Уточнение структуры оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

УТОЧНЕНИЕ СТРУКТУРЫ ОЦЕНОК СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ДЛЯ СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Специальность 01.01.05 — теория вероятностей и математическая

статистика

На правах рукописи

ШЕВЦОВА Ирина Геннадьевна

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Виктор Юрьевич Королев.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Владимир Васильевич Сенатов;

Ведущая организация:

Российский университет дружбы народов имени П. Лумумбы.

Защита диссертации состоится 13 октября 2006 г. в 11 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские Горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан сентября 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, профессор Сергей Яковлевич Шоргин.

профессор

Н. П. Трифонов

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Задача изучения точности нормальной аппроксимации, возможность которой предоставляется центральной предельной теоремой (ЦПТ) теории вероятностей, является одной из ключевых проблем теории вероятностей и имеет долгую историю, богатую красивыми и значительными результатами. В разное время в этой области работали А. М. Ляпунов, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, П. Леви, Г. Крамер, Б. В. Гнеденко, Ю. В. Прохоров, К.-Г. Эссеен, И. А. Ибрагимов, Ю. В. Линник, В. М. Золотарев, В. В. Сазонов, В. В. Петров, Л. В. Осипов, К. Хейди и другие выдающиеся математики. Оценкам точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин уделено большое внимание в основополагающей книге Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова1, в ставших классическими монографиях И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника2, В. В. Петрова3'4 и В. М. Золотарева5. Более того, этой проблематике посвящены специальные глубокие монографии Р. Н. Бхаттачария и Р. Ранга Pao6 и В. В. Сенатова7. Несмотря на большую популярность и хорошую изученность этой классической проблемы, как оказалось, в ней все-таки остались некоторые пробелы; заполнению нескольких таких пробелов и посвящена данная работа.

Полученные в диссертации оценки точности нормальной аппроксимации находят свое приложение в теории надежности (оценивание стационарного коэффициента готовности), в теории риска и актуарной математике (вычисление распределения резерва страховой компании с последующей оценкой вероятности неразорения), в теории управления запасами (определение такого количества товара на складе, при котором средние издержки, связанные как с избытком товара, так и с его нехваткой при очередном запро-

1В. В. Гнеденко и А. Н. Колмогоров. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, Москва-Ленинград, ГИТТЛ, 1949.

2И. А. Ибрагимов и Ю. В. Линник. Независимые и стационарно связанные величины. М., "Наука", 1965.

3В. В. Петров. Суммы независимых случайных величин. М., "Наука", 1972.

4В. В. Петров. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М., "Наука", 1987.

5В. М. Золотарев. Современная теория суммирования независимых случайных величин, М., "Наука", 1986.

6Р. Н. Бхаттачария и Р. Ранга Pao. Аппроксимация нормальным распределением. М., "Наука", 1982.

7V, V. Senatov. Normal Approximation: New Results, Methods and Problems. VSP, Utrecht, 1998.

се, были бы минимальны) и многих других практических и теоретических задачах.

Отметим, что если первая задача сводится к классической схеме суммирования, то в следующих двух возникают суммы недетерминированного числа слагаемых, поскольку количество страховых случаев или заявок, поступивших к заданному моменту времени, нельзя определить заранее. Естественный выход из такой ситуации — предположить, что индекс суммирования является целочисленной случайной величиной. В данной работе мы рассматриваем обе модели (как с детерминированным числом слагаемых, так и со случайным), причем, не ставя перед собой цель описать наиболее общий вариант второй модели, всесторонне описанной, например, в монографиях 8,9il°, мы предполагаем, что случайный индекс суммирования N\ имеет распределение Пуассона с параметром Л > 0:

P(Nx = k) = ye~\ к = 0,1.....

В сделанных предположениях процесс наступления страховых случаев (или поступления заявок на склад) представляет собой поток событий, абсолютно хаотично распределенных во времени (см., например, 10).

Цель работы.

Целью данной диссертации является уточнение структуры оценок точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, уточнение асимптотически наилучших констант в этих оценках и построение новых практически применимых оценок точности нормальной аппроксимации при различных моментных условиях и условиях гладкости.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

8В. М. Круглое и В. Ю. Королев. Пределъныл теоремы для случайных сумм, М., Изд-во Московского университета, 1990.

9В. V. Gnedenko and V. Yu. Korolev. Random Summation: Limit Theorems and Applications. CRC Press, Boca Raton, FL, 1996.

10V. E. Bening and V. Yu. Korolev. Generalized Poisson Models and their Applications in Insurance and Finance, VSP, Utrecht, 2002

1. Построены практически вычислимые оценки равномерного расстояния между функцией распределения нормированной суммы неслучайного числа независимых одинаково распределенных случайных величин и стандартной нормальной функцией распределения, имеющие вид суммы двух слагаемых, первое из которых представляет собой дробь Ляпунова соответствующего порядка с асимптотически наилучшей абсолютной постоянной, а второе имеет более высокий порядок убывания с ростом числа слагаемых. В частности:

1.1. Для случая,' когда существует третий момент случайных слагаемых, уточнена верхняя оценка абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена.

1.2. Для случая, когда третий момент исходного распределения (распределения случайных слагаемых) не существует, найдена асимптотически наилучшая константа в аналоге неравенства Берри-Эссеена как функция максимального порядка момента случайного слагаемого. Показано, что найденная асимптотическая константа является наилучшей в том смысле, что, если у исходного распределения существует хотя бы одна ограниченная версия плотности, то, во-первых, произвольно малое увеличение этой константы при ляпуновской дроби принципиально изменяет характер убывания второго члена оценки со степенного до показательного и, во-вторых, при стремлении порядка максимального момента случайного слагаемого к трем найденная оценка совпадает с асимптотически правильной константой, стоящей в соответствующем члене асимптотического разложения Эссеена. Исследованы возможные причины разрыва асимптотически наилучшей константы, рассматриваемой как функции максимального порядка момента случайного слагаемого. Показано, что разрыв обусловлен нарушением гладкости распределения случайных слагаемых.

1.3. Изучено влияние гладкости исходного распределения на порядок убывания второго слагаемого в оценках точности нормальной аппроксимации для распределений нормированных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Показано, что независимо от максимального порядка (который предполагается большим двух) момента исходного распределения в общем

случае второе слагаемое в оценке убывает не медленнее, чем гГ1^2. В случае, когда исходное распределение абсолютно непрерывно и имеет хотя бы одну ограниченную версию плотности, а константа при ляпуновской дроби равна асимптотически наилучшей, второе слагаемое в оценке убывает степенным образом с показателем, зависящим от максимального порядка момента и всегда меньшим единицы; если же в этом случае константа при ляпуновской дроби превосходит асимптотически наилучшую на произвольно малое число, то второе слагаемое в оценке убывает экспоненциально быстро. В случае, когда исходное распределение имеет интегрируемую характеристическую функцию и не имеет третьего момента, а константа при ляпуновской дроби равна асимптотически наилучшей, независимо от максимального порядка (который предполагается большим двух) момента исходного распределения второе слагаемое в оценке убывает, как п"1.

2. Найдены оценки асимптотически наилучших констант в неравномерных оценках точности нормальной аппроксимации для распределений нормированных сумм неслучайного числа независимых одинаково распределенных абсолютно непрерывных случайных величин с ограниченной плотностью. Построены неравномерные оценки с уточненной структурой, имеющие вид суммы двух слагаемых, первое из которых представляет собой дробь Ляпунова соответствующего порядка с коэффициентом, произвольно близким к найденной оценке асимптотически наилучшей постоянной, а второе слагаемое убывает экспоненциально быстро.

3. Построены практически вычислимые оценки равномерного расстояния между функцией распределения нормированной пуассоновской случайной суммы независимых одинаково распределенных случайных величин и стандартной нормальной функцией распределения. В частности:

3.1. Для случая, когда существует третий момент случайных слагаемых, уточнена верхняя оценка абсолютной постоянной в аналоге неравенства Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм.

3.2. Для случая, когда исходное распределение имеет абсолютный момент порядка больше двух, но меньше трех, уточнена оценка

асимптотически наилучшей постоянной и получены аналоги неравенства Берри-Эссеена, в которых в качестве коэффициента при ляпуновской дроби стоит найденная оценка асимптотически наилучшей постоянной.

3.3. Для случая, когда исходное распределение имеет третий момент и интегрируемую характеристическую функцию, построена практически вычислимая оценка точности нормальной аппроксимации, имеющая вид суммы двух слагаемых, первое из которых представляет собой дробь Ляпунова с асимптотически правильной абсолютной постоянной, а второе с точностью до логарифмического множителя убывает степенным образом с показателем (—1).

