Устранимые особенности решений эллиптических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.57+517.956

Покровский Андрей Владимирович

УСТРАНИМЫЕ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.01 — математический анализ 01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2008

003464566

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Е. П. Долженко, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.А.Кондратьев, Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова;

доктор физико-математических наук, профессор В. М. Миклюков, Волгоградский государственный университет;

доктор физико-математических наук, профессор А.Г.Сергеев, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН.

Ведущая организация:

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 27 марта 2009 г. в 16 час. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан 25 февраля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ профессор

И. Н. Сергеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи о продолжении решений дифференциальных уравнений с частными производными традиционно привлекают внимание большого числа исследователей. Центральное место среди них занимают задачи об устранимых особенностях решений дифференциального уравнения в заданном классе функций. Классическим примером такой задачи является знаменитая проблема Пенлеве1 об описании компактов, устранимых для ограниченных голоморфных функций, т.е. таких компактов на комплексной плоскости, для которых любая ограниченная голоморфная функция, определенная в дополнении данного компакта до какой-либо его окрестности, может быть голоморфно продолжена на этот компакт. Проблема Пенлеве приковывала внимание аналитиков на протяжении всего XX века (Д. Помпейю, А. Данжуа, В. В. Голубев, А. Безикович, А. Берлинг, Л. Альфорс, А. Г. Витушкйн, II. Маттила, Г. Давид, М. С. Мельников и др.), но получила окончательное решение только в 2001 г.2 Решение этой проблемы оказалось весьма сложным и формулируется в терминах, учитывающих метрические и геометрические свойства множеств. Не приводя его в общем виде, отметим следующий результат Г.Давида3, непосредственно предшествовавший завершающей теореме X. Толсы2 и сформулированный в качестве гипотезы А. Г. Витушкиным еще в начале 1960-х гг.: плоский компакт с конечной длиной но Хаусдорфу устраним для ограниченных голоморфных функций в том и только том случае, когда почти на всякую прямую он проецируется во множество меры нуль.

Другую постановку задачи об устранимых особенностях голоморфных функций предложил в докладе на IV Всесоюзном математическом съезде в Ленинграде (1961) Е. П.Долженко4. Он показал, что для голоморфных функций, удовлетворяющих условию Гельдера с заданным показателем а € (0, 1), устранимые компакты характеризуются условием равенства нулю их хаусдорфовой меры порядка 1 + о. Это был первый результат, в котором устранимые особенности решений диффе-

1 Painlevé P. Sur !es lignes singulières des fonctions analytiques // Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 1888

2 Toisa X. l'amlevé's problem and the semiadditivity of analytic capacity// Acta Math. 2003. V. 190. P. 105-149.

3David G. Unrectifiable 1-scts have vanishing analytic capacity// Rev. Mat. Iberoamer. 2000. V. 14. P. 369-479.

4Долженко Е.П. О "стирании"особенностей аналитических функций// Успехи матем. наук. 1963. Т. 18, вып. 4(112). С. 135-142.

рендиального уравнения с частными производными в заданном классе функций (в данном случае — решений уравнения Коти-Римана в классе Гельдера) полностью описывались в терминах хаусдорфовых мер, и в дальнейшем он получил развитие в работах многих авторов. Так, Л. Карлесон5 установил, что компактные подмножества евклидова пространства Kn, п > 2, устранимые для гармонических функций, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем а € (0, 1), полностью описываются условием равенства нулю их хаусдорфовой меры порядка n-2+a. Это же условие, как показал Е. П. Долженко6'7, характеризует и устранимые особенности гармонических функций в классах Гельдера с показателем гладкости a G (1, 2).

Дальнейшее продвижение в направлении дополнения сформулированных выше результатов Е. П. Долженко и JI. Карлесона и их обобщения на более широкие классы линейных дифференциальных уравнений с частными производными связано с работами Р.Харви и Дж.Полкинга8'9, Й.Крала10. Н.Х.Уи11, Б.Ж.Ищанова12, X. Вердеры13, X. Матеу и X. Оробича14, Д. Ульриха15 и других авторов. В частности, в работах Б.Ж.Ищанова продуктивной оказалась идея классификации суммируемых функций по скорости их локальных приближений в среднем решениями рассматриваемого дифференциального

5 Carles on L. Removable singularities for continuous harmonic functions in R"// Math. Scand. 1963. V. 12. P. 15-18.

6Долженко Е.П. О представлении непрерывных гармонических функций в виде потенциалов // Изв. АН СССР. 1964. Т. 28, № 5. С. 1113-1130.

7Долженко Е.П. Об особых точках непрерывных гармонических функций // Изв. АН СССР. 1964. Т. 28, № 6. С. 1251-1270.

8Harvey Л., Polking J. С. Removable singularities of solutions of linear partial differential equations// Acta math. 1970. V. 125, № 1/2. P. 39-56.

0Polking J.C. A survey of removable singularities // Sem. Nonlinear PDE. New York, 1984. P. 261-292.

10Krai J. Removable singularities of solutions of semielliptic equations// Rendiconti de Matematica. 1973. V. 6. № 4. P. 763-783

11 Uу N.X. Removable sets of analytic functions satisfying a Lipschitz condition // Ark. mat. 1979. V. 17. 1. C. 19-27. .

12 Ищаноо Б.Ж. Метрические условия для устранимости особых множеств в некоторых классах полигармонических и полианалитических функций // Депонировано в ВИНИТИ АН СССР 14 апреля 1987 г., № 2575-В87.

13 Verdera J. Ст-approximations by solutions of elliptic equations and Calderon-Zygmund operators // Duke Math. J. 1987. V. 55. № 1. P. 157-187.

14 Maleu J., Orobitg J. Lipschitz approximations by harmonic functions and some applications to spectral synthesis// Indiana Univ. Math. J. 1990. V. 39, № 3. P. 703-736.

15 Ullrich D. Removable sets for harmonic functions // Mich. Math. J. 1991. V. 38, № 3. P. 467-473.

уравнения, восходящая к работам В. С. Федорова 1920-30 гг. об условиях моногенности функций комплексного переменного и представлению голоморфных функций интегралом типа Коши. На этом пути он12 выделил классы локально суммируемых функций, в которых устранимые особенности нолианалитических и иолигармонических функций полностью описываются условием равенства нулю их хаусдорфовой меры относительно произвольно заданной измеряющей функции. Дальнейшие исследования16 привели к обобщению результатов Б. Ж. Ищанова на однородные уравнения, левая часть которых является квазиоднородным полуэллиптическим оператором с постоянными коэффициентами. При этом выяснилось, что известные результаты о метрической характери-зации устранимых множеств для решений таких уравнений в классах Гельдера (вообще говоря, анизотропных) являются следствиями результатов об устранимых особенностях в классах, построенных при помощи локальных приближений решениями рассматриваемого уравнения.

В упомянутых выше результатах гладкость коэффициентов эллиптического уравнения играла существенную роль. Она гарантировала совпадение его обобщенных решений с классическими и их принадлежность к рассматриваемому классу функций.

Для линейных равномерно эллиптических уравнений с негладкими, в частности, с разрывными коэффициентами, ситуация более сложная, и результаты об устранимых особенностях решений таких уравнений могут существенно отличаться от соответствующих результатов для уравнений с гладкими коэффициентами. Например, легко проверить, что любая не тождественная нулю линейная функция не является обобщенным решением в Ж" уравнения div(a(a;)V/) = 0, где а(х) ~ 1 внутри единичного куба Q и а (г) = 2 в Ж" \ Q. Это означает, что граница единичного куба не является устранимым множеством для обобщенных решений рассматриваемого уравнения в классе бесконечно дифференцируемых функций, в то время как для решений уравнения Лапласа (т.е. для гармонических функций) она устранима уже в классе непрерывно дифференцируемых функций. С другой стороны, Д.Гилбарг и Дж. Серрин17 установили, что, в отличие от дивергентного случая,

16Покровский А.В. О неизолированных особых гочтах решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Дисс. ...к.ф.-м.н. М.: МГУ, 1996.

17 Gxlbarg D., Serrin J. On isolated singularities of second order elliptic differential equations// J. d'Analyse Math. 1955-1956. V. 4. P. 309-340. (Пер. на рус. яз.: Сб. переводов "Математика". 1958. Т. 2. № 6. С. 63-86.)

решения однородных линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме с измеримыми и ограниченными действительными коэффициентами могут иметь изолированные особенности даже в классах Гельдера.

Эти результаты объясняют причину отсутствия метрических критериев устранимости особых множеств для решений линейных эллиптических уравнений второго порядка с измеримыми и ограниченными коэффициентами: их получение связано как с новыми постановками задач об устранимых особенностях, так и с новыми условиями устранимости.

Для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка основную массу известных результатов об устранимых особенностях их решений можно условно разделить на две группы. В первой из них, которая восходит к работе Дж. Серрина18, исследуется связь структурных условий, накладываемых на уравнение, со степенью суммируемости либо допустимым порядком роста его решений вблизи особого множества, достаточных для устранимости этого множества. При этом основное внимание уделялось случаям, когда особое множество является либо изолированной точкой, либо гладким многообразием18,19'20. Вторую группу образуют результаты, в которых исследуется эффект продолжаемости всех решений некоторых квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка из заданной области без условия их принадлежности к какому-либо функциональному классу19,21 ~26, Классическим примером такого результата является теорема JT. Берса21 об отсутствии изолированных особенностей у решений уравнения минимальных по-

18Serrin J. Isolated singularities of solutions of quasilinear equations // Acta Math. 1964. V. 111. P. 247-302.

19 Veron L. Singularities of solutions of second order quasilinear elliptic equations. Addison Wesley Longman Limited, 1996.

'20Скрыпник И. И. Об устранимости особенностей решепий нелинейных эллиптических уравнений на многообразиях // Матем. сборник. 2003. Т. 194. Л4 9. С. 91-112.

21 Bers L. Isolated singularities of minimal surfaces // Ann. Math. 1951. V. 53. P. 364386.

22 De Giorgi E., Stampacchia G. Sulla singolarita eliminabili delle ipersuperficie minimali // Atti Accad. Naz. Lincei, Rend., CI. Sci. Fis. Mat. Nat. 1965. V. 38. P. 352-357.

'2ЛNitsche J.C.C. On new results in the theory of minimal surfaces // Bull. Arner. Math. Soc. 1965. V. 71. P. 195-270.

24Miranda M. Sulla singolariti eliminabili delle soluzioni dell'equazione delle superfici minime // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Ser. IV, 1977, V. 4, P. 129-132.

2S Anzellotti G. Dirichlet problem and removable singularities for functional with linear growth // Boll. Un. Mat. Ital. C(5), 1981. V. 81. P. 141-159.

Bre.zis H., Nirenberg L. Removable singularities for nonlinear elliptic equations// Topological Methods in Nonlinear Analysis. 1997. V. 9. P. 201-219.

верхностей.

Единственный результат о метрической характеризации устранимых множеств был получен для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в работе Т. Килиелайнена и Ч. Жонга27. В этой работе дано обобщение сформулированной выше теоремы Карлесона об устранимых особенностях гармонических функций в классах Гельдера на решения вырождающихся эллиптических уравнений с р-лапласианом.

Цель работы. Целью настоящей диссертационной работы является получение метрических критериев устранимости множеств особых точек (замкнутых относительно рассматриваемых евклидовых областей) для решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка с измеримыми и ограниченными действительными коэффициентами и для решений некоторых квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка.

Методика исследования. В диссертации используются методы теории функций нескольких действительных переменных, функционального анализа и качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Научная новизна. Все приведенные в диссертации результаты являются новыми. Основные из них состоят в следующем:

• в классах непрерывных функций и функций с первыми обобщенными производными получены в терминах хауедорфовых мер критерии устранимости множеств особых точек для обобщенных решений однородных линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в дивергентной форме с измеримыми и ограниченными действительными коэффициентами;

• в классах непрерывных функций получен метрический критерий устранимости компактных множеств особых точек для слабых решений однородных линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме с измеримыми и ограниченными действительными коэффициентами;

• в классах функций с первыми обобщенными производными получен в терминах хауедорфовых мер критерий устранимости мно-

27 Kilpelainen Т., Zhong X. Removable sets for continuous solutions of quasilinear elliptic equations // Proc. Amer. Math. Soc. 2002. V. 130. X'6. P. 1681-1688.

жеств особых точек для обобщенных решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с р-лапласианом;

• в терминах хаусдорфовых мер получен критерий устранимости множеств особых точек для решений уравнения минимальных поверхностей в гельдеровых классах непрерывно дифференцируемых функций.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседании Московского математического общества и на следующих семинарах (в скобках указаны руководители семинара): на механико-математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова — по теории приближений и граничным свойствам функций (проф. Е. П. Долженко), теории функций действительного переменного (акад.

РАН П. Л.Ульянов и член-корр. РАН Б.С.Кашин), дифференциальным уравнениям с частными производными (проф. В.А.Кондратьев и проф. Е. В. Радкевич) и дифференциальным уравнениям и их приложениям (проф. М.И.Вишик); в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН — по теории функций нескольких действительных переменных и ее приложениям (акад. РАН С.М.Никольский, член-корр. РАН О.В.Бесов и член-корр. РАН Л.Д.Кудрявцев) и дифференциальным уравнениям в частных производных (проф. А.К.Гущин и проф. В.П.Михайлов); в Институте математики HAH Украины —

по нелинейному анализу (акад. HAH Украины И. В.Скрыпник

проф. С. Д. Эйдельман ) и комплексному анализу и теории потенциала (член-корр. HAH Украины П. М. Тамразов); в Физико-техническом институте низких температур им. Б. И. Веркина HAH Украины — по математической физике (акад. HAH Украины Е. Я.Хруслов); в Институте прикладной математики и механики HAH Украины — по нелинейному анализу (проф. А.А.Ковалевский и проф. А.Е.Шишков); во Владимирском государственном педагогическом университете — по дифференциальным уравнениям (проф. В. В. Жиков и проф. Ю. А. Алхутов), в Финляндии — на семинарах по анализу в университетах Иоэнс-су (проф. И.Лайне), Ювяскюля (проф. Т. Килпелайнен) и Хельсинки (проф. О. Мартио и проф. М.Вуоринен).

