Вариационно-моментная апроксимация решений одного класса эллептических краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЛЬВЙСЫЗЙ- Д2КЛВЙИГ УН13£РСТ.ГГЕТ Нл. ЙДГАНКА

Р Г Б ОД

1 к п'.'т

I ■■> »¡и Яа праззх рукопкоу

. О Л А К ЛАРИСА ЯРОСЛАВ 1311А

В\?1АЦ$ьи4Ю?л2ПЖ АПИЖСЖАЦЙ ройв'язкй одного КЛАСУ зд1шчшх крапов; IX ЗДАЧ

01.01.02 - дифереиц1алья! р!зняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертаЩг на здобуття кауковсцх) етулекя кандидата фтзкко-катемати^гас наук

ЛВЗВ - 1995

Дксертац1я е рукописен.

Робота ыжонана на кафедр! дафереш^альнкх р1внянь Львязського державного уШверситегу- гк, 1в.франка

Науковиз кертвнлк: кангугдат ^зцко-ыатеьатичних наук

старший кауковий сп*вроб1тшск ЭОЗГЛЯК ДА

ц!йн! опоненТЕ: доктор ф1аико-т.атетигчних наук,

професор ХО.УА Г. П. доктор ф^госо-лгатеттачних наук,' професор КАЛЕН ЦК П. 1.

Провгдна оргаШзаШя: Черк тхзцькпй деркавняЗ ун» верея те 1

!:л, ю.ФодькозЕча

Эзхкст в1дбудетьсд УРИНД... 1995 р. о ./5". гак.

на застдшгат спец!алI зевано: Ради Д.04.04.01 по присудаенн» вченого с ту пеня кандидата ф* зако -ма?е?/атичних наук у Львп-.ському деркавному ушверситет! 1м. 1в. Франка ( 290602, . ы.ЛьЫв/ вул. Ун!верситетська,1 ),

3 дасертац!ео мозка 'ознайомитись в науков1й сИбл!отец{ Льз1зського деркун!верснтету.

Автореферат розГслано Ь. Р.

ВченяЗ секретар спеШ авизовано! Гадя /югуг^ьь, ^ Я.В.ШШШ

ЗАГАЛЬНА ХАРАКГЕРИСТИКЛ РОБОТ!! Л к т у а л 1 и t с г том и. Удоскояалоння ь'лтсыа^лч-hilx моделей ддя адекватного сплсу прсцес!з. ео про?!кл»ть в реальнкх ф* згко-,'сехан1 чюк сисгеь&х, приводит:, до фэргду-лгвшшя нокк крайозих задач катеиатячно! ф!эякн ! необидное?! розробкк с1ек1';?знзк метод!» ¡у. розз'язутапш, 1сву2аи-яя глпбоко! f розвянуто! Toopfi паблкяених !.:отод!в / Esicir-ieo В.Ф., Коршячук А!.П., Хаддхенська O.A.,' ütonc К.-Л.' йлро-польськи?, С.А.Г MtT-чэл Е., Обен З.П.* Ортега Д., Рвачо-J В.Л. /, як заэнггчено и шнографг! А.О.Лучкк та Т.Ф.Лучки, но вик.1:»-час KoanatBocTf t не зкеноуп ваг л розроб:сз иозпх шшх!в з рогв-язуланк! делкиг характерна клас!в задач, що катину«* пэвн! перзЕаги з пор!внялпЦ э юнувчгми.

Зшропонованля в робот! а!дх!д вяняя на стоку i мозя розглядатясь ян прнродие допозкення у гирохо розроблеи!" rpynf BaptaxitPKroc метод!* / Еоголэбоз n.M., Вайяберг K.M., Тудд С.. Канторович Л. В.. Кравчук !,!.П., Крплоз И.!'., Ректор 1 с К./ f уз ход t в st докрецлення з;;Пших / *тЫн В.А., Калснвк П. I., Кордес Г.О.. Mlядер У., Морс Ф.М., Нктробяч 3.II./, Рл за-яаче~ но з роботах С.Г, К1хл!на, С.В.Переворзека, В.Д.Ртсгсота, К.Гекто-р{са, при практичному застосугаяп! пряки:: vcro^iB зцншеае проблема вдахого, нрпроднього для поста ноши itpafiopur задач!, вкбору коордяпатк фушсцШ^ що до^золяс п!дв!:щува';т ефект;;вн!сть обчкелешк на баз! ;;абл:г;е!гь.