Методы исследования.

В работе используются методы математического и функционального анализа, а также методы теории вероятностей, в частности, метод характеристических функций и метод сопровождающих безгранично делимых распределений, предложенный Б. В. Гнеденко (см., например, 1). При доказательстве основных теорем, в отличие от традиционного метода усечения, используется аналог формулы Тейлора для дробных производных, с помощью которого удается оценить остаточный член в разложении характеристической функции случайных слагаемых через степенную функцию с дробным показателем, зависящим только от максимального порядка момента случайных слагаемых.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации имеют теоретический характер и одновременно допускают удобное применение к решению различных практических задач, связанных с использованием нормальной аппроксимации.

Апробация работы и публикации.

По теме диссертации опубликовано б печатных работ. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре "теория риска и смежные вопросы" на факультете ВМиК МГУ, на большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического

факультета МГУ, на семинаре института проблем информатики РАН (апрель 2005 г.), на конференции "Ломоносовские чтения" в МГУ (апрель 2005 г.), на международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2005" (апрель 2005 г., МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва), на международной научной конференции "Аналитические методы в теории чисел, теории вероятностей и математической статистике", посвященной 90-летию Ю. В. Линника (25-29 апреля 2005 г., Санкт-Петербург), международных научных семинарах по проблемам устойчивости стохастических моделей (10-17 сентября 2004 г., Юрмала, Латвия; 20-24 сентября 2005 г., Майори/Салерно, Италия; 27 августа-2 сентября 2006 г., Совата-Бай, Румыния), на XXVII международном конгрессе по научным вычислениям, прикладной математике и математическому моделированию (июль 2005 г., Париж), на V симпозиуме по математическому моделированию (июнь 2005 г., Санкт-Петербург) и нашли свое отражение в трудах упомянутых семинаров и конференций.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, содержащего 6 рисунков, и списка литературы, содержащего 61 наименование. Общий объем работы составляет 111 страниц.

2 Краткое содержание диссертации

Во введении формулируются основные предположения и описываются две модели, в рамках которых ведется изложение основной части диссертации, а также проводится исторический обзор результатов, касающихся темы данной работы.

Рассматривается последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин Xi,X2,... с общей функцией распределения F(x) = P(Xi < х), удовлетворяющих условиям

для некоторого 0 < <5 < 1. При <5 = 1 последнее условие превращается в

О < DXi < оо, 02+д = E|Xi|2+i < оо

(1) (2)

классическое требование конечности третьего абсолютного момента

(Р = Е|Х!|3 < оо. (3)

Обозначим

= т, ЭА"! = сг2. Кроме того, мы предполагаем, что при каждом А > 0 случайные величины Их^Х^Хч,... стохастически независимы (напомним, что Л^д — случайный индекс суммирования — имеет распределение Пуассона с параметром А > 0). Случайная величина

= Х1 +... + Ххх

(для определенности мы полагаем ■) = 0) называется пуассоновской

случайной суммой или просто пуассоновской суммой. Обозначим

а — ЕЙА -5А — Ат 2 2 _2 I 2

с v _1_ v с ~ ¿п ~ пт

&п = А1 + ... + Л„, ¿>п = -=-7=—I 1,

■/05„ афъ

Рх(х) = Р(5а < х), = Р0п < х) = Рт(х • алуп + тип),

где Р*п(х) — п-кратная свертка функции распределения Р(х) с собой. Центральную и нецентральную дроби Ляпунова порядка 2+5 будем обозначать

г 2+5 = Е^-го!8^ 2+6 02+6

п а 2+<>п6/2 л *2+аА«/2

соответственно, а функцию распределения и плотность стандартного нормального закона —

Ф(х) = Г <р№, =

J-оо У/ ¿"К

В классической схеме суммирования, если не оговорено иное, для упрощения обозначений предполагается, что

т = ЕХх = 0, о2==0Х1= 1. (4)

Глава 1 посвящена уточнению оценок точности нормальной аппроксимации для распределений нормированных сумм неслучайного числа независимых одинаково распределенных случайных величин. В разделе 1.1 доказаны некоторые вспомогательные результаты, в частности, приведены

оценки близости характеристической функции суммы независимых случайных величин с моментами порядка 2 + 6, 5 € (0,1], и нормальной характеристической функции, а также их производных.

Последующие разделы первой главы посвящены уточнениям значений абсолютных постоянных, входящих в классическое неравенство Берри-Эссеена и его модификации, и их использованию для усовершенствования структуры оценок точности нормальной аппроксимации.

Наиболее общая и широко известная оценка скорости сходимости в ЦПТ для сумм независимых случайных величин с конечными третьими моментами дается неравенством Берри-Эссеена11,12, согласно которому

p(Fn, Ф) ЕЕ sup I ад - Ф(®)| ^C-Ll (5)

X

где С > 0 — абсолютная постоянная. История отыскания значения этой константы чрезвычайно интересна и богата результатами. Так, Э. Берри утверждал, что С ^ 1.88, однако, как обнаружил позднее П. JI. Сюй13, его вычисления содержали ошибку. К.-Г. Эссеен показал12, что С ^ 7.59. X. Бергстрем получил14 оценку С ^ 4.8. К. Такано снизил15 ее до С ^ 2.031. Вычислению наименьшего возможного значения абсолютной постоянной С придавал большое значение А. Н. Колмогоров. В своей работе 16 он высказал предположение о том, что Однако, как показал

три года спустя К.-Г. Эссеен17, постоянная С в (5) не может быть меньше, чем

Cj = V^ + 3 = 1 0.0107899... = 0.4097321....

6\/27Г Ч/2ТГ

Тем не менее, точное значение константы С в классическом неравенстве Берри-Эссеена до сих пор неизвестно. В 1966-67 гг. В. М. Золотарев пока-

11 А. С. Berry. The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variates. — Trans. Amer. Math. Soc., 1941, vol. 49, p. 122-139.

12C.-G. Esseen. On the Liapunoff limit of error in the theory of probability. — Ark. Mat. Astron. Fys., 1942, vol. A28, No. 9, p. 1-19.

I3P. L. Hsu. The approximate distributions of the mean and variance of a sample of independent variables. — Ann. Math. Statist., 1945, vol. 16, No. 1, p. 1-29.

14II. Bergstrom. On the centra] limit theorem in the case of not equally distributed random variables. — Skand. Aktuarietidskr., 1949, vol. 33, p. 37-62.

15K. Tiikano. A remark to a result of A. C. Berry. — Res. Mem. Inst. Math., 1951, vol. 9, No. 6, p. 4.0M.15.

1вА. II. Колмогоров. Некоторые работы последних лет в области предельных теорем теории вероятностей, — Вестпих Моск. ун-та, 1953, №10, с. 29-38.

17C.-G. Esseen. A moment inequality with an application to the central limit, theorem. — Skand. Aktuarrietidskr., 1956, vol. 39, p. 160-170.

зал18'19, что С < 0.9051 и С < 0.8197. В 1971-72 гг. П. Ван Беек, модифицировав метод Золотарева, получил20,21 оценку С < 0.7975. Наконец, в 1982 г. с помощью еще более глубокой модификации того же метода И. С. Шиганов снизил22 оценку до С ^ 0.7655. Нижеследующая теорема из раздела 1.2.1 уточняет результат Шиганова.

ТЕОРЕМА 1.1. Предположим, что выполнены условия (4) и (3). Тогда неравенство Берри-Эссеена (5) имеет место с С — 0.7056;

0.7056 -Ь3п, 1.

При условии (2) известно аналогичное (5) неравенство

0 < <5 < 1, (6)

где Сг — положительная абсолютная постоянная (см., например, 3). В работе 23 В. Тысиак получил оценки Сг из неравенства (6) при некоторых значениях 8 (см. таблицу 1).

5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Ces: 1.102 1.076 1.008 0.950 0.902 0.863 0.833 0.812 0.802

Т&блица 1: Значения оценок величины Cj из неравенства (6)

В разделе 1.2.2 уточняется неравенство (6). Пусть d — произвольное число из интервала (0, \/2),

Ь(5, = max {d5, d6'2} ■ а(8, d), (8)

А

l8B. М. Золотарев. Абсолютная оценка остаточного члена в центральной предельной теореме. — Теория вероятпн. и ее примен., 1966, т. .11, вьш. 1, с. 108-119.

l9V. М. Zolotaxev. A sharpening of the inequality of Berry-Esseen. — Z. WahTsch. vertu. Geb., 1967, Bd. 8, s. 332-342.