Результаты диссертации докладывались также на следующих международных конференциях: Функциональный анализ и его приложения, посвященная 110-летшо С.Банаха (Львов, 2002); Дифференциальные уравнения и динамические системы (Суздаль, 2002, 2004, 2006, 2008); Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы (Ереван, 2002); Потенциальные течения и комплексный анализ (Киев, 2002); Функциональные пространства, нелинейный анализ, проблемы математического образования, посвященная 80-летию члена-корреспондента РАН Л. Д. Кудрявцева (Москва, 2003); Математический анализ и экономика (Сумы, 2003); Теория потенциала и течения со свободными границами (Киев, 2003); Геометрический анализ и его приложения (Волгоград, 2004); Анализ на метрических пространствах с мерой (Ведлево, Польша, 2004); Анализ и геометрия, посвященная 75-летию академика РАН Ю. Г. Решетняка (Новосибирск, 2004); Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, посвященная 100-летию академика С.М.Никольского (Москва, 2005); Теория функций, ее приложения и смежные вопросы (Казань, 2005); Нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными (Алушта, 2005); Течения со свободными границами и смежные вопросы анализа (Киев, 2005); Анализ и дифференциальные уравнения с частными производными, посвященная 75-летию профессора Б. Боярского (Ведлево, Польша, 2006); Комплексный анализ и теория потенциала (Гебзе, Турция, 2006, спутниковая конференция к Международному математическому конгрессу-2006); Дифференциальные уравнения и смежные вопросы, посвященная памяти И.Г.Петровского (Москва, 2007); Геометрический анализ и нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными (Бедлево, Польша, 2007); Боголюбовские чтения-2007, посвященные 90-летию академика Ю. А. Митропольского (Житомир, 2007); Нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными, посвященная памяти И. В. Скрыпника (Ялта, 2007); 18-я Крымская осенняя математическая школа (Ласпи-Батилиман, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы без соавторов в 9 работах, список которых приводится,в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 178 страницах и состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 119 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан исторический обзор известных результатов по теме диссертационной работы и сформулированы ее главные результаты. Здесь также приводятся основные определения и обозначения, используемые в последующих главах. Напомним некоторые из них.

Под функциональным классом в области G С ®.п в диссертации понимается произвольное непустое подмножество пространства L(G)ioc функций, локально суммируемых в G. Если в каждой области G С К" определен некоторый функциональный класс H{G) и при этом для произвольной пары областей G\ С С?2 С сужение на G\ любой функции из H(G2) принадлежит классу H(G 1), то H(G)ioc обозначает множество всех функций из L(G)\0C, сужение которых на любую подобласть Go <ё G принадлежит классу H(Go)-

Открытый евклидов шар с центром в точке х € R" и радиусом г > О обозначается через В(х,г).

Пусть ta > 0, g(t) — положительная непрерывная неубывающая функция, определенная при 0 < t < to, и пусть Е — множество в 1". Напомним, что (внешней) мерой Хаусдорфа mesдЕ множества Е относительно измеряющей функции g называется конечный или равный +оо предел при t -> 0 величины inf где точная нижняя грань берется по всем не более чем счетным множествам открытых шаров {B(ii,rj)}j с г, < t, образующих покрытие множества Е. Если g(t) = ta, а > 0, то хаусдорфова мера множества Е отосительно измеряющей функции g называется мерой Хаусдорфа порядка а множества Е и обозначается mesa Е.

Предположим,, что в области G С Mn, п > 2, задано множество Е, замкнутое относительно этой области, функциональный класс H(G) и класс Ap(G), состоящий из всех решений дифференциального уравнения в частных производных Рf = 0, при этом Ap(G) Л Я(G) ф 0 (во всех конкретных случаях, которые будут рассматриваться ниже, мы будем уточнять требования на класс H(G), дифференциальное уравнение Pf — 0 и то, в каком смысле понимаются решения этого уравнения).

Будем говорить, что множество Е является устранимым для решений уравнения Pf — 0 в классе H(G), если каждая функция из этого класса, являющаяся решением уравнения Pf = 0 на множестве G \ Е, может быть продолжена с G \ Е на G до функции из класса AP{G) П H{G).

В главе 1 рассматриваются линейные равномерно эллиптические

уравнения второго порядка в дивергентной форме. Пусть <3 — ограниченная область в 1", п > 2,

п

п

п

Ь! = £ ЬЫхЩГ) + $>&(х)/) + !>(*)$/ + ад/

¡=1

= дf¡дxi) ~ линейный дифференциальный оператор с измеримыми ограниченными коэффициентами а^(х) = ¿¿(ж), с,(ж) и ¿(х) в области С (г,= 1,...,п), удовлетворяющий следующему условию равномерной эллиптичности: существует такое А € (0, 1], что для всех £ £ ®,г и для почти всех .т 6 С выполняется неравенство

Наибольшее такое Л называется, как обычно, постоянной эллиптичности оператора Ь и обозначается через А/,.

Под обобщенным решением уравнения Ь/ — 0 в области в мы понимаем, как всегда, функцию из Соболевского класса И/1,2(6')|ОС (= И'^1 (С)1ОС), удовлетворяющую этому уравнению в смысле равенства обобщенных функций. По теореме Де Джорджи и Нэша каждая такая функция непрерывна и локально гельдерова в О с некоторым показателем 7, зависящем только от размерности п и постоянной эллиптичности Л;,. Множество всех обобщенных решений уравнения £/ = 0 в области С обозначим через Ах, ((3).

Предположим, что для любой неотрицательной функции уз € Со°(С)

справедливо неравенство / ((¿(ж)^(г) < 0. Тогда28

-'<3 1=1

для каждого шара В(х,г) (1 С и для любой функции / € И'1,2(В(я, г)) существует единственная функция /л,г,г € И''1,2(В(а:, г)) П А^(В(х,г)), удовлетворяющая условию / - /¿,1)Г € И^'2(В(£,г)).

Пусть /¡(¿) — непрерывная положительная неубывающая функция, определенная при Ь > 0 и такая, что при некотором е > 0 функция не убывает. Будем говорить, что функция / принадлежит классу IV (Ь, (?, К), если / 6 и существует такая постоянная С > 0, что для любого шара В(х, г) <е С выполняется неравенство

28Гилбарг Д., Трудингер II. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

п

(1)

( / IV/ - V/£,.,r| Чу)1'2 < Ch(r) (V/ = m,.. .,dnf)).

J B(x,r) '

Пусть E — подмножество области G, замкнутое относительно нее, и пусть функция g(t) определена при i > 0 равенством g(t) tn^2~lh(t).

В принятых обозначениях и при сделанных выше предположениях имеет место следующая теорема.

Теорема 1.1. Множество Е устранимо для обобщенных решений уравнения Lf — Он классе W(L, G, h)\oc тогда и только тогда, когда выполнено условие mesgE = 0.

Во всех последующих теоремах первой главы предполагается, что

п

оператор L не содержит младших членов: Lf = di(cnj(x)djf). Да-

1

лее, как обычно, через Ca(G) и Cl'a(G) (0 < а < 1) обозначаются соответственно множество всех функций, удовлетворяющих в области G условию Гельдера с показателем а и множество всех непрерывно дифференцируемых функций в G, градиент которых принадлежит Ca{G). При h{t) = tn>2+£\ а > -1, вместо W(L,G,h) мы будем писать W£(G).

В теореме 1.2 показано, что при 0 < а < 7 < 1 для оператора L с коэффициентами из G7(G)i0C имеет место совпадение функциональных классов W'fJ(G)ioc и C1'a(G)\oc- Отсюда и из теоремы 1.1 следует, что в этом случае условие mesn"1+a Е — 0 характеризует устранимость множества Е для обобщенных решений уравнения Lf — 0 в классе ос (теорема 1.4). Для оператора Лапласа А теорема 1.4 дает упомянутый выше результат Е. П. Долженко6,7.

В теореме 1.3 для оператора L с непрерывными коэффициентами в G показано, что при — 1 < а < 0 для произвольной подобласти G о (§ G и для любой функции / £ W£(G)i0c конечна величина sup r~n~2a I ¡V/|2ify. По теореме вложения Морри29 это

B(x,r)<sGo JB{x,t)

означает, что / 6 С1+а(<3)1ОС- Поэтому из теорем 1.1 и 1.3 вытекает, что при 0 < а < 1 и непрерывности коэффициентов оператора L в области G равенство mesn~2+aE = 0 является необходимым условием устранимости множества Е для обобщенных решений уравнения Lj = 0 в классе Са (G)ioc- Это же условие, как показали Т. Килпелайнен и Ч. Жонг27, обеспечивает устранимость множества Е для обобщенных

2SGiaquinta M. Multiple intégrais in the calculus of variations and nonlinear elliptic

systems. Princeton Univ. Press, Princeton, 1983.

решений уравнения Lf = 0 в классе Ca(G}ioc. О < а < 1, при этом непрерывность коэффициентов оператора L здесь не нужна. Значит, если 0 < а < 1 и коэффициенты оператора L непрерывны в области G, то условие mesn~2+a.E = 0 полностью описывает устранимые множества для обобщенных решений уравнения Lf — 0 в классе Ca(G)ioc (теорема 1.5). Для оператора Лапласа Д теорема 1.5 дает упомянутый выше результат Л. Карлесона5.

В следующих теоремах первой главы предполагается, что L — оператор без младших членов с измеримыми ограниченными коэффициентами в области G.

Пусть / — непрерывная функция в G. Тогда28 для каждого шара B(x,r) (s G существует единственная функция Д,г,г £ Al(B(x, г)), которая непрерывно продолжается на границу этого шара и имеет там граничные значения, совпадающие со значениями функции /.

Пусть а > 0. Будем говорить, что функция / принадлежит классу [/¿(G), если она непрерывна в области G и существует такая постоянная С > 0, что для любого шара В(х,г) <Ш G выполняется неравенство sup |/ - Д,х,г| < Сга.

В(х,г)

В следующей теореме К — компакт в G.

Теорема 1.6. Лустг> 0 < а < 2. Компакт К устраним для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе U¿(G) тогда и только тогда, когда выполняется условие mesn~2+a К = 0.

Для дальнейшего изложения напомним, что класс Зигмунда Z(G) состоит, по определению, из всех непрерывных функций / в области G для которых конечна величина sup |ft|~1|/(x - h) — 2f(x) + f(x + /i)j, где точная верхняя грань берется по всем х € G и h £ ffin \ {0} таким, что замкнутый отрезок с концами х — h и х + h целиком лежит в G\ класс Гельдера-Зигмунда Aa(G), 0 < а < 2, определяется равенствами A "(G) = Ca{G) и A1+a(G) = Cha(G) при 0 < а < 1, AX(G) = Z(G). Отметим16,30, что для оператора Лапласа А класс функций Ug(G)ioc совпадает при 0 < а < 2 с классом Aa(G)i0C, поэтому в теореме 1.6 содержатся известные критерии устранимости компактов для гармонических функций, установленные в работах Л. Карлесона5 (0 < а < 1), Е. П. Долженко6'7 (1 < û < 2), Д. Матеу и Д. Оробича14 и Д. Ульриха15

30Покровский A.B. Классы функций, определяемые с помощью локальных приближений решениями гипоэллиптических уравнений // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 2. С. 394-413.

Чтобы сформулировать следующий результат, введем обозначение: если функция / непрерывна на замыкании шара В(х, г), то ее колебание на этом шаре определяется равенством osc^^,.) / := sup / — inf /.

Тогда упомянутая выше теорема Де Джорджи и Нэша может быть сформулирована таким образом28: для любой тройки концентрических шаров В(х, г) <г В(х,В) <ё В(х,Ло) <§ 6? с Е < 1 и для любой функции / € А^(В(х,110)) справедливо неравенство

где С > 0 и 7 £ (0, 1) зависят только от размерности п и постоянной эллиптичности АI-

Из принципа максимума для обобщенных решений рассматриваемого уравнения вытекает, что при всех а £ (0, 1) имеет место включение Са(0)}ОС С £/£ (£?)[0С. В теореме 1.7 показано, что при 0 < а < 7, где 7 — гельдеров показатель в только что приведенной формулировке теоремы Де Джорджи и Нэша, это включение превращается в равенство функциональных классов Са((?)\ос = [/¡'(С)10с.

Теорема 1.6 дополняется теоремой 1.8, в которой получено обобщение на решения уравнения Ь/ = 0 известной теоремы И. И. Привалова31 о достаточном условии гармоничности непрерывной функции в терминах введенных им верхнего и нижнего обобщенных параметров Лапласа. Из теоремы 1.8 следует, что при а > 2 класс (С)1ОС состоит только из обобщенных решений уравнения Ь/ — 0 в области С.

При сравнении теорем 1.1 и 1.6 естественно возникает вопрос о связи между классами функций Ии 171+а(С)1ос. Ответ на него дает теорема 1.9, в которой при всех а > — 1 установлено включение

(£?)10С С и1+а(<3) 1ос, становящееся при а > 0 равенством функциональных классов И7^ (С)]ос = ^'¿+о(6г)10С.

В главе 2 рассматриваются линейные равномерно эллиптические уравнения второго порядка в недивергентной форме.

п ^ У \

Пусть £/ = У^ ау(х)Э;7/ = ¿^"¿¡¡Г") — линейный диффе-

»,.7=1 * 1

ренциальный оператор второго порядка с измеримыми ограниченными действительными коэффициентами = в К" (г,} = 1,... ,п),

31 Привалов И.И. Субгармонические функции. М.: ОНТИ, 1937.

В{х,г) В(х,т)

такой, что при некотором А £ (0, 1] Для всех ( 6 1" и для почти всех же®" выполняется условие равномерной эллиптичности (1). Наибольшее такое Л называется, как обычно, постоянной эллиптичности оператора £ и обозначается через

Возьмем произвольным образом ограниченную область G С Ж" с гладкой (бесконечно дифференцируемой) границей dG, непрерывную функцию д, определенную на 3G, и последовательность дифференци-

я

альных операторов £¿/ = a\k-'{x)dtjf, к £ N, такую, что все коэффициенты определены и бесконечно дифференцируемы в Ж", операторы £* равномерно эллиптичны а Еп с постоянными эллиптичности > А£ (к £ N), и для любых i,j € {I,...,п} последовательность функций {a\j4x)}ken сходится при к оо к функции ац{х) почти всюду в G. Тогда28 для каждого к £ N существует единственная функция fu, которая непрерывна на замкнутой области G, бесконечно дифференцируема внутри нее и такая, что = 0 в G, f¡¡ = д на dG. Н.В.Крылов и М.В.Сафонов32 показали, что из последовательности функций {/¿jieN можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на G. Следуя М.В.Сафонову33, мы называем предел такой подпоследовательности слабым решением задачи Дирихле £/ = О в G, f ~ д на dG. Будем говорить, что оператор £ обладает свойством слабой единственности, если для любой области G с гладкой границей и для любой непрерывной функции д на dG эта задача Дирихле имеет единственное слабое решение.

