Вариационные задачи и эволюционные вариационные неравенства в теории пластичности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ОРДЕНА ШИНА И ОКТЯБРЬСКОЙ РЕШИЛИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В.А.СТЕИОВА

ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДИВНИВ

На правах рухописи СЕРЕГИН Григорий Александрович

УДК 517.9^59.3

ВАРИЛШНШВ ЗАДАЧИ И ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ВАРШК01ШЕ 1ПЗРАВЗНСТВА 'В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

£

Автореферат диссертации на соискание учеиоя степени доктора физчко-матоматччоских наук

л/9206

от

Ленинград 1969

Работа к/поянапа на кафедре прикладной математики Ленинградского ордена Ленина политехнического института имени К.И.Кьммика.

Официальные оппоненты: доктор фиэ.-матэи. наук,

профессор Р.В.Годьдтгеян

доктор фиэ.-матем. наук, профессор А.В.Иванов

доктор физ.-матем. наук, профессор Н.Н.Уральцев»

Ведущая организация: ' Институт прикладной математики

и механики АН УССР

Защита состоится " " " 1990 г. в часов

на заседании специализированного союта Л 002.38.№ при Ленинградском отделении ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции Математического института имени З.А.Стэклова АН СССР (Ленинград, наб. р.Фонтанки, д. 27, комн. 311).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛОМИ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь .

спэциализироэакнсго совета \ [,( доктор физико-математических нау^ф

А.П.Ооколксэ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОМ

' АКТУАЛЬНОСТЬ ТЭ!Ц. Одна из существенных проблем механика сплошных сред заключается в необходимости иметь строгую математическую тесрип ее основ. '3 работе рассматриваются такие аспекта математической теории пластичности, как существование и дифференциальные свойства решений соответствующих задач.

После того, как Д.Д.Ивлевим, А.А.пльиминии, Л.М.Качано-вим, В.Д.Клшниковим, В.Т.Койтерон, П.ГТ.Мосолошм, В.П.Мясш;-ковим, Ю.Н.Работновым и другими били достаточно четко с математической точки зрения сформулированы основные классические задачи теории пластичности, стало ясно, что ряд практически интересных задач да подпадает под те обычные условия теорем существования и регулярности резений в обдо¡1 теории эллиптических и параболических задач, которые маяно найти в монографиях и обзорах Р.А.Дубинского, Д.И.Кошелева, о.АЛадыкенской, Ч.Морри, О.А.Одейник, И.В.Скрнпника, З.А.Солоннякова, Н.Н.Уральцеэой и других. В частности, в пластичности Генки или в теории течения Прандтля-Рейсса возникает коэрцктишость в нерефлахсивннх пространствах типа пространства СЛ.Соболе га в задачах течения вязкопластических сред невозможно написать уравнения Эйлера из-за недифференцируемости штогринтц и т.д. Примеры показывают, что все эти неприятности вызваны суяеством дела, а ямонио: возможна разрывные решения, застойные зоны и т.п.

К настоящему времени наиболее полные результаты получеки для случая упругопластического изучения стержня в исследовании проблем существования репокия Б.^.Лнншым я его регулярности Х.Брезисом, Г.Стомпакьей, А.Фридманом. Здесь установлена продольная -гладкость оэгаеикя а изучены свойств,-! свободной границы, разделяющей тело на две части: упругую я пластическую. Встестзенно попутаться получить аналогичные результата для плоских и пространственных задач теории пластич-

- -

поста. Для того,чтоон понять, какие аналитические трудности при гтоМ возникают, рассмотрим в качостш примера вариацион-куп задачу сз форм анионной теории пластичности.

Пусть однородное и изотропное идеально упругопластическое тело занимает область в (Я. (к. - 2 или 3) с лгашицевой грешной с) £2. и находится под действием заданных сил ^ иР . Поле перемещений и точзх упругопласткческого тола есгь ре-юнко сяелуадай ваоианионной задачи

Найти и. = ("<0е*\£+гсо : М [I» + ] (I)

Здесь в качество об-асти определения функционала

jF.ir.ie

' .51

взбирается пространство

2)р,<?(2>{и=:(1п.): |г-| ♦ |г\)|€ }

при р я ^ =« - множество всех взктор-фунишй из

1)'^ Сй.) . равиих нулю на \ ¡2. ; \ <2 = ; и0 - заданное

поле шэрзмеионип из1)г,1(й) , £(■»•) - симметричная часть градиента векторного поля "г , т.е. £(0= (^¿00), и ггС)- = Эг. /За. ; для всоххс/1™

(пространство симметричных матриц порядка и-), где по-

юлительная постоянная, а с^ушшия % определяется шборои конкретной мололи пластичности. Булем считать, что

КШ^Г), (2)

в. четная функция ^ х К.—удовлетворяет условиям:

а) % непрерывно дифференцируема на Ш ; б) не (3) у бы ваэт на Со ,+ со С , - 0; в) >0

Задача (I) в лучшем случае мо.-.тет быть коэриитивка ка множестве Л£ + "и0 нерафлексивного пространства3) ' (¡Е) , что далаеу пэрозмодашм применонио обычной схеки доказательства существования решения, основанного на понятиях полунопрэрив-

ности и коэрцитивности. Г-лавннй недостаток естественша Функциональной постановки классической задачи заключается ч предположении о суммируемости тензора деформаций . Тем оакнм исключавтоя решения с разрывами типа сигольяенип, появление которих вполне возможно по физическим соображениям.