20P. van Beek. An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry-Esseen inequality. — Z. Wahrsch. verw. Geb., 1972, Bd. 23, s. 187-196.

21 P. van Beek. An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry-Esseen inequality. — Z. Wahrsch. verw. Geb., 1972, Bd. 23, p. 187-196.

22И. С. Шиганов. Об уточнении верхней константы в остаточном члене центральной предельной теоремы. — Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труди ВВИИСИ, 1982, с. 109-115.

23W. Tysiak. Gleichmäßige und nicht-gleichmäßige Berry-Esseen.-Abschätzungen* Dissertation, Wuppertal, 1983.

2тг [¿(¿, 2

"(7) = —(781(7) + соз7 - 1). 7 > О,

7Г7

где 31 (•) —■ интегральный синус. Обозначим через (1(5) единственный нуль монотонно убывающей по д, функции Ь(8, (Г) при <1, изменяющемся в интервале (О, у/2). Пусть

¿(¿) = тт{ВД, (р2+г)~2(1~1>/*}-

ТЕОРЕМА 1.2. Предположим, что выполнены условия (4) и (2) для некоторого 0 < 5 ^ 1. Тогда для любого п ^ 1 справедливо неравенство

р(Г„, Ф) < Сп(5) ■

где

сп(б) = ы (—^—- Г/од + -2аУ} Л11V

о«г«г(Л) 7о — корень уравнения

"(7) =

Можно убедиться, что 70 < 1.6996.

Следующее утверждение делает более наглядным вид коэффициента при в оценке из теоремы 1.2. Введем функцию

где Г( •) — эйлерова гамма-функция. Пусть е — произвольное положительное число. Обозначим через (1(6, е) единственный корень уравнения

К(6,(1) = С(5) + е, (10)

лежащий в интервале (0, <¿(5)).

Следствие 1.2. При условиях (4) и (2) с 0 < 6 < 1 для любого п ^ 1 справедливо неравенство

ы>0

где е(8) = К(8, d{&)) — С(5), 7(ш) — корень уравнения

(2а(7) - 1)(1 + ы) = 1, w > 0.

Заметим, что значения коэффициента С (8) при наиболее медленно убывающем слагаемом (ляпуновской дроби порядка 2 + 5) сравнительно невелики. Этот коэффициент монотонно убывает как функция 8, изменяясь в пределах

0.06 « -4= = С(1) ^ с{8) < С(0+) = - « 0.31.

6у2тг 1"

На основании замеченного факта можно получить оценку точности нормальной аппроксимации, в которой коэффициент при ляпуновской дроби не зависит от 8.

Следствие 1.6. В условиях (4) и (2) с 8 S (0,1) существует 0 < с(8) < со такое, что при всех п ^ 1 выполнено неравенство

7Г

В качестве с(5) можно взять Положив в следствии 1.2

и = е = п ïiî+ÏI,

мы приходим к следующему "разложению" коэффициента при ляпуновской дроби в равномерной оценке скорости сходимости в ЦПТ.

Следствие 1.7. В условиях (4) и (2) с некоторым S е (0,1] при всех п > 1

p(Fn, Ф) < (С(<5) + Q,{S)Tn + Q2(5)t„2 + Q3(5)rn3) • L\+\

где

rn = rn(<5) = n-^, Q1(8) = 1 + C(S) + ■

■ir3t2M(8y

ntx\ u ^1 + 7r2) n tx\ -Л—

М{5) = /-, -Г,

1(2Н) + (б + 5 + [21-^Г (2Й) + «(*)] / = + +

Например, если 8 = то имеет место неравенство

/г, м.^/л,™, 9'98 49.1008 21.8378 \

ф) < ^ (°-1294 + + -да- + -^уг-) ■

Если же <5 = то

3-2435 12-6510 5.2896 \ (о.0907 + -^г + + ^71г) ■

Сопоставляя значения С{&) и константы Тысиака С& из таблицы 1, можно заметить, что отношение С$/С(5) изменяется от 4 (при малых 5) до примерно 11 (при 5, близких к единице), таким образом, при больших п оценка из следствия 1.7 становится предпочтительнее.

В разделе 1.2.3 уточняется структура оценок точности нормальной аппроксимации для сумм независимых случайных величин, имеющих хотя бы одну ограниченную версию плотности р{х):

А = вирр(а;) < оо. (11)

X

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия (4), (2) для некоторого 0 < 6 ^ 1 и (11). Тогда для любого п ^ 2 справедлива оценка

Ф) хп£ {(С(6) + е) ■ + Уп{(32+Й, 5, ¿(5, е))+

+ Шп{А^2^8,<1{5,е))), (12) где С{6) определено в (9), ¿(5,е) — корень уравнения (10),

тг <л лл Г }

5, = -—5— ехР | -

^--2— 1--V1 - ^ЩК.

Заметим, что сумма второго Уп и третьего \Уп слагаемых в (12) при каждом фиксированном е > 0 убывает экспоненциально быстро с ростом п. В случае 5 = 1 (то есть при выполнении условия (3))

и в (12) константа при Ь\ может быть выбрана как угодно близкой к неулучшаемой асимптотически правильной константе (у^тг)-1, фигурирующей в соответствующем члене асимптотического разложения Эссеена для нерешетчатых распределений. Мы также показываем, что в (12) коэффициент при можно выбрать в точности равным С(5), но только за счет ухудшения скорости убывания второго и третьего слагаемых с ростом п.

СЛЕДСТВИЕ 1.12. В условиях (4), (2) с 0 < 5 ^ 1 и (11) существует число О = £>(<5, А, Р2+5) € (0, оо) такое, что при всех п > 2

Ф) ^ С(8) - Ь™ + Б ■ (1=+5)3/2| (13)

При этом для £> справедлива оценка

^ (95.4199(2 + 35)А2$+1)У4 0.0034 0.7565 М{8) + (2 + 3<5)Л2 + ^/2 + 35,

где М(5) определено в формулировке следствия 1.7. В частности, при 6—1 справедливо следующее утверждение.

Следствие 1.13. В условиях (4), (3) и (11) существует число V = А, Рз) такое, что при всех п ^ 2

р(Рп, Ф) ^ . Ь1 + В'. I Ы-®|1/4. При этом для П' справедлива оценка

£>' ^ 5.1498хДЖ+ + 0.3384 ^ 5.1498\/А& + 0.3466.

Следствие 1.12 дает, на первый взгляд, довольно грубую оценку точности нормальной аппроксимации: скорость убывания второго слагаемого в этой оценке не показательная, а только лишь степенная. Однако, эта оценка при всех 0 < 5 < 1 лучше, чем оценка из следствия 1.7. Действительно, если в последней второе слагаемое убывает по п как

О ) ,

то в следствии 1.12 — как

mnnTN

V пм/4 )'

Такое уточнение второго слагаемого достигнуто за счет введения дополнительного ограничения гладкости (11). Если же наложить еще более жесткое условие на распределение слагаемых, а именно, интегрируемость их характеристической функции:

/+оо

|/(t)|eft < 00, где /(i) = Beitx\ (14)

оо

то второе слагаемое в оценке из следствия 1.12 при 0 < (5 < 1 можно уточнить еще существеннее (как легко видеть, в силу теоремы Лебега условие (14) влечет (11)).

Следствие 3.1. Пусть выполнены условия (4), (2) при некотором 0 < S < 1, а также (14). Тогда для всех п > 2

р(Гп,Ф) < C(6).L2n+s + C'(6,/32+S,Q)-l,

где С(5) определено в (9),

1 Г е^'2

С' (5, fo+s, sup inf { +

+ Q(i32+Sy'sd~'n(e + n)e~qn + {щ^}7 + 27r) • 4 d2 ( (2d)2+4 \3

ч:■ ;{Q, iW, d) - ,Q!(AijJ„, (1 - ^чры<">) '

Этот результат вынесен в отдельную, последнюю главу, поскольку он получен как следствие построенной в главе 2 (раздел 2.3) оценки скорости сходимости к нормальному закону соответствующего сопровождающего безгранично делимого распределения.

В разделе 1.2.4 обсуждаются возможные причины разрыва асимптотически наилучшей постоянной С(5), рассматриваемой как функции от 5. Для этого построена равномерная оценка точности нормальной аппроксимации, содержащая не только ляпуновские дроби, но также и другую характеристику случайных слагаемых — максимум модуля характеристической функции на заданном отрезке, — однозначно определяющую гладкость соответствующего распределения. С помощью полученной оценки показано, что разрыв обусловлен нарушением гладкости распределения случайных слагаемых.