В цьому зв'яэку, зокре>.а, сд!д Шлопапита. т-ял-таз! s точка зору прикладная застосухань дос«даенпя М.V. Войтовича t П.О.Савегоса. в яких 1терац1!*на схема вгбору базисних с(утш-

грунтуоться на 1'.1н!м1зац1 т в1дпов1дного фуикц!опалу середньоквадратлчного в1дхысння.

Вар1ац1йно-ыоыентнпа п1дх1д до визначенкя оптимально! система баговкх ф^ккщй кзтоду розкладу по . товщш! для задач тешюьров1дносм г дпнашчно? ?2рг.:опру:пгаст-} гоякшс оболонок шерпе аапрогоногано в роботах Я.Й.Бурака 1 Ю.Д. Зо-эудяка. Дисертацгст робота сцряиог-аяа на створенш:. обгрун-толако! штематачнох тодел!' та кетодики конструктивно! по-будови вар* ацIПно-коиентяого 1терац1Гшого пронесу.

Мета робота, Дати штсг-атичне обгрунтування вар{ад1йЕо-4гоментпого Шдзсоду до побудова розв'язку пев-ного гласу ел1пткчшх краЯовкх задач. Досл1дитк питания

«»г

♦снуваши розв'язку осеовндг варЛацМно-моментпих систем. I довести зб№1сть побудозаног поелдовкост! • наблияень. Провести конкр'ехн! членов Г дос/Лдпзнея для кодельнях задач.

Загальва ыетодкка робот и. Ейстосо-вурться метода' вар1ащвного числения, недшйного ак"л1зу, метода злдокремлення иЛннк, деяк! загальи! шдходй теорН елтткчних крайовкх задач та метод Роте.

Н а у к о в а новизна. Дано штеьитичне обгрунтування Бар^ад{йко-1»!ошнтного Шдходу до побудови розв'яз- -к»в певних клас!в сл!пткчних крайозше задач, доводиться в!даов|дн! теорема юнування та вказано иляэси конструктив-нот побудови вар1ац!йно-коыентних апроксимашя, досл1дкуеть-ся гх зб{жн1сть. На тестовах прикладах про!лвстровано ефективнЮть запропонованого п1дходу, проведено еор*1вняння результат^ числовые дссл1джень з в{домшж в л!тератур{.

Теоретична I практична значны!сть. Матеиатачва модель вар1ац1йно-моментного 1Ферзд!йного проце-

су с ефектяеюш гнегруиентом в нобудоз! розв'язк?в певних

/

- Г- -

joiactu кеоднор{днгас крзПозкх задач/ оск»£ькя саиропонований ' природная ПШ!Д До в]докрсмлення груп незалекнах зм!ннкх задач! дозволяс г'гдвщита точШсть визкачонях на .лалШ баз} початкових лаблиснь. Результата робота г.а~;усъ бути покладеник: з ос:;огу розробгл; лрактачзых aixopiraiB t eskctIb програи для иирокого кола пр;п«здя!к задач,

А п р о б а ц t л робота. Результата робота досо-в »дались на сеи»карf кл^едря дхрорепцгальшас р»вн;шъ Льв1вського дерзуШверситегу ( хер.канд.Из,-ггт.к. ,дод,Даврз~ нок С.П.); на cewtnapf з!дд»ду isoptT ф!зико-?кжшIчпас г.о.Цв !кстдтугу яряклэдн'д проблей MoxaiiiKH t глтеь'лгаси 1а.Я.С.Шд-стригача EMI У кратна ( кар,чд.-дор. НАЛ У.'срагнп Бурак Я.П.); на ceutKap! ю:.];е.трл мате;-атачкога >;оделэваши _ ЧерШвеодкого дерлун1верскгету »м. П.';еды:ов:г-:а ( кор. док?.ф»з. -■-?.•:,!•:, ~npcj. Ьасязвя С.Д.); т ся!льпс!*у. cc::?hüj» ¿кстлтуту птяхгичза проблем «агатяки t ьагеьзясз! f хгкГ-гдрз дй^рок*.иая>ках ptr-кязь' Льз»еського угизерситету { "/вр,:уг,.;:',.ф}?,-гат,н,.доц, -Лавреисх С.П., з-«а?.п.,проф. Лтглкак Б.и., докг.ря.-