Пробломн математической тоории пластичности, осознаннее в конце 70-х годов, по многом аналогична проблемам варчациои-ного исчисления функционалов непарамотричэеких по нор состой,, а в обчем случае функционалов, имевших линейный рост пи бесконечности относительно градиента искомой функции. Урашелмя Эйлера таких функционалов оказываются неравномерно эллиптическими. "дось при расширении естественной функционально?! постановки т?,Дчусти, И./чаквинта, Д.Моднка, 'Д.Соучо;: заненп-ли пространство П.3.Соболела"^-1/^(5?.">допустимых зектор-функций на пространство взктоо-Ггунк:н'.й ограниченной ваппацин

ВУО^Г).

Интегрант, соответствующий упругспластичеокон среда Гонки, удовлетворяет условиям (3). Для этого частного случая расширение вариационной задачи (I) б.) л о подучено независимо и в разной степени общности р.Анцвдлотти, МиДдаквкнтой, Р.Коном, р.Темамом, А.М.Хлудневнм и оэторэм Г'ЬбЪ Класс функция, которому принадлежит сбобцоннои репакнэ,- пространство воктор-функций ограниченной деформации

Весьма актуальной янлястся проблема регулярности обоб-щеншх роионий задачи (I). В случае функционалов лике ¡г. га го роста эта проблема достаточно хорошо иоучоиа о.А.Ладотэнсхоя, Н.Н.Уральцевой, К.Герхардтом, А.З.Иванодам, [{„М.И^пчккной, М.Дкаквинтой,. Д.Модикой, Я.Соучеком и другими, когда искомая функция окалярна (/V » I). з векторном случао ) ряд

результатов по регулярности получеш Г.Анцйтлоттн, М.л«акг :н-той и автором См1.

Аналогичное проблем« с коэрцитивностьв в нерофлексивных пространствах возникают в тосрии предельного равновесия и в теории течения идеально упругопластичесхих сред.

Мало изучена )»н<3$оренциальнне свойства особенных рва, -

- б

ний эзолюционных вариационных неравенств теории пластичности, поскольку имеющаяся в общей теории техника нуждается в серьезной модификации.

ЦЕЛЬ рАШТа. Г. Исследовать общие вариационные задачи в кере^лсксивннх пространствах и доказать теорему существования слабых реаения таких задач. На этой основе получить вариационные расширения для задач идеальной пластичности.

2. Исследовать регулярность решений вариационшх задач дефоомационной тоории пластичности. Виясноть, какова топологическая структура множеств, находящихся в упругом или пластическом состоянии.

3. Исследовать регуляоность решений эволюционных вариационных неравенств, описывающих квазистатическое равновесие упругопластических сред.

Исследовать регулярность решений вариационных неравенств тоории вязколластических сред.

5. Получить глобальную теорему об однозначной разреии-мости эволюционного вариационного неравенства для среды Бии-гама. Приложить полученные результаты к исследованию поведения его решения при больших временах.

МЕТОД! ИССЛВДОВАВДЯ. В работе применяются общие метода выпуклого анализа и теории нелинейных краевых задач. Из выпуклого анализа активно используется теория двойственности. При исследовании регулярности решений вариационных неравенств применяются, как правило, существенная модификация методов установления частичной регулярности, берущих свое начало от работ Ч.Норри, Е.Лчусти, М.Миранды, а также методы М.Дчсаквин-тн, основанные на технике обратных неравенств Гельдера, При исследовании поведения реяения эволюционного вариационного неравенства, описывающего течение среда Бингама, используются общие методы нахождзния минимальных глобальных аттракторов полугрупп.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты, полученные в работе, является новыми. Приведем их общий обзор.

1. Исследован» общие варкапионше затгачи в нсрофлоксив-ных пространствах. Построено их вариационное расширение и доказали тооремы существования слабого решения.

2. Результаты обстой теории прилагался к вариационным задачам деформационной теории идеально упругопластичеоких сред, а таюсе к некоторым задачам вариационного исчисления Функционалов, имеющих линейный рост на бесконечности относительно градиента 1 скомой функции.