В разделе 1.3 построены неравномерные оценки первого и, для 6=1, второго порядков, а также получены соответствующие мажоранты асимптотически наилучших констант в неравномерных оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме для распределений, имеющих ограниченную плотность. Прежде чем перейти к формулировке основного результата раздела 1.3, введем следующие обозначения: с2 — произвольное число из интервала (0, у/2),

гь(<5, й) = ¿4(5, <1) + 2У1 (6, сI),

ш(сО = й) + М ■ й) + Зг»1(1, сг), ьъ(сI) = 3(^(1, а) + «8(1, <о + л ■ «1(1, <0 ■ «з(1. <*))>

^-тги1.

~ 1

а(<5, й) (1 + Д)а(5,е0 У\(5,й) '

[Ь(М)Р+{>/2 + 2[Ь(М)](3+')/2 ++[6(<^)]а+<И'

КШ 1 а(М) I а(М) I 1,1(11 ^ > I

М 2 )

2тг

| 3a(M) t g(l,d) { v2{l,d) i vs(l,d) '

4[Ь(М)]*/2 2(6(1, 2[Ь(1, (¿)]3/2 [Ь(1,й)]1/2]

где а(<5, с!) и Ь(5, ¿1) определены в (7) и (8) соответственно,

2(З-<5}/2Г/Ш)

• т^и&ъм- (15)

Пусть е — произвольное положительное число. Обозначим через ^(¿¡е) и ¿г(е) единственные корни уравнений

K2(d) =

13 3\/2п

лежащие в интервалах (0,d(<5)) и (0,d(l)) соответственно, где е£(<5) — единственный нуль монотонно убывающей функции b(5, d) при d, изменяющемся в интервале (0, у/2).

Теорема 1.8. Пусть выполнены условия (4), (2) для некоторого 0 < 8 < 1 и (11). Тогда для всех п 3

sup|x|A„(z) < inf {(L{5)+e)^ + Vln{ß2+Ml{5,e))+

где

+Wln(A,ß2+s,5,d1(8,e))},

2М/2Г(Ш) LW= *(! + <*) '

M/W, «О = + ij exp I - щ^ц),

d2 /. (2 d)2+s

1 -

л _ m™ у

Если дополнительно выполнено условие (3), то для всех п ^ 4

sup|*|2Д„(*) ^ inf {(^L + V2n(/?3,d2(e)) + W2n(A,/?з,d2(e))},

sds

- „(agu *+[. -Ш^ГГ-

Заметим, что коэффициент L(5) при наиболее медленно убывающем слагаемом в правой части оценки из теоремы 1.8 монотонно убывает как функция 6, изменяясь в пределах

0.32 = L{ 1) < L{5) < L(0+) = 2л/- » 1.60,

7Г УЖ

а остальные слагаемые V[n и W\n, равно как и сумма Vin + Win второго и третьего слагаемых в неравномерной оценке второго порядка, убывают экспоненциально быстро с ростом п при каждом фиксированном г > 0.

Глава 2 посвящена уточнению оценок точности нормальной аппроксимации для распределений стандартизованных пуассоновских случайных сумм. При условии (2) имеет место следующий аналог неравенства Берри-Эссеена:

p(FA, Ф) = sup |Fa(x) - Ф(х)| ^ М, ■ L2+s, 0<S^1, (16)

X

где Ms > 0 зависит только от ö (см., например, монографию В. Е. Бешшга,

B. Ю. Королева и С. Я. Шоргина 24). Как показано в этой же книге, неравенство (16) имеет место с Ms < Cj при всех S е (0,1]. Справедливости ради следует отметить, что факт: Mi < Ci s С < 0.7655 впервые был отмечен в 1986 г. Р. Михелем25 и позже и независимо В. Ю. Королевым и

C. Я. Шоргиным26.

Раздел 2.1 содержит вспомогательные результаты, связывающие поведение распределения пуассоновских случайных сумм с поведением сумм неслучайного числа независимых случайных величин. В разделе 2.2 уточняется верхняя оценка абсолютной постоянной Mi в аналоге неравенства Берри-Эссеена (16) для пуассоновских случайных сумм.

Б. Б. Еенинг, В. Ю. Королев и С. Я. Шоргин. Математические основы теории pu ска, Москва, "Физматлит", 2006.

asR. Michel, On Berry-Esseen results for the compound Poisson distribution. — Insurance: Math., JScon., 1986, vol. 13, No. 1, p. 35-37.

26V. Yu. Korolev and S. Ya- Shorgin. On the absolute constant in the remainder term estimate in the central limit theorem for Poisson random sums. — in: Probabilistic Methods in Discrete Mathematics, Proceeding of the Fourth International Petrozavodsk Conference. VSP, Utrecht, 1997, p. 305-308.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть выполнены условия (1) и (3). Тогда для всех А > О неравенство (16) имеет место с Mi = 0.7056 :

p{Fx, Ф) s? 0.7056 • Ь\.

В разделе 2.3 уточняется аналог неравенства Берри-Эссеена для пуас-соновских случайных сумм в случае, когда слагаемые не имеют третьих моментов.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть выполнены условия (1) и (2) для некоторого 0 < 8 < 1. Тогда при всех А > 0 неравенство (16) имеет место с M¡ sj С(5):

p(F\i Ф)^C{8)-L™,

где функция С(8) определена в (9).

Сопоставляя значения M¡ из таблицы 1 и С(5), можно заметить, что отношение M¡/C(8) изменяется от 4 (при малых 8) до примерно 11 (при 5, близких к единице). Таким образом, результат теоремы 2.2 при всех 0 < 8 < 1 лучше известной оценки Королева-Тысиака в 4-11 раз в зависимости от 8.

В разделе 2.4 в дополнительном предположении интегрируемости характеристической функции слагаемых (14), а также за счет внесения в оценку дополнительных слагаемых, убывающих быстрее, чем А-1/2, аналог неравенства Берри-Эссеена удается уточнить еще существеннее.

ТЕОРЕМА 2.4. Предположим, что выполнены условия (1), (3) и (14). Тогда для любого А > 0 справедлива оценка

p(Fx> Ф) ^ inf | + . ¿з + Ux{Qt х> ¿e) | f (1?)

где

de = 3(1-(1 + 6V2^)2/3),

rrtn n —л . е"А (<РХ dy/X\ , Л? г d2 Хл ,

2nd(l — е~А) \ 3WA2/ i J ' а нецентральное ляпуновское отношение h\ определяется формулой

Заметим, что второе слагаемое U\(Q, х, (3$, de) в оценке (17) при каждом фиксированном е убывает экспоненциально быстро с ростом А, а коэффициент при L\ может быть выбран как угодно близким к неулучшаемой (асимптотически правильной) константе в соответствующем члене асимптотического разложения типа Эссеена. Мы также показываем, что в (17) коэффициент при L\ можно выбрать в точности равным С{8), но только за счет ухудшения скорости убывания второго слагаемого с ростом А.

следствие 2.6. В условиях (1), (3) и (14) для любого А > 0 справедлива оценка

ЛЪ .1 < . ,5 + ..5961. н- (1_Xin+

[ 1.2104 | (7.5644 • Q2n? In А , 3.1035 • QxyfinA

Q2h2 A5/2 In А

^7.5644 .QV In A 3.1035 • QxVbX \ л ^ A + Y^rpA +1Je •

Пусть X — произвольная случайная величина. Обозначим

а2+6(х\ _ ~ EX\2+S А2+6(у\__ E|X|2+j к >~ (DA")(2+i)/2 ' 1 К ' (EX2)(2+W2-

Величины Al+s(X) и Al+s{X) будем называть соответственно центральным и нецентральным ляпуновскими отношениями. В разделе 2.5 получает частичное решение задача сравнения центрального и нецентрального ляпуновских отношений, поставленная С. Я. Шоргиным в работе 27.

ТЕОРЕМА 2.5. а°. Существует положительная функция К(6), зависящая только от 8, такая, что для любой невырожденной случайной величины X, имеющей первые абсолютные моменты вплоть до порядка 24-8 с некоторым 0 < <5 ^ 1 включительно, справедливо неравенство

А\+6(Х) 4 K(8)A20+s(X), 0 < <5 1.

Более того, К{5) < 21+i/2.

b°i Существует последовательность случайных величин ъ име-

ющих первые моменты вплоть до порядка 2 + 8 включительно, такая, что

A ¡+s(Zn) = o(A2+*(Z„)), 0 <6^1.

"S. Ya. Shorgin. Asymptotic analysis of an individual risk mode] with random insurance premiums. — Journal of Mathematical Sciences, 1996, vol. 81, No. 5, p. 3000-3004.

