнштейн Л «А; Теория дифракции и метод факторизации;- М;: Сов.радио, 1966. 431 с.

55. Болте Г.П. Обратные задачи в оптике. М.: Машиностроение, 1984. - 198 с.

56. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. - 456 с.

57. Люстерник JI.A., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. - 520 с.

58. Вахания H.H., Тариеладзе В.И. Коварционные операторы вероятностных мер в локально-выпуклых пространствах. Теория вероятностей и ее применение, т.ХХШ, в. 1978, с.3-26.

59. Шестопалова А.И. Математическая интерпретация физики неразрушающего метода контроля распространения электромагнитных волн в многослоистых средах. В кн. Неразрушающие методы и средства контроля и их применение в промышленности. - Минск, 1973, с.312-318.

60. Гончаренко A.A., Об одном статистическом методе исследования на устойчивость обратных задач. В кн. Обобщенно-обратные задачи идентификации сложных систем. Всесоюзный симпозиум. Тезисы докладов. Харьков, 1979, с.90-93.

61. Вершик A.M. Общая теория гауссовых мер в линейных пространствах. УМН. 1964, 19 (115), с.49-87.

62. Данфорд Я., Шварц Дк.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: И.зд.иностранной литературы, 1962. - 825 с.

63. Гончаренко A.A., Пономарев В.И. Оптимизация решений одного класса нелинейных обратных задач. В кн. Численные методы нелинейного программирования. Всесоюзный научно-технический семинар. Тезисы докладов. Москва, 1979, с.97-101.

64. Балакришнан А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1974. - 259 с.

65. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1981. 400 с.

66. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.1У, часть вторая. М.: Наука, 1974. - 336 с.

67. Благовещенский Л.С.,Лаврентьев К.К. Обратные задачи нахождения граничного условия в теории распространения нестационарных волн. Записки научных семинаров ЛОМИ, т.51, 1975, с. 78-84.

68. Лаврентьев К.К. Обратная задача нахождения граничного условия в теории распространения нестационарных волн. Записки научных семинаров ЛОМИ, т.51, 1975, с.129-133.

69. Фалькович С.Е. Оценка параметров сигнала. М.: Сов.радио, 1970. - 336 с.

70. Дюге Д. Теоретическая и прикладная статистика. М.: Наука, 1972. - 384 с.

71. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. Харьков: ХГУ, 1971. - 400 с.

72. Дифракция волн на решетках./В.П.Шестопалов, Л.Н.Литвинен-ко, С.А.Масалов и др. Харьков: ХГУ, 1973. - 287 с.

73. Нефедов Е.И., Сивов А.И. Электродинамика периодических структур. М.: Наука, 1977. - 208 с.

74. Кеванишвили Г.Ш. Вариционный метод в теории дифракции на периодической решетке из цилиндров. Сообщения АН ГССР, Тбилиси, 1979, т.94, №3, с.585-588.

75. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. - с.583.

76. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов М.: Мир, 1974. 327.

77. Кравченко В.Ф., Пономарев В.И.,Гончаренко А.А. Оптимальная оценка параметров электромагнитного поля при решении антенных и волноводных задач. Радиотехника, 46, 1978, с.80-87.

78. Гончаренко A.A., Кравченко В.Ф. Оптимальная оценка параметров электромагнитных полей. Доклады АН УССР, № 8, с. "А", 1981, с.67-81.

79. Семенов A.A., Арсеньян Т.И. Флуктуации электромагнитных волн на приземных трассах. М.: Наука, 1978. - 272 с.

80. Исследование погрешностей измерения расстояний светодаль-номером в приземном слое атмосферы. /Отчет по НИР 129/80,

81. ГР 81079964., Харьков: ХАИ, 1981, с.12-19.

82. Исследование погрешностей измерения расстояний свето-дальномером в приземном слое атмосферы. /Отчет по НИР -129/80, № ГР 81079964. Харьков: ХАИ, 1982, с.25 -44.

83. Янке Е., Эвде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1962. - 344 с.

84. Щербань Ю.И., Авдрусенко A.M., Купко B.C. Влияние метеорологических факторов на точность светодальномерных измерений. В кн. Метрология и повышение качества продукции, выпускаемой Ленинградскими предприятиями. Л., 1980, с.63.