3. Изучена ди]4орошгяальтае свойства роиений задач, двойственных к вариационным задачам идеальной пластичности. Найдены условия, когда эти решения, являющиеся нолинейными комбинациями первых производных слабых решений прямой задачи (задача (I)) и имеющие Физический смысл тензора напряжений, принадлежат пространствам Соболева или Гельдора. В ряде практически чнтересдах случаев полученные результаты ио;кно трактовать как доказательство существования упругой области (открытого множества). При некоторых дополнительных прядгсолояо-киях относительно интегранта ^задачи (I) доказана частичная регулярность (регулярность почти всюду) слабого решения.

Установлены дпФфоренциальныо свойства слабых роаен.Ш вариационных залач деформационной теории пластичности, функционалы которых имеют стопокной рост относительно ленивтора тензора деформаций,./оказано существование двух открытых множеств, на которых слабое рёпенио регулярно (тензор деформации и тензорнапряжении непрерывны по Гельдеру) и которые мокко интерпретировать как упругую и пластическую области. В случае квадратичного роста получоны интегральнее критерии принадлежности точки упругопластического тела упругой или пластической области.

5. .Доказаны гоорош существования к исследованы дифференциальные свойства слабых реаений некоторых сполшпониых вариационных норгшшетв, описывающих квазистатическое равновесие упругоиластичэсг.их сред. В частности, г.остро«!Ю вариационное расширение классической папам:: теории Прандтля-Рейс-са течения ияеальной удругонлистическоя среди и доказано су-

щеотвование слабого решения. В случае пластических сред с изотропным или кинематическим упрочнением исследована регулярность слабого решения.

6. Изучены дифференциальные свойства локальных экстремалей ¡»дифференцируемого функционала вариационной задачи, возникающей при описании медленных стационарных точений среды Бингама. /оказано суаествование открытого множества регулярности экстремали, на котором тонзор скоростей деформаций отличен от нуля, а в дополнении к ному этот тензор равеч нулю.

7. В случае периодических краевых условий для плоской задачи получена теорема о глобальной однозначной разрешимости эволюционного вариационного неравенства теории течения среди Бингама.

8. Доказано, что двумерные соотношения двииения среды Бингама при периодических краевых условиях пороядавт.полугруппу, имеющую миндальный глобальныйЗ -аттрактор, который непуст, связнон, компактен, инвариантен, и что при некоторых значениях параметров нагрукения этот аттрактор состоит из единственного нулевого элемента, .Лапа оценка "конечномерности динамики" полугруппы на аттракторе.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ИШОСТЬ. Метод исследования регулярности слабых решений вариационных задач теории идеально упругопластичэских сред мо:кет быть использован в общей теории при изучении регулярности решений неравномерно эллиптических систем диф^орецциалымх уравнений с частными производными или экстремалей 'функционалов, имоюцих линейный рост на бесконечности относительно градиента искомой функции. Некоторые такие приложения приводятся в диссортации.

Ряд результатов могут быть применены при численном анализе задач теории пластичности. В частности, результаты по регулярности необходимы для квалифицированной оценки погрешности между точным л приближенным решениями. Кроме того, рая-. аиренные вариационные постановки дают возможность использовать разрывные конечные элементы. Один поимер такого рода имеется в диссертации.

-у -

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты докладывались на Ленинградском семинаре им. З.Й.Смкрнова по математической фи' зике (Л0[ГЛ, ЛГУ, рук. О.АЛадыяенская), на семинаре им. И.Г.Петровского по дифференциальным уравнениям я математическим проблемам физики (ИГУ, 1986), на I Всвсокзном симпозиума по математическим методам в механике сплошной среди (Москва, институт проблем механики АН СССР, 1984), на сомина-ре памяти Л.И.Лурье по нзлинейшм проблемам механики (1987), на конференции по нелинейным краевым задачам (ДОГМ, 1989), на семинаре пол руководством Н.В.Баничука в института проблем механики АН СССР, на семинаре под руководством Н.Ф.Морозова в ЛГУ, на семинаре под руководством А.И.Яоаелева в ЛЭГИ, на семинаре под руководством В.Я.Ривкинда в ЛПИ к на других семинарах.

• ПУБЛИКАЦИИ. Основные результат« работы опубликованы б работах СЫ5].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, списка принятых обозначений, пяти глаз, приложения, заключения и списка литературы. Работа занимает 133 страниц» мааикописного текста. Библиография содержит IHQ наименований.

00ДЕРЗАНИЕ РАЭОТУ

ГЛАВА I. Вариационные задачи и эволвциотшо вариационные неравенства в нэрефлексившх пространствах,

В 5 X рассматривается широкий класс выпуклых вариакпсиных задач вида

найти u.<i\£+u.e: I(u,) = {Lit) : tr<="\£+uu ^ (j})

где I(vV.G-(Air> + Л (v) tveV ;V ,1( ,J? - банаховы пространства iVcU ,Vq - подпространство bV ih'-V+P - лкнояшй ограниченный оператор ; G-:P->R ,М. .'Цт-Я ~ выпуклые, полунепрерывные снизу, собственные Лункционалы.