Понятие слабой единственности было введено Н. В. Крыловым34, который доказал, что если замыкание множества точек разрыва коэффициентов оператора £ не более чем счетно, то этот оператор обладает свойством слабой единственности. М.В.Сафонов35 установил слабую единственность оператора £ в предположении,"что множество точек разрыва его коэффициентов замкнуто и имеет достаточно малую

32 Крылов Н.В., Сафонов М.В. Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициентами// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44. № 1. С. 161-175.

33Safonov М. V. Nonuniqueness for second-order elliptic equations with measurable coefficients// SIAM J. Math. Anal. 1999. V. 30. № 4. P. 879-895.

34 Krylav N. V. On one-point weak uniqueness for elliptic equations// Comm. in PDE. 1992. V. 17. X« 11-12. P. 1759-1784.

Л5Safonov M.V. On a weak uniqueness for some elliptic equations// Comm. in PDE. 1994. V. 19. X« 5-6. P. 943-957.

хаусдорфову размерность (зависящую от п и Ад). С другой стороны, Н. С. Надирашвили36 показал, что, в отличие от случая п — 2, слабая единственность для оператора £ может нарушаться при га > 3.

Для формулировки основной теоремы второй главы нам потребуется следующий результат Л. Эскуриазы37: оператор £ обладает свойством слабой единственности в том и только том случае, когда существует единственная неотрицательная функция £ L(En)i ос такая, что

f Wü(x)Sbp(x) dx = О V^ G Cg°(®n). f Wü{x)dx = 1. (3)

v Jß(0,l)

Всюду ниже мы считаем, что для оператора £ выполнено свойство слабой единственности в Ж™, а неотрицательная функция Wg, £ L(En)ioc удовлетворяет условиям (3).

Пусть « > 0, Wz{B(x,r)} / W£ (»)«$/ (« € Ж", г > 0). На-

JB(x,r)

зовем (внешней) £-мерой порядка а множества Е С ®п и обозначим через mes¿Е конечный или равный +оо предел при t 0 величины

inf(i:j r(- 'nWz(B(xj,rj))^, где точная нижняя грань берется по всем

не более чем счетным системам шаров {B(xj,rj)}j с Tj <t, образующих покрытие множества Е.

Под слабым решением уравнения £/ - 0 в области G мы будем понимать непрерывную в этой области функцию д, которая внутри любой подобласти Go <§ G с гладкой границей совпадает со слабым решением задачи Дирихле £/ = 0 в Go, / = g на dG$. Множество всех таких функций мы обозначаем через Ac(G).

Пусть G — ограниченная область в Еп, К ~ компакт в G- Заменяя в определении класса Uj'(G) из главы 1 обобщенные решения уравнения LJ = 0 на слабые решения уравнения £/ = 0, мы получаем определение функционального класса U£(G).

В принятых выше обозначениях сформулируем основной результат второй главы диссертации.

Теорема 2.1. Пусть 0 < а < 2. Компакт К устраним для слабых решений уравнения £/ = 0 в классе C/£(G)ioc тогда и только тогда,

36 Nadirashvüi N.S. Nonuniqueness in the martingale problem and the Dirichlet problem for uniformly elliptic equations// Ann. ScuoJa Norm. Sup. Pisa CI. Sei. (4). 1997. V. 24. N> 3. P. 537-550.

37Escauriaza L. Bounds for the fundamental solutions of elliptic and parabolic equations in nondivergence form // Comm. in PDE. 2000. V. 25. № 5-6. P. 821-845.

когда выполнено условие mes^~2+аК = 0.

Для оператора Лапласа А функция W& (х) является, очевидно, неотрицательной и нетождественной нулю гармонической функцией в Ж", и, по односторонней теореме Лиувилля, она есть положительная постоянная. Отсюда следует, что мера mes^jE совпадает с точностью до постоянного множителя, не зависящего от множества Е С К", с мерой mesаЕ. Поэтому (см. комментарий после формулировки теоремы 1.6) в теореме 2.1 содержатся известные критерии устранимости компактов для гармонических функций5-7'14,15.

Прежде чем излагать дальнейшие результаты работы, проиллюстрируем применение теоремы 2.1 на упомянутом выше примере Д. Гилбарга и Дж.Серрина17.

Пример 2.1. Пусть п >2, ß > п -2, а = и пусть коэффици-

енты оператора £/ = aij(x)dijf заданы в!"\ {О} (О — начало

координат в К") равенствами aij(x) := ¿у + ßxixj|х|~2, где öij — символ Кронекера: S,j = 1 при г = j, Sjj = 0 при i ф j (i,j = l,...,n). Тогда 0 < а < 1, оператор £ равномерно эллиптичен и удовлетворяет условию слабой единственности в Ж", и непосредственная проверка показывает, что функция 1 — |х|а является классическим (и, следовательно, слабым) решением уравнения £/ = 0 в 1" \ {О}, а ее сужение на единичный шар В := В(0,1) принадлежит классам Са(В) и Ug(B) (поскольку Са{В) С 11ЦВ) при 0 < а < 1).

С другой стороны, как показал Л. Эскуриаза37, функция \¥ц(х) с точностью до постоянного положительного множителя, зависящего

~(п-1),Э

лишь от 71 я ß, совпадает в R" с функцией . Отсюда следует,

-(n-l)ß

что функция W£(B(0, г)) (г > 0) совпадает с функцией сг *+/> , где с — постоянный положительный множитель, зависящий только от п и ß. Поэтому для любого г > 0 справедливы равенства

г(п-2+а)~»ИГ£(В(0,г)) = = СТ° = С. (4)

Воспользуемся теперь результатом П. Бауман38 о том, что функция Ws{B[x,r)) удовлетворяет при всех i е 1" и г £ (0, 1] условию удвоения Ws,(B(x, 2г)) < С ■ Wz(B(x,r)), где положительная постоянная С

38Bauman P. A Wiener test for nondivergence structure, second-order elliptic equations// Indiana Univ. Math. J. 1985. V. 34. X« 4. P. 825-844.

зависит только от п. и Ас. Отсюда вытекает, что при проверке условия тез£~2+а/Г > 0-"можно без уменьшения общности предполагать, что центры всех шаров покрытий в определении £-меры принадлежат множеству К. Следовательно, цепочка равенств (4) означает, что для множества К = {О} выполняется условие те$г?~2+аК > 0, и, по теореме 2.1, это множество не является устранимым для слабых решений уравнения £/ = 0 в классе и^(В).

Проведенные вычисления показывают также, что для всех 7 > а справедливо равенство теэ— 0. Поэтому при 7 > а компакт К — {О} является устранимым для слабых решений уравнения £/ = 0 в классе и%(В).

В упомянутой работе П. Бауман38 было также показано, что функция 1У£(ж) не может обращаться в нуль на множестве положительной лебеговой меры в Ж". Это означает, что условия тез^К = 0 и тез"К = 0 эквивалентны, поэтому устранимость компакта К для слабых решений уравнения £/ = 0 в классе II¡.(С) характеризуется условием равенства нулю его меры Лебега.

Для дальнейшего изложения нам потребуется следующая теорема Н.В.Крылова и М.В.Сафонова32 о локальной гельдеровости слабых решений уравнения £/ = 0: для произвольной тройки концентрических шаров В(х,г) (ё В(х,Щ <в В(х,Ио) с 11 < 1 и для любой функции / е А^(В(х, До)) справедливо неравенство (2), где С > 0 и 7 е (0, 1] зависят только от тг и Ад.

Из хорошо известного описания классов Гельдера-Зигмунда Ла(<7),ос при 0 < а < 2 в терминах локальных приближений линейными функциями39 и из принципа максимума для слабых решений уравнения £/ = 0 вытекает включение Аа(6')|0с С II¡¡(в^ос (0 < а < 2). В теореме 2.2 показано, что при 0 < а < 7, где 7 — гельдеров показатель в приведенной выше формулировке теоремы Крылова и Сафонова, это включение становится равенством функциональных классов Ло;(С)|0С = и1(С)[0С. Из теорем 2.1 и 2.2 вытекает теорема 2.3, дающая критерий устранимости компактов для слабых решений уравнения £/ = 0 в классах Гельдера с малым показателем гладкости.

Теорему 2.1 дополняет теорема 2.4, в которой получено обобщение на слабые решения уравнения £/ = 0 упомянутой выше теоремы И. И. Привалова31 о достаточном условии гармоничности непрерывной

39Крылов II. В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера. Новосибирск: Научная книга, 1998.

функции. Из теоремы 2.4 следует, что при а > 2 класс Ug(G)\0C содержит только слабые решения уравнения £/ = 0 в области G.

В теореме 2.5 показано, что при п>3и0<а<2 выполнение равенства mesn~2+aК — 0 является достаточным условием устранимости компакта К для классических решений уравнения £/ = 0 в классе t/£(G)i0C, если только коэффициенты оператора £ непрерывны по Дини в области G (в этом случае множества слабых и классических решений этого уравнения совпадают40).

В главе 3 рассматриваются квазилинейные эллиптические уравнения второго порядка.

В первой ее части изучаются устранимые множества для решений уравнения div(| V/|p~2 V/) = 0,1 < р < оо. Под решением этого уравнения в области G мы понимаем, как обычно, функцию из соболевского класса W1,P(G)}0C (= WjJ(G)i0C), удовлетворяющую этому уравнению в смысле равенства обобщенных функций. Множество всех таких функций обозначим через AP(G), а его элементы будем называть, как обычно, р-гармоническими функциями. Хорошо известно41'42,43, что каждая р-гармоническая функция принадлежит классу C1,7(G)ioc, где j G (0, 1) зависит только от п и р.

Если / € W/1,p(G)ioc, то44 для каждого шара В(х,г) <§ G существует единственная функция /Х)Г € Wl'p(B(x,r)) П Ар(В(х,г)), удовлетворяющая условию / - /х,г £ Ш^'р(В(х,г)).

Пусть а > 0. Будем говорить, что функция / принадлежит классу Ар (G), если / б iyi,ma*{2,p}(с)1ос и существует такая постоянная С > 0, что для каждого шара B(x,r) <s G выполняется неравенство

JB(x,r/2)

В главе 3 всюду предполагается, что G — ограниченная область в ®n, п > 2, а Е — множество, замкнутое относительно G.

40Иванович М.Д. О характере непрерывности решений линейных эллиптических уравнений второго порядка// Вестник МГУ. Сер. Матем. Мех. 1966. Вып. 3. С. 37-47.

41Уральцева Н.Н. Вырождающиеся квазилинейные эллиптические системы// Зап. научи, семинаров ЛОМИ. 1968. Т. 7. С. 184-222.

42 DiBenedetto Е. Cl+a local regularity of weak solutions of degenerate elliptic equations // Nonlinear Analysis. 1983. V. 7. X» 8. P. 827-850.

i3Tolksdorf P. Regularity for a more general class of quasilinear elliptic equations // Journ. of Diff. Equations. - 1984. V. 51. P. 126-150.

44Heinonen J., Kilpelâinen T., Martio O. Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations. Oxford: Oxford University Press, 1993.

В принятых обозначениях справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1. Пусть 1<р<ос и 0 <а<1. Множество Е устранимо для р-гармонических функций в классе A®(G)ioc тогда и только тогда, когда выполнено условие mesn-1+a Е = 0.

Отметим, что из доказательства теоремы 3.1 вытекает, что при а > 1 класс (G)ioc совпадает с множеством всех р-гармонических функций в области G.

Для изложения дальнейших результатов введем обозначение: если х 6 ®п, г > 0 и / € Ь2(В(х, г)), то

где /в(х,г) ~~ среднее значение функции / по шару В(х,г). Тогда теорема о гельдеровости градиента р-гармонической функции может быть сформулирована в следующей форме, предложенной в работе Э. ДиБенедетто и X. Манфреди45: существуют у 6 (0, 1] и V > 0, зависящие только от п и р, такие, что для произвольной тройки концентрических шаров В(х,г) (г В(х,К) <Ш В(х, /?<>) и для любой функции / е Ар(В{х, /¿о)) выполняется неравенство

В последующих результатах третьей главы у = 7(п,р) является гельде-ровым показателем /»-гармонической функции в представленной формулировке.

В теореме 3.2 показано, что при всех при р > 2 и а € (0, 1) справедливо включение С1 ,a(G)ioc С Ap(G)ioc, которое остается в силе и при 1 < р < 2, если в нем заменить класс C1,a(G)i0c его подклассом, состоящем из функций, имеющих ненулевой градиент всюду в области G. В обратном направлении эта теорема устанавливает, что при всех р £ (1, ос) и си £ (0, 7(п,р)) имеет место включение A£(G)i0C с С1'"((?)ioc-

С другой стороны, П. Линдквист и П. Ютииен46 показали, что каждая непрерывно дифференцируемая функция / в области G, р-гармо-

46DiBenedetto В., Manfredi J. On the higher integrability of the gradient of weak solutions of certain degenerate elliptic systems // Amer. Journ. of Math. 1993. V. 115. P. 1107-1134.

46 Juutinen P., Lindqvisi P. A theorem of Radd's type for the solutions of a quasi-linear equation// Math. Research Letters. 2004. V. 11. P. 31-34.

(г \T

—J osc2(V/,:r,#)

(5)

ническая на множестве G \ {V/ = 0}, является р-гармонической и в G. Сравнивая этот результат с теоремами 3.1 и 3.2, заключаем, что при всех р 6 (1, оо) и а € (0, 1) условие mesn~1+a Е = 0 достаточно, а при а < 7(п, р) — необходимо и достаточно для устранимости множества Е для р-гармонических функций в классе C1,a(G)ioc (теорема 3.3).

При р = 2 неравенство (5) выполняется с j = 1, поэтому теорема 3.3 содержит в себе результат Е. П. Долженко6'7 об устранимых особенностях гармонических функций. Теорему 3.3 интересно сравнить с упоминавшейся выше теоремой Т. Килпелайнена и Ч. Жонга27, которая утверждает, что при всех р £ (1, oo) и а € (0, 1) таких, что п — р + а(р — 1) >0, множество Е устранимо для р-гармонических функций в классе Ca{G)\ ос тогда и только тогда, когда выполняется условие mesп-р+<*(р-1) е — о. Совершенно очевидно, что при р ф 2 зависимость критической размерности Хаусдорфа от а и р имеет в этих теоремах разный характер: у Т. Килпелайнена и Ч. Жонга она зависит от р, а в теореме 3.3 — нет.