кат.п.,' проф. Скоробогать;:о З.Я,); па ccMtnapt ¡схедр»! тзщо! !.:а:-еу.атигл1 ЛьгЛвського дер:~длкого «Лльгостпсчzujtj ( хер, до:ст.ф1з.-;.пт.н. Сскорак Ф.З.); па Всоукрпхксн'.Н науковгя Kouicponafr " Нов* пгдходя до розв'ягсяил д.:$среиц!альнпс pfвнянь " ( м.Дрсгсбкч); на сехгп? • зпцо? »•ат":-'ат:1г:й эв!т-ко! ксяфорепц?? в1сгладач»в t acntpaBTts Л.!/з!1'с:,кого ct'b-госп»пституту ( н.Дубляни).

П у б л t к am f. Результата ггасопаксс доолЪт::екъ опусШковая» в роботах ¿"1-77 список шеи аазедано з х»кц! автореферату.

Структура та об*ем роб от п. Дисерта-ц!йнп. робота складаеться з! вступу, трьох глав,' висновк{в 1 списку л*тера'-ури. :откладенкх на 145 стортках клинописного тексту. Сшсок л!тературк мютять ■ 109 найке-нувань.

У встут обгрунтовано актуадьнЮть питань," досл!дкенко яких присвячена. дисертаЦ1я7 проаналгзовано сучасний стан цроЗлеш ! коротко вшашдено основа! результата робота.

В глав! I ьикладено основнг засади вар1ац!йно-моментно1 аирокса^ад!! розв'кзк1в для певного класу неоднор!дних елтигчнкх крайовас задач.

Незалеян1 змшц розд!дсно ка дв! груш X = (X......ху)

та • 1 0е-" Я* -область зШни X ,а

С с= Й - область зм1Ю1 у

В облает 1 Р=Ох£3 розглядаетъея елИттичка краЯова задача

Опера торя М^' 'V/ . ." що задаю на границ1 облает!. ив залекать вгд груп 31Лнннх I/ та X вЩгов!дю.

НЛ1СТ Р0Б0Т1

в Р (1) . (2)

Тут .

А-И (^"''□¿(адсюШ)

1(«,у|<К

j

У випадку. коли грантчнг умовп не с одноргдшгаи. ьибором фужц!:, яка так» умовз задовольняе, задача вводиться до вигляду (1) - (2). Допускаться, що:

1. Область Р обглекзна з границеп типу ЛпшЩа.

2. На дПх-0 задало ^ стеках, а на .0x90 - 6 ст!й~ ккх граничите углов. СтШО грашгаП умови, тобто умозн. порядок пох?ДН1!х в яки не перевицуя К . запксудко у шггляд?

¡-г.ъ .

Тут Р^ , О^ _ лШЯн! оператора порядку не вище К-/- , члени яких м:Гстять лише т! лох!дн! по налряику зов-н{шньо: нор?дал! ~ порядка яких не сгИвггадасть з

числами , ... ,$¿1 ' ,ЧИ , 1б 3!ДП03ЭДН0.