Обозначим через Р* иЦ* пространства, сопряквннчо пространством Р и If , через<V> ,(*->') соотнешеиич дэойст-

веннасти маслу]? иР ,4/1 и соответственно, через & и.01 преобразование Внга функционалов & «Л. Сформулируем задачу, двойственную к задаче (4).

Найти р*е Р* •. fc(P*) = su.p [№)'. Р* 5 (5)

где fc(qVní[l(vtf*):VéV0+u0}t ) = Alr>-GV)-i4(u)

Поскольку целью исследования являются задачи идеальной пластичности и им подобные, то потребуем выполнения уоловнй, отражающих их специфику. Она заключается в том, что для них задача (5) разревима. Как показали И.Зкланд и Р.Темам, соответствующие условия имеют вид

+«« . -/Ч(и/)< + °<> , функция р непрерывна в

нуле пространства _Р .

Ilpvi выполнонии условий (б) справодливо равенство Са К(р*). Однако они не гарантируют разрешимости задачи (¡t). Опишем ее вариационное расширение, сохраняющее двойственную задачу, потребовав дополнительно -

Vвкладывается непрерывно в ti , плотно в^ , К рефлексивно; 3 ut a iht clon „М J(v)—> + со (7) при lluü->-t oo и iré"\£ + ic0

Определим оператор

так, чтобы

(Ay,iO-<p*,Av> Р'ОХА"), ^ V0

Топь раслирение множества ^ + имеет вид

ч- í«*; „р.;?, 1(

гпв^ч-'/Р*) * < р*,Аи„> ~ (А р* к,,) t а продолжение функционала 1 определим при помогш расширенного лагранжиана ¿j следующим образом:

V4 - р. , = wp L'Z<) : ч^Ж*) « - (AY, v)- ¿V)

Отметим соотношения

Вели дополнительно потребовать, чтобы у^оглб* ЗР^М): Р1-+Р* «- слабо вР"

то неравенство (86) перейдет в равенство. Кроме того, справедлива следующая

Теорема I. Т5сли х - рефлексивное пространство, А("\£) замкнуто вР и

шипи* ч . = о

Р"6 Ъ(А*)> «р'Ир. ^

то и.й

Раоаирвние задачи (4) таково: Найти ' « { ?(*•): } (9)

Основное утверждение § X содержится в следующей теореме, Теорема 2. Пусть выполнены условия (б) и (7), тогда задача (4) имеет по крайней мере окно решение ие1+ , причем

С10)

где р* - произвольное решение задачи (5).

В п. I § 2 указанная выше конструкция вариационного расширения применяется к вариационным задачам для функционалов линейного роста, а в п. 2 к задаче (I). Ладим краткое изложение содержания п. 2 § 2.

Лвойстзонная задача (5) в этом конкретном случае формулируется так:

Найти тензор напряжений б* 6 ГНС*. /?(£) « (II)

?лесь Функционал задачи шчисляотся по формуле £(Г)= и..)с!х- [Р-и. Я

в которой ЬР1,Г + ^вО^О - преобразование ЮН-

2. л. К-о 7

га Функции , а ^[Ь Ш } - преобразова-

ние Юнга функции ;

- множество допустимых тензорних полей;

I на

- множество тензорных полеИ, удовлетворяющих уравнениям равновесия (через У обозначена единичная внешняя нормаль к

При описании множеств и

К

били использоваш пространства ^

£ (я.)}

Рамочанио: Пусть ¿ Е-) и Будои говорить,

что ТУ = I на\£ , тогда и только тогда, когда Функции I и т! связанн тоялеством

Г(г.£«г) * = [¿.IгИ

а

/остаточное условие разрешимости задачи (П) выглядит

так:

З^О^: К^МЙ^Д б £ для кекоторогоАООДС (12) £ля расширенного лагранжиана имеем формулу

Его область определения Класссостоит из всех

суммируемых в Ф со степеньв вектор-функций V , для ко-

торых конечна величина

a

ON*1' ' Ka ^

L ir

Пряно-из определения класса V+ следует, что он вкладывается в пространство Bl)(i2) , суммируемых в 52. мктор-функ-ций, для которых симметричная часть градиента - ограниченней в ££ мера.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (2). (3), (12), тогда лагршшюн L имеот на мно«:ество"\^ ^ffC A.Q) по крайней море одну солловуп точку (и. ). такуп, что

Li4,x)*L(*f)6l(\rS) vtrfi"V; .rsK/lQ.