Во второй части главы 3 рассматривается уравнение минимальных поверхностей div ((1 + |V/j2)-1/,2V/) = 0. Под решением этого уравнения понимается, как обычно, дважды непрерывно дифференцируемая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.

Следующая теорема является основным результатом третьей главы диссертации.

Теорема 3.4. Пусть 0 < а < 1. Множество Е устранимо для решений уравнения минимальных поверхностей в классе C1,a(G)ioc тогда и только тогда, когда выполнено условие mes"~1+i* Е = 0.

В связи с формулировкой этой теоремы напомним, что условие mes"-1 Е ~ 0 является достаточным для того, чтобы всякое решение уравнения минимальных поверхностей, определенное в G \ Е, продолжалась (как решение этого уравнения) на G (подчеркнем, что здесь не требуется никаких условий на поведение решений вблизи Е). Для случая, когда множество Е состоит только из изолированных точек этот результат был установлен JI. Берсом21, при п = 2-Й. Ниче23, для компактных множеств Е — Э. Де Джорджи и Г. Стампаккья22, в общем случае - М.Мирандой24.

Отметим, что основную сложность в доказательстве теоремы 3.4 представляет проверка необходимости условия mes"~1+a Е — 0 для устранимости множества Е. В диссертации она преодолевается при помощи применения теоремы Шаудера о неподвижной точке.

В теореме 3.5 дано обобщение теоремы 3.4 на более широкий класс квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Не приводя определения этого класса, укажем, что к нему принадлежат уравнение капиллярности div ((1 + |V/j2)~1//2V/) + с/ = 0 (с = const < 0), уравнение Эмдена-Фаулера Af — \f\p~1f = 0 при р > 2 и уравнение A/-/IV/P =0.

В главе 4 рассматриваются линейные дифференциальные уравнения (не обязательно эллиптические) с гладкими коэффициентами.

Пусть Р — линейный дифференциальный оператор порядка m, коэффициенты которого являются m раз непрерывно дифференцируемыми функциями в области Gel" (принимающими, вообще говоря, комплексные значения). Под слабым решением уравнения Pf = 0 понимаем, как обычно, локально суммируемую функцию, удовлетворяющую этому уравнению в смысле распределений по Л. Шварцу.

Пусть 1 < р < оо, s > 0, / € L(G)ioc. Для шара B(x,r) g G обозначим E<s](f,x,r) := infír"" / I/(y) - g{y)\dy : g € Т>[Л, где [s] -

1 JB(x,r) }

целая часть $, P[si — множество всех алгебраических полиномов степени не выше [s] (по совокупности переменных). Определим в области G максимальную функцию М„ f(x) := sup r~"E\s\(f,x,r). По опреде-

B(x,r)<sG

лению, функция / принадлежит классу Cp(G)¡oc, если Msf € Lp(G)i0C (отметим, что последнее условие обеспечивает принадлежность / к -kp(G)ioc)- В случае натурального s можно определить в области G еще одну максимальную функцию: M*f(x) := sup r~sE*(f, х, г),

В(х,т)<ёО

где E*(f,x,r) обозначает усредненную по мере Лебега величину наилучшего приближения в среднем функции / на шаре В(х,г) пространством алгебраических полиномов степени не выше s — 1. По теореме А. Кальдерона47 функция / принадлежит классу Соболева W£(G)|0С тогда и только тогда, когда M* f е Lp(G)¡oc, откуда вытекает включение ос-

Классы функций C^(G)\oc были введены Р.Шарпли и Р.ДеВором48,

47Kalderón А.P. Estimates for singular integral operators in terms of maximal functions // Studia Math. 1972. V. 44. P. 167-186.

isSharpley H-, DeVoor R. Maximal functions measuring smothness// Mem. Amer. Math. Soc. 1984. V. 47. № 293. P. 1-113.

и независимо, Б.Боярским49. Позднее X.Трибель50 показал, что эти классы содержатся в шкале пространств Лизоркина-Трибеля Lsp q{G)ioc при q = оо: Csp{G),ос = LsPt00(G)loc.

Основным результатом главы 4 является следующая теорема.

Теорема 4.1. Пусть 1 < р < оо, s > О, q = р/(р - 1), 0 < п — q(m — s) < п, и пусть Е — множество, замкнутое относительно области G, с mesn~4^m"s^E < оо. Тогда Е устранимо для слабых решений уравнения Pf = 0 в классе. C*{G)ioc-

Эта теорема обобщает и распространяет на нецелые показатели гладкости известный результат Р. Харви и Дж. Полкинга8, которые при целом s в условиях теоремы 4.1 установили устранимость множества Е для слабых решений уравнения Pf = 0 в классе Соболева W£(G)i0с.

В заключение, автор хотел бы выразить глубокую благодарность своему учителю и научному консультанту профессору Евгению Проко-фьевичу Долженко за многочисленные обсуждения представленных в диссертации результатов и постоянную поддержку в работе.

49 Bojarski B. Sharp maximal operator of fractional order and Sobolev imbedding inequalities// Bull. Polish Acad. Sci. Math. 1985. V. 33. № 1-2. P. 7-16.

50Triebel H. Local approximation spaces// Ztschr. Anal, und Anwend. 1989. Bd. 8. H. 3. S. 261-288.

Основные публикации автора по теме диссертации (из официального перечня ВАК)

1. Покровский A.B. Устранимые особенности решений дивергентных эллиптических уравнений второго порядка // Мат. заметки. 2005. Т. 77. Вып. 3. С. 424-433.

2. Покровский A.B. Устранимые особенности слабых решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными // Мат. заметки. 2005. Т." 77. Вып. 4. С. 584-591.

3. Покровский A.B. Устранимые особенности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка// Доклады РАН. 2005. Т. 401. вып. 1. С. 27-29.

4. Покровский A.B. Устранимые особенности р-гармонических функций // Дифф. уравнения. 2005. Т. 41. № 7. С. 897-907.

Ь. Покровский A.B. Устранимые особенности решений уравнения минимальных поверхностей// Функц. анализ и его приложения. 2005. Т. 39. Вып. 4. С. 62-68.

6. Покровский A.B. Устранимые особенности решений нелинейных эллиптических уравнений // Успехи мат. наук. 2007. Т. 62. Вып. 3(375). С. 215-216.

7. Покровский A.B. Локальные аппроксимации решениями эллиптических уравнений второго порядка и устранимые особенности // Доклады РАН. 2007. Т. 417. № 5. С. 597-600.

8. Покровский A.B. Устранимые особенности решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка// Функц. анализ и его приложения. 2008. Т. 42. Вып. 2. С. 44-55.

9. Покровский A.B. Устранимые особенности решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме// Мат. сборник. 2008. Т. 199. № 6. С. 136-159.

Публикации, примыкающие к основным

1. Покровский A.B. Теоремы о среднем для решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными // Мат. заметки. 1998. Т. 64. № 2. С. 260-272.

2. Покровский A.B. Локальные аппроксимации решениями гипоэл-липтических уравнений и устранимые особенности// Доклады РАН. 1999. Т. 367. № 1. С. 15-17.

3. Покровский A.B. Об устранимых особенностях решений однородных эллиптических уравнений в классах Никольского-Бесова// Доклады РАН. 2001. Т. 380. № 2. С. 168-171.

4. Покровский A.B. Устранимые особенности решений эллиптических уравнений второго порядка // Доповцц HAH Укра'ши. 2004. № 11. С. 38-42.

5. Покровский A.B. Устранимые особенности решений эллиптических уравнений// Труды Матем. центра им. Н.И.Лобачевского. 2005. Т 30. (Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы Седьмой международной Казанской летней школы-конференции.) С. 128-132.

6. Покровский A.B. Классы функций, определяемые с помощью локальных приближений решениями гипоэллинтических уравнений // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47. № 2. С. 394-413.

7. Покровский A.B. Обобщение теоремы И.И.Привалова об эквивалентном определении гармонической функции // 36ipmiK праць 1нстигуту математики HAH Укра'ши. 2006. Т. 3. № 4. С. 411-415.

8. Покровский A.B. Устранимые особенности решений эллиптических уравнений// Современная математика и ее приложения. 2007. Т. 57. (Труды международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2006.) С. 54-72.

9. Покровский A.B. Устранимые особенности решений полуэллиптических уравнений // Дифф. уравнения. 2009. Т. 45. №2. С. 203-210.

10. Покровский A.B. О вложении и совпадении некоторых классов функций // Зб1рник праць 1нстктуту математики HAH Укра'ши. 2009. Т. 6. № 1. С. 209-221.

Щцписано до друку 9.02.2009. Формат 60x84/16. Патр офс. Офс. друк. Ф13. друк. арк. 1,5. Умов. друк. арк. 1,4. Тираж 200 пр. Зам. 28. Безкоштовно.

1нститут математики HAH Укра'пш, 01601, м. Кшв, вул. Терещенювська, 3.

Введение

1 Устранимые особенности обобщенных решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в дивергентной форме

1.1 Вспомогательные результаты.

1.2 Устранимые особенности обобщенных решений уравнений с ограниченными и измеримыми действительными коэффициентами в классах функций с первыми обобщенными производными.

1.3 Устранимые особенности обобщенных решений уравнений с непрерывными коэффициентами в классах Гельдера.

1.4 //-гармоническая мера и функция Грина для линейного равномерно эллиптического оператора второго порядка в дивергентной форме.

1.5 Устранимые особенности обобщенных решений уравнений с измеримыми и ограниченными коэффициентами в классах непрерывных функций

1.6 Эквивалентное определение обобщенных решений уравнений с измеримыми ограниченными коэффициентами

1.7 Связь между классами \У£(С)\ос и и1+а(0)\ос

Устранимые особенности решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме

2.1 Определения и предварительные сведения

2.2 Устранимые особенности слабых решений уравнений с ограниченными и измеримыми действительными коэффициентами.

2.3 Доказательство теоремы 2.1.

2.4 Устранимые особенности слабых решений уравнений с измеримыми и ограниченными коэффициентами в классах Гельдера-Зигмунда.

2.5 Эквивалентное определение слабых решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме

2.6 Устранимые особенности слабых решений уравнений с коэффициентами, непрерывными по Дини

Устранимые особенности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка

3.1 Формулировки теорем об устранимых особенностях ^-гармонических функций.

3.2 Вспомогательные результаты о р-гармонических функциях.

3.3 Доказательство теоремы 3.1.

3.4 Доказательство теоремы 3.2.

3.5 Устранимые особенности решений уравнения минимальных поверхностей в классах С1,а

3.6 Обобщение теоремы об устранимых особенностях решений уравнения минимальных поверхностей в классах С1,а.

4 Устранимые особенности слабых решений линейных дифференциальных уравнений с гладкими коэффициентами *

Задачи о продолжении решений дифференциальных уравнений с частными производными традиционно привлекают внимание большого числа исследователей. Центральное место среди них занимает задача об устранимых особенностях решений дифференциального уравнения в заданном множестве функций (функциональном классе). Рассмотренная впервые для аналитических и гармонических функций (т.е. для решений уравнения Коши-Римана и решений уравнения Лапласа) в теории функций одного комплексного переменного, эта задача может быть сформулирована в общем виде следующим образом.

Пусть в области G С Мп, п > 2, задано непустое множество Е ф Сг, замкнутое относительно этой области, функциональный класс -Н"(6г), элементы которого в дальнейшем всегда предполагаются локально суммируемыми функциями в С, и класс Др(Сг), состоящий из всех решений дифференциального уравнения в частных производных Р/ = 0, при этом Др(Сг) П Н(0) ф 0 (во всех конкретных случаях, которые будут рассматриваться ниже, мы будем уточнять требования на класс Я((7), дифференциальное уравнение Pf = 0, и то, в каком смысле понимаются решения этого уравнения). Спрашивается, при каких условиях на Е каждая функция из класса являющаяся решением уравнения Р/ = 0 на множестве С \ Е, может быть продолжена с С \ Е на С до функции из класса Ар(0) П Н(0)1 Если последнее имеет место, то мы говорим, что множество Е устранимо для решений уравнения Р/ = 0 (или Р-устранимо) в классе

Первая теорема о стирании особенностей была получена Ри-маном. В своей докторской диссертации (1851, см. [43] и комментарии в [22]) он установил устранимость изолированной особой точки го для гармонической функции двух действительных переменных при условии, что модуль ее градиента ведет себя при 2 —»■ ¿о как о(\г — В этой же работе он сформулировал теорему о стирании особенностей, расположенных на дуге кривой, на которой функция непрерывна и в окрестности которой она аналитична (голоморфна). Риман не привел строгого доказательства этого утверждения, которое без дополнительных ограничений на дугу может оказаться и неверным. Однако, как показал П. Пенлеве [101] (1888), оно справедливо при условии спрямляемости дуги, которое, по-видимому, неявно подразумевалось Риманом. Этот результат является частным случаем доказанной П. Пенлеве более общей теоремы об устранимости компактов с конечной длиной по Хаусдорфу для голоморфных функций, непрерывно продолжаемых на множество своих особенностей. Другим важным результатом, который был установлен в упомянутой работе П. Пенлеве, была устранимость компактов с нулевой длиной (по Хаусдорфу) для ограниченных голоморфных функций.

В обратном направлении, А. Данжуа [70] показал неустранимость для ограниченных голоморфных функций компактов положительной длины, расположенных на прямой. П. Пенлеве предполагал, что всякий всюду разрывный компакт К (т.е. компакт, содержащий лишь одноточечные компоненты связности) устраним для голоморфных функций, непрерывно продолжаемых на К, но эта гипотеза была опровергнута Д. Помпейю [103], построившим пример всюду разрывного компакта К С С с положительной площадью и непрерывной и ограниченной в С непостоянной функции /(г), голоморфной в С \ К. Однако, оригинальное доказательство Помпейю содержало пробел, устраненный в 1909 г. А. Данжуа [69].

Важную роль в дальнейшем развитии теории особых точек аналитических функций сыграла опубликованная в 1916 г. магистерская диссертация В.В.Голубева (см. [5]). В этой диссертации он построил пример типа Помпейю-Данжуа с компактом К нулевой площади (что оказалось существенно более сложным) и сформулировал гипотезу о том, что для компакта К, не разбивающего комплексную плоскость С на несколько частных областей, всякая однозначная аналитическая функция /(¿), z Е С \ К, может быть представлена в виде /(г) = где — последовательность комплексных борелевских мер, сосредоточенных на К, а ряд сходится к /(г) равномерно на компактных подмножествах области С \ К. Простоявшая открытой почти полвека, гипотеза В. В. Голубева была опровергнута А. Г. Витушкиным [3], построившим удивительный пример функции f(z)1 непрерывной в С, голоморфной вне всюду разрывного совершенного компакта К, каждая точка которого является особой для нее, и не представимой рядом Голубева, при этом /(г) с1г = 0 для любого замкнутого контура 7 С С \ К.