Заметим, что

вир К(5) = К( 1) = 2%/2 < 2.8285.

Таким образом, в оценках точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных сумм предпочтительнее использовать нецентральное ляпуновское отношение.

Работа выполнена под руководством профессора Виктора Юрьевича Королева, которому автор выражает искреннюю признательность.

3 Список публикаций автора по теме диссертации

1. В. Ю. Королев и И. Г. Шевцова. О точности нормальной аппроксимации. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, вып. 3, с. 353-366.

2. В. Ю. Королев и И. Г. Шевцова. О точности нормальной аппроксимации. И. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, вып. 4, с. 555-563.

3. В. Ю. Королев и И. Г. Шевцова. Об асимптотически правильных константах в неравенстве Берри-Эссеена и его аналогах. — В сб. Системы и средства информатики. Специальный выпуск. ИПИ РАН, Москва, 2005, с. 333-358.

4. И. Г. Шевцова. О точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных сумм. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 2006, в печати.

5. И. Г. Шевцова. О скорости сходимости в ЦПТ для гладких распределений. — Статистические методы оценивания и проверки гипотез, изд-во Пермского государственного университета, Пермь, 2006, с. 169178.

6. И. Г. Шевцова. Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена. — Теория вероятн. и ее примен., 2006, т. 51, вып. 3, с. 622-626.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати ] 1.09.2006 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 600. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение

1. Оценки скорости сходимости в ЦПТ для сумм независимых случайных величин

1.1. Вспомогательные результаты. Оценки близости характеристической функции суммы независимых случайных величин и нормальной характеристической функции, а также их производных.

1.2. Равномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ.

1.2.1. Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена для сумм независимых слагаемых с конечными третьими моментами

1.2.2. Оценки скорости сходимости для сумм независимых слагаемых, не имеющих третьего момента.

1.2.3. Оценки скорости сходимости для сумм независимых слагаемых с ограниченной плотностью.

1.2.4. О причинах разрыва асимптотически наилучшей константы, рассматриваемой как функции от максимального порядка момента случайного слагаемого

1.3. Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ

2. Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных сумм независимых случайных величин 75 2.1. Вспомогательные результаты. Связь распределения пуассоновских случайных сумм с суммами неслучайного числа случайных величин.

2.2. Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в аналоге неравенства Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм независимых слагаемых с конечными третьими моментами.

2.3. Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских сумм независимых слагаемых, не имеющих третьего момента.

2.4. Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских сумм независимых слагаемых с интегрируемой характеристической функцией.

2.5. О структуре полученных оценок.

3. Оценки скорости сходимости в ЦПТ для распределений сумм независимых случайных величин с интегрируемой характеристической функцией

Задача изучения точности нормальной аппроксимации, возможность которой предоставляется центральной предельной теоремой (ЦПТ) теории вероятностей, является одной из ключевых проблем теории вероятностей и имеет долгую историю, богатую красивыми и значительными результатами. В разное время в этой области работали А. М. Ляпунов, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, П. Леви, Г. Крамер, Б. В. Гнеденко, Ю. В. Прохоров, К.-Г. Эссеен, И. А. Ибрагимов, Ю. В. Линник, В. М. Золотарев, В. В. Сазонов, В. В. Петров, Л. В. Осипов, К. Хейди и другие выдающиеся математики. Оценкам точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин уделено большое внимание в основополагающей книге Б. В. Гпеденко и А. Н. Колмогорова [5], в ставших классическими монографиях И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника [10], В. В. Петрова [17,18] и В. М. Золотарева [8]. Более того, этой проблематике посвящены специальные глубокие монографии Р. Н. Бхаттачария и Р. Ранга Рао [4] и В. В. Сенатова [48]. Несмотря на большую популярность и хорошую изученность этой классической проблемы, как оказалось, в ней все-таки остались некоторые пробелы; заполнению нескольких таких пробелов и посвящена данная работа.

Развитие задачи шло, естественно, от качественного к количественному уровню: если целью работ начала XX века было установление правильного порядка скорости сходимости и изучение влияния различных свойств распределения случайных слагаемых на порядок, то последние работы носили, скорее, количественный характер и имели целью вычисление и уточнение неизвестных констант, входящих в оценки остаточного члена. Такое направление развития упомянутой задачи обусловлено желанием исследователей не только удовлетворить свой теоретический интерес, но и иметь возможность применения нормальной аппроксимации на практике. В самом деле, реальные выборки всегда конечны, поэтому при подмене неизвестного распределения суммы независимых случайных величин нормальным распределением исследователь всегда допускает некоторую ошибку. Величина этой ошибки может быть сделана сколь угодно малой за счет увеличения количества наблюдений. Однако, получение дополнительных наблюдений может требовать некоторых затрат, а порой это вообще невозможно. В таком случае решающую роль играют оценки точности нормальной аппроксимации, которые в соответствии с классификацией, предложенной В. М. Золотаревым (см. [8, с. 225]), относятся к третьему уровню. В таких оценках мажоранта имеет явное выражение вплоть до числовых значений всех входящих в нее постоянных, что дает принципиальную возможность находить ее конкретные числовые значения. При этом мажоранта, во-первых, должна быть минимально возможной, то есть иметь оптимальную структуру со значениями констант, обеспечивающими минимально возможные значения мажоранты, и, во-вторых, должна быть эффективно вычислимой.

Из практических задач, для успешного решения которых необходимо иметь разумные оценки точности нормальной аппроксимации, в качестве примера приведем лишь три.

Первая задача известна из теории надежности. Рассматривается процесс функционирования системы, которая в каждый момент времени может находиться всего в двух состояниях: работоспособном и неработоспособном, причем эти состояния чередуются между собой. Неработоспособное состояние может наступить как в результате поломки оборудования, так и в результате проведения профилактических работ, связанных с заменой устаревшего оборудования. Процесс функционирования такой системы можно представить в виде последовательности пар неотрицательных случайных величин (Xi, Qi), г = 1,2,., где независимые одинаково распределенные случайные величины Qi имеют смысл длительностей г-го простоя, i = 1,2,., а независимые одинаково распределенные случайные величины Х\ суть длительности бесперебойной работы системы после (г - 1)-го простоя. В качестве комплексного показателя надежности работы таких систем используется стационарный коэффициент готовности К, который определяется как вероятность того, что система будет работоспособна в произвольно выбранный момент времени в стационарном режиме функционирования (см. ГОСТ [6]). Если имеется информация об п периодах работы и простоя, то есть имеется выборка (Xi, Qi), i = 1, п, конечного объема п, то в качестве статистической оценки К используется величина п Е к = п п

ZXi + ZQi i=1 i=l

Приближая распределения входящих в это выражение сумм i и Qi нормальным, мы можем, например, построить доверительный интервал с заданным уровнем доверия 7 для истинного значения коэффициента готовности К. Однако, получившийся интервал будет всего лишь приближенным (то есть вероятность попадания истинного значения К в такой интервал может на самом деле оказаться меньше 7), для построения же гарантированного доверительного интервала (то есть такого интервала, вероятность попадания в который истинного значения К гарантированно не меньше 7) необходимо учитывать точность нормального приближения для распределений сумм и Ya=i Qi

Второй пример известен из математической теории страхования. При вычислении распределения резерва страховой компании в каждый момент времени t необходимо знать поведение суммарных выплат: число слагаемых в этой сумме есть количество страховых случаев, наступивших к моменту t, а сами слагаемые равны величинам выплат по соответствующим страховым случаям (более подробно см., например, монографии В. Б. Бенинга и В. Ю. Королева [1], В. Е. Бенинга, В. Ю. Королева и С. Я. Шоргина [2]).

Третья задача связана с оптимальным управлением запасами. Требуется определить такое количество и товара на складе, при котором средние суммарные издержки, связанные как с избытком товара (издержки хранения), так и с его нехваткой при очередном запросе, минимальны. Пусть Nt — количество заявок, поступивших к моменту времени £, a Xj — размер j-й заявки, j = 1,., Nt. Тогда решение этой задачи удовлетворяет уравнению где [О, Г] — рассматриваемый промежуток времени, St = X1 + . .+Xj\r4 — размер суммарных запросов (заявок) к моменту t, 5 € (0,1) — заданное число, определяемое значениями издержек на единицу товара за единицу времени (см., например, работу Т. Р. Кашаева и В. Ю. Королева [11]). Как правило, подынтегральная функция распределения неизвестна, однако, если известны первые моменты требований Xj, она удовлетворяет неравенству где Ф(я) — функция стандартного нормального распределения, At — оценка равномерного расстояния между предельной (нормальной) и допредельной функциями распределения. Идея решения указанной выше задачи заключается в замене неизвестной функции распределения Р(St < и) ее верхней и нижней оценками и решении вместо одного исходного двух уравнений относительно и. Тогда искомое оптимальное значение «о будет лежать между решениями указанных уравнений, причем чем точнее оценка нормального приближения, то есть чем меньше At, тем точнее интервальная оценка для щ.