где Q- ^ F

Гюлоо того, £ - решение задачи (П), а u. - роюенио задачи

(«), в которой fiv) . supuAiv,*) и справедливо раызн-ство q>(u)= . 4

В этом же пункте построены промежуточные вариационные расширения задачи (i), в которых допустимые взктор-Чункции могут иметь разрывы типа скольжений вдоль заданных Литвиновых nonopxHocToii. Соответствующая теорема обобщает известные результаты /чс.Стрэнга и Р.Темама.

В § 3 построено вариационное расширение и даш< промежуточные вариационные постановки задачи о продольном равновесии идеальной кесткопластичоскои среди.

В 5 'I изучается разроаимость классической начально-краевой задачи о квазистатнчоском равновесии идеального упруго-пластического тола, которая допускает естественную <!ушсцио-нплыгуп постановку в виде эволюционного вариационного неравенства (задача Д). Роаение задачи А мо.;но овости к последовательному решении друх задач. Ч аео:зо;1 из них (задача :з), которая формулируется как зволшчонное варканиончоо нопавен-ство, определяется тензор напряжений, а во второй (задача о)-поле скоростей. Задача В однозначно разрешима, а задача

- я» -

которая имеет вид вариационной проблемы, зависящей от параметра, вообще говоря, нет. При фиксированном параметре задача С близка вариационным задачам деформационной теории идеальной пластичности. В § 4 построено ее вариационное расширение - задача С+. Задачи В и С* приводят к расширенной постановке залачи А (задача А+). Показано, что задача А+ всегда разрешима. Класс функций, которому принадлежит поле скоростей ъ задаче А+, содержится в пространстве и (О ,Т ;£>!>№))• Ранее при специальных краевых условиях несколько более слабые результаты по поводу существования обобщенного решенья задачи А были получены {{.Джонсоном.

ГЛАВА 2. Дифференциальные свойства экстремалей вариационных задач, возникающих в теории идеально упругопластических сред.

В данной главе изучается регулярность обобщенных решений задачи (I). В § I сформулированы' основные результаты.

Полежим и ~ I к >0: ¡ЬД)"^*^ . если предположить,

что

3*0 непрерывна и положительна на СО, 1«, С (13)

то Лункция будет строго выпуклой, а задача (II) - однозначно разрешимой.

Кроме того, будем предполагать, что

пространство"^ (й > К ) плотно в "V? по (10

норме пространства

В § 2 приложения к диссертации указаны практически интересные состноления мехду с^ й. при которых условие (10 выполнено. В частности, (10 имеет место, когда = ^ или А Теорема Ь. Пусть

, выполнены условия

теоремы 3, условия (13) и (10 и суксстлует положительная постоянная с^ ,такая, что <гС* при всех Ь>0 ,

тогда для решения ^ задачи (II) справедливо включение -

Теорема 4 обобщает результат Л.Эзанса и Б.Нерра, доказанный для плоской односвяпной области 52. при условии, что \Я. = 0 и рассматривается среда Генки.

Основной результат, касающийся регулярности обобщенных решений задачи (I), содержится в сладувшеЯ теореме.

Теорема 5. Пусть наполнены условия теоремы 3, условия (13), (14), а также

^ У^ 1ос(&> ^ яра (15)

для

существует постоянная >1Х>0-' (16)

для всех г »£^ ЛИ < , но таких, что ар/

Пусть ^ - реиение задачи (II;, тогда суязствует открытое мнокество С О , такое, что

(пространство Гельдзра) V ^еПО,

п.

Тоорема б. Пусть выполнены условия теоремы 5, пусть •¿£, = + 00 и функция I (—выпукла вверх при ,

тогда

Отметим, что условия теоремы 5 справедливы для интегран-та , соответствуявзого упругопластическсй спаде Генки. В с том частном случае ?.7аргг и Д.Кичдерлерер, используя техник/ обратных неравенств Гельдера, получили локальную суммируемость вектора перемещений и со степень» чуть большей, чем п.,

Н.-1

В § I такте рассмотрены различные варианты шпэлнснпя условия (16) и некоторые конкретные примеры интеградаов 5Э .

Во втором параграфе изучаются некоторые свойства регуля-ризованной задачи, а именно: характер аппроксимации решений исходной задачи'решениями рггуляризованной.

},ля доказательства теоремы 5 используется супествеиная г.одийикаиия так называемого "непрямого" метода (терминология М.Т^аквинтн). принадлежащего Ч.Морри, Е.Д-'сусти, И.Миранде. Т'ундамсчтальцув роль в ном играет норашнетво Яаччошюли. В § 3 сЛормулирован и доказан его аналог.

Обозначим шар радиуса И с центром в точке х„ ,

чорез % = сроднее значоние функции на

^а "через : £('«•)-0 I ~ пространство жестких

смешения.

Ломка. Выбором положительное число так, чтобы л.<п.4< • пусть^.ДОДС.^ДС К пусть посточнкио нмрици <оа $ связаны соотношением

^ и'С

Тогда 13 условиях теоромы 5 справедливо неравенство

Я. 4 Ё/ЭСо Й.) —

ъ котором постоянная зависит только от »V , ,

, а £ и а - рекзния задач (II) и (9).