Другой тип теорем об устранимых особенностях аналитических функций предложил в 1919 г. В. С. Федоров [48]. Он доказал, что любая функция непрерывная в области С С С, равная нулю во всех точках некоторого всюду разрывного компакта К С С и голоморфная в С \ К, является голоморфной в С. Опубликованная в малодоступном издании во время Гражданской войны, работа В. С. Федорова [48] была многие годы неизвестной широкому кругу специалистов, и сейчас результаты подобного типа обычно связывают с именем Т. Радо, который в 1924г. снял в теореме В.С.Федорова условие всюду разрывности и компактности особого множества, на котором функция равна нулю (см. [105]). Наиболее сильный результат в направлении дальнейшего ослабления условий в теореме В. С. Федорова принадлежит к настоящему времени Ю. Ю. Трохимчуку [47]: если область (7 С С представлена в виде не более чем счетного объединения попарно непересекающихся множеств, а функция f(z) непрерывна в G и моногенна на каждом из этих множеств, то f(z) голоморфна в G. (Напомним, что моногенность функции f(z) на множестве Е С С означает, что в каждой точке z Е Е, являющейся предельной для Е, существует конечный предел lim ZKlzZiil)

Приведем еще один результат В. С. Федорова, в котором впервые появилась неоднократно используемая в дальнейшем идея классификации локально суммируемых либо непрерывных функций по скорости их локальных аппроксимаций в соответствующей метрике решениями дифференциального уравнения с частными производными. В работе [49] (1928) он доказал, что если компакт К не разбивает область G С С на несколько частных областей, то для того, чтобы любая функция f(z), непрерывная в G и голоморфная в G \ К, представлялась в виде f(z) = g{z) + fKp(()(( - z £ G \ К, где функция p(() существенно ограничена на К, а функция g(z) голоморфна в G, необходимо и достаточно, чтобы для каждого круга {|С — z\ < г} (е G нашелся полином p(z) такой, что

SUP|C-Z|<r 1/(0 - р(01 < C(f)r.

Существенное продвижение в изучении устранимых множеств для голоморфных функций одного комплексного переменного произошло на рубеже 1950-60 гг.

С одной стороны, в 1959 г. А. Г. Витушкин [2] построил пример компакта К, устранимого для ограниченных голоморфных функций, который имеет положительную линейную меру Хаусдорфа. Более простой пример такого компакта предложили позднее Л.Д.Иванов (см. [11]) и независимо Дж. Гарнетт [74]. Отличительной особенностью этих примеров является то, что для почти каждой прямой /, проходящей через начало координат О, линейная мера Лебега проекции К на I равна нулю, или, в других терминах, компакт К имеет нулевую меру Фава-ра. В связи с этим в начале 1960-х гг. А. Г. Витушкин высказал гипотезу о том, что устранимость компакта для ограниченных голоморфных функций равносильна равенству нулю его меры Фавара. Эта гипотеза в значительной степени определила дальнейшее направление исследований, связанное с названной именем Пенлеве проблемой описания компактов, устранимых для ограниченных голоморфных функций, и привела к формированию в 1990-х гг. понятия кривизны меры (М. С. Мельников), в терминах которого Х.Толса [112] получил в 2001г. решение этой проблемы. Не приводя формулировки теоремы Тол-сы и результатов, непосредственно предшествовавших ей (см. [102, 95, 23]), отметим, что гипотеза Витушкина подтвердилась для компактов с конечной длиной (Г.Давид [66]), а в общем случае ответ на нее отрицательный (П. Маттила, 1986).

С другой стороны, в 1961г. Е. П.Долженко (см. [7]) показал, что множество Е, замкнутое относительно содержащей ее области С С С, устранимо для решений однородного уравнения Коши-Римана в классе функций, удовлетворяющих в С условию Гельдера с показателем а Е (0, 1), тогда и только тогда, когда хаусдорфова мера Е порядка 1 + а равняется нулю: т.ез1+аЕ = 0. Это был первый результат, в котором устранимые особенности решений дифференциального уравнения с частными производными были охарактеризованы в терминах хаусдорфовых мер, и в дальнейшем он получил значительное развитие.

Для формулировки следующих результатов напомним определения некоторых функциональных классов. Пусть — область в Мп и пусть, как обычно, [5] и {я} обозначают соответственно целую и дробную части действительного числа 5. По определению, класс Зигмунда Z{G) состоит из всех непрерывных функций / в области С, для которых конечна точная верхняя грань величины \}{х — ^ — }(х + К)\/\К\, взятая по всем х £ й и 1г Е Шп \ {0} таким, что замкнутый отрезок с концами х — Н и х + к целиком лежит в £г. Для заданного действительного а > 0 определим класс Гельдера-Зигмунда Аа((7) как множество всех непрерывных функций / в области С, таких, что при нецелом а функция / является [а] раз непрерывно дифференцируемой и все ее частные производные порядка [а] удовлетворяют в С условию Гельдера с показателем {о:}, а при целом а функция f имеет непрерывные частные производные всех порядков < а — 1, причем производные порядка а — 1 принадлежат классу Z(G). Если к Е N0 := {0,1,.} и 0 < а < 1, то Ак+а(СГ) =: Ск+а(С) =: Ск>а(в); Ск(в) и Ск>\0) - соответственно множество к раз непрерывно дифференцируемых функций вСи его подмножество, состоящее из функций, все частные производные порядка к которых удовлетворяют в G условию условию Гельдера с показателем а = 1 (условию Лип-щица), C°(G) =: C(G) — множество всех непрерывных функций в области G.

В дальнейшем Е всегда обозначает непустое подмножество области G С Mn, Е ф замкнутое относительно этой области, т.е. такое, что множество G\E открыто.

Сформулированный выше результат Е. П. Долженко об устранимых особенностях голоморфных функций справедлив и при а = 1: достаточность условия mes2E = 0 была доказана для этого случая в [7], а необходимость установлена в 1977 г. Н. X. Уи [115,116] (более простое доказательство было предложено позднее С. В. Хрущевым [53], см. также [47]). В классе Зигмунда подобная характеризация уже невозможна: как показали X. Кар-мона и Х.Донэр [65] из равенства нулю хаусдорфовой меры mesдК компакта К С С относительно измеряющей функции g(t) := t2 л/log log log (1/t), 0 < t < exp(—ee), вытекает его устранимость для голоморфных функций в классе Z(C), при этом существует неустранимый компакт К\ с mes^i^i < оо и устранимый К2 с mes^i^ — 00 (для голоморфных функций в классе Z(C)).

Результаты типа теоремы Долженко имеют место и для гармонических функций. А именно, для устранимости подмножества Е области G С Mn, п > 2, для гармонических функций в классе Aa(G%c, 0 < а < 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие mesп~2+аЕ = 0. Для случая a G (0, 1) этот результат был получен JI. Карлесоном [15, 64], при a G (1, 2) — Е. П. Долженко [8, 9], случай а = 1 рассмотрен Д. Матеу pi Д. Оробичем [94] и независимо Д. Ульрихом [114]. X. Вер дера [117] показал, что условие mcsnE — 0 характеризует устранимость множества Е для гармонических функций в классе

Си(<?) юс

Важную роль в развитии результатов Е. П. Долженко pi Л. Кар-лесона сыграла работа Р. Харви и Дж. Полкинга [78], посвященная устранимым особенностям слабых решений линейного дифференциального уравнения Pf = 0 порядка ш, коэффициенты которого m раз непрерывно дифференцируемы в области G С W1. В этой работе было показано, что равенство mesп-т+к+аЕ = 0 является достаточным условием устранимости множества Е С G для слабых решений уравнения Pf = 0 в классе Ck'a(G), где к G N0, a G (0, 1], 0 < п - m + к -f а < п. Р. Харви и Дж. Полкинг [78] рассмотрели также устранимые множества для слабых решений уравнения Pf = 0 в классе Соболева W£(G) при к G No, 1<р<оо, 0 < п — q(jn — к) < п, где q = р/(р — 1), Wp(G) =: LP(G). Они установили, что в этом случае выполнение условия mes" < оо обеспечивает устранимость множества Е (для оператора Лапласа А и к = 0 это было доказано ранее Л. Карлесоном [15]).

Результаты Р. Харви и Дж. Полкинга обобщались и развивались в нескольких направлениях. Так, в терминах введенных им анизотропных хаусдорфовых мер Й. Крал [86, 87] охарактеризовал устранимые особенности решений полуэллиптических уравнений с постоянными коэффициентами в специальных анизотропных классах типа Кампанато. С другой стороны, И. Ю. Чесноков [54] рассмотрел линейный оператор Р с достаточно гладкими коэффициентами, порядок которого по какой-то группе переменных меньше его порядка по всем переменным, и в терминах равенства нулю хаусдорфовой меры проекции особого множества на одну из координатных гиперплоскостей обобщил приведенную выше теорему Р. Харви и Дж. Полкинга об устранимых особенностях слабых решений уравнения Pf = 0 в классах Гельдера.

В 1980 г. Р. Кауфман и Дж. М.Ву [82] получили достаточное условие голоморфности локально суммируемой функции в комплексной области в терминах ее локальных приближений в среднем голоморфными функциями. Б. Ж. Ищановым [12] этот результат был распространен на случай слабых решений линейных уравнений с гладкими коэффициентами. В дальнейшем, в терминах локальных приближений в среднем решениями соответствующего уравнения Б. Ж. Ищанов [13] выделил классы функций, в которых устранимость множества для полианалитических и полигармонических функций характеризуются условием равенства нулю его хаусдорфовой меры относительно произвольно заданной измеряющей функции. Обобщение этого результата на решения полуэллиптических уравнений с постоянным коэффициентами и квазиоднородной левой частью было получено автором [35, 37]. В качестве его следствия установлено, что для однородного эллиптического оператора Р порядка т с постоянными коэффициентами в R7' условие mesn~m+aE = 0 характеризует устранимость множества Е в области G С Мп для решений уравнения Р f = 0 в классе Гельдера-Зигмунда Аа(G)\oc, где показатель гладкости а > 0 удовлетворяет двойному неравенству 0 < п — т-\-а < п.

Остановимся теперь на развитии результатов B.C. Федорова и Т. Радо. В 1983 г. Й.Крал [88] доказал, что любая непрерывно дифференцируемая функция в области G С п > 2, равная нулю на замкнутом множестве Е С G и гармоническая в G \ Е, является гармонической в G. В работе [89] он распространил этот результат на решения линейных эллиптических уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. И.Ю.Чесноков [55] обобщил сформулированную теорему Крала на полигармонические функции порядка к в классе C2k~1(G) (к G N). В работе [81] результаты Крала распространены на широкий класс квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка, включающий рассматриваемое ниже уравнение div(| V/|P-2V/) = 0 и уравнение минимальных поверхностей.

С другой стороны, Б. Ж. Ищанов [14] установил гармоничность в области G С Rn, п > 2, функции и Е C(G), равной нулю на всюду разрывном компакте К С (2, гармонической в С \ К, и такой, что интеграл от ее нормальной производной равен нулю по любой замкнутой гладкой гиперповерхности, не пересекающей К. Этот результат обобщает теорему В. С. Федорова [50], который рассматривал случай п — 2 при условии непрерывной продолжаемости на К функции, гармонически сопряженной к и(х).

В упомянутых выше результатах гладкость коэффициентов линейного эллиптического уравнения играла существенную роль Она гарантировала совпадение его обобщенных решений с классическими и их принадлежность к рассматриваемому классу функций.

Для линейных равномерно эллиптических уравнений с негладкими, в частности, с разрывными коэффициентами, ситуация более сложная, и результаты об устранимых особенностях решений таких уравнений могут существенно отличаться от соответствующих результатов для уравнений с гладкими коэффициентами. Например, легко проверить, что любая не тождественная нулю линейная функция не является обобщенным решением в уравнения сНу(а(ж)\7/) = 0, где а(х) = 1 внутри единичного куба и а{х) = 2 в Шп \ Это означает, что граница единичного куба не является устранимым множеством для обобщенных решений рассматриваемого уравнения в классе бесконечно дифференцируемых функций, в то время как для решений уравнения Лапласа (т.е. для гармонических функций) она устранима уже в классе непрерывно дифференцируемых функций. С другой стороны, Д. Гилбарг и Дж. Серрин [76] установили, что, в отличие от дивергентного случая, решения однородных линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме с измеримыми и ограниченными действительными коэффициентами могут иметь изолированные особенности даже в классах Гельдера.

Эти результаты объясняют причину отсутствия метрических критериев устранимости особых множеств для решений линейных эллиптических уравнений второго порядка с измеримыми и ограниченными коэффициентами: их получение связано как с новыми постановками задач об устранимых особенностях, так и с новыми условиями устранимости.

Для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка основную массу известных результатов об устранимых особенностях их решений можно условно разделить на две группы. В первой из них, которая восходит к работе Дж. Серрина [109], исследуется связь структурных условий, накладываемых на уравнение, со степенью суммируемости либо допустимым порядком роста его решений вблизи особого множества, достаточных для устранимости этого множества. При этом основное внимание уделялось случаям, когда особое множество является либо изолированной точкой, либо гладким многообразием [109, 118, 45]. Вторую группу образуют результаты, в которых исследуется эффект продолжаемости всех решений некоторых квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка из заданной области без условия их принадлежности к какому-либо функциональному классу [57, 60, 68, 100, 96, 110, 62]. Классическим примером такого результата является теорема Л. Берса [60] об отсутствии изолированных особенностей у решений уравнения минимальных поверхностей.

Единственный результат о метрической характеризации устранимых множеств был получен для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в работе Т. Килпелайнена и Ч. Жонга [85]. В этой работе было показано, что устранимость множества Е в области (? С М" для обобщенных решений (из ]¥1,р(С)\ос) квазилинейного эллиптического уравнения сИу(|\7/|р-2У/) = 0 в классе Са(О)\0с характеризуется условием шее п~р+Ф~1)е = 0; здесь 1<р<оо, 0<с*<1, п — р + а(р — 1) > 0.