Отметим, что если в первом примере число слагаемых (количество ремонтов) можно задать заранее, то в следующих двух этого сделать нельзя. Вторая и третья задачи приводят к специальной схеме суммирования, в которой число слагаемых нельзя считать детерминированным. Естественный выход из такой ситуации — предположить, что индекс суммирования является целочисленной случайной величиной. В данной работе мы рассматриваем обе модели (как с детерминированным числом слагаемых, так и со случайным), причем, не ставя перед собой цель описать наиболее общий вариант второй модели, всесторонне описанной, например, в монографиях В. М. Круглова и В. Ю. Королева [13], Б. В. Гнеденко и В. Ю. Королева [39], В. Е. Бенинга и В. Ю. Королева [1], мы предполагаем, что случайный индекс суммирования N\ имеет распределение Пуассона с параметром Л > 0:

P(Nx = k) = ^e~x, к = 0,1, —

В сделанных предположениях процесс наступления страховых случаев (или поступления заявок на склад) представляет собой поток событий, абсолютно хаотично распределенных во времени (см., например, книгу В. Е. Бенинга и В. Ю. Королева [30]).

Относительно случайных слагаемых Х\,Х2,. мы будем предполагать, что они независимы, одинаково распределены с общей функцией распределения F(x) = P(Xi < х) и удовлетворяют условию

0 < DXi < оо. (1)

Обозначим

EXi = т, DXi = а2.

Кроме того, мы предполагаем, что при каждом Л > 0 случайные величины N\,X 1,^2,. стохастически независимы. Случайная величина

S\ = Х\ + . • + Xnx для определенности мы полагаем X)j=i(') = 0) называется пуассонов-ской случайной суммой или просто пуассоповской суммой. Обозначим S\ — ESa S\ - Am 2 2 2,2 q - Y .L xY с ~ ^ ~ nm > i

FA(z) = P(5a < x), Fn{x) = P(Sn < x) = F*n{x ■ a^ + nm), где F*n(x) — n-кратная свертка функции распределения F(x) с собой. Функцию распределения и плотность стандартного нормального закона обозначим Ф{х) и (р(х) соответственно:

Ф(®) = Г р(аО = ■ е

27Г 7-00 \/Г ж2/2 л/27Г

Центральная предельная теорема утверждает, что последовательность функций распределения стандартизованных сумм 5П случайных величин, удовлетворяющих условию (1), равномерно сходится к стандартной нормальной функции распределения с ростом числа слагаемых: p(Fn, Ф) = sup |Fn{x) - Ф(я)| —► 0, п оо. х

Однако, для конструирования стремящихся к нулю с ростом п оценок равномерного расстояния p(Fn, Ф) предположения (1) оказывается недостаточно, поскольку, согласно результату В. К. Мацкявичюса [15], если слагаемые удовлетворяют только условию (1), то сходимость в ЦПТ может быть как угодно медленной. В связи с этим мы предполагаем, что случайная величина Х\ имеет абсолютный момент порядка 2 + 5 с некоторым 0 < <5 ^ 1: р2+5 = E|Xi|2+<5 < оо. (2)

Определим (центральную) дробь Ляпунова порядка 2 + 5 как wsE\X1-m\™ а2+5п5/2 ■ 8

При условии (2) известна оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме вида p(Fn^)^CsL2n+5, (3) где Сs > 0 зависит только от 5 (см., например, известную книгу В. В. Петрова [17, гл. V, теорема 6]).

В то же время, при условии (1) имеет место слабая сходимость стандартизованной пуассоновской суммы S\ к нормальному закону (см., например, монографию Б. В. Гнеденко и В. Ю. Королева [39]), то есть p{Fx^) = sup\Fx{x)-<!>(x)\ —>0, А —► оо, X причем если слагаемые имеют конечные моменты порядка 2 + 5 с некоторым 0 < 5 ^ 1, то справедливо аналогичное (3) неравенство (см., например, книгу В. Е. Бенинга, В. Ю. Королева, С. Я. Шоргина [3]) p(Fx,<S>)<M5Ll+5, (4) где Ms > 0 зависит только от 5, a L2^5 — нецентральная ляпуновская дробь порядка 2 + 5: г 2+5 fa+5 fc+5

Li\ а х2+5х5/2 (т2 + £72)(2+5)/2а5/2'

Случай 5 = 1, то есть

3 = E|Xi|3 < оо, (5) изучен лучше всего. В этой ситуации (3) превращается в классическое неравенство Берри-Эссеена [34, 36]: p(Fn,<S>)^C.Ll, (6) а (4) — в его аналог для пуассоновских случайных сумм: p(Fx^)^M-Ll (7) где С и М — положительные абсолютные постоянные. При этом порядки убывания p(Fn, Ф) и p(F\, Ф) максимальны и равны п-1/2 и А-1/2 соответственно. Интересно заметить также, что выполнение условия (2) для некоторого 5 > 1 не приводит к ускорению убывания p(Fn, Ф) и p(F\, Ф) без дополнительных ограничений. Неравенства (6) и (7) устанавливают правильную скорость сходимости (правильный порядок убывания p(Fn, Ф) с ростом п и p(Fх,Ф) с ростом Л). Однако, чтобы пользоваться этими неравенствами на практике для оценивания точности нормальной аппроксимации, необходимо иметь конкретные численные оценки абсолютных констант С и М.

История отыскания значения абсолютной константы в классическом неравенстве Берри-Эссеена (6) чрезвычайно интересна и богата результатами. Так, Э. Берри [34] утверждал, что С < 1.88, однако, как обнаружил позднее П. J1. Сюй [41], его вычисления содержали ошибку. К.-Г. Эссеен показал [36], что С ^ 7.59. X. Бергстрем [33] получил оценку С ^ 4.8. К. Такано [51] снизил ее до С ^ 2.031. По-видимому, работа К. Такано (опубликованная на японском языке) выпала из поля зрения некоторых исследователей, так как в нескольких более поздних публикациях приводятся немного худшие оценки. В частности, в работе К.-Г. Эс-сеена [38] имеется упоминание о неопубликованных вычислениях, дающих С < 2.9. В работе Д. J1. Уоллеса [54] приведена оценка С ^ 2.05. В. Феллер [24], упоминая результат Д. JI. Уоллеса, также обходит вниманием работу К. Такано. Вычислению наименьшего возможного значения абсолютной постоянной С придавал большое значение А. Н. Колмогоров. В своей работе [12] он высказал предположение о том, что С = 1/у/2к. К сожалению, это предположение оказалось не совсем точным: в 1956 г., решая несколько иную задачу, К.-Г. Эссеен [38] показал, что в (6) постоянная С не может быть меньше, чем л/10 + 3 = g 4Q97321. = * + 0.0107899.

27Г

Этот результат получен как следствие решения задачи о наименьшей постоянной С*, обеспечивающей асимптотическую оценку

К.-Г. Эссеен показал, что в рассматриваемой ситуации С* — С\. Поскольку С ^ С*, была найдена нижняя оценка для С. Далее, как показал Б. А. Рогозин [21], г • гЛ/й lim sup mi sup n-too p X ч T x-a Fn(x) - Ф < 0.3990. \/27Г b

Тем самым предположение A. H. Колмогорова было в определенном смысле подтверждено.

Тем не менее, точное значение константы С в классическом неравенстве Берри-Эссеена до сих пор неизвестно. В 1966-67 гг. В. М. Золотарев показал, что С < 0.9051 [7] и С < 0.8197 [55]. В 1971-72 гг. П. Ван Беек [27, 28], модифицировав метод Золотарева, получил оценку С < 0.7975. Наконец, в 1982 г. с помощью еще более глубокой модификации того же метода И. С. Шиганов [26] получил оценку С ^ 0.7655.

Дальнейшие усилия по уточнению неравенства Берри-Эссеена были направлены на усовершенствование его структуры. В частности, В. М. Золотарев [7] добился уточнения константы при L?n за счет внесения в неравенство дополнительных членов и доказал справедливость оценки p{Fn, Ф) < 0.8197 • L\ + 0.5894 • + 0(L5n), п -> оо.

Г. Правитц [47] показал, что если Lzn ^ 0.1, то p(F„, Ф) ^ 0.51513 • Ьъп.