3 '( шводсни необходимые для дальнейшего свойства одной линейной эллиптической системы с постоянными коэффициентами.

Осноптя лемма продставлена в !) 5. 3 ней изучается зави-1'ччость некоторых интегральных величии на 'парах от радиусов а тих широт Данине величины, как правило, фигурируют в интэг-рмльных критериях гельлоровости функций, 1ри этом одновременно контролируете« решения как прямей, так и двойства иной задач.

В § б устанавливается критерий регулярности точки х6

и доказываются основные теоромы.

В § 7 формулируются результаты но регулярности экстремалей Функционалов линейного роста общей теории вариационного исчисления.

ГЛАВА 3. Дифференциальные свойства экстремалей вариационных задач, возникающих в тоории упругоплаотичэских сред с упрочнением.

Метод исследования регулярности слабых реаений вариационных задач идоальнол пластичности мо?:сет быть применен и в тех случаях, когда интегрант ^ задачи (I) имеет степеннол рост относительно десиатора тензора яе^ормаций, ?

Рассмотрим задачу (I), в которой пространство!) ' (й) ТЛ^К \

заменяется на пространством) (52) , причем «и Л О, Щ . Предполагается, что выполнены условия (За), (36), а функция $а(Ь) непрерывно дифференцируема во всех точках, исключая, быть может, точки±, и что существуют положительные постоянные сг и е3, такие, что

сг<ы1)Ч%а)/1]*^ йщ±тг ¡>0 с 17)

При выполнении условий (2), (За), (36), (17) задача (I) однозначно разрешима. Тензор напряжений и тензор деформаций £(и) связаны соотгоаенион

* = Ко ^и. 1 + (!г:%)|) I.

Сформулируем основные результаты § 4 по регулярности решения задачи (Г), полагая ^(¿„Уй V заменял я(['^('е);;;."])2'^)

Теорема 7. Пусть выполнены условия (2), (За), (36), (.ТА), (17), а такяе условие

Тогда сукостпупт открытые множества 52. к число

А) «10,13 , такие, что

при всех ¿«'до,с* С /^Сх)!< й!» при всеххе£24,1'<мГл)!>$1,, при всехх«йл ^СхЯ-гёЧ. при чЛ.

Естественно назвать открытые множества и упругой я пластическими областями.

Теорема 8. Пусть выполнены уоловия теоремы 7 и пусть дифференцируема в точке 1:0 , тогда существует открытое

множествотакое, что«€ при воех^Зо^С

и - 0.

В § X. 2 и 3 изучается частный случай линейного упрочнения, для которого £

Для тйкого идаегранта в § 3 проведено' доказательство теоремы 7 так называемым "прямым" методом, основанным на установлении обратного неравенства Гельдора для производных тензора деформация, и получены явные интегральные критерии принадлежности точки улругопластического тьла упругой или пластической областям. В § 2 установлена непрерывность по Гельдеру вектора перемещений, а в плоском случае и тензора деформаций, на любом компакте, целиком лежащем в^. Непрерывность по Гельдеру вектора перемещений в задачах пластичности с упрочнением изучалась также Д.И.Королевым.

Наиболее интересной для данного случая упрочнения является оценка максимума модуля девиатора тензора деформаций, доказанная в § I, л

Теорема 9. Пусть

при некотором б£30,1 С

и пусгьх»б&. , тогда

1 ЛиС^М * ^ X, ^ Лам'^у +

£

. + Cs 9, * № I * Jb.

Л Чй) .

ГЛЛВЛ Дифференциальные свойства слабых решений. Теория течения упругопластических оред.

В § I дана постановка задачи и • сформулированы основные результаты.

Пусть и.,, , í , F - функции, определявшие характэр на-гружения, удовлетворяют условиям

S¿.6¿"(o,T)V;(ft;r)) (18)

В момент вромени t множество статичеоки возможных на. пряжений имеет вид

а а ' ¿a

{treV^ft > Ю í ir-О 2 i

Рассмотрим конечномерное евклидово пространство £ со скалярным произведением О, •> и порожденной им нормой |< | .

Ту или иную модель упругопластического тела будем задавать посредством Функции МГ^"* £ -> 1)?. Изотропное упрочнение

Кинематическое упрочнение

где £„,«(.- положительные постоянные.