Целью настоящей диссертационной работы является получение метрических критериев устранимости особых множеств для решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка с ограниченными и измеримыми действительными коэффициентами и для решений некоторых квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка.

Перейдем к изложению результатов диссертации. Вначале напомним некоторые определения и введем обозначения, которые будут использоваться на протяжении всей работы.

Всюду далее, за исключением обозначений пространств непрерывных функций, выражения вида С (а, /3,.), /3,.), .обозначают действительные неотрицательные величины, зависящие только от а, (3 и т.д., при этом в разных формулах величины с одним и тем же обозначением, вообще говоря, различны между собой.

На протяжении всей диссертации мы рассматриваем только измеримые по Лебегу функции, которые в главах 1-3 принимают значения в поле действительных чисел I, а в главе 4 — в поле комплексных чисел С.

Напомним, что под функциональным классом в области в диссертации понимается произвольное непустое подмножество пространства Ь(0) 1ос функций, локально суммируемых в С. Если в каждой области С С Мп определен некоторый функциональный класс Н(С), при этом для произвольной пары областей С С К77, сужение на С\ любой функции из принадлежит классу Н{Сг 1), то Н(Сг)\ос обозначает множество всех функций из Ь(0) 10С, сужение которых на любую подобласть во^в принадлежит классу Н(Со).

Пусть С — область в или в С, 1 < р < оо. Как обычно, Ьр{Ст) — линейное пространство всех функций /, определенных в С, для которых конечна норма

W1,P(G) — соболевское пространство всех функций /, имеющих обобщенные производные djf = J^-, j — 1, то, для которых конечна норма п / Г \ 1/р / Г \ г/р f\W^(G)\\ := £ Ц \d3f(x)\"dxj + \f(x)\"dxj ,

Wq,p(G) — замыкание множества Cq°(G) финитных бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в G по норме пространства L^G) — линейное пространство всех существенно ограниченных в G функций / с нормой

Ах>(<3)|| := supvrai^^ \f(x)\.

Если х G W1 иг > 0, то В(х,г) обозначает открытый евклидов шар с центром в точке х и радиусом г: -В(ж, г) := {у Е Шп : \х — у\ < г}.

Пусть ¿о > 0; d{t) ~~ положительная непрерывная неубывающая функция, определенная при 0 < t < ¿о, и пусть Е — множество в W1. Напомним, что (внешней) мерой Хаусдорфа mes^ Е множества Е относительно измеряющей функции g называется конечный или равный +оо предел при t —^ 0 величины inf Е^М), где точная нижняя грань берется по всем не более чем счетным наборам открытых шаров гг)}^ с

П < образующих покрытие множества Е. Если g(t) = ta, а > 0, то хаусдорфова мера множества Е отосительно измеряющей функции g называется мерой Хаусдорфа порядка а множества Е и обозначается mes" Е.

В главе 1 рассматриваются линейные равномерно эллиптические уравнения второго порядка в дивергентной форме.

Пусть G — ограниченная область в 1", п > 2, п п п

Lf=Yl di(aij(x)djf) + ]Г di{bi{x)f) + а{хЩ/ + d(x)f i,j=l г=1 г=1 линейный дифференциальный оператор с измеримыми ограниченными коэффициентами а^{х) = a,ji(x), Ci(x) и d(pc) в области G (ijj = 1,.,п), удовлетворяющий следующему условию равномерной эллиптичности: существует такое Л G (О, 1], что для всех £ G Мп и для почти всех х G G выполняется неравенство п

А|£|2< A-1 IfI2- (0-1) i,j=1

Наибольшее такое Л называется, как обычно, постоянной эллиптичности оператора L и обозначается через А

Под обобщенным решением уравнения L/ = 0 в области G мы понимаем, как всегда, функцию из соболевского класса W1,2(G)iocj удовлетворяющую этому уравнению в смысле равенства обобщенных функций. По теореме Де Джорджи и Нэша каждая такая функция непрерывна и локально гельде-рова в G с некоторым показателем 7, зависящем только от размерности п и постоянной эллиптичности Al. Множество всех обобщенных решений уравнения Lf = 0 в области G обозначим через Al(G).

Предположим, что для любой неотрицательной функции tp £ Cq°(G) справедливо неравенство р п — < 0.

Тогда (см. [4]) для каждого шара В(х,г) <ш G и для любой функции / Е W1,2(B(x,r)) существует единственная функция fb,x,r £ И/1'2(Б(ж, г)) П удовлетворяющая условию

Пусть /i(t) — непрерывная положительная неубывающая функция, определенная при t > 0, такая, что при некотором г > 0 функция h(t) не убывает. Будем говорить, что функция / принадлежит классу W(L,G,h), если / Е W1,2(G)ioc и существует такая постоянная С > 0, что для любого шара В(х,г) Ш G выполняется неравенство [ \Vf-Vfb,x,r\2dy)1/2 < Ch(r) (V/ = (dtf,., dnf)).

KJB{x,r) J

Пусть E — подмножество Gr, замкнутое относительно этой области, и пусть функция g(t) определена при t > 0 равенством g(t) := tn/2-lh(t).

В принятых обозначениях и при сделанных выше предположениях имеет место следующая

Теорема 1.1. Множество Е устранимо для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе W(L, G1 h)\oc тогда и только тогда, когда выполнено условие mesgE = 0.

Во всех последующих теоремах первой главы предполагается, что оператор L не содержит младших членов: п

Lf =Y1 hj=1

При h(t) = tn!2+a, а > — 1, мы вместо W(L: G, К) будем в дальнейшем писать Wl(G).

В теореме 1.2 показано, что при 0 < а < 7 < 1 для оператора L с коэффициентами из С7(С)10С имеет место совпадение функциональных классов W£(G)ioc и C1,a(G)ioc- Отсюда и из теоремы 1.1 получаем, что в этом случае условие mesn~1+aE = О характеризует устранимость множества Е для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе C1,a(G)\oc (теорема 1.4). Для оператора Лапласа А теорема 1.4 дает упомянутый выше результат Е. П.Долженко [8, 9].

В теореме 1.3 для оператора L с непрерывными коэффициентами в G показано, что при — 1 < а < 0 для произвольной подобласти Go (Ш G и для любой функции / £ W^(G)\oc конечна величина sup г~п~2а / \Vf\2dy. По теореме вложения B(x,r)^G0 J B(x,r)

Морри это означает, что / Е C1+a(G)\oc. Поэтому из теорем 1.1 и 1.3 вытекает, что при 0 < а < 1 и непрерывности коэффициентов оператора L в области G равенство mesn~2+aE = О является необходимым условием устранимости множества Е для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе Ca(G)\oc. Это же условие, как показали Т. Килпелайнен и Ч.Жонг [85], обеспечивает устранимость множества Е для обобщенных решений уравнения Lf — 0 в классе Ca(G)ioc, 0 < а < 1, при

23 этом непрерывность коэффициентов оператора L здесь не нужна. Следовательно, если 0 < а < 1 и коэффициенты оператора L непрерывны в области G, то условие mesn~2+aE = 0 полностью описывает устранимые множества для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе Ca(G)\oc (теорема 1.5). Для оператора Лапласа А теорема 1.5 дает упомянутый выше результат Л.Карлесона [64].

Если / Е C(G), то (см. [4]) для каждого шара В(х,г) ш G существует единственная функция fi,x,r £ Al(B(x, г)), которая непрерывно продолжается на границу этого шара и имеет там предельные значения, совпадающие со значениями функции /.

Пусть а > 0. Будем говорить, что функция / принадлежит классу U%(G), если она непрерывна в области G и существует такая постоянная С > 0, что для любого шара B(x,r) (е G выполняется неравенство sup |/ — fb,x,r\ < Сга.

В(х,г)

В следующей теореме К — компакт в G.

Теорема 1.6. Пусть 0 < а < 2. Компакт К устраним для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе U^(G) тогда и только тогда, когда выполняется условие mesn~2+a К = 0.

Отметим (см. [40]), что для оператора Лапласа А класс функций £/д(С%с совпадает при 0 < а < 2 с классом Aa(G)\oc, поэтому в теореме 1.6 содержатся известные критерии устранимости компактов, установленные в работах Л. Карлесона [64] (0 < а < 1), Е. П. Долженко [8, 9] (1 < а < 2), Д. Матеу и

Д. Оробича [94] и Д.Ульриха [114] (а = 1).

Чтобы сформулировать следующий результат, введем обозначение: если функция / непрерывна на замыкании шара В (ж, г), то ее колебание на этом шаре определяется равенством овс^г) / := вир / - Ы /.

В(х,г) В(ХЛ

Во введенных обозначениях упомянутая выше теорема Де Джорджи и Нэша может быть сформулирована следующим образом: для любой тройки концентрических шаров В(х,г) (<= В(х,К) <£ До) С с Я < 1 и для любой функции / € А^(В(х, Яо)) справедливо неравенство Г \ 7 овс^г) / < С ^ азся^я) /, (0.2) где С > 0 и 7 Е (0, 1) зависят только от размерности п и постоянной эллиптичности А/,.

Из принципа максимума для обобщенных решений рассматриваемого уравнения вытекает, что при всех а £ (0, 1) имеет место включение Са(С)\ос С 11%(О)\ос. В теореме 1.7 показано, что при 0 < а < 7, где 7 — гельдеров показатель в только что приведенной формулировке теоремы Де Джорджи и Нэша, это включение превращается в равенство функциональных классов Са(в)юс = Щ(в)1ос.

Теорема 1.6 дополняется теоремой 1.8, в которой получено обобщение на решения уравнения Ь/ = 0 известной теоремы И.И.Привалова о достаточном условии гармоничности непрерывной функции в терминах введенных им верхнего и нижнего обобщенных параметров Лапласа. Из теоремы 1.8 следует, что при а > 2 класс и2(0)\ос состоит только из обобщенных решений уравнения Lf — 0 в области (2.

Из сравнения теорем 1.1 и 1.6 естественно возникает вопрос о связи между классами функций И7^ (6?) 10С и [/¿+а;((7) 10С. Ответ па него дает теорема 1.9, в которой при всех а > — 1 установлено включение И^(С)10с С и]^а(С1) 10С, становящееся при а > О равенством функциональных классов У/^(С)\ос = 1ОС

В главе 2 рассматриваются линейные равномерно эллиптические уравнения второго порядка в недивергентной форме. п

Пусть £/ = V] (д^/ = ^¿т) — линейный дифг ]

1,3=1 ференциальный оператор второго порядка с измеримыми ограниченными действительными коэффициентами = в Iй (г, ,7 = 1,., гг), такой, что при некотором А е (0, 1] для всех £ Е Мп и для почти всех х Е Мп выполняется условие равномерной эллиптичности (0.1). Наибольшее такое А называется, как обычно, постоянной эллиптичности оператора £ и обозначается через Ад.

Возьмем произвольно ограниченную область (?сМпс гладкой (бесконечно дифференцируемой) границей непрерывную функцию д, определенную на <96?, и последовательность п дифференциальных операторов £&/ = ^^ к Е Н, 1 такую, что все их коэффициенты а^\х) определены и бесконечно дифференцируемы в Мп, операторы равномерно эллиптичны в!" с постоянными эллиптичности \£к > ао (к Е М), и для любых г,^ Е {1,., п} последовательность функций сходится при к —ь оо к функции а^(х) почти всюду в 6г. Тогда (см. [4]) для каждого к Е N существует единственная функция которая непрерывна на замкнутой области С, бесконечно дифференцируема внутри нее и такая, что £к/к = О в С, /к = д на Н. В. Крылов и М. В. Сафонов [18] показали, что из последовательности функций можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на С. Следуя М.В.Сафонову [106], мы называем предел такой подпоследовательности слабым решением задачи Дирихле £/ = 0 в (7, / = д на <9Сг. Будем говорить, что оператор £ обладает свойством слабой единственности, если для любой области (2 с гладкой границей и для любой непрерывной функции д на <9С эта задача Дирихле имеет единственное слабое решение.

Понятие слабой единственности было введено Крыловым [90], который показал, что если замыкание множества точек разрыва коэффициентов оператора £ не более чем счетно, то этот оператор обладает свойством слабой единственности. Сафонов [107] установил слабую единственность оператора £ в предположении, что множество точек разрыва его коэффициентов замкнуто и имеет достаточно малую хаусдорфову размерность (зависящую от п и Ая). С другой стороны, Н. С. Надирашвили [98] показал, что, в отличие от случая п = 2, слабая единственность для оператора £ может нарушаться при п > 3.

Для формулировки основной теоремы второй главы нам потребуется следующий результат Л. Эскуриазы [73]: оператор £ обладает свойством слабой единственности в том и только в том случае, когда существует единственная неотрицательная функция ИЛ; Е Ь(Шп)\ос такая, что ах = О £ [ Ш£(х)(1х = 1.

ЛВ(0,1)

0.3)

Всюду ниже мы считаем, что для оператора £ выполнено свойство слабой единственности в а неотрицательная функция И^с Е Ь(Шп) 1оС удовлетворяет условиям (0.3).

Пусть а > 0, ]¥&(В(х,г)) := / ' Игй(у) (1у. Назовем (внеш

JВ(х,г) ней) £-мерой порядка а множества Е С1пи обозначим через теБ^Е конечный или равный +оо предел при t 0 величины где точная нижняя грань берется по всем не более чем счетным системам шаров {B(xj^rj)}j с гз < образующих покрытие множества Е.

Под слабым решением уравнения £/ — 0 в области С мы будем понимать непрерывную в этой области функцию р, которая внутри любой подобласти (?о <£ С с гладкой границей совпадает со слабым решением задачи Дирихле £/ = 0 в Со, / = д на <9Со- Множество всех таких функций мы обозначаем через Дс(<7).

Пусть С — ограниченная область в К — компакт в С.

Заменяя в определении класса (6?) из гл. 1 обобщенные решения уравнения Lf = 0 на слабые решения уравнения £/ = О, мы получаем определение функционального класса 11^(0).

В принятых выше обозначениях сформулируем основной результат второй главы диссертации.

Теорема 2.1. Пусть 0 < а < 2. Компакт К устраним для слабых решений уравнения £/ = 0 в классе ?7о(С)1ос тогда и только тогда, когда выполнено условие ш= 0.