3. фории

АС,). та В( •, ') . в1дпов^аоть диференц^альшга операторам А та В еяметричя» 1 Ур- ел» птичий де

Ур = { ие \АЦ(Р) . М,и1бахй=0 , г-Г}>

4. Сх• с (-¡¿(Р) . :

При зробленюс припущеннях ' узагальненкй розв'язок Ы задач* (1) - (2) мШмГзуя в простор! Ур фулкц1скал

Р(б)= А(ъ,ъ)+В{ъ,ъУ-2(1ь)р (з)

При апрокоа.'йЩ ? розв'язку задач! (1 )~(2) ' природш й розпод?л груп просторогкх змпших реалГзустьея у лобудов*

- 8 -

N -то вар1ац1'йно-ыоыентного наблаження

иы(Х,у)= é iy'(y)ipU) ' W)

шляхом BapfautttKoro вг .-шаченвя як базових Функц1й так î

моментких характеристик тобсо фуннцН ,/(•=!,N/

знахсдетъся з углов иШмуму футщ1 оналу (3) на ц?дцростор{

. Wm - j Z if fipf - , 1p'e Vu , y'c i/o y

простору Vp

Тут r _•)

Vd«Î ipe'Wfm). , MjiP!ân*0, J-i.jjj Va l(J£ Wî (Q) , Nj tp}âO-0, j - /73}

3 уцок оксгреыущ функц1опагу загшсуеться основна систеш р!внянь lapîautgHO-ucrjDHïHoï апроксимац!!

H

z: Г fr, гь А Ф" + bir.i") ri«cf.л È Г В^' + а^лЯ i,""!J = if

(5)

î б!дпов!дн1' грашпш! укова Тут

а(фЛ) = ] z: а0(х)О11рО1ха'х

D Hi.yUK

ь(ц/.2)= î £ bntynlydtzdu

q «m4u« 3 * 4 j

- доаом'хнГ бШнШг! форма,

( . )d . С ' . ' )a - скалярний добуток в L*(D) та Lî(0). Бапропонований Bapfац( Зко-моменткл?. п!дх!д дозволяв у

поведите еязначения зп'дно з (5) моментних характеристик Ц/' } базових футшцй фг , суттево врэдуватя як геометр1в сбласт! ! фор;,¡у дкфереши&шгого оператора - так 1 характер неоднородное т! задач!, що спрняе я!дзщешга ефективност! побудованих у форм! (4) початкових яабдажень.

Питания матогагачного обгрунтування вар*ац!йно-момзнтЕого п!дходу до ппрог:сш'Л1Цг розв'язку задач 1 (1)~(2) викагае, по-перше, доведения Ющгвання розв'язк!в нелШйних }тера-Мйних систем (5), що виннкаоть при сЬ!ксованому порядку наближення, по-друге, досл!дження зб1жност! посд5довное.?! побудованлх каближень до розв'язку вю^дно! задач!.

Для в!дпов!д! на дерие питашш досл!дауваяась друга , вар!ац!я !тврад!йяого .фушедоналу э Ми . Показано, що моюшв! вппадкя7 холя . танка функцюнал не в випуклим на а отяе ко мокла апр?ор{ , стЕэрдлувати^ то млолина точек його екстремуму агстить ! .таша- один розв'язок сис-тег/и (5)..

■. В глав? П робота розгдядаеться ваявдов, коли праха частпка в р!внянн! £1) записуеться з розд!леи!Я форм!, тобто

¡(х,у) = 1р*(х)уе(ду (б)'

■ г;о дав змогу повнЮтэ досл!дятн питания- ^снукшня 1 лзн-структивно? побудови розв'язку кзл!ншгйх систзм~ що э1гнп-каоть з углов ексгремугду в!дпов!дкйх !тэрац!й]Щ.-: - фужсц!ока-д!в," та обгрунтуватя зб!кн!стъ. посл?долносг! вар!ац1йпо-коиептних наблдгань, .' . ^

Оппсуоться деяо кодщИкозана (тераШГ.ка схема апрокси-тдП. Пераз вар1ац?йно-моментнв ваблетекня будуетъея у

БЙГЛЯД1

де фуш-ц*т та [¡/'(у) реал!зуоть ы!н!кум функц!оналу

(Ф,Ф)= а(1р.1р)(ц1.ц/)0+(1р.1р)0Ь(у.у)-2(},1р-ц/)р (V

на иножянт \/ах\/а . Прщ^вноичи до нуля перзу вартцгв ФункцГоьалу. вашсуетьоя основна система

(Г.ГЪАУ + в о

Ко)

МуъЬу' +:а(1р,,1р')у'=а,1р% -в а

Мае и!сце •

Теорема 2.1.1. Нехай виконувться припущення 1-4 1 функц»о ¡Чх.у) записано у форм! (6) ,

тод! »сну« ' узагальнениА розв'язок ф'в \/о , ф (£ \/о задач! (8), цо реал! зуб ышадуы Функцюналу (7) на \/ох Ма . ■• Розв'язок система . р1внянь- (6) будуеться у вигляд!