Введем мноноствоК допустимых значений напряжений V и внутренних параметров <]

МП,, € ¿"(а-, £): Ч(х))<0 хея]

Задача о нахождении вектора перемещений и и тензора напряжений о , соответствующих квазистатическому равновесию уп-ругопластического тела с упрочнением, формулируется так: Найти функции и. , £ и £ , такие, что

й. € Г(0,т^ (й; ¡П), № МГПХ

',£(&.•,£))-, и.(о)= о, ](о) = о ; С21)

£еС0,ТЗ ;

С, тл ;

а _ ■)-]»)> ^ 4х 6 о

для

К

и. п.. £ ¿С 0,тл Как показали К.Лзконеон, К.Ррегор, И.Нечас, Л.Травдичек, задача (21) однозначно разрешима. В данной главе доказаны следующие утверждения.

Теорема Ю. (Кинематическое упрочнение).' Пусть выполнены условия (18), а функция (3- и пространство £ определяются соотношениями (20), тогда

* * Г(о;г; V;^ (а5 Г)), * еГ(о,Т;

Теорема II, (Изотропное упрочнение). Пусть выполнены ус-ясвия (ХГО: иС({• е и

пространство £ определяется соотноаешямк (19), тогда

' ^По,TjV^ajM^)), ?6¿7o,TjV^íft,£)), По,Ti С»)), ¿"».ttfío,TlllJZ))

3 § 3 и 4 теоремы ю и II доказываются предельным перо-ходом з разностной аппроксимации задачи СЛ), построенной в § 2.

ГЛАВА 5. О дифференциальных свойствах резений ваоаацион-ннх неравенств, впзпикаюаих в теории течония вяз;'.сплг>стичес-ких сред.

В § I и 2 исследуется случай медленных стационарных течений среды Бингама, который мовдт быть сведан к изучению экстремалей бункционала

■F(lxiQ)' [(¿¡'МГ+МеМ-^х, á> =

.sa

Введем пространства соленоидальн^х векторных полей

т=['Щ*(&>t)-Л^-oí 9]t I

Будем предполагать, что _ область в IR и что ^¿¿^(.Sj S?.).

Вектор-фугишия U é (Sí) называется локальной экстремаль и функционала F , если пля всякой области Яа& ffi выполнено Ffaj Q.)s Ffii+irj £>,) для vueXca.).

Сформулируем основные результаты § £ и 2.

Тоорсна 12. Пусть к. - локальная 'экстремаль функционала

F , тогда V. £(0L(_'О • jft*1)¡i верна оценка

С(9.ч Q.aj*){ ("О I dx -» £Й„}

яри" 51. ^

Тосрема I? обобьет известный результат Х.Црсзиеа дяя

случая антиплоских течений. г н.г

Теорема 13. Пусть а - локальная экстремаль Р ,

(пространство Ч.Морри), тогда и.еС(£; К ) для всех VfjO.li:.

7!ля того чтобы сформулировать главный результат, введем множество полагая

гдо. ^ |£-¿гОсОж

6(х'р) Го О* у'

Заметим, что /__-0 . Представим множество ас в

виде объединения двух непересекающихся множеств

Теорема 14. Пусть и. - локальная экстремаль- функционала

р и ^//¿^ , где Ае ДО, 13 , тогда множество 55с,

открыто и £("-КС»Н17'4) при воех ^сЗоД С .

В § 3 изучается эволюционное вариационное неравенство, описывающее движение среды Бингама в прямоугольнике 55- 10, ЛлСхЮ,«-^ С с периодическими краешми условиями.

Обозначим через к (Н^) пространство функций (воктор-

функций)

значения которых на противоположных сторонах прямоугольника совпадают, через "К^ пространство вектор-функций изЫ^О-'у¡К.1) , значения которых и их порвих^производных на противополояшх сторонах совпадай,

черейН.^ ('1 « X, 2) пространство соленоидалькых вектор-фуге-

ций из

. Символ " а " в обозначении пространств говорит о том, что функции дашкзго пространства имеют в 52. нулевое сроднее значение. Обозначим через Н замыкание

' линейного многообразия}!^С ) по норме пространства!!. '

Ладим обобщенную постановку классической задачи о движении среды Бингама. Пусть выполнены условия л

*«Г(о,Т;£), И:£Н ... с22)

Требуется найти функцию и € такую,

что

а(р)-и0 ; А (23)

для почти всех

исо/гл и всехт^Я^ справедливо вариационное неравенство

+ ¿р е(ч(ь>И(1г-к(*>) + |£(«К*»|) -

для любых верны включения

Теорема 15. Б условиях (22) задача (23) однозначно разрешима.

Предположим, что «З-^'-Х.^ , где А. - неотрицательный

параметр, а ^ из Ь не зависит от Ь . Б силу теоремы 15 задача (23) однозначно разрешима при любом Т>0. Поптому мы

можем ввести семейство операторов"^ :Н"*Н , полагая = - и(£) , где и есть решение задачи (23) на промежутке [О, I] . Из энергетических оценок, полученных при доказательстве теоремы 15 вытекает, что семейство операторов ] ^образует

полугруппу класса 1. . Из тех яе оценок следует, что данная полугруппа имеет ограниченный глобальнийЪ -аттрактор. Следовательно, применима общая теория С.А.Ладыженской, из которой вытекает существование минимального глобального^ -аттракго-раТП.^. Этот аттрактор компактен, инвариантен и связнен.