Развивая идею о том, что оптимальная структура оценки точности нормальной аппроксимации должна включать член вида L\ с оптимальной константой С\ плюс "добавка", убывающая быстрее, чем п1у/2,

B. Бенткус [31, 32] показал, что существует положительная постоянная

C, обеспечивающая оценку

ВД - Ф(*)| < + ф)^ L* + C(Llf\ из которой вытекает, что йг0'4654-)

Наконец, недавно Г. П. Чистяков [25] доказал, что в указанных предположениях существует абсолютная постоянная С такая, что p{Fn, Ф) ^ CiLl + СЙ)40/39| InL® |7/6.

Приведенные выше результаты являются универсальными, они справедливы при любых распределениях слагаемых с конечным третьим моментом. Однако, в этой универсальности заключен и их недостаток: во многих практических ситуациях приведенные выше оценки являются слишком грубыми. Без дополнительных предположений абсолютная константа при первом слагаемом, убывающем как 0(п-1/2), в правой части неравенства Г. П. Чистякова не может быть уменьшена. Таким образом, по сути единственный путь существенного уточнения упомянутых результатов заключается в рассмотрении достаточно общих частных случаев.

В некоторых конкретных (также достаточно общих) ситуациях, когда имеется дополнительная информация о распределении слагаемых, оценки точности нормальной аппроксимации можно уточнить. В частности, В. Бенткус [31, 32] показал, что если слагаемые Xj имеют симметричное распределение, то существует абсолютная постоянная С такая, что A + g^/s. л/27г

Обратим внимание на то, что в работах Чистякова и Бенткуса не приведены численные оценки констант С, С и С, что не позволяет применять на практике эти замечательные теоретические результаты.

История отыскания значения абсолютной константы в неравенстве (7) также весьма интересна. Само неравенство впервые было доказано, по-видимому, в диссертации Г. В. Ротарь [22] в 1972 г. и опубликовано в другой работе [23] того же автора с М = 2.23 (диссертация [22] не опубликована, в то время как в [23] не было приведено доказательство этого результата). Позднее, с использованием традиционной техники, основанной на неравенстве Эссеена, оценка (7) была доказана в работе Р. Чосси и Г. Раппла [35] с М = 2.21 (причем авторы этой работы в формулировке соответствующей теоремы объявили значение М = 3, что, конечно, верно, но фактически по ходу доказательства их результата они получили значение М = 2.21). В 1986 г. Р. Михель [44] с помощью метода, основанного на безграничной делимости пуассоновского распределения, показал, что константа М в (7) та же, что и в классическом неравенстве Берри-Эссеена: М < С ^ 0.7655. Не зная о результате Михеля, в 1997 г. В. Е. Бенинг, В. Ю. Королев и С. Я. Шоргин сначала с помощью метода, основанного на неравенстве Эссеена (того же, что в работе Чосси и Раппла [35]), получили оценку М — 1.99 [29], а затем, используя но сути тот же метод, что в работе [44], но независимо от нее повторили результат Михеля М = 0.7655 [42].

Накладывая дополнительные условия, оценки точности нормальной аппроксимации можно уточнить весьма существенно. В этом нас убеждает хорошо известный результат К.-Г. Эссеена [37], согласно которому, если распределение слагаемых Xj не является решетчатым, то при п —> оо ад - «(*) = Ef.' ffil - х2)е~*'>2 + o(n-W) (8) равномерно по х € R (см. также книгу В. Феллера [24]). Для функции распределения пуассоновской случайной суммы справедливо аналогичное разложение: если распределение слагаемых Xj не является решетчатым, то при Л —>• оо суЗ

ВД - Ф(ж) = ^=(1 - х2)е~х /2 + о(A"1/*) (9) равномерно по х € R (см., например, монографию В. Е. Бенинга и В. Ю. Королева [1]). Легко видеть, что sup |1 — х2\е~х2!2 = 1. X

Таким образом, учитывая, что |E(Xi — ш)3| ^ E|Xi — m|3 и |EXf| ^ E|Xi|3, из (8) и (9) мы получаем неравенства p^K^L-t-^, (ю) (11) справедливые для случая нерешетчатого распределения слагаемых, где Rn = о(п~1/'2) при п —> оо и R\ = о{А-1/2) при А —> оо. Более того, из (10) и (11) вытекают соотношения lim sup L~3p(Fn, Ф) ^ < 0.0665, (12)

7i—>00 ду2ж lim sup Lfp(Fx, Ф) < = < 0.0665, (13) а-+оо 6v 27г откуда в силу (8) и (9) мы заключаем, что для случая нерешетчатых слагаемых число 1/(6\/27г) < 0.0665 является асимптотически правильной абсолютной постоянной в классическом неравенстве Берри-Эссеена и в его аналоге для пуассоиовских сумм. К сожалению, из-за отсутствия явных оценок величии Rn и R\ неравенствами (10) и (11) нельзя пользоваться при практических вычислениях.

Для случая 0 < S < 1 В. Тысиак [52] (также см. работу Г. Падит-ца [46]) получил оценки константы С$ из неравенства (3) при некоторых значениях 5. Эти оценки приведены в таблице 1.

Используя ту же самую идею доказательства, что и в статьях Р. Ми-хеля [44], В. Ю. Королева и С. Я. Шоргина [42], недавно В. Ю. Королев [3] доказал, что величина в (4) та же, что и в классическом

5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Ms,Cs 1.102 1.076 1.008 0.950 0.902 0.863 0.833 0.812 0.802

Таблица 1. Значения верхних оценок для констант Cg из неравенства (3) и из неравенства (4) неравенстве Берри-Эссеена, то есть Ms ^ следовательно, для вычисления Ms в точках 5 = 0.1, 0.2, ., 1 можно пользоваться таблицей 1. Г. Падитц [45] показал, что при 5 = 0 имеет место неравенство p(Fn, Ф) ^ 3.51 • ^Е (х2 min jl, iM , откуда вытекает равномерная по 5 G [0,1) оценка С$ ^ 3.51, так как при любом 5 € (0,1] выражение в правой части последнего неравенства не превосходит 3.51 • L2+5.

По аналогии со случаем 5 = 1, рассмотрим для 0 < <5 < 1 вопрос о том, каково же минимальное из всех значений С|, 0 < <5 < 1, обеспечивающих оценку p(Fn^)^QLl+s + o(L2n+5). (14)

Легко видеть, что неравенство (3) влечет за собой (14): для этого достаточно положить в последнем = Cs и о(Ц^5) = 0.

Аналогичный вопрос возникает и для пуассоновских случайных сумм. Поставленные задачи можно переформулировать следующим образом: при всех 0 < 5 < 1 найти значения асимптотически наилучших постоянных

С(5) = suplimsup(L2n+5)~lp(Fn, Ф),

П—>00

М{8) = suplimsup {L\+5)-lp(Fx^),

А—>оо где супремумы берутся по всем распределениям F, удовлетворяющим условиям (1) и (2).

Следует заметить, что случай 0 < 5 < 1 чрезвычайно интересен. С одной стороны, для этого случая в 1966 г. И. А. Ибрагимов [9] доказал, что для того чтобы p{Fn^) = 0{n5'2), п^ оо, необходимо и достаточно, чтобы

Е№l(\X1\2z)] = 0(z-s), z^ оо, где 1( •) — индикаторная функция (см. также монографию И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника [10]), откуда вытекает, что если fo+s = E|Xi|2+<J < оо, то p(Fn, Ф) = 0{rC5/2) (это следует из того, что в таком случае

E[X\l(\X\ > z)] = EWX^lX^ldX, > z)\ ^ z^X^ для любого г > 0).

Однако условие Ибрагимова слабее, чем требование существования fo+s- В частности, если случайная величина Х\ имеет плотность х 2 + <* 1 —"M+iF' ' то, очевидно, E|Xi|2+<5 не существует, но для любого z > О

2 + 6 [ dx 2-И 2 J |ж|1+(5 5 'Z ' x\>Z

С другой стороны, как показал К. Хейди [40], при 0 < 5 < 1 условие E|Xi|2+l5 < оо равносильно тому, что

00

Ф)<00.

71=1

Поэтому, если бы было справедливо соотношение p(Fn, Ф) ~ п~5/2, п —> оо, то указанный ряд должен был бы расходиться. Таким образом, неравенство (3) в некотором смысле дает слишком грубую оценку точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин (порядок п~5!2 является "не совсем правильным" в том смысле, что он может быть характерен лишь для некоторой разреженной подпоследовательности значений индекса п, в то время как для остальных значений п скорость сходимости выше).