и4(х,у)ё Iр,(у)1р,(х)=(а* + Ь*)ф(х,Ь*)ц1(у,а*) ,

де функд1т фСх,Ь) та ЦУ(у,С1} е розв'язками задач = М^ф/ао =0

а значения число в их параметра О* та Ь* визначаоться з -р!внякь л л л л

а*= Р^'^'Ф^.Ь')) е* Ь(Що'). чкц.а*))

цф(х,Ь')112п ; 0 Цр(у.а*)Ига

Сл}д зауважити," що якщо козфШенти дифереиШаяьних

-11 -

операторов,' функц!я рiх>ty) f границя облает! достатаьо глада t, то побудоБане перше наближення буде тез гладким,-

При 1=2,3. ... фунта»? lpr(x) та Щ1(у) для побудо-ви вар!ац!йно-момснтного наблаження у форм! (4) визкачаемо з умови м!н?:лу:<гу ка Va х Va !торад1Яного функдюналу

Ft(ip.wy=a(tp.ip)(iy.y)a+(ip.ip)0b(iiJ,4Jh2(ft., ,tp^)p О)

^ ?0U,i/)=ipfix)ij/(tp

(fM.ipy Wf«. ipy)p-ЬЩ1-',у)(1Р''',ч»0

Показуеться, що для ияасично роздмеио! функц!! fo(X,y) функц!Т ^м(х.у) /для £=2,3,... / будутъ тез класичко роздиешьд. Тод! побудован! / з р.'оз екстремуиу функдюналу (9) / оснозн! скстекй. р!вняш> кавта 1терац1аниа характер, тобто змтишться лишь фуякц!?7 що входять в прав! частшш р!внянь. Цв значно полегауе отчисления наступних наближень.

Теорема. 2.2.1, Пехая виконуптъея припущенвя 1-4 t функц!я fix,у) записана у форм! (6)

TOflt для t°2,3, ... юнувть функц! i ф'(х) та . що

реал!зуить мШмуы функдюналу (9) на Vd X Vq ,

Теорема 2.2.2. Нахаа побудовано посл!довн1сть зар t ai;t яно -шментккх кабяккещ» {u"(X. y)JN„, , до U"(X,y) записано у форм! (4) * а фушед!х ф'(х) та If'(у) реал!зусть м!н!мум на VoxVо функдюналу (9) при 1,2, ...

тод!

Д ии-Ш1ь при 00

Апробац!о запропояованого- п!дходу зд!йснено на приклад! тестово? задач!

-Д U = / в n*[0,c]x[0,d]

u=o на ал

Показано, цо для дано? правох частики ришяння Пуассона вар1ац!йно-4юментна апроксшац1я дае добр! результаты же на перзоцу крон? наблшгенкя / похибка в залекност! в!д спгвв гдясшепня стор!н облаем не перевнщуе 4 % /, тод! як иаближення розв'ягкуза злаошаш - функц!Я1э задач! дае похибку на порядок б!лъпу.

Б глав! И розглядаотъея шдям поширзння ьар!ац(Яно-комеятного !терац!йнок> продесу для . випадку, коли праву частину р1вняння не записано у класичпо розд!лен!й форм!.

Пропереться еосл!довно внзкачати наближешзя право! частшяг р!бнянил фупнШалн iP{ip!{x) iy*(Lj) . цо дозволяв у знайдених клгеично розд!ленкх функции глксикально вгдтво-рити характер нооднор!дкост! задач!, оск!лькя за критир!й опищ! зац!1 вкбраяо середньокБадраюгчне в!док8ння

Права чаотина . рРванная зашгсуеться у вигляд! .

! наступив детальке обгрунтуваям вар!еШйЕо-удаек?ж>? Пера-ц!йнот схе;.ля сдер^уеться як наел!док., теореи глава П 1 неперервно! задакност! розв'яаку 1:райовог задач! Ш'А право! частини р1вняння. v - ""

Розглддаотъся пввн! узатальиетя; у Форш. е-Ццткчкого даферевдtсльного оператора задач?. Для задач!

ч .; . сю)

з граничкщ.к у^оваш тяпу . Д!р?хле.

даференц1альния оператор L задаеться у вигляд!

|Ы ßlj1*'*1 j ßlit*!tt ,

Допускаешься,'qo б!л1н!йну форку задач! (10)-(11) на «дояин! класично розтяета <$укхц13 коша зшшсата у внгля-

до ötJitHfггн! форма АсСф.'Х) та Ь-,(Ц1,2), Ы1,2 симзтрвчн! f елттачн! t

А«(фЛ) + АеГф.'Х)я И i axMDitpDixdx

n'l.ljliK D

b,(w,Z)+Mw.Z)-Z:iHK \ bnUjlDijVD^Zdy

?0ЧНН?3 фор-!? А|(ф.Х) %il ь<(ц1,2) гйстяя пох!дн! до порядку к згвдччко 1 о«по ci'HOxpsrsi! та «мШшеачн! в просторах Vo t Vö BiÄUoBtÄBO. ЕШнКШ §ор:ы Аг(ф,>0 na BsOjA?) Ыстять г.ох!дя! до порядкЛз K< та Кг в!дпов!дко7 де Ki < К , К» < К , } ix ел!пти«ш!сть та властив!сть сяметрН взрез прясться для фуякгия просторfв VJz'(D) та

w па)

то задоаольнявть в!дпоп!ди! CTfflKf грапячн! утлэзп.

Пре вшеонаян! газначенид вшлог теореиа !снування t ■"ifHHocTi взр!ац!йно-го?,:знтких набдянень для задач! (10)-(11) з диференцгальним оператором у форм! (12) збзр!гаяться практично. без зн!н / теорема 3.2,1 /,

Один з шжливиг п!дход!в до застосування розробленлх вар!ац!йно-моментних адгоритм1в в задачах парабол!чного тяпу

пропонуегься в §3,3j ' Ьерацтгай процес будуяться з вико-ристанням методу ' Роте, ШектквШсть запропоновано! методики !лвструеться на приклад! задач! теплоаров!дкост! для к!ль-дево! пластшш з! змИшида теплоф! зичниш характеристиками катер!алу, Показуеться,' цо вке на першоку кроШ апрокслмэд! i забезпечуеться шсока тсчн!еть обчислеких вар!ац!Гаю-шг.;ент-них каблнасень. Даеться пор1вяянкя о результатами одержаниш на основ! класичного Шдходу до вгдокремлення зм!шшх.

У висноыках сфорыулъовано основн! результата роботи. Б!дм^чапться," но в робот! запропонована методика t обгрунту-вання варlautйно-моментного п!дходу до побудови наближенях розз'язк!в певного класу крайовгас задач шляхом природкього в!докрегддеЕня за оатикалышма функшями розкладу.

Вказуеться на та" що запропонованкй п!дх!д е ефекгивним {нструкентом для п!двицекия точкост! розв'язк!в на мал!В 6aat каблизень.' оск!льки функц!? розгладу врахсвуоть не лиде геомечрго облает! 1 форму дпференц!ального оператора, але t характер неоднородное^ еакач!.

Отрицая! в робот! результате' проведение досл!дкень належать авторов!, У сшльноцу препринт! автору, належать S1, 2,3,'"5, У спШ>н!й публ!кац!1 з С.Е.Лавронокоы сп!вавтору належять форадулюванкя задач! та обгов оренкя одержагшх результатов. . '

. Автор вис ловле с ¡чиру вдячШсть кауковому кер!викну Зозуляку ОД. за • кер!Екицтво ! поот!Ену увагу до робота, а також зав.кафедрогз," доц, Лавреноку С.П. тачд,-кор. HAH Укратнк Гурану Я.Р. га ■ ц!нн! -поради та .вауваження висловлеп? в прздео! написания t обговореккя результат!в робота,