При некоторых значениях параметра X структура множест-

- гч -

na TU. тоипиальна. Пусть л

•л, ' о

1, - [lEírtiax: V^H , ffi7<lx = l.]

2- к - коэффициент предельной нагрузки. __ .

Теорема 16. ¡ЬиАеСОД»! справедливо nL^n^J . Более

того, при .А.^-^-* и для любого ограниченного в Н множестваВ существует момент времени Ь(Ь), таг-сой, чтоМХи°'' = 0 для всех и всех t>i(6) .

При -А- ■■* верна оценка

l!Vt kJI * iiMie"ZjlCot izo

где с„ заиискт только от и at.

Справедлив еще один факт, который в определенном смысле означает "конечномерность динамики" на аттрасторе^Т^. Обозначим через Ё^ лянэйное пространство, натянутое на первые tn собственных Функции задачи Стокса л

ist = ъеХ

Р а F й

Пуоть ¿п - проектор на Ск .

Теорома 17. Прк достаточно больпом to имеем

l¡PKti0)l|=0 Vi с 3-to, +ооС и и(Ш = о Vt¿ +<*=>[: где и " 1r-'ir , a tr иг - две траектории на аттракторе.

' Публикации по теме диссертации.

1. Серегин Г«Д. О корректной п становко начольно-крв вих задач в механике идеально-упругопластичоских сред.- Докл. АН СССР, т. 270, 4, с. 810-813.

2. Серегин P.A. Расширение вариационной постановки задачи для яесткопласткчэской среда на поля скоростей с разрывами ■гкгж сколыкеиий.- Прикл. матем. и механика, 1983, у. 'И, вап. 6, с. 1030-1037.

i Э. Серегин Г. А. Варишмонше задачи и эволюционные вариационный неравенства в норофлексивных пространствах с пркло-

ясениями it задачам геометрия и пластичности.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1924, т. 48, ¡« 2, с. 420-425.

4. Серегин Г-А- 0 корректности вариационных проблем ме-хакики идеально упругопластичоских сред.- Докл. АН ССОР, 1904, т. 276, » I, с. 71-75.

5. Серегин Г.А. К вопросу о вариационных постановках некоторых вариационных задач теории течения яесткопластичаских сред,- Прикл. матем. и механика, IPS'), т. 4tf, зып. б, с.992-996.

6. Серегин Г. А. Вариационно-разностниа схемы для задач механики идеально упругопластических срол.- Журнал шчисл. мотем. и матем. физики, 1985, т. 25, с, 237-252.

. 7. Серегин Г.А. О постановке за*ач теории идеально упру-гопластического тела.- Прикл. маток, я механика, 1965, т. 49, вып. 5, с. 849-859.

8. Серегин Г.А. О дифференцируомости экстремалей некоторых вариационных задач пластичности.- Успехи нот. наук, 1905, г, 41, вып. 4(250), с. 186.

9. Сарогин Г.А. О дифференциальных свойствах слабых ре-пений нелинейных эллиптических систем, еозникапищх л теории пластичности.- Матем. сборник, 1966, т. 130(172), ?? 3(7),

о, 291-309.

10. Серегин Г.А. Об одной вариационно-разностной схеме для задач предельного равновесия.- Г^урнал вачисл. матем. и натек. Физики, 1957, т. 27, \е I, с. 83-92.

Ц. Серегин Г.А. О диффереицируемости локальннх зкс ре-мвлей вариационных задач механики кестко-шзкопластических сред.- Изв. ВУЗов, Математика, 1987, й 10, с. 23-30.

12« Серегин Г.А. О дг.фференцируемости окотреиалея вариационных задач механики идеально-упругопластических сред.-Дифференц. уравнения, 1987, т. 23, № II, с. IS8I-IS9I.

13. Серегин Г.А. Локальная оценка типа неравенства Кач-чопполи для экстремалей вариационных задач пластичности Генки.- В сб.: Некоторые прило*ения Функционального анализа к задачам математической физики. Новосибирск, Язл-во ин-та ка-

тематики СО АН СССР, 1988, с. 127-138.

14. Серегин Г.А. Дифференциальные свойства решений вариационных задач для Функционалов линейного роста.- Проблемы метем. анализа, Иэд-во ЛГУ, 1989, вып. II, с. 51-79.

15. Серегин Г«А. О регулярности слабых решений вариационных задач теории пластичности.- Алгебра и анализ, 1990,

т. 2, вып. 2, с.

РТП ЛИЯ«»звв.1375,яр.100,Л.-и8д.а.1,1{19/гг-1989г.,«-28*84

Бесплатно