Для оператора Лапласа А функция ТУд(ж) является, очевидно, неотрицательной и не тождественной нулю гармонической функцией в Iя, и, по односторонней теореме Лиувилля, она есть положительная постоянная. Отсюда следует, что мера шеБд-Е совпадает с точностью до постоянного множителя, не зависящего от множества Е С Мп, с мерой тез".£7. Поэтому (см. комментарий после формулировки теоремы 1.6) в теореме 2.1 содержатся известные критерии устранимости компактов для гармонических функций [64, 8, 9, 94, 114]. С другой стороны, из теоремы 2.1 вытекает неустранимость изолированной особенности для непрерывных решений недивергентного линейного равномерно эллиптического уравнения второго порядка в упомянутом выше примере Д. Гилбарга и Дж. Серрина [76] (пример 2.1).

В работе П. Бауман [59] было показано, что функция не может обращаться в нуль на множестве положительной лебеговой меры в lRn. Отсюда вытекает, что условия mes™ К = О и mesпК = 0 эквивалентны, поэтому устранимость компакта К для слабых решений уравнения £/ = 0 в классе U^(G) характеризуется условием равенства нулю его меры Лебега.

Для дальнейшего изложения нам потребуется следующая теорема Н. В. Крылова и М. В. Сафонова [18] о локальной гельде-ровости слабых решений уравнения £/ = 0: для произвольной тройки концентрических шаров В(х,г) <Ш B(x,R) B(x,Rq) с R < 1 и для любой функции / Е Ао(В(х, Rq)) справедливо неравенство (0.2), где С > 0 и 7 Е (0, 1] зависят только от п и

Из известного описания классов Гельдера-Зигмунда Aa(G)\oc при 0 < а < 2 в терминах локальных приближений линейными функциями и из принципа максимума для слабых решений уравнения £/ = 0 вытекает включение Aa(G)\oc С U^{G)\0C (0 < а < 2). В теореме 2.2 показано, что при 0 < а < 7, где 7 — гельдеров показатель в приведенной выше формулировке теоремы Крылова и Сафонова, это включение становится равенством функциональных классов Aa(G)\oc = U^(G)ioc- Из теорем 2.1 и 2.2 вытекает теорема 2.3, дающая критерий устранимости компактов для слабых решений уравнения £/ = 0 в классах Гельдера с малым показателем гладкости.

Теорему 2.1 дополняет теорема 2.4, в которой получено обобщение на слабые решения уравнения £/ = 0 упомянутой выше теоремы И. И. Привалова о достаточном условии гармоничного сти непрерывной функции. Из теоремы 2.4 следует, что при а > 2 класс {/¿(Сг^ос содержит только слабые решения уравнения £/ = 0 в области

В теореме 2.5 показано, что при п>3и0<а<2 выполнение равенства ше8п~2+аК = 0 является достаточным условием устранимости компакта К для классических решений уравнения £/ = 0 в классе и^(С1)\ос, если только коэффициенты оператора £ непрерывны по Дини в области С (в этом случае множества слабых и классических решений этого уравнения совпадают, см. [11]).

В главе 3 рассматриваются квазилинейные эллиптические уравнения второго порядка.

В первой ее части рассматриваются условия устранимости множества Е, замкнутого относительно содержащей его ограниченной области Сс1п, для решений уравнения с11у(|У/|р~2У/) = 0, 1 < р < оо. Под решением этого уравнения в области С мы понимаем, как обычно, функцию из Wl''p(G)\0C) удовлетворяющую этому уравнению в смысле равенства обобщенных функций. Множество всех таких функций обозначим через Ар(Ст), а его элементы будем называть, как обычно, р-гармоническими функциями. Хорошо известно, что каждая р-гармоническая функция принадлежит классу С1,1 (Сг)¡ос, где 7 6 (О, 1) зависит только от п и р.

Если / 6 И^1,Р((2)10С, то для каждого шара В(х,г) Ш С существует единственная функция /ж?г £ У/1,р(В(х, г))ПАр(В(х, г)), удовлетворяющая условию / — /Х)Г Е г)) (см. [79]).

Пусть а > 0. Будем говорить, что функция / принадлежит классу Ар (С), если / Е И^1'тах^2'р^(С)1ОС и существует такая постоянная С > 0, что для каждого шара В(х,г) (д= С выполняется неравенство [ |V/ - < и В{х,г/2)

В принятых обозначениях справедлива следующая

Теорема 3.1. Пусть 1<р<оои0<а<1. Множество

Е устранимо для р-гармонических функций в классе Ар(С)\ос т,огда и только тогда, когда выполнено условие тез?г1+а Е = 0

Отметим, что из доказательства теоремы 3.1 вытекает, что при а > 1 класс Ар{О)\0С совпадает с множеством всех р-гармонических функций в области

Для изложения дальнейших результатов введем обозначение: если х Е Мп, г > 0 и / Е Ь2(В(х, г)), то овс2(/,ж,г) := (—[ |/(2/) - /б(ж,г)|2^) 7 , где <тп := / а /в(хг) ~ среднее значение функции /

•/£(0,1) по шару В(х,г). Тогда теорема о гельдеровости градиента р-гармонической функции может быть сформулирована в следующей форме (см. [72]): существуют 7 Е (0, 1] и и > 0, зависящие только от п и р, такие, что для произвольной тройки концентрических шаров B(x:r) B(x,R) (s B(x,Rq) и для любой функции / G Ар(В(х, Rq)) выполняется неравенство osc2(V/,ir,r) < г/ ^)7osc2(V/,a;, Д). (0.4)

В последующих результатах третьей главы 7 = 7(п,р) является гельдеровым показателем ^-гармонической функции в приведенной формулировке.

В теореме 3.2 показано, что при всех при р > 2 и a G (0, 1) справедливо включение Cl'a(G)\oc С A^{G)ioc, которое остается в силе и при 1 < р < 2, если в нем заменить класс C1,a(G)\oc его подклассом, состоящем из функций, имеющих ненулевой градиент всюду в области G. В обратном направлении эта теорема устанавливает, что при всех р G (1, 00) и a G (0, 7(п,р)) имеет место включение Ap(G)ioc С C1,a(G)\oc.

С другой стороны, П.Линдквист и П.Ютинен [81, 80] показали, что каждая непрерывно дифференцируемая функция / в области G, ^-гармоническая на множестве G \ {V/ = 0}, является р-гармонической в G. Сравнивая этот результат с теоремами 3.1 и 3.2 мы заключаем, что при всех р G (1, 00) и a G (0, 1) условие mesn~1+c* Е = 0 достаточно, а при а < 7(щр) — необходимо и достаточно для того, чтобы множество Е было ; устранимым для р-гармонических функций в классе C1,a(G)\oc (теорема 3.3).

При р = 2 неравенство (0.4) выполняется с 7 = 1, поэтому теорема 3.3 содержит в себе результат Е. П. Долженко [8, 9] об устранимых особенностях гармонических функций. Теорему 3.3 интересно сравнивить с упоминавшейся выше теоремой Т. Килпелайнена и Ч. Жонга [85], которая утверждает, что при всех р 6 (1, оо) и a G (0, 1) таких, что п — р + а(р — 1) > О, множество Е устранимо для р-гармонических функций в классе Ca(G)ioc тогда и только тогда, когда выполняется условие mesn-p+a(p-1) fi q Сравнения этих теорем видно, что при р ф 2 зависимость критической размерности Хаусдорфа от показателя Гельдера и р имеет в них разный характер: у Т. Килпелайнена и Ч. Жонга она зависит от р, а в теореме 3.3 — нет.

Во второй части главы 3 рассматривается уравнение минимальных поверхностей div ((1 + | V/|2)1^2V/) = 0.

Под решением этого уравнения понимается, как обычно, дважды непрерывно дифференцируемая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.

Пусть, как и выше, G — ограниченная область в ln, Е — подмножество замкнутое относительно этой области. Следующая теорема является основным результатом главы 3.

Теорема 3.4. Пусть 0 < а < 1. Множество Е устранимо для решений уравнения минимальных поверхностей в классе C1,a(G)ioc тогда и только тогда, когда выполнено условие mes = 0.

В связи с формулировкой этой теоремы напомним, для условие mes™-1 Е = 0 является достаточным для того, чтобы всякое решение уравнения минимальных поверхностей, определенное в G \ Е, продолжалась (как решение этого уравнения) на G (подчеркнем, что здесь не требуется никаких условий на поведение решений вблизи Е). Для случая, когда множество Е состоит только из изолированных точек этот результат был установлен JL Берсом [60], при п — 2-Й. Ниче [100], для компактных множеств Е — Э. Де Джорджи и Г. Стампаккья [68], в общем случае — М. Мирандой [96] (другие доказательства даны в [57, 110]).

Основную сложность в доказательстве теоремы 3.4 представляет проверка необходимости условия mesra~1+Q; Е = 0 для устранимости множества Е. В диссертации она преодолевается при помощи применения теоремы Шаудера о неподвижной точке.

В теореме 3.5 дано обобщение теоремы 3.4 на более широкий класс квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Не приводя определения этого класса, укажем, что к нему принадлежат уравнение капиллярности div ((1 + |V/|2r1/2V/) + с/ = 0 (с = const < 0), уравнение Эмдена-Фаулера А/ — \f\p~1f = 0 при р > 2 и уравнение А/ - /|V/12 = 0.

В главе 4 рассматриваются линейные дифференциальные уравнения с гладкими коэффициентами.

Пусть Р — линейный дифференциальный оператор порядка га, коэффициенты которого являются m раз непрерывно дифференцируемыми функциями в области G С Жп (принимающими, вообще говоря, комплексные значения). Под слабым решением уравнения Р/ = 0 мы понимаем, как обычно, локально суммируемую функцию, удовлетворяющую этому уравнению в смысле распределений по JI. Шварцу.

Пусть 1 < р < оо, s > 0, / G L(G)ье- Для шара В(х, г) <Ш G обозначим

E[s](f,x,r) := inf\r~n f |f(y) - g(y)\dy : g E V[a]\, k J B(x,r) } где [s] — целая часть s, V[s] — множество всех алгебраических полиномов степени не выше [s] (по совокупности переменных). Определим в области G максимальную функцию

M8f(x):= sup r~8E\si(f,x,r).

B(x,r)<sG

По определению, функция f принадлежит классу Cp(G)\oc, если Msf Е LP(G)ioc (отметим, что последнее условие обеспечивает принадлежность / к Lp(G)i0C). В случае натурального s можно определить в области G еще одну максимальную функцию

М;/(®):= sup r~sE*s(f,x,r),

B{x,r)mG где E*(f, ж, г) обозначает усредненную по мере Лебега величину наилучшего приближения в среднем функции / на шаре В(х,г) пространством алгебраических полиномов степени не выше 5 — 1. По теореме А. Кальдерона [83] функция / принадлежит классу Соболева W£(G)\0C тогда и только тогда, когда

M*f £ Lp{G)ioc, откуда вытекает включение

Wp(G)\0C С Cp(G)\oc.

Классы функций C*(G) ioc были введенны Р. Шарп л и и Р. Де-Вором [108] и независимо Б. Боярским [61]. Позднее X. Трибель [113] показал, что эти классы содержатся в шкале пространств Лизоркина-Трибеля Lspq(G)\0C при q = оо: Csp{G)ioc = b®j00(G)Неосновным результатом главы 4 является следующая

Теорема 4.1. Пусть 1 < р < оо, s > 0, q = р/(р — 1); 0 < п — q(m — s) < п, и пусть Е — множество, замкнутое относительно области G, с mesn" < оо. Тогда Е устранимо для слабых решений уравнения Pf = 0 в классе Cp(G) ioc

Эта теорема обобщает и распространяет на нецелые показатели гладкости известный результат Р. Харви и Дж. Полкинга [78], которые при целом s в условиях теоремы 4.1 установили устранимость множества Е для слабых решений уравнения Pf = 0 в классе Соболева Wp(G)\0C.

В заключение, автор хотел бы выразить глубокую благодарность своему учителю и научному консультанту профессору Евгению Прокофьевичу Долженко за многочисленные обсуждения представленных в диссертации результатов и постоянную поддержку в работе.

1. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, Физматлит, 1996.

2. Витушкин А.Г. Пример множества положительной длины, но нулевой аналитической емкости // Докл. АН СССР. 1959. Т. 127. № 2. С. 246-249.

3. Витушкин А.Г. Об одной задаче Данжуа// Изв. АН 1 СССР. 1964. Т. 28. № 4. С. 745-756.

4. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

5. Голубев В.В. Однозначные аналитические функции. Авто-морфные функции. М.: ГИФМЛ, 1961.

6. Джустпи Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации М.: Мир, 1989.

7. Долженко Е.П. О "стирании"особенностей аналитических функций// Успехи матем. наук. 1963. Т. 18, вып. 4(112). С. 135-142.

8. Должешо Е.П. О представлении непрерывных гармонических функций в виде потенциалов // Изв. АН СССР. 1964. Т. 28, № 5. С. 1113-1130.

9. Должешо Е.П. Об особых точках непрерывных гармонических функций // Изв. АН СССР. 1964. Т. 28, № 6. С. 12511270.

10. Иванов Л.Д. Вариации множеств и функций. М.: Наука, 1975.

11. Иванович М.Д. О характере непрерывности решений линейных эллиптических уравнений второго порядка // Вестник МГУ. Сер. Матем. Мех. 1966. Вып. 3. С. 37-47.

12. Ищанов Б. Ж. Об устранимых особенностях функций классов В МО и их обобщений / / Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. Мех. 1985. Вып. 5. С. 77-80.

13. Ищанов Б. Ж. Метрические условия для устранимости особых множеств в некоторых классах полигармонических и полианалитических функций // Деп. в ВИНИТИ АН СССР 14 апреля 1987 г., №2575-В87.

14. Ищанов Б.Ж. Обобщение теоремы B.C. Федорова для гармонических функций нескольких переменных // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. Мех. 1986. Вып. 2. С. 100-102.

15. Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств. М.: Мир, 1971.

16. Кондратьев В.А., Ландис Е.М. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные напрв-ления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 32, С. 99-215.

17. Крылов Н.В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера. Новосибирск: Научная книга, 1998.

18. Крылов Н.В., Сафонов М.В. Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициентами// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44. № 1. С. 161175.

19. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типа. М.: Наука, 1971.

20. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

21. Мазья В.Г. Пространства С. Л. Соболева. Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1985.

22. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. В кн.: Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1981. С. 115-255.

23. Мельников М. С. Сага о проблеме Пенлеве и аналитической емкости// Тр. МИАН. 2001. Т. 235. С. 157-164.

24. Новрузов A.A., Мамедов И.Т. Об устранимой особенности решений линейных эллиптических уравнений с непрерывными коэффициентами// Дифф. уравнения. 1981. Т. 17. № И. С. 2064-2070.