- 15 -

Основ« результата днсертац!! опубл!козан! в роботах:

1. Шпак Л, Я. 1&р!ац{йно-г:ог,:ентна . ацроксЕмац!я для одного класу ел!птичнпх краЯовях задач // Доп.АН Украхии,- 1994. ->«7,- с.4Ь-48,

2. Гнатгв с.М., . Зозуляк П.Д., Шпак Л.Я. Вар1ац1!*40-ыске1шшп нгдхлд у крайовнх задачах термопрузност! оболоног ! пластлн / Центр ттгглтичного шделзвання ЙБШ !м.Я.С,Шд-стригача. Препринт £8-94. - 54с.

3. Шпак Л.Я. Природн! базов! функц!г при редукц!! до ннлчо! розгЛрност! ел!птичних крайовях задач// Б!гн, , Льв!в. ун-ту,- сер.мех,- тт.- 19947 вшг.40,- с.78-83.

4. Ьзахненко / Шпак / 1,Я.~ Лаврензк С.П. Гснувзиш узагальне-ного ¿озз'язку одн1€г зы!сано? задач! для р1веяния типу коливання пластинки // В!сн. Ль~!в. ун-ту,- Сзр.кох,-гат,- 1933. вип.21,- 0.68-75.

5. Рабпк З.М.. Шлак Л.Я. Вар!ац!Яно-«оиентний п!дх!д до ста-цюнаршк задач тердапруаних оболонок / 33. наук, праць,-Льв1в: Льв1всышй дерз. е.- г. !н-т," 1993.- с. 101-103.

6. Шпак Л.Я. Природа! базов! функц!? при редукц!! до нйжчо1 розм!рност! ел!птичних крайовнх задач / Тези ВсеукраТнськоТ кауково! конференц!! "Нов! п!дходи до розв'язання даферешиальних ргвнянь",- м.Дрогобкч,- 1994,-с.187,

7. Шпак Л.Я. Природа!' базов! функц!? при переход! до координат серединно! позерхн1 в задачах ыехан!ки оболонок

1 пластин /-Теза звгтпо! конф. викл. ! аса. за насл!дками

л

паук.- доел, робота 1993 року.- Льв!в: Льв!всьгай! дера, е.- г". !н-т.- 1934.- с.25В.

lEnsJi Л.Я. Вараецйозшо - цементная епрокспыация реиагшй -одного класса еллшггаческих краевых задач.

Диссертация на сояегмшге ученой степени кандидата физико -ыатзиагаческих наук по спецлальнооти 01.01.02.- лкффораюкольнце уравнения, Львовский государств окньйг университет :ш.И.£ранкс, Львов 1995.

Дается обобгао^е и матохгатачеекое обоснование варлшг-:гт2ю -ызыантиэго подхода к поогроозиа роояШ одного класса кеоднород-к;.т крйовнх задач с уравнениями еллиптического типе, допускскдими разделение независимых пераиашпа. Установлены ссответегвуюсте теорош сучоотЕозанпя и сходимости вариационно - мсиэятиуг етрок-симацпЯ решения. &йектавность предложенного подхода иллюстрируется на кдакрэтнъ-л: примерах.

ShpaJ: 1.7гц iaiional - tasaat approxiKation for th? so. lutlcn o.f ri class of elliptio boundary - value problenuj.

Oisaia on tlis ooapatotioa of the scientific dugrea of a o&ft'iiuati' of physics and ratfaematios soienoies on и срг-зйвШ;-01.01.C2 - differential equationc, L;iv State University, Lvlv, 1995.

Chin the»Jо givec .the generalisation and catheriaticsl substantiatioa of the -sariatioBal - sonant approach to tha construction or solutions for' the olaes of inhcEogonaous elliptic bourdaty - value problem;. Гае со?р£зрэ&Д1п£ thoorc-nj of '.¿.inKum and convergcaos for the variational' - Ecacat- aplirozi^tlciu) are established. the efficiency of propose:! approach Id illustrated on concrete examples. .

Клхгчов! слова: в'дскрбмлеивя .мШшах, вор1сц1йнлг п1дх1д, 1герац1йна МЛ".