Случай же 6 = 1 является в каком-то смысле критическим, потому что, как показывают соответствующие примеры, без дополнительных предположений порядок p(Fn, Ф) = 0{п~112) нельзя улучшить, сколь велик бы ни был порядок 7^3 момента слагаемого.

В связи с приведенными фактами для величин C(S) и М(8) мы будем употреблять термины "асимптотически наилучшаяа не "асимптотически правильнаяпостоянная, поскольку последний подразумевает наличие оценки, устанавливающей правильный порядок скорости сходимости, задача об отыскании которого для 0 < 5 < 1 пока не получила исчерпывающего ответа. Этот факт оправдывает структуру оценок точности нормальной аппроксимации, которые будут построены в данной работе. Мы будем искать оценки для классической схемы суммирования в виде (14), пытаясь минимизировать значение входящей в него постоянной С| и указать при этом второе слагаемое в явном виде. Оценки с аналогичной структурой будут построены и для схемы случайного суммирования с пуассоновским индексом.

Диссертация посвящена проблеме уточнения структуры оценок точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин за счет минимизации абсолютных констант при наиболее медленно убывающих членах полученных мажорант.

Кратко изложим содержание и основные результаты диссертации.

1. А. Н. Колмогоров. Некоторые работы последних лет в области предельных теорем теории вероятностей. — Вестник Моск. ун-та, 1953, №10, с. 29-38.

2. В. М. Круглов и В. Ю. Королев. Предельные теоремы для случайных сумм. — М., Изд-во Московского университета, 1990.

3. М. Лоэв. Теория вероятностей. — М., Изд-во иностр. лит., 1962.

4. В. К. Мацкявичюс. О нижней оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме. — Теория вероятн. и ее примен., 1983, т. 28, вып. 3, с. 565-569.

5. Л. В. Осипов. Уточнение теоремы Линдеберга. — Теория вероятн. и ее примен., 1966, т. И, вып. 2, с. 339-342.

6. В. В. Петров. Суммы независимых случайных величин. — М., "Наука", 1972.

7. В. В. Петров. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. — М., "Наука", 1987.

8. Ю. В. Прохоров. Об одной локальной теореме. — В сб. Предельные теоремы теории вероятностей, Ташкент, Изд-во АН УзССР, 1963, с. 75-80.

9. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков и О. И. Маричев. Интегралы и ряды. Элементарные фг)нкции. — М., "Наука", 1981.

10. Б. А. Рогозин. Одно замечание к работе Эссеена "Момеитпое неравенство с применением к центральной предельной теореме". — Теория вероятн. и ее примен., 1960, т. 5, вып. 1, с. 125-128.

11. Г. В. Ротарь. Некоторые задачи планирования резерва. — Дисс. канд. физ.-матем. наук, Центральный экономико-математический институт, Москва, 1972.

12. Г. В. Ротарь. Об одной задаче управления резервами. — Эконом, матем. методы, 1976, т. 12, вып. 4, с. 733-739.

13. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М., "Мир", 1984.

14. Г. П. Чистяков. Новое асимптотическое разложение и асимптотически наилучшие постоянные в теореме Ляпунова. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2001, т. 46, вып. 2, с. 326-344.

15. И. С. Шиганов. Об уточнении верхней константы в остаточном члене центральной предельной теоремы. — Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды ВНИИСИ, 1982, с. 109-115.

16. P. van Beek. An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry-Esseen inequality. — Z. Wahrsch. verw. Geb., 1972, Bd. 23, s. 187-196.

17. P. van Beek. An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry-Esseen inequality. — Z. Wahrsch. verw. Geb., 1972, Bd. 23, p. 187-196.

18. V. E. Bening, V. Yu. Korolev and S. Ya. Shorgin. On approximation to generalized Poisson distribuions. — Journal of Mathematical Sciences, 1997, vol. 83, No. 3, p. 360-373.

19. V. E. Bening and V. Yu. Korolev. Generalized Poisson Models and their Applications in Insurance and Finance. — VSP, Utrecht, 2002.

20. V. Bentkus. On the asymptotical behavior of the constant in the Berry-Esseen inequality. — Preprint 91 078, Universitat Bielefeld, 1991.

21. V. Bentkus. On the asymptotical behavior of the constant in the Berry-Esseen inequality. J. Theor. Probab., 1994, vol. 2, No. 2, p. 211-224.

22. H. Bergstrom. On the central limit theorem in the case of not equally distributed random variables. — Skand. Aktuarietidskr., 1949, vol. 33, p. 37-62.

23. A. C. Berry. The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variates. — Trans. Amer. Math. Soc., 1941, vol. 49, p. 122139.

24. R. von Chossy and G. Rappl. Some approximation methods for the distribution of random sums. — Insurance: Mathematics and Economics, 1983, vol. 2, p. 251-270.

25. C.-G. Esseen. On the Liapunoff limit of error in the theory of probability. Ark. Mat. Astron. Fys., 1942, vol. A28, No. 9, p. 1-19.

26. C.-G. Esseen. Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the Laplace-Gaussian law. — Acta Math., 1945, vol. 77, p. 1125.

27. C.-G. Esseen. A moment inequality with an application to the central limit theorem. — Skand. Aktuarrietidskr., 1956, vol. 39, p. 160-170.

28. В. V. Gnedenko and V. Yu. Korolev. Random Summation: Limit Theorems and Applications. — CRC Press, Boca Raton, FL, 1996.

29. С. C. Heyde. On the influence of moments on the rate of convergence to the normal distribution. — Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb., 1967, vol. 8, No. 1, p. 12-18.

30. P. L. Hsu. The approximate distributions of the mean and variance of a sample of independent variables. — Ann. Math. Statist., 1945, vol. 16, No. 1, p. 1-29.

31. L. LeCam. On the distribution of sums of independent random variables. — in: Bernoulli, Bayes, Laplace (anniversary volume). Springer, Berlin Heidelberg - New York, 1965, p. 179-202.

32. R. Michel. On Berry-Esseen results for the compound Poisson distribution. — Insurance: Math., Econ., 1986, vol. 13, No. 1, p. 35-37.

33. H. Paditz. Uber eine Fehlerabschatzung im zentralen Grenzwertsatz. — Wiss. Z. Hochschule fur Verkehswesen "Friedrich List". Dresden. 1986, B. 33, H. 2, S. 399-404.

34. H. Paditz. On the error-bound in the nonuniform version of Esseen's inequality in the Lp-metric. — Statistics, 1996, vol. 27, p. 379-394.

35. H. Prawitz. Limits for a distribution, if the characteristic function is given in a finite domain. — Skand. AktuarTidskr., 1972, p. 138-154.

36. V. V. Senatov. Normal Approximation: New Results, Methods and Problems. VSP, Utrecht, 1998.

37. S. Ya. Shorgin. Asymptotic analysis of an individual risk model with random insurance premiums. — Journal of Mathematical Sciences, 1996, vol. 81, No. 5, p. 3000-3004.

38. K. Takano. A remark to a result of A. C. Berry. — Res. Mem. Inst. Math., 1951, vol. 9, No. 6, p. 4.08-4.15.

39. W. Tysiak. Gleichmaj3ige und nicht-gleichma(3ige Berry-Esseen-Abschatzungen. Dissertation, Wuppertal, 1983.

40. N. G. Ushakov. Selected Topics in Characteristic Functions. — VSP, Utrecht, 1999.

41. D. L. Wallace. Asymptotic approximations to distributions. — Ann. Math. Statist., 1958, vol. 29, p. 635-654.

42. V. M. Zolotarev. A sharpening of the inequality of Berry-Esseen. — Z. Wahrsch. verw. Geb., 1967, Bd. 8, s. 332-342.

43. В. Ю. Королев и И. Г. Шевцова. О точности нормальной аппроксимации. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, вып. 3, с. 353-366.

44. В. Ю. Королев и И. Г. Шевцова. О точности нормальной аппроксимации. II. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, вып. 4, с. 555-563.

45. В. Ю. Королев и И. Г. Шевцова. Об асимптотически правильных константах в неравенстве Берри-Эссеена и его аналогах. — В сб. Системы и средства информатики. Специальный выпуск. ИПИ РАН, Москва, 2005, с. 333-358.

46. И. Г. Шевцова. О точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных сумм. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 2006, в печати.

47. И. Г. Шевцова. О скорости сходимости в ЦПТ для гладких распределений. — Статистические методы оценивания и проверки гипотез, Изд-во Пермского государственного университета, Пермь, 2006, с. 169-178.

48. И. Г. Шевцова. Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена. — Теория вероятн. и ее примеч., 2006, т. 51, вып. 3, с. 622-626.