25. Покровский A.B. Устранимые особенности решений дивергентных эллиптических уравнений второго порядка // Ма^-тем. заметки. 2005. Т. 77. вып. 3. С. 424-433.

26. Покровский A.B. Устранимые особенности слабых решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными // Матем. заметки. 2005. Т. 77. вып. 4. С. 584591.

27. Покровский A.B. Устранимые особенности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка // Доклады РАН. 2005. Т. 401. вып. 1. С. 27-29.

28. Покровский A.B. Устранимые особенности р-гармони-ческих функций// Дифф. уравнения. 2005. Т. 41. № 7. С. 897-907.

29. Покровский A.B. Устранимые особенности решений уравнения минимальных поверхностей // Функц. анализ и его приложения. 2005. Т. 39. Вып. 4. С. 62-68.

30. Покровский A.B. Устранимые особенности решений нелинейных эллиптических уравнений // Успехи матем. наук. 2007. Т. 62. Вып. 3(375). С. 215-216.

31. Покровский A.B. Локальные аппроксимации решениями эллиптических уравнений второго порядка и устранимые особенности // Докл. РАН. 2007. Т. 417. № 5, С. 597-600.

32. Покровский A.B. Устранимые особенности решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка// Функц. анализ и его прил. 2008. Т. 42. № 2. С. 44-55.

33. Покровский A.B. Устранимые особенности решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме // Матем. сборник. 2008. Т. 199. № 6. С. 136-159.

34. Покровский A.B. Устранимые особенности решений эллиптических уравнений // Современная математика и ее приложения. 2007. Т. 57. (Труды межд. конф. по дифф. уравнениям и динамич. системам. Суздаль, 2006.) С. 54-72

35. Покровский A.B. О неизолированных особых точках решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Дисс. .к.ф.-м.н. М.: МГУ, 1996.

36. Покровский A.B. Теоремы о среднем для решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными // Матем. заметки. 1998. Т. 64. № 2. С. 260-272.

37. Покровский A.B. Локальные аппроксимации решениями гипоэллиптических уравнений и устранимые особенности // Докл. РАН. 1999. Т. 367. № 1, С. 15-17.

38. Покровский A.B. Об устранимых особенностях решений однородных эллиптических уравнений в классах Никольского-Бесова // Докл. РАН. 2001. Т. 380. № 2. С. 168-171.

39. Покровский A.B. Устранимые особенности решений эллиптических уравнений второго порядка // Доповщ1 HAH Украши. 2004. № 11. С. 38-42.

40. Покровский A.B. Классы функций, определяемые с помощью локальных приближений решениями гипоэллиптиче-ских уравнений // Сиб. матем. журн. 2006. Т. 47, N2 2. С. 394-413.

41. Покровский A.B. Обобщение теоремы И.И.Привалова об эквивалентном определении гармонической функции // Зб1рник праць 1нституту математики HAH Украши. 2006. Т. 3, № 4. С. 411-415.

42. Привалов И.И. Субгармонические функции. М.: ОНТИ, 1937.

43. Риман Б. Основы общей теории функций одной комплексной переменной. В кн.: Риман Б. Сочинения. M-JL: ОГИЗ, 1948. С. 49-87.

44. Сафонов М.В. Неравенство Харнака для эллиптических уравнений и гельдеровость их решений // Зап. научн. семинаров ЛОМИ. 1980. Т. 96. С. 272-287.

45. Скрыпнш И. И. Об устранимости особенностей решений нелинейных эллиптических уравнений на многообразиях// Матем. сборник. 2003. Т. 194. № 9. С. 91-112.

46. Тарханов Н.Н. Ряд Лорана для решений эллиптических систем. Новосибирск: Наука, 1991.

47. Трохимчук Ю.Ю. Устранимые особенности аналитических функций. Киев: Наукова думка, 1992.

48. Федоров B.C. Непрерывность и моногенность// Иваново, Изв. Политехи, ин-та. 1919. Т. 1. С. 45-56, 139-145.

49. Федоров В. С. Sur la representatione des fonctions analitiques au voisinage d'un ensemble de ses points singuliers // Матем. сб. 1928. T. 35. С. 237-250.

50. Федоров В. С. Sur la continuté des fonctions analitiques // Матем. сб. 1925. T. 32. С. 115-121.

51. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980.

52. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. М.: Мир, 1986. Т. 2.

53. Хрущев C.B. Простое доказательство теоремы об устранимых особенностях аналитических функций, удовлетворяющих условию Липщица// Зап. науч. семинар. ЛОМИ. 1981. Т. 113. С. 199-203.

54. Чесноков И.Ю. Устранимые особенности решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными// Вестник Московск. университета. Сер. 1. Матем. Мех. 1990. Вып. 4. С. 66-68.

55. Чесноков И.Ю. Об устранимых особенностях решений линейных дифференциальных уравнений. Дисс. . к.ф.-м.н. М.: МГУ, 1991.

56. Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества. М.: Наука, 1985.

57. Anzellotti G. Dirichlet problem and removable singularities for functional with linear growth // Boll. Un. Mat. Ital. C(5), 1981. V. 81. P. 141-159.

58. Байта,n P. Positive solutions of elliptic equations in nondivergence form and their adjoints // Ark. Mat. 1984. V. 22. № 2. P. 153-173.

59. Bauman P. A Wiener test for nondivergence structure, second-order elliptic equations// Indiana Univ. Math. J. 1985. V. 34. № 4. P. 825-844.

60. Bers L. Isolated singularities of minimal surfaces // Ann. Math. 1951. V. 53. P. 364-386.

61. Bojarski B. Sharp maximal operator of fractional order and Sobolev imbedding inequalities// Bull. Polish Acad. Sci. Math. 1985. V. 33. № 1-2. P 7-16.

62. Brezis H., Nirenberg L. Removable singularities for nonlinear elliptic equations / / Topological Methods in Nonlinear Analysis. 1997. V. 9. P. 201-219.

63. Caffarelli L.A., Fabes E.B., Kenig C.E. Completeli singular elliptic-harmonic measures // Indiana Univ. Math. J. 1981. V. 30, № 6, P. 917-924.

64. Carleson L. Removable singularities for continuous harmonic functions in W1// Math. Scand. 1963. V. 12. P. 15-18.

65. Carmona J.J., Donaire J.J. On removable singularities for the analytic Zygmund class // Michigan Math. J. 1996. V. 43. P. 51-65.

66. David G. Unrectifiable 1-sets have vanishing analytic capacity// Rev. Mat. Iberoamer. 2000. V. 14. P. 369-479.

67. De Giorgi E. Sulla differenziabilita e l'analiticita delle estremali degli integrali multipli regolari // Mem. Acad. Sci. Torino. Ser. 3. 1957. № 1. P. 25-38.

68. De Giorgi E., Stampacchia G. Sulla singolarita eliminabili delle ipersuperficie minimali // Atti Accad. Naz. Lincei, Rend., CI. Sci. Fis. Mat. Nat. 1965. V. 38. P. 352-357.

69. Denjoy A. Sur les fonctions analytiques uniformes qui restent continues sur un ensemble parfait, discontinu de singularities// C. r. Acad. sci. Paris. 1909. V. 148. P. 11541156.

70. Denjoy A. Sur les fonctions analytiques uniformes a singularities discontinues // C. r. Acad. sci. Paris. 1909. V. 149. P. 258-260.

71. DiBenedetto E. Cl+a local regularity of weak solutions of degenerate elliptic equations // Nonlinear Analysis. 1983. V. 7. № 8. P. 827-850.

72. DiBenedetto E., Manfredi J. On the higher integrability of the gradient of weak solutions of certain degenerate elliptic systems// Amer. Journ. of Math. 1993. V. 115. P. 1107-1134.

73. Escauriaza L. Bounds for the fundamental solutions of elliptic and parabolic equations in nondivergence form // Comm. Partial Differentail Equations. 2000. V. 25. № 5-6. P. 821-845.

74. Garnett J. Positive length but zero analytic capacity // Proc. Amer. Math. Soc. 1970. V. 21. P. 696-699.

75. Giaquinta M. Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems. Princeton Univ. Press, Princeton, 1983.

76. Gilbarg D., Serrin J. On isolated singularities of second order elliptic differential equations //J. d'Analyse Math. 1955-1956. V. 4. P. 309-340. (Пер. на рус. яз.: Сб. переводов "Математика". 1958. Т. 2. № 6. С. 63-86.)

77. Griiter M., Widman К.-О. The Green function for uniformly elliptic equations // Manuscrip. Math. 1982. V. 37. P. 303-342.

78. Harvey R., Polking J. C. Removable singularities of solutions of linear partial differential equations // Acta math. 1970. V. 125, № 1/2. P. 39-56.

79. Heinonen J., Kilpelainen T., Martio 0. Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations. Oxford University Press, Oxford, 1993.

80. Juutinen P., Lindqvist P. A theorem of Rado's type for the solutions of a quasi-linear equation // Math. Research Letters. 2004. V. 11. P. 31-34

81. Juutinen P., Lindqvist P. Removability of a level set for solution of quasilinear equations // Commun. in Partial Diff. Equations. 2005. V. 30. P. 305-321.

82. Kaufman RWu J.-M. Removable singularities for analytic or subharmonic functions// Ark. mat. 1980. V. 18. № 1. P. 107116.

83. K alder on A. P. Estimates for singular integral operators in terms of maximal functions // Studia Math. 1972. V. 44. P. 167-186.

84. Kenig C. Potential theory of non-divergence form elliptic equations// Lect. Notes in Math. 1993. V. 1563. P. 89-128.

85. Kilpelainen T., Zhong X. Removable sets for continuous solutions of quasilinear elliptic equations // Proc. Amer. Math. Soc. 2002. V. 130. №6. P. 1681-1688.

86. Krai J. Removable singularities of solutions of semielliptic equations// Rendiconti Mat. 1973. V. 6. № 4. P. 763-783.

87. Krai J. Semielliptic singularities // Casopis pro pestovani matematiky. 1984. V. 109. № 3. P. 304-322.

88. Krai J. Some extension results concerning harmonic functions// J. London Math. Soc. 1983. V. 28. № 2. P. 6270.

89. Krai J. Extension results of the Rado type // Rev. Roumaine Math. Pure Appl. 1991. V. 36. P. 71-76.

90. Krylov N. V. On one-point weak uniqueness for elliptic equations// Comm. in PDE. 1992. V. 17. № 11-12. P. 17591784.

91. Lieberman G.M. Sharp form of estimates for subsolutions and supersolutions of quasilinear elliptic equations involving measures// Comm. in PDE. 1993. V. 18. № 7&8. P. 11911212.

92. Littman W., Stampacchia G., Weinberger H.F. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. 1963. V. 17. № 3. P. 43-77.

93. Maly J., Ziemer W.R. Fine regularity of solutions of elliptic partial differential equations. Math. Surveys and Monographs 51, AMS, 1997.

94. Mateu J.; Orobitg J. Lipschitz approximations by harmonic functions and some applications to spectral synthesis // Indiana Univ. Math. J. 1990. V. 39, № 3. P. 703-736.

95. Mattila P. Rectifiability, analytic capacity, and singular integrals // Documenta Math. Extra Volume ICM 1998. II. P. 657-664.

96. Miranda M. Sulla singolarità eliminabili delle soluzioni dell'equazione delle superfîci minime // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Ser. IV, 1977, V. 4, P. 129-132.

97. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations // Amer. J. Math. 1958. V. 80. P. 931-954.

98. Nadirashvili N.S. Nonuniqueness in the martingale problem and the Dirichlet problem for uniformly elliptic equations // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4). 1997. V. 24. № 3. P. 537-550.

99. Nicolisi F., Skrypnik I. VSkrypnik /./. Precise pointwise condition for removable isolated singularities // Comm. in PDE. 2003. V. 28. № 3-4. P. 677-696.

100. Nitsche J.C.C. On new results in the theory of minimal surfaces // Bull. Amer. Math. Soc. 1965. V. 71. P. 195-270.

101. Painlevé P. Sur les lignes singulières des fonctions analytiques. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 1888.

102. Pajot H. Analytic capacity, rectifïability, Menger curvature and the Cauchy integral. Lecture Notes in Math. 1799, Springer-Verlag, Berlin, 2002.

103. Pompéiu D. Sur la continuté des fonctions de variables complexes. Thèse. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 1905.

104. Privaloff /./. Sur les functions harmoniques // Матем. сборник. 1925. T. 32, С. 464-471.

105. Rado T. Uber eine nicht-fortsetzbare Riemannsche Mannigfaltigkeit // Math. Z. 1924. V. 20. S. 1-6.

106. Safonov M. V. Nonuniqueness for second-order elliptic equations with measurable coefficients // SI AM J. Math. Anal. 1999. V. 30. № 4. R 879-895.

107. Safonov M. V. On a weak uniqueness for some elliptic equations// Comm. in PDE. 1994. V. 19. № 5-6. R 943-957.

108. Sharpley RDeVoor R. Maximal functions measuring smothness// Mem. Amer. Math. Soc. 1984. V. 47. № 293. P. 1-113.

109. Serrin J. Isolated singularities of solutions of quasilinear equations // Acta Math. 1964. V. 111. P. 247-302.

110. Sim,on L. On a theorem of De Giorgi and Stampacchia // Math. Z. 1977. V. 155. P. 199-204.

111. Tolksdorf P. Regularity for a more general class of quasilinear elliptic equations // Journ. of Diff. Equations. 1984. V. 51. P. 126-150.

112. Tolsa X. Painleves problem and the semiadditivity of analytic capacity// Acta Math. 2003. V. 190. P. 105-149.

113. Triebel H. Local approximation spaces // Ztschr. Anal, und Anwend. 1989. Bd. 8. H. 3. S. 261-288.

114. Ullrich D. Removable sets for harmonic functions// Mich. Math. J. 1991. V. 38, № 3. P. 467-473.

115. Uy N.X. Totally disconnected non-removable sets for Lipschitz continuous analytic functions // Math. Scand. 1977. V. 40. № 1. C. 113-118.

116. Uy N.X. Removable sets of analytic functions satisfying a Lipschitz condition// Ark. mat. 1979. V. 17. № 1. C. 19-27.

117. Verdera J. CTO-approximations by solutions of elliptic equations and Calderon-Zygmund operators // Duke Math. J. 1987. V. 55. № 1. P. 157-187.

118. Veron L. Singularities of solutions of second order quasilinear elliptic equations. Addison Wesley Longman Limited, 1996.

119. Zalcman L. Mean values and differential equations 11 Israel Math. J. 1973. V. 14. P. 